controlul vectorial al acţionărilor electrice...

Controlul vectorial al acţionărilor electrice (curs)

I Interacţiunea magnetică 1 I1 Cacircmpul magnetostatic 1 I2 Cacircmpul magnetic staţionar 1 I3 Modelarea cacircmpului magnetic B 4 I4 Spiră parcursă de curent icircn cacircmp magnetic Momentul magnetic dipolar 5 I5 Intensitatea magnetică H 6 I6 Fluxul magnetic Φ 8 I7 Modelarea materialelor magnetice Polarizarea magnetică MB magnetizarea M 9 I8 Magneţii permanenţi 14 I9 Circuite magnetice 18 II Cacircmpuri magnetice variabile icircn timp (Electromagnetism) 21 II1 Inducţia electromagnetică 21 II2 Efecte ale fenomenului de inducţie electromagnetică 24 II3 Energia cacircmpului magnetic 27 III Conversia electrodinamică a energiei 30 III1 Conversia energiei icircn cadrul maşinilor electrice 30 III2 Elemente constructive ale circuitelor magnetice 33 III3 Principii de funcţionare a maşinii de curent continuu 35 III4 Principii de funcţionare a maşinii de inducţie 45 III5 Principii de funcţionare a maşinii sincrone 51 IV Cacircmpurile magnetice din icircntrefierul maşinilor electrice de curent alternativ 53 IV1 Teoria cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor 54 IV2 Inductanţele maşinilor de curent alternativ 64 V Modelarea maşinii de inducţie 68 V1 Modelarea maşinii de inducţie 69 V2 Modelarea maşinii de inducţie bifazate icircn coordonate de fază 70 V3 Modelarea maşinii de inducţie trifazate icircn coordonate de fază 78 VI Teoria sistemelor de referinţă 81

VI1 Transformarea unei armături statorice trifazate icircntr-o armătură statorică bifazată echivalentă energetic 83

VI2 Modelul de maşină primitivă al maşinii de inducţie trifazate 88 VI3 Referirea unei armături ortogonale icircntr-un alt sistem de referinţă ortogonal 92 VI4 Modelul de maşină generalizată al maşinii de inducţie reprezentat icircntr-un

sistem de referinţă general 94 VI5 Ecuaţia cuplului electromagnetic al maşinii generalizate 97 VI6 Transformata (combinată) Park 99 VI7 Simularea maşinii de inducţie trifazate 100 VII Teoria fazorului spaţial reprezentativ 104 VII1 Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale 105 VII11 Reprezentarea geometrică a mărimilor sinusoidale 105 VII12 Reprezentarea analitică a mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe 107

VII13 Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de

argument variabil icircn timp (reprezentarea icircn complex nesimplificat) 108 VII14 Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument constant icircn timp (reprezentarea icircn complex simplificat) 109 VII2 Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale polifazate (trifazate) 109 VII3 Fazorul spaţial reprezentativ 112 VIII Modelarea fazorială a maşinii de inducţie 126 VIII1 Modelul fazorial de maşină primitivă al maşinii de inducţie trifazate 127 VIII2 Modelul fazorial de maşină generalizată al maşinii de inducţie trifazatebifazate reprezentat icircntr-un sistem de referinţă general 133 VIII3 Ecuaţia fazorială a cuplului electromagnetic 138 IX Controlul vectorial al maşinii de inducţie 141 IX1 Consideraţii privind structurile de reglare ale sistemelor de acţionare electrică 141 IX2 Principiul controlului vectorial 144 IX3 Controlul fluxului icircn sistemele cu orientare după fazorul fluxului rotoric 151 IX4 Convertoare statice de putere utilizate icircn structurile de control vectorial 153 IX5 Implementarea structurilor de control vectorial 161

Controlul vectorial al acţionărilor electrice

1

I Interacţiunea magnetică I1 Cacircmpul magnetostatic Interacţiunile magnetice sunt cunoscute din antichitate de exemplu atracţia magnetitei (Fe3O4 - icircntacirclnită sub formă de minereu) asupra fierului Numele de magnetism provine de la orăşelul antic Magnesia unde conform tradiţiei s-a observat pentru prima dată fenomenul Interacţiunea magnetică spre deosebire de cea gravitaţională nu se manifestă la toate corpurile Icircn cazul magneţilor naturali sau obţinuţi artificial acţiunea magnetică este mai concentrată icircn anumite domenii numite poli magnetici Orice magnet are cel puţin o pereche de poli (polul nord şi polul sud) formacircnd astfel un dipol magnetic Polii magnetici singulari (monopolii) nu s-au icircntacirclnit icircncă Chiar şi ruperea unui dipol (de exemplu spargerea unei bare magnetice) nu conduce la obţinerea de monopoli ci dă naştere la doi dipoli magnetici Polii magnetici de acelaşi fel se resping cei de nume diferite se atrag Icircn cacircmpul magnetic al Pămacircntului magneţii icircn formă de bară care au posibilitatea de rotire (ac magnetic) se orientează astfel icircncacirct polul nord al magnetului să indice nordul geografic Polul nord geografic al Pămacircntului este deci un pol magnetic sud şi invers Geometria cacircmpului unui dipol magnetic se poate descrie ca şi icircn cazul unui dipol electric (o formaţiune neutră din punct de vedere electric compusă din două sarcini punctiforme egale şi de semn contrar care se află la o distanţa l una faţă de alta) prin linii de cacircmp a căror configuraţie se poate evidenţia prin acţiunea de orientare exercitată de cacircmpul magnetic asupra unor particule magnetice lunguieţe (de exemplu pilitură de fier) Sensul pozitiv al liniilor magnetice de cacircmp s-a convenit a fi de la nord la sud Cacircmpul creat de magneţii permanenţi (fig1) se numeşte cacircmp magnetostatic

Fig1Cacircmpul unui dipol magnetic realizat cu ajutorul unui magnet permanent Bara magnetică exercită o forţă (cuplu) asupra acului magnetic (care este de fapt un alt magnet) astfel icircncacirct icircn echilibru el se aliniază pe o direcţie particulară paralelă cu direcţia cacircmpului I2 Cacircmpul magnetic staţionar Icircn afară de magneţii permanenţi cacircmpurile magnetice sunt create şi de curenţi electrici Curenţii electrici constanţi icircn timp şi spaţiu realizează cacircmpuri magnetice staţionare Cauza o constituie sarcinile electrice icircn mişcare (electronii) Liniile magnetice de cacircmp al unui conductor liniar parcurs de curent sunt cercuri concentrice avacircnd conductorul drept axă (fig2) Icircn fig2a se prezintă orientarea piliturii fine de fier de-a lungul liniilor de cacircmp create de conductorul liniar parcurs de curent Evident că acest cacircmp trebuie să fie suficient de puternic astfel icircncacirct forţa exercitată asupra piliturii de fier să icircnvingă forţa de frecare dintre pilitură şi suportul de susţinere (de exemplu hacircrtie) Aproape de conductor unde cacircmpul magnetic este puternic forţa exercitată asupra piliturii este suficient de mare pentru a o putea orienta astfel icircncacirct liniile de cacircmp să devină vizibile Icircnsă pe măsură ce distanţa de la conductor creşte cacircmpul magnetic se diminuează existacircnd astfel un punct de la care pilitura de fier nu mai poate fi orientată forţa de frecare fiind mai mare decacirct cea exercitată de


2

cacircmpul magnetic Sensul liniilor magnetice de cacircmp se află cunoscacircnd direcţia curentului cu ajutorul regulii burghiului drept (fig2b)

Fig2 Cacircmpul magnetic staţionar creat de un conductor parcurs de un curent constant Icircn cazul icircn care conductorul parcurs de curent formează o spiră se obţine un cacircmp magnetic avacircnd geometria prezentată icircn fig3

Fig3 Cacircmpul magnetic staţionar creat de o spiră parcursă de un curent constant Cacircmpul magnetic al unei bobine cilindrice (numită şi solenoid) fig4 este omogen icircn interiorul ei icircn timp ce icircn exteriorul bobinei acesta este asemănător cacircmpului magnetic al unui dipol (fig1) şi faţă de intensitatea cacircmpului din interior intensitatea icircn exterior este mai mică atacirct timp cacirct lungimea l a bobinei este mare icircn comparaţie cu diametrul bobinei

Fig4 Cacircmpul magnetic staţionar creat de o bobină parcursă de un curent constant Linii de cacircmp magnetic asemănătoare celor din fig4 pot fi obţinute şi cu ajutorul unui bare magnetice cilindrice (fig5) Observaţie Cacircmpul electrostatic este generat de sarcini electrice elementare icircn repaus Icircn cazul cacircmpului electrostatic sarcinile electrice pozitive şi negative sunt surse şi locuri de dispariţie ale unui cacircmp electric Liniile de cacircmp electric icircncep şi se termină totdeauna pe sarcini electrice Icircn cacircmp magnetic nu există sarcini magnetice elementare ca surse de cacircmp magnetic respectiv ca origine a liniilor cacircmpului magnetic Liniile de cacircmp magnetic sunt linii mereu icircnchise icircn cazul magneţilor permanenţi liniile de cacircmp exterioare trebuie considerate ca icircnchizacircndu-se icircn interiorul magneţilor Acest lucru este confirmat prin spargerea unui magnet ocazie cu care iau naştere doi noi poli magnetici

a b


3

Fig5 Cacircmpul magnetostatic creat de un magnet permanent cilindric Dacă icircntr-un cacircmp magnetic se plasează un material feromagnetic icircn interiorul materialului iau naştere dipoli magnetici Materialul suferă o polarizare magnetică (o magnetizare) Icircn fig6 se prezintă comparativ liniile de cacircmp ale unei bobine cu miez de aer icircn raport cu cele ale unei bobine cu miez de fier

Fig6 Cacircmpul magnetic staţionar creat a) de o bobină cu miez de aer b) de o bobină cu miez de fier

Liniile de cacircmp magnetic ale bobinei cu miez de fier sunt desenate mult mai aproape unele de altele pentru a evidenţia că s-a obţinut un cacircmp magnetic mult mai puternic icircn raport cu cel al bobinei cu miez de aer Cu alte cuvinte pentru acelaşi curent care străbate bobinele identice cacircmpul magnetic creat de bobina cu miez de fier este mult mai puternic (amplificator magnetic) Materialele feromagnetice au capacitatea de-a păstra majoritatea liniilor de cacircmp icircn interiorul materialului icircnchizacircndu-se prin calea magnetică creată de acesta (concentrator de flux) fig7 Dacă icircntrefierul este suficient de mic atunci cacircmpul magnetic poate fi considerat aproximativ acelaşi atacirct icircn miezul magnetic cacirct şi icircn icircntrefier

Fig7 Miez magnetic cu icircntrefier Deci materialele magnetice oferă posibilitatea de-a crea un cacircmp magnetic icircntr-un loc (prin magnetizarea materialului de către bobina străbătută de curentul i) şi a-l transporta icircn alt loc unde poate fi utilizat de exemplu pentru a produce o forţă asupra unui conductor parcurs de un curent Miezul feromagnetic poate fi considerat un conductor magnetic Observaţie Ca şi materialele conductoare care direcţionează (ghidează) curenţii icircn circuitele electrice

a b


4

miezurile magnetice ghidează cacircmpul magnetic (mai precis fluxul magnetic) Dar există o diferenţă importantă Icircn circuitele electrice conductanţa materialului conductor este de aproximativ 1020 mai mare decacirct cea a aerului ceea ce permite ca valoarea curenţilor de scăpări să fie neglijabilă pentru un curent electric continuu sau de frecvenţă joasă (50 Hz) Pe de altă parte bdquoconductanţardquo materialelor magnetice (permeabilitatea magnetică) este numai de aproximativ 104 ori mai mare decacirct cea a aerului Datorită acestui raport relativ scăzut există un procent mic de linii de cacircmp care se icircnchid prin aer astfel icircncacirct cacircmpul din icircntrefier este mai mic decacirct cel din interiorul bobinei I3 Modelarea cacircmpului magnetic B Amplitudinea cacircmpului magnetic B este definită cu ajutorul forţelor pe care le exercită asupra magneţilor sau a conductoarelor parcurse de curenţi Icircn anul 1819 fizicianul danez Hans Oersted a descoperit că un magnet poate exercita o forţă magnetică (de atracţie sau de respingere) şi asupra unui conductor străbătut de curent (fig8)

Fig8 Direcţia forţei magnetice exercitată asupra unui conductor parcurs de curent Dacă acest conductor este orientat astfel icircncacirct să fie perpendicular pe liniile de cacircmp magnetic atunci regula experimentală de determinare a direcţiei de acţionare a forţei magnetice F este regula macircinii drepte De asemenea experimental s-a constatat că dacă acest conductor este orientat paralel cu liniile cacircmpului magnetic atunci forţa magnetică este nulă Cu alte cuvinte numai componenta cacircmpului magnetic perpendicular pe direcţia curentului produce o forţă magnetică Dacă se defineşte un vector l a cărui amplitudine este lungimea l a conductorului din cacircmpul magnetic iar direcţia este cea a curentului care icircl străbate atunci forţa magnetică are expresia (legea lui Laplace) (1) BxliF = Icircn baza relaţiei (1) se poate defini cacircmpul magnetic B icircntr-un punct astfel 1 Amplitudinea cacircmpului magnetic este dată de valoarea

(2) li

FBBdef

==

2 Direcţia cacircmpului magnetic B este definită de direcţia indicată de un ac magnetic mic 3 Unitatea de măsură a cacircmpului magnetic este

(3) TmA

N]B[def==

Relaţia (1) exprimă legătura dintre cele trei mărimi sub forma unui produs vectorial (4) perp=θ== ilBsinilBBxliF

unde θ este unghiul dintre vectorul l şi vectorul B (fig9)


5

Fig9 Determinarea amplitudinii forţei magnetice I4 Spiră parcursă de curent icircn cacircmp magnetic Momentul magnetic dipolar O spiră conductoare parcursă de curent rotitoare de formă de exemplu dreptunghiulară aflată icircntr-un cacircmp magnetic suportă forţe diferite icircn funcţie de porţiunile individuale de spiră icircn conformitate cu relaţia (1) fig10

Fig10 Momentul cuplului de forţe care acţionează asupra unei spire conductoare parcurse de curent icircn cacircmp magnetic extern

Asupra porţiunilor frontale de lungime b acţionează forţe egale icircn modul şi de semn contrar icircn direcţia axei care se compensează Asupra ambelor laturi de lungime l acţionează un cuplu de forţe care realizează un moment de rotaţie (5) Fxb=τ icircn direcţia axei de rotaţie a spirei Dacă se ţine seama de (1) atunci relaţia (5) devine (6) θ=====τ siniSBBxniBx)lxb(iBxlixbFxb Vectorul n de modul S=bl este perpendicular pe suprafaţa spirei şi are direcţia determinată cu ajutorul regulii burghiului drept ţinacircnd seama de sensul curentului O spiră conductoare aflată icircntr-un cacircmp magnetic omogen parcursă de curent suferă acţiunea unui moment al unui cuplu de forţe care caută să orienteze normala la suprafaţă icircn direcţia cacircmpului (fig11) Spira se comportă deci ca un dipol magnetic Pentru descrierea comportării unui dipol magnetic icircn cacircmp se introduce noţiunea de moment magnetic dipolar m sub forma

(7) BxniBxmdef

sdot==τ Din relaţia (7) se obţine expresia momentului magnetic dipolar al unei spire de curent sub forma

(8) nimdef

sdot=


6

Fig11 Momentul cuplului care acţionează asupra unei spire conductoare parcurse de curent a icircnclinată vertical b icircnclinată lateral

Forţele magnetice F1 şi F2 creează un cuplu τ pentru a alinia dipolul magnetic (adică normala n la suprafaţa spirei) cu direcţia cacircmpului exterior B Similar şi pentru forţele F3 şi F4 Dacă se consideră o bobină cu N spire expresia momentului magnetic dipolar al bobinei devine (9) nNim b= Atunci cacircnd icircntr-un cacircmp magnetic se aşază o bobină rotitoare prevăzută cu un arc spiralat care creează un moment de revenire atunci la trecerea unui curent are loc echilibrul momentelor de rotaţie stabilindu-se o deviaţie unghiulară Δθ a bobinei care creşte odată cu creşterea valorii i a curentului acesta este principiul instrumentelor de măsură cu bobină rotitoare Acelaşi aranjament fără arc de revenire dar posedacircnd un contact prin frecare pentru inversarea polarităţii curentului pentru θ=0 (bdquocomutatorrdquo) reprezintă schema de bază a unui motor de curent continuu Momentul de rotaţie care acţionează icircn acest caz icircşi păstrează prin inversarea polarităţii aceeaşi direcţie pentru toate unghiurile de rotaţie I5 Intensitatea magnetică H Aşa cum s-a menţionat liniile magnetice de cacircmp al unui conductor liniar parcurs de curent sunt cercuri concentrice avacircnd conductorul drept axă (fig12)

Fig12 Liniile cacircmpului magnetic creat de un conductor parcurs de un curent constant Liniile de cacircmp magnetic indică direcţia intensităţii magnetice H Aproape de conductor unde cacircmpul magnetic este puternic valoarea intensităţii cacircmpului este şi ea mare Icircnsă pe măsură ce distanţa de la conductor creşte cacircmpul magnetic se diminuează şi icircn consecinţă şi valoarea intensităţii acestuia Icircn condiţiile alegeri unei linii de cacircmp circulare drept curbă de integrare aflată la distanţa r pentru un conductor liniar străbătut de curentul i legea lui Ampegravere exprimă valoarea intensităţii cacircmpului magnetic H sub forma

(10) r2

iHπ

=

a b


7

Fig13 Liniile cacircmpului magnetic creat de o spiră parcursă de un curent constant Conform aceleiaşi legi icircn cazul unei spire de rază R parcursă de curentul constant i intensitatea magnetică icircn centrul spirei are valoarea

(11) R2

iHπ

=

Intensitatea magnetică H se defineşte icircn mod obişnuit cu ajutorul cacircmpului magnetic din interiorul unei bobine cilindrice lungi (solenoid) parcursă de curent (fig14)

Fig14 Liniile cacircmpului magnetic staţionar creat de o bobină parcursă de un curent constant Cacircmpul magnetic al bobinei cilindrice este omogen icircn interiorul ei adică H este constant peste tot Dacă se alege drept curbă de integrare linia de cacircmp C atunci numai lungimea l a interiorului bobinei are o contribuţie esenţială la integrala (12) Θ=sdot=sdot intint

lC

dlHdlH

Θ reprezintă intensitatea totală a curentului care străbate suprafaţa S mărginită de conturul C adică fluxul de curent Icircn cazul mai multor curenţi individuali aceasta se calculează prin icircnsumare ţinacircnd seama de sensul curenţilor (13) sumint =sdot

kk

l

idlH

Pentru o bobină cilindrică cu N spire parcurse de curentul i fluxul de curent este Ni şi deci relaţia (12) devine (14) iNlH = sau

(15) liNH =

Observaţie Produsul Ni este referit drept forţa magnetomotoare care produce cacircmpul magnetic Cu ajutorul unei bobine se poate obţine uşor un cacircmp magnetic omogen B a cărui intensitate H se calculează foarte simplu cu relaţia (15) Unitatea de măsură a intensităţii

magnetice H este mA]H[

def=


8

Icircn orice moment de timp t pentru o valoare dată a intensităţii magnetice H cacircmpul magnetic B depinde de permeabilitatea magnetică a mediului care se află icircn cacircmp magnetic μ (16) HB μ= Icircn cazul bobinelor fără miez magnetic se obţine (17) HB 0μ= unde conform convenţiei internaţionale (18) μ0 =4π10-7 [VsAm] reprezintă constanta magnetică a cacircmpului (permeabilitatea magnetică a vidului) Doi conductori parcurşi de curenţi interacţionează prin forţe deoarece fiecare din cei doi curenţi se află icircn cacircmpul magnetic al celuilalt (fig15) Intensitatea cacircmpului magnetic creat de i1 la distanţa r are conform (10) expresia

(19) r2

iH 11 π=

Fig15 Forţe de interacţiune icircntre doi curenţi paraleli Din acest motiv conductorul parcurs de curentul i2 pe o lungime l suportă acţiunea unei forţe date de relaţia (1)

(20) r2iliHxliF 210

12012π

μ=μ=

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii asupra curentului i1 acţionează o forţă F21 egală ca valoare dar de semn contrar cu F12 Din relaţia (20) se deduce că atunci cacircnd curenţii au acelaşi sens conductoarele se atrag iar cacircnd sensurile sunt contrare conductoarele se resping Acest efect se utilizează la definirea unităţii de intensitate a curentului amperul ndash A Icircn cazul unei bobine spirele icircnvecinate parcurse de curent icircn acelaşi sens se atrag pe cacircnd porţiunile unei icircnfăşurări avacircnd sensuri de bobinaje opuse se resping Astfel de forţe (forţe electrodinamice) pot să atingă valori apreciabile şi trebuie luate icircn considerare la proiectarea bobinelor I6 Fluxul magnetic Φ Icircntr-un cacircmp magnetic omogen se defineşte fluxul magnetic icircn raport cu o suprafaţă S perpendiculară pe direcţia cacircmpului (fig16) prin

Fig16 Fluxul magnetic al unui cacircmp magnetic omogen


9

(21) SBdef=Φ

şi corespunzător modulul cacircmpului magnetic B (numit şi densitate de flux) (22)

SB Φ=

Prin generalizarea relaţiei (21) fluxul magnetic Φ al unui cacircmp magnetic oarecare (neomogen) printr-o suprafaţă S de orientare oarecare (fig17) se poate scrie (legea lui Gauss) (23) int sdot=Φ

S

dSB

Unitatea de măsură a fluxului magnetic este WbsV][ ==Φ

Fig17 Fluxul magnetic al unui cacircmp magnetic neomogen Observaţie Dacă se ţine seama de relaţia (22) atunci unitatea de măsură a cacircmpului magnetic definită de relaţia (3) poate fi completată sub forma

(3) gauss10mWbT

mAN]B[ 4

2

def====

I7 Modelarea materialelor magnetice Polarizarea magnetică MB magnetizarea M Legea lui Ampegravere relaţia (12) permite determinarea intensităţii magnetice H Pe de altă parte icircn conversia electromecanică mărimea necesar a fi calculată este cacircmpul magnetic B deoarece conform relaţiei (1) ea este cea care participă la generarea de forţe (cupluri) asupra conductoarelor parcurse de curenţi sau asupra magneţilor permanenţi Interacţiunea cacircmpului magnetic B cu materia este descrisă icircn cazul general de relaţia (16) iar icircn cazul particular de relaţia (17) După cum s-a sugerat icircn fig6 prin introducerea unor medii materiale icircntr-un cacircmp magnetic se poate obţine o amplificare a cacircmpului magnetic iniţialB0 consecinţă a polarizării magnetice a mediului material utilizat (24) M0 BBB += Polarizarea magnetică MB este dependentă atacirct de natura mediului material cacirct şi de intensitatea magnetică iniţială 0H (25) M00 BHB +μ= Icircn locul polarizării magnetice MB pentru descrierea proprietăţilor magnetice ale mediilor materiale se poate folosi şi o mărime care se icircnsumează cu intensitatea cacircmpului magnetic

0H creat de bobina circulară şi anume magnetizarea M (26) )MH(B 00 +μ= unde

(27) 0

MBMμ

=

Legătura dintre intensitatea magnetică 0H şi magnetizarea M poate fi stabilită cu ajutorul parametrului de material numit susceptibilitate magnetică χm (28) 0m HM χ=


10

Icircn acest caz relaţia (26) devine (29) 00r00m0 HHH)1(B μ=μμ=χ+μ= unde (30) mr 1 χ+=μ este permeabilitatea relativă a mediului material icircn raport cu cea a vidului Observaţie Relaţia (28) evidenţiază proprietatea anumitor medii materiale de a amplifica sau a atenua cacircmpul magnetic al unei bobine circulare (amplificatoratenuator magnetic) Proprietăţile magnetice ale mediilor materiale pot fi caracterizate icircn funcţie de susceptibilitatea magnetică χm după cum urmează bull χmlt0 - medii materiale diamagnetice care introduse icircntr-un cacircmp icircl atenuează bull χmgt0 ndash medii materiale paramagnetice care introduse icircntr-un cacircmp icircl amplifică

nesemnificativ odată cu anularea cacircmpului starea de magnetizare dispare bull χmgtgt0 ndash medii materiale feromagnetice care introduse icircntr-un cacircmp icircl amplifică icircntr-un

mod substanţial (de cacircteva mii de ori) De aceea unul din scopurile utilizării materialelor feromagnetice icircn construcţia maşinilor electrice staţionare (adică transformatoare) şi rotative este de-a amplifica semnificativ cacircmpul magnetic creat de icircnfăşurările electrice Evident că cel de-al doilea scop este de-a direcţiona (transporta) cacircmpul astfel obţinut la locul de utilizare (spre icircntrefier la maşinile rotative) Deşi aparent simplă modelarea materialelor magnetice presupune anumite nuanţări uneori pacircnă la nivel de teorie a mecanicii cuantice deoarece magnetizarea mediilor materiale la o anumită intensitate a cacircmpului magnetic relaţia (28) nu este univocă ci depinde de istoria procesului de magnetizare (efectul de memorie) Suplimentar caracteristica de magnetizare este una neliniară Proprietăţile magnetice ale mediilor materiale sunt determinate icircn primul racircnd de interacţiunea cacircmpului magnetic cu electronii icircnvelişului atomic respectiv cu momentele magnetice ale acestora După cum se cunoaşte particulele elementare (atomii şi elementele componente ale acestora) au legi specifice de mişcare legi care fac obiectul mecanicii cuantice Icircn consecinţă şi proprietăţile momentelor magnetice atomice sunt de natură cuantică De aceea o tratare intuitivă este problematică Cu toate acestea anumite proprietăţi magnetice pot fi clarificate folosind modelul atomic Rutherford-Bohr icircn care electronii atomici se consideră drept cauză a unor curenţi circulari avacircnd ca centru nucleul atomic pozitiv şi pot fi calculate parţial corect anumite mărimi fizice pe baza unor aprecieri calitative Fizicianul danez Niels Bohr a dezvoltat modelul planetar al atomului sugerat de neozeelandezul Ernest Rutherford consideracircnd că legile macrofizicii clasice utilizate nu mai sunt valabile pentru microsistemul atomului Primul postulat Bohr reprezintă o cuantificare a momentului cinetic sugeracircnd icircn acest fel că icircn norul electronic nu pot fi decacirct orbite discrete de electroni de energie constantă Icircn fig18 se prezintă modelul atomic Bohr Icircn raport cu nucleul atomic electronul posedă un moment cinetic orbital (măsură a cantităţii mişcării de rotaţie similar impulsului definit icircn cazul mişcării de translaţie) (31) 2

ee rmvxrmL ω== unde me reprezintă masa electronului r este raza orbitei de deplasare iar v este viteza tangenţială Electronul cu frecvenţa de rotaţie f=ω2π poate fi echivalat cu un curent circular (buclă de curent) de valoare

(32) e2

efdtdQib π

ωminus=minus==


11

Fig18Momentul cinetic şi momentul magnetic al unui electron aflat pe o orbită circulară icircn jurul atomului

Dacă acestui sistem i se asociază un moment magnetic dipolar m conform relaţiei (8) adică (8) nim= atunci cu ajutorul relaţiilor (31) şi (32) se obţine

(33) LLm2e

mLe

2riSim

ee

2bb γminus=minus=

ωπ

πω

minus=π==

Cu alte cuvinte unui moment cinetic orbital atomic al unui electron L i se poate asocia un moment magnetic de dipol m similar unei spire conductoare aflată icircntr-un cacircmp magnetic Paralelismul magnetodinamic (33) este exprimat cu ajutorul factorului giromagnetic γ Pe lacircngă momentul cinetic orbital şi momentul magnetic legat de acesta electronul mai posedă un moment cinetic propriu numit şi spin Icircnsă spinul electronului nu are nimic icircn comun cu mişcarea sa de rotaţie (nu depinde de coordonatele sale instantanee) ci este un fenomen specific mecanicii cuantice care creează un cacircmp magnetic icircn jurul acestuia Icircn concluzie pe baza acestei pseudomodelări cuantice proprietăţile magnetice ale diferitelor medii materiale pot fi studiate cu ajutorul momentelor magnetice de dipol determinate pe baza momentelor cinetice orbitale şi de spin ale electronilor Dipolul magnetic icircn cacircmp posedă aşadar o energie potenţială conferită de momentul magnetic de dipol care icircn urma interacţiunii cu cacircmpul va icircncerca să orienteze normala la suprafaţa dipolului icircn direcţia cacircmpului Majoritatea compuşilor anorganici şi aproape toţi compuşii organici sunt materiale diamagnetice deci ei slăbesc cacircmpul exterior χmlt0 Cauza diamagnetismului o constituie momentele magnetice de dipol induse de aplicarea cacircmpului magnetic exterior icircn atomii moleculele sau ionii materialului Diamagnetismul poate fi privit ca un efect inductiv apărut la aplicarea cacircmpului magnetic exterior Pe de altă parte mediile materiale paramagnetice şi feromagnetice amplifică icircntr-o măsură mai mică sau mai mare cacircmpul magnetic exterior χmgt0 Icircn cazul mediilor materiale paramagnetice icircn absenţa unui cacircmp magnetic exterior orientările momentelor magnetice sunt distribuite statistic datorită mişcării termice icircncacirct nu rezultă o magnetizare macroscopică Un cacircmp magnetic exterior aplicat caută să orienteze dipolii icircn baza momentului de rotaţie existent icircn acel moment relaţia (7) icircn direcţia cacircmpului contrar acţiunii mişcării termice luacircnd naştere o magnetizare macroscopică Ca şi icircn cazul materialelor diamagnetice odată cu anularea cacircmpului magnetic exterior starea de magnetizare devine nulă Substanţele cristaline care conţin momente magnetice permanente pot trece sub o anumită temperatură critică (temperatura Curie temperatura Neacuteel) icircntr-o stare magnetică ordonată adică la o stare de magnetizare spontană icircn lipsa cacircmpului exterior Cauza acesteia o constituie interacţiunea reciprocă dintre momentele magnetice ale atomilor respectiv dintre spinii electronilor legaţi de aceste momente La temperatura camerei stările magnetice ordonate se datorează interacţiunii dintre spinii electronici nesaturaţi ai atomilor vecini care


12

conduc la aranjarea paralelă sau antiparalelă a acestora Drept urmare apar următoarele stări caracteristice de ordonare a spinilor (fig19)

Fig19 Ordonarea momentelor magnetice de dipol icircn materialele feromagnetice antiferomagnetice şi ferimagnetice

Feromagnetismul se caracterizează printr-o aranjare paralelă a tuturor spinilor Din categoria materialelor feromagnetice fac parte fierul (Fe) nichelul (Ni) cobaltul (Co) Antiferomagnetismul constă icircntr-o ordonare antiparalelă a spinilor vecini rezultacircnd o compensare reciprocă a momentelor magnetice Icircn ciuda stării ordonate a spinilor icircn absenţa unui cacircmp magnetic exterior magnetizarea este nulă Dintre materialele antiferomagnetice se amintesc oxizii MnO FeO CoO NiO Ferimagnetismul se caracterizează printr-o ordonare antiferomagnetică la care momentele magnetice se compensează doar parţial din cauza mărimii lor diferite Icircn lipsa unui cacircmp magnetic exterior mai rămacircne totuşi o magnetizare de valoare finită care icircn mod tipic este mai mică decacirct icircn cazul feromagnetismului Exemple de astfel de materiale sunt feritele de compoziţie MOFe2O3 unde M poate fi de exemplu Mn Co Ni Cu Mg Zn Ca sau Fe Icircn cazul icircn care M este Fe se obţine Fe3O4 adică magnetita Pentru a analiza proprietăţile magnetizării spontane a materialelor feromagnetice se va considera icircn continuare drept mediu material fierul Fierul are două proprietăţi atomice remarcabile care au consecinţe decisive asupra comportării sale magnetice macroscopice Icircn primul racircnd icircn cadrul unui atom singular din cei 26 de electroni pe care icirci posedă icircn norul electronic 4 dintre ei au momentele magnetice aliniate Icircn al doilea racircnd icircn cadrul fierului icircn stare solidă există forţe cuantice foarte puternice care determină ca momentele magnetice ale atomilor vecini să se alinieze Acest fapt determină apariţia unor magneţi elementari adică a unor domenii cu dimensiuni macroscopice icircn plaja 1divide100μm3- numite domenii Weiss ndashcare individual sunt magnetizate la saturaţie şi orientate icircn aşa fel icircncacirct liniile de flux magnetic se icircnchid icircn mare măsură icircn interiorul cristalului (fig20a) Icircn absenţa cacircmpului magnetic exterior domeniile sunt orientate aleator iar din punct de vedere energetic corespund unei ordonări mai avantajoase

Fig20 Evoluţia magnetizării unui monocristal feromagnetic

a b c d e


13

Plecacircndu-se de la starea nemagnetizată prin intermediul unui cacircmp magnetic exterior se realizează icircntr-o primă fază o magnetizare a materialului obţinacircndu-se aşa-numita bdquocurbă de primă magnetizarerdquo Cu această ocazie domeniile cu momente magnetice paralele cu direcţia cacircmpului aplicat se extind pe cacircnd celelalte se contractă (fig20b) Creşterea cacircmpului magnetic extern B pe seama cacircmpului magnetic astfel generat MB este semnificativă Pereţii domeniilor (pereţii Bloch) se menţin atacirct timp cacirct valoarea intensităţii cacircmpului magnetic extern 0H se află sub un anumit prag Dacă prin deplasări de perete nu se mai poate realiza o creştere pe mai departe a magnetizării atunci cacircmpul magnetic exterior care creşte icircn continuare roteşte spinii din direcţiile de uşoară magnetizare icircn direcţia cacircmpului (fig20c) simultan cu ruperea ireversibilă de pereţi (fig20d) Rezultă icircn acest fel un monodomeniu magnetic icircn direcţia cristalină apropiată direcţiei cacircmpului magnetic consecinţă a proceselor ireversibile de deplasare de perete şi a proceselor de rotaţie Icircn final toţi spinii sunt paraleli cu cacircmpul magnetic exterior aplicat şi magnetizarea de saturaţie urmează direcţia cacircmpului (fig20e) O creştere icircn continuare a magnetizării nu mai este posibilă (fig21)

Fig21 Curba de histerezis a unui material feromagnetic Intensitatea magnetică exterioară H0 necesară pentru a roti magnetizarea unui domeniu Weiss icircn direcţia cacircmpului exterior este mult mai mică decacirct cea necesară orientării totale icircnvingacircnd mişcarea termică a dipolilor individuali necuplaţi Cauza acestui fapt ndash şi totodată cauza permeabilităţii magnetice relativ mari a materialelor feromagnetice ndash o constituie momentul de rotaţie mare icircn cacircmp magnetic exterior şi momentul magnetic mult mai mare al unui domeniu Weiss faţă de cel al dipolului singular Reducerea cacircmpului exterior la zero nu face să dispară integral magnetizarea ci rămacircne un rest de magnetizare fenomen care se numeşte remanenţă Ea poate fi descrisă cu ajutorul magnetizării remanente Mr dar la fel de bine prin cacircmpul remanent Br sau cu polarizarea remanentă BMr Acestea dispar abia la aplicarea unui cacircmp de sens opus de mărimea intensităţii coercitive -Hc La o variaţie icircn continuare a intensităţii cacircmpului exterior poate fi parcursă icircntreaga curbă de magnetizare ale cărei ramuri nu sunt identice pentru variaţii negative respectiv pozitive ale cacircmpului ndash acesta este fenomenul de histerezis Icircn funcţie de direcţia magnetizării de saturaţie anterioare la H=0 apare o remanenţă +Mr sau -Mr Pentru cazul folosirii unor cacircmpuri magnetice alternative (transformatoare maşini electrice rotative) sunt necesare materiale magnetice moi cu remanenţă joasă şi intensitate mică a cacircmpului coercitiv suprafaţa curbei de histerezis reprezentacircnd o măsură a pierderilor de magnetizare icircn unitatea de volum pentru cazul parcurgerii integrale a curbei de histerezis Pentru aceste materiale magnetice deplasarea pereţilor domeniilor Weiss se realizează cu uşurinţă fiind astfel uşor de magnetizat şi demagnetizat Icircn cazul magneţilor permanenţi se doreşte o remanenţă mare şi o intensitate mare a cacircmpului coercitiv (materiale magnetice dure) Pentru aceste materiale se obţine o suprafaţă mare a curbei de histerezis Neregularităţile structurale ale acestor materiale cum ar fi dislocările şi impurităţile nemagnetice obstrucţionează deplasarea pereţilor domeniilor Suplimentar aceste ingrediente cresc rezistenţa mecanică a unor astfel de materiale magnetice


14

I8 Magneţii permanenţi Magneţii permanenţi cei mai utilizaţi icircn construcţia maşinilor electrice sunt de tip Alnico aliaj ce conţine icircntre 10 şi 40 cobalt material ce le asigură un cacircmp remanent ridicat icircnsă contra unui preţ de cost mare Magneţii sunt obţinuţi prin turnare după ce au fost omogenizaţi la temperaturi icircnalte şi răciţi icircn cacircmp magnetic Pentru mărirea cacircmpului lor coercitiv ei sunt supuşi la tratamente de revenire Pentru a evita o situaţie icircn care caracteristicile unei maşini se schimbă odată cu apariţia icircntacircmplătoare a unor cacircmpuri demangnetizante se procedează la stabilizarea magnetului permanent după ce a fost inclus icircn circuitul magnetic al maşinii stabilizarea făcacircndu-se printr-o demagnetizare artificială prin crearea unor condiţii similare celor mai dificile situaţii care pot apărea icircn cursul exploatării Icircn fig22 se prezintă etapele de magnetizare permanentă a două bare cilindrice din aliaj feromagnetic

