capÍtulo 4. axiomas de...
Post on 01-Oct-2018
242 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 4. AXIOMAS DE CONTINUIDAD
Introducción
Con la incorporación de los Axiomas de Medida (Axioma de Arquímedes y Axioma de Cantor) se
fundamentan las funciones de medida para segmentos y para ángulos respectivamente,
enriqueciendo y abriendo un panorama al introducir la aritmética en la Geometría. Con esta
nueva herramienta muchos resultados que desde la relación de congruencia muestran mayor
dificultad en su construcción, se evidencian con más facilidad desde la medida y se propician las
condiciones para la obtención de nuevos resultados.
No obstante la posibilidad de facilitar los tratamientos de muchos temas desde la medida, no
pueden ser razón suficiente para iniciar los cursos de Geometría centrados únicamente en ella,
ignorando la realidad genética conceptual y de estructura que la enriquecen como lo he
presentado en el orden propuesto.
Objetivos Específicos.
1. Mostrar detalladamente como se fundamenta, a partir de los Axiomas de
Arquímedes y de Cantor, el proceso de medición en los segmentos haciendo
énfasis en que un procedimiento que consideramos en la práctica de rutina, tiene
un profundo soporte en la matemática.
2. Destacar como en situaciones anteriores ciertos conceptos, en este caso la medida,
se presentan en forma dual para los ángulos.
3. Señalar las características y propiedades de una función de medida mostrando
como únicamente en términos de ellas se logra el propósito de toda función cual es
la asignación de manera única de una imagen real no negativa a cualquier
segmento y lo propio en el caso de los ángulos.
4. Hacer énfasis en las equivalencias específicas, entre la relación de congruencia y
la función medida.
5. Definir una tercera clasificación angular desde el punto de vista de la medida,
como son los ángulos agudos y los obtusos.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6. Proyectar esta función como una noción generalizadora que posteriormente se
aplicará también a los arcos en la circunferencia, a los polígonos simples (en
términos del área) y a los poliedros convexos (en términos del volumen).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.1 LOS AXIOMAS DE CONTINUIDAD
Los axiomas de continuidad permiten, eligiendo una unidad lineal o segmento lineal, definir,
para cada segmento, de manera única un número real no negativo llamado longitud del
segmento (Axioma de Arquímedes) y recíprocamente determinar la existencia de un
segmento cuya longitud sea igual a un número real no negativo dado (Axioma de Cantor).
IV.1 Axioma de Arquímedes.
Sean y segmentos arbitrarios. Entonces sobre la recta existe un número
finito de puntos situados de manera que está entre y , está
entre y y así sucesivamente, tales que los segmentos son
congruentes a y B está entre y . (Ver Figura 70).
Figura 70
IV.2 Axioma de Cantor (Recíproco Axioma de Arquímedes)
A continuación,, utilizando el axioma de Arquímedes, analizaremos el proceso de medición
que consiste en asignar un número real a un segmento dado.
Sea cualquier segmento y un segmento que se fija arbitrariamente como unidad, al
cual asignaremos como longitud el número real a uno. Sobre la semirrecta se van
superponiendo segmentos congruentes a de tal manera que se obtienen los puntos
y el punto B está entre A y . (Ver Figura 71).
Figura 71
AB CD AB
nAAA ,....,, 21 1A A2A 2A
1A3A nn AAAAAA 1211 .....,
CD AnA
AB CD
AB
CD
121 ,,....,, nn PPPP 1nP
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Puesto que , , entonces lo que se ha hecho es recubrir el
segmento utilizando un segmento unidad (Ver Figura 67). Puede ocurrir que coincida
con B. Aquí el segmento unidad está en exactamente n veces. (Ver Figura 72).
Figura 72
Entonces definimos la longitud del segmento como el número real n y terminamos el
proceso de medición. Pero puede ocurrir que no coincida con B. En dicho caso B estará
entre y y por tanto la longitud del segmento está comprendido entre n y n + 1.
