2009 201022009

Grupo 7

Amortización y fondos de amortización

Matemáticas Financiera

AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION

Dedicatoria………………………………………………………….5

Agradecimiento…………………………………………………..6

Presentación………………………………………………………..7

Objetivo general………………………………………………….8

Objetivo especifico………………………………………………9

Amortización……………………………………………………..10

Cálculo de cuota o deuda…………………………………..12

Cálculo insoluto y tabla de amortización gradual..14

Cálculo del saldo insoluto……………………………………17

Reconstrucción de la tabla de amortización…….… 19

Periodo de gracia………………………………………………..20

Derechos del acreedor y del deudor……………………23

Amortizaciones con reajustes de tasas de interés.25

Cálculo de la renta cuando no coincide el periodo de pago con el periodo de capitalización……………. 28

Fondos de amortización o de valor futuro………….30

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El saldo insoluto en fondos de amortización………..33

La unidad del valor constante (UVC)……………………34

Recomendaciones……………………………………………….38

Conclusiones……………………………………………………….39

Anexos…………………………………………………………..

Bibliografía…………………………………………………..

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Dedicatoria

Este trabajo investigativo lo dedicamos de manera especial a Dios por darnos el entendimiento y a nuestros padres, por brindarnos su apoyo moral y económico.

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Agradecimiento

Nuestro mas sincero agradecimiento al Ing. Civil Rafael Salcedo Muñoz profesor guía que nos supo impartir sus conocimientos para poder realizar nuestro trabajo investigativo de la mejor manera.

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PRESENTACION

En el área financiera amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente son iguales y que se realizan en intervalos de tiempo iguales, aunque también se llevan a cabo operaciones con algunas variantes, este sistema es utilizado por bancos, cooperativas, mutualistas, financieras, etc. en lo que representa al crédito a mediano y largo plazo, ya sea para la compra de bienes inmuebles, como: terrenos, casas o departamentos, etc.

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OBJETIVO GENERAL

Conocer y manejar el proceso de amortización gradual, así como el proceso deformación de fondos de valor futuro

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OBJETIVOS ESPECIFICOS

Explicar que es amortización y fondo de amortización, así como sus semejanzas y diferencias

Construir tablas de amortización y de fondo de amortización

Determinar el saldo acreedor y el deudor en cualquier tiempo

Calcular el monto de los pagos o la tasa de interés o el plazo en operaciones de amortización

Elaborar las tablas de valor futuro

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AMORTIZACIONAmortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos, es muy común la utilización del termino amortizar como el proceso de extinción de una deuda, con su interés compuesto con el objeto de extinguir una deuda futura. Los valores de amortizaciones y delos fondos de amortización se calculan con la formula de anualidades adecuada según la situación. Las tablas de amortización y de fondos de amortización muestran la forma como se van modificándolas condiciones de un periodo a otro.

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Formula de la renta

R= A

1−(1+i )−n

i

Formula del valor actual

A = R[ 1−(1+i)−k

i ]Formula de la renta en función del monto

R=

S(1+i )−1

i

Formula del monto

S = R [ (1+ i)m−1i ]

CALCULO DE LA CUOTA O RENTA

En amortización cada pago sirve para cubrir los intereses y reducir el capital; es decir, cada pago esta compuesto por capital e interés. El pago constante en su cantidad, varía según el número de periodos de pago: mientras aumenta el número, disminuirá el interés y se incrementará el capital por cuota.

R R R R R R

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Interés Capital

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ES DECIR: Cuando el numero de cuotas es grande, en las primeras cuotas se paga más interés y en las últimas más capital. Para el cálculo de la cuota o renta se utiliza la formula de la renta en función del valor actual de una anualidad vencida. R= A

1−(1+i )−n

i

EJEMPLO

Un colegio consigue un préstamo de $3.000.000 con un intereses a 15% anual capitalizable semestralmente, el cual será amortizado mediante pagos iguales, cada semestre, durante 3 años y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral.