Fig22 Etapele de magnetizare a materialelor feromagnetice dure Pentru magnetizarea barelor cilindrice se utilizează un circuit magnetic realizat cu ajutorul a două piese de formă adecvată (fig22a) Apoi magnetizarea circuitului se realizează icircn curent continuu cu ajutorul a două icircnfăşurări (solenoizi) care prin intermediul forţei magnetomotoare va crea icircn interiorul miezului un cacircmp magnetic omogen (B H ndash constant) Aplicacircnd legea lui Ampegravere pe conturul C al circuitului magnetic se obţine (34) iN2)l2l2(H 21 =+ unde l1 este lungimea fiecărei bare cilindrice iar l2 este lungimea fiecărei piese de capăt a circuitului magnetic Icircn acest fel prin creşterea curentului de magnetizare i pacircnă la punctul de saturaţie a miezului (punctul b fig23) are loc magnetizarea mediului pe curba de primă magnetizare Apoi curentul este diminuat pacircnă la anulare urmacircndu-se ciclul de demagnetizare din cadranul I (punctul c fig23) Icircn acest punct magnetul funcţionează icircn punctul c al curbei de magnetizare B-H caracterizat prin valorile Brne0 i=0 şi conform relaţiei (34) H=0 Icircn acest moment icircnfăşurările de magnetizare pot fi icircnlăturate neafectacircnd funcţionarea magnetului deoarece curentul prin icircnfăşurări este nul


15

Fig23 Magnetizarea materialelor feromagnetice dure Din relaţia (26) se poate scrie (35) M)MH(B 00H

00 μμ =+==

După eliminarea icircnfăşurărilor de magnetizare se poate icircntrerupe şi circuitul magnetic prin eliminarea pieselor de capăt (fig22c) Starea de magnetizare M din cadrul fiecărei piese cilindrice rămacircne aproximativ aceeaşi adică icircn urma tratamentului termic dipoli magnetici tind să rămacircnă icircn continuare aliniaţi Icircnsă odată cu eliminarea pieselor de capăt relaţia (35) nu mai este verificată pentru piesele magnetizate De exemplu dacă se consideră punctul Q de la capătul unei bare cilindrice magnetizate (fig22d) unde acum la suprafaţa de contact există aer icircn loc de mediu magnetic ca icircn faza precedentă atunci cacircmpul magnetic B este creat de toţi atomii materialului magnetizat dar icircn special de cei mai apropiaţi de punctul de referinţă Icircn acest caz chiar şi cu un material uniform magnetizat M=constant la capătul barei cacircmpul magnetic este mai redus (adică se icircnjumătăţeşte) deoarece icircn zona de icircntrerupere a circuitului magnetic acum există aer şi nu material magnetic ca icircnainte Icircn consecinţă ecuaţia (35) degenerează icircntr-o inegalitate

(36) 0MBH0

0 ltminus=μ

Astfel deşi magnetizarea M icircşi menţine valoarea anterioară intensitatea magnetică devine negativă icircn cele două bare magnetice De aceea odată cu icircnlăturarea pieselor de capăt punctele de funcţionare ale celor doi magneţi permanenţi obţinuţi se deplasează pe curba de demagnetizare din punctul c icircntr-un nou punct P (fig23) Cu cacirct ne apropiem mai mult de capetele magneţilor cu atacirct mai jos se situează acest punct de funcţionare din cadranul II Pe de altă parte icircn centrul magnetului cilindric punctul de funcţionare este foarte apropiat de punctul c şi s-ar confunda cu acesta dacă piesa magnetizată ar fi infinit de lungă Plecacircnd de la aceste consideraţii un magnet permanent poate fi modelat cu ajutorul unui curent electric echivalent de magnetizare ib Icircn fapt un astfel de magnet reprezintă un mediu material adus icircn starea de magnetizare şi deci reprezintă o sursă de cacircmp magnetic Aşa cum s-a mai arătat icircn exterior o bară magnetică circulară are aceeaşi geometrie a cacircmpului magnetic ca şi cea a unui solenoid cu miez de aer (fig24) Acest fapt permite adoptarea ipotezei că liniile de cacircmp interioare magnetului permanent sunt linii drepte (cacircmp magnetic omogen) similare cu cele ale solenoidului de referinţă Cu alte cuvinte s-ar putea modela un curent de suprafaţă ib echivalent celui care parcurge spirele solenoidului şi care icircn urma aplicării legii lui Ampegravere să genereze un cacircmp magnetic interior MB 0μ= Icircn baza acestei presupuneri să reluăm consideraţiile cu privire la echivalarea unui atom de fier ca o buclă de curent model echivalent deductibil pe baza modelului atomic Bohr (fig18)


16

Fig24 Geometria cacircmpului magnetic a magnet permanent b solenoid

Icircn fig25 se prezintă o secţiune dintr-o bară cilindrică de magnet permanent (material magnetizat) icircn care atomii de fier sunt aliniaţi rezultacircnd bucle elementare de curent icircn acelaşi plan

Fig25 Prezentarea atomilor de fier drept bucle elementare echivalente de curent După cum se observă icircn interiorul materialului curentul icircn părţile adiacente ale buclelor elementare vecine se deplasează icircn direcţii opuse şi deci efectul lor se anulează (fig25b) Pe de altă parte părţile din buclele elementare situate la suprafaţa materialului magnetic nu mai au bucle vecine care să le compenseze curentul şi deci efectul rezultant este un curent icircn jurul periferiei materialului magnetic (fig25c) Icircn acest fel o bară cilindrică de magnet poate fi reprezentată ca un cilindru avacircnd la suprafaţă un curent echivalent ib care produce acelaşi cacircmp magnetic ca şi materialul magnetic propriu-zis (fig26)

Fig26 Reprezentarea unei bare magnetice a prin bucle elementare de curent b printr-un curent echivalent de suprafaţă

a b c

a b

a b


17

Deşi din punctul de vedere al geometriei cacircmpului magnetic exterior un magnet permanent poate fi echivalat cu un solenoid cu miez de aer (şi deci cu permeabilitate magnetică foarte mică) prin care circulă un curent echivalent ib totuşi prin prisma punctelor de funcţionare pe caracteristica de funcţionare B-H solenoidul are punctul de funcţionare icircn cadranul I (Bgt0 Hgt0) pe cacircnd un magnet permanent are punctul de funcţionare icircn cadranul II (Bgt0 Hlt0) Astfel dacă se consideră liniile de cacircmp ale unei bare magnetice magnetizată anterior (fig27) atunci aplicacircnd legea lui Ampegravere pe conturul C se obţine

Fig27 Liniile de cacircmp ale unui magnet permanent cilindric (37) 0ldHldHldH

magnetaer CCC

=sdot+sdot=sdot intintint

deoarece icircn acest caz forţa magnetomotoare este nulă Pentru intensitatea magnetică din aer se poate scrie (38) 0HB 0 gtμ= şi deci (39) 0ldH

aerC

gtsdotint

ceea ce rezultă din (37) că (40) 0ldH

magnetC

ltsdotint

Icircn consecinţă pentru ca ultima integrală să fie negativă atunci intensitatea magnetică din interiorul magnetului trebuie să aibă direcţia contrară traseului de integrare adică o direcţie contrară liniei de cacircmp B Acest lucru nu se icircntacircmplă icircn cazul unui solenoid cu miez de aer pentru care legea lui Ampegravere are expresia (41) iNldH

C

sdot=sdotint

şi care icircn final nu conduce la inegalitatea (40) Cunoaşterea caracteristicilor globale ale unui magnet permanent are o importanţă majoră pentru proiectantul dispozitivelor de magnetizare De aceea reprezentative sunt caracteristicile de magnetizare din cadranul II Din punct de vedere electric magneţii permanenţi pot fi modelaţi ca surse de forţă magnetomotoare (solenoid) produsă de un curent echivalent constant ib şi care au permeabilitatea magnetică puţin mai mare decacirct cea a aerului (μr=105divide107) Icircn cazul icircn care se modelează un solenoid cu miez magnetic moale legea lui Ampegravere enunţată anterior trebuie completată pentru a ţine seama şi de contribuţia materialului magnetic la generarea cacircmpului magnetic total (42) )ii()MH(B b

ik000 +μ=+μ= sum


18

Deoarece pentru materialele magnetice moi HltltM se poate aproxima icircntr-un mod rezonabil H=0 Cu alte cuvinte icircn astfel de materiale cacircmpul rezultant B este datorat icircn cea mai mare parte magnetizării (alinierii dipolilor magnetici) ai materialului feromagnetic şi icircntr-o mai mică măsură curentului care magnetizează materialului Se obţine icircn acest fel un amplificator de cacircmp magnetic comandat cu o icircnfăşurare electrică străbătută de curenţii ik I9 Circuite magnetice Atacirct timp cacirct permeabilitatea materialului se poate presupune a fi constantă (mediu magnetic liniar) circuitele magnetice pot fi tratate icircn mod asemănător cu circuitele electrice liniare (se pot utiliza metode similare) Icircn fig28 se prezintă un miez toroidal care are o icircnfăşurare cu N spire parcursă de curentul i

Fig28Circuit magnetic Dacă se consideră că dimensiunile secţiunii torului sunt foarte mici faţă de raza unei linii de cacircmp atunci se poate presupune că icircn miezul feromagnetic se obţine un cacircmp magnetic omogen BFe Suplimentar trebuie considerat că mărimea icircntrefierului este suficient de mică icircn raport cu lungimea şi lăţimea torului Cu această ipoteza se poate admite că şi cacircmpul magnetic din icircntrefier este omogen Bδ făcacircndu-se abstracţie de distorsiunile cacircmpului la marginea icircntrefierului Cu aceste ipoteze se obţine (1) BBBFe == δ Conform legii lui Ampegravere rezultă (2) INlHlH FeFe =Θ=+ δδ unde Θ se numeşte forţă magnetomotoare sau solenaţie Observaţie Chiar şi cu ipotezele mai sus menţionate relaţia (2) rămacircne una aproximativă deoarece s-a presupus tacit că liniile de cacircmp urmăresc icircntru totul calea de transport a circuitului magnetic adică circuitul magnetic nu are scăpări Utilizacircnd relaţia de legătură dintre cacircmpul magnetic B şi fluxul Φ asociat suprafeţei A de forma (3) AB sdot=Φ precum şi cea dintre cacircmpul magnetic B şi intensitatea magnetică H

(4) A

BHμΦ

μ==

relaţia (2) devine

(5) Θ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

+μ

Φδ

δ

Al

Al

Fe

Fe

Prin analogie cu modelul unui circuit electric format dintr-o sursă de tensiune care alimentează două rezistenţe icircnseriate (6) ( ) URRI 21 =+ se constată că fluxul corespunde curentului I iar solenaţia Θ sursei de tensiune Icircn consecinţă expresia aflată icircntre parantezele rotunde reprezintă suma a două rezistenţe Ele se numesc reluctanţe (rezistenţe magnetice) Expresia analitică a reluctanţei este de forma


19

(7) AlR m μ

= [AWb]

Se constată astfel că reluctanţa magnetică este proporţională cu lungimea circuitului şi invers proporţională cu secţiunea transversală şi permeabilitatea magnetică a materialului Valoarea inversă se numeşte permeanţă (conductanţă magnetică)

(8) lA

R1

m

μ==Λ [WbA]

Dacă se notează produsul dintre intensitatea magnetică H şi lungimea l cu Vm şi icircl numim tensiune magnetomotoare (forţă magnetomotoare) (9) lHVm = atunci se poate scrie legea lui Ohm pentru circuite magnetice (10) Φ= mm RV respectiv (11) mVΛ=Φ Prin urmare relaţia (5) se poate scrie şi sub forma (12) Θ=+=+Φ δδ mmFemmFe VV)RR( Deoarece cacircmpul magnetic B este o mărime fundamentală icircn conversia electromecanică (ea fiind cea care poate dezvolta forţă asupra unui conductor parcurs de curent) icircn aplicaţii practice se urmăreşte determinarea lui icircn icircntrefierul de lungime lδ prin controlul adecvat al curentului i din icircnfăşurare Cunoscacircnd geometria circuitului magnetic şi parametrii icircnfăşurării se poate determina fluxul magnetic şi deci cacircmpul magnetic Astfel dacă se doreşte determinarea fluxului sau a cacircmpului magnetic atunci ecuaţia (2) se poate scrie sub forma

(13) INlBlH0

FeFe =Θ=μ

+ δδ

sau

(14) 1l

Bl

H

0Fe

Fe =Θμ

+Θ δ

δ

Ecuaţia conţine două necunoscute atacirct Bδ cacirct şi HFe permeabilitatea magnetică a materialului fiind icircn general necunoscută Pentru determinarea necunoscutelor se impune utilizarea unei relaţii suplimentare a legii de material precizată grafic cu ajutorul caracteristicii de primă magnetizare (fig29) Reprezentacircnd dreapta (14) prin punctele (0 μ0Θlδ) şi (ΘlFe0) se obţine punctul de funcţionare al circuitului magnetic (HFeBδ)

Fig29 Reprezentarea dreptei de dependenţă liniară icircntre HFe şi B pentru calculul inducţiei magnetice

Icircn cazul icircn care permeabilitatea magnetică a mediului material se idealizează (μFerarrinfin) conform relaţiei (7) circuitul magnetic devine bdquosupraconductorrdquo adică se obţine o cădere de tensiune magnetomotoare nulă


20

(15) 0lHV FeFeFem == ceea ce presupune o intensitate nulă a cacircmpului magnetic HFe=0 Icircn această situaţie particulară relaţia (14) devine

(16) δδ

δ μ=Θμ

=lNi

lB 0

0

Cu noua ipoteză de lucru relaţia (16) permite determinarea cacircmpului magnetic din icircntrefier icircn funcţie numai de mărimi cunoscute Pentru a obţine circuite magnetice cu reluctanţă foarte mică proiectanţii de maşini au icircn vedere utilizarea de configuraţii magnetice cu lungime mică suprafaţă mare a secţiunilor şi utilizarea de materiale magnetice cu permeabilitate cacirct mai mare


21

II Cacircmpuri magnetice variabile icircn timp (Electromagnetism) Icircn capitolul precedent au fost stabilite o serie de relaţii icircntre o mărime electrică (intensitatea curentului electric dintr-o icircnfăşurare) şi o serie de mărimi magnetice specifice circuitelor magnetice (intensitatea magnetică H cacircmpul magnetic B fluxul magnetic Φ) Aceste relaţii sunt valabile atacirct icircn condiţii de regim staţionar (curent continuu) pentru cacircmpuri magnetice staţionare cacirct şi icircn condiţiile icircn care acesta variază icircn timp Dacă icircnsă se ia icircn considerare şi variaţia icircn timp a cacircmpului magnetic cu o frecvenţă joasă pentru care se poate neglija variaţia fluxului electric atunci se obţin cacircmpuri magnetice cvasistaţionare pentru care apar o serie de fenomene noi specifice acestei variaţii icircn timp II1 Inducţia electromagnetică Atunci cacircnd se creează un cacircmp magnetic de exemplu cu o bobină parcursă de curent (fig1) sau cu ajutorul unui magnet permanent care simultan străbate o spiră conductoare (sau mai general un număr N de spire) care delimitează un flux Φ se observă cu un voltmetru legat la spira conductoare apariţia unei tensiuni induse dacă fluxul magnetic Φ care traversează spira variază icircn timp prin modificarea curentului prin bobina generatoare de cacircmp sau prin modificarea distanţei icircntre magnetul permanent şi spiră sau prin modificarea unghiului cacircmpului inductor faţă de suprafaţa spirei

Fig1 Inducţia magnetică datorată variaţiei icircn timp a fluxului magnetic Experimental s-a stabilit legea inducţiei electromagnetice sub forma

(1) dtdNuiΦ

minus=

unde N reprezintă numărul de spire icircnseriate ale bobinei de test (N=1 icircn fig1) iar dt este intervalul de timp icircn care fluxul care se icircnchide prin bucla conductoare creşte cu dΦ Un cacircmp magnetic variabil icircn timp implică apariţia unui cacircmp electric E care icircncercuieşte fluxul magnetic (fig1b) Acest cacircmp electric icircnsă nu este icircn mod necesar legat de prezenţa unui conductor ci poate apărea şi icircn vid iar matematic se poate defini cu ajutorul unui contur Semnul minus caracterizează faptul că direcţia cacircmpului electric indus respectiv a tensiunii induse care se obţine cu regula burghiului drept se opune sensului de variaţie a cacircmpului magnetic Practica arată că acelaşi fenomen se poate observa şi atunci cacircnd spira conductoare sau părţi din ea se mişcă icircntr-un cacircmp magnetic constant icircn timp (fig2)

Fig2 Inducţia icircntr-un conductor mobil plasat icircntr-un cacircmp magnetic omogen

a b


22

Cu alte cuvinte acest fenomen de inducţie apare atunci cacircnd icircntre cacircmpul magnetic şi conductor apare o mişcare relativă Deci relaţia (1) este valabilă independent de modul icircn care fluxul magnetic variază prin suprafaţa spirei (variază cacircmpul magnetic B icircn condiţiile unei spire conductoare fixe sau variază suprafaţa spirei icircn cacircmp magnetic constant) Dacă de exemplu fluxul magnetic fascicular se exprimă sub forma (2) )t(A)t(B)t( sdot=Φ atunci relaţia (1) devine

(3) dt

)t(dA)t(B)t(Adt

)t(dBui minusminus=

Pentru prima situaţie icircn care A(t)=constant se obţine

(4) Adt

)t(dBui minus=

iar pentru cea de-a doua situaţie icircn care B(t)=constant

(5) dt

)t(dABui minus=

Fenomenul de inducţie electromagnetică se datorează forţelor care se exercită asupra sarcinilor icircn mişcare mişcarea lor fiind determinată fie de cauze interne (cacircmp electric) fie de cauze externe (deplasarea mecanică a conductorului) Astfel particulele care posedă o sarcină electrică q şi care se mişcă cu o viteză v (datorată unei forţe mecanice exterioare) icircntr-un cacircmp magnetic B constant fig2 sunt supuse acţiunii unei forţe magnetice care acţionează perpendicular pe v şi B (6) BxvqFm = Particulele icircncărcate pozitiv şi negativ sunt acţionate icircn direcţii opuse de către forţele magnetice Forţa magnetică nu efectuează lucru mecanic asupra sarcinii q deoarece ea acţionează tot timpul perpendicular pe direcţia deplasării respectiv a vitezei v Cu alte cuvinte sarcina electrică nu icircşi modifică energia cinetică Dacă peste cacircmpul magnetic B se suprapune şi un cacircmp electric E datorat variaţiei cacircmpului magnetic atunci asupra sarcinii q acţionează şi o forţa electrică (7) EqFe = obţinacircndu-se la nivel microscopic o forţă electromagnetică cumulată (forţa Lorentz) (8) )BxvE(qEqBxvqF +=+= Observaţie Forţa magnetică care acţionează asupra unui conductor parcurs de curent constant este o consecinţă macroscopică a acţiunii forţei Lorentz asupra particulelor elementare Componenta electrică ndasheE a forţei Lorentz datorată sursei externe acţionează asupra electronilor de conducţie şi determină viteza de transport (drift) vD a electronilor Drept urmare asupra fiecărui electron icircn parte acţionează forţa magnetică (fig3) (9) BxveF Delectron_m minus=

Fig3Forţa exercitată asupra conductorului parcurs de curent aflat icircn cacircmp magnetic B


23

Consideracircnd concentraţia de electroni n icircn porţiunea de circuit de lungime l şi de secţiune A atunci numărul de electroni Ne este (10) nlAnVNe == Icircn total asupra porţiunii de conductor acţionează o forţă dată de relaţia (11) BxliBxvnlAeFNF Delectron_me =minus== unde trebuie avut icircn vedere că termenul nevDA este egal cu intensitatea curentului i lungimea l are direcţia curentului iar faţă de electroni are direcţie opusă vitezei de transport vD Icircn cazul relaţiei (4) variaţia cacircmpului magnetic B prin spira conductoare fixă şi de geometrie invariabilă fig1 determină apariţia cacircmpului electric E care la racircndul lui pune icircn mişcare electronii prin intermediul forţei electrice induse Fe=ndasheE Icircn acest caz nu există tensiune externă care să creeze cacircmp electric Electronii conductorului avacircnd sarcină negativă se deplasează icircntr-o direcţie pe cacircnd sarcina pozitivă (golurile) se deplasează icircn direcţia contrară Icircn consecinţă icircntre sarcinile de la capetele spirei apare o tensiune electrică datorată polarizării conductorului Icircn cazul relaţiei (5) (variaţia geometriei spirei conductoare icircntr-un cacircmp magnetic B omogen) electronii sunt puşi icircn mişcare de către forţa magnetică indusă Fm=-ev x B Astfel dacă se consideră că o porţiune l din circuitul spirei se deplasează cu viteza v perpendicular pe cacircmpul magnetic omogen de inducţie B atunci intensitatea cacircmpului electric indus datorită mişcării este

(12) Bxve

FE mi =minus=

Tensiunea indusă icircn porţiunea l a conductorului mobil este (13) l)Bxv(lEu ii sdot=sdot= Aceasta este tensiunea totală indusă icircn spira conductoare de geometrie variabilă (fig2) deoarece celelalte porţiuni ale ei sunt icircn repaus Şi icircn acest caz tensiunea poate fi măsurată prin intermediul unui voltmetru conectat icircn mod corespunzător la conductorul icircn mişcare Dacă alegem curba spirei C drept curbă de integrare (fig1) atunci din relaţia (1) cu (14) int sdot=

Ci dlEu

şi cu definiţia fluxului magnetic care traversează o suprafaţă oarecare mărginită de curba C (15) int sdot=Φ

A

dAB

rezultă formula generală a legii inducţiei electromagnetice (legea Faraday-Henry)

(16) intint sdotminus=sdotAC

dABdtddlE

Ea poate fi icircnsă formulată şi cu ajutorul curenţilor implicaţi Astfel icircn situaţia icircn care voltmetrul utilizat pentru măsurarea tensiunii induse se icircnlocuieşte cu o rezistenţă de sarcină R atunci icircn circuitul electric se stabileşte un curent Ii Icircn acest caz se poate argumenta semnificaţia semnului negativ din expresia legii inducţiei electromagnetice cu ajutorul regulii lui Lenz Curentul indus Ii are sensul astfel icircncacirct cacircmpul magnetic propriu (indus) se opune variaţiei fluxului magnetic inductor (fig4)

Fig4 Regula lui Lenz curenţii induşi au tendinţa de a crea cacircmpuri care se opun variaţiei cacircmpului inductor


24

curenti turbionari curenti turbionari

II2 Efecte ale fenomenului de inducţie electromagnetică Se consideră spira conductoare din fig5 care se roteşte icircntr-un cacircmp magnetic omogen cu o viteză unghiulară ω=dθdt

Fig5 Spiră conductoare rotitoare icircntr-un cacircmp magnetic extern omogen Fluxul magnetic care străbate spira este (17) AB sdot=Φ Pentru această situaţie relaţia (1) devine

(18) tsinutsin|A||B|Ndt

)cos|A||B(|dNdt

)AB(dNdtdNu maxi ωωωθΦ

==minus=sdot

minus=minus=

unde N reprezintă numărul de spire conductoare (N=1) Relaţia (18) stă la baza principiului de funcţionare a generatorului (sincron) de curent alternativ Tensiunea icircşi schimbă periodic semnul rezultacircnd ceea ce se numeşte o tensiune alternativă Valoarea sa maximă (amplitudinea) este (19) ωNBAumax = Variaţia icircn timp a fluxului magnetic induce tensiune şi icircn materialele magnetice care se constituie icircntr-un conductor magnetic dar şi electric masiv (fig6)

Fig6 Curenţii turbionari induşi prin variaţia icircn timp a fluxului Tensiunea indusă conduce la apariţia unor curenţi care se icircnchid icircn interiorul acestuia pe trasee circulare incluse icircn planuri transversale fluxului magnetic variabil numiţi curenţi turbionari Conform regulii lui Lenz curenţii induşi (icircn cazul nostru curenţii turbionari) creează un flux propriu care se opune variaţiei fluxului inductor Acolo unde acest efectul deranjează (pierderi icircn miezul feromagnetic) trebuie icircmpiedicată formarea curenţilor turbionari icircn interiorul conductorului prin creşterea rezistivităţii electrice a acestor circuite Acest lucru se poate realiza prin secţionări sau straturi izolatoare care să constituie piedici pentru trecerea curentului Un curent i variabil icircn timp parcurgacircnd o spiră conductoare sau o bobină dă naştere unui cacircmp magnetic variabil icircn timp Icircn conformitate cu legea inducţiei electromagnetice (1) cacircmpul magnetic variabil icircn timp are drept urmare apariţia unei tensiuni induse ui icircn icircnsăşi spira sau bobina creatoare de cacircmp fig1 sau fig7


25

Fig7 Tensiunea autoindusă icircntr-o bobină cilindrică Acest fenomen este denumit autoinducţie Tensiunea autoindusă ui reacţionează astfel asupra curentului variabil icircn timp icircncacirct să se opună variaţiei iniţiale de curent şi cacircmp magnetic generator (regula lui Lenz) Bobina manifestă deci o comportare inerţială precum masa icircn mecanică Pentru o bobină cilindrică (solenoid) de lungime l şi număr de spire N aflată icircn vid sau icircn aer se obţine expresia fluxului magnetic icircn bobină sub forma

(20) Al

iNAHAB 00 sdotsdot

μ=sdotμ=sdot=Φ

Icircn acest caz legea inducţiei electromagnetice (1) devine

(21) dtdi

lAN

dtdNu

2

0i μminus=Φ

minus=

Datele constructive referitoare la bobină se cumulează icircntr-o caracteristică a bobinei inductanţa proprie L obţinacircndu-se

(22) dtdiLui minus=

unde

(23) m

22

0 RN

lANL =μ=

Icircn general inductanţa proprie a unei bobine cu N spire este

(24) int sdot=Ψ

=Φ

=A

notdAB

iN

iiNL

Unitatea de măsură pentru inductanţă este )Henry(HA

WbA

sV]L[ ==sdot

=

Icircn cazul icircn care bobina parcursă de curentul i are rezistenţă nenulă R fig8 legea lui Ohm generalizată se poate scrie sub forma

Fig8 Spiră conductoare parcursă de curent


26

(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=

Cu ajutorul relaţiei (25) se poate construi schema electrică echivalentă din fig9

Fig9 Schema echivalentă a spirei conductoare parcursă de curent Inductanţa proprie a bobinei corespunde aşadar unui element de circuit pentru care

(26) dtdiLuu iL =minus=

Icircntre două bobine parcurse de curent cum sunt cele din fig10 apare un cuplaj magnetic Acest aspect reprezintă esenţa transferului de energie prin cacircmp magnetic

Fig10 Două bobine cuplate magnetic Avacircnd icircn vedere relaţia (1) legea lui Ohm generalizată pentru fiecare circuit devine

(27) dt

dNiRuiRu 11111i111Φ

+=minus=

(28) dt

dNiRuiRu 22222i222

Φ+=minus=

Fluxurile sunt produse de ambii curenţi Icircn cazul liniarităţii circuitului magnetic (nu se lucrează pe cotul de saturaţie al caracteristicii de magnetizare) se poate scrie (29) 212111111 iLiLN +=Φ=Ψ (30) 222121222 iLiLN +=Φ=Ψ Icircn cadrul expresiilor (29)-(30) L11 şi L22 reprezintă inductanţele proprii ale bobinelor 1 respectiv 2 iar L12 şi L21 sunt inductanţele mutuale (de cuplaj) dintre bobine Icircn cazul mediilor materiale izotrope inductanţele mutuale sunt identice Uzual se utilizează următoarea notaţie simplificată (31) MLLLLLL 2112222111 ==== Ţinacircnd seama de relaţiile (29)-(31) atunci ecuaţiile (27)-(28) devin

(32) dtdiM

dtdiLiRu 21

1111 ++=

(33) dtdiM

dtdiLiRu 12

2222 ++=

Prin reformularea ecuaţiilor (32)-(33) se obţine perechea de ecuaţii

(34) dt

)ii(dMdtdi)ML(iRu 211

1111+

+minus+=

(35) dt


2222+

+minus+=

pentru care este valabilă schema echivalentă din fig11


27

Fig11 Schema echivalentă a două bobine cuplate magnetic Prin analogie cu relaţia (24) inductanţele proprii şi mutuale pentru două bobine cuplate magnetic se calculează cu relaţiile

(36) 0i2

2

0i2

222

0i1

1

0i1

111

1122ii

NLii

NL====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=

(37) 0i1

2

0i1

22

0i2

1

0i2

11

2211ii

Nii

NM====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=

Observaţie Dacă bobinele din fig10 sunt cuplate inductiv printr-un miez de fier se obţine o maşină electrică statică (transformator) cu ajutorul căreia se pot transpune la alte valori tensiuni şi curenţi alternativi (fig12)

Fig12 Schema de principiu a unui transformator Datorită inversării continue a sensului de magnetizare icircn curent alternativ icircn miezul feromagnetic au loc pierderi prin histerezis şi pierderi prin curenţi turbionari Minimizarea pierderilor prin curenţi turbionari se realizează prin construirea miezului feromagnetic din pachete de tole subţiri II3 Energia cacircmpului magnetic Pentru a crea un cacircmp magnetic constant B cu ajutorul unei bobine ideale adică R=0 (fig7) curentul i prin bobină trebuie să crească de la valoarea 0 la valoarea finală maximă I Curentul i trebuie furnizat deci de o sursă de tensiune exterioară u căreia i se opune tensiunea de autoinducţie ui (regula lui Lenz)

(38) dtdiLuu i =minus=

Energia electrică dE consumată icircn acest scop icircn intervalul de timp dt este dată de relaţia (39) diiLdtiudE == Energia electrică totală este egală cu energia EL icircnmagazinată icircn cacircmpul magnetic conform principului conservării energiei Prin integrarea după i de la 0 la I a relaţiei (39) se obţine energia magnetică a bobinei sub forma

(40) I21LI

21

2iLLidiuidtE 2

I

0

2I

0

t

0L Ψ===== intint

Pentru o bobină cilindrică (solenoid) cacircmpul magnetic exterior faţă de cel din interiorul bobinei este aproape neglijabil Pentru acest caz se poate calcula uşor densitatea de energie a cacircmpului magnetic al bobinei de volum V sub forma


28

(41) lA

EVEw LL

m ==

Pe de altă parte dacă se ţine seama de expresia intensităţii magnetice

(42) lINH =

şi cea a inductanţei relaţia (23)

(23) lANL

2

0μ=

se obţine expresia densităţii volumetrice de energie magnetică sub forma

(43) HB21H

21

lAI

lAN

21w 2

0

22

0m sdot=μ=μ=

Această relaţie nu se limitează la cacircmpul magnetic al unei bobine ci este general valabilă pentru toate cacircmpurile magnetice Astfel icircn cazul circuitului magnetic prezentat icircn fig13 legea lui Ohm generalizată are expresia (25) adică

(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=

Fig13 Circuit magnetic real Multiplicacircnd cu idt se obţine (44) diiLdtRidNidtRidtiu 22 +=Φ+= Termenul din membrul stacircng al ecuaţiei reprezintă energia cedată de sursa de tensiune icircn intervalul de timp dt primul termen al membrului drept este energia transformată icircn căldură icircn rezistenţă şi al doilea termen este energia consumată pentru crearea cacircmpului magnetic Dacă se iau icircn considerare dimensiunile miezului şi se presupune că se obţine un cacircmp magnetic omogen atunci se poate scrie (45) dBNiAdNidiiLdWm =Φ== Aplicacircnd legea lui Ampeacutere pe perimetrul mediu al miezului toroidal Cm=2πRm se obţine (46) NiR2HCH mm =π= iar prin substituţie relaţia (45) devine (47) dBVHdBACHdW mm == unde (48) ACV m= reprezintă volumul miezului feromagnetic Energia magnetică a miezului feromagnetic se obţine prin integrarea relaţiei (47)

(49) HVB21

2HVdHHVdBHVW

2H

0

B

0m sdot=μ=sdotμ=sdot= intint

Conform definiţiei (41) densitatea de energie are valoarea

(50) HB21HdB

VWw

B

0

mm sdot=== int


29

Dacă se micşorează intensitatea cacircmpului magnetic de la valoarea sa finală la zero atunci se cacircştigă icircnapoi icircntreaga energie magnetică (prin inducţie electromagnetică) dacă materialul nu are histerezis Dacă din contră la un material cu histerezis ciclul de histerezis este parcurs o dată complet atunci conform relaţiei (50) apare o pierdere de remagnetizare ndash pierdere prin histerezis - care este proporţională cu suprafaţa ciclului de histerezis (fig14)

Fig14 Pierderi prin histerezis Suprafaţa haşurată orizontal corespunde energiei consumate iar suprafaţa haşurată vertical corespunde energiei recuperate


30

III Conversia electrodinamică a energiei III1 Conversia energiei icircn cadrul maşinilor electrice Prin starea de echilibru (stare staţionară) a unui sistem fizic se icircnţelege o stare icircn care mărimile care definesc proprietăţile sistemului (mărimile de stare) nu variază icircn timp Energia unui sistem fizic este o mărime fizică de stare care caracterizează sistemul icircntr-o stare staţionară Energia se exprimă icircn raport cu mărimile de stare Din energia totală a unui sistem se pot separa anumite părţi numite forme de energie care depind numai de o anumită clasă de mărimi de stare (mărimi mecanice electrice magnetice etc) Icircn acest caz forma de energie capătă denumirea clasei de mărimi de care este dependentă energie mecanică energie electrică energie magnetică etc Modificarea stării unui sistem fizic se numeşte transformare iar orice transformare conduce la modificarea diferitelor forme de energie care caracterizează sistemul fizic Descompunerea energiei unui sistem fizic icircn categorii distincte este posibilă numai pentru cazuri foarte simple Icircn sistemele reale coexistă mai multe forme de energie iar procesele de conversie asigură dinamica acestor procese Expresia energiei unui sistem reprezintă o sumă a tuturor energiilor părţilor componente ale sistemului Astfel se ajunge la limită la noţiunea de densitate de energie care depinde numai de mărimile de stare locale Energia electromagnetică este forma de energie care depinde de mărimile de stare ale cacircmpului electromagnetic Ea se poate descompune icircn energie electrică care depinde numai de mărimile electrice ale cacircmpului şi energie magnetică ce depinde de mărimile magnetice ale cacircmpului Energia electromagnetică joacă un rol deosebit icircn procesele tehnologice datorită proprietăţilor sale bull se produce pe baza conversiei altor forme de energie din lucru mecanic sau din căldură bull se poate converti icircn alte forme de energie icircn lucru mecanic sau icircn căldură bull se poate stoca bull se poate transmite la distanţe mari cu pierderi relativ mici prin linii aeriene sau cabluri bull se poate diviza icircn cantităţi extrem de mici sau extrem de mari bull se poate livra la valori diferite ale parametrilor săi bull nu este poluantă Convertorul electric (maşinile electrice) transformă energia electromagnetică icircn alte forme de energie icircn lucru mecanic icircn căldură sau tot icircn energie electromagnetică dar cu alţi parametri de stare transformările sunt uneori reversibile (fig1)

Fig1Transformări ale energiei electromagnetice icircn alte forme de energie

electromagneticatildeEnergie

conversiemagneto-hidro-dinamicatilde

conversiemecanoelectricatilde

conversieelectromecanicatilde

reactiielectrochimice

Lucru mecanicEnergiemecanicatilde

Energieluminoasatilde

Energiechimicatilde Catildelduratilde

electrolizatilde

efect Joule

descatildercatilderi electrice

efect fotovoltaic


31

Principiul de funcţionare al unui convertor electric constă icircn crearea unui cacircmp electric sau a unui cacircmp magnetic datorită căruia se produce transformarea unei părţi a energiei de intrare icircntr-o formă de energie energia de ieşire Energia icircnmagazinată icircn acest cacircmp electric sau cacircmp magnetic se numeşte energie intermediară Icircn baza principiului de funcţionare convertoarele electrice se pot clasifica icircn două categorii bull convertoare electrice cu energie electrică intermediară bull convertoare electrice cu energie magnetică intermediară

Marea majoritate a convertoarelor electrice sunt cu energie magnetică intermediară Acest lucru se explică prin faptul că la solicitări limită densitatea de volum a energiei magnetice wm are valori mult mai mari decacirct densitatea de volum a energiei electrice we Astfel pentru aer la solicitările limită B0=1 T şi E0=30 kVcm raportul celor două densităţi de energie este

(1) 4200

020

e

m 102E

2Bww

congε

μ=

indicacircnd avantajele economice ale convertoarelor cu energie magnetică intermediară Icircn cadrul unui convertor electric circuitul electric (cu rol de bobină) este sursă pentru cacircmpul magnetic Pentru consolidare dar şi pentru amplificarea cacircmpului bobinele sunt aşezate pe suporţi numiţi circuite magnetice care pot fi executate din diverse materiale feromagnetice Icircn acest fel prin circuitul magnetic se icircnchide cacircmpul magnetic produs de bobină şi amplificat de circuitul magnetic Principalele aplicaţii ale convertoarelor cu energie magnetică intermediară sugerează gruparea acestora icircn două mari categorii bull convertoare de tip electric-electric bull convertoare electromecanice

