análisis de fourier tema final: transformada de...

Analisis de Fourier

Tema final: Transformada de Fourier

4-11 de diciembre

1 Definicion y primeras propiedades

2 Resultados principales

Definicion y primeras propiedades Resultados principales

Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)

Transformada de Fourier

Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)

al producto escalar de los vectores x e y

Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es

la funcion f : RN → C definida por:

f (y) =∫

RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN

Primeras propiedades

Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

f (y) =∫

| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN

Propiedades de la transformada de Fourier (I)

Notacion: multi-ındices y derivadas parciales

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

Transformadas de Fourier de las derivadas

Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}

)Nescribimos:

|α|=N

∑k=1

αk y yα =N

∏k=1

yαkk = yα1

1 yα22 · · ·yαN

N ∀y ∈ RN

Dα f =∂|α| f

∂xα11 ∂xα2

2 . . .∂ααNN

)N, se tiene:

Dα f (y) =(

Propiedades de la transformada de Fourier (II)

Lema de Riemann-Lebesgue

Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞

f (y) = 0 , luego

la transformacion de Fourier f 7→ f es

un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1

Una funcion que coincide con su transformada de Fourier

Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN

Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,

la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,

luego{‖Gn ∗ f − f ‖1

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

f (y) = 0 , luego

(−π

∑k=1

)∀x ∈ RN ,

}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)

Propiedades de la transformada de Fourier (III)

Traslaciones

Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:

τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .

Entonces τz( f ) = ρz(

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Traslaciones

y ρ−z( f ) = τz(

Dilataciones

δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .

Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)

Un lema clave

Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

Teorema de inversion

Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:

f (x) =∫

RNe2π i(x |y) f (y)dy =

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Un lema clave

h(y) f (y)dy =∫

RNh(y) f (y)dy

f (x) =∫

)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Teorema de unicidad

f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)

Transformada de Fourier en L2(RN)

Lema fundamental

f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,

para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .

Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que

f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion

f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Lema fundamental

h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h

∥∥2 =

∥∥h∥∥

f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f

∥∥2 =

∥∥ f∥∥

F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)

Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)

Teorema de Plancherel

La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico

del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.

Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

f)(−x) p.c.t. x ∈ RN

Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos

ϕn(y) =∫

f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN

ψn(x) =∫

f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN

donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,

se tiene que:{∥∥ϕn− f

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

Teorema de Plancherel

La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

Mas concretamente se tiene:

∥∥ f∥∥

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

2 =∥∥ f

∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)

f (x) =(

ϕn(y) =∫

ψn(x) =∫

∥∥2

}→ 0 y

{∥∥ψn− f∥∥

}→ 0

análisis de fourier tema final: transformada de...

Documents