Solución:

R =?

A = 3.000.000

i = 0.14/2 =0.07

n = [(3) (12) + 6]/6 = 7

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R= A

1−(1+i )−n

i

=30000001−(1+0 .07 )−7

0 .07

=30000005.389289

=556659 .66

CAPITAL INSOLUTO Y TABLA DE AMORTIZACION

La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses a reducir y a reducir el importe deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo

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El pago semestral será $ 556.659.66. En la cuota esta incluidos el interés y el capital, este ultimo se lo utiliza para reducir la deuda. Con el transcurso de cuotas pagadas, disminuye el interés y aumenta el capital

Fecha Pago semestral

Interés vencido

Amortización

Saldo

3000000Fin de semestre1

556.659,66

210.000,00

346.659,66 2.653.340,34

Fin de semestre2

556.659,66

185.733,82

370.925,84 2.282.414,20

Fin de semestre3

556.659,66

159.769,01

396.890,65 1.885.523,90

Fin de semestre4

556.659,66

131.986,67

424.672,95 1.460.850,90

Fin de semestre5

556.659,66

102.259,56

454.400,10 1.006.450,90

Fin de semestre6

556.659,66

70.451,56 486.208,10 520.242,70

Fin de semestre7

556.659,66

36.146,99 520.242,70 0,00

Lo que se puede observar en la tabla:

El interés vencido al final del primer periodo es

I = Cit; I = 3.000.000 (0.07) (1) = $210.00

El Capital pagado al final del primer periodo es

Cuota – interés = 556.659,66 – 210.000 = $ 346.659.66

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El capital insoluto para el segundo periodo es

= 3.000.000 – 346.659.66 = $2.653.340.34

La amortización es igual al pago menos los intereses. En cada periodo subsecuente, cada vez va siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortización, ya que al mismo tiempo también van disminuyendo tanto el saldo como los intereses correspondientes.

Se puede ver claramente cuanto es lo que

se resta por pagar al final de cada

semestre: el saldo. En la tabla se puede apreciar: Los Pagos: la cantidad que se debe pagar

en cada periodo y en que parte sirve para pagar los intereses correspondientes y en parte para amortizar el saldo dela deuda.

Las amortizaciones: la parte de cada pago (Pago menos intereses) que se aplica a la reducción del saldo deudor

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CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO

El calculo insoluto puede calcularse para cualquier periodo utilizando la formula del valor actual de una anualidad, con ligeras variaciones.

EJEMPLO:

R R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6

RENTA $ 5556.659,66El capital insoluto después del quinto pago es el valor actual de los periodos que faltan por cubrirse: Sea P el saldo insoluto, m el numero de cuotas, n el numero total de cuotas y k el numero de cuotas que quedan por pagar.Entonces: k = n – m k = 7 – 5 = 2

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En consecuencia, se tiene la siguiente formula del saldo insoluto:

Pm = R

P5 = 556.659,66 [ 1−(1+0 .07)−2

0.07 ]P5 = $ 1.006.450,78

Valor que se halla en la tabla de amortización como capital insoluto al principio de sexto periodo o, lo que es igual, el capital insoluto del quinto periodo.

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[1−(1+i)−k

i ]

RECONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE AMORTIZACIÓN

La tabla de amortización puede rehacerse en cualquier periodo; para ello es necesario calcular primero el saldo insoluto en ele periodo que queremos rehacer la tabla, y luego el interés y el capital que correspondan a la determinada cuota.