(Ver Figura 73).
Figura 73.
Si la longitud del segmento es a, entonces n < a< n + 1. Ahora bien, podernos seguir el proceso
de subdivisiones para aproximarnos cada vez más a la medida de . Sí es el punto medio
de (sabemos que todo segmento tiene punto medio), puede ocurrir que:
1. coincida con B.
2. esté entre y B.
3. esté entre B y .
Los tres casos se ilustran en la Figura 74.
CDAP 1 CDPPCDPP nn 121 ,....,
ABnP
AB
AB
nP
nP 1nP AB
AB 1q
1nnPP
1q
1qnP
1q1nPMate
rial e
duca
tivo
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 74.
En el primer caso y termina el proceso de medición.
En el segundo caso . No termina el proceso de medición.
En el tercer caso . No termina el proceso de medición.
Para los casos 2 y 3 se puede continuar el proceso tomando los puntos medios de o
según donde se encuentre B. Puede ocurrir que B coincida con uno de estos puntos
medios y en este caso ó bien . En caso contrario, el proceso
continúa.
Mediante este proceso se obtiene, en cada paso, un valor más próximo a la longitud de y
eventualmente puede obtenerse en un numero finito de pasos el valor exacto de dicha
longitud. Es posible demostrar que cuando el proceso se extiende indefinidamente, se obtiene
el valor exacto de la longitud de .
El proceso que se ha descrito anteriormente se llama de MEDICIÓN y el número encontrado es
la medida del segmento o la longitud de que denotamos por: o AB.
Dicho proceso lo podemos precisar con la siguiente definición
21 na
12
1 nan
21 nan
11 nPq
1qPn
4
1
2
1 na
4
1 na
AB
AB
AB AB ABm
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.2 MEDICIÓN DE SEGMENTOS.
Definición 24.
La medida de segmentos es una función que asigna a cada segmento un número real no
negativo, tal que:
1. para un segmento no nulo, fijado arbitrariamente, (𝐶𝐷 es llamado
segmento unitario).
2. si y solo sí (dos segmentos son congruentes sii
tienen la misma medida).
3. Si B está entre A y C entonces: .
Figura 75.
4. sii A coincide con B.
CD 1CDm
11BAmABm 11BAAB
BCmABmACm
0ABm
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.3 MEDIDA DE ÁNGULOS.
En forma análoga a lo dicho para la medida de segmentos, existe un proceso para la medición
de ángulos.
Denotaremos la medida del ángulo por .
Definición 25.
La medida de ángulos es una función que asigna a cada ángulo un número real no negativo
tal que:
1. Para un ángulo , no nulo, fijado arbitrariamente, ( es
llamado ángulo unitario).
2. sii .
3. Si y son ángulos adyacentes, entonces: .
4. 𝑚𝐴��𝐶 = 0 𝑠𝑖𝑖 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶
Figura 76.
Es posible demostrar que dado un número real positivo se puede construir un segmento
cuya longitud sea . La demostración de este resultado requiere la utilización del Axioma de
Cantor.
Según el teorema 18, todos los ángulos rectos son congruentes y por lo tanto, utilizando la
propiedad 2, tienen la misma medida. Podemos, entonces, emplear como unidad de medida
CBA ˆ CBmA ˆ
RQP ˆ 1ˆ RQmP RQP ˆ
111ˆˆ CBmACBmA 111
ˆˆ CBACBA
CAB ˆ DCA ˆ DAmBDAmCCAmB ˆˆˆ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
angular una noventava parte del ángulo recto . Dicha unidad de medida la llamaremos
grado sexagesimal y lo notamos 1º.
Con esta unidad de medida, cualquier ángulo tiene una medida entre 0 y 180 grados.
La medida del ángulo nulo será 0 y la del ángulo llano será de 180. Análogamente como en
segmentos, es posible demostrar que dado un número real entre 0 y 180, se puede
construir un ángulo cuya medida sea .
Observaciones.