Convertoarele de tip electric-electric asigură conversia energiei electrice tot icircn energie electrică dar cu alţi parametri Aceste convertoare se mai numesc şi transformatoare electrice Convertorul de tip electric-electric cu energie magnetică intermediară funcţionează pe principiul enunţat de legea inducţiei electromagnetice Aceste convertoare nu au elemente icircn mişcare (curba care determină suprafaţa fluxului asociat este fixă şi nedeformabilă) Icircn consecinţă variaţia fluxului magnetic are loc numai prin variaţia icircn timp a cacircmpului magnetic B iar ca surse ale cacircmpului magnetic sunt utilizate circuite electrice alimentate icircn curent alternativ Astfel funcţionarea unui convertor de tip electric-electric are la bază cuplajul magnetic a două sau mai multe circuite electrice Convertoarele de tip electromecanic efectuează conversia energiei electrice icircn energie mecanică sau invers procesul fiind reversibil Icircn cazul icircn care se efectuează conversia electromecanică convertorul funcţionează icircn regim de motor Pe de altă parte atunci cacircnd se efectuează conversia mecanoelectrică se spune că acesta funcţionează icircn regim de generator respectiv se numeşte generator electric Principiul de funcţionare a unui convertor electromecanic constă icircn exercitarea asupra elementelor mobile ale convertorului a unei forţe numită forţă electromagnetică sau a unui cuplu numit cuplu electromagnetic determinate de variaţia energiei magnetice (fig2) Forţele sau cuplurile electromagnetice acţionează astfel icircncacirct energia magnetică să scadă

Fig2 Interacţiunea dintre linia de cacircmp creat de un pol inductor şi un conductor parcurs de curent


32

Forţa electromagnetică rezultată (forţa Laplace) poate fi interpretată fenomenologic şi cu ajutorul bdquopresiuniirdquo magnetice pe care o exercită cacircmpul magnetic asupra conductorului (fig3)

Fig3 Interacţiunea dintre cacircmpurile magnetice produse de un pol inductor şi un conductor parcurs de curent

Astfel prin compunerea spaţială a liniilor de cacircmp ale polului inductor (fig3a) cu cele create de un conductor parcurs de curent (fig3b) rezultă un cacircmp magnetic neomogen (fig3c) unde liniile de deasupra conductorului se adună iar cele de sub conductor se scad Icircn consecinţă forţa dezvoltată acţionează dinspre liniile de cacircmp cu densitate mai mare spre cele cu densitate mai mică (icircn cazul nostru icircn jos) Principalele materiale electrotehnice utilizate icircn construcţia convertoarelor electromecanice cu energie magnetică intermediară sunt materialele conductoare materialele magnetice şi materialele izolante Materialele conductoare folosite sunt destinate icircn principal realizării icircnfăşurărilor se utilizează cupru şi aluminiu sub formă de cabluri şi sacircrme trefilate Conductoarele din care se realizează icircnfăşurările sunt fiecare icircn parte izolate Materialele magnetice utilizate icircn construcţia convertoarelor electromecanice sunt materialele feromagnetice moi şi materialele feromagnetice dure (magneţii permanenţi) Din materialele feromagnetice moi se construiesc miezurile magnetice ale convertoarelor iar magnetizarea lor temporară se realizează cu ajutorul bobinelor aşezate pe aceste miezuri Cacircnd icircntr-un astfel de miez este distribuit un cacircmp magnetic a cărui intensitate variază icircn timp valoarea cacircmpului B se modifică icircn fiecare moment de timp pe curba neliniară şi neunivocă a ciclului de histerezis icircn funcţie de valoarea instantanee a intensităţii magnetice Curba de histerezis a acestor tipuri de materiale feromagnetice este caracterizată de o valoare redusă a intensităţii magnetice coercitive Hc (de ordinul zecilor de Am) o valoare a cacircmpului remanent Br (de ordinul a 05 T) şi o valoare a cacircmpului de saturaţie Bs de aproximativ 18divide2T Aceste materiale care se magnetizează şi se demagnetizează uşor (datorită valorii reduse a intensităţii magnetice coercitive) se utilizează pentru construcţia miezurilor magnetice şi se prezintă sub formă de tablă subţire laminată la cald sau la rece şi izolată cu oxizi ceramici Tabla are grosime de 02divide05 mm icircn funcţie de condiţiile de utilizare Pentru obţinerea magneţilor permanenţi se utilizează materiale feromagnetice dure caracterizate printr-un cacircmp remanent Br icircn gama 06divide12T şi o intensitate magnetică coercitivă Hc de ordinul kAm Valorile foarte mari ale acestui parametru determină ca aceste tipuri de materiale magnetizate să fie greu de demagnetizat Materialele izolante au rol de mediu dielectric contribuind la consolidarea mecanică a părţilor conductoare (sub formă de pene distanţoare etc) şi la evacuarea căldurii rezultate icircn timpul funcţionării icircn părţile active (icircnfăşurări şi miezuri) Alegerea materialelor izolante se realizează icircn acord cu clasa de izolaţie a convertorului Pe durata funcţionării unui convertor electric pe lacircngă conversia energiei dintr-o formă icircn alta se produce şi o disipare de energie datorată pierderilor inerente funcţionării Căldura rezultată din această disipare este transmisă icircn exterior prin elementele constructive şi circuitul de răcire Pierderile de energie se produc icircn principal icircn circuitele active ale convertorului şi sunt datorate fenomenelor electromagnetice (icircnfăşurări armături magnetice) şi mecanice (cacircnd

a b c


33

sunt elemente icircn mişcare) Icircn cazul fenomenelor electromagnetice pierderile de energie se explică prin procesele fizice care sunt legate de conducţia electrică şi magnetizarea materialelor magnetice Pierderile de energie mecanică au loc icircn circuitul mecanic şi sunt datorate forţelor sau cuplurilor parazite (frecări ventilaţie etc) Convertoarele de tip electric-electric nu au armături icircn mişcare Icircn regim permanent de funcţionare este mai comod să se analizeze pierderile de putere icircn locul pierderilor de energie Pierderile de putere icircn circuitele electrice sunt pierderi prin efect Joule icircn icircnfăşurări Pierderile de putere icircn circuitul magnetic sunt pierderi care apar ca urmare a două efecte datorate distribuţiei unui cacircmp magnetic variabil icircn timp icircntr-o armătură feromagnetică efectul apariţiei curenţilor turbionari şi efectul magnetizării neunivoce după o curbă de histerezis Intensitatea curenţilor turbionari prin circuitele elementare se poate reduce prin creşterea rezistivităţii electrice a acestora adică prin alierea oţelului electrotehnic cu siliciu şi prin lamelarea miezului feromagnetic realizat din facircşii de tablă (tole) izolate icircntre ele Pierderile prin histerezis (pierderile de remagnetizare) sunt proporţionale cu aria ciclului de histerezis al materialului feromagnetic utilizat O posibilitate de reducere a acestor tipuri de pierderi este utilizarea de materiale cu ciclu de histerezis cacirct mai icircngust III2 Elemente constructive ale circuitelor magnetice După cum s-a menţionat bobinele parcurse de curenţi (care reprezintă sursele cacircmpului magnetic) sunt aşezate pentru consolidare şi pentru amplificarea cacircmpului magnetic pe circuite magnetice executate din materiale feromagnetice Este evident că un rol suplimentar al circuitului magnetic este de a realiza cuplajul magnetic icircntre bobina inductoare (bobina care creează cacircmpul magnetic) şi bobina indusă (bobina unde se determin fluxul magnetic şi variaţia acestuia) iar forma circuitelor magnetice depinde de tipul convertorului Icircn cazul transformatorului electric există un singur circuit magnetic (o singură armătură magnetică) care este imobil (fig4) Acest circuit este realizat compact pentru a avea un consum minim de energie pentru magnetizarea sa

Fig4 Circuitul magnetic al unui transformator electric Icircn cazul convertoarelor electromecanice circuitul magnetic este executat din două părţi (două armături aflate icircn mişcare relativă) Cele două armături sunt separate de un spaţiu de aer (icircntrefier) care permite mişcarea relativă a armăturilor icircntre ele Convertoarele electromecanice se pot clasifica după modul de variaţie a cacircmpului magnetic pe direcţia de mişcare a armăturii mobile la un moment dat icircn bull electromagneţi la care cacircmpul magnetic nu se modifică după direcţia de mişcare bull maşini electrice (rotative liniare) la care cacircmpul magnetic se modifică după direcţia de

mişcare Icircn cazul construcţiei circulare a maşinilor electrice armătura fixă se numeşte stator iar armătura mobilă se numeşte rotor (fig5) Icircn construcţia clasică armătura exterioară este statorul şi armătura interioară este rotorul dar se folosesc şi construcţii inversate (rotor exterior) Valoarea δ a icircntrefierului este mult mai mică decacirct valoarea D a diametrului interior al armăturii exterioare


34

Fig5 Circuitul magnetic al unei maşini electrice rotative Mai multe bobine icircnseriate formează o icircnfăşurare Icircn cazul transformatorului electric icircnfăşurarea inductoare şi icircnfăşurarea indusă sunt aşezate pe aceeaşi armătură Icircn cazul maşinilor electrice icircnfăşurările inductoare respectiv induse sunt aşezate pe armături diferite Electromagnetul are o singură icircnfăşurare care este inductoare (fig6)

Fig6 Circuitul magnetic al unui electromagnet Există cuplaje magnetice icircntre icircnfăşurările inductoare şi indusă dar şi cuplaje magnetice icircntre bobinele aceleiaşi icircnfăşurări sau icircntre icircnfăşurările inductoare dacă acestea sunt mai multe Icircn cazul maşinilor electrice bobinele icircnfăşurărilor pot fi aşezate icircn crestături (care sunt deschideri practicate icircn armătură) sau pe suporţi magnetici numiţi poli Construcţia cu bobine aşezate icircn crestături se numeşte construcţie cu poli icircnecaţi sau construcţie cu icircntrefier constant Pe de altă parte construcţia cu bobine aşezate pe poli se numeşte construcţie cu poli aparenţi sau construcţie cu icircntrefier variabil Icircn cazul transformatoarelor electrice şi a electromagneţilor zona unde este aşezată bobina se numeşte coloană Indiferent de tipul convertorului zonele din circuitul magnetic care nu au bobine şi care servesc la icircnchiderea cacircmpului magnetic se numesc juguri Funcţionarea convertoarelor electromecanice se bazează pe două fenomene cunoscute bull tendinţa de aliniere a două cacircmpuri magnetice bazată pe atracţia polilor magnetici de nume contrar (dipolul magnetic) ndash este cazul maşinilor electrice care au surse de cacircmp magnetic pe ambele armături bull tendinţa de aliniere icircntr-un cacircmp magnetic bazată pe atracţia unei piese feromagnetice faţă de polul cel mai apropiat ndash este cazul electromagneţilor şi al maşinilor electrice care au surse de cacircmp magnetic numai pe o armătură (maşinile cu reluctanţă comutată)


35

III3 Principii de funcţionare a maşinii de curent continuu Maşinile de curent continuu sunt utilizate din ce icircn ce mai puţin Totuşi din punct de vedere conceptual analiza modului de funcţionare prezintă importanţă pentru două motive bull deşi are construcţie complexă se pot introduce conceptele de forţă electromagnetică sau cuplu electromagnetic icircntr-un mod relativ uşor şi care pot fi modelate cu ecuaţii simple bull cacircmpurile magnetice create icircmpreună cu ecuaţiile de tensiuni şi cuplu electromagnetic pot fi utilizate uşor pentru dezvoltarea ideilor tehnicilor de control vectorial La maşinile de curent continuu cacircmpul inductor este produs de polii de excitaţie icircn cadrul cărora forţa magnetomotoare (solenaţia) se obţine printr-o icircnfăşurare de excitaţie La maşinile mici de curent continuu se utilizează şi magneţi permanenţi Icircn fig7a se prezintă o secţiune dintr-un circuit magnetic format dintr-o pereche de poli magnetici (fără jug) şi un cilindru realizat din material feromagnetic moale O proprietate importantă a materialelor magnetice moi este aceea că la suprafaţa acestora cacircmpul magnetic tinde să fie perpendicular (normal) pe suprafaţă (fig7b) Icircn consecinţă ansamblu format din magnetul permanent şi forma cilindrică a suprafeţei materialului feromagnetic creează un cacircmp magnetic icircn icircntrefier de amplitudine aproximativ constantă şi direcţie radială (fig7c) Cacircmpul magnetic este pozitiv sub polul sud şi negativ icircn regiunea polului nord Există de asemenea o regiune mică bdquoneutrărdquo unde cacircmpul are valoare mică şi icircşi modifică polaritatea

Fig7Circuit magnetic de generare a unui cacircmp magnetic radial icircn icircntrefier Icircn fig8 se prezintă un motor de curent continuu elementar unde circuitul rotoric este format dintr-o spiră conductoare aarsquo alimentată icircn curent continuu prin intermediul lamelelor s1s2 şi a periilor b1b2 Lungimea activă a spirei conductoare este l1 iar diametrul său este l2 Poziţia instantanee a rotorului este evidenţiată prin intermediul unghiului θR măsurat icircn raport cu poziţia verticală a spirei conductoare

Fig8 Motor de curent continuu elementar a vedere de ansamblu b secţiune transversală

Deşi icircntr-un context general expresia analitică a cuplului electromagnetic se determină cu ajutorul teoremei forţelor generalizate icircn această situaţie particulară ea poate fi obţinută aplicacircnd expresia forţei electromagnetice (Laplace) Forţa electromagnetică exercitată asupra laturii a a spirei conductoare este (2) BilF 1a =

r

a b


36

şi este tangenţială direcţiei de rotaţie Momentul rezultat este de forma

(3) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr

Icircn mod similar se obţine expresia pentru forţa exercitată asupra laturii arsquo (4) Bil)B(l)i(F 11a =minusminus=

r

obţinacircndu-se momentul

(5) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr

Cuplul electromagnetic dezvoltat de cele două forţe egale şi de direcţii opuse este

(6) BllKiKiB2ll2 21TT

21aam ===τ+τ=τrrr

Observaţie Cuplul electromagnetic poate fi obţinut şi cu ajutorul conceptului de moment magnetic de dipol (7) 2121m llSniBllBxniBxm =====τ

rrrr Expresia cuplului electromagnetic (6) dependentă de valoarea cacircmpului magnetic B şi de cea a curentului care străbate spira conductoare (dipolul magnetic) este valabilă atacirct timp cacirct curentul prin cele două laturi nu icircşi schimbă sensul Pentru ca această expresie să rămacircnă validă indiferent de poziţia spirei conductoare direcţia curentului trebuie schimbată de fiecare dată cacircnd spira conductoare se află icircn poziţie verticală (icircn zona bdquoneutrărdquo) fig9

Fig9 Etape ale procesului de comutaţie a curentului prin spira conductoare


37

Comutarea curentului prin laturile spirei conductoare are loc pentru poziţii ale spirei determinate de unghiul θR=0 şi θR=π Icircn acest fel la fiecare jumătate de rotaţie a rotorului direcţia curentului prin spira conductoare se modifică

Tensiunea electromotoare indusă icircn spira conductoare de cacircmpul magnetic extern (de excitaţie)

Conform legii Faraday-Henry variaţia unui flux magnetic care traversează o spiră Γ (un contur oarecare) determină apariţia unei tensiuni electrice induse icircn spira străbătută de fluxul fascicular determinat printr-o suprafaţă oarecare care se sprijină pe spira Γ (fig10)

Fig10 Aplicarea legii inducţiei electromagnetice

(8) intΓ

sdotminus=S

i SdBdtdu

rr

sau

(9) dtduiΦ

minus=

(10) intΓ

sdot=ΦS

SdBrr

Fluxul fascicular poate varia fie datorită variaţiei cacircmpului magnetic B fie datorită variaţiei suprafeţei asociate S Icircn cazul motorului de curent continuu elementar cacircmpul magnetic asigurat de polii inductori este constant icircn amplitudine şi de semn contrar sub cei doi poli magnetici datorită mişcării de rotaţie prin suprafaţa delimitată de spiră se vor icircnchide linii de cacircmp de direcţii contrare dependente de poziţia ei instantanee Icircn consecinţă datorită variaţiei cacircmpului magnetic prin suprafaţa spirei icircn spira conductoare va apărea o tensiune electromotoare indusă de cacircmpul magnetic al polilor inductori Se consideră drept suprafaţă a fluxului fascicular suprafaţa delimitată de semicilindrul avacircnd generatoarea l1 şi raza l22 (fig11)

Fig11 Delimitarea suprafeţei asociată fluxului fascicular Dacă se neglijează liniile de cacircmp care se icircnchid prin cele două semidiscuri extreme (fiind de valoare neglijabilă) atunci suprafaţa laterală a semicilindrului are valoarea

(11) 12 l

2lS π

=

Icircn poziţia θR=0 fluxul fascicular are valoarea

(12) 12 l

2lBBS π

==Φ

SΓ

dS

Γ


38

Fig12 Definirea ariei elementare de integrare pentru determinarea fluxului fascicular Pentru θRne0 icircnsă valoarea cacircmpului magnetic asociate suprafeţei delimitate este dependentă de poziţia instantanee a spirei conductoare De aceea calculul fluxului fascicular trebuie determinat cu ajutorul integralei de suprafaţă definită de relaţia (10) Delimitarea ariei elementare se realizează conform fig12 Ţinacircnd seama de faptul că amplitudinea cacircmpului magnetic schimbă de semn la valori ale unghiului θR=kπ atunci fluxul fascicular trebuie calculat pe subintervale Pentru 0ltθRltπ se obţine

(13) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2l)B(dzd

2lBSdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

θπθθπθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ

minus=minusminus=minus=

=minus+=sdot=

+

+

int intint intintrr

Similar pentru πltθRlt2π

(14) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2lBdzd

2l)B(SdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

πθθπθθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ

minus=+minus=+minus=

=+minus=sdot=

+

+

int intint intintrr

Icircn ansamblu oricare ar fi θR expresia fluxului fascicular se poate scrie sub forma

(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ

unde (θR mod π) reprezintă restul obţinut după eliminarea multiplilor numărului π Dependenţa fluxului fascicular de poziţia spirei conductoare este prezentată icircn fig13

Fig13 Dependenţa fluxului fascicular de poziţia spirei conductoare Conform relaţiei (9) tensiunea electromotoare indusă icircn spira conductoare aarsquo are valoarea

(16) RER21R

21R

R

R21R

R

RRi KBll

dtdBll

dtd))

2mod(Bll(

dtd)(

dt)(du ω=ω=

θ=

θθpart

πminusπθpart

=θ

θpartθΦpart

minus=θΦ

minus=


39

Tensiunea electromotoare indusă icircn spira conductoare este proporţională cu viteza de rotaţie a spirei Constanta tensiunii electromotoare KE [Vsrad] este numeric egală cu expresia constantei de cuplu KT [NmA]

Tensiunea electromotoare autoindusă icircn spira conductoare

Pe lacircngă cacircmpul magnetic B creat de polii magnetici inductori icircn circuitul magnetic prezentat icircn fig11 mai ia naştere un cacircmp magnetic icircn jurul laturilor spirei conductoare Ba a cărui cauză o constituie curentul care parcurge laturile spirei (fig14)

Fig14 Cacircmpul magnetic creat de spira conductoare Cacircmpul magnetic astfel generat nu mai este omogen fiind dependent atacirct de valoarea curentului care străbate spira conductoare cacirct şi de distanţa faţă de laturile parcurse de curent (17) )(Ki)i(B RRa θminusθsdot=θminusθ unde

(18) ⎩⎨⎧

πleθminusθleπltπleθminusθlegt

θminusθ20

00)(K

R

RR

Spre deosebire de cazul anterior sensul acestui cacircmp magnetic nu schimbă de sens pe spira diametrală Fluxul asociat aceleiaşi suprafeţe sprijinite pe spira conductoare şi cauzat de curentul care parcurge spira este

(19) int intint intint++

minus=minus=sdot=1 R

R

1 R

R

l

0R

2R

l

0

2

Sa dzd)(Ki

2ldzd)(Ki

2ldSB)i(

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθψ

Deoarece evaluarea analitică a expresiei (18) este mai complexă se poate continua analiza prin definirea inductanţei proprii a spirei conductoare sub forma

(20) i

)i(Laψ

=

unde conform relaţiei (19)

(21) 0dzd)(K2lL

1 R

R

l

0R

2def

a gtminus= int int+πθ

θ

θθθ

Observaţie Inductanţa proprie a spirei cumulează datele constructive ale spirei conductoare Aparent conform relaţiei (21) inductanţa proprie variază cu poziţia spirei θR Icircn realitate icircntr-o construcţie practică de motor există un număr mare de spire uniform distribuite pe periferia rotorului şi astfel datorită simetriei inductanţa proprie devine independentă de θR Icircn condiţiile izotropiei magnetice relaţia (19) devine (22) iL)i( a=ψ Atunci cacircnd rotorul este blocat (şi deci nu se induce tensiune de către cacircmpul exterior de excitaţie) legea lui Ohm generalizată are forma

(23) dtdiLiR

dt)i(diRV aS +=

ψ+=

unde R este rezistenţa spirei iar VS este tensiunea sursei aplicată spirei de curent (fig11)


40

Dacă icircnsă se consideră şi tensiunea electromotoare indusă de cacircmpul exterior de excitaţie care se suprapune peste tensiunea din spiră independent de aceasta atunci ecuaţia (23) devine

(24) REaiaS KdtdiLiRu

dtdiLiRV ω++=++=

Prin conectarea unui arbore la un capăt al spirei rotitoare cuplul electromagnetic generat de spira conductoare poate realiza lucru mecanic (ridicat greutăţi etc) Fie DωR cuplul de frecări vacircscoase datorat periilor rulmenţilor etc Atunci legea a doua a lui Newton pentru corpurile icircn rotaţie are expresia

(25) RLmR D

dtdJ ωminusτminusτ=ω

unde J reprezintă momentul de inerţie al rotorului iar τL reprezintă cuplul de sarcină Ecuaţiile (6) şi (24) descriu regimul dinamic al sistemului electromagnetic pentru un motor de curent continuu elementar cu magneţi permanenţi iar ecuaţia (25) descrie regimul dinamic al sistemului mecanic

Conversia energiei electromecanice Puterea mecanică produsă de motorul de curent continuu elementar are expresia (26) R21RTRmm BliliKP ω=ω=ωτ= Pe de altă parte puterea electrică absorbită de tensiunea electromotoare (puterea indusă) este (27) R21REii BliliKiuP ω=ω== Cu alte cuvinte puterea electrică absorbită de tensiunea electromotoare este convertită icircn puterea mecanică produsă O altă posibilitate de analiză a procesului de conversia a energiei este de-a transforma ecuaţia de echilibru al tensiunilor (24) icircntr-o ecuaţie de echilibru al puterilor prin icircnmulţirea ei cu termenul i(t) Se obţine

(28) Rm

2a

2RT

2a

2

REa2

S

)t(iL21

dtd)t(iRK)t(i)t(iL

21

dtd)t(iR

K)t(idt

)t(di)t(iL)t(iR)t(i)t(V

ωτ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=ω++=

Analizacircnd ecuaţia de echilibru al puterilor relaţia (28) se constată că puterea furnizată de sursă se transformă icircn căldură icircn rezistenţa R icircn variaţie a energiei magnetice icircnmagazinată icircn inductanţa La a spirei conductoare iar cantitatea iui se transformă icircn energie mecanică Motorul elementar cu excitaţie electromagnetică Pentru a creşte valoarea cacircmpului inductor icircn icircntrefier polii magnetici realizaţi cu ajutorul unor materiale magnetice dure magnetizate pot fi icircnlocuiţi cu un material magnetic moale care este magnetizat cu ajutorul unei bobine de excitaţie (fig15)

Fig15 Motor de curent continuu elementar cu icircnfăşurare de excitaţie Dacă punctul de funcţionare al circuitului magnetic de excitaţie se situează icircn zona liniară a caracteristicii de magnetizare valoarea cacircmpului inductor din miezul feromagnetic Bf este proporţională cu cea a curentului de excitaţie (29) fFf iKB =


41

Icircn regim normal de funcţionare curentul de excitaţie este menţinut constant Motorul de curent continuu elementar prezentat icircn fig15 nu prezintă importanţă decacirct din punctul de vedere al analizei principiilor sale de conversie a energiei O icircmbunătăţire a construcţiei sale constă icircn adăugarea de spire conductoare suplimentare pentru a creşte valoarea cuplului electromagnetic dezvoltat Pe de altă parte cacircmpul magnetic produs icircn jurul laturilor spirei conductoare Ba reprezentat icircn fig14 se constituie icircntr-un cacircmp magnetic extern pentru icircnfăşurarea de excitaţie reprezentată icircn fig15 Datorită construcţiei electrice asimetrice (rotor cu o singură spiră conductoare) modificarea poziţiei spirei conductoare determină o variaţie a fluxului icircn icircnfăşurarea de excitaţie ceea ce determină icircn final inducerea unei tensiuni Această tensiune indusă perturbă echilibrul de tensiuni din icircnfăşurarea de excitaţie şi deci creează probleme serioase cu privire la menţinerea unui curent de excitaţie constant Simetrizarea circuitului electric rotoric prin adăugarea de spire conductoare repartizate uniform la periferia rotorului reduce icircn mod considerabil acest fenomen perturbator Motorul de curent continuu cu rotor simetrizat electric Icircn fig16 se prezintă un motor de curent continuu cu circuit rotoric simetrizat electric obţinut prin adăugarea de spire conductoare identice şi dispuse icircn mod uniform icircn crestăturile rotorului Icircn situaţia prezentată rotorul este format din patru bobine fiecare bobină fiind formată din cacircte două spire conductoare

Fig16 Motor de curent continuu cu circuit electric rotoric simetrizat Aşa cum s-a menţionat prin utilizarea unui număr n de spire conductoare pe circuitul rotoric cuplul electromagnetic dezvoltat creşte icircn mod proporţional (30) i)i(BllniKn f21Tm ==τ Evident că şi de această dată trebuie utilizată o metodă pentru a asigura reversarea curentului icircn fiecare spiră la fiecare jumătate de rotaţie astfel icircncacirct toate spirele de sub un pol magnetic să aibă acelaşi sens Icircn noua situaţie construcţia ansamblului perii-lamele colectoare se complică pe de o parte prin faptul că numărul de lamele creşte iar pe de altă parte deoarece se impune o conectare adecvată a bobinelor astfel icircncacirct ele să fie alimentate chiar dacă lamelele proprii nu sunt icircn contact direct cu periile (fig17)

Fig17Construcţia colectorului unui motor de curent continuu De aceea spirele individuale ale icircnfăşurării rotorice sunt conectate icircn poligon Colţurile poligonului sunt conectate la lamelele colectorului care se roteşte odată cu rotorul Fiecare lamelă este izolată electric faţă de restul construcţiei Numărul de lamele este egal cu numărul de bobine din care este executată icircnfăşurarea Calea de curent de la lamelele colectorului se


42

realizează prin contacte alunecătoare (perii de grafit) icircntr-un mod icircn care să nu afecteze rotaţia şi respectacircnd condiţia ca mereu să apară aceeaşi succesiune a sensului curentului şi cacircmpului icircncacirct forţa periferică asupra tuturor conductoarelor să fie icircn direcţie tangenţială icircn acelaşi sens Principala proprietate a icircnfăşurării cu colector constă icircn faptul că axa magnetică a icircnfăşurării rotorice nu se modifică dacă rotorul icircşi modifică viteza unghiulară ωR iar periile sunt fixe şi alimentate cu un curent constant i Acest lucru este posibil deoarece dacă rotorul s-a deplasat cu o crestătură icircntre două perii succesive se obţine aceeaşi structură de icircnfăşurare icircnsă cu altă componenţă ca bobine fizice ceea ce nu modifică icircnsă cacircmpul magnetic icircn raport cu statorul (fig18)

Fig18 Modelarea icircnfăşurării rotorice ca o bobină cilindrică staţionară (solenoid) Periile se găsesc aşezate icircn axele polilor magnetici create de rotor Icircn axa polilor magnetici (axa periilor) curentul prin icircnfăşurarea rotorului schimbă de sens Deoarece cacircmpul magnetic creat de icircnfăşurarea rotorică este cvasiinvariant icircn raport cu statorul atunci circuitul rotoric poate fi modelat cu ajutorul unei bobine cilindrice cvasistaţionare a cărei axă magnetică este ortogonală (perpendiculară) icircn raport cu cea a polilor inductori Această abordare constituie baza teoriei maşinii generalizate (teoria celor două axe) care pe baza unor transformări echivalente energetic o maşină electrică oarecare poate fi modelată cu ajutorul unei maşini virtuale care are un număr adecvat de icircnfăşurări cvasistaţionare icircntre ele dispuse ortogonal Dispunerea ortogonală a două bobine prezintă avantajul că elimină cuplajul magnetic icircntre acestea Cu alte cuvinte fenomenele electromagnetice sunt decuplate tensiunea indusă icircntr-o buclă paralelă cu liniile de cacircmp fiind nulă (fluxul este nul deoarece suprafaţa intersectată de liniile de cacircmp este nulă) fig19

Fig19 Eliminarea cuplajului magnetic prin dispunerea ortogonală a bobinelor Din punct de vedere matematic eliminarea cuplajului magnetic poate fi explicat pe baza definiţiei fluxului care este un produs scalar dintre două mărimi vectoriale (31) ))SB(cos(SBSB

rrrrrrrang=sdot=Φ

Cum unghiul dintre cei doi vectori este 90ordm atunci fluxul rezultat este nul


43

Pe baza acestor consideraţii se pot prezenta configuraţiile individuale ale cacircmpurilor circuitului statoric (icircnfăşurarea de excitaţie fig20a) şi circuitului rotoric (fig20b) precum şi geometria cacircmpului magnetic rezultant (fig20c) După cum se observă sub o parte a polilor inductori cacircmpul magnetic al rotorului şi cacircmpul magnetic inductor au acelaşi sens iar sub cealaltă parte au sensuri opuse Icircn cazul unei caracteristici de magnetizare liniare cacircmpul magnetic rezultant rămacircne neschimbat deoarece scăderea cacircmpului rezultant icircntr-o parte a polilor este compensată de creşterea cacircmpului icircn cealaltă parte Datorită reacţiei indusului se produce numai o distorsionare a liniilor cacircmpului magnetic rezultant Compensarea cacircmpului magnetic produs de indus se poate realiza printr-o icircnfăşurare de compensaţie conectată icircn serie cu indusul

Fig20 Geometria cacircmpurilor magnetice ale maşinii de curent continuu

Modelul matematic al motorului de curent continuu cu icircnfăşurare de excitaţie separată Spre deosebire de motoarele de curent continuu cu magneţi permanenţi unde cacircmpul magnetic inductor este constant şi determinat de magneţii permanenţi icircn cazul motoarelor de curent continuu cu excitaţie electromagnetică valoarea cacircmpului inductor poate fi controlată prin intermediul unei bobine parcursă de un curent de excitaţie Icircn acest caz modelul matematic trebuie să includă o ecuaţie suplimentară care să descrie dinamica circuitului electromagnetic de excitaţie adică dependenţa cacircmpului inductor de curentul de excitaţie B(if) Consideracircnd că bobina de excitaţie este formată din Nf spire atunci fluxul de excitaţie poate fi exprimat sub forma (32) )i(N)i( fffff Φ=ψ consecinţă a faptului că fluxul fascicular Φf(if) definit icircn raport cu suprafaţa Sf a unei spire de excitaţie străbate Nf suprafeţe (Nf spire) Relaţia (32) poate fi dezvoltată sub forma (33) )i(BSN)i( ffffff =ψ Pe de altă parte icircnsă datorită legii conservării fluxului fluxul de excitaţie definit icircn raport cu suprafaţa Sf trebuie să fie egal cu fluxul de excitaţie definit icircn raport cu suprafaţa delimitată de semicilindrul rotoric (fig21)

Fig21 Tub de flux magnetic delimitat de linii paralele de cacircmp (34) S)i(BS)i(B)i( ffffff

rrrrsdot=sdot=Φ

Se obţine (35) 2ll)i(Bll)i(B)i( 21f21ffff π==Φ

r

a b c


44

Fluxul de excitaţie definit de relaţia (32) poate fi exprimat sub forma (36) ff21ffff iL2ll)i(BN)i( =π=ψ unde icircn condiţii de liniaritate magnetică inductanţa proprie a icircnfăşurării de excitaţie este definită cu relaţia

(37) f

fff i

)i(L ψ=

Ecuaţia de echilibru dinamic al tensiunilor circuitului de excitaţie devine

(38) dt

)t(diL)t(iRdt

)t(d)t(iR)t(V ffff

ffff +=

ψ+=

Ultimul termen al ecuaţiei (38) reprezintă tensiunea electromotoare autoindusă icircn icircnfăşurarea de excitaţie Pe de altă parte datorită poziţionării ortogonale a icircnfăşurării rotorice considerată cvasistaţionară tensiunea electromotoare indusă icircn icircnfăşurarea de excitaţie este nulă Din punctul de vedere al circuitului rotoric conform fig18 icircnfăşurarea rotorică are de această dată o inductanţă proprie echivalentă La independentă de poziţia rotorului Icircnsă deşi considerată global ca fiind o icircnfăşurare staţionară fiecare spiră conductoare are o mişcare relativă faţă de cacircmpul magnetic inductor B(if) ceea ce determină apariţia unui flux magnetic variabil ψ(if θR) şi deci o tensiune electromotoare indusă de icircnfăşurarea de excitaţie

(39) dt

d)i(dtdi

i)i(

dt)i(du R

R

Rff

f

RfRfi

θθpartθψpart

minuspart

θψpartminus=

θψminus=

Icircn condiţii normale de funcţionare termenul dtdi

i)i( f

f

Rf

partθψpart este neglijabil ceea ce face ca

expresia tensiunii electromotoare indusă să devină

(40) RR

RfR

R

Rfi

)i(dt

d)i(u ωθpartθψpart

minus=θ

θpartθψpart

minus=

Icircn cazul unui rotor bobinat cu n spire conductoare repartizate uniform expresia fluxului fascicular dedusă pentru un bobinaj cu o singură spiră relaţia (15)

(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ

se adaptează pentru spira k sub forma

(41) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minus+θminus=θΦ2

modn

)1k()i(Bll)i( Rf21Rfk

Fluxul de legătură rezultat este

(42) sumsum==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minus+θminus=θΦ=θψn

1kRf21

n

1kRfkRf 2

modn

)1k()i(Bll)i()i(

Tensiunea electromotoare indusă definită de relaţia (40) devine

(43) RERf21RR

Rfi Kn)i(Blln)i(u ω=ω=ω

θpartθψpart

minus=

Ecuaţia de echilibru dinamic al tensiunilor din circuitul rotoric este

(44) REaS nKdt

)t(diL)t(Ri)t(V ω++=

Se observă din nou că nKT=nKE=nl1l2B(if) Pentru ca icircn ecuaţia (44) să se obţină o expresie explicită a dependenţa tensiunii induse de curentul de excitaţie pe baza relaţiilor (29) şi (35) se deduce expresia cacircmpului magnetic din icircntrefier sub forma

(45) fFfff iK2)i(B2)i(Bπ

=π

=

Icircn acest fel ecuaţia de cuplu (30) devine


45

(46) fMfF21m iiKiiK2lln =π

=τ

iar cea a echilibrului tensiunilor rotorice

(47) RfMaS iKdt


Icircn mod normal tensiunea de excitaţie Vf este menţinută constantă pentru a asigura un curent de excitaţie if constant la o anumită valoare Evident că icircn această situaţie ecuaţia (38) devine

(48) fff

ffff iRdtdiLiRV =+=

Pe de altă parte icircnsă tensiunea electromotoare indusă icircn circuitul rotoric relaţia (43) creşte proporţional cu viteza rotorică ωR chiar dacă se menţine constant curentul de excitaţie if Icircn acest caz tensiunea aplicată circuitului rotoric VS trebuie să fie din ce icircn ce mai mare pentru a putea menţine curentul rotoric i la valoarea impusă de cuplul electromagnetic dorit Ea nu poate fi icircnsă crescută peste o anumită valoare VSmax din anumite considerente (izolaţie tensiune maximă admisă icircntre lamelele colectoare adiacente) Pentru a putea funcţiona şi la viteze superioare vitezei ωb pentru care se atinge limita maximă a tensiunii se poate recurge la un compromis micşorarea fluxului de excitaţie (şi deci a tensiunii electromotoare induse) icircn detrimentul dezvoltării unui cuplu electromagnetic mai mic la acelaşi curent prin icircnfăşurarea rotorică Acest lucru se poate realiza prin controlul adecvat al tensiunii circuitului de excitaţie Vf care determină curentul de excitaţie şi deci fluxul de excitaţie ψf (fig22)

Fig22 Fluxul de referinţă pentru regiunea de subexcitare Icircn mod uzual referinţa de flux se determină după o lege dependentă de turaţia rotorului

(49) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

ψ

ωleωψ=ψ

bRR

b0f

bR0f

fref

Se observă astfel că prin asigurarea dependenţei hiperbolice a fluxului de excitaţie de viteza rotorului peste viteza de bază ωb se obţine

