PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 

En esta parte estudiaremos las propiedades elementales de la transformada de Fourier y sus correspondientes para la transformada inversa. En una sección posterior, ampliaremos esta lista, mediante el estudio de ciertas funciones especiales que se usan muchísimo en el análisis de Fourier, y en otras áreas de la matemática y de la ingeniería. Omitiremos las demostraciones por el bien de la simplicidad. La mayoría de ellas pueden encontrarse en los textos de la bibliografía. 1.   LINEALIDADSi   y    son números y existen las transformadas de Fourier de 

 y  , entonces:

El enunciado correspondiente para la transformada inversa es obvio:Si   y    son números y existen las transformadas de Fourier inversas de

 y  , entonces:

 Ejemplo 1.

Calcular 

.Solución. Aplicando la propiedad de linealidad, tenemos que:

Y aplicando nuestras fórmulas anteriores, concluimos que:

 Ejemplo 2.

Calcular 

Solución. Aplicando la propiedad de linealidad, tenemos que:

Y aplicando nuestras fórmulas anteriores, concluimos que:

Ejemplo 3.

Calcular  .Solución.   Aplicando la propiedad de linealidad vemos que:

 donde suponemos que  se tiene  . 2.   TRASLACIÓN EN EL TIEMPO.

Si   y 

, entonces 

Es decir,  la transformada de Fourier de  la función  trasladada en el tiempo a  , es igual a la transformada de Fourier de   multiplicada por  .Para la transformada inversa, tenemos:

Si  , entonces

 Ejemplo 4.

Calcular  .Solución.  Por aplicación directa de la propiedad de traslación en el tiempo, tenemos que:

 Ejemplo 5.

Calcular   donde 

 Solución. Vemos que se trata de una función pulso, pero trasladada en el tiempo. Para averiguar exactamente que función pulso es, calculamos el punto medio del intervalo

donde “tiene vida” el pulso, es decir, el punto medio del intervalo ,

el cual es 5. Este toma el papel del origen, es decir,  ; el valor

de   es la mitad de la longitud del intervalo , es decir,  , y finalmente, el valor de   es el valor del pulso, es decir, 

.Con todo esto, tenemos que nuestra función es:

Y por lo tanto, aplicando la propiedad de traslación en el tiempo, tenemos que:

 Ejemplo 6.

Calcular  .Solución.  Aplicando la propiedad de traslación en el tiempo, tenemos que:

donde, 

 Por lo tanto, concluimos que:

 Ejemplo 7.

Calcular  .Solución.   Aplicando la propiedad de linealidad, tenemos que:

Enseguida, aplicamos la propiedad de traslación en el tiempo para obtener que:

                                                   

Por lo tanto, concluimos que:

  3.   TRASLACIÓN EN LA FRECUENCIA.

Si    y   es un número, entonces:

En forma inversa:

 Ejemplo 8.

Calcular  .Solución.   Para empezar vemos que:

Aplicamos la propiedad (3) identificando 

 y . Por lo tanto,

 

Ejemplo 9.

Calcular 

.Solución.  Tenemos que:

                                            

 Ejemplo 10.

Calcular  .Solución.  Tenemos que:

Aplicando la propiedad de traslación en la frecuencia, tenemos que:

Por lo tanto, concluimos que:

 Ejemplo 11.

Calcular 

.Solución.  Tenemos que:

 Podemos generalizar un poco el ejemplo anterior, como sigue: Ejemplo 12.

Calcular 

.Solución.  Completando cuadrados en el denominador, tenemos que:

 Ahora, usamos la propiedad de linealidad:

Finalmente, podemos ya usar la propiedad de traslación en la frecuencia:

Por lo tanto, concluimos que:

 Finalmente, veamos que se pueden combinar varias propiedades, como en el siguiente: Ejemplo 13.

Calcular  .Solución.  Obviamente, primero aplicamos la propiedad de linealidad y algo de álgebra:

Enseguida aplicamos la propiedad de traslación en la frecuencia:

Finalmente, aplicamos la propiedad de traslación en el tiempo:

Por lo tanto, concluimos que:

 Obviamente podemos pasarnos un buen tiempo exponiendo y explicando  transformadas de Fourier o transformadas inversas, pero como en toda la matemática, solamente la práctica nos puede dar esa seguridad que se necesita para seguir avanzando en la materia. Al final de esta unidad, incluimos varios ejercicios para que el estudiante se ejercite en ellos. Nosotros por nuestra parte, seguiremos avanzando en las propiedades básicas. Enunciaremos varias de ellas y posteriormente veremos algunos ejemplos. 4.   ESCALAMIENTO

Si   y 

, entonces:

 En forma inversa:

donde,

 5.   INVERSIÓN DEL TIEMPO

Si    entonces,

En forma inversa:

donde,

 6.   SIMETRÍA

Si   entonces

En forma inversa:

 7.   MODULACIÓN

Si   y 

, entonces

 En esta última propiedad, la forma inversa resulta demasiado confusa y poco práctica, y por lo mismo no la escribiremos. Veamos algunos ejemplos de estas últimas propiedades: Ejemplo 14.

Calcular  .Solución. Por la propiedad de inversión del tiempo, tenemos que:

 Ejemplo 15.

Calcular  .

Solución.  Sabemos  que 

, de  donde, 

.  Así  pues,podemos aplicar la propiedad de simetría con 

  y 

. Por lo tanto, tenemos que:

De hecho, acabamos de demostrar otra fórmula de transformadas de Fourier! Ejemplo 16.

Calcular .Solución.  Nuevamente usaremos la propiedad de simetría, ya que sabemos que:

Por lo tanto, si hacemos   

 y  , entonces vemos que:

 Ejemplo 17.

Calcular .Solución.  Por la propiedad de simetría tenemos:

donde:

Por lo tanto, sustituyendo nos da que:

 Ejemplo 18.

Calcular  donde:

 Solución.  Vemos que:

  Por lo tanto, podemos escribir  a  f(t) como:

donde:

Podemos entonces usar la propiedad de modulación, para obtener que: