cantidades vectoriales

Sistemas de coordenadas. Vectores. Álgebra vectorial. Producto escalar. Producto vectorial.

VECTORES

Ing. Rodolfo Nicolás González Rodríguez

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PUNTO EN EL ESPACIO CARTESIANO

Mg. Yuri Milachay 3

PUNTO SOBRE LA SUPERFICIE TERRESTRE

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Earth_Centered_Inertial_Coordinate_System.png

Existen otros sistemas de coordenadas

¿CUÁL ES LA POSICIÓN DE B RESPECTO DE A?

A

B

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PREGUNTAS

• ¿Qué sistema de coordenadas has utilizado con más frecuencia?

• ¿Cómo se determina la posición en ese sistema?

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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

• Existen magnitudes físicas como la velocidad y la fuerza que para quedar definidas requieren conocer la dirección, mientras que otras como la temperatura o la masa, no.

• A las magnitudes que poseen dirección se les denomina vectoriales. Las otras magnitudes se denominan escalares.

• Un ejemplo de magnitud vectorial: el desplazamiento.

• Un ejemplo de magnitud escalar: la distancia recorrida.

Distancia recorrida

desplazamiento

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VECTOR

• Las magnitudes vectoriales se operan con ayuda de entes matemáticos llamados vectores, los cuales se representan geométricamente como líneas orientadas (flechas).

• La longitud de la flecha indica el valor de la magnitud física (módulo), y el ángulo que forma con el origen de arcos indica su dirección.

60

Mód

ulo o

mag

nitud

origen

F

dirección

a

F 30 N

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NOTACIÓN VECTORIAL

• Los vectores se denotan con letras mayúsculas con una flecha arriba.

• También se denotan mediante letras mayúsculas en negrita.

• El valor numérico o módulo del vector se denota con una letra mayúscula normal o con ayuda del símbolo de valor absoluto.

A

A

A��������������

A

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VECTORES IGUALES Y VECTORES OPUESTOS

• Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo y la misma dirección.

• Dos vectores son opuestos si tienen el mismo módulo pero direcciones opuestas.

A

B

180

A

B

A B

A B

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SUMA VECTORIAL. MÉTODO DEL POLÍGONO

• Para sumar vectores con el método gráfico se unen de manera consecutiva la punta de un vector con la cola del siguiente. La resultante se obtiene uniendo la cola del primer vector con la punta del último.

• Esta operación es conmutativa; es decir, puede cambiarse el orden de los vectores que se están sumando y la resultante será la misma.

R

A

B

A B R

R

B A R

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MÉTODO GRÁFICO. PARALELOGRAMO

• Dados dos vectores, A y B, se pide calcular su resultante.

B

A sen

1 A sentn

B Acos

a a

A

A cos

2 2R A B 2ABcos

f

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MÉTODO DE COMPONENTES VECTORIALES

• El vector A puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de componentes del vector A.

• Ax y Ay se denominan componentes del vector A y se pueden calcular mediante la siguiente relación:

A

xA

yA

x yA A A

xA Acos

yA Asen

2 2x yA A A

y1

x

Atan ( )

A

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VECTORES UNITARIOS

• Un vector unitario es un vector con magnitud 1, no tiene unidades y su fin es especificar una dirección. El vector unitario i tiene la dirección del eje +x y el vector j la dirección +y.

• Escriba en función de los vectores unitarios cada uno de los desplazamientos realizados por un cartero en el recorrido de la ruta mostrada en la figura.

j

i

x yA A i A j

A

xA

yA

j

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SUMA DE VECTORES. MÉTODO DE LAS COMPONENTES

• Para sumar dos o más vectores por el método de las componentes, debe escribir cada uno de los vectores a través de sus componentes y luego sumar independientemente las componentes x y y de dichos vectores.

• Calcule el desplazamiento total de cartero del ejercicio anterior utilizando el método de las componentes.

x yA A i A j

x yB B i B j

x yC C i C j

x x x y y yR (A B C ) i (A B C ) j

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EJERCICIO

• Calcule la resultante de los vectores A y B mostrados en la figura.