(50) const)(signLK

LK

LKiKu Rb0f

f

MR

R

b0f

f

MR

f

frefMRfMi =ωωψ=ω

ωω

ψ=ωψ

=ω=

Prin această strategie de subexcitare indiferent de viteza de rotaţie peste viteza de bază ωb motorul dezvoltă o putere constantă egală cu puterea nominală De aceea această regiune de funcţionare se mai numeşte şi regiunea de funcţionare de putere constantă Ea poate fi utilizată numai atunci cacircnd la acea viteză mărită sarcina solicită o putere mai mică decacirct puterea nominală a motorului III4 Principii de funcţionare a maşinii de inducţie Maşina de inducţie este convertorul electromecanic cel mai utilizat icircn acţionările electrice industriale Ca orice convertor electromecanic maşina asincronă are două armături realizate din tole de oţel electrotehnic uzual de 05 mm grosime izolate cu email şi stracircnse apoi icircn pachet La periferia interioară a statorului respectiv la periferia rotorului se practică crestături distribuite uniform icircn care se plasează icircnfăşurări Icircnfăşurările sunt parcurse de curenţi alternativi de frecvenţe diferite icircn stator şi rotor


46

Icircnfăşurarea care produce cacircmpul magnetic se numeşte icircnfăşurare inductoare (primară) şi poate fi monofazată bifazată sau trifazată De obicei statorul este inductor iar rotorul indus Pe indus (rotor) se plasează icircnfăşurarea secundară Rotorul se construieşte icircn două variante bobinat la care pe rotor se plasează icircnfăşurări conectate la inele de contact şi rotor icircn colivie formată dintr-un sistem de bare din aluminiu alamă bronz sau cupru distribuite uniform la periferia rotorică şi scurtcircuitate la ambele capete cu inele din acelaşi material Dimensiunea icircntrefierului uniform dintre stator şi rotor are o mare importanţă icircn performanţele convertorului electromecanic cu cacirct icircntrefierul este mai mic cu atacirct cuplajul electromagnetic icircntre icircnfăşurările statorului şi rotorului este mai eficient Din acest motiv motoarele sub 10 kW au icircntrefierul icircn gama 035divide050 mm iar cele cu puteri pacircnă la 100 kW icircl au icircn gama 05divide08 mm Partea constructivă specifică a maşinii de inducţie dar şi a maşinii sincrone o constituie icircnfăşurările inductoare de curent alternativ Obiectivul utilizării icircnfăşurărilor de curent alternativ (bifazate trifazate) icircl constituie producerea unei solenaţii icircnvacircrtitoare icircn icircntrefier prin alimentarea cu un sistem de curenţi alternativi simetrici Pentru obţinerea acestei solenaţii icircnvacircrtitoare care la racircndul ei (conform legii lui Ampeacutere) produce un cacircmpul magnetic icircnvacircrtitor este nevoie fie de două icircnfăşurări decalate spaţial cu 90ordm electrice şi avacircnd curenţii de amplitudine egală şi defazaţi icircn timp cu 90ordm electrice fie de trei icircnfăşurări decalate spaţial cu 120ordm electrice şi alimentate cu trei curenţi electrici defazaţi icircn timp cu 120ordm electrice Prin generalizare la o maşină de curent alternativ cu m faze decalajul temporal dintre curenţi devine 360ordm electricem Icircn fig1 se prezintă statorul unui motor de inducţie bifazat elementar format din două spire conductoare aarsquo şi bbrsquo decalate spaţial cu 90ordm şi alimentate de la două surse de tensiune independente

Fig1 Structura unui motor de inducţie bifazat elementar Prin alimentarea spirei conductoare aarsquo cu un curent pozitiv iSagt0 curentul prin cea de-a doua spiră iSb fiind nul se obţine un cacircmp magnetic radial axa magnetică a spirei conductoare fiind icircn poziţie orizontală (fig2a) Dacă icircnsă curentul prin spira conductoare aarsquo icircşi modifică sensul atunci se obţine aceeaşi geometrie a cacircmpului magnetic dar cu direcţie inversată (fig2b) Icircn acest fel prin alimentarea spirei conductoare aarsquo cu un curent alternativ se obţine un cacircmp magnetic alternativ avacircnd variaţii pe direcţia axei magnetice a spirei conductoare

Fig2 Generarea unui cacircmp magnetic alternativ pe direcţie orizontală a b


47

Icircn mod similar se petrec lucrurile atunci cacircnd numai spira conductoare bbrsquo este alimentată cu un curent alternativ iSb fig3 Icircn acest caz icircnsă datorită dispunerii spaţiale a spirei conductoare cu un defazaj de 90ordm direcţia de evoluţie a cacircmpului magnetic este cea verticală

Fig3 Generarea unui cacircmp magnetic alternativ pe direcţie verticală Este evident că prin alimentarea simultană a celor două spire conductoare statorice se poate obţine un cacircmp magnetic rezultant care poate avea o geometrie cu evoluţia spaţial temporală diversă Dacă icircnsă curenţii care alimentează cele două spire sunt şi ei decalaţi temporal cu 90ordm atunci prin compunerea celor două cacircmpuri alternative se obţine un cacircmp magnetic rotitor (fig4)

Fig4 Generarea unui cacircmp magnetic icircnvacircrtitor Astfel dacă printr-o corelare externă sursele de tensiune uSa şi uSb generează curenţii iSa şi iSb de forma (1) )tcos(I)t(i SSSa ω= (2) )tsin(I)tcos(I)t(i SS2SSSb ω=minusω= π atunci pentru patru momente succesive de timp se obţine (3) 0)t(iI)t(i0t SbSSa ===

(4) 2

I)t(i2

I)t(i4

1t SSb

SSa

S==

πω

=

(5) SSbSaS

I)t(i0)t(i2

1t ==π

ω=


48

(6) 2

I)t(i2

I)t(i4

31t SSb

SSa

S=minus=

πω

=

Icircn acest mod s-a obţinut un cacircmp magnetic constant icircn amplitudine dar variabil icircn direcţie Conform legii inducţiei (legea Faraday-Henry) cacircmpul magnetic variabil icircn timp generează un cacircmp electric care constituie cauza apariţiei unei tensiuni induse Icircn construcţia prezentată tensiunile pot apărea icircn circuitul electric statoric (tensiuni autoinduse) şi icircn circuitele magnetice (statoric şi rotoric) Pentru minimizarea tensiunilor induse icircn circuitele magnetice tensiuni care constituie surse ale curenţilor turbionari (cu rol parazit) aceste circuite sunt realizate din tole feromagnetice de grosime mică şi izolate icircntre ele Icircn concluzie interacţiunea electromagnetică stator-rotor este nulă iar rotorul maşinii de inducţie rămacircne imobil Conform legii lui Laplace pentru a realiza o conversie electromecanică (apariţia unei forţe electromagnetice) trebuie asigurată interacţiunea dintre un cacircmp magnetic şi un curent electric Icircn acest scop icircn două crestături rotorice diametral opuse se introduce o spiră rotorică icircn scurtcircuit (fig5a) Spira este izolată electric de circuitul magnetic al rotorului

Fig5 Spiră rotorică icircn scurtcircuit Icircn noua situaţie cacircmpul electric produs de variaţia cacircmpului magnetic statoric rotitor determină apariţia şi a unei tensiuni induse icircn spira rotorică şi care fiind scurtcircuitată produce un curent rotoric (fig5b) Icircntr-un mod simplificat noua structură poate fi asimilată cu un transformator electric (cu icircntrefier) cu secundarul icircn scurtcircuit Curentul rotoric se obţine deci prin inducţie magnetică de unde şi denumirea acestui tip de convertor electromecanic de maşină de inducţie Icircn fig6 sunt prezentate pentru aceleaşi momente de timp din fig5 direcţiile cacircmpului magnetic inductor icircn raport cu spira rotorică scurtcircuitată variaţie care determină apariţia curentului iRa

Fig6 Variaţia fluxului inductor icircn spira rotorică scurtcircuitată

a b


49

Pentru argumentarea sensului curentului din spira rotorică scurtcircuitată (şi rotorul calat mecanic) este necesară icircnsă o analiză mai detaliată Totuşi dacă se ţine seama de regula lui Lenz atunci curentul indus creează un flux magnetic care se opune variaţiei fluxului magnetic inductor Icircn fig6a se observă că liniile cacircmpului inductor au un unghi de incidenţă cu suprafaţa spirei pozitiv cu tendinţă de creştere (fig6b) Icircn consecinţă deşi amplitudinea cacircmpului magnetic este constantă fluxul magnetic asociat suprafeţei spirei rotorice este icircn creştere consecinţă a creşterii unghiului produsului scalar dintre cei doi vectori (vectorului cacircmpului electromagnetic statoric BS şi vectorul normal la suprafaţa spirei De aceea curentul rotoric indus iRa va avea sensul prezentat astfel icircncacirct să creeze o inducţie rotorică de reacţie care se opune creşterii fluxului Deoarece spira este staţionară (rotor calat mecanic) unghiul de incidenţă a liniilor de cacircmp statoric depăşeşte 90ordm (fig6c) şi drept urmare fluxul inductor icircncepe să scadă Curentul rotoric indus reacţionează pe măsură schimbacircnd de semn pentru a se opune descreşterii fluxului statoric (fig6d) Icircn acest fel a apărut un curent rotoric indus alternativ avacircnd aceeaşi frecvenţă cu cea a curentului statoric inductor Odată cu apariţia curentului rotoric prin spira conductoare chiar din primul moment al variaţiei de flux ia naştere un cuplu electromagnetic (fig7)

Fig7 Cuplul electromagnetic al motorului de inducţie bifazat elementar Forţa electromagnetică dezvoltată icircn fiecare latură activă a spirei rotorice scurtcircuitate are valoarea (7) S1Raa BliF = (8) Bli)B(l)i(F S1RaS1Raa =minusminus= obţinacircndu-se astfel un cuplu de forma (9) RaS21aam iBll=τ+τ=τ Ca urmare icircn cazul icircn care rotorul nu este blocat iar cuplul electromagnetic dezvoltat este mai mare decacirct cuplurile parazite (frecări ventilaţie) rotorul accelerează avacircnd tendinţa de a urmări direcţia cacircmpului magnetic inductor (icircn acest caz icircn sens trigonometric) Totuşi viteza de rotaţie a spirei rotorice ωR nu poate creşte icircn mod nedefinit chiar dacă s-ar neglija cuplurile parazite Icircn regimul de funcţionare motor (regimul analizat) ea este cel mult egală cu viteza de rotaţie a cacircmpului inductor ωS (viteza de sincronism) Dacă se defineşte viteza unghiulară de alunecare (slip) ωsl sub forma (10) RSsl ωminusω=ω atunci o condiţie ca motorul asincron bifazat elementar să dezvolte cuplu este (11) 0RSsl neωminusω=ω sau (12) RS ωneω Cu alte cuvinte conform condiţiei (12) spira rotorică scurtcircuitată trebuie să se rotească asincron icircn raport cu cacircmpul magnetic statoric (inductor) Această condiţie constituie şi cauza denumirii alternative a acestui convertor electromecanic de maşină asincronă Cuplul electromagnetic dezvoltat cu ajutorul unei singure spire rotorice este unul pulsatoriu Pentru a


50

dezvolta icircnsă un cuplu electromagnetic constant atunci cacircnd viteza unghiulară de alunecare ωsl este constantă rotorul mai trebuie prevăzut cu o spiră icircn scurtcircuit bbrsquo dispusă spaţial ortogonal faţă de spira rotorică aarsquo (fig8) Din considerente de reprezentare grafică simplificată s-a preferat reprezentarea unei singure spire rotorice

Fig8 Motor de inducţie elementar cu număr egal de spire pe stator şi rotor Atunci cacircnd viteza unghiulară de alunecare este pozitivă ωSgtωR cuplul electromagnetic dezvoltat accelerează rotorul Pe de altă parte cacircnd viteza unghiulară de alunecare este negativă ωSltωR cuplul electromagnetic dezvoltat schimbă direcţia de acţionare şi deci rotorul este decelerat (fracircnat) Ca urmare chiar dacă datorită unui proces de accelerare viteza unghiulară rotorică depăşeşte viteza de sincronism ωSltωR (consecinţă a inerţiei) deoarece cuplul electromagnetic schimbă direcţia de acţiune rotorul este imediat fracircnat Icircn urma unui regim tranzitoriu oscilant rotorul se sincronizează cu cacircmpul icircnvacircrtitor şi (icircn cazul ideal) alunecarea devine nulă Icircn acest moment icircnsă cuplul electromagnetic este nul ne mai existacircnd interacţiune electromagnetică (fig9)

Fig9 Funcţionarea spirei rotorice icircn sincronism cu cacircmpul statoric inductor Icircntr-adevăr să considerăm că spira rotorică se roteşte sincron cu fluxul magnetic statoric şi are poziţia instantanee indicată de fig9a Urmare a vitezelor de rotaţie egale la momentul t=π(4ωS) spira rotorică va avea poziţia prezentată icircn fig9b O analiză atentă arată că fluxul inductor asociat spirei rotorice induse este acelaşi ΦR=BS l1l2 şi este egal şi cu cel prezentat şi pentru momentele ulterioare (fig9c fig9d) Neexistacircnd icircnsă variaţie de flux prin suprafaţa spirei rotorice scurtcircuitate nu se induce nicio tensiune icircn spiră deci nu apare niciun curent rotoric şi drept urmare nu se dezvoltă forţă electromagnetică icircn laturile active ale spirei adică nu există cuplu electromagnetic


51

Icircn funcţionarea reală icircnsă există cel puţin cupluri parazite (funcţionarea icircn gol) sau chiar cuplu de sarcină (funcţionarea icircn sarcină) Icircn acest caz rotorul motorului de inducţie se stabilizează la o viteză de rotaţie ωR mai mică decacirct viteza de sincronism ωS astfel icircncacirct cuplul electromagnetic dezvoltat (consecinţă a alunecării nenule ωsl=ωS-ωR) să echilibreze cuplul de sarcină al maşinii de lucru acţionate Cu cacirct cuplul de sarcină este mai mare cu atacirct cuplul electromagnetic dezvoltat trebuie să fie mai mare (curentul rotoric indus mai mare) Icircn acest mod apare fenomenul de autoreglare icircn sensul că la o viteză de sincronism prestabilită ωS creşte viteza unghiulară de alunecare ωsl (care determină o creştere a curentul rotoric indus iRa) şi deci scade viteza unghiulară de rotaţie a rotorului ωR O descărcare a maşinii prin micşorarea cuplului de sarcină are consecinţe inverse Observaţie Frecvenţa curentului rotoric indus este egală cu cea a curentului statoric inductor numai icircn condiţiile icircn care rotorul este imobil La cealaltă extremă icircn condiţiile funcţionării icircn sincronism frecvenţa curentului rotoric indus este nulă (practic nici nu există curent) Cu alte cuvinte ea este proporţională cu viteza unghiulară de alunecare (13) )2(f sliRa

πω= III5 Principii de funcţionare a maşinii sincrone Icircn fig10a se prezintă un circuit magnetic realizat cu ajutorul a doi magneţi permanenţi Datorită gradului de libertate pe care icircl are magnetul cilindric se orientează astfel icircncacirct liniile de cacircmp să fie paralele Poziţia de echilibru este atinsă atunci cacircnd se obţine alinierea pol nord statoric ndash pol sud rotoric şi bineicircnţeles pol nord rotoric ndash pol sud statoric

Fig10 Circuit magnetic realizat cu doi magneţi permanenţi Orice tentativă de a scoate magnetul rotoric din această poziţie de echilibru magnetic se soldează cu dezvoltarea de cuplu care are tendinţa de a alinia din nou cele două piese magnetice Dacă piesa magnetică statorică este rotită icircn jurul propriei axe cu viteza unghiulară ωS fig10b atunci datorită interacţiunii dintre cei doi magneţi magnetul cilindric (rotorul) se va roti icircn jurul axei sale (coliniară cu axa statorului) cu aceeaşi viteză unghiulară ωR Cele două piese magnetice se rotesc deci sincron ωS=ωR Acesta este principiul de funcţionare al convertorului electromecanic de acest tip convertor numit maşină sincronă Aşa cum s-a arătat anterior statorul maşinii asincrone poate genera un cacircmp magnetic rotitor De aceea pentru a obţine o maşină sincronă singura modificare constă icircn icircnlocuirea rotorului maşinii asincrone (cu spira conductoare scurtcircuitată) cu un rotor realizat din magnet permanent (fig11) sau cu un electromagnet (alimentarea icircn curent continuu a spirei) Ca şi icircn cazul maşinii asincrone curenţii statorici iSa şi iSb produc un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor Dacă raportăm aceste linii de cacircmp la sursele sale ele pot fi generate fie prin rotirea unui magnet (fig10b) fie prin rotirea unui electromagnet fie prin alimentarea adecvată a două sau mai multe bobine staţionare alimentate de curenţi cu evoluţie corelată Icircn consecinţă indiferent de mijloacele de generare efectul magnetic la nivel de cacircmp este acelaşi

a b


52

Fig11 Interacţiunea dintre un rotor cu magnet permanent şi cacircmpul magnetic statoric


53

IV Cacircmpurile magnetice din icircntrefierul maşinilor electrice de curent alternativ După cum s-a menţionat funcţionarea convertoarelor electromecanice se bazează fie pe tendinţa de aliniere a două cacircmpuri magnetice bazate pe atracţia polilor magnetici de nume contrare (icircn cazul icircn care maşinile electrice au surse de cacircmp magnetic pe ambele armături) fie pe tendinţa de aliniere icircntr-un cacircmp magnetic bazată pe atracţia unei piese feromagnetice faţă de polul cel mai apropiat (icircn cazul icircn care maşinile electrice au surse de cacircmp numai pe o armătură) Icircn fapt icircn situaţia icircn care o armătură (de regulă mobilă) nu are cacircmp magnetic propriu icircn piesa feromagnetică se obţin doi poli magnetici prin influenţă (inducţie) care se deplasează la periferia armăturii Condiţiile generale pentru a obţine un cuplu electromagnetic mediu nenul sunt bull existenţa unor surse de cacircmp magnetic pe cel puţin o armătură bull existenţa aceluiaşi număr de poli magnetici pe fiecare armătură bull existenţa unui unghi de decalaj icircntre cele două cacircmpuri magnetice aflate icircn interacţiune

Icircn cazul icircn care maşina electrică are surse de cacircmp dispuse pe o singură armătură condiţia a doua este automat icircndeplinită polii feromagnetici fiind obţinuţi prin influenţă Icircn conformitate cu a treia condiţie pentru a obţine un cuplu electromagnetic mediu nenul este necesar ca unghiul de decalaj θ dintre cacircmpurile magnetice să fie constant chiar şi atunci cacircnd armăturile mobile se rotesc Deoarece polii magnetici rotorici se rotesc odată cu rotorul rezultă că şi polii magnetici ai statorului trebuie să se deplaseze Astfel pentru icircndeplinirea acestei condiţii cacircmpurile magnetice obţinute trebuie să fie sincrone icircn raport cu acelaşi sistem de referinţă Dacă se notează cu ωS viteza unghiulară de deplasare a polilor magnetici statorici icircn raport cu propria armătură ωR viteza unghiulară de deplasare a armăturii mobile (rotorul) şi cu ωsl viteza de deplasare a polilor magnetici rotorici icircn raport cu propria armătură atunci icircntre vitezele unghiulare definite trebuie să existe relaţia (1) slRS ω+ω=ω Deplasarea polilor magnetici faţă de propria armătură se obţine printr-o anumită construcţie a icircnfăşurărilor icircn acest caz se spune că s-a obţinut un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor Icircn funcţie de posibilităţile de obţinere a cacircmpurilor magnetice icircnvacircrtitoare convertoarele electromecanice se pot clasifica icircn convertoare de tip asincron şi convertoare de tip sincron bull Icircn cazul convertoarelor electromecanice de tip asincron se creează cacircte un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor pe fiecare armătură Cele două cacircmpuri magnetice au vitezele unghiulare ωS (cacircmpul statoric) şi ωsl faţă de propriile armături Viteza unghiulară de deplasare a rotorului ωR este corelată cu viteza de rotaţie a cacircmpului magnetic rotoric astfel icircncacirct să fie satisfăcută condiţia (1) adică (2) slSR ωminusω=ω Dacă de exemplu viteza unghiulară a cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor ωS este constantă atunci viteza unghiulară a rotorului poate fi variabilă datorită vitezei cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor rotoric ωsl bull Icircn cazul convertoarelor electromecanice de tip sincron cacircmpul magnetic rotitor este creat numai de una din armături cealaltă armătură fie nu determină un cacircmp magnetic propriu fie determină un cacircmp magnetic fix Dacă acest cacircmp magnetic icircnvacircrtitor este determinat de armătura statorică şi are viteza unghiulară de rotaţie ωS atunci pe rotor nu există un cacircmp magnetic rotitor (ωsl=0) ceea ce icircnseamnă că pentru a satisface condiţia (1) viteza rotorului trebuie să fie (3) SR ω=ω Pe de altă parte dacă se obţine un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor cu ajutorul armăturii rotorice care se roteşte cu viteza unghiulară ωsl atunci pe stator nu există un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor (ωS=0) ceea ce presupune că viteza unghiulară a rotorului trebuie să satisfacă o relaţie de forma (4) slR ωminus=ω


54

Icircn baza relaţiilor (3)-(4) convertoarele electromecanice de tip sincron pot fi subclasificate icircn convertoare sincrone la care viteza de rotaţie este dependentă de frecvenţa curenţilor care alimentează convertorul prin intermediul vitezei de rotaţie a cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor şi convertoare cu colector (maşina de curent continuu) la care datorită dispozitivului de tip invertorredresor viteza de rotaţie nu depinde de frecvenţa curenţilor care alimentează convertorul IV1 Teoria cacircmpului magnetic icircnvacircrtitor Sursele cacircmpului magnetic sunt icircnfăşurările parcurse de curent electric sau magneţii permanenţi Deoarece un magnet permanent poate fi echivalat ca efect cu un circuit electric străbătut de un curent continuu constant ca valoare se poate considera icircn continuare ca surse ale cacircmpului magnetic numai circuite electrice străbătute de curenţi Cacircmpurile magnetice ale unui convertor electromecanic se pot clasifica icircn două categorii bull cacircmpuri magnetice utile bull cacircmpuri magnetice de dispersie Cacircmpul magnetic util realizează cuplajul magnetic dintre icircnfăşurarea inductoare şi icircnfăşurarea indusului iar icircn cazul concret al maşinilor electrice icircn construcţie circulară cacircmpul magnetic se icircnchide icircn majoritate prin icircntrefier de la o armătură la cealaltă Cacircmpul magnetic de dispersie are linii de cacircmp care se icircnchid numai icircn jurul conductoarelor bobinei inductoare care creează cacircmpul fără a realiza cuplaje magnetice cu alte icircnfăşurări Analiza cacircmpurilor magnetice din icircntrefier care sunt cacircmpuri magnetice utile se efectuează icircn anumite ipoteze simplificatoare care nu afectează sensibil rezultatele obţinute

bull Se neglijează reluctanţa magnetică a porţiunilor din miezul circuitului magnetic consideracircndu-se permeabilitatea magnetică μFerarrinfin (sau echivalent HFe=0) Astfel icircntreaga energie magnetică este localizată icircn icircntrefier iar miezul magnetic contribuie numai la ghidarea liniilor cacircmpului magnetic şi la amplificarea lui

bull Se neglijează pierderile din miezul magnetic datorate curenţilor turbionari şi histerezisului

bull Armăturile se consideră netede iar icircntrefierul este egal cu un icircntrefier echivalent δ bull Se neglijează icircntr-o primă etapă cacircmpul magnetic de dispersie bull Icircnfăşurările sunt executate din conductoare filiforme şi sunt dispuse pe periferia

armăturilor spre icircntrefier bull Se consideră că icircnfăşurările sunt alimentate prin curenţi constanţi sau sinusoidali icircn

timp Icircn condiţiile enumerate icircn icircntrefier se poate aplica principiul suprapunerii efectelor iar liniile de cacircmp se pot considera radiale Icircn construcţia convertoarelor electromecanice se folosesc trei tipuri constructive de icircnfăşurări

bull icircnfăşurări concentrate bull icircnfăşurări uniform distribuite bull icircnfăşurări distribuite

Icircnfăşurările concentrate se utilizează icircn cazul construcţiilor de maşini electrice cu poli aparenţi (fig1a) Icircnfăşurările uniform repartizate sunt specifice construcţiei rotorului motorului de curent continuu alimentarea lor realizacircndu-se prin intermediul ansamblului perii ndash lamele colectoare (fig2) Datorită acestei particularităţi rotorul maşinii de curent continuu poate fi modelat cu ajutorul unei pături de curent constantă şi fixă icircn spaţiu Icircnfăşurările distribuite se utilizează icircn construcţia maşinilor electrice cu poli icircnecaţi (fig1b) fiind dispuse icircn crestături


55

Fig1 Icircnfăşurare monofazată pentru maşini electrice cu două perechi de poli magnetici a concentrată b distribuită

Fig2 Icircnfăşurare monofazată uniform distribuită Icircnţelegerea geometriei şi modului de utilizare a icircnfăşurărilor maşinilor electrice de curent alternativ este esenţială icircn icircnţelegerea funcţionării acestor tipuri de maşini Astfel cunoaşterea repartiţiei spirelor icircnfăşurărilor permite determinarea tensiunii magnetice din icircntrefier iar apoi cu ajutorul legii lui Ampeacutere şi a legii de material se poate obţine expresia cacircmpului magnetic Generarea unui cacircmp magnetic rotitor radial icircn icircntrefier cu ajutorul curenţilor statorici este fundamentală pentru funcţionarea atacirct a maşinilor de inducţie (asincrone) cacirct şi a maşinii sincrone Icircn fig3 se prezintă o icircnfăşurare statorică distribuită pentru o maşină de curent alternativ cu o singură pereche de poli magnetici

Fig3 Icircnfăşurare statorică distribuită

a b


56

Icircnfăşurarea statorică este compusă din patru spire conductoare avacircnd laturile diametral opuse din cele patru spire conductoare două dintre ele au fost dispuse icircn aceeaşi crestătură statorică Un punct arbitrar din icircntrefierul maşinii de grosime δ este localizat cu ajutorul coordonatelor polare (rθ) unde unghiul θ este definit icircn raport cu axa magnetică a icircnfăşurării Icircn scopul determinării cacircmpului magnetic radial din icircntrefierul maşinii de către curentul continuu iSa care străbate icircnfăşurarea distribuită se utilizează icircn prima etapă legea lui Ampeacutere (5) sumint =sdot

kk

CSa idlH

Alegacircnd drept contur icircnchis de integrare C traseul definit de punctele 1-2-3-4-1 (fig4) şi consideracircnd conform ipotezelor de lucru HFe=0 se obţine

Fig4 Determinarea tensiunii magnetomotoare produsă de o icircnfăşurare statorică

(6) sumintintintint =sdot+sdot+sdot+sdotk

k

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa idlHdlHdlHdlH

sau

(7) sumintint =sdot+sdotk

k

4

3Sa

2

1Sa idlHdlH

Dacă se ţine seama de faptul că intensitatea magnetică este constantă şi nenulă icircn icircntrefierul maşinii atunci icircn funcţie de coordonatele polare ale punctului referit HSa(θ) se poate scrie

(8) sumintint =sdotθ+sdotk

k

4

3Sa

2

1Sa idl)(Hdl)0(H

sau (9) SacSaSa i)(n)(H)0(H θ=θδminusδ unde nc reprezintă numărul de conductoare incluse icircn traseul de integrare Forţa magnetomotoare este dependentă de valoarea curentului iSa şi de numărul de conductoare incluse icircn traseul de integrare Distribuţia sa de-a lungul periferiei armăturii statorice are expresia

(10)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

leleltleltleltleltleltle

ltle

=

πθππθππθππθππθππθπ

πθ

θ

235 03523 i2334 i33432 i4

322 i323 i

30 0

i)(n

Sa

Sa

Sa

Sa

Sa

Sac

Dependenţa forţei magnetomotoare de punctul de evaluare de pe periferia armăturilor este prezentată icircn fig5


57

Fig5 Forţa magnetomotoare produsă de icircnfăşurarea statorică

Pentru a determina valoarea intensităţii magnetice icircntr-un punct din icircntrefierul maşinii referit de coordonata θ trebuie determinată valoarea intensităţii magnetice icircn axa magnetică a icircnfăşurării H(0) Icircn acest scop se utilizează legea conservării fluxului (legea lui Gauss) care afirmă că fluxul definit pe o suprafaţă icircnchisă delimitată de un volum este nul consecinţă a faptului că icircn cacircmp magnetic nu există surse de cacircmp (monopoli magnetici) (11) 0dSB

SSa =sdotint

Consideracircnd suprafaţa icircnchisă de flux delimitată icircn fig6 şi fluxul nul prin cele două discuri laterale relaţia (11) devine

Fig6Suprafaţa icircnchisă de flux icircn icircntrefierul maşinii

(12) intintint intint ====sdotπππ

θθμθθθθ2

0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa

SSa d)(Hrld)(Brldzrd)(B0dSB

1

Expresia intensităţii magnetice icircn punctul de coordonată θ se poate obţine icircn baza relaţiei (9)

(13) δθθ Sac

SaSai)(n)0(H)(H minus=

iar prin icircnlocuirea ei icircn relaţia (12) se obţine identitatea

(14) 0di)(n)0(H2

0

SacSa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusintπ

θδθ

Dacă se consideră distribuţia forţei magnetomotoare (10) atunci prin integrarea expresiei (14) se deduce

(15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++++== intintintintintintint

35

23

23

34

34

32

32

2

2

3

dd3d4d3did)(nid)0(H Sa2

0c

Sa2

0Sa

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

θθθθθδ

θθδ

θππ

sau

(16) πδ

πππππδ

π 4i66

33

246

36

i2)0(H SaSaSa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=sdot

Se poate astfel constata că valoarea intensităţii magnetice icircn origine este

(17) δ

= SaSa

i2)0(H

Atunci icircn baza relaţiei (9) se obţine

(18) δθminus

=δθ

minus=θ SacSacSaSa

i))(n2(i)(n)0(H)(H


58

Distribuţia cacircmpului magnetic radial din icircntrefierul maşinii creat de icircnfăşurarea statorică distribuită are expresia

(19) δθminus

μ=θ Sac0Sa

i))(n2()(B

şi este reprezentată icircn fig7

Fig7 Distribuţia cacircmpului electromagnetic radial creat de icircnfăşurarea statorică Cacircmpul magnetic din icircntrefier BSa(θ) poate fi dezvoltat icircn serie trigonometrică Fourier sub forma

(20) suminfin

=

θ+θ=θ0k

kkSa )ksinbkcosa()(B

unde

(21) dksin)(B1dksin)(BT2bdkcos)(B1dkcos)(B

T2a

2

0Sa

T

0Sak

2

0Sa

T

0Sak intintintint

ππ

θθθπ

=θθθ=θθθπ

=θθθ=

Observaţie Deoarece funcţia BSa(θ) este funcţie pară adică BSa(θ)= BSa(-θ) atunci bk=0 Cu alte cuvinte icircn acest caz particular dezvoltarea (20) are expresia

(22) suminfin

=

θ=θ0k

kSa kcosa)(B

Pentru k=1 (fundamentala) se obţine

(23)

)(

πδμcong⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +πδ

μ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πδμ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πδμ=

=θ+θ+θminusθminusθminusθ+θπδ

μ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞θθ+θθ+θθminusθθminusθθminusθθ+θθ

πδμ=

=⎟⎟⎠

⎞θθθ+θθθ+θθθ+θθθ+

⎜⎜⎝

⎛+θθθ+θθθ+θθθ

π=θθθ

π=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ

intintintintintintint

intintintint

intintintint

4i86612

324i2344i

2321

23

231

23

2321

23

231

232i

sin2sinsinsin2sinsinsin2i

dcos2dcosdcosdcos2dcosdcosdcos2i

dcos)(Bdcos)(Bdcos)(Bdcos)(B

dcos)(Bdcos)(Bdcos)(B1dcos)(B1a

Sa0

Sa0

Sa0

Sa0

235

3523

2334

3432

322

23

30

Sa0

2

35

35

23

23

34

34

32

32

2

2

3

3

0

Sa0

2

35Sa

35

23Sa

23

34Sa

34

32Sa

32

2Sa

2

3Sa

3

0Sa

2

0Sa1

Procedacircnd icircn mod similar pentru armonica de ordin k impar (cele de ordin par fiind nule) se obţine

(24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== int 6

kcos1k14idkcos)(B1a Sa

0

2

0Sak

ππδ

μθθθπ

π


59

Icircn mod ideal un convertor electromecanic de curent alternativ trebuie să aibă icircnfăşurări distribuite care să genereze icircn icircntrefier cacircmpuri magnetice armonice constituite numai din unde fundamentale Aceste cacircmpuri la racircndul lor induc icircn icircnfăşurări tensiuni de variaţie armonică fundamentală şi contribuie icircn mod efectiv la generarea cuplului electromagnetic al convertorului După cum se poate constata din relaţiile (22)-(24) o icircnfăşurare repartizată reală generează atacirct un cacircmp magnetic fundamental cu pondere consistentă cacirct şi cacircmpuri magnetice armonice spaţiale cu pondere invers proporţională cu ordinul armonicii Totodată relaţiile sugerează posibilitatea de-a obţine cacircmpul magnetic din icircntrefier prin icircnsumarea cacircmpurilor magnetice produse de o infinitate de icircnfăşurări executate cu conductoare filiforme şi dispuse cosinusoidal pe periferia armăturii Icircnfăşurarea de ordinul k avacircnd un număr adecvat de spire echivalente produce icircn icircntrefier k perechi de poli şi este parcursă de acelaşi curent ca şi icircnfăşurarea reală Cu alte cuvinte conform analizei Fourier o maşină reală poate fi descompusă icircntr-o infinitate de maşinii virtuale care funcţionează pe cacircte o armonică (maşină de armonică) şi care generează cupluri electromagnetice de sens direct şi invers Cacircmpurile armonice parazite deformează tensiunea indusă icircn conductoarele icircnfăşurărilor electrice şi produc totodată cupluri electromagnetice parazite care fac ca randamentul convertorului electromecanic să scadă Pentru creşterea ponderii fundamentalei şi implicit diminuarea armonicilor se utilizează diferite tehnici de realizare a icircnfăşurărilor (scurtarea pasului de bobinare distribuire neuniformă icircn crestături icircnclinarea laturilor active ale icircnfăşurării induse icircn raport cu generatoarea armăturii etc) Icircn acest fel prin acţiunea cumulată a acestor metode constructive de diminuare a armonicilor spaţiale de cacircmp icircn practică maşina reală se echivalează numai cu maşina de armonică fundamentală De aceea icircn cazul analizat icircntr-o primă aproximare distribuţia cacircmpului magnetic radial din icircntrefier produs de icircnfăşurarea statorică poate fi exprimată cu ajutorul fundamentalei

(25) θπδ

μcongθ cos4i8661)(B Sa0Sa

Observaţie Luarea icircn considerare numai a armonicii fundamentale a cacircmpului magnetic din icircntrefier este o ipoteză acceptabilă icircn teoria maşinilor electrice de curent alternativ Totuşi neglijarea efectului armonicilor spaţiale de ordin superior ale cacircmpului magnetic nu icircnseamnă şi anularea consumului de energie magnetică pentru icircntreţinerea acestora Din acest motiv pentru respectarea bilanţului energetic icircn modelul circuitului icircnfăşurării inductoare se introduce o inductanţă de dispersie (diferenţială)

Icircn cazul icircn care se analizează numai maşina de armonică fundamentală icircnfăşurarea reală poate fi echivalată cu o icircnfăşurare virtuală distribuită sinusoidal şi care parcursă de acelaşi curent iSa generează un cacircmp magnetic identic cu cacircmpul magnetic de armonică fundamentală (fig8)

Fig8 Icircnfăşurare statorică distribuită sinusoidal


60

Icircnfăşurarea statorică aarsquo formată din NS spire conductoare echivalente poate fi caracterizată cu ajutorul distribuţiei densităţii de spire (26) θη=θη sin)( m [spirerad] Cu alte cuvinte numărul de spire icircntre unghiul θ şi θ+dθ este (27) θθη= d)(dNS Cum numărul total de spire ale icircnfăşurării statorice este NS se obţine

(28) m0m0

m0

SS 2cosdsindNN η=θηminus=θθη== πππ

intint

adică

(29) 2

NSm =η

Icircn final distribuţia densităţii de spire relaţia (26) devine

(30) θ=θη sin2

N)( S

Observaţie Deşi icircn fig8 sunt figurate numai 9 spire icircn virtutea relaţiei (30) trebuie considerat că spaţiul delimitat de periferia statorului şi funcţia de distribuţie a densităţii de spire este uniform ocupat de cele NS laturi active ale spirelor Icircn cazul icircn care se consideră că o icircnfăşurare statorică are distribuţia de forma (30) atunci alimentă cu un curent continuu iSa aceasta va genera un cacircmp magnetic distribuit armonic (cosinusoidal) Astfel consideracircnd intensitatea magnetică icircn miezul feromagnetic nulă (HFe=0) şi aplicacircnd legea lui Ampeacutere pe traseul icircnchis 1-2-3-4-1 (fig9) se obţine

Fig9 Determinarea cacircmpului magnetic radial (31) sumint =sdot

kk

CSa idlH

sau

(32) intintintintintintθθ

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α=ααη=sdot+sdot+sdot+sdot

0

SSa

0Sa

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa dsin

2Nid)(idlHdlHdlHdlH

Cum intensitatea magnetică este nenulă numai icircn icircntrefier relaţia (32) devine