1. En cada segmento existen puntos que lo dividen en n segmentos congruentes.
2. En cada ángulo, por su vértice, pasan semirrectas que lo dividen en n ángulos
congruentes.
3. Si entonces .
4. Si entonces .
5. Los puntos medios de segmentos congruentes determinan segmentos
congruentes.
6. Las bisectrices de ángulos congruentes determinan ángulos congruentes.
7. La medida de un par lineal es constante e igual a la medida de un ángulo llano.
Definición 26. Segunda clasificación angular. Criterio: La medida de ángulos.
Si 0° < 𝑚(𝐴) < 90°, entonces es agudo.
Si 90° < 𝑚(𝐴) < 180°, entonces es obtuso.
Dados los ángulos y :
1. Si , diremos que el ángulo es suplemento del ángulo o que
y son suplementarios.
2. Si , diremos que los ángulos y son complementarios.
90
1
CDAB CDmABm
111ˆˆ CBACBA
111ˆˆ CBmACBmA
A
A
A B
º180ˆˆ BmAm A B
A B
º90ˆˆ BmAm A B
TEOREMA 24.
a. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
b. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración.
a. Sean y ángulos respectivamente suplementarios a los ángulos y y tales
que .
Por hipótesis: (1)
(2)
(3)
De (1), (2) y (3) se sigue que: y de aquí se concluye que .
La parte b. de este teorema se hace en forma análoga a la a.
Observación.
1. También usaremos para la medida de un ángulo letras griegas como , , ,
,etc.
2. Abusando de la notación, y entendiendo por el contexto lo que se quiere decir,
usaremos indistintamente el ángulo o su medida.
A B D E
ED ˆˆ
º180ˆˆ BmAm
º180ˆˆ EmBm
EmDm ˆˆ
BmAm ˆˆ BA ˆˆ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: Medida de segmentos.
Medida de ángulos.
1. Sean: A, B, C puntos distintos; señale cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas y cuáles son falsas.
1.1 .
1.2 Si entonces A es punto medio de .
1.3 Si A es un punto medio de entonces .
1.4 Si entonces B está entre A y C.
1.5 Si B está entre A y C entonces .
1.6 Asumiendo que A, B, C son colineales:
a. Si entonces C está entre A y B.
b. Si entonces B está entre A y C.
c. Si B está entre A y C entonces .
d. Si entonces A es un punto medio de .
2. En la figura O, A y B son colineales, X es punto medio de . Demuestre que:
2.1 Si entonces .
2.2 Si entonces .
3. En la figura O, A, B, C son colineales, demostrar:
Si entonces .
ACBCAB
ACAB BC
BC ACAB
ABAC
ABAC
ACAB
ABBCAC
ABACBC
ABAC BC
AB
ABO OBOAOX 2
1
ABO OBOAOX 2
1
CBAC2
1
3
2 OBOAOC
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4. En la figura A, B, C, D son colineales, O es punto medio de y de .
Demostrar que y que .
5. En la figura los puntos A, B, C, D son colineales. Los puntos M y N son puntos medios de
y respectivamente.
Demostrar que:
.
6. Si ángulos suplementarios miden y , determinar el valor de x.
Determine el valor de x si la medida se expresa en grados sexagesimales.
7. En la figura las semirrectas , , y determinan ángulos adyacentes
tales que .
Si 𝑂𝑋 es la bisectriz de , demostrar que y que es bisectriz de
.
8. Sean: y suplementarios, bisectriz de , ; si
y son complementarios y ; calcular: , .
AD BC
CDAB BDAC
AB CD
BDACMN 2
1
202x 503x
OA OB OC OD
DOBCOA ˆˆ
DOA ˆ DOCBOA ˆˆ OX
COB ˆ
COA ˆ BOC ˆ OM COA ˆ BOCIntOH ˆ
COM ˆ COH ˆ 20ˆHOBm COAm ˆ BOCm ˆ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
9. Sean , y con , tales que y . Si
es la bisectriz de , demostrar que: .
