antiderivadas

Cálculo IntegralAntiderivadas

M. en C. Juliho Castillo31 de enero de 2017

Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana

1

1 Antiderivadas

Ejercicios Resueltos

Evaluación continua

2

Antiderivadas

3

Si F ′(x) = f(x), diremos que F es una antiderivada de f.

4

Ejemplo 1.1.

x3 es una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3

)= 3x2

Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3 + 5

)= 3x2

5

Ejemplo 1.1.

x3 es una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3

)= 3x2

Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3 + 5

)= 3x2

5

Ejemplo 1.1.

x3 es una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3

)= 3x2

Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3 + 5

)= 3x2

5

Ejemplo 1.1.

x3 es una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3

)= 3x2

Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...

Dx

(x3 + 5

)= 3x2

5

En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.

Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que

F (x) = G(x) + C.

Diremos que C es una constante de integración.

6

En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.

Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que

F (x) = G(x) + C.

Diremos que C es una constante de integración.

6

En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.

Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que

F (x) = G(x) + C.

Diremos que C es una constante de integración.

6

∫f(x)dx denotara cualquier antiderivada de f(x) más una

constante de integración.

Diremos que f(x) es el integrando, mientras que∫

f(x)dx esllamada integral indefinidad.

7

∫f(x)dx denotara cualquier antiderivada de f(x) más una

constante de integración.

Diremos que f(x) es el integrando, mientras que∫

f(x)dx esllamada integral indefinidad.

7

Ejemplo 1.2.

1 ∫xdx = 1

2x2 + C

2 ∫− sin(x)dx = cos(x) + C

8

Ejemplo 1.2.

1 ∫xdx = 1

2x2 + C

2 ∫− sin(x)dx = cos(x) + C

8

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).

1∫

0dx = C

2∫

1dx = x + C

3∫

adx = ax + C

4∫

xrdx = xr+1

r + 1 + C, r = −1

5∫

af(x)dx = af(x) + C

6∫

(f(x) + g(x)) dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

7∫

(f(x) − g(x)) dx =∫

f(x)dx −∫

g(x)dx

9

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Ejemplo 1.3.

1∫

3√

xdx =2

∫ 1x2 dx =

3∫

7x3dx =4

∫(x2 + 4) dx =

5∫

(3x6 − 4x) dx =

10

Con las reglas (3)-(7), podemos calcular la antiderivada decualquier polinomio.

Ejemplo 1.4.

∫ (6x8 − 2

3x5 + 7x4 +√

3)

dx =

11

Proposición 1.2 (Regla 8, fórmula rápida).

∫(g(x))r g′(x)dx = 1

r + 1 (g(x))r+1 + C

para r 6= −1.

12

Ejemplo 1.5.

∫ (13x3 + 7

)5x2dx =

13

Ejemplo 1.6.

∫ (x2 + 1

)2/3xdx =

14

Proposición 1.3 (Regla 9, método de sustitución).

∫f (g(x)) g′(x)dx =

∫f(u)du

donde u = g(x), du = g′(x)dx.

Véase el ejericicio resuelto 5

15

Ejemplo 1.7.

Encuentre ∫x sin(x2)dx =

16

Ejemplo 1.8.

Encuentre ∫sin(x/2)dx =

17

18

Antiderivadas

Ejercicios Resueltos

19

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).

1∫

(s3 + 2)2 (3s2)ds =2

∫(x3 + 2)1/2

x2dx =

3∫ 8x2

(x3 + 2)3 dx =

4∫ x2dx

4√

x3 + 2dx =

5∫

3x√

1 − 2x2dx =6

∫ 3√

1 − x2xdx =7

∫sin2(x) cos(x)dx =

20

Ejercicio Resuelto 2.

1∫ cos(

√x)√

xdx =

2∫

x sec2(4x2 − 5)dx =3

∫x2√x + 1dx =

21

Ejercicio Resuelto 2.

1∫ cos(

√x)√

xdx =

2∫

x sec2(4x2 − 5)dx =3

∫x2√x + 1dx =

21

Ejercicio Resuelto 2.

1∫ cos(

√x)√

xdx =

2∫

x sec2(4x2 − 5)dx =3

∫x2√x + 1dx =

21

Ejercicio Resuelto 3.

Una piedra se lanza hacia arriba desde el suelo, con unavelocidad inicial de 64ft/s.

1 ¿Cuándo alcanzará su altura máxima?2 ¿Cuál será su altura máxima?3 ¿Cuándo tocará el suelo?4 ¿Cuál será su velocidad al tocar el suelo?

22

Ejercicio Resuelto 4.

Encuentre la ecuación de una curva en el plano xy que pasapor el punto (0, 1) y cuya pendiente es igual a la altura encada punto (x, y).

23

Ejercicio Resuelto 5.

Justifique el método de sustitución (1.3).

24

Antiderivadas

Evaluación continua

25

Evaluación Continua 1 (Antiderivadas).En los siguientes problemas, puede utilizar cualquier regla paraantiderivadas.

1∫

(x − 1)2 xdx

2∫

(x2 − x)4 (2x − 1) dx

3∫ x + 1√

x2 + 2x − 4dx

4∫ (1 +

√x)2

√x

dx

5∫ (x + 1)(x − 2)√

xdx

6∫

sec(3x) tan(3x)dx

7∫

csc2(2x)dx

8∫

x sec2(x2)dx

9∫

tan2(x)dx

10∫

cos4(x) sin(x)dx

11∫ dx√

5 − x2

12∫ sec2(x)dx

1 − 4 tan2(x)

26

Bibliografía

Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 22``Antiderivatives'' de nuestro libro de texto ``Ayres,F. and Mendelson, E.;``Calculus''; Schaum'sOutlines, McGraw Hill; 5th Edition.''

27