EJEMPLO:

Una deuda de $ 4.500.000 se va a cancelar en 3 años mediante el sistema de amortización, con pagos al final de cada semestre a una tasa de intereses de 12% capitalizable semestre. Calcular la cuota semestral y elaborar la tabla de amortización con interés sobre saldos deudores.

n = (3) (12) /6 = 6; i = 0.12/2 = 0.06

R=

A

1−(1+i)−n

i

= 4 .500 .000

1−(1+0 .06 )−6

0 .06

R=

4 .500 .0004 ,917324 = $ 915.131,83

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PERIODO DE GRACIACon frecuencia se realizan prestamos a largo plazo con la modalidad de amortización gradual, en que se incluye un periodo sin que se paguen cuotas (generalmente sólo se paga el interés), el cual se denomina periodo de gracia, con el depósito de permitir a las empresas o instituciones operar libremente durante un tiempo y luego cubrir las cuotas respectivas.

EJEMPLO:

Una empresa consigue un préstamo por un valor de $ 20.000.000 a 10 años plazo, incluidos 2 de gracia, con una tasa de interés de 9 ½ % anual capitalizable semestral, para ser pagado mediante cuotas semestrales por el sistema de amortización

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TABLA DE AMORTIZACIÓN

Periodo Saldo insoluto *inicio

periodo*

Interés Renta Capital pagado Saldo deuda *final

periodo*1 $ 4.500.000 $ 270.000.00 $ 915.131,83 $ 645.131,83 $ 3. 854.868,17

2 3.854.868,17 231.292,09 915.131,83 683.839,74 3.171.028,433 3.171.028,43 190.261,71 915.131,83 724.870,12 2.446.158,314 2.446.158,31 146.769,50 915.131,83 768.362,33 1.677.795,985 1.677.795,98 100.667,76 915.131,83 814.464,06 863.331,926 863.331.91 51.799,92 915.131,83 863.331,92 0

Total $ 990.790,98 $5.490.790,98 $4.500.000,00

gradual; la primera cuota deberá pagarse un semestre después de un periodo de gracia. Calcular la cuota semestral y el saldo insoluto inmediatamente después de haber pagado la cuota 5 y la distribución de la cuota 6, en lo que respecta al capital e intereses.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 años

Periodo de gracia

Periodo de pago: (8) (2) = 16 cuotas

En seguida se presenta la grafica para el saldo insoluto k = 16 – 5 = 11

11 cuotas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Semestres

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 años

R=

20 .000.000

1−(1+0 .0475)−16

0 .0475 = $ 1.812.706,18

P= 1.812.706,18 [ 1−(1+0 .0475)−11

0 .0475 ] P= 15.256.752, 17 saldo insoluto por pagar (de capital, excluido interés)

La composición de la cuota 6 será, tanto el interés como de capital; l = (15.256.752) (0.0475) = $ 724.695,73 de interés Cuota – Interés = Capital pagado por cuota 1.812.706,18 – 7240695,73 = $1.088.010,45

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DERECHOS DEL ACREADOR Y EL DEUDOR

Se adquiere un bien a largo plazo, o se está pagando una deuda por el sistema de amortización gradual, es común querer conocer qué parte de la deuda está ya pagada en determinado tiempo o también cuales son los derechos del acreedor (parte por pagar) o los derechos del deudor (parte pagada).La relación acreedor deudor se pude representar mediante la siguiente ecuación:

Derechos del acreedor + Derechos del deudor = Deuda

DA + DD = DO

O también; Saldo insoluto + Parte amortizada = Deuda

original.

EJEMPLO:Una persona adquiere una propiedad mediante un préstamo hipotecario de $1.200.000 a 15 años de plazo. Si debe pagar la deuda en cuotas mensuales iguales y se considera una tasa de interés de 1.5%

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mensual, calcular los derechos del acreedor y el deudor inmediatamente después de haber pagado la cuota120.