10. Sean: O un punto entre X y Y; y en un mismo semiplano respecto de . La
bisectriz de es perpendicular a y las bisectrices de y forman un
ángulo de medida 100°. Calcular: , y .
11. Las semirrectas , , y forman ángulos adyacentes consecutivos, con
vértice O, tales que y . Calcular:
, , .
12. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares.
13. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas
opuestas.
14. Demostrar que el ángulo formado por la bisectriz de un ángulo no nulo y no llano y
una semirrecta cualquiera exterior al ángulo y con origen en el mismo vértice, tiene
por medida la semisuma de las medidas de los ángulos que forma la semirrecta con
cada uno de los lados del ángulo inicial.
OA OB OX BOAIntOX ˆ AOXm ˆ BOXm ˆ OC
BOA ˆ 2
ˆ COXm
OA OB XY
BOA ˆ XY AOX ˆ YOB ˆ
AOXm ˆ BOAm ˆ YOBm ˆ
OA OB OC OD
BOAmBOCmAODm ˆ2ˆˆ BOAmDOCm ˆ3ˆ
BOAm ˆ AODm ˆ DOCm ˆ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
En la figura los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷son colineales. Los puntos 𝑀 y 𝑁son los puntos medios de 𝐴𝐵
y 𝐶𝐷 respectivamente.
Demuestre que: 𝑀𝑁 =1
2(𝐴𝐶 + 𝐵𝐷)
Demostración
1. 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵; propiedad de la medida respecto al punto medio𝑀.
2. 𝐶𝑁 = 𝑁𝐷; propiedad de la medida respecto al punto medio 𝑁.
3. 𝑀𝑁 = 𝑀𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁; propiedad de la medida (postulado de adición).
4. 𝑀𝐵 =1
2𝐴𝐵; de 1.
5. 𝐶𝑁 =1
2𝐶𝐷; de 2.
6. 𝑀𝑁 =1
2𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 +
1
2𝐶𝐷; sustitución de 4 y 5 en 3.
7. 𝐵𝐶 =1
2𝐵𝐶 +
1
2𝐵𝐶; propiedad algebraica.
8. 𝑀𝑁 =1
2𝐴𝐵 +
1
2𝐵𝐶 +
1
2𝐵𝐶 +
1
2𝐶𝐷; sustitución 7 en 6.
9. 𝑀𝑁 =1
2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) +
1
2(𝐵𝐶 + 𝐶𝐷) ; propiedad asociativa y distributiva
respectivamente.
10. 𝑀𝑁 =1
2(𝐴𝐶) +
1
2(𝐵𝐷); propiedad de la medida (postulado de adición).
11. 𝑀𝑁 =1
2(𝐴𝐶 + 𝐵𝐷); factorización en 10 (ley distributiva).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N° 2
Sean: 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 y 𝑂𝑋 con𝑂𝑋 Int ; tales que𝑚 = 𝛼 y 𝑚 = 𝛽. Si 𝑂𝐶 es la
bisectriz de , demuestre que: 𝑚 = |𝛼−𝛽
2|.
Demostración
Presentemos la siguiente gráfica que de razón de las condiciones señaladas en el problema.
1. ≅ ; de las hipótesis
definición de bisectriz.
2. 𝑚 = 𝛼 - 𝑚 ;
propiedad de la medida.
3. 𝑚 = 𝑚 − 𝛽 ;
propiedad de la medida.
4. 2𝑚 = 𝛼 - 𝑚 +
𝑚 − 𝛽; suma de 2 y 3 miembro a miembro.
5. 2𝑚 = 𝛼 − 𝛽; sustitución de 1 por propiedad de la medida en 3.
6. 𝑚 =𝛼−𝛽
2; despejando en 5.
Observación:
Como se desprende de la figura, en este caso𝛼 > 𝛽 lo que se traduce finalmente en el
análisis en cuanto𝛼 − 𝛽 > 0 puesto que la medida del ángulo no puede ser un número
negativo.