(33) θαminus=sdot+sdot intint 0SSa

4

3Sa

2

1Sa cos

2NidlHdlH

sau

(34) θminus=sdotθminussdot intintδδ

cos2

Ni2

Nidl)(Hdl)0(H SSa

SSa

0Sa

0Sa

Prin rearanjarea ecuaţiei (34) se obţine

(35) δ

minus+θδ

=θ2Ni)0(Hcos

2Ni)(H S

SaSaS

SaSa


61

Ca şi icircn cazul precedent al icircnfăşurării statorice distribuită nesinusoidal ecuaţia (35) conţine doi termeni necunoscuţi HSa(0) şi HSa(θ) Pentru determinarea intensităţii magnetice icircn punctul θ=0 se foloseşte din nou legea conservării fluxului magnetic (legea lui Gauss) (36) 0dSB

SSa =sdotint

unde S este suprafaţa delimitată de cilindrul rotoric (vezi fig6) Icircn acest caz consideracircnd din nou fluxul nul prin cele două discuri laterale se obţine

(37) intintint intintπππ

θθμ=θθ=θθ==sdot2

0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1

Dacă se utilizează relaţia (35) atunci se obţine următoarea ecuaţie integrală

(38) 0d2Ni)0(Hcos

2Nirl

2

0

SSaSa

SSa01 =θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δminus+θ

δμ int

π

sau

(39) 02Ni)0(Hsin

2Ni 2

0S

Sa20Sa

20

SSa =θ

δminusθ+θ

δπππ

Cu alte cuvinte s-a obţinut expresia

(40) δ

=2Ni)0(H S

SaSa

Substituind valoarea furnizată de relaţia (40) icircn expresia intensităţii magnetice (35) se obţine

(41) θδ

=θ cos2Ni)(H S

SaSa

De asemenea ţinacircnd seama de legea de material expresia cacircmpului magnetic creat de icircnfăşurarea statorică distribuită sinusoidal este

(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa

Observaţii 1 Funcţia armonică cosθ nu este datorată variaţiei icircn timp a curentului statoric iSa (acesta fiind presupus constant) ci este o consecinţă a distribuţiei spaţiale sinusoidale a icircnfăşurării Asta icircnseamnă că indiferent de variaţia curentului prin icircnfăşurare cacircmpul magnetic generat icircn icircntrefier va avea icircntotdeauna o distribuţie cosinusoidală icircnsă de amplitudine variabilă 2 Conform expresiei (42) valoarea maximă a cacircmpului magnetic se obţine pentru unghiul θ=0 adică icircn axa magnetică a icircnfăşurării 3 Comparacircnd relaţia (42) cu relaţia (30) se constată că axa magnetică a icircnfăşurării este defazată cu 90ordm electrice icircn raport cu densitatea maximă de spire Cacircmpul magnetic radial care are distribuţia spaţială descrisă de relaţia (42) convenim să icircl reprezentăm ca icircn fig10

Fig10 Reprezentarea cacircmpului magnetic statoric cu distribuţia spaţială sinusoidală


62

Să considerăm icircn continuare un circuit statoric bifazat Asta icircnseamnă că el dispune de icircncă o icircnfăşurare statorică bbrsquo distribuită sinusoidal şi rotită spaţial cu 90ordm electrice (ortogonală) icircn raport cu icircnfăşurarea aarsquo (fig11)

Fig11 Icircnfăşurarea statorică bbrsquo distribuită sinusoidal şi rotită spaţial cu 90ordm icircn raport cu icircnfăşurarea aarsquo

Icircn acest caz distribuţia densităţii de spire pentru icircnfăşurarea statorică bbrsquo poate fi exprimată analitic icircn raport cu axa magnetică a icircnfăşurării aarsquo sub forma

(43) θ=π

+θ=θη cos2

N)2

sin(2

N)( SSb

Urmacircnd metodologia utilizată pentru icircnfăşurarea statorică aarsquo se poate arăta că icircnfăşurarea statorică bbrsquo parcursă de curentul constant iSb generează un cacircmp magnetic radial icircn icircntrefier de forma

(44) θδ

μθπδ

μθ sini2N

2cosi

2N)(B Sb

S0Sb

S0Sb =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=

Se obţine deci un nou cacircmp magnetic distribuit sinusoidal care are valoarea maximă icircn axa magnetică a icircnfăşurării bbrsquo adică icircn axa ortogonală axei magnetice a icircnfăşurării aarsquo (fig12)

Fig12 Reprezentarea cacircmpului magnetic statoric cu distribuţia spaţială sinusoidală pentru icircnfăşurarea ortogonală bbrsquo

Distribuţiile de cacircmp magnetic prezentate icircn fig10 şi fig12 sunt identificabile numai cacircnd icircnfăşurările statorice ortogonale sunt alimentate secvenţial Atunci icircnsă cacircnd icircnfăşurările statorice ortogonale sunt alimentate simultan conform principiului suprapunerii efectelor valabil pentru circuitele liniare are loc o compunere spaţială a cacircmpurilor magnetice generate şi deci se obţine un singur cacircmp magnetic radial rezultant

(45) )sin)t(icos)t(i(2N)i(B)i(B)ii(B SbSa

S0SbSbSaSaSbSaS θ+θ

δμ=θ+θ=θ


63

Relaţia (45) exprimă valoarea cacircmpului magnetic rezultant la un moment dat t icircn punctul arbitrar de coordonată θ din icircntrefierul maşinii electrice Se observă că deşi valorile curenţilor iSa(t) şi iSb(t) pot fi arbitrare cacircmpul magnetic rezultant va fi totdeauna distribuit armonic deoarece suma a două sau mai multe mărimi armonice este tot o mărime armonică Icircn acest fel se creează premisa reprezentării mărimilor distribuite armonic spaţial cu ajutorul reprezentărilor grafice convenţionale (fazori) şi analizei regimurilor tranzitorii ale acestor mărimi Atunci cacircnd curenţii prin icircnfăşurările ortogonale au şi ei o evoluţie armonică particulară de forma (46) tcosI)t(i SSSa ω= (47) tsinI)t(i SSSb ω= expresia cacircmpului magnetic rezultant se simplifică icircn mod considerabil

(48) )tcos(2

IN)sin)tsin(cos)t(cos(2

IN)ii(B SSS

0SSSS

0SbSaS θminusωδ

μ=θω+θωδ

μ=θ

Cu alte cuvinte din punct de vedere conceptual cacircmpul magnetic rezultant poate fi obţinut şi cu ajutorul unei singure icircnfăşurări parcursă de curentul constant IS şi avacircnd acelaşi număr de spire NS distribuite sinusoidal dar poziţionată icircn punctul de coordonată θ=ωSt Cum icircnsă unghiul θ este dependent de pulsaţia (frecvenţa) curenţilor statorici şi de timp icircnfăşurarea virtuală echivalentă icircşi modifică icircn mod continuu poziţia instantanee (49) πω=θ 2modtS S-a obţinut icircn acest fel cu ajutorul a două icircnfăşurări ortogonale distribuite spaţial şi alimentate adecvat un cacircmp magnetic tot cu distribuţie spaţială cosinusoidală şi rotitor cu viteza unghiulară ωS Poziţiile cacircmpului magnetic rezultant pentru momentele t=0 t=π(4ωS) t=π(2ωS) şi t=3π(4ωS) sunt prezentate icircn fig13

Fig13 Cacircmpul magnetic rotitor rezultant distribuit cosinusoidal icircn icircntrefierul maşinii electrice

Observaţie Pentru simplificarea reprezentării icircnfăşurările ortogonale distribuite sinusoidal au fost comprimate pentru a evita suprapunerea lor Icircn realitate această suprapunere există De asemenea liniile cacircmpului magnetic rezultant nu au mai fost reprezentate icircn circuitul magnetic statoric deşi ele se icircnchid pe acest traseu (jugul statoric)


64

IV2 Inductanţele maşinilor de curent alternativ Maşinile de curent alternativ cele mai utilizate icircn acţionările electrice industriale sunt maşinile de inducţie şi maşinile sincrone (cu magneţi permanenţi) Statorul acestor tipuri de maşini este similar şi este format dintr-un circuit magnetic pe care sunt dispuse spaţial icircnfăşurări distribuite pseudosinusoidal Diferenţa icircn principiul de funcţionare este datorată construcţiei diferite a rotorului fiecărui tip de maşină Icircn cazul maşinii de inducţie icircnfăşurările rotorice nu au surse proprii de tensiune curenţii alternativi rotorici fiind datoraţi tensiunilor induse de către cacircmpul magnetic statoric icircnvacircrtitor Pe de altă parte icircn cazul maşinii sincrone cu excitaţie electromagnetică icircnfăşurarea rotorică are o sursă proprie de tensiune care determină un curent rotoric continuu Indiferent icircnsă de tipul constructiv al rotorului conversia electromecanică a energiei se bazează pe cuplajul magnetic dintre circuitele electrice ale maşinii aflate icircntr-o mişcare relativă Deoarece cuplajul magnetic dintre aceste circuite joacă un rol extrem de important icircn transmisia şi conversia energiei atunci devine evidentă necesitatea de a stabili ecuaţiile adecvate care să descrie interacţiunea dintre aceste circuite electrice şi cacircmpurile magnetice din maşină şi de a le exprima icircntr-o formă convenabilă pentru analiză şi control Energia magnetică a cacircmpului se poate lua icircn considerare global prin intermediul inductanţelor maşinii Icircn acest fel folosind modele cu parametri concentraţi (rezistenţe inductanţe) maşina electrică analizată poate fi modelată cu ajutorul unor reţele rezistiv-inductive cuplate magnetic Fluxurile magnetice ale unei maşini electrice pot fi modelate cu ajutorul a trei categorii de inductanţe bull inductanţe proprii bull inductanţe mutuale icircntre două icircnfăşurări dispuse pe aceeaşi armătură bull inductanţe mutuale icircntre icircnfăşurări dispuse pe armături diferite

Inductanţa proprie a unei icircnfăşurări are două componente o componentă corespunzătoare cacircmpului magnetic de dispersie şi o componentă corespunzătoare cacircmpului magnetic util Inductanţa principală utilă asociată armonicii fundamentale a icircnfăşurării corespunde cacircmpului magnetic principal care traversează icircntrefierul şi icircnlănţuie icircnfăşurarea indusă din ambele părţi Inductanţa de dispersie corespunde cacircmpului magnetic de dispersie care icircnlănţuie doar icircnfăşurarea considerată sau parţial şi alte icircnfăşurări De obicei cuplajul dintre icircnfăşurări prin cacircmpul de dispersie se neglijează Icircntr-un sistem magnetic liniar inductanţa proprie a unei icircnfăşurări se determină ca fiind raportul dintre fluxul care străbate icircnfăşurarea şi curentul care o alimentează ceilalţi curenţi din circuitele electrice ale maşinii fiind consideraţi nuli De asemenea inductanţa mutuală dintre două icircnfăşurări se determină ca raportul dintre fluxul care străbate icircnfăşurarea indusă şi curentul care alimentează icircnfăşurarea inductoare toţi ceilalţi curenţi fiind nuli (inclusiv curentul din icircnfăşurarea indusă) Inductanţa proprie utilă a unei icircnfăşurări Inductanţa proprie a unei icircnfăşurări este o mărime măsurabilă Pe de altă parte inductanţa proprie utilă şi inductanţa de dispersie nu pot fi măsurate separat dar pot fi calculate şi utilizate icircn scopul unei analize comode a cuplajului magnetic dintre circuitele electrice ale maşinii Icircn cazul utilizării ipotezelor de lucru simplificatoare adoptate icircnsă calculul inductanţelor de dispersie nu este posibil Totuşi datorită impactului major pe care icircl au asupra funcţionării unui convertor electromecanic icircn scopul obţinerii unui model realist la momentul potrivit al modelării vor fi introduse ca simpli termeni de corecţie a modelării dinamicii sistemului Pentru determinarea expresiei analitice a inductanţei proprii utile a unei icircnfăşurări statorice distribuită sinusoidal se consideră o maşină de curent alternativ idealizată avacircnd icircntrefierul uniform (fig14)


65

Fig14 Determinarea analitică a inductanţei proprii utile Cacircmpul magnetic din icircntrefier icircn punctul de coordonată polară θ generat prin alimentarea icircnfăşurării cu un curent continuu iSa are valoarea dată de relaţia (42) adică

(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa

Conform relaţiilor (27) şi (30) icircnfăşurarea incrementală delimitată de unghiurile θ şi θ+dθ conţine dNS spire adică

(50) θθ= dsin2

NdN SS

Să presupunem că fluxul fascicular este acelaşi icircn oricare din cele dNS spire delimitate Atunci fluxul fascicular pentru spira poziţionată icircn punctele θ şi θ-π are valoarea

(51)

θδ

μ=πminusθminusθδ

μ=αδ

μ=

=ααδ

μ=αα=sdotα=θΦ

θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ

πminusθθintint intint

sini2Nll))sin((sini

2N

2llsini

2N

2ll

dcosi2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

SaS

210SaS21

0SaS21

0

SaS21

0

l

0

2Sa

spiraSSaSa

1

Deoarece există dNS spire icircn icircnfăşurarea incrementală fiecare avacircnd fluxul fascicular ΦSa(θ) se obţine un flux total incremental de valoarea

(52) θθδ

μ=θΦ=θΨ dsini2N

2lldN)()(d 2

Sa

2S21

0SSaSa

Fluxul total util produs de icircnfăşurarea statorică aarsquo este

(53) intintππ

θθδ

μ=θΨ=Ψ0

2Sa

2S21

00

SaSa dsini2N

2ll)(d

Cum

(54) 2

2sin41

21dsin 00

0

2 π=θminusθ=θθ ππ

π

int

se obţine

(55) Sa2S

210Sa i

4N

2ll

δπμΨ =

Inductanţa proprie utilă a icircnfăşurării statorice aarsquo are expresia

(56) 2S

210

Sa

SaSaM N

42ll

iL

δπ

μ=Ψ

=

Inductanţa mutuală dintre două icircnfăşurări După cum s-a menţionat icircn tehnologia de realizare a rotorului unei maşini de inducţie există două posibilităţi rotor cu icircnfăşurări distribuite sinusoidal şi rotor cu bare icircn scurtcircuit Pe de altă parte icircn cazul motorului sincron cu rotor bobinat cacircmpul magnetic rotoric distribuit sinusoidal poate fi obţinut fie cu ajutorul unei icircnfăşurări rotorice distribuită sinusoidal pe un rotor cilindric fie cu ajutorul unei icircnfăşurări concentrate şi un rotor de formă adecvată (icircntrefier variabil)


66

Icircn fig15 se prezintă o icircnfăşurare rotorică care are distribuţia densităţii de spire raportată faţă de propria axă magnetică de forma

(57) θ=θη sin2

N)( RR

unde NR reprezintă numărul de spire conductoare rotorice echivalente

Fig16 Icircnfăşurare rotorică distribuită sinusoidal Pentru a determina inductanţa mutuală (de cuplaj) dintre icircnfăşurarea statorică distribuită sinusoidal şi icircnfăşurarea rotorică să considerăm că numai aceasta din urmă este alimentată cu un curent continuu rotoric iRa Pentru generalitate să considerăm că poziţia instantanee a acesteia determinată prin intermediul poziţiei axei sale magnetice icircn raport cu axa magnetică a icircnfăşurării statorice este θR (fig16)

Fig16 Determinarea analitică a inductanţei mutuale icircnfăşurare statorică ndash icircnfăşurare rotorică

Conform celor arătate anterior faţă de propria axă magnetică (referenţial propriu) icircnfăşurarea rotorică aarsquo generează un cacircmp magnetic de forma

(58) θδ

μ=θ cosi2N)(B Ra

R0Ra

Dacă icircnsă distribuţia acestui cacircmp magnetic rotoric o raportăm la axa magnetică a icircnfăşurării statorice (defazată spaţial cu θR icircn urmă) atunci relaţia (58) devine

(59) )cos(i2N)(B RRa

R0RRa θminusθ

δμ=θθ

Atunci fluxul fascicular pentru spira statorică poziţionată icircn punctele θ şi θ-π are valoarea

(60)

)sin(i2Nll)))sin(()(sin(i

2N

2ll)(sini

2N

2ll

d)cos(i2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

RRaR

210RRRaR21

0RRaR21

0

RRaR21

0

l

0

2RRa

spiraSRRaRSaRa

1

θminusθδ

μ=πminusθminusθminusθminusθδ

μ=θminusαδ

μ=

=αθminusαδ

μ=αθα=sdotθα=θθΦ

θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ


Pentru icircnfăşurarea statorică incrementală dNS se obţine un flux total incremental de valoarea

(61) θθθθδ

μθθΦθθΨ d)sin(sini2NN

2lldN)()(d RRa

RS210SRSaRaRSaRa minus==


67

Se poate icircn acest fel calcula fluxul de magnetizare a icircnfăşurării statorice determinat de cacircmpul magnetic rotoric care se icircnchide şi prin icircnfăşurarea statorică

(62) intint minus==ππ

θθθθδ

μθθΨθΨ0

RRaRS21

00

RSaRaRSaRa d)sin(sini2NN

2ll)(d)(

Integrala definită din relaţia (62) are valoarea

(63) R0R0R0

R0

R0

R cos2

)2sin(21cos

21d)2cos(dcos

21d)sin(sin θ

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θminusθminusθθ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θθminusθminusθθ=θθminusθθ ππ

πππ

intintint

Valoarea finală a fluxului de magnetizare este

(64) RaRRS21

0RSaRa icosNN42

ll)( θδπ

μ=θΨ

Conform definiţiei inductanţa mutuală dintre icircnfăşurarea statorică şi rotorică are expresia

(65) RRS21

0Ra

RSaRaRSaRa cosNN

42ll

i)()(L θ

δπ

μ=θΨ

=θ

Observaţii 1 Inductanţa proprie utilă a icircnfăşurării statorice aarsquo relaţia (56) reprezintă un caz particular al relaţiei (65) Astfel dacă icircn ultima relaţie se substituie NR cu NS iar unghiul θR se consideră nul se obţine relaţia (56) 2 Relaţia (65) poate exprima orice cuplaj magnetic icircntre două icircnfăşurări electrice ale maşinii de pe aceeaşi armătură sau de pe armături diferite Icircn cazul icircn care icircnfăşurările electrice de pe aceeaşi armătură sunt dispuse ortogonal (θR=π2) cuplajul magnetic dintre ele este nul (cosθR=0) Acest fapt aduce importante simplificări icircn modelarea şi analiza maşinii electrice ortogonale (bifazată) 3 Deoarece icircnfăşurările unei maşini de curent alternativ trifazată nu sunt dispuse ortogonal există cuplaje magnetice chiar şi icircntre icircnfăşurările de pe aceeaşi armătură Acest lucru complică modelarea şi analiza unei astfel de maşini De aceea prin transformări echivalente energetic se doreşte transformarea unei maşini m-fazată icircntr-o maşină bifazată echivalentă 4 Inductanţele mutuale dintre icircnfăşurările armăturii statorice şi rotorice sunt dependente de poziţia instantanee a rotorului θR Un astfel de model conţine deci parametri variabili dependenţi de θR 5 Inductanţa proprie a unei icircnfăşurări are totdeauna valori pozitive Pe de altă parte icircn funcţie de poziţia instantanee a rotorului inductanţa mutuală poate avea valori pozitive sau valori negative Pentru valori pozitive fluxul produs de bobina inductoare are acelaşi sens cu cel propriu al bobinei induse (efect magnetizant) iar pentru valori negative efectul este demagnetizant 6 Pentru simplificarea reprezentării circuitelor electrice şi magnetice ale unei maşini electrice de curent alternativ fig17a icircnfăşurările reale ale acesteia (dispuse tridimensional pe circuitele magnetice) sunt substituite cu simboluri de bobine reale (caracterizate prin inductanţă şi rezistenţă) plasate icircn axele lor magnetice (fig17b) Icircn acest fel se poate trece elegant de la un model de sistem cu parametri distribuiţi la un model de sistem cu parametri concentraţi

Fig17 Reprezentarea cacircmpurilor magnetice cu ajutorul unei reţele rezistiv-inductivă cuplată magnetic

abull

aarsquoarsquo

θR

bull

ω


68

V Modelarea maşinii de inducţie

Analiza unui sistem dinamic are ca rezultat concret prelevarea de informaţii cu privire la variaţia icircn timp a valorilor mărimilor observate din sistem reprezentate sub forma traiectoriilor temporale ale acelor mărimi Pentru a facilita descrierea unui sistem componentelor acestuia li se asociază o mulţime de variabile de descriere şi o mulţime de parametri Parametrii sunt atribute intrinseci ale sistemului pe cacircnd variabilele sunt atribute necesare pentru a descrie interacţiunea dintre (sub)sisteme Pornind de la observaţiile asupra sistemului analizat se creează un model al acestuia pe baza căruia se pot proiecta noi experimente care pot confirma sau infirma modelul Icircn acest fel analiza unui sistem poate fi realizată şi cu ajutorul unor modele deduse şi verificate prin icircncercări experimentale Modelul unui sistem real este la racircndul său un sistem care prezintă analogii cu sistemul modelat ceea ce permite ca din studiul modelului să se tragă concluzii cu privire la anumite proprietăţi ale sistemului real Cunoştinţele despre sistem concretizate icircn model trebuie prezentate icircntr-o formă utilizabilă Dacă modelul este prea complicat utilitatea lui devine discutabilă O caracteristică dominantă a construirii modelelor este relativa simplitate icircn acest sens modelul fiind o reprezentare cu complexitate redusă a realităţii Simularea sistemelor dinamice reprezintă o tehnică de analiză a sistemelor larg utilizată constituind o componentă de bază a oricărui ansamblu de procedee de proiectare asistată de calculator Ea implică realizarea de experimente de simulare pe modele icircn condiţii asemănătoare situaţiilor reale Modelarea şi simularea pot fi utilizate icircn diferite scopuri Ele sunt utile icircn situaţii de predicţie cacircnd sistemul real nu există sau este prea scump de realizat sau cacircnd experimentarea pe sistemul real poate cauza distrugeri inacceptabile De asemenea explorarea unui nou concept sau a unei noi strategii de funcţionare poate fi făcută mai rapid icircn simulări şi apoi printr-o serie de studii experimentale implementate pe sistemul real Pe de altă parte automatizarea unor sisteme complexe poate impune eforturi deosebite de proiectare prin utilizarea metodelor şi tehnicilor standard Dacă icircn plus sistemul are şi neliniarităţi pronunţate atunci singura metodă de icircnţelegere a funcţionării este analiza prin simulare Icircn acest fel modelarea şi simularea se pot constitui icircntr-un mijloc util de instruire o tehnică prin care sistemul studiat poate fi analizat mai detaliat asiguracircndu-se astfel o icircnţelegere profundă a fenomenelor Pentru a exploata abstractizarea fenomenelor icircn situaţii diferite se pot dezvolta modele matematice cu complexitate variată De aceea atunci cacircnd se utilizează aceste modele va trebui să se aibă icircn vedere obiectivul declarat şi ipotezele simplificatoare de lucru admise Utilizarea fără discernămacircnt a modelelor elaborate pentru toate circumstanţele nu numai că va determina o simulare greoaie şi ineficientă dar poate compromite şi precizia rezultatelor Modelele matematice sunt necesare şi pentru sinteza sistemelor de control Modelul procesului poate fi obţinut fie pe cale analitică (model de cunoaştere) fie pe cale experimentală (model dinamic de comandă) fiecare abordare avacircnd avantajele şi dezavantajele sale Modelele dinamice de comandă (modele empirice) care stabilesc relaţiile icircntre variaţiile mărimilor de intrare-ieşire ale sistemului sunt necesare pentru proiectarea şisau ajustarea sistemelor de reglare Deşi sunt uşor de obţinut pe cale experimentală ele au un domeniu mai restracircns de valabilitate fiind dependente de punctul de funcţionare ales tipul de semnal de intrare utilizat etc Icircn plus astfel de modele furnizează informaţie puţină cu semnificaţie fizică fiind utilizate pentru descrierea matematică a proceselor care au la bază legităţi insuficient cunoscute Calitatea modelelor va fi icircnsă dependentă şi de cantitatea datelor disponibile La majoritatea proceselor mecanice electric fizice chimice etc mecanismul generator de date intrare-ieşire apare icircn mod clar Pentru obţinerea modelelor de cunoaştere bazate pe legile fizice chimice etc se folosesc ecuaţiile de bilanţ Metodologia de analiză şi modelare icircşi propune stabilirea unor relaţii cauzale intrare-ieşire sau perturbaţie deterministă - ieşire


69

Analiza teoretică a acestor mecanisme permite o descriere completă a sistemelor principalul obiectiv fiind de a dezvolta modele cauzale care să simuleze suficient de precis procesul analizat şi de a proiecta experimente pentru a testa capacitatea de reprezentare Ca şi icircn cazul modelelor dinamice de comandă modelele de cunoaştere pot fi utilizate pentru sinteza sistemului de control Icircnsă spre deosebire de primele tipuri de modele acestea din urmă au marele potenţial de-a furniza informaţii cu semnificaţie fizică consistentă putacircnd fi utilizate cu succes icircn strategii evoluate de conducere care presupun existenţa nivelului ierarhic superior de detectare şi diagnosticare de defecte pe bază de model V1 Modelarea maşinii de inducţie Maşina de inducţie este o maşină electrică de construcţie robustă compusă din două armături cilindrice mobile una faţă de alta (stator şi rotor) Statorul este echipat cu icircnfăşurări distribuite prin care maşina se conectează la sursa de putere de curent alternativ Icircn cazul motorului de inducţie cu rotor icircn scurtcircuit icircnfăşurarea rotorică este polifazată formată din bare de aluminiu cupru sau alamă scurtcircuitate frontal prin inele conductoare (colivie) Spaţiul dintre miezul feromagnetic al statorului şi rotorului (icircntrefierul) este aproximativ constant şi are o valoare foarte mică icircn vederea obţinerii unui curent de magnetizare cacirct mai redus respectiv a unui factor de putere cacirct mai ridicat Dacă se alimentează la un sistem simetric de tensiuni prin icircnfăşurarea statorică trece un sistem simetric de curenţi care produce un cacircmp magnetic icircnvacircrtitor circular a cărui fundamentală are o viteză unghiulară dependentă de frecvenţa curenţilor de fază şi de numărul de perechi de poli ai icircnfăşurărilor de fază Fluxul magnetic creat (inductor) induce icircn icircnfăşurările statorice şi rotorice un sistem simetric şi echilibrat de tensiuni electromotoare Deoarece icircnfăşurarea rotorică este scurtcircuitată prin ea se stabilesc curenţi care produc la racircndul lor un flux rotoric icircnvacircrtitor şi sincron cu cel statoric Prin compunerea celor două fluxuri se obţine fluxul magnetic rezultant (din icircntrefier) care interacţionează cu sistemul de curenţi rotorici producacircnd cuplu electromagnetic Cuplul electromagnetic astfel creat acţionează asupra rotorului icircn acelaşi sens cu sensul cacircmpului icircnvacircrtitor (regim de motor) determinacircnd rotirea acestuia cu o viteză subsincronă vitezei cacircmpului Viteza sincronă poate fi variată prin variaţia frecvenţei tensiunii aplicate Dacă se consideră variaţia sinusoidală a tensiunii electromotoare rezultante din icircntrefier de forma (1)

dt)t(dtsinE)t(e S

ψω minus==

atunci pentru o funcţionare satisfăcătoare a maşinii electrice icircn regim de motor este necesar ca fluxul din icircntrefier să fie menţinut constant (2) )tcos(Ed)sin(E)t( S

SS ω

ωττωψ =minus= int

Pe baza observaţiilor de mai sus se poate concluziona că viteza motorului poate fi variată prin controlul pulsaţiei ωS fluxul din icircntrefier este menţinut constant la valoarea sa nominală prin controlul amplitudinii tensiunii proporţională cu pulsaţiei ωS Dacă este controlat icircntr-o asemenea manieră atunci un motor de inducţie este icircn măsură să furnizeze cuplul său nominal icircn timp ce pierderile icircn circuitul rotoric rămacircn icircn limitele valorilor nominale Există desigur şi alte tehnici de control al vitezei dar variaţia tensiunii şi frecvenţei statorice este tehnica preferată icircn cele mai multe aplicaţii ale acţionărilor electrice cu motor de inducţie Tehnicile scalare realizează un control numai al amplitudinii valorilor efective ale variabilelor (curent tensiune etc) semnalele de comandă şi reacţie fiind mărimi continue proporţionale cu acestea Proiectarea schemelor de reglare scalare se bazează pe relaţiile unor modele simplificate ale motorului relaţii care descriu interacţiunea dintre motorul de inducţie şi convertorul static de putere Deoarece icircn proiectarea acestor structuri de control se utilizează circuitul echivalent pe fază stabilit pentru condiţiile de regim staţionar icircn aceleaşi condiţii de regim staţionar performanţele sistemelor de acţionare electrică vor fi satisfăcătoare Dacă icircnsă pentru calcularea constantelor de timp se utilizează acest circuit


70

atunci valorile obţinute sunt necorespunzătoare circuitul echivalent pe fază nefiind icircn măsură să reprezinte corect regimurile dinamice ale maşinii Controlul dinamic performant al unui sistem de acţionare necesită modele de calitate superioară care să reprezinte suficient de bine atacirct regimurile staţionare cacirct şi cele tranzitorii ale maşinii electrice Ecuaţiile care descriu legăturile icircntre mărimile electrice pe de o parte şi cuantificarea cuplului electromagnetic dezvoltat pe de altă parte constituie modelul matematic al subsistemului electromagnetic al maşinii electrice Dacă aceste ecuaţii sunt completate cu ecuaţia care descrie legătura icircntre mărimile mecanice (modelul subsistemului mecanic) se obţine modelul matematic de ansamblu Modelarea subsistemului electromagnetic al maşinii de inducţie se poate realiza utilizacircnd diferite puncte de vedere Acest demers poate fi făcut folosind fie teoria cacircmpului electromagnetic fie teoria circuitelor electrice cuplate magnetic Prima abordare presupune cunoaşterea geometriei constructive a maşinii şi a proprietăţilor electrice şi magnetice ale materialelor utilizate informaţie pe baza căreia este posibil calculul distribuţiei bidimensionale sau tridimensionale a cacircmpului magnetic al maşinii Cunoscacircndu-se apoi această distribuţie se poate obţine modelul maşinii electrice avacircnd parametrii distribuiţi Pentru determinarea unor astfel de modele caracterizate de precizie şi grad de generalitate ridicate se utilizează algoritmi numerici performanţi bazaţi pe metode numerice de tipul diferenţelor finite elementelor finite elementelor de frontieră Cu toate acestea efortul icircnsemnat de calcul face ca această tehnică de modelare să fie utilizată cu predilecţie la proiectarea maşinilor mari sau de construcţie specială folosirea unor astfel de modele icircn timp real pentru sistemul de control al sistemului de acţionare fiind practic imposibilă Chiar pentru estimarea parametrilor electromagnetici ai maşinii electrice folosite icircn proiectarea unui sistem de acţionare electrică utilizarea modelului este discutabilă dacă se are icircn vedere pe de o parte necesitatea cunoaşterii de către proiectantul de sistem a tuturor detaliilor de proiectare a maşinii iar pe de altă parte a faptului că prin prelucrările mecanice impuse de tehnologia de fabricare proprietăţile materialelor care intră icircn componenţa maşinii electrice se modifică sensibil (pacircnă la 10divide25) icircn timp ce dimensiunea geometrică crucială a maşinii - icircntrefierul - nu poate fi realizat decacirct cu o precizie de cacircteva procente Cea de-a doua abordare din punctul de vedere al circuitelor electrice cuplate magnetic modelează fenomenele electromagnetice ale maşinii electrice prin intermediul unor reţele electrice Se obţin icircn acest fel modele de tip circuit electric cu parametri concentraţi icircn care pierderile de putere (electrică magnetică) sunt modelate cu ajutorul rezistenţelor electrice icircn timp ce energia magnetică a cacircmpului se ia icircn considerare global prin inductanţele maşinii Un astfel de circuit va simula corespunzător funcţionarea maşinii icircn regim staţionar şi dinamic dacă evident parametrii şi variabilele de stare modelate asigură echivalenţa energetică cu sistemul real V2 Modelarea maşinii de inducţie bifazate icircn coordonate de fază Icircn fig1a este reprezentată bidimensional o maşină de inducţie bifazată simetrică Circuitul magnetic al statorului este prevăzut cu două icircnfăşurări de cacircte NS spire distribuite sinusoidal şi dispuse spaţial la 90ordm una faţă de cealaltă Icircnfăşurarea statorică aarsquo este conectată la sursa de tensiune uSa iar icircnfăşurarea statorică bbrsquo este conectată la sursa de tensiune uSb Prin icircnfăşurările statorice aarsquo şi bbrsquo circulă curenţii iSa respectiv iSb Icircn virtutea simetriei electrice rezistenţele electrice ale celor două icircnfăşurări se consideră identice şi egale cu RS Icircn mod similar circuitul magnetic rotoric este prevăzut cu două icircnfăşurări rotorice de cacircte NR spire distribuite sinusoidal şi dispuse spaţial la 90ordm una icircn raport cu cealaltă Curentul prin fiecare fază rotorică este notat iRa şi respectiv iRb iar rezistenţa electrică a fiecărei icircnfăşurări rotorice este notată RR Pentru generalitate se consideră că fiecare icircnfăşurare rotorică este conectată la sursele de tensiune uRa şi respectiv uRb


71

a b Fig1 Reprezentarea unei maşini de inducţie bifazată cu rotor bobinat

a reprezentare bidimensională fizică b reprezentare prin circuite electrice cuplate magnetic Icircn fig1b se arată modul de reprezentare a icircnfăşurărilor electrice ale maşinii cu ajutorul simbolurilor de bobine reale plasate icircn axele magnetice ale acestora Poziţia rotorului care se roteşte cu viteza unghiulară electrică ωR faţă de stator este dată de unghiul electric θR dintre axa de referinţă statorică aarsquo şi axa solidară cu rotorul aarsquo Poziţiile celorlalte icircnfăşurări statorice şi rotorice sunt precizate faţă de axele de referinţă alese Curentul din fiecare icircnfăşurare a maşinii generează cacircte un cacircmp magnetic iar la racircndul lor aceste cacircmpuri magnetice produc fluxuri icircn toate cele patru icircnfăşurări ale maşinii Icircn acest fel circuitele electrice ale icircnfăşurărilor se află icircn cuplaj magnetic determinat de cacircmpurile magnetice produse de icircnfăşurări Pentru a obţine un model matematic pentru maşina de inducţie bifazată trebuie determinată expresia fluxului total din fiecare icircnfăşurare a maşinii flux generat de cei patru curenţi ai icircnfăşurărilor iSa iSb iRa şi iRb Fluxul total al icircnfăşurării statorice aarsquo generat de cei patru curenţi poate fi exprimat sub forma (3) RbAbRaAaSbABSaAASa iLiLiLiL +++=Ψ unde LAA este inductanţa proprie a icircnfăşurării statorice aarsquo LAB este inductanţa mutuală dintre cele două icircnfăşurări statorice iar LAa şi LAb reprezintă inductanţele mutuale dintre icircnfăşurarea statorică aarsquo şi icircnfăşurările rotorice ortogonale Icircn mod similar poate fi exprimat şi fluxul total al celei de a doua icircnfăşurări statorice (4) RbBbRaBaSbBBSaBASb iLiLiLiL +++=Ψ Expresiile (3) şi (4) pot fi structurate icircn următoarea ecuaţie matriceală

(5) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

BbBa

AbAa

Sb

Sa

BBBA

ABAA

Sb

Sa

ii

LLLL

ii

LLLL

Fluxurile magnetice ale icircnfăşurărilor rotorice au expresiile (6) RbabRaaaSbaBSaaARa iLiLiLiL +++=Ψ (7) RbbbRabaSbbBSabARb iLiLiLiL +++=Ψ Ca şi icircn situaţia anterioară relaţiile (6) şi (7) pot fi puse sub formă matriceală astfel

(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

bbba

abaa

Sb

Sa

bBbA

aBaA

Rb

Ra

ii

LLLL

ii

LLLL

După cum se constată modelul matematic al sistemului electromagnetic exprimat cu ajutorul ecuaţiilor matriceale (5) şi (8) conţine un număr mare de parametri (inductanţe) Pe de altă parte ipoteza de lucru adoptată privind liniaritatea circuitelor magnetice permite importante simplificări Icircn acest sens se poate avea icircn vedere faptul că inductanţele mutuale dintre două icircnfăşurări sunt egale indiferent de rolul atribuit icircnfăşurărilor (inductoare sau indusă) adică (9) yxxy LL =

a arsquo

brsquo

bθR

arsquo

abrsquo

b

bull

ωR

uSaiSa

uRaiRa

uSbiSb

uRbiRb bull

bull

bull


72

Conform celor arătate icircn sectIV relaţia analitică de determinare a inductanţelor principale utile sau a inductanţelor mutuale icircntre icircnfăşurările x şi y are expresia

(10) αδπ

μ= cosNN42

llL yx21

0xy

unde l1 reprezintă lungimea activă a laturilor spirelor conductoare (lungimea axială a maşinii) l22 este raza medie a icircntrefierului δ este grosimea icircntrefierului iar α este deplasarea spaţială a icircnfăşurării y faţă de icircnfăşurarea x Inductanţele principale utile ale icircnfăşurărilor statorice se determină particularizacircnd relaţia (10) prin α=0 Nx=Ny=NS