• Calcule la resultante de los vectores A y B mostrados en la figura.

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EJERCICIO

• El vector A tiene componentes Ax = 1,30 cm, Ay = 2,55 cm; el vector B tiene componentes Bx = 4,10 cm, By =-3,75 cm. Calcule: a) las componentes de la resultante A+B, y b) la magnitud y dirección de B-A

ˆ ˆA (1,30cm)i (2,55cm)j

ˆ ˆB (4,10cm)i (3,75cm)j

ˆ ˆA B (5,40cm)i (1,20cm)j

2 2A B (5,40cm) ( 1,20cm)

A B 5,53cm

ˆ ˆB A (2,80cm)i ( 6,30cm)j

2 2B A (2,80cm) ( 6,30cm)

1 1,20cmtan 12,5º

5,40cm

B A 6,89cm

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EL PRODUCTO PUNTO

• Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define:

• El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es:

• La expresión se lee : A punto B.

• Ej. de producto punto:

A B

ABA B A.B.Cos

=

A B B A

Trabajo W F r

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EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)

• El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuación:

• Sean los vectores A y B:

• produce la suma de 4 términos escalares, y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en coordenadas cartesianas, entonces se cumple que:

• Resultando que:

i i 1; j j 1; i j 0

x y

x y

A A i A j

B B i B j

x x y yA B A B A B

A B

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• Una aplicación del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una dirección dada. Por ejemplo, la componente escalar del vector B en la dirección del vector unitario u, se expresa:

• La componente tiene signo positivo si se cumple que: • y negativo cuando:

EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)

BuB u B u cos

Bu0 90

Bu90 180

u

B

B u

Bu

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EJERCICIO

• Se tienen los siguientes tres puntos del espacio. P(-2,3,-2) , Q(1,-1,4) y R(0.-3,0) los cuales forman un triángulo. Encontrar:

• a) La longitud de cada lado del triángulo.• b) Los ángulos internos del triángulo.

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EJERCICIO

• En la figura se muestra un paralelepípedo, de base ABCD y altura 5,00 m. Si los vértices de la base ABCD son A(0,0,0); B= (1,80 m; 0 ;2,40 m) y C = (0 ; 0,600 m; 0), determine un vector perpendicular al plano ABCD.

EJERCICIO

• Si el producto escalar de dos vectores es 6, el módulo de uno de los vectores es 3 y el del otro, 4, halle el módulo de la suma de estos dos vectores.

• Dados los vectores

Halle:

a) y

b) El ángulo formado por y

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A B (11, 1,5)

A B ( 5,11,9)

A

B

A

A B

EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)

• Los tres vértices de un triángulo se encuentran en A(6,0;-1,0), B(-2,0;3,0) y C(-3,0;1,0), encontrar:

• El ángulo θBAC en el vértice A

• La proyección vectorial de RAB en RAC

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EL PRODUCTO CRUZ

• Dados dos vectores A y B, el Producto Cruz o Producto Vectorial, se define:

• En este caso el subíndice N hace referencia a la normal.

• La expresión se lee : A cruz B.

• La dirección de está en la dirección del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B.

N ABA B a A B Sen

A B

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EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)

• El producto cruz no es conmutativo, puesto que :

• De lo anterior se verifica que:

• A continuación, se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas:

i j k; j k i

k i j; j i k

k j i; i k j

i i 0; j j 0

k k 0;

y z z y z x x z

x y y x

A B A B A B i A B A B j

A B A B k

x y z

x y z

i j k

A B A A A

B B B

A B B A

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EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)

• Un triángulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-3,1,5), encontrar:

a) RAB x RAC

b) El área del triángulo

c) Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triángulo.

• Nota. Las medidas se escriben con un decimal.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. SEARS ZEMANSKY . FISICA UNIVERSITARIA. VOL 1. Ed.12. 2009

2. WILSON BUFFA. FISICA. 2007

3. RESNICK HALLIDAY. FUNDAMENTOS DE FISICA TOMO 1 . 2008

4. REYMOND SERWAY. FISICA. 2004