Matemática Financiera

Facultad de Ciencias Económicas y

Sociales

Facultad de Ciencias Económicas y

Sociales

SISTEMAS DE AMORTIZACION

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

as d

e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

Un sistema de amortización es una

operación financiera que consiste en

pagar el capital de una deuda con sus intereses

mediante cuotas periódicas.

DefiniciónDefinición

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

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Sis

tem

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Am

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nA

mort

izació

nNotaciónNotación

Cuota del periodo k

Rk

RkSíSí Tasa de interés del

préstamoTasa de interés del préstamo

Ik Ik Intereses del período k

Ck Ck Amortización de capital del período k

Dk Dk Saldo de la deuda al pagar la cuota k

Sk

Sk

Suma amortizada al pagar la cuota k

IAkIAkIntereses pagados hasta el período k

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Sis

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Sis

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e

Am

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nA

mort

izació

n

n

1k

kk i1RD

=

Deuda = Valor actual de los pagos

Principios básicos

Matemática FinancieraMatemática Financiera

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Sis

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e

Am

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nA

mort

izació

nPrincipios básicos

En cada periodo, la cuota es igual al pago de amortización

de capital mas el pago de intereses

Rk =CK+ IK

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Sis

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Sis

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e

Am

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nA

mort

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n

Rk= cuota periódica D = Deuda Inicial

n = número de cuotas

0

1 2 3 ........... n

R1 R2 R3 .......... Rn

D

Diagrama temporal

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Sis

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Sis

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e

Am

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nA

mort

izació

nClasificación

Estudiaremos los sistemas: FRANCES o de amortización progresiva

ALEMAN o de amortización constante

AMERICANO o Fondo de amortización

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

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Sis

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

La cuota periódica de pago (R) es constante y se calcula como una renta vencida

La amortización de la deuda (C) es variable y crece en progresión geométrica.

El pago de intereses (I) está calculado sobre el saldo del préstamo

Sistema Francés

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

R es constante

Diagrama temporal

R R R .................. R .................. R

1 2 3 ..... K ..... nD

I1 I2I3 In

Ik

C1

Cn

CkC3

C2

C crece I decrece

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Sis

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Am

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nA

mort

izació

n

La cuota periódica de pago (R) es variable y decreciente

La amortización de la deuda (C) es constante y se calcula como la enésima parte del capital tomado en préstamo.

El pago de intereses (I) está calculado sobre el saldo del préstamo

Sistema Aleman

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

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e

Sis

tem

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

R decrece

Diagrama temporal

C es constante

I decrece

R1

D

R2

1 2 3 ..... K ..... n

I1 I2 I3 InIk

C CCCC

D = C*nR3

.................. Rk........ Rn

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

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Sis

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Am

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nA

mort

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n

Se crea un fondo de amortización para cancelar el préstamo a su vencimiento con lo reunido en el mismo.

Los intereses Ik se pagan periódicamente y son constantes.

En cada periodo se aporta un cantidad constante (R) para depositar en el fondo (r) y cancelar los intereses (Ik).

Sistema Americano

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

R = r + i R es constante

Diagrama temporal

r = cuota fondo r es constante

I = D*iI es constante

R R R .................. R .................. R

1 2 3 ..... K .... nD

I I I II

r rrrr

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

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e

Sis

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Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

Un cuadro de amortización es una tabla que especifica en

cada período los pagos correspondientes como

intereses, amortización de capital y saldo de la deuda al inicio y al final del periodo.

Cuadro de amortización

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

nSistema Francés

Un préstamo de 100.000 debe ser cancelado por el método de amortización progresiva en 5 cuotas anuales vencidas al 60% de interés anual.

Elaborar el cuadro de amortización correspondiente

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Sis

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e

Sis

tem

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e

Am

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nA

mort

izació

n

Periodo D. Inicial Cuota Intereses Amortización D.Final ( k) (Dk-1) (R) (Ik) (Ck ) (Dk)

1

2

3

4

5

Sistema Francés

TOTALES: 331.626,35 = 231.626,35 +100.000

CUADRO DE AMORTIZACION PROGRESIVA

100.000,00

93.674,73

60.00066.325,27

6.325,27

67.361,60

41.453,29

38.016,9666.325,27

25.908,31

41.453,29

0,00

24.871,98

66.325,27

41.453,29

83.554,29

67.361,60

50.132,58

66.325,27

16.192,69

93.674,73

83.554,29

56.204,84

66.325,27

10.120,43

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

ort

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nA

mort

izació

nFórmulas

Ck = Amortización de capital del período k. Renta en progresión geométrica de razón (1+i)