(11) Sm

not2S

210BmAm LN

42llLL =

δπ

μ==

Pentru a obţine inductanţele principale utile ale icircnfăşurărilor rotorice relaţia (10) este particularizată prin α=0 Nx=Ny=NR

(12) Rm

not2R

210bmam LN

42llLL =

δπ

μ==

Inductanţele mutuale icircntre icircnfăşurările statorice sunt obţinute pentru cazul α=π2 Nx=Ny=NS

(13) 02

cosN42

llLL 2S

210BAAB =

πδπ

μ==

Aşa cum era de aşteptat datorită ortogonalităţii spaţiale dintre icircnfăşurări cuplajul magnetic este nul Acest fapt rămacircne valabil şi pentru cuplajul magnetic dintre cele două icircnfăşurări rotorice (α=π2 Nx=Ny=NR)

(14) 02

cosN42

llLL 2R

210baab =

πδπ

μ==

Există icircnsă un cuplaj magnetic nenul icircntre icircnfăşurările de pe cele două armături cuplaj care este esenţial icircn conversia electromecanică deoarece numai din interacţiunea electromagnetică icircntre icircnfăşurări de pe armături diferite poate rezulta cuplu electromagnetic Ţinacircnd seama de poziţia relativă instantanee a icircnfăşurărilor rotorice icircn raport cu cele statorice precum şi de liniaritatea circuitelor magnetice se obţine

(15) RRS21

0bBBbaAAa cosNN42

llLLLL θδπ

μ====

(16) RRS21

0RRS21

0bAAb sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μminus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ==

(17) RRS21

0RRS21

0aBBa sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θminusπ

δπ

μ==

Se constată astfel că inductanţele mutuale dintre icircnfăşurările statorice şi cele rotorice sunt funcţii variabile de timp dependente indirect prin intermediul unghiului θR Ca orice funcţie armonică ele pot lua valori pozitive sau negative dependente de efectul magnetizant sau demagnetizant al icircnfăşurării inductoare Observaţie Relaţiile (11) şi (12) exprimă inductanţele proprii utile ale icircnfăşurărilor statorice şi respectiv rotorice Pe de altă parte fiecare din icircnfăşurări produce pe lacircngă un cacircmp magnetic util şi un cacircmp de dispersie care are un traseu extrem de complex şi care se icircnchide preponderent prin aer fără a cupla magnetic şi alte icircnfăşurări Cacircmpul magnetic de dispersie are icircn principal trei componente de bază de crestătură al capetelor de bobină şi al capetelor de dinţi Icircn mod corespunzător se pot defini trei tipuri de inductanţe de dispersie Lσ La acestea se poate adăuga şi o inductanţă de dispersie diferenţială inductanţă care este suma inductanţelor principale ale armonicilor spaţiale ale cacircmpului magnetic generat Dacă se consideră inductanţele de dispersie rezultante pentru fazele statorice şi rotorice de forma LσS respectiv LσR atunci inductanţele proprii ale icircnfăşurărilor pot fi exprimate sub forma (18) SSmSBBAA LLLLL =+== σ


73

(19) RRmRbbaa LLLLL =+== σ Ţinacircnd seama de expresiile obţinute pentru inductanţele care exprimă cuplajele magnetice dintre diversele icircnfăşurări se constată că fluxurile statorice şi rotorice pot fi exprimate unitar numai cu ajutorul inductanţei principale utile a icircnfăşurărilor statorice LSm Icircn acest fel expresiile fluxurilor statorice şi rotorice relaţiile (5) şi (8) devin

(20) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

RR

RRSm

S

R

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

LNN

ii

LL00LL

(21) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

Sm2S

2R

R

Sm2S

2R

R

Sb

Sa

RR

RRSm

S

R

Rb

Ra

ii

LNNL0

0LNNL

ii

cossinsincos

LNN

Pentru descrierea completă a sistemului electromagnetic al maşinii alături de ecuaţiile de flux (20) şi (21) trebuie stabilite şi ecuaţiile de echilibru al tensiunilor Acestea sunt deduse aplicacircnd legea lui Ohm generalizată Practic pe lacircngă tensiunea generată din exterior de către sursele de tensiune icircn fiecare icircnfăşurare va fi indusă o tensiune electromotoare (conform legii Faraday-Henry) determinată de variaţia fluxului total al icircnfăşurării Pentru icircnfăşurările statorice ecuaţiile de echilibru al tensiunilor (scrise icircn sistemul de referinţă statoric) au expresiile

(22) dt

diRu SaSaSSa

Ψ+=

(23) dt

diRu SbSbSSb

Ψ+=

De asemenea consideracircnd alimentate icircnfăşurările rotorice atunci ecuaţiile de echilibru al tensiunilor (scrise icircn sistemul de referinţă rotoric) au forma

(24) dt

diRu RaRaRRa

Ψ+=

(25) dt

diRu RbRbRRb

Ψ+=

Ca şi icircn cazul ecuaţiilor de flux ecuaţiile de echilibru tensiuni pot fi structurate icircn doua ecuaţii matriceale de forma

(26) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

(27) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

Raportarea mărimilor rotorice la stator

Raportul spirelor S

R

NN determină ca aceste ecuaţii să fie dificil de utilizat Se poate asimila

motorul de inducţie ca fiind un transformator cu secundarul rotitor Astfel se poate explica icircn acelaşi mod factorul de raportare folosit la transformator pentru a raporta mărimile secundare la primar Icircn acest fel toate icircnfăşurările vor fi caracterizate de acelaşi număr de spire NS Pentru ca icircnfăşurarea rotorică să producă aceleaşi efecte energetice (cacircmp magnetic icircn icircntrefier pierderi Joule scăpări) se definesc mărimile raportate

(28) RS

RRR

R

SR i

NNi u

NNu ==

şi parametrii

(29) R2R

2S

RR2R

2S

R LNNL R

NNR σσ ==


74

Icircnmulţind ecuaţia (27) cu termenul R

S

NN şi ţinacircnd seama de definiţiile (28)-(29) se obţine

(30) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

unde

(31) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

σ

σRb

Ra

Sm

R

Sm

R

Sb

Sa

RR

RRSm

Rb

Ra

ii

LL00LL

ii

cossinsincos

L

Icircn condiţiile raportării mărimilor rotorice la stator ecuaţia matriceală a fluxurilor statorice relaţia (20) devine

(32) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σRb

Ra

RR

RRSm

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

Lii

LL00LL

Fluxurile magnetice ale maşinii de inducţie bifazată pot fi exprimate unitar cu ajutorul matricei inductanţelor sub forma

(33) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θθminus+θθ

θθ+θminusθ+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

Rb

Ra

Sb

Sa

Sm

RRSmRSm

Sm

RRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii

LL0cosLsinL0LLsinLcosLcosLsinLLL0sinLcosL0LL

Teorema forţelor generalizate Ecuaţia cuplului electromagnetic Asupra conductoarelor parcurse de curent şi asupra corpurilor feromagnetice aflate icircn cacircmp magnetic produs de alte sisteme se exercită forţe şi cupluri electromagnetice Pentru calculul acestora se apelează de obicei la teorema forţelor generalizate care permite deducerea forţei (pentru corpurile aflate icircn mişcare de translaţie) respectiv a cuplului (pentru corpurile aflate icircn mişcare de rotaţie icircn jurul unor axe rigide) Icircn cele ce urmează se va considera o maşină electrică rotativă m-fazată Bobinele sunt parcurse de curenţii iSk respectiv iRk Coordonata generalizată icircn acest caz este reprezentată de unghiul mecanic θR care determină poziţia icircn spaţiu a icircnfăşurărilor icircn raport cu un sistem de referinţă fix Icircn fig2 se prezintă schema bloc a convertorului electromecanic cu energie magnetică intermediară

Fig2 Schema bloc a unui convertor electromecanic cu energie magnetică intermediară Energia electrică totală WE furnizată de sursele de tensiune externe poate fi descompusă sub forma (34) eTeLePE WWWW ++= unde WeP reprezintă energia electrică pierdută prin efect Joule WeL este energia icircnmagazinată icircn cacircmpul magnetic al icircnfăşurărilor iar WeT este energia transferată de către sistemul electric cacircmpului magnetic de interacţiune La racircndul său energia mecanică primită din exterior prin intermediul sursei mecanice de cuplu WM se descompune icircn (35) mTmJmPM WWWW ++= unde WmP reprezintă energia mecanică pierdură prin frecări WmJ reprezintă energia cinetică icircnmagazinată icircn partea mecanică iar WmT este energia transferată de către sistemul mecanic prin lucru mecanic L cacircmpului magnetic de interacţiune Energia magnetică a cacircmpului magnetic de interacţiune are deci expresia generală (36) LWWWW eTmTeTm +=+=

uRimiRm

uSi1iS1

Sistem electric

Sistem mecanic

Cacircmp magnetic

uS1iS1

uS2iS2

uRmiRm

uSi2iS2 medθR mextdθR


75

Pentru o icircnfăşurare oarecare aplicacircnd legea lui Ohm generalizată se obţine

(37) ikk

kkkkk

kkkk udtdiLiR

dtd

dtdiLiRu ++=

Ψ++= σσ

unde Ψk reprezintă fluxul propriu util al icircnfăşurării Icircnmulţind relaţia (37) cu produsul ikdt şi sumacircnd pentru toate icircnfăşurările rezultă relaţia (38) sumsumsumsumsumsumsum ++=Ψ++= σσ

kkik

kkkk

k

2kk

kkk

kkkk

k

2kk

kkk dtiudiiLdtiRiddiiLdtiRdtiu

Termenul din partea stacircngă reprezintă energia electrică totală dWE cedată de sursele de tensiune externe iar primul termen din partea dreaptă reprezintă energia electrică pierdută prin efect electrocaloric (Joule) dWeJ Cel de-al doilea termen al ecuaţiei (38) reprezintă energia magnetică icircnmagazinată icircn cacircmpurile de dispersie ale icircnfăşurărilor dWeL iar ultimul termen reprezintă energia transferată cacircmpului magnetic de interacţiune dWeT Sistemul mecanic este descris de ecuaţia (legea a doua generalizată a lui Newton)

(39) exteR

2R

2mm

dtdD

dtdJ =minus+

θθ

unde J reprezintă momentul axial de inerţie D reprezintă coeficientul de frecări vacircscoase me reprezintă cuplul electromagnetic dezvoltat de convertorul electromecanic iar mext reprezintă cuplul mecanic furnizat din exterior de o sursă mecanică Prin icircnmulţirea ecuaţiei (39) cu termenul dθR se obţine ecuaţia de bilanţ a energiei mecanice instantanee sub forma

(40) ReRR

R2R

2

Rext dmddt

dDddt

dJdm θθθθθθ minus+=

Termenul din partea stacircngă reprezintă energia mecanică totală dWM primul termen din partea dreaptă reprezintă energia cinetică icircnmagazinată icircn rotorul maşinii dWmJ termenul al doilea este energia mecanică pierdută prin frecări dWmP iar ultimul termen este energia mecanică transferată cacircmpului dWmT prin lucru mecanic dL Energia magnetică a cacircmpului de interacţiune are expresia (41) Re

kkkeTm dmiddLdWdW θminusΨ=+= sum

Energia magnetică icircnmagazinată icircn cacircmpul de interacţiune depinde numai de valorile finale ale variabilele de stare ale sistemului (Ψk ik θR) şi nu depinde de modul lor de evoluţie pentru a atinge aceste valori Astfel icircn cazul icircn care sistemul mecanic nu furnizează energie cacircmpului de interacţiune adică θR este constant se obţine energia magnetică furnizată numai de sistemul electric sub forma (42) sumsum =Ψ=

kkik

kkkm dtiuiddW

Deoarece cacircmpul magnetic de interacţiune reprezintă un mediu conservativ (deci nedisipativ) toată energia icircnmagazinată icircn cacircmp poate fi recuperată fie de către sistemul electric fie de către sistemul mecanic sub formă de lucru mecanic dL (43) Remm

kkk dmdWdLdWid θ+=minus=Ψsum

Să presupunem acum că are loc o deplasare unghiulară elementară dθR realizată sub acţiunea cuplului electromagnetic me pe direcţia acestuia icircn sensul măririi coordonatei θR Modificarea independentă a coordonatei generalizate θR se poate face fie la fluxuri magnetice constante fie pentru curenţi de intensitate constantă Icircn primul caz Ψk constant din relaţia (43) rezultă (44) Reconstm dmdW0

kθ+=

=Ψ

sau

(45) constR

me

kddWm

=Ψθminus=


76

Conform identităţii derivării a două funcţii primul termen al relaţiei (43) poate fi exprimat şi sub forma

(46) sumsumsumsumsumsum Ψminus=Ψminus⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψ

kkkm

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk didW2dii

21d2diidid

Substituind noua expresie icircn relaţia (43) se obţine (47) Rem

kkkm dmdWdidW2 θ+=Ψminussum

sau (48) Rem

kkk dmdWdi θ+minus=Ψminussum

Dacă se presupune acum că intensitatea curenţilor este constantă dik=0 atunci din relaţia (48) se obţine (49) Reconstim dmWd0

kθ+minus=

=

sau

(50) constiR

me

kddWm

=θ=

Expresiile (45) şi (50) reprezintă formularea analitică a teoremei forţelor generalizate icircn cacircmp magnetic Forţa generalizată (cuplul) care tinde să mărească coordonata asociată (deplasarea unghiulară mecanică) este egală cu derivata parţială a energiei magnetice a sistemului icircn raport cu această coordonată schimbată sau nu de semn după cum se presupun fluxurile sau intensităţile curenţilor constante Observaţii 1 Forţa generalizată care acţionează asupra icircnfăşurărilor fiind unic determinată pentru o configuraţie geometrică dată a acestora atunci rezultatele celor două relaţii de determinare sunt icircn mod firesc identice forţa fiind aceeaşi indiferent icircn ce condiţii se presupune că evoluează sistemul 2 Icircn cazul icircn care fluxurile magnetice sunt menţinute constante nu se produc fenomene de inducţie electromagnetică (dΨkdt=0) şi din relaţia (38) rezultă că puterea dată de sursele externe de tensiune acoperă numai pierderile prin efect Joule icircn conductoare Lucrul mecanic se obţine numai pe seama energiei magnetice a sistemului 3 Atunci cacircnd curenţii au intensităţi constante fluxurile magnetice variază producacircndu-se şi fenomene de inducţie electromagnetică Icircn acest caz sursele externe de tensiune cedează o putere suplimentară care icircn părţi egale revine cacircmpului magnetic (a cărui energie proprie creşte) şi forţei generalizate al cărei lucru mecanic icircl acoperă 4 Dacă din aplicarea relaţiilor de calcul (45) sau (50) rezultă o valoare negativă atunci forţa generalizată acţionează pe direcţia coordonatei generalizate icircn sensul invers creşterii acestei coordonate 5 Teorema dă informaţii asupra mărimii forţei generalizate asupra direcţiei şi sensului ei dar nu precizează punctul de aplicare Icircn scopul determinării cuplului electromagnetic al maşinii asincrone bifazate se poate utiliza teorema forţelor generalizate sub forma (50) Expresia energiei magnetice totale se obţine cu relaţia

(51) )iiii(21i

21W

RbRb

Ra

RaSbSbSaSa

kkkm Ψ+Ψ+Ψ+Ψ=Ψ= sum

Icircn baza relaţiilor (33) se obţine (52) ( ))sinicosi(Li)LL(ii R

RbR

RaSmSaSmSSaSaSa θminusθ++=Ψ σ

(53) ( ))cosisini(Li)LL(ii RRbR

RaSmSbSmSSbSbSb θ+θ++=Ψ σ

(54) ( )RaSm

RRSbRSaSm

Ra

Ra

Ra i)LL()sinicosi(Lii ++θ+θ=Ψ σ


77

(55) ( )RbSm

RRSbRSaSm

Rb

Rb

Rb i)LL()cosisini(Lii ++θ+θminus=Ψ σ

Icircn acest caz relaţia (51) devine

(56)

)cosiisiniisiniicosii(L

))ii(L)ii(L(21

))cosiisiniisiniicosii((L21


))ii(L)ii(L(21W

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaS

RRbSbR

RbSaR

RaSbR

RaSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaSm

θ+θ+θminusθ+

++++=

=θ+θminusθ+θ+

+θ+θ+θminusθ+

++++=

Prima parte a relaţiei (56) reprezintă energia magnetică icircnmagazinată icircn cacircmpurile proprii ale icircnfăşurărilor Cea de-a doua parte reprezintă valoarea energiei cacircmpului magnetic de interacţiune dintre icircnfăşurările statorice şi rotorice dependentă de coordonata θR Conform teoremei forţelor generalizate pentru curenţi constanţi din icircnfăşurări relaţia (50) se obţine

(57) [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θminusθ+θθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=

=θminusθ+θminusθminus=θpart

part=

π

π

Rb

Ra

R2R

2RRSbSaSm

Rb

Ra

RR

RRSbSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

R

me

ii

sin)sin()sin(sin

ii-Lii

sincoscossin

ii-L

)siniicosiicosiisinii(LWm

Dinamica sistemului mecanic poate fi modelată cu ajutorul ecuaţiei de mişcare de forma

(58) RR

RLeR

dtdDmm

dtdJ ω=

θωminusminus=

ω

Icircn cazuri dinamice concrete sistemul de ecuaţii (22)-(25) (33) (57) şi (58) se integrează cu dificultate datorită parametrilor variabili icircn timp prin intermediul unghiului θR Dincolo icircnsă de acest impediment modelul permite studiul celor mai complexe regimuri de funcţionare ale maşinii atacirct icircn condiţii normale de funcţionare cacirct şi icircn condiţii de defect Utilizarea sistemului de referinţă determină ca variabilele maşinii (naturale) să fie utilizate drept variabile de model crescacircndu-i astfel transparenţa O aplicabilitate imediată a acestor caracteristici este studiul posibilităţilor de diagnoză a defectelor Astfel modificarea unor parametri ai maşinii (rezistenţe inductanţe) poate fi uşor făcută pentru a simula existenţa unor tipuri de funcţionări defectuoase (asimetrii statoricerotorice scurtcircuite interne icircntreruperea unei faze de alimentare etc) Rezultatele simulărilor sunt mult mai apropiate de intuiţia inginerului icircn particular pentru diagnosticarea sistemelor de acţionare electrică Informaţiile obţinute sub forma unor traiectorii temporale pot fi utilizată icircn diagnosticarea icircn timp real a sistemelor Modelul matematic al maşinii de inducţie bifazate cu rotor icircn scurtcircuit Modelul matematic anterior a fost determinat consideracircnd că rotorul maşinii de inducţie bifazată are două icircnfăşurări ortogonale distribuite sinusoidal Icircnsă cele mai utilizate maşini de inducţie sunt cele cu rotor icircn scurtcircuit (fig3)

Fig3 Maşină de inducţie bifazată cu rotor icircn scurtcircuit


78

Aparent o astfel de maşină ar trebui să fie caracterizată printr-un alt model matematic deoarece spre deosebire de icircnfăşurările ortogonale distribuite sinusoidal care sunt parcurse de acelaşi curent icircn acest caz cele k bare sunt parcurse de curenţi de valori diferite Cu toate acestea icircn practică maşinile de inducţie cu rotor icircn scurtcircuit sunt caracterizate prin acelaşi model matematic singura deosebire constacircnd icircn faptul că tensiunile surselor rotorice externe sunt considerate a priori nule Justificarea constă icircn faptul că cele k bare rotorice sunt distribuite uniform icircn crestăturile rotorului poziţia fiecăreia fiind implicit dependentă de poziţia rotorului θR Dacă se consideră o icircnfăşurare rotorică formată din două bare dispuse diametral atunci fluxul care se icircnchide printr-o astfel de icircnfăşurare este diferit de cel al altor bare dispuse diametral şi dependent de poziţia θR Cu alte cuvinte tensiunea electromotoare indusă de cacircmpul magnetic statoric icircnvacircrtitor icircn fiecare din cele k2 bdquoicircnfăşurărirdquo este diferită chiar dacă acestea sunt scurcircuitate la capete prin intermediul inelelor (barele sunt conectate icircn paralel) Consideracircnd rezistenţa electrică a fiecărei bare aceeaşi atunci datorită distribuţiei sinusoidale a tensiunii electromotoare induse icircn barele rotorice prin barele rotorice vor circula curenţi diferiţi dar care icircn ansamblu vor avea o distribuţie sinusoidală Cei k curenţi rotorici induşi nu sunt independenţi ci pot fi exprimaţi cu ajutorul a doi curenţi echivalenţi care ar parcurge două icircnfăşurări rotorice ortogonale distribuite sinusoidal La nivel de cacircmp magnetic rotoric generat efectul este icircnsă acelaşi Icircn privinţa semnificaţiei parametrilor rotorici RR şi LR icircnsă se impun cacircteva nuanţări Dacă icircn cazul maşinii de inducţie cu rotor bobinat RR reprezintă rezistenţa electrică a unei icircnfăşurări rotorice valoarea acesteia putacircnd fi determinată prin măsurare icircn cazul maşinii de inducţie cu rotor icircn scurcircuit RR reprezintă o rezistenţă electrică echivalentă care poate fi doar estimată Icircn aceeaşi manieră poate fi interpretată şi inductanţa proprie rotorică LR Cu alte cuvinte parametrii echivalenţi ai rotorului icircn scurtcircuit sunt astfel determinaţi icircncacirct să modeleze cacirct mai bine răspunsul sistemului electromagnetic icircn sensul celor mai mici pătrate V3 Modelarea maşinii de inducţie trifazate icircn coordonate de fază Datorită disponibilităţii unui sistem trifazat de tensiuni maşina de inducţie industrială este o maşină trifazată statorul acesteia fiind format din trei icircnfăşurări statorice distribuite pseudosinusoidal şi dispuse spaţial la 120ordm electrice icircn raport cu icircnfăşurările adiacente (fig4a)

Fig4 Maşină de inducţie bifazată cu rotor icircn scurtcircuit a realizare fizică b reprezentare prin bobine reale cuplate magnetic

Deşi pentru situaţii speciale rotorul poate fi bobinat tot cu trei icircnfăşurări pseudosinusoidale dispuse spaţial icircn aceeaşi manieră icircn general acesta este realizat cu bare icircn scurtcircuit Un rotor astfel bdquobobinatrdquo are calitatea extrem de importantă de-a forma un număr de poli magnetici rotorici egal cu numărul de poli statorici Indiferent icircnsă de această proprietate el poate fi de asemenea echivalat cu un număr convenabil de icircnfăşurări rotorice distribuite sinusoidal Icircn fig4b se prezintă circuitele electrice statorice şi rotorice ale maşinii de inducţie trifazate cu rotor icircn scurtcircuit Fiecare din cele şase icircnfăşurări este reprezentată cu ajutorul unei bobine reale plasată icircn axa magnetică a acesteia

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

θR bull

bull

ωR

32π

32π

32π

bull

bull

bull

bull

bull


79

Modelarea matematică icircn coordonate de fază a maşinii de inducţie trifazate se realizează după aceeaşi metodologie urmată pentru maşina de inducţie bifazată Din păcate datorită numărului crescut de faze dar şi a dispunerii neortogonale a icircnfăşurărilor statorice şi rotorice modelul obţinut este mai complex apăracircnd suplimentar un cuplaj magnetic şi icircntre icircnfăşurările dispuse pe aceeaşi armătură Dacă se aleg ca referinţe de dispunere spaţială axa magnetica a icircnfăşurării statorice AArsquo şi cea a icircnfăşurării rotorice AArsquo atunci ecuaţiile de echilibru tensiuni pentru cele şase faze ale maşinii sunt

(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

S

S

S

SC

SB

SA

dtd

iii

R000R000R

uuu

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

RC

RB

RA

RC

RB

RA

R

R

R

dtd

iii

R000R000R

000

Ecuaţiile (59) sunt exprimate icircntr-un sistem de referinţă staţionat iar cele rotorice relaţia (60) sunt scrise icircntr-un sistem de referinţă solidar cu rotorul Cuplajul magnetic dintre icircnfăşurările maşinii de inducţie poate fi modelat sub forma

(61)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

cccbcacCcBcA

bcbbbabCbBbA

acabaaaCaBaA

CcCbCaCCCBCA

BcBbBaBCBBBA

AcAbAaACABAA

RC

RB

RA

SC

SB

SA

iiiiii

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

Determinarea inductanţelor proprii utile şi a inductanţelor mutuale ale icircnfăşurărilor maşinii de inducţie trifazate se realizează din nou prin particularizarea corespunzătoare a relaţiei (10) Dacă se ţine seama de liniaritatea circuitelor magnetice atunci pentru inductanţele proprii utile ale icircnfăşurărilor se obţine

(62) Sm

not2S

210CmBmAm LN

42llLLL =

δπ

μ===

(63) Rm

not2R

210cmbmam LN

42llLLL =

δπ

μ===

Inductanţele mutuale (nenule) icircntre icircnfăşurările statorice se obţin pentru unghiul α=plusmn2π3

(64) 2

L3

2cosN42

llLLLLLL Sm2S

210CBBAACCABCAB minus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======

Icircn mod similar se obţin şi inductanţele mutuale icircntre icircnfăşurările rotorice

(65) 2

LNN

2L

32cosN

42llLLLLLL Sm

2S

2RRm2

R21

0cbbaaccabcab minus=minus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======

Pentru evaluarea inductanţelor mutuale dintre icircnfăşurările statorice şi icircnfăşurările rotorice trebuie ţinut seama de poziţia lor relativă evaluată cu ajutorul unghiului θR Icircn baza fig4b se obţine

(66) RSmS

RRRS

210cCbBaACcBbAa cosL

NNcosNN

42llLLLLLL θ=θ

δπ

μ======

(67) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210aCcBbACaBcAb

(68) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210bCaBcACbBaAc

Folosindu-se aceeaşi tehnică de raportare a mărimilor rotorice la stator se obţine următoarea matrice a inductanţelor


80

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minusminusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ

minus+minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ

minusminus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ+minusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminus+minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθminusminus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

Sm

RSmSmRSmRSmRSm

SmSm

RSmRSmRSmRSm

SmSmSm

RRSmRSmRSm

RSmRSmRSmSmsSmSm

RSmRSmRSmSmSmSSm

RSmRSmRSmSmSmSmS

RC

RB

RA

SC

SB

SA

i

i

i

i

i

i

LLL21L

21cosL

32cosL

32cosL

L21LLL

21

32cosLcosL

32cosL

L21L

21LL

32cosL

32cosLcosL

cosL3

2cosL3

2cosLLLL21L

21

32cosLcosL

32cosLL

21LLL

21

32cosL

32cosLcosLL

21L

21LL

Expresia cuplului electromagnetic se obţine tot cu ajutorul teoremei forţelor generalizate

(70) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotθsdot

θpartpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotΨ

θpartpart

=θpart

part= I)(LI

21I

21Wm R

TT

R

T

RR

me

unde

(71)

( )( )

( )( )( )

RBSCRASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

RC

RB

RC

RA

RB

RASCSBSCSASBSASm

2RC

2RB

2RA

R

2SC

2SB

2SAS

Tm

iiiiii)cos(L

iiiiii)cos(L

iiiiiicosL

)iiiiiiiiiiii(L21-

)iii(L)iii(L21I

21W

++minusθ+

++++θ+

+++θ+

++++++

minus+++++=sdotΨ=

π

π

Icircn urma derivării expresiei (71) icircn raport cu variabila θR se obţine

(72)

( ) ( )( )

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θminusθ+θ+θθminusθminusθ+θθ

=

=++minusθminus

minus+++θminus++θminus=θpart

part=

ππ

ππ

ππ

π

π

RC

RB

RA

R32

R32

R

32

RR32

R

32

R32

RR

SCSBSASm

RBSC

RASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

R

me

iii

sin)sin()sin()sin(sin)sin()sin()sin(sin

iii-L

iiiiii)sin(L

iiiiii)sin(LiiiiiisinLWm

Observaţie Modelele obţinute pentru maşina asincronă bifazată şi maşina asincronă trifazată conţin parametri şi mărimi rotorice raportate la stator Icircn cele ce urmează se va renunţa la notaţia explicită prin simbolul prim (rsquo) din considerente de simplificare a scrierii ecuaţiilor Totuşi pentru modelele ulterioare raportarea parametrilor şi mărimilor rotorice la stator trebuie subicircnţeleasă


81

VI Teoria sistemelor de referinţă După cum s-a constatat unele ecuaţii diferenţiale care descriu regimurile tranzitorii ale maşinii de inducţie (bifazată sau trifazată) conţin coeficienţi variabili icircn timp (inductanţe) dependenţi de poziţia instantanee a rotorului Pentru reducerea complexităţii acestor ecuaţii diferenţiale şi simplificarea analizei acestor maşini se utilizează adesea o serie de schimbări de variabile Icircn anul 1920 RH Park a introdus o nouă abordare icircn privinţa analizei maşinilor electrice El a formulat o schimbare de variabile care icircn fapt a icircnlocuit variabilele asociate icircnfăşurărilor statorice ale maşinii sincrone (tensiuni curenţi fluxuri de legătură) cu variabile asociate unor icircnfăşurări virtuale care se rotesc sincron cu rotorul maşinii Cu alte cuvinte el a echivalat sau a referit variabilele statorice la un sistem de referinţă fixat de rotor Transformata Park care a revoluţionat analiza maşinilor electrice de curent alternativ are proprietatea unică de-a elimina dependenţele de timp ale inductanţelor din ecuaţiile de tensiuni dependenţe datorate atacirct mişcării relative a circuitelor electrice stator-rotor cacirct şi circuitului magnetic specific acestui tip de maşină care prezintă icircntrefier variabil (reluctanţă magnetică variabilă) Icircn anul 1930 HC Stanley a utilizat o schimbare de variabile icircn analiza maşinilor de inducţie El a arătat că inductanţele variabile din ecuaţiile de tensiuni ale unei maşini de inducţie datorate numai mişcării relative a circuitelor electrice stator-rotor pot fi eliminate prin transformarea variabilelor asociate icircnfăşurărilor rotorice (variabilele rotorice) icircn variabile asociate unor icircnfăşurări fictive staţionare Icircn acest caz variabilele rotorice sunt transformate icircntr-un sistem de referinţă fixat de stator (modelul Stanley) G Kron a introdus o schimbare de variabile care a eliminat dependenţa de poziţia instantanee rotorică a inductanţelor mutuale ale unei maşini de inducţie simetrice prin transformarea atacirct a variabilelor statorice cacirct şi a celor rotorice icircntr-un sistem de referinţă care se roteşte sincron cu cacircmpul magnetic rotitor al maşinii Acest sistem de referinţă este numit icircn mod curent sistem de referinţă rotitor sincron (modelul Kron) DS Brereton a utilizat o schimbare de variabile care a eliminat dependenţa de timp a inductanţelor unei maşini de inducţie simetrice prin transformarea variabilelor statorice icircntr-un sistem de referinţă solidar cu rotorul Icircn esenţă icircnsă este vorba despre o transformată Park aplicată la o maşină de inducţie Park Stanley Kron şi Brereton au elaborat schimbări de variabile fiecare dintre ele păracircnd să fie adecvată pentru o anumită aplicaţie particulară Icircn consecinţă fiecare transformată a fost derivată şi tratată separat icircn literatura de specialitate pacircnă icircn anul 1965 cacircnd PC Krause a observat că toate transformările utilizate icircn analiza maşinilor de inducţie sunt cazuri particulare ale unei transformări generale care elimină toate dependenţele de timp ale inductanţelor prin referirea atacirct a variabilelor statorice cacirct şi a celor rotorice la un sistem de referinţă care se poate roti cu orice viteză unghiulară sau poate fi staţionar Icircn acest fel oricare din schimbările de variabile poate fi obţinută prin simpla particularizare a vitezei de rotaţie a sistemului de referinţă inclusiv pentru valoarea zero Acest sistem de referinţă este numit sistem de referinţă arbitrar Mai tacircrziu tot PC Krause a observat că şi variabilele statorice şi rotorice ale maşinii sincrone pot fi referite icircntr-un sistem de referinţă arbitrar Icircnsă dependenţa de timp a inductanţelor acestui tip de maşină poate fi eliminată numai dacă sistemul de referinţă arbitrar este sincron cu rotorul (transformata Park) Icircn consecinţă sistemul de referinţă arbitrar nu oferă aceleaşi avantaje icircn analiza maşinilor sincrone cu poli aparenţi avantaje extrem de apreciate icircn cazul analizei maşinilor de inducţie Deşi schimbările de variabile sunt cel mai adesea utilizate icircn analiza maşinilor de curent alternativ pentru a elimina dependenţa de timp a inductanţelor ele sunt de asemenea folosite şi icircn analiza convertoarelor statice de putere (de exemplu filtre active) sisteme care au parametri constanţi precum şi icircn implementarea sistemelor de control al acţionărilor electrice cu maşini de curent alternativ


82

Icircntr-un context mai general să considerăm un sistem dinamic liniar descris icircn spaţiul stărilor sub forma

(1) ⎩⎨⎧

+==+=

)t(U)t(D)t(X)t(C)t(YX)t(X)t(U)t(B)t(X)t(A)t(X 00

amp

unde X(t) U(t) Y(t) sunt respectiv vectorul de stare vectorul de intrare (de comandă) şi vectorul de ieşire iar A(t) B(t) C(t) D(t) sunt respectiv matricea de stare (de evoluţie fundamentală) matricea intrării (de comandă) matricea ieşirii (de observare) şi matricea de cuplaj toate de dimensiuni corespunzătoare Evoluţia stărilor este definită de ecuaţiile diferenţiale (1) şi de condiţiile iniţiale (problemă tip Cauchy) Obţinerea de modele dinamice echivalente avacircnd icircnsă alte mărimi de stare se poate realiza folosind o matrice de transformare liniară icircn spaţiul stărilor Astfel dacă se alege o matrice nesingulară care defineşte o transformare liniară a vectorului de stare X(t) sub forma (2) )t(TX)t(X~ = atunci noul sistem are forma

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

)t(U)t(D~)t(X~)t(C~)t(Y

)t(U)t(B~)t(X~)t(A~)t(X~amp

unde (4) )t(D)t(D~T)t(C)t(C~)t(TB)t(B~T)t(TA)t(A~ 11 ==== minusminus Icircn situaţia icircn care se dispune de un model al unui sistem electric de forma (5) [ ] [ ][ ]iZu = şi se defineşte o transformare matriceală de variabile (6) [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]iCiuCu == se poate obţine un nou sistem sub forma (7) [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]iZiZ 1 CCCCuC minus== sau (8) [ ] [ ][ ]iZu = unde (9) [ ] [ ][ ][ ] 1Z minus= CCZ Icircn concluzie pentru a putea opera cu noile variabile icircn noile coordonate condiţia impusă este ca matricea impedanţelor să fie calculată conform relaţiei (9) Puterea aparentă a celor două sisteme icircn formă vectorială este (10) ]i[]u[S T= respectiv (11) ]i[]u[S T = Dacă se impune ca puterea să fie aceeaşi icircn ambele sisteme se obţine (12) ]i][C[]u[]i[]u[]i[]u[ TTT == sau (13) == ]C[]u[]u[ TT Prin transpunere relaţia vectorială (13) devine (14) ]u[]C[]u[ T= Pe de altă parte dacă se ţine seama de transformarea de variabile (61) se obţine condiţia de echivalenţă energetică sub forma (15) ]u][C[]C[]u[]C[]u[ TT == sau (16) T1T ]C[]C[]I[]C[]C[ =rArr= minus Relaţia (16) reflectă proprietatea de ortogonalitate a matricei de transformare care aplicată unui sistem electric generează un nou sistem electric echivalent energetic


83

Transformările de variabile pentru un sistem de referinţă arbitrar pot fi considerate ca fiind transformări secvenţiale rezultate prin asocierea a două transformări elementare transformarea de faze a unei maşini m-fazate icircntr-o maşină bifazată (Clarke) şi transformarea de coordonate (rotaţie) VI1Transformarea unei armături statorice trifazate icircntr-o armătură statorică bifazată

echivalentă energetic Transformările de faze se folosesc pentru a transforma o maşină m-fazată icircntr-o maşină bifazată echivalentă din punct de vedere energetic Cum maşinile electrice de curent alternativ se utilizează prin conexiunea lor la sistemul energetic trifazat numărul de faze utilizat este trei (m=3) Din acest motiv se va prezenta icircn principal trecerea de la sistemul trifazat la sistemul bifazat Se consideră o maşină de inducţie trifazată al cărei model a fost determinat icircn capitolul anterior Se doreşte determinarea unei matrice de transformare de faze care icircn urma aplicării modelului considerat conform celor arătate anterior să conducă la un model de maşină de inducţie bifazată echivalentă energetic Pentru aceasta se vor analiza circuitele electrice ale celor două maşini icircn cazul acestui tip de transformare nu este necesară precizarea dacă icircnfăşurările considerate se găsesc pe stator sau pe rotor icircntrucacirct deducţiile sunt valabile icircn oricare din aceste cazuri Pentru a se asigura invarianţa icircn putere a transformatei utilizate trebuie icircndeplinită condiţia (17) 2f2f3f3f iu2iu3S sdot=sdot= unde prin 3 şi 2 se notează mărimile de fază ale maşinii de inducţie trifazate respectiv bifazate Condiţia (17) poate fi icircndeplinită prin diferite relaţii icircntre variabilele bifazate şi cele trifazate cum ar fi (18) 3f2f3f2f iiu