Si se considera la otra posibilidad en la figura esto es 𝛽 > 0; el resultado, siguiendo el
mismo procedimiento, nos conduce a que𝑚 =𝛽−𝛼
2. En consecuencia, el
resultado corresponde a la disyunción: 𝑚 =𝛼−𝛽
2 ó𝑚 =
𝛽−𝛼
2.
)(AOB
)(XOA
)(XOB
AOB
)(XOC
AOC
COB
)(COX
)(AOC
)(COX
)(COB
)(COX
)(AOC
)(COB
)(XOC
)(XOC
)(XOC
)(XOC
)(XOC
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Este resultado puede simplificarse teniendo en cuenta la propiedad del valor absoluto que
establece: |𝛼 − 𝛽| = |𝛼 + 𝛽|; por tanto en la condición del problema propuesto tenemos:
𝑚 = |𝛼−𝛽
2|.
Ilustración N° 3
Demuestre que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas
opuestas.
i. y opuestos
por el vértice.
ii. 𝑂𝑀 bisectriz de
iii. 𝑂𝑁 bisectriz de
Tesis:𝑂𝑀 y 𝑂𝑁 son opuestas.
Nota:
Una forma de probar la tesis consiste en demostrar que es llano ¿por qué? Dirigiremos
en ese sentido la prueba.
Demostración
1. ≅ ; de i. teorema, propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
2. 𝛼 = 𝛼′ y 𝛽 = 𝛽′; de ii. y iii. definición bisectriz de un ángulo.
3. 𝛼 = 𝛼′ = 𝛽 = 𝛽′; de 1 y 2 consecuencia de la medida en ángulos.
4. 𝑚 = 𝛽 + 𝑚 + 𝛼; suma medidas angulares.
5. 𝑂 está entre 𝐶 y 𝐵; de i. definición ángulos opuestos por el vértice.
6. es llano; de 5 definición ángulo llano.
7. 𝑚 = 180°; de 6 consecuencia de la medida angular.
8. 𝑚 = 𝑚 + 𝛼 + 𝛼′; suma medidas angulares.
)(XOC
AOB
COD
AOB
COD
NOM
AOB
COD
)(NOM
)(COA
COB
)(COB
)(COB
)(COA
Hipótesis
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis
Hipótesis
9. 𝑚 = 𝑚 + 𝛼 + 𝛽; sustitución de 3 en 8.
10. 𝑚 = 𝑚 ; transitividad 4 y 9.
11. 𝑚 = 180°; transitividad 7 y 10.
12. es llano; de 11, propiedad de la medida.
13. 𝑂𝑀 y 𝑂𝑁 son opuestas; de 12 definición ángulo llano.
Ilustración N°4
Sean A-B-C-D tales que 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷. Expresar a 𝐴𝐶 en términos de 𝐴𝐵 y 𝐴𝐷 únicamente.
i. A-B-C-D
ii. 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷
Tesis: Hallar 𝐴𝐶 = 𝑓( AB, 𝐴𝐷)
Demostración.
1. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ; de A-B-C-D: Postulado de la adición de medida de segmentos.
2. 𝐴𝐶 = AB +3
2 𝐶𝐷; de la hip: 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷 y se sustituye en 1.
3. 𝐴𝐶 = AB +3
2 (𝐴𝐷 − 𝐴𝐶); por propiedad de la medida, en la gráfica: 𝐴𝐷 = AC + 𝐶𝐷.
4. 𝐴𝐶 = AB +3
2 𝐴𝐷 −
3
2𝐴𝐶 ; propiedad de los reales.
5. 𝐴𝐶 +3
2𝐴𝐶 =
2𝐴𝐵+3 𝐴𝐷
2; razón de 4.
6. 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵+3 𝐴𝐷
5; de 5. Propiedad de reales.
)(COB
)(COA
)(COB
)(NOM
)(NOM
NOM
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
top related