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Analisis de Fourier
Tema final: Transformada de Fourier
4-11 de diciembre
1 Definicion y primeras propiedades
2 Resultados principales
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:
∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de Plancherel
La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de Plancherel
La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:
∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
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