23u ==

(19) 3f2f3f2f i23iuu ==

(20) 3f2f3f2f i23iu

23u == - echivalare simetrică

Dacă se doreşte obţinerea unui maşini electrice bifazate virtuale invariantă atacirct icircn putere cacirct şi icircn impedanţă (rezistenţe inductanţe) atunci trebuie utilizate relaţiile de echivalare simetrică O icircnfăşurare trifazată parcursă de un sistem echilibrat de curenţi produce o solenaţie rotitoare de amplitudine constantă Pe de altă parte o solenaţie rotitoare de amplitudine constantă poate fi realizată şi cu sistem bifazat şi echilibrat de curenţi care alimentează o icircnfăşurare bifazată Cu alte cuvinte pentru anumite expresii ale curenţilor dintr-o icircnfăşurare trifazată există un set de curenţi din icircnfăşurarea bifazată echivalentă care va produce aceeaşi solenaţie instantanee Relaţiile dintre curenţii trifazaţi şi curenţi bifazaţi constituie elementele matricei de transformare de faze Icircn fig1a se prezintă o armătură statorică trifazată parcursă de curenţii iSA iSB şi iSC Numărul de spire pe fază este notat cu Nf3 Fiecare din cele trei icircnfăşurări ale armăturii trifazate poate fi echivalată cu cacircte două icircnfăşurări plasate icircn axele ortogonale α-β icircnseriate şi parcurse tot de curenţii iSA iSB şi iSC dacă solenaţia rezultantă a celor două icircnfăşurări este egală cu solenaţia produsă de icircnfăşurarea de fază echivalată fig1b Icircntrucacirct curenţii prin icircnfăşurări sunt aceiaşi rezultă că cele două icircnfăşurări echivalente trebuie să aibă numere de spire diferite dependente de unghiul spaţial de dispunere a icircnfăşurării trifazate

(21) θ=θ=

β

α

sinNNcosNN

3f

3f


84

Fig1 Armătură statorică trifazată alimentată cu un sistem echilibrat de curenţi Icircn acest fel pentru maşinile electrice cu icircntrefier constant această echivalenţă icircntre solenaţii conduce la o echivalenţă a cacircmpurilor magnetice create pe cele două direcţii ortogonale şi deci şi a fluxurilor magnetice Particularizacircnd relaţiile (21) pentru icircnfăşurările armăturii statorice din fig1a se obţine

(22) 00sinNN

N0cosNN

3fA

3f3fA

==

==

β

α

3f3fB

3f3fB

N23

32sinNN

N21

32cosNN

=π

=

minus=π

=

β

α

3f3fC

3f3fC

N23

34sinNN

N21

34cosNN

minus=π

=

minus=π

=

β

α

Observaţie Semnul minus (-) se implementează prin icircnserierea corespunzătoare a bobinelor Solenaţiile produse de cele trei perechi de icircnfăşurări trebuie să fie aceleaşi cu cele produse de curenţii iSa şi iSb ai armăturii bifazate din fig1c Numărul de spire pe faza bifazată este notat cu Nf2 Din condiţia de echivalenţă a solenaţiilor pe axa α se obţine (23) Sa2fSC3fSB3fSA3f iNiN

21iN

21iN =minusminus

De asemenea din condiţia de echivalenţă a solenaţiilor pe axa β se deduce

(24) Sb2fSC3fSB3f iNiN23iN

23

=minus

Se obţin astfel relaţiile de echivalenţă icircntre curenţii celor două tipuri de armături sub forma

(25)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus=

SCSB2f

3fSb

SCSBSA2f

3fSa

i23i

23

NNi

i21i

21i

NNi

Relaţiile (25) exprimă faptul că o armătură trifazată cu o construcţie simetrică parcursă de un sistem trifazat de curenţi iSA iSB şi iSC este echivalentă cu o armătură bifazată parcursă de un sistem bifazat de curenţi iSa şi iSb Dacă cele trei icircnfăşurări AArsquo BBrsquo şi CCrsquo sunt conectate icircn stea fără conductor de nul atunci este valabilă relaţia (26) 0iii SCSBSA =++ Icircn acest caz relaţia (251) devine

(27) SA2f

3fSa i

23

NNi =

sau

(28) 3f2f

3f2f i

23

NNi =

Pe de altă parte dacă se ţine seama de relaţia (20) se poate determina raportul numărului de spire icircntre cele două tipuri de icircnfăşurări de fază

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

α

βNAβ iSA

iSB NBβ

NCβ

NAαNBαNCα

c


85

(29) 32

NNi

23i

23

NNi

2f

3f3f3f

2f

3f2f =rArr==

Cu alte cuvinte pentru a se obţine o matrice de transformare de faze ortogonală raportul numărului de spire ale icircnfăşurării bifazate echivalente trebuie să fie de forma

(30) 3f2f N23N =

Relaţiile (25) puse icircn formă matriceală prin relaţia

(31) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

Sb

Sa

iii

23

230

21

211

32

i

i

asigură determinarea unui sistem echivalent de curenţi bifazaţi folosind curenţii unei armături trifazate simetrice Determinarea curenţilor iSA iSB şi iSC icircn funcţie de curenţii iSa şi iSb se poate realiza numai icircn cazul icircn care este icircndeplinită condiţia (26) adică icircnfăşurarea trifazată este conectată icircn stea fără conductor de nul Icircn acest caz se obţine

(32) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sb

Sa

SC

SB

SA

i

i

23

21

23

21

01

32

iii

Icircn cazul general icircnsă cacircnd icircnfăşurarea trifazată este conectată icircn stea cu conductor de nul atunci aplicacircnd prima teoremă a lui Kirchhoff icircn nodul icircnfăşurării se obţine (33) 0iiii NSCSBSA ne=++ iN fiind curentul de nul Ecuaţia (33) poate fi pusă icircnsă sub forma

(34) 03

ii3

ii3

ii NSC

NSB

NSA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

sau (35) 0iii

SCSB

SA =++

Se constată deci că icircn cazul alimentării armăturii trifazate conectată icircn stea cu fir neutru cu un sistem dezechilibrat de curenţi iSA iSB şi iSC care satisface condiţia (34) se poate găsi un sistem echilibrat de curenţi irsquo

SA irsquoSB şi irsquo

SC care să satisfacă condiţia (26) Dacă se notează curentul homopolar cu

(36) 3

i3

iiii NSCSBSA0 =

++=

atunci curenţii reali prin cele trei faze ale armăturii pot fi exprimaţi sub forma

(37) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

+=

+=

+=

Cei trei curenţi homopolari i0 circulă prin fiecare din icircnfăşurările trifazate icircn acelaşi sens iar solenaţia rezultantă icircn icircntrefier creată de ei este nulă icircn orice moment icircntrucacirct icircnfăşurările sunt dispuse simetric (fig2b)

(38) 0iN

23iN

23

0iN21iN

21iN

03f03f

03f03f03f

=minus

=minusminus

Această armătură trifazată este echivalentă cu o armătură pe care se găseşte un sistem bifazat de icircnfăşurări parcurse de curenţii iSa şi iSb şi un sistem trifazat simetric de icircnfăşurări parcurse de acelaşi curent i0 (fig2c)


86

Fig2 Armătură statorică trifazată alimentată cu un sistem dezechilibrat de curenţi

Valorile curenţilor iSa şi iSb pot fi calculate icircn continuare cu ajutorul relaţiei (31) Astfel dacă icircn baza relaţiilor (37) sistemul echilibrat de curenţi irsquo


SC se exprimă icircn funcţie de sistemul dezechilibrat de curenţi iSA iSB şi iSC şi componenta homopolară i0 şi se utilizează relaţia (31) se obţine

(39) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

minus=

minus=

minus=

(40) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminusminus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminusminusminusminus=⎟

⎠⎞


SCSB0SC0SBSC

SBSb

SCSBSA0SC0SB0SASC

SB

SASa

i23i

23

32ii

23ii

23

32i

23i

23

32i

i21i

21i

32ii

21ii

21ii

32i

21i

21i

32i

Icircn concluzie componenta homopolară a curentului nu are influenţă asupra sistemului bifazat de curenţi Mai mult deoarece solenaţia rezultantă creată de curentul homopolar este nulă ea nu generează cacircmp magnetic şi deci nu contribuie la producerea cuplului electromagnetic Cu toate acestea ea produce pierderi icircn circuitul electric şi magnetic al armăturii De aceea pentru a obţine o icircnfăşurare ortogonală virtuală echivalentă energetic trebuie modelat şi circuitul electric şi magnetic al componentei homopolare Componenta homopolară formează un circuit electric şi magnetic separat de cele ale armăturii ortogonale şi deci poate fi tratat icircn mod independent El poate fi modelat cu ajutorul unei bobine reale avacircnd un număr de spire Nf1 Echivalarea energetică a armăturii trifazate alimentată prin intermediul componentei homopolare reale i0 cu o bobină reală alimentată cu un curent homopolar echivalent i0e se realizează după aceeaşi metodologie ca şi icircn cazul echivalării energetice a unei armături trifazate alimentată cu un sistem simetric de curenţi printr-o armătură ortogonală relaţiile (17) şi (20) Se obţine (41) e0e0000 iuiu3S == (42) 0e00e0 i3iu3u == - echivalare simetrică Icircn acelaşi timp dacă se are icircn vedere că solenaţia (de dispersie) produsă de bobina echivalentă trebuie să fie aceeaşi cu cea produsă de armătura trifazată adică (43) 03fe01f iN3iN = se obţine (44) 0

1f

3fe0 i

NN3i =

Icircn baza relaţiilor (422) şi (44) se deduce că raportul dintre numărul de spire al celor două tipuri de icircnfăşurări este

(45) 3f1f1f

3f N3N3NN3 =rArr=

Similar relaţiei (30) efectul echivalent al armăturii trifazate se obţine cu o icircnfăşurare monofazată care are un număr de spire majorat Pe de altă parte icircnsă şi curentul homopolar

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

βNAβ irsquo

SAirsquo

SBirsquoSC

NBβ

NCβ

NAαNBαNCαi0

Nf3

Nf3

Nf3

i0

Nf3

Nf3

Nf3

c


87

echivalent modelat i0e este mai mare decacirct cel real i0 Folosindu-se relaţiile (44) (45) şi (36) el poate fi exprimat direct cu ajutorul curenţilor sistemului trifazat dezechilibrat astfel

(46) 2

iii32

3iii3i3i SCSBSASCSBSA

0e0++

=++

==

Dacă se notează curentul homopolar echivalent i0e cu iS0 atunci matricele de transformare ale unei armături trifazate alimentată dezechilibrat icircntr-o armătură ortogonală relaţia (31) şi invers relaţia (32) devin (fig3)

(47) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

Sb

Sa

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii

(48) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

Sb

Sa1

0S

Sb

Sa

SC

SB

SA

iii

]C[iii

21

23

21

21

23

21

2101

32

iii

Icircn fig3b se observă că icircn raport cu reprezentarea specifică unei armături trifazate alimentată de la un sistem echilibrat de curenţi s-a figurat suplimentar şi separat şi circuitul electric asociat componentei homopolare Deoarece icircntre icircnfăşurările ortogonale şi acest circuit nu există cuplaj magnetic el poate fi figurat icircn exteriorul circuitului magnetic

Fig3 Echivalarea completă a unei armături statorice trifazate cu o armătură statorică ortogonală

Matricea [C] poartă denumirea de transformata Clarke Datorită proprietăţii de ortogonalitate se observă că transformata Clarke inversă [C]-1 se obţine prin transpunerea matricei [C] Relaţiile de transformare a unei armături trifazate icircntr-o armătură bifazată şi invers pot fi generalizate pentru o armătură m-fazată Dacă se notează cu α unghiul electric dintre axele magnetice ale două icircnfăşurări adiacente (49)

m2π

=α

atunci transformata Clarke directă are forma generală

(50) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αsdotminusαsdotαsdotαsdotminusαsdotαsdot

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sm

2S

1S

0S

Sb

Sa

i

ii

21

21

21

)1m(sin1sin0sin)1m(cos1cos0cos

m2

iii

ML

L

L

Icircn acest fel orice maşină m-fazată poate fi echivalată energetic cu o maşină bifazată avacircnd icircnfăşurările statorice şi respectiv rotorice ortogonale (şi deci decuplate magnetic)

a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a

brsquob

bull α

β

Nf2

Nf2

iSa

iSb

b

Nf1

iS0 ]C[

rArr

1]C[ minuslArr


88

Deoarece transformarea definită este de asemenea ortogonală inversa matricei se obţine tot prin transpunerea matricei directe VI2Modelul de maşină primitivă al maşinii de inducţie trifazate Transformata Clarke definită anterior este una din transformările de variabile utilizate icircn analiza simularea şi controlul maşinilor de curent alternativ După cum s-a văzut prin utilizarea ei un sistem polifazat de icircnfăşurări poate fi echivalat cu un sistem ortogonal de icircnfăşurări care conduce la un model icircn mod considerabil mai simplu icircn raport cu cel asociat maşinii polifazate De aceea icircn cazul analizei şi controlului unei maşini de inducţie trifazate totdeauna se preferă echivalarea ei cu o maşină virtuală bifazată Maşina virtuală bifazată poate fi modelată cu ajutorul a două tipuri de modele bull Modelul de maşină primitivă pentru care se folosesc două sisteme de referinţă pentru referirea mărimilor (un sistem de referinţă pentru mărimile statorice şi un sistem de referinţă pentru mărimile rotorice) bull Modelul de maşină generalizată pentru care atacirct mărimile statorice cacirct şi mărimile rotorice sunt referite icircntr-un sistem de referinţă unic Utilizarea exclusivă a transformatei Clarke permite obţinerea unui model de maşină primitivă icircn care mărimile statorice definite icircntr-un sistem de referinţă trifazat solidar cu statorul sunt transformate icircntr-un set de mărimi statorice echivalente referite icircntr-un sistem de referinţă ortogonal staţionar (solidar cu statorul) pe cacircnd mărimile rotorice definite icircntr-un sistem de referinţă trifazat solidar cu rotorul sunt transformate icircntr-un set de mărimi rotorice echivalente referite icircntr-un sistem de referinţă ortogonal rotitor (solidar cu rotorul) Cu alte cuvinte sistemele de referinţă ortogonale sunt cele bdquonaturalerdquo specifice celor două tipuri de armături Conform relaţiilor (7)-(9) icircn urma aplicării unei transformate de variabile pe lacircngă conversia mărimilor sistemului (tensiuni curenţi fluxuri) are loc şi o modificare a impedanţei sistemului trifazat (7) [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]iZiZ 1 CCCCuC minus== (8) [ ] [ ][ ]iZu = (9) [ ] [ ][ ][ ] 1Z minus= CCZ De aceea icircn continuare se urmăreşte stabilirea legăturii dintre parametrii fizici ai maşinii trifazate (fig4a) parametri care se pot determina experimental şi cei ai modelului de maşină primitivă (fig4b) care sunt utilizaţi icircn analiză modelare şi control Pentru axele ortogonale se convine să se utilizeze notaţiile D (de la Direct) şi Q (de la Quadrature) deşi pentru variabilele maşinii primitive icircn general se utilizează notaţia αβ

Fig4 Modele ale maşinii asincrone trifazate cu rotor icircn scurtcircuit a Maşina asincronă icircn coordonate de fază b Maşina asincronă icircn coordonate ortogonale naturale Modelul sistemului electromagnetic al maşinii asincrone trifazate cu rotor icircn scurtcircuit a fost determinat icircn sectV3 El poate fi descris cu ajutorul următoarelor ecuaţii matriceale

a

D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θR

α

β

drsquo d

qrsquoq

bullbull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iSD

iSQ

iRD

iRQ

A

A

B B

C C


89

(51) ][dtd]I][R[]U[ SSSS Ψ+=

(52) ][dtd]I][R[]U[ RRRR Ψ+=

(53) ]I)][(L[]I][L[][ RRSRSSSS θΨ += (54) ]I][L[]I[)](L[]I][L[]I)][(L[][ RRRS

TRSRRRRSRRSR +=+= θθΨ

unde

(55) ][][]iii[]I[]uuu[]U[

][][]iii[]I[]uuu[]U[T

RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

(56) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(57) cosL)cos(L)cos(L

)cos(LcosL)cos(L)cos(L)cos(LcosL

)](L[LLLLLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR

SSm21

Sm21

Sm21

SSm21

Sm21

Sm21

S

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminusminusminusminus

=ππ

ππ

ππ



)](L[LLL

LLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS

RSm21

Sm21

Sm21

RSm21

Sm21

Sm21

R

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ+θminusθminusθθ+θ+θminusθθ

=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ

Aplicacircnd transformata Clarke directă ecuaţiilor matriceale de tensiuni relaţiile (51) şi (52) se obţine (59) ( ) ][

dtd]I[]C][R][C[]][C[

dtd]I][C[]C][R][C[]U][C[]U[ SDQSDQ

1SSS

1SSSDQ Ψ+=Ψ+== minusminus

(60) ( ) ][dtd]I[]C][R][C[]][C[

dtd]I][C[]C][R][C[]U[ RDQRDQ

1RRR

1RRDQ ΨΨ +=+= minusminus

unde

(61) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

S-au obţinut icircn acest mod noile variabile asociate circuitelor electrice şi magnetice ortogonale precum şi cele ale circuitelor homopolare statorice şi rotorice Observaţie Introducerea transformatei Clarke icircn operatorul de derivare dt

d este permisă deoarece matricea de transformare este constantă (nu are dinamică adică este independentă de variabila timp) Icircn urma aplicării transformatei Clarke directe ecuaţiile de flux (53) şi (54) devin (62)

]I[]C)][(L][C[]I[]C][L][C[

]I][C[]C)][(L][C[]I][C[]C][L][C[]][C[][

RDQ1

RSRSDQ1

SS

R1

RSRS1

SSSSDQ

minusminus

minusminus

θ+=

=θ+=Ψ=Ψ

(63) ]I[]C][L][C[]I[]C)][(L][C[

]I][C[]C][L][C[]I][C[]C)][(L][C[]][C[][

RDQ1

RRSDQ1

RRS

R1

RRS1

RRSRRDQ

minusminus

minusminus

+θ=

=+θ=Ψ=Ψ

Dacă se analizează ecuaţiile matriceale (59) (60) (62) şi (63) se observă că noii parametri ai modelului de maşină primitivă sunt obţinuţi din parametrii maşinii trifazate ca rezultat al produselor matriceale de forma (9) (9) [ ] [ ][ ][ ] 1Z minus= CCZ De aceea icircn vederea unui calcul unitar al acestor termeni se poate stabili un rezultat intermediar mai general de forma

(64) [ ] [ ][ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+minusminus

minus+minus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

== minus

cba00

0)cb(a)bc(

0)cb()cb(a

21

23

21

21

23

21

2101

32

acb

bac

cba

21

21

21

23

230

21

211

32Z

21

23

23

21

1CCZ


90

Icircn acest fel prin particularizarea elementelor a b c ale matricei impedanţei iniţiale se pot obţine imediat elementele matricei impedanţei echivalente Pentru a calcula matricea rezistenţelor statorice (65) 1

SS ]C][R][C[]R[ minus=

se observă că a=RS b=c=0 Icircn baza relaţiei (64) se obţine

(66) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ S

S

S

S1

SS =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus

Aşa cum era de aşteptat datorită ortogonalităţii matricei Clarke noul model al maşinii primitive are rezistenţele icircnfăşurărilor egale cu cele ale modelului iniţial Deoarece şi pentru matricea rezistenţelor icircnfăşurărilor rotorice sunt valabile relaţiile a=RR b=c=0 se obţine

(67) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ R

R

R

R1

RR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus

Observaţie Notaţia prim (rsquo) este folosită pentru a diferenţia noua matrice a rezistenţelor şi nu pentru a preciza că parametri rotorici sunt raportaţi la stator După cum s-a menţionat raportarea acestora trebuie deja subicircnţeleasă Icircn mod similar se pot determina şi noile matrice ale inductanţelor Astfel dacă se ţine seama că elementele matricei [LSS] sunt a=LS b=c=-12LSm atunci folosind din nou expresia (64) se obţine

(68) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

S

Sm23

S

Sm23

S

SmS

Sm21

S

Sm21

S1

SSSS

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[

Calculul matricei de cuplaj al icircnfăşurărilor rotorice ortogonale se realizează asemănător

(69) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

R

Sm23

R

Sm23

R

SmR

Sm21

R

Sm21

R1

RRRR

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[

Conform aşteptărilor noile matrice de cuplaj ale icircnfăşurărilor ortogonale (statorice şi rotorice) se diagonalizează semnificacircnd faptul că noile icircnfăşurări ndash care sunt ortogonale - sunt decuplate (inductanţele mutuale dintre ele sunt nule) inclusiv pentru circuitele homopolare Se remarcă de asemenea că inductanţele circuitelor homopolare sunt constituite din inductanţele de dispersie ale icircnfăşurărilor statorice şi rotorice trifazate Relaţia (64) poate fi icircn continuare utilizată şi pentru determinarea matricelor echivalente ale inductanţelor de cuplaj dintre icircnfăşurările ortogonale statorice şi rotorice Analizacircnd relaţia (572) se constată că ( ) ( )3

2RSm3

2RSmRSm cosLccosLbcosLa ππ minusθ=+θ=θ= Se obţine

(70) =θ=θ minus1RSRR

SR ]C)][(L][C[)](L[

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusθ++θ+θminusθ++θminusθ+θ+minusθ

minusθ++θminusθ++θminusθ

=ππ

ππππ

ππππ

32

R32

RRSm

32

R32

R21

RSm32

R32

RSm23

32

R32

RSm23

32

R32

R21

RSm

coscoscosL000coscoscosLcoscosL

0coscosLcoscoscosL

Dacă se utilizează identităţile trigonometrice de forma

(71) ( )( ) βα+βα=βminusα

βαminusβα=β+αsinsincoscoscossinsincoscoscos

şi se ţine seama de valorile funcţiilor trigonometrice ale unghiului 32π atunci matricea (70) are

următoarea formă finală

(72) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθminusθ

=θ=θ=θ minus

0000cosLsinL0sinLcosL

]C)][(L][C[)](L[)](L[ RSm23

RSm23

RSm23

RSm23

1RSR

TR

RSR

SR


91

Analizacircnd mai cu atenţie relaţia (72) se observă că nu există niciun cuplaj magnetic icircntre icircnfăşurările ortogonale ale unei armături şi circuitul homopolar al celei de-a doua armături Se evidenţiază astfel o dată icircn plus completa independenţă a circuitelor homopolare icircn raport cu icircnfăşurările ortogonale ale maşinii primitive Icircn sectV2 a fost determinat modelul maşinii bifazate icircn coordonate de fază Icircn urma raportării mărimilor rotorice la stator au fost obţinute următoarele ecuaţii

(73) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(74) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(75) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Rb

Ra

Sb

Sa

SmRRSmRSm

SmRRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ

Pe de altă parte neglijacircndu-se circuitele homopolare (necesare numai atunci cacircnd sistemul trifazat de mărimi este dezechilibrat) pentru maşina primitivă echivalentă se pot scrie ecuaţiile

(76) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

SQ

SD

SQ

SD

S

S

SQ

SD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(77) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

RQ

RD

RQ

RD

R

R

RQ

RD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(78)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

RQ

RD

SQ

SD

Sm23

RRSm23

RSm23

Sm23

RRSm23

RSm23

RSm23

RSm23

Sm23

S

RSm23

RSm23

Sm23

S

RQ

RD

SQ

SD

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ

Se observă astfel că modelul de maşină primitivă diferă icircn aparenţă de modelul maşinii bifazate prin valoarea inductanţei proprii utile statorice Sm2

3M LL = Dacă icircnsă se evaluează

condiţiile de echivalare a unei maşini asincrone trifazate cu o maşină (primitivă) bifazată se constată că valorile inductanţelor proprii utile statorice sunt egale Astfel consideracircnd numărul de spire al maşinii asincrone bifazate egal cu cel al maşinii primitive Nf2 atunci valoarea inductanţei proprii utile statorice pentru maşina bifazată este (79) 2

2f21

02Sm N42

llLδπ

μ=

Pe de altă parte inductanţa proprie utilă statorică a maşina trifazată este (80) 2

3f21

03Sm N42

llLδπ

μ=

Raportul dintre cele două valori ale inductanţelor este deci

(81) 23f

22f

3Sm

2Sm

NN

LL

=

Cum din condiţia de ortogonalitate relaţia (29) s-a dedus

(82) 32

NN

2f

3f =

atunci relaţia (81) poate fi scrisă şi sub forma (83) M3Sm2Sm LL

23L ==

Icircn concluzie o maşină de inducţie bifazată care are numărul de spire majorat conform relaţiei (82) icircn raport cu numărul de spire al unei icircnfăşurări trifazate este reprezentată printr-un model identic cu cel al maşinii primitive asociată maşinii asincrone considerate Deoarece transformata Clarke s-a aplicat atacirct tensiunilor cacirct şi curenţilor sistemului trifazat atunci raportul lor rămacircne constant adică ea este invariantă icircn raport cu impedanţa sistemului


92

VI3 Referirea unei armături ortogonale icircntr-un alt sistem de referinţă ortogonal Maşina primitivă echivalentă este caracterizată cu ajutorul unui set de mărimi ortogonale statorice şi rotorice raportate icircn sisteme de referinţă ortogonale proprii Deşi noul model obţinut este considerabil mai simplu icircn raport cu modelul trifazat (icircn coordonate de fază) avacircnd loc o decuplare magnetică a icircnfăşurărilor ortogonale de pe aceeaşi armătură el rămacircne icircn continuare destul de complicat datorită cuplajului magnetic care există icircntre cele două armături ortogonale aflate icircntr-o mişcare relativă De aceea modelul poate fi icircn continuare simplificat dacă cel puţin una din armăturile ortogonale este echivalată cu o altă armătură ortogonală virtuală situată icircn acelaşi sistem de referinţă cu cea de-a doua armătură ortogonală Icircn acest mod dispar efectele electrice şi magnetice cauzate de mişcarea relativă Prin referirea icircnfăşurărilor ortogonale rotorice la sistemul de referinţă statoric se ajunge la modelul Stanley pe cacircnd atunci cacircnd se echivalează icircnfăşurările statorice la sistemul de referinţă solidar cu rotorul se obţine modelul Brereton Pe de altă parte atunci cacircnd ambele armături ortogonale ale maşinii primitive sunt referite la un sistem de referinţă unic sincron cu cacircmpurile magnetice ale maşinii (statoric rotoric de magnetizare) aflate icircn regim permanent se obţine modelul Kron După cum s-a amintit o generalizare a acestor modele se poate realiza dacă sistemul de referinţă utilizat pentru referirea celor două armături ortogonale ale maşinii primitive are o viteză de rotaţie oarecare (generală) ωg independentă de fenomenele magnetice şi mecanice ale maşinii Modelul obţinut (modelul Krause) are marele avantaj că poate conduce la oricare din modelele de maşină generalizată amintite anterior prin particularizarea vitezei de rotaţie ωg Astfel pentru ωg=0 se obţine modelul Stanley pentru ωg=ωR se obţine modelul Brereton iar pentru ωg=ωS (viteza de rotaţie a cacircmpurilor magnetice) se poate obţine modelul Kron Fiecare din modelele particulare icircşi are aria sa specifică de aplicabilitate De exemplu icircn cazul implementării unor estimatoare de flux se utilizează modelul de maşină generalizată icircn sistemul de referinţă staţionar (Stanley) mărimile ortogonale statorice fiind obţinute prin măsurare icircn acest sistem de referinţă Pe de altă parte icircn situaţia implementării unui sistem de control vectorial se utilizează un sistem de referinţă sincron cu unul din fluxurile maşinii (Kron) Icircn situaţii speciale cacircnd maşina de inducţie analizată sau controlată are rotorul bobinat care permite deci accesul la mărimile rotorice se poate utiliza şi modelul de maşină generalizată referită icircntr-un sistem de referinţă solidar cu rotorul (Brereton) Avacircnd icircn vedere caracterul general al modelului de maşină generalizată referită icircntr-un sistem de referinţă oarecare (Krause) icircn continuare se va urmări determinarea unei matrice de transformare a unui set de mărimi ortogonale icircntr-un sistem de referinţă oarecare Să considerăm o armătură ortogonală statorică la care fiecare icircnfăşurare realizată dintr-un număr de Nf2 spire este parcursă de curenţii ortogonali iSD şi respectiv iSQ şi o armătură ortogonală echivalentă referită icircntr-un sistem de referinţă general realizată cu acelaşi număr de spire Nf2 dar parcursă de curenţii ig

SD şi respectiv igSQ (fig5) Sistemul de referinţă general

are viteza de rotaţie ωg şi este caracterizat de poziţia instantanee θg

Fig5 Referirea unei armături statorice la un sistem de referinţă oarecare

D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θg bull

bull

ωg

iS0 Dg

Qg Drsquo

D

θg ωg

Q Qrsquo

Nf2

Nf2

Nf2

iSD

igSDig

SQ

iSQ

Nf1


93

Pentru ca cele două armături ortogonale să fie echivalente solenaţiile produse de fiecare armătură pe cele două direcţii αβ trebuie să fie aceleaşi Ţinacircnd seama de poziţia spaţială instantanee a sistemului de referinţă general atunci solenaţiile produse de cele două icircnfăşurări ortogonale echivalente pe direcţia axei α sunt (84) SD2fg

gSQ2fg

gSD2f iNsiniNcosiN sdot=θsdotminusθsdot

De asemenea prin evaluarea solenaţiilor pe direcţia axei β se obţine (85) SQ2fg

gSQ2fg

gSD2f iNcosiNsiniN sdot=θsdot+θsdot

Icircmpărţindu-le prin numărul de spire Nf2 relaţiile (84) şi (85) pot fi scrise icircntr-o ecuaţie matriceală sub forma

(86) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡gSQ

gSD

gg

gg

SQ

SD

ii

cossinsincos

ii

sau prin rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu necunoscutele iSD şi iSQ prin

(87) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

SQ

SD

gg

gggSQ

gSD

ii

cossinsincos

ii

Icircntrucacirct sistemul de curenţi iSD şi iSQ poate proveni dintr-un sistem trifazat dezechilibrat de curenţi iSA iSB şi iSC atunci trebuie menţinută şi relaţia de definiţie a curentului iS0 absolut necesară atunci cacircnd se doreşte revenirea de la mărimile ig

SD şi igSQ la mărimile trifazate De

aceea la relaţiile anterioare trebuie adăugată şi relaţia (88) 0S0S ii = Completacircnd ecuaţia matriceală (87) cu relaţia (88) se obţine

(89) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0S

SQ

SD

g

0S

SQ

SD

gg

gg

0S

gSQ

gSD

iii

Diii

1000cossin0sincos

iii

Observaţii 1 Datorită condiţiilor de echivalare energetică impuse matricea de transformare de coordonate [D(θg)] este invariantă icircn putere icircndeplinind condiţia de ortogonalitate

(90) ( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ=θ minus

1000cossin0sincos

DD gg

ggT

g1

g

2 Matricea de transformare de coordonate [D(θg)] este dependentă de poziţia instantanee a sistemului de referinţă utilizat pentru referirea mărimilor ortogonale Cu alte cuvinte ea este indirect dependentă de timp ceea ce implică o atentă manipulare atunci cacircnd este introdusă icircn operatorul de derivare dt

d 3 Spre deosebire de tehnica de echivalare a unei armături trifazate simetrice cu o armătură bifazată ortogonală cacircnd solenaţiile egale pe cele două axe se obţineau prin alimentarea cu aceiaşi curenţi a cacircte unui set de două icircnfăşurări ortogonale cu număr diferit de spire icircn acest caz de echivalare a solenaţiilor pe cele două axe se folosesc icircnfăşurări ortogonale cu acelaşi număr de spire icircnsă cu variaţie temporală diferită a noului sistem de curenţi ortogonali 4 Pentru precizarea sistemului de referinţă utilizat pentru referire icircn notaţia mărimilor trebuie folosit un simbol suplimentar Referirea unei armături rotorice la un sistem de referinţă ortogonal general se realizează icircn aceeaşi manieră cu cea utilizată pentru armătura statorică (fig6) Deşi icircn acest caz ambele armături se află icircntr-o mişcare de rotaţie viteza relativă de rotaţie este (ωg-ωR) iar poziţia relativă instantanee este descrisă de unghiul (θg-θR) Cu alte cuvinte pentru a referi armătura rotorică a maşinii primitive la un sistem de referinţă general şi invers se utilizează matricea de transformare de coordonate directă [D(θg-θR)] şi respectiv matricea de transformare de coordonate inversă [D(θg-θR)]-1=[D(θg-θR)]T adică


94

Fig6 Referirea unei armături rotorice la un sistem de referinţă oarecare

(91) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθθminusθminusθminusθθminusθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0R

RQ

RD

Rg

0R

RQ

RD

RgRg

RgRg

0R

gRQ

gRD

iii

Diii

1000)cos()sin(0)sin()cos(

iii

(92) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θminusθ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθθminusθθminusθminusθminusθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0R

gRQ

gRD

1Rg

0R

gRQ

gRD

RgRg

RgRg

0R

RQ

RD

iii

Diii


iii

VI4 Modelul de maşină generalizată al maşinii de inducţie reprezentat icircntr-un sistem de referinţă general După cum s-a constatat prin aplicarea transformatei de coordonate icircnfăşurărilor ortogonale statorice şi rotorice ale maşinii primitive folosind un unghi (argument) dependent de tipul armăturii este posibil să se obţină un model de maşină generalizată echivalentă din punct de vedere energetic care să aibă un singur sistem de referinţă pentru reprezentarea mărimilor şi parametrilor ambelor tipuri de armături (modelul Krause) fig7

Fig7 Relaţiile de echivalare dintre maşina primitivă şi maşina generalizată reprezentată icircntr-un sistem de referinţă oarecare

Modelul maşinii primitive este descris de ecuaţiile matriceale deduse icircn sectVI2 adică (93) ][

dtd]I][R[]U[ SDQSDQ

SSDQ Ψ+=

(94) ][dtd]I][R[]U[ RDQRDQ

RRDQ Ψ+=

unde

(95) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

De asemenea ecuaţiile de flux au forma matriceală (96) ]I)][(L[]I][L[][ RDQR

SRSDQ

SSSDQ θ+=Ψ

(97) ]I][L[]I)][(L[][ RDQRRSDQR

RSRDQ +θ=Ψ

β

α

θg

bull

bull

ωg

iR0 Dg

Qg θg

ωg

Nf2

Nf2

Nf2

igRD

igRQ

Nf1

θR drsquo d

bull ωR

bull

θR

drsquo

d

Nf2

iRD

iRQ q

qrsquoq

qrsquo

β

bull

b

D Drsquo

β

Qrsquo Q

α

β

qrsquoq

bull

ωR

a

iS0 iR0

bull bull

bull θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg

igRD

igRQ drsquo

drsquo

d

d

iRD

iRQ qrsquo

qqrsquoθR

θR

α

bull igSD

igSQ

iR0

)](D[)](D[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](D[

)](D[minus

minus

θθminusθ

lArriSD

iSQ


95

Aplicacircnd transformata de coordonate directă ecuaţiilor matriceale de tensiuni relaţiile (93) şi (94) se obţine

(98) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U)][(D[]U[

gSDQ

1gg

gSDQ

1g

Sg

SDQg1

ggSDQg1

gSgSDQg

gSDQ

Ψθθ+θθ=

=Ψθθθ+θθθ=θ=

minusminus

minusminus

(99) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U[

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1Rg

RRg

RDQRg1

RgRgRDQRg1

RgRRg

gRDQ

Ψθθθθθθθθ

Ψθθθθθθθθθθθθ

minusminus

minusminus

minusminus+minusminus=

=minusminusminus+minusminusminus=

Observaţie Aşa cum deja s-a menţionat deoarece matricea de transformare de coordonate este dependentă indirect de timp prin intermediul poziţiei instantanee a sistemului de referinţă general icircn raport cu cea a sistemului de referinţă a armăturii referite operaţia de derivare a fluxului trebuie calculată icircn mod corespunzător (100) ( ) ( ) ( ) ][)](D[

dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

SDQ1

ggSDQ

1g

gSDQ

1g Ψθ+Ψθ=Ψθ minusminusminus

(101) ( ) ( ) ( ) ][)](D[dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

RDQ1

RggRDQ

1Rg

gRDQ

1Rg Ψθminusθ+Ψθminusθ=Ψθminusθ minusminusminus

Ţinacircnd seama de relaţiile de definiţie (89) şi (90) pentru matricele de transformare de coordonate se pot demonstra următoarele proprietăţi remarcabile

(102) ]Z[b000a000a

1000cossin0sincos

b000a000a

1000cossin0sincos

)](D][Z)][(D[ gg

gg

gg

gg1

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ minus

(103) ( ) )](E[0000sincos0cossin

1000cossin0sincos

dtd)](D[

dtd

gggg

gg

ggg

gg1

g θω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθθminusθminus

ω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ minus

(104) ]J[000001010

0000sincos0cossin

1000cossin0sincos

)](E)][(D[ gg

gg

gg

gg

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ

(105)

1gRRg

RgRg

RgRg

RR

RR

gg

gg1

RgRg

)](D)][(Z)][(D[]K[0000a000a


0000cosasina0sinacosa

1000cossin0sincos

)](D)][(Z)][(D[

minus

minus

θθminusθminusθ==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θminusθθθ

Icircn baza proprietăţii (102) se poate constata că matricele rezistenţelor [Rrsquo