Se calcula el valor de la cuota mensual.i = 0.015 n = (15) (12) = 180 cuotas

R=

1 .200 .000

1−(1+0 .015)−180

0 .015 = $ 19.325,05

Se expresa el problema gráficamente:

120 cuotas 60 cuotas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 años

180 cuotas

Saldo insoluto + Parte amortizada = Deuda original

19.325,05 [1−(1+0 .015)−60

0 .015 ] + Parte amortizada

= $1.200.000761.025,67 + Parte amortizada = $ 1.200.0001.200.000 – 761.025,67 = Parte amortizada

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$ 438.974,33 = Parte amortizada.La parte amortizada constituye los derechos del deudor, que son $ 438.974,33.Por tanto, luego de la cuota 120, se tiene que:

Derechos de acreedor + Derechos de deudor = Deuda original

761.025,67 + 438.974,33 = 1.200.000

Es decir que, inmediatamente después que el deudor pague la cuota 120, sus derechos sobre la propiedad que adquiere son 4 438.974,33 y el saldo de la deuda o saldo insoluto es $ 761.025,67 (derechos de acreedor).

AMORTIZACIONES CON REAJUSTE DE LA TASA DE

INTERÉSEn el medio financiero es frecuente realizar contrataciones de préstamos con el sistema de amortización gradual, en cuyas clausulas se establece que la tasa de interés puede reajustarse

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cada cierto tiempo, de acuerdo con las fluctuaciones del mercado.Existen tipos de problemas que se necesita calcular el saldo insoluto luego de haber pagado la última cuota y calcular el valor de la cuota con la nueva tasa de interés y rehacer la tabla de amortización.

EJEMPLO:Una empresa obtiene un préstamo de $ 500.000.000 a 5 años plazo con una tasa de interés de 30 % anual capitalizable trimestralmente, que debe ser pagado en cuotas trimestrales por el sistema de amortización gradual.

a) Calcular el valor de la cuota trimestral b) Construir la tabla de amortización en los

periodos 1 y 2.c) Si la tasa de interés se reajusta a 24% anual

capitalizable trimestralmente luego del pago 16, calcular la nueva cuota trimestral y reconstruir la tabla en los periodos 17, 18, 19 y 20.

a) Se calcula la renta

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R=

500 .000.000

1−(1+0 .075)−20

0 .075 = $ 49.046.095,82

b) Se construye la tabla para los periodos 1 y 2.

Periodo Saldo Insoluto Interés Renta Capital pagado por cuota

1 $500,000,000,00 $37,500,000,00 $49,046,095,82 $11,546,095,822 $488,453,904,18 $36,634,042,81 $49,046,095,82 $12,412,053,01

c) La tasa de interés se reajusta a 24% anual capitalizable trimestralmente luego del pago 16. Por consiguiente, se calcula el saldo insoluto luego del pago 16.

P 16= 49.046.095.82 [ 1−(1+0 .075)−4

0 .075 ]=

$164.271.37.15

Calculemos la nueva renta:

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R =

164 .271.377 ,15

1−(1+0.069−4

0 .06 = $47.407.321.87Reconstruimos la tabla con la nueva renta y la tasa de interés de 24% anual capitalizable trimestralmente.

Periodo Saldo Insoluto Interés Renta Capital pagado por cuota

17 $164,271,377,15 $9,856,2828,62 $47,407,321,87 $37,551,039,2518 $126,720,337,85 $7,603,220,27 $47,407,321,87 $39,804,101,6019 $86,916,236,20 5,214,974,17 $47,407,321,87 $42,192,347,6920 $44,723,888,50 $2,683,433,31 $47,407,321,87 $44,723,888,60

CÁLCULO DE LA RENTA CUANDO NO COINCIDE EL PERIODO DE PAGO CON EL

PERIODO DE CAPITALIZACIÓNCuando se debe calcular la renta y el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización, o viceversa, es necesario transformar la tasa de interés o la capitalización utilizando la ecuación de equivalencia estudiada en el capitulo quinto, de manera que coincidan tanto la capitalización como el periodo de pago.