Ck = C1(1+i)k-1

R = Cuota periódica i = Tasa de interés del periodo Se calcula como una renta vencida

n

n

o)i1(i

1)i1(RD

Ik = Intereses del período: IK = R-Ck

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

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nFórmulas

Sk =Suma amortizada después de cancelar k cuotas

i

1)i1(CC...CCS

k

1k21k

IAk = Intereses pagados hasta el período k = cuotas pagadas – suma amortizada

IAk = kR - Sk

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

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e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

nFórmulas

Dk = Deuda pendiente después de pagar la cuota k = Saldo de la deuda = Valor actual de las n-k cuotas pendientes

i)i1(

1)i1(RSDD

kn

kn

kk

Total Intereses = Cantidad pagada – Deuda Inicial

I = nR-D

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

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e

Sis

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e

Am

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nA

mort

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n

Se otorga un préstamo de Bs. 1.000.000 a 10 años para ser cancelado mediante el pago de cuotas mensuales vencidas. Si la tasa de interés anual es de 24% anual c.m. determine:

a) Cuota periódica. (22.048)b) Amortización contenida en la primera cuota. (2.048)c) Suma amortizada al pagar la cuota número 33. (94.441) d) Saldo cuando se ha pagado la cuota número 57. (785.790)e) Intereses de la cuota 100. (7.501)f) Intereses pagados hasta la cuota 90. (1.478.127)g) Total pagado en intereses. (1.645.772)

Sistema Francés

Ejercicio Nº1

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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Am

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nA

mort

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n

Se ha pedido un préstamo hipotecario para ser cancelado en 10 años, mediante cuotas trimestrales constantes y vencidas. Sabemos que el capital amortizado durante el año 5 y el año 7 fue de 66.391,76 y 88.104,73 bolívares respectivamente. Halle el valor del préstamo y la cuota trimestral.

D=772.862; R = 36.754

Ejercicio Nº 2

Sistema Francés

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

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nA

mort

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n

Un préstamo se amortiza en 10 años por medio de anualidades que varían en progresión aritmética de razón Bs. 200.000. Se sabe que el saldo de la deuda en el año 9 es de Bs. 3.917.995 y que el interés es de 10% efectivo anual. Determine las componentes del cuadro de amortización del séptimo año. . D6=12.635172,; R7= 3.709.794; I7=1.263.517; C7=2.446.277

Sistema Francés

Ejercicio Nº3

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Sis

tem

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e

Sis

tem

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e

Am

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nA

mort

izació

n

a) Cuota periódica = R

 

b) Amortización de la primera cuota = C1.

  C1= R- I1=22.048,10-20.000=2.048,10 c)    

10,048.22R02,0)02,1(

1)02,1(R000.000.1

120

120

11,441.94)02,0(

1)02,1(10,048.2

i1)i1(

CS3333

133

Solución N°1:

Sistema Francés

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Sis

tem

as d

e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

d) D57= Valor actual de las cuotas por pagar  

Otra forma:

e) I100 = R-C100=R-C1(1+i)99 =22.048,10 - 2.048,10(1,02)99

= 7.501,27.

39,790.785)02,0()02,1(

1)02,1(10,048.22D

63

63

57

39,790.785)02,0(

1)02,1(10,048.2000.000.1SDD

57

57o57

Solución N°1 (Continuación):

Sistema Francés

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Sis

tem

as d

e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

f)

g)

Intereses Totales = TOTAL PAGADO – DEUDA INICIAL

I = 120*22.048,10 – 1.000.000 = 1.645.772

451.478.127,(0,02)

1(1,02)2.048,1022.048,10*90

S90RIA90

9090

Solución N°1 (Continuación):

Sistema Francés

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Sis

tem

as d

e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

S20-S16 = 66.391,76 S28 - S24 = 88.104,73

8.931,36C

obtenemos dosustituyen ral, trimest0,036i

i)(166.391,7688.104,73

i1i)(1

i)(1C 88.104,73

.i

1i)(1i)(1C 66.391,76

ii)(1i)(1

C

i1i)(1

Ci

1i)(1C66.391,76

1

16244

241

416

1

1620

1

16

1

20

1

Sistema FrancésSolución Nº2:

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

as d

e

Sis

tem

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e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

 10 años = 40 cuotasDeuda = Total amortizado

10,862.772)036,0(

1)036,1(36,931.8S

40

40

44,754.36R10,862.772)036,0()036,1(

1)036,1(R

40

40

Sistema Francés

Solución Nº2 (Continuación)

Matemática FinancieraMatemática Financiera

Sis

tem

as d

e

Sis

tem

as d

e

Am

ort

izació

nA

mort

izació

n

R10= 3.917.995(1,1) = 4.309.794,50 R7=4.309.794,5-)3*200.000= 3.709.794,50

42,995.188.10CDD ;24,277.446.2IRC

27,517.263.11,0*DI

;65,172.635.12D

)1,1(1,0

000.200*41,0

1)1,1(1,0000.200

50,794.709.3D

767777

67

6

44

6

Sistema Francés

Solución Nº3