deduccion natural

Matemáticas Discretas

INFERENCIA ÓDEDUCCIÓN

Inferencia

� Inferir conclusión a partir de premisasaplicando reglas de inferencia� Premisas: hipótesis, supuestos básicos� Conclusión: proposición a probar� Reglas de Inferencia: medio para

extraer conclusiones a partir de premisas

Inferencia

� Prueba formal: aplicación de reglas de inferencia para derivar la conclusión

� Conclusión válida: conclusión a la quese llega aplicando reglas de inferencia

� Mecanismos de inferencia o deducción� Tablas de verdad� Procedimiento de resolución� Reglas de inferencia....

Inferencia

Deducción natural

� Reglas Básicas� Regla P: Una premisa se puede

introducir en cualquier paso de la deducción

� Regla T: Una fórmula S se puedeincorporar en la deducción, si S estátautológicamente implicada por una o más fórmulas anteriores en la deducción

Deducción natural

� Reglas Básicas� Regla PCSi una fórmula s se pude deducir de otrafórmula r y un conjunto de premisas, entonces el enunciado (r → s) se puedededucir a partir del conjunto de premisasunicamente(p ∧ r ) → s ≡ p → (r → s)

Reglas de Deducción natural

� Simplificación(p ∧ q) → p ( p ∧ q ╞ p)(p ∧ q) → q ( p ∧ q ╞ q)

� Adiciónp → p ∨ qq → p ∨ q

� Conjunción(p) ∧ (q) → (p ∧ q)

Reglas de Deducción natural

� Modus Ponens(p ∧ (p → q)) → q

� Modus Tollens(¬q ∧ (p → q)) → ¬p

� Silogismo Hipotético[(p→q) ∧ (q →r)] → (p →r)

� Silogismo Disyuntivo[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q

Reglas de Deducción natural

� Resolución

[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r )] → (q ∨ r)� Dilema

[(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r

Argumentos válidos: Ejemplo

Si llueve mucho, el viaje será dificil. Si losestudiantes llegan a tiempo entonces el viaje no fué dificil. Los estudiantes llegaron a tiempo. Por tanto, no llovió mucho

p: llueve muchoq: el viaje es dificil

r: los estudiantes llegaron a tiempo

Argumentos válidos: Ejemplodeducción natural

Premisas: p → q, r → ¬q, r

Conclusión: ¬pArgumento Razón1. p → q Regla P2. ¬q → ¬p contrareciproca de 13. r → ¬q Regla P4. r → ¬p Silogismo Hipotético (2,3)5. r Regla P6. ¬p Modus Ponens (4,5)

Argumentos válidos: EjemploRefutación

Premisas: p → q, r → ¬q, r

Conclusión: ¬p1. p q2. r q3. r4. p5. q Resolvente(1,4)6. r Resolvente (2,5)7. □ Resolvente (3,6)

Ejemplo

Si me mandas un e-mail entonces acabaré de escribir el programa. Si no me mandas un e-mail me iré a la camatemprano y si me voy a la cama temprano, me levantarédescansado. Por lo tanto, si no acabo de escribir el programa, me levantaré descansado.

p: me mandas un e-mailq: acabaré de escribir el programar: me iré a la cama tempranos: me levantaré descansado

Ejemplo

1. p→ q

2. ¬p→ r3. r→ s

4. ¬q→ s

Ejemplo: refutación por resolución

1. p q2. p r3. r s4. q5. s6. p Resol(1,4)7. r Resol(2,6)8. s Resol(3,7)9. □ Resol(5,8)

Argumentos válidos: Ejemplo deducciónnatural

Premisas: p → q, ¬p → r, r → s

Conclusión: ¬q → sArgumento Razón1. p → q Hipótesis2. ¬q → ¬p contrareciproca de 13. ¬ p → r Hipótesis4. ¬q → r Silogismo Hipotético (2,3)5. r → s Hipótesis6. ¬q →s Silogismo Hipotético (4,5)

Inferencia en LP: Algunas Reglas

� Particularización Universal

p(c) es verdadera, c es un elemento del dominiocuando la premisa ∀x p(x) es verdadera

∀x p(x)p(c)

Inferencia en LP: Algunas Reglas

� Generalización Universal

Se afirma que ∀x p(x) es verdadera, dada la premisa que p(c) es verdadera para todoelemento c del dominio.

p(c), para un c arbitrario

∀x p(x)

Inferencia en LP: Algunas Reglas

� Particularización Existencial

es posible afirmar que p(c) es verdadera, cuando ∃ x p(x) es verdadera

∃x p(x)p(c) para algún elemento c

Inferencia en LP: Algunas Reglas

� Generalización Existencial

es posible concluir que ∃x p(x) es verdadera, cuando se conoce un elemento particular c conp(c) verdadera

p(c) para algun elemento c

∃x p(x)

Ejemplo de razonamiento

Todos los hombres son mortales. Sócrates eshombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal

mortal(x): x es mortal hombre(x): x es hombre

∀x (hombre(x)→mortal(x)) ∧∧∧∧ hombre(s) ╞ mortal(s)

Ejemplo de razonamiento

∀x (hombre(x)→mortal(x)) ∧∧∧∧ hombre(s) ╞ mortal(s)Premisas: ∀x (hombre(x)→mortal(x)) , hombre(s) Conclusión: mortal(s)Argumento Razón1. ∀x (hombre(x)→mortal(x)) Hipótesis

2. hombre(s)→mortal(s)) Particularizac. Universal(1)

3. hombre(s) Hipótesis

4. mortal(s) Modus Ponens (2,3)

Ejemplo

Un estudiante de esta clase sabe cómo escribirprogramas en JAVA. Todo el que sepa cómoescribir programas en JAVA puede conseguir un trabajo bien pagado. Por lo tanto, alguien en esta clase puede conseguir un trabajo bienpagado

Simbolización

c(x): x está en clase, j(x): x sabe cómo escribirprogramas JAVA, t(x):x puede conseguir un buen trabajo.

Hipótesis

∃x(c(x) ∧∧∧∧ j(x))∀x (j(x)→ t(x))Conclusión

∃x(c(x) ∧∧∧∧ t(x))

Prueba

1. ∃x(c(x) ∧∧∧∧ j(x)) Hipótesis2. c(a) ∧∧∧∧ j(a) Particularización existencial (1)3. c(a) Simplificacion (2)4. j(a) Simplificación (2)

5. ∀x (j(x)→ t(x)) Hipótesis6. j(a)→ t(a) Particularización Universal7. t(a) Modus Ponens (4,6)

8. c(a) ∧∧∧∧ t(a) Conjunción (3,7)9. ∃x(c(x) ∧∧∧∧ t(x)) Generalización Existencial