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EJEMPLO: Una empresa obtiene un préstamo hipotecario de amortización gradual por un valor de $90.000.000 a 5 años de plazo, a una tasa de interés de 30% anual capitalizable semestralmente, que debe pagarse en cuotas trimestrales. Calcular el valor de la cuota trimestral.¿A que tasas anual capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa de 30% anual capitalizable semestralmente?

A partir de la ecuación de equivalencia.(1 + 0.30/2) 2 = (1 + j / 4)4

j = 28.9522 % anual capitalizable trimestralmente.Luego se calcula la renta:

i = 0.289522 / 4 = 0.072381; n = (5) (12) / 3 = 20

R =

90 .000 .000

1−(1+0 .072381)−20

0 .072381 = $ 8.653.213.19

FONDOS DE AMORTIZACIÓN O DE VALOR FUTURO.

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** Un fondo de amortización es una cantidad que se va acumulando mediante depósitos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un numero determinado de periodos se obtenga un monto prefijado**

Los fondos de amortización son depósitos periódicos que ganan interés con la finalidad de acumular un determinado capital; este sistema se utiliza para reposición de activos fijos, crear fondos de reserva, pagar presentaciones futuras, seguros, etc.Se puede calcularse mediante la formula del monto de una anualidad, puesto que la fecha focal como referencia es el termino de la anualidad, fecha en la que se debe completar el capital o cantidad prefijada.

EJEMPLO:Una empresa debe acumular un capital de $6.000.000 en tres años mediante depósitos

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semestrales es una institución financiera que le reconoce una tasa de interés de 14% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota semestral y elaborar la tabla de amortización correspondiente. Se calcula la cuota:

S = $6.000.000; n = (3) (2) = 6; i = 0.14/2 = 0.07

R=

S(1+i )−1

i

R=6 .000.000

(1+0.07 )6−10 .07

=6 .000 .0007 ,153291

=$ 838.774 ,77

Luego se elabora la tabla.

TABLA DE FONDO DE AMORTIZACION O DE VALOR FUTURO

Periodo Depósito o Aumento de Total añadido Fondo

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renta interés al fondo acumulado 1 $838,774,77 $838,774,77 $838,774,772 $838,774,77 $58,714,23 $897,498,00 $1,736,263,773 $838,774,77 $121,538,46 $960,313,23 2,696,577,004 $838,774,77 $188,760,38 $1,027,535,15 $3,724,112,155 $838,774,77 $260,687,85 $1,099,462,61 $4,823,574,766 $838,774,77 $337,650,47 $1,176,425,24 $6,000,000,00

Total $5,032,648,62 $967,351,39 $6,000,000,00

Forma de cálculo En el primer periodo solamente se registra el valor dela renta. En el segundo periodo se consideran los intereses generados por la primera renta:

l = (838.774.80) (0.07) = $ 58.714.23Se suman los intereses más la renta y se tiene,Total añadido al fondo = 58.714.23 + 838.774.77 =

$ 897.489El fondo acumulado al final del periodo se obtiene sumando el total añadido al fondo más el fondo acumulado del periodo anterior:

Fondo acumulado al final del periodo = 897.489 +838.774.77 = $1.736.263.77.

Y así sucesivamente hasta el último depósito o renta con el cual se acumula el monto de $6.000.000.

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EL SALDO INSOLUTO EN FONDOS DE AMORTIZACION.

En los fondos de valor futuro también se puede calcular el denominado saldo insoluto, que en este caso es lo que queda por acumular para conseguir el monto prefijado, sin tener que elaborar toda la tabla. Para el afecto se utiliza la siguiente ecuación: Saldo insoluto = Monto – valor acumulado

Saldo insoluto = M – R [ (1+ i)m−1i ]

Donde m es el número de depósito o renta.

EJEMPLO:Una empresa requiere construir un fondo de amortización de $500.000.000 mediante depósitos trimestrales durante 4 años, con el propósito de remplazar cierta maquinaria. Si se considera una tasa de interés de 15% anual capitalizable trimestralmente, ¿Cuál será el valor acumulado inmediatamente después de haber hecho el deposito 12?

