ALGEBRA  SUPERIOR  I                                                                                                                              TAREA  IV    

 1.-­‐  .-­‐¿Qué  es  un  espacio  vectorial  y  que  propiedades  cumple?  Da  un  ejemplo  de    un  espacio  vectorial.    2.-­‐Resuélvanse    las  ecuaciones            a)   !, ! + !,! = !,! .            b)   !,! + !, ! = (0,0).            c)  ! !,! + !!,!" = !, ! .    3.-­‐Si  OPQR  es  un  paralelogramo  y  ! = 1,2 ,! = −1,3  calcúlese  las  coordenadas  de  Q.    4.-­‐  Dados  los  vectores    !,!  !  !  !!!      !    !, ! ∈ !.  Sean  A=(!!,!!,… ,!!)  ,  B=(!!, !!,… , !!)  y  C=  (!!, !!,… , !!);      Demuestre:          a)  ! + ! = ! + !.            !) ! + ! + ! = ! + ! + !  .          c)  ! ! + ! = !" + !".          d)   !" ! = ! !" .      5.-­‐  .-­‐¿Qué  es  un  sub  espacio  vectorial  y  que  condiciones  debe  cumplir  ?.    6.-­‐  ¿Cuál  de  estos    subconjuntos  es  un  sub  espacio  de  !!?  Justifica  tu  respuesta.          a)El  conjunto  de  puntos  de  la  recta  dada  por  ! + 2! = 0.          b)  El  conjunto  de  puntos  de  la  recta  dada  por  ! + 2! = 8.    7.-­‐  Demuestre  que  es  un  sub  espacio  vectorial:            a)  Si  A  y  B  son  vectores  de  !!                    ! = !" + !"  /!"#,      !"# .            b)! = !,! !  !!/    2! − 3! =    0 .    8.-­‐  Demuéstrese  que  los  vectores  (1,0,0),  (0,1,0)  y  (0,0,1)  en  !!  forman  un  conjunto  linealmente  independiente.  Lo  mismo  para  los  vectores  de  !!.    9.-­‐  Demuéstrese  que  los  vectores  !! = 1,0,0 ,!! = 1,1,0  !  !! = 1,1,1  y              ! = !!,!!,!!    forman  un  conjunto  linealmente  dependiente  ,  generalícese  para  !!.    10.-­‐  Considere  en  !!  el    conjunto                    ! = !,!, !  /  2! + 3! − ! =    0                    W  es  un  sub  espacio  vectorial  de  !!,  demuestre  que  se  satisfacen  las  tres  condiciones  necesarias  y  afirmamos  que  los  vectores.        P=(1,0,2)  y  Q=(0,1,3)  forman  una  base.    11.-­‐  Sea    ! = !,! !!!/ !,! = ! !!,!! , !"# ,    donde  (!!,!!)!!!  es  un  vector  fijo  ,  demuestre  que  W  es  un  sub  espacio  vectorial.      

12.-­‐Si  W  es  un  sub  espacio  de  dimensión  r  entonces.                  a)  cualquier  conjunto  linealmente  independiente  de  r  vectores  de  W  es    una  base  de  W,                  b)cualquier  conjunto  de  r  vectores  que  genere  a  W  es  una  base  de  W.    13.-­‐  Escríbanse  las  matrices  formadas  con  los  coeficientes  de  la  incógnitas  .    

   

! + ! + ! + ! = 1! + 2! + 3! + 4! = 2! + 2! + 3! = 3! + 2! = 4! = 5

                                                                       !!! + !!! + !"! = 0!!! + !!! + !!! = 0!!! + !!! + !!! = 0

 

   14.-­‐  Sean  ! = (!!    !!    !!    )  y  ! = (!!    !!    !!    )  dos  vectores  de  !!  linealmente  independientes.  Encuentre  el  rango  de  las  siguientes  matrices.      

                2!!    !!    !!      

!!    2!!    2!!        !!    !!    !!    

                                                     !!    !!    !!      !!    !!    !!        !!    !!    !!    

                                                 !!    !!    !!      !!    !!    !!        0        0          0  

                                                                                                   

   

                 !!    !!    !!      !!    !!    !!        

!! + !!        !! + !!          !!   + !!      

 15.-­‐  Si  !!,!!  !  !!  son  vectores  de  !!  demuestre  que   !!,!!  !  !!  y  !"!,!!  !  !!    (! ≠ 0),    general  el  mismo  sub  espacio  vectorial.      16.-­‐  Si  !!,!!  !  !!  son    vectores  de  !!  demuestre  que   !!,!!  !  !!  !       !! + !!,!!  !  !!  general  el  mismo  sub  espacio  vectorial.      17.-­‐  Encontrar  el  rango  de  las  matrices,      

       a)      1  − 1            3    − 5

2        − 3                4  − 10−3            3  − 9              153          − 3    − 6      − 4

                                           b)

1        1      1      3      1      1  − 3  − 12      1  − 3        11      2  − 2      1