Primero se calcula la renta o depósito trimestral,

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n= (4) (12) / 3 = 16 i = 0.15 /4 =0.0375

R=

500 .000.000

(1+0.3759 )16−10 .0375

=$23 .372.413 , 48

Luego, el valor acumulado en el periodo 12.

S= 23.372.413.48 [ (1+0 .0375 )12−10 .0375 ]

= $346.194.883.03

Por ultimo, el saldo insoluto inmediatamente después del periodo 12.

S.I = 500.000.000 – 346.194.888 = $ 153.805.111.97

LA UNIDAD DEL VALOR CONSTANTE (UVC)

Es un instrumento financiero que sirve como referencia para mantener el valor del dinero. Las obligaciones de dinero activas y pasivas expresadas en UVC deben tener u plazo mínimo de 365 días; es decir, es un instrumento financiero a largo plazo. La UVC tiene un valor inicial que se pude ajustar diariamente, de acuerdo con la

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inflación (generalmente con la variación mensual del índice de precios al consumidor).Si tenemos una UVC de $10.000 y la inflación mensual es de 2%, el valor de la UVC será:

UVC = 10.000 (1 + 0.02) = $ 10.200La UVC protege el ahorro y facilita el endeudamiento a largo plazo pues la persona que se endeuda en UVC, por una determinada cantidad, paga su deuda en UVC al valor que esté en el día de pago.

Cálculo del ajuste de la UVC.El valor de la UVC puede calcularse a la fecha que se desee, de acuerdo con el sistema de cálculo que se utilice. Al utilizar la formula siguiente, aprobada por la autoridad financiera y monetaria competente, que en este caso es la Junta Monetaria, se tiene:

Vf = Vu (IPC n- I / IPC n – 2) df/dm

En donde:

Vf = valor de la UVC de la fecha actualVu = valor de la UVC del ultimo día del mes anterior

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IPC n – l = índice de precios al consumidor correspondiente al mes inmediatamente anterior.IPC n – 2 = índice de los precios correspondientes al mes previo al anterior.df = día del mes para el que se calcula el valor de la UVC.dm = numero de días calendario del mes.

EJEMPLO:Calcular el valor de una UVC el día 26 de mayo de 1997, si se conocen los siguientes datos:

a) Valor de la UVC el 30 de abril: $ 20.000

b) Índice de precios al consumidor en el mes de abril: 15.25

c) Índice de precios al consumidor en el mes de marzo: 15.00

d) Numero de días del mes de mayo: 31

Vf =

20 .000[15 .1515 .00 ]26 /31

=$20 .279 ,20

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Anexos

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Yasmani González, Lorena Villalta, Mauricio Cabrera, guido Córdova

Recomendaciones

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Al finalizar el presente trabajo investigativo considero muy importante realizar las siguientes recomendaciones:

Seguir utilizando las técnicas y métodos que emplea la matemática financiera.

Que los estudiantes se motiven preparándose en el campo profesional.

Obtener conocimientos mediante investigaciones que permitan sustentar las clases

Conclusiones

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Luego de haber realizado el presente trabajo investigativo considero conveniente y necesario destacar las siguientes conclusiones:

La matemática financiera es una ciencia muy importante en el convivir diario.

Conocer la importancia de la amortización en el ámbito de los negocios

El conocimiento absoluto de la amortización y fondos de amortización como base fundamental del estudio de la matemática financiera.

BIBLIOGRAFIA

Matemáticas Financiera

MORA ZAMBRANO, Armando (2007), MATEMATICAS FINANCIERAS, Segunda Edición.

DIAZ MATA, Alfredo, (1997), MATEMATICAS FINANCIERAS, Segunda Editorial

AGUILERA GOMEZ, Victor MATEMATICAS FINANCIERAS,

AYRES JR, Frank MATEMATICAS FINANCIERAS,

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