S] şi respectiv [Rrsquo

R] rămacircn nemodificate Icircn acest fel ecuaţiile de tensiuni (98) şi (99) pot fi rescrise sub forma (106) ( ) ]R[]R[]R[][)](D[

dtd)](D[]I][R[]U[ S

S

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ ==+= minus Ψθθ

(107) ( ) ]R[]R[]R[][)](D[dtd)](D[]I][R[]U[ R

R

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gRDQ ==minusminus+= minus Ψθθθθ

Pe de altă parte luacircnd icircn considerare şi relaţiile de derivare (100) şi (101) precum şi proprietăţile (103) şi (104) ecuaţiile de tensiuni (106) şi (107) devin

(108)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J[][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gSDQg

gSDQ

gSDQ

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

1g

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

Ψω+Ψ+=

=Ψθθ+Ψθθ+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψθ+Ψθθ+=

minusminus

minusminus


96

(109)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J)[(][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gRDQRg

gRDQ

gRDQ

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gSDQ

1Rg

gSDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gRDQ

ΨωωΨ

ΨθθθθΨθθθθ

ΨθθΨθθθθ

minus++=

=minusminus+minusminus+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+minusminus+=

minusminus

minusminus

Determinarea noilor matrice ale inductanţelor se realizează prin aplicarea transformatelor de coordonate directe ecuaţiilor de flux (96) şi (97) Se obţine

(110) ]I[)](D)][(L)][(D[]I[)](D][L)][(D[

]I)][(D[)](D)][(L)][(D[]I)][(D[)](D][L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

1g

SSg

RDQRg1

RgRSRgSDQg

1g

SSg

SDQggSDQ

minusminus

minusminus

θminusθθθ+θθ=

=θminusθθminusθθθ+θθθ=

=Ψθ=Ψ

(111) ]I[)](D][L)][(D[]I[)](D)][(L)][(D[

]I)][(D[)](D][L)][(D[]I)][(D[)](D)][(L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1Rg

RRRg

gSDQ

1gR

RSRg

RDQRg1

RgRRRgSDQg

1gR

RSRg

RDQRggRDQ

minusminus

minusminus

θminusθθminusθ+θθθminusθ=

=θminusθθminusθθminusθ+θθθθminusθ=

=Ψθminusθ=Ψ

Deoarece matricele inductanţelor [LrsquoSS] şi [Lrsquo

RR] au elemente constante independente de unghiul θR atunci icircn baza proprietăţii (102) se constată că noile matrice ale inductanţelor de cuplaj icircntre icircnfăşurările de pe aceeaşi armătură rămacircn nemodificate (112) ]L[]L[]I[)](D)][(L)][(D[]I][L[][

SSgSS

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

gSS

gSDQ =θminusθθθ+=Ψ minus

(113) ]L[]L[]I][L[]I[)](D)][(L)][(D[][ RR

gRR

gRDQ

gRR

gSDQ

1gR

RSRg

gRDQ =+θθθminusθ=Ψ minus

Relaţiile de flux (112) şi (113) pot fi icircn continuare simplificate dacă se are icircn vedere şi proprietatea (105) Icircn acest fel icircn final ecuaţiile de flux devin (114) ]I][L[]I][L[][ g

RDQgSR

gSDQ

gSS

gSDQ +=Ψ

(115) ]I][L[]I][L[][ gRDQ

gRR

gSDQ

gRS

gRDQ +=Ψ

unde

(116) ]L[0000L000L

]L[ gRSM

MgSR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= SmM L

23L =

Neglijacircnd componentele homopolare pentru maşina generalizată icircn sistemul de referinţă arbitrar de poziţie instantanee θg se pot scrie următoarele ecuaţii matriceale

(117) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gSQ

gSD

ggSQ

gSD

gSQ

gSD

S

SgSQ

gSD

0110

dtd

ii

R00R

uu

(118) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gRQ

gRD

RggRQ

gRD

gRQ

gRD

R

RgRQ

gRD

0110

)(dtd

ii

R00R

00

uu

(119)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨ

ΨΨ

σ

σ

σ

σ

gRQ

gRD

gSQ

gSD

MRM

MRM

MMS

MMS

gRQ

gRD

gSQ

gSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL

Observaţii 1 Faţă de matricea inductanţelor specifică maşinii primitive icircn cazul referirii armăturilor ortogonale statorică şi rotorică la un sistem de referinţă unic se obţine o matrice a inductanţelor cu parametri constanţi independenţi de poziţia instantanee a rotorului Lucrul acesta se datorează absenţei mişcării relative icircntre noile armături ortogonale echivalente Prin această referire practic dependenţa reală de poziţia instantanee a rotorului a cuplajului magnetic este transferată de la matricea inductanţelor la vectorii de mărimi (tensiuni curenţi şi fluxuri) dar care nu este explicit evidenţiată


97

2 La o analiză mai atentă a noii matrice a inductanţelor se observă faptul că pe lacircngă eliminarea dependenţei de unghiul θR faţă de matricea inductanţelor maşinii primitive au mai apărut patru elemente nule pe diagonala sa secundară Acest lucru este datorat rotirii cu aceeaşi viteză unghiulară a noilor icircnfăşurări fictive dispăracircnd astfel şi cuplajul magnetic dintre armăturile ortogonale stator-rotor (nu numai cuplajul magnetic dintre icircnfăşurările ortogonale de pe aceeaşi armătură ca la maşina primitivă)

VI5 Ecuaţia cuplului electromagnetic al maşinii generalizate Pentru maşina de inducţie modelată icircn coordonate de fază (trifazată) expresia cuplului electromagnetic a fost obţinută cu ajutorul teoremei forţelor generalizate icircn sectV3 S-a constatat că ecuaţia obţinută are o formă complexă şi dependentă de poziţia instantanee a rotorului Deoarece pe parcursul rafinării modelelor maşinii de inducţie s-au folosit transformări ortogonale de variabile care asigură invarianţa icircn putere puterea instantanee din cele 6 icircnfăşurări poate fi exprimată sub forma (120) ]I[]U[]I[]U[]I[]U[]I[]U[S g

RDQTg

RDQgSDQ

TgSDQR

TRS

TS +=+=

unde

(121) ]iii[]I[]uuu[]U[]iii[]I[]uuu[]U[

]iii[]I[]uuu[]U[]iii[]I[]uuu[]U[T

0RgRQ

gRD

gRDQ

T0R

gRQ

gRD

gRDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

TRCRBRAR

TRCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

====

====

Se obţine

(122) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD

RCRCRBRBRARASCSCSBSBSASA

iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=

Icircn acest context ecuaţia cuplului electromagnetic poate fi de asemenea obţinută prin aplicarea teoremei forţelor generalizate modelului de maşină generalizată exprimat icircntr-un sistem de referinţă general Astfel dacă se consideră ecuaţiile de tensiuni (108) şi (109) atunci puterea instantanee poate fi exprimată sub forma

(123) 0R0R0RR

gRQ

gRDRg

gRQ

gRQR

gRD

gRQRg

gRD

gRDR

0S0S0SSgSQ

gSDg

gSQ

gSQS

gSD

gSQg

gSD

gSDS

idtdiRi)(

dtdiRi)(

dtdiR

idtdiRi

dtdiRi

dtdiRS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψωminusω+Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ΨωminusωminusΨ++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψω+Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ΨωminusΨ+=

unde (124) 0RR0R0SS0S iLiL σσ =Ψ=Ψ Prin icircnmulţirea ecuaţiei (123) cu termenul dt şi grupare adecvată se pot pune icircn evidenţă cele trei tipuri de energie icircn care este convertită energia electrică instantanee furnizată de surse prin circuitele statorice şi rotorice

(125) ( )( )

( ) ( )dtii)(dtii

idididididid

dt)iii(R)iii(RdW

gRD

gRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ

gSDg

0R0RgRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD

20R

2gRQ

2gRDR

20S

2gSQ

2gSDS

ΨminusΨωminusω+ΨminusΨω+

+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++++=

Primul termen din expresia (125) reprezintă pierderile de energie prin efect Joule icircn circuitele statorice rotorice şi homopolare cel de-al doilea termen reprezintă variaţia de energie magnetică icircn cacircmpurile proprii ale icircnfăşurărilor iar ultimul termen reprezintă energia magnetică transferată cacircmpului de interacţiune Cu alte cuvinte din analiza expresiei (125) se poate scrie (126) ( ) ( )dtii)(dtiidW g

RDgRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ

gSDgm ΨminusΨωminusω+ΨminusΨω=

Pe de altă parte dacă fluxurile icircnfăşurărilor ortogonale se exprimă cu ajutorul curenţilor folosind relaţiile (119) se obţine (127) ( ) ( ) ( )g

SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gRQM

gSQS

gSQ

gRDM

gSDS

gSD

gSQ

gSQ

gSD iiiiLiiLiLiiLiLii minus=+minus+=ΨminusΨ

(128) ( ) ( )

( ) ( )gSD

gSQ

gSQ

gSD

gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gRD

gSQM

gRQR

gRQ

gSDM

gRDR

gRD

gRQ

gRQ

gRD

iiiiiiL

iiLiLiiLiLii

ΨminusΨminus=minusminus=

=+minus+=ΨminusΨ


98

Ţinacircnd seama de relaţia (128) atunci expresia energiei magnetice transferată cacircmpului de interacţiune relaţia (126) devine (129) ( ) ( ) ( )g

SDgSQ

gSQ

gSDR

gSD

gSQ

gSQ

gSDR

gRD

gRQ

gRQ

gRDRm iiddtiidtiidW ΨminusΨθ=ΨminusΨω=ΨminusΨωminus=

Aplicacircnd teorema forţelor generalizate se obţine (130) g

SDgSQ

gSQ

gSD

R

me ii

ddWm ΨminusΨ=θ

=

După cum se constată noua expresie a cuplului electromagnetic este icircn mod considerabil mai simplă Mai mult dacă se folosesc relaţiile de legătură dintre fluxurile şi curenţii maşinii generalizate se pot obţine diverse expresii adecvate pentru un anumit scop De exemplu dacă se utilizează relaţia (127) atunci ecuaţia cuplului electromagnetic are forma (131) ( )g

SDgRQ

gSQ

gRDMe iiiiLm minus=

Noua formă pune icircn evidenţă faptul că valoarea cuplului electromagnetic este determinată numai din interacţiunea curenţilor statorici şi rotorici care circulă prin icircnfăşurările ortogonale icircntre ele De asemenea deşi icircn expresiile fluxurilor din relaţia (130) intervin şi inductanţele de dispersie (incluse icircn inductanţele proprii LS şi LR) creacircnd impresia că sunt implicate icircn procesul de conversie electromecanică expresia (131) arată clar că singura inductanţă importantă pentru conversie este inductanţa de magnetizare Ecuaţiile (130) şi (131) arată de asemenea că valoarea cuplului electromagnetic (care este o mărime scalară) este independentă de viteza de rotaţie a sistemului de referinţă Cu alte cuvinte această mărime este independentă de sistemul de referinţă icircn care este exprimată singura condiţie fiind ca mărimile utilizate icircn expresie (fluxuri şisau curenţi) să fie corect referite icircn acel sistem de referinţă prin utilizarea transformatelor Clarke şi a celor de schimbare de coordonate Icircn situaţia icircn care maşina modelată are mai multe perechi de poli p adică (132) RmR p θ=θ unde θRm este viteza mecanică a rotorului atunci expresiile (130) sau (131) devin (133) ( ) ( )g

SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipLiip

ddWp

ddWm minus=ΨminusΨ=

θ=

θ=

Observaţie Icircn forma sa originală transformata Clarke a fost stabilită fără a respecta condiţia de invarianţă icircn putere sub forma

(134) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii

Deoarece icircn acest caz matricea de transformare de faze nu respectă condiţia de ortogonalitate (16) inversa sa nu se mai obţine prin transpunerea matricei directe ci cu relaţia

(135) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

SQ

SD1

0S

SQ

SD

SC

SB

SA

iii

]C[iii

123

21

123

21

101

iii

Nefiind icircndeplinită condiţia de invarianţă icircn putere atunci ecuaţia (122) devine

(136) ( ) ( )0R0R0S0SgRQ

gRQ

gRD

gRD

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiu13iuiuiuiu

23

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=

iar apoi urmacircnd aceeaşi metodologie de determinare a expresiei cuplului electromagnetic se obţine


99

(137) ( ) ( )gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipL

23iip

23

ddWp


θ=

θ=

Acest fapt explică expresiile diferite ale ecuaţiilor de cuplu icircntacirclnite icircn diverse cărţi de specialitate De aceea este important a identifica icircncă de la icircnceputul studiului tipurile de matrice utilizate Avacircnd icircn vedere cronologia utilizării matricei de transformare de faze matricea [Crsquo] este de fapt numită transformata Clarke (propriu-zisă) iar matricea [C] se referă drept transformata Clarke modificată (sau invariantă icircn putere) Datorită uşurinţei de determinare a inversei matricei prin transpunerea matricei directe (dar şi a eliminării unor confuzii atunci cacircnd sunt utilizate modele normate de maşini de curent alternativ) icircn continuare se va utiliza tot matricea Clarke modificată deşi referirea se va face pe scurt drept transformata Clarke VI6 Transformata (combinată) Park La o analiză mai atentă a tehnicilor utilizate pentru obţinerea dintr-un model de maşină asincronă definit icircn coordonate de fază a unui model de maşină generalizată exprimat icircntr-un sistem de referinţă general se observă că armăturilor trifazate li s-au aplicat secvenţial două tipuri de transformări de variabile transformarea de faze şi transformarea de coordonate Aceleaşi rezultate se pot obţine mai rapid dacă modelului de maşină trifazată i se aplică o singură transformată numită transformata Park (modificată) Icircn fapt ea rezultă prin combinarea celor două tipuri de transformate prezentate anterior Astfel dacă se are icircn vedere un set de mărimi trifazate de exemplu curenţii statorici [IS] atunci setul de mărimi ortogonale exprimate icircntr-un sistem de referinţă general se obţine astfel (138) ]I)][(P[]I][C)][(D[]I)][(D[]I[ SgSgSDQg

gSDQ θ=θ=θ=

Din relaţia (138) se deduce că expresia matricei de transformare Park este

(139)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θ=θ

21

21

21

23

230

21

211

32

1000cossin0sincos

]C)][(D[)](P[ gg

gg

gg

Ţinacircnd seama de faptul că primele două linii ale transformatei Clarke reprezintă icircn esenţă valorile funcţiilor trigonometrice sinus şi cosinus ale unghiurilor 3

2πplusmn adică

(140)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

= ππ

ππ

21

21

21

)sin()sin(0sin)cos()cos(0cos

32

21

21

21

23

230

21

211

32]C[ 3

23

23

23

2

atunci relaţia (139) devine

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusθ+minusθminusθ+θminusθ+θminusminusθ+minusθθ+θθ+θ

=θ ππππ

ππππ

21

21

21

sincoscossinsincoscossin0sincos0cossinsinsincoscossinsincoscos0sinsin0coscos

32)](P[ 3

2g3

2g3

2g3

2ggg

32

g32

g32

g32

ggg

g

(141)

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θminusminusθminusθminus+θminusθθ

= ππ

ππ

21

21

21

sinsinsincoscoscos

32

32

g32

gg

32

g32

gg


100

Evident că matricea Park astfel obţinută este la racircndul ei invariantă icircn putere Icircn acest caz inversa ei (142) ( ) 1

g11

g1

g )](D[]C[]C)][(D[)](P[ minusminusminusminus θ=θ=θ se obţine prin transpunerea matricei Park directe

(143) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θminus+θ

minusθminusminusθ

θminusθ

=θ

ππ

ππminus

21sincos

21sincos

21sincos

32)](P[

32

g32

g

32

g32

g

gg

1g

Aplicate cu argumente corespunzătoare armăturilor statorice şi rotorice ale maşinii de inducţie transformatele Park asigură conversia imediată icircntre un model de maşină trifazată şi unul asociat unei maşini de inducţie generalizată (fig8)

Fig8 Relaţiile de echivalare dintre maşina trifazată şi maşina generalizată reprezentată icircntr-un sistem de referinţă oarecare

VI7 Simularea maşinii de inducţie trifazate Maşina de inducţie trifazată reprezintă un sistem complex şi caracterizat de un grad mare de neliniaritate De aceea icircn vederea implementării unui sistem de control se impune o atentă analiză a evoluţiei traiectoriilor temporale ale mărimilor electrice magnetice şi mecanice Datorită neliniaităţilor intrinseci determinarea analitică a soluţiilor sistemului se poate realiza numai icircn anumite situaţii particulare adică atunci cacircnd viteza unghiulară mecanică se poate considera constantă Icircn acest context pentru a putea analiza icircn mod neicircngrădit diversele regimuri de funcţionare se recurge la determinarea numerică a soluţiilor cu ajutorul simulatoarelor numerice Deşi este posibilă simularea numerică a modelului maşinii de inducţie icircn coordonate de fază model determinat icircn sectV3 datorită dependenţei puternice a inductanţelor maşinii de poziţia instantanee a rotorului costurile de simulare (durata de simulare) sunt mari ceea ce impune utilizarea acestui model brut numai icircn anumite situaţii speciale (analiza regimurilor de funcţionare icircn condiţii asimetrice sau de defect) De aceea dacă se doreşte analiza funcţionării unei maşini de inducţie trifazate icircn condiţii electrice şi magnetice simetrice (tensiuni curenţi rezistenţe inductanţe) atunci se poate utiliza modelul de maşină generalizată determinat icircn sectVI4-5 caracterizat cu ajutorul unui set de parametri constanţi Icircn noile condiţii costurile de simulare se reduc icircn mod considerabil Modelul de maşină generalizată (Krause) a fost stabilit icircn condiţii foarte generale După cum s-a precizat el poate fi uşor specializat pentru a obţine alte tipuri de modele reprezentate icircn sisteme de referinţe particulare (Stanley Brereton Kron) Deoarece icircn practică utilizatorul percepe evoluţia mărimilor icircntr-un sistem de referinţă staţionar icircn cele mai multe situaţii se doreşte simularea sistemului şi analiza mărimilor icircn acelaşi sistem de referinţă cu cel al observatorului Icircn consecinţă pentru simularea unei maşini de inducţie trifazate se va utiliza modelul Stanley

β

bull

b

θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg ig

RD ig

RQ

drsquo

d

qrsquoq

qrsquo

α

bullig

SD

igSQ

iR0

)](P[)](P[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](P[

)](P[minus

minus

θθminusθ

lArr

a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC

A

A

B B

C C


101

Particularizacircnd modelul Krause descris prin ecuaţiile (117) (118) (119) şi (130) pentru ωg=0 şi rotorul icircn scurtcircuit se obţine

(144) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sSQ

sSD

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

dtd

ii

R00R

uu

(145) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sRQ

sRD

RsRQ

sRD

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

0110

dtd

ii

R00R

00

uu

(146)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

sRQ

sRD

sSQ

sSD

MRM

MRM

MMS

MMS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL

(147) )ii(pm sSD

sSQ

sSQ

sSDe ΨminusΨ=

La aceste relaţii se adaugă şi ecuaţia de mişcare de forma (148) RmLeRm Dmm

dtdJ ωminusminus=ω

Observaţii 1 Deoarece sistemul de referinţă este cel ortogonal staţionar icircn notaţiile mărimilor s-a utilizat simbolul s 2 Avacircnd icircn vedere că modelul simulează funcţionarea unei maşini de inducţie trifazată icircn conexiune stea şi neutru izolat atunci ecuaţiile circuitelor homopolare pot fi ignorate Pentru descrierea modelului obţinut icircn mod adecvat implementării icircn simulator ecuaţiile (144) şi (145) pot fi puse sub forma

(149) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

sSQ

sSD

ii

R00R

uu

dtd

(150) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

RsRQ

sRD

ii

R00R

0110

dtd

Icircn acest fel modelarea ecuaţiilor (149) şi (150) este imediată dacă evident pe lacircngă sursele externe de tensiuni statorice ortogonale se dispune şi de curenţii ortogonali statorici şi rotorici Curenţii statorici şi rotorici icircnsă reprezintă soluţii ale sistemului liniar de ecuaţii descris de relaţia (146) ecuaţii care descriu legăturile dintre fluxurile şi curenţii maşinii

(151)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus

sRQ

sRD

sSQ

sSD

1

RM

RM

MS

MS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0L

L0L00L0L

iiii

Deşi este posibilă determinarea analitică globală a inversei matricei inductanţelor pentru un calcul analitic mai rapid se pot alege spre rezolvare cacircte două ecuaţii de pe aceeaşi axă celelalte două ecuaţii fiind complet decuplate de acestea

(152) sRD

sRDR

sSDM

sSD

sRDM

sSDS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+

(153) sRQ

sRQR

sSQM

sSQ

sRQM

sSQS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+

Aplicacircnd regula Cramer pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii (152) se obţine

(154) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

MRRS

RM

MS

RsRD

MsSD

sSD LL

LL1

LLLLLL

i


102

(155) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

SMRS

RM

MS

sRDM

sSDS

sRD LL

LL1

LLLL

LL

i

unde prin

(156) RS

2M

LLL

=σ

se notează coeficientul global de scăpări Icircn mod similar pentru sistemul de ecuaţii (153) se obţine

(157) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

MRRS

RM

MS

RsRQ

MsSQ

sSQ LL

LL1

LLLLLL

i

(158) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

SMRS

RM

MS

sRQM

sSQS

sRQ LL

LL1

LLLL

LL

i

Icircn acest fel ecuaţia matriceală (151) poate fi rescrisă sub forma

(159)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minusminus

σ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sRQ

sRD

sSQ

sSD

SM

SM

MR

MR

RSsRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0LL0L00L0L

LL1

iiii

Cu acest model invers al sistemului electromagnetic se pot implementa imediat ecuaţiile (149) (150) (147) şi (148) obţinacircndu-se un model echivalent de maşină de inducţie bifazată reprezentată icircntr-un sistem de referinţă staţionar Deoarece maşina modelată este o maşină de inducţie trifazată atunci tensiunile statorice provin de la un sistem trifazat echilibrat de surse externe De aceea pentru a asigura mărimile de comandă ortogonale specifice modelului bifazat implementat se impune interpunerea unei transformate Clarke icircntre semnalele de comandă externe şi cele necesare modelului De asemenea dacă se doreşte vizualizarea curenţilor statorici care circulă prin icircnfăşurările trifazate şi nu cei specifici unei maşini bifazate trebuie de asemenea utilizată o matrice de transformare a unui sistem bifazat de mărimi icircntr-un sistem trifazat (transformata Clarke inversă) Icircn acest fel din punctul de vedere al unui utilizator final modelul implementat poate fi perceput ca fiind al unei maşini de inducţie trifazate care este comandată cu un sistem trifazat de tensiuni statorice şi care răspunde icircn curent tot cu un sistem trifazat de mărimi de fază Deşi icircn mod uzual icircn cataloagele de maşini electrice maşinile de curent alternativ sunt caracterizate prin tensiunea nominală de linie modelul implementat foloseşte drept mărimi de intrare tensiunile de fază Dacă se doreşte modelarea maşinii asincrone astfel icircncacirct la intrare să admită tensiuni de linie (furnizate de exemplu de modelul unui convertor static) atunci icircn model mai trebuie inclusă şi o matrice de transformare a tensiunilor de linie icircn tensiuni de fază

(160) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SCA

SBC

SAB

SC

SB

SA

uuu

110011101

31

uuu

Schema bloc a modelului maşinii asincrone trifazate comandată prin intermediul tensiunilor de fază este prezentată icircn fig9


103

Fig9 Schema bloc de simulare a maşinii de inducţie trifazate icircn sistem de referinţă staţionar

RS

RS

RR

RR

SDψ

SQψ

RDψ

RQψ

SDi

SQi

RDi

RQi

uSA

uSB

uSC

iSA

iSB

iSC

3 rarr 2 2 rarr 3

A

B

C

D

Q Q

D A

B

C

p

p

1J

D

ωRm

ωR

me

-

-

-

-

-

- -

-

mL

uSD

uSQ

SDψ SDi

RDi

SQi

RQi

RDψ

SQψ

RQψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SDi

RDi

-

-

SDψ

RDψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SQi

RQi

-

-

SQψ

RQψ


104

VII Teoria fazorului spaţial reprezentativ Utilizatorul maşini electrice este aproape icircntotdeauna interesat de mărimile sale externe (tensiuni curenţi viteză cuplu) Dar icircnţelegerea comportării maşinii necesită analiza mărimilor sale interne (solenaţie cacircmp magnetic flux etc) Din acest punct de vedere se poate spune că teoria clasică dezvoltată icircncă din primii ani ai secolului trecut prezintă diferenţe clare icircn funcţie de modul cum aceste tipuri de mărimi sunt abordate Pentru mărimile externe au fost dezvoltate numeroase tehnici precise aproape chiar de la icircnceput (construcţii geometrice diagrame fazoriale circuite echivalente etc) cu toate că icircn majoritatea cazurilor ele se pretau numai la aplicaţii particulare Pentru mărimile interne icircnsă ceea ce a preocupat mai mult a fost descrierea fizică şi argumentarea intuitivă a fenomenelor şi nu formularea matematică Icircn plus nu a existat un instrument analitic care să arate icircntr-un mod foarte riguros şi precis maniera icircn care evoluţia mărimilor interne ale maşinii determină modificările mărimilor externe sau invers De aceea corelaţia icircntre cele două tipuri de mărimi a devenit neclară şi de-a lungul timpului aceasta a avut tendinţa de-a produce o separare a lor atunci cacircnd se explica teoria maşinilor electrice Acest proces de disociere a fost cel mai pronunţat icircn analiza realizată pe baza teoriei maşinii generalizate (TMG) Icircn cadrul acestei teorii maşina este studiată complet din exterior ca o reţea electrică la care sunt aplicate diferite transformări matematice fără a se acorda o atenţie deosebită realităţii fizice interne a maşinii Icircn perioada anilor rsquo50-rsquo60 TMG cunoaşte o largă răspacircndire icircn special icircn SUA perioadă care coincide cu utilizarea pe scară tot mai largă a calculatoarelor şi dezvoltarea viguroasă a teoriei controlului automat Inginerii de sistem care au jucat un rol din ce icircn ce mai important icircn industrie au impus icircn multe cazuri filozofia lor de-a considera maşina ca o cutie neagră (black box) funcţia sa de transfer fiind unicul aspect de care au fost interesaţi Pe de altă parte cum s-a menţionat deja metoda clasică a fost icircn parte bazată pe intuiţie formularea sa matematică fiind destul de greoaie şi nesistemică Caracterul mai mult sau mai puţin formal al TMG a promovat icircn special icircn Europa căutarea de noi metode care să permită deducţia sistematică şi icircn acelaşi timp interpretarea fizică a ecuaţiilor maşinii icircn regim tranzitoriu Deşi icircn cadrul teoriei circuitelor şi cea clasică a maşinilor electrice icircn regim staţionar (permanent) pentru a reprezenta undele sinusoidale icircn timp se utilizau fazorii temporali sau reprezentarea simbolică prin fazori a undelor spaţiale icircn regim staţionar ideea caracterizării prin fazori spaţiali a undelor maşinilor electrice chiar icircn regim tranzitoriu a venit cacircţiva ani mai tacircrziu Folosind ecuaţiile Park icircn anul 1959 Kovacs şi Racz au introdus instrumente analitice pe care le-au numit bdquovectori spaţialirdquo pentru a fi utilizaţi sistematic pentru studiul regimurilor tranzitorii ale maşinilor de curent alternativ insistacircnd mereu asupra semnificaţiilor lor fizice Lucrarea a icircnsemnat un pas decisiv nu numai pentru tratarea matematică ci şi pentru o descriere fizică mai bună şi icircnţelegere a regimurilor tranzitorii chiar şi icircn cele mai complexe cazuri cum ar fi alimentarea maşinilor de la convertoare statice de putere La icircnceputul anilor rsquo70 fazorii spaţiali sunt frecvent utilizaţi icircn numeroase cărţi de specialitate din Europa Centrală icircn care se studiază controlul electronic al maşinilor de curent alternativ Dezvoltarea teoriei fazorului spaţial (TFS) s-a făcut icircn maniera cea mai directă şi practică pentru a face clare relaţiile sale şi diferenţele cu TMG şi pentru a descoperi marele său potenţial pentru reprezentarea grafică a regimurilor tranzitorii ale maşinilor Icircn formularea TFS ca punct de plecare sunt alese undele spaţiale sau mărimile interne ale maşinii Pasul următor constă icircn a determina numărul şi natura mărimilor interne fundamentale Folosind ipotezele de lucru uzuale ideea de bază a TFS se poate enunţa astfel pentru orice cuplu de sarcină dat şi poziţia rotorului precizată sistemul de ecuaţii care descrie procesul de conversie a energiei icircn orice regim tranzitoriu al maşinii electrice rotative polifazată poate fi stabilit utilizacircnd numai patru mărimi interne de bază fiecare avacircnd o semnificaţie fizică clară Dacă aceste mărimi fundamentale sunt distribuite sinusoidal atunci sunt suficienţi patru fazori spaţiali pentru a le caracteriza fazorii spaţiali de curent şi tensiune ai statorului şi rotorului


105

Dacă sunt considerate n armonici spaţiale icircn maşină atunci sunt necesare n grupuri de cacircte patru fazori Informaţiile privitoare la fazorii spaţiali de tensiune icircmpreună cu cele ale altor fazori auxiliari permit reprezentarea printr-o diagramă fazorială foarte simplă a tuturor stărilor tranzitorii ale maşinilor m-fazate alimentate electronic reprezentare analogă cu cea utilizată pentru a descrie regimurile staţionare cu ajutorul fazorilor temporali Diagrama se bazează pe ecuaţia dinamică a mărimilor interne ale maşinii Deosebirea esenţială faţă de TMG care abordează modelarea maşinii electrice dinspre exterior constă icircn faptul că această teorie are ca punct de plecare mărimile fizice interne ale maşinii cărora li se asociază cacircte o mărime complexă (fazorul spaţial) Aceste mărimi odată definite stabilesc legătura cu mărimile externe (curent tensiune) putacircnd totodată reprezenta grafic (prin diagrame fazoriale) ecuaţiile dinamice ale mărimilor externe ale maşinii modelate VII1 Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale Valorile de regim staţionar ale mărimilor principale (curenţi tensiuni) ale multor circuite electrice variază adesea sinusoidal icircn timp (1) )tsin(Y2)t(y γ+ω= Icircn regim armonic permanent aceste mărimi sinusoidale pot fi determinate cu ajutorul metodelor de reprezentare simbolică Ele pot fi evaluate prin proiecţia carteziană a unui segment orientat icircn planul complex - fazorul temporal Metodele de reprezentare simbolică a mărimilor sinusoidale se bazează pe stabilirea unor reguli (convenţii) de transformare sau de corespondenţă care asociază biunivoc fiecărei mărimi sinusoidale un simbol sau o imagine similar transformărilor integrale folosite de exemplu icircn automatică Pentru reprezentarea mărimilor icircn regim armonic permanent se utilizează două metode de reprezentare simbolică fiecare avacircnd două variante bull reprezentarea geometrică prin vectori icircn plan bull reprezentarea analitică prin mărimi complexe Reprezentarea geometrică prin vectori icircn plan se aplică fie ca reprezentare cinematică prin vectori rotitori icircn plan fie ca reprezentare polară prin vectori ficşi Prima se numeşte şi reprezentare geometrică nesimplificată (iar vectorii imagini se numesc fazori cinematici sau fazori geometrici nesimplificaţi) iar a doua se numeşte reprezentare geometrică simplificată (iar vectorii imagini se numesc fazori polari sau fazori geometrici simplificaţi) Reprezentarea analitică prin mărimi complexe se aplică fie ca reprezentare a mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument variabil icircn timp fie ca reprezentare prin mărimi complexe de argument constant Prima se numeşte reprezentare icircn complex nesimplificat (iar imaginile corespondente se numesc fazori complecşi nesimplificaţi) iar a doua se numeşte reprezentare icircn complex simplificat (iar imaginile obţinute se numesc fazori complecşi simplificaţi) VII11 Reprezentarea geometrică a mărimilor sinusoidale Reprezentarea cinematică Icircn această reprezentare unei mărimi sinusoidale descrisă de ecuaţia (1) i se asociază un vector OA de modul constant şi egal cu amplitudinea Y2 care se roteşte icircn plan icircn sens trigonometric (antiorar) cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia ω şi formează icircn fiecare moment t cu o axă de referinţă fixă Ox un unghi egal cu faza (ωt+γ) fig1

Fig1 Reprezentarea geometrică nesimplificată a unei mărimi sinusoidale

ω

y

xO

Arsquo A

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1

Y2x0 γgt0

ω A2 γlt0

a b


106

Această reprezentare geometrică nesimplificată se notează sub forma

(2) γ+ω= t|Y2)t(yFnot

gn Axa Ox0 care se roteşte cu viteza ω icircn acelaşi sens cu vectorul OA şi formează cu acesta unghiul constant γ se numeşte axă origine de fază Unghiul de fază iniţială γ se măsoară de la axa origine de fază Ox0 şi este pozitiv icircn sens trigonometric şi negativ icircn sens orar (fig1b) Vectorul rotitor OA numit fazor cinematic (sau fazor geometric nesimplificat) are proiecţia pe axa Oy egală cu mărimea sinusoidală (3) OA)t(y = Operaţii cu mărimi geometrice bull Operaţiei de multiplicare a mărimii sinusoidale y(t) descrisă de relaţia (1) cu scalarul k (4) )tsin(Y2k)t(yk)t(y1 γ+ω=sdot= icirci corespunde amplificarea amplitudinii fazorului cu k OA1 (fig2a) bull Mărimii sinusoidale y(t) egală cu suma mărimilor y1(t) şi y2(t) (avacircnd aceeaşi pulsaţie) (5) )tsin(Y2)tsin(Y2)tsin(Y2)t(y)t(y)t(y 221121 γ+ω=γ+ω+γ+ω=+= icirci corespunde fazorul sumă egal cu rezultanta compunerii geometrice a fazorilor lui y1(t) şi y2(t) OA (fig2b) bull Derivatei temporale a mărimii sinusoidale y(t) (6) )tsin(Y2)tcos(Y2

dt)t(dy)t(y 22 γ+ω+ω=γ+ωω== π

icirci corespunde fazorul rotit cu π2

icircn sens trigonometric avacircnd amplitudinea de ω ori mai mare

OA2 (fig2a) bull Integralei temporale a mărimii sinusoidale

(7) )tsin(Y2)tcos(Y2d)sin(Y2d)(y)t(y 23πminusγ+ω

ω=γ+ω

ωminus=τγ+ωτ=ττ= intint


icircn sens invers trigonometric avacircnd amplitudinea de ω ori mai

mică OA3 (fig2a)

Fig2 Operaţii cu mărimi geometrice Reprezentarea polară Icircn această reprezentare mărimii sinusoidale y(t) relaţia (1) i se asociază un vector fix de modul OB constant şi egal cu valoarea efectivă Y a mărimii sinusoidale formacircnd cu axa origine de fază Ox0=Ox un unghi egal cu faza iniţială γ (fig3) Vectorul fix se numeşte fazor polar (sau fazor geometric simplificat)

Fig3 Reprezentarea geometrică simplificată a unei mărimi sinusoidale

y

xO

Brsquo BγY

Aω

y1

xO

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1 1Y2

ω A2

a b

y Y2k A

2Y2

Y2 y1

y2

A3

A2

A1

2π

2π

y3

y2

Y2ω

ωY2


107

Această reprezentare geometrică simplificată se notează sub forma

(8) γ= |Y)t(yFnot

gs Reprezentarea polară se deduce din reprezentarea cinematică prin rotirea planului conţinacircnd axa Ox icircn sens invers trigonometric (orar) cu viteza unghiulară ω şi icircmpărţirea cu

2 a modulului vectorului rotitor OA Din acest motiv reprezentarea polară a mărimii sinusoidale se numeşte simplificată Operaţiile prezentare anterior rămacircn valabile şi pentru acest tip de reprezentare Pentru trasarea diagramelor polare cu mai mulţi fazori se alege arbitrar o axă origine de fază care de obicei coincide cu fazorul uneia dintre mărimi Icircn acest caz mărimea respectiv fazorul sunt origine de fază VII12 Reprezentarea analitică a mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe Icircn reprezentările geometrice (cinematică sau polară) se stabileşte o corespondenţă biunivocă icircntre mărimi sinusoidale şi vectori icircn plan rotitori sau ficşi Pentru reprezentarea analitică a mărimilor sinusoidale planului reprezentărilor geometrice i se asociază planul complex punacircnd icircn corespondenţă axa de rotaţie Ox (fig1 şi fig3) cu axa reală iar axa normală Oy cu axa imaginară Vacircrfului A al vectorului rotitor OA (fig1) respectiv B al vectorului fix OB (fig3) icirci va corespunde un punct C icircn planul complex (afixul unei mărimi complexe) şi prin urmare vectorilor din planul cinematic şi cel polar le vor corespunde vectori complecşi fig4

Fig4 Reprezentarea unei mărimi complexe Se obţine astfel reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe respectiv prin fazori complecşi icircn variantele nesimplificată sau simplificată după corespondenţa cu reprezentările cinematică sau polară Operaţii cu mărimi complexe Mărimile complexe c se notează prin subliniere adică c Un număr complex c se reprezintă bull cartezian (9) 1j jbac minus=+= unde cImb cRea == bull trigonometric (polar sau eulerian) (10) ( )ϕ+ϕ== ϕ sinjcosrrec j Relaţiile de legătură icircntre cele două tipuri de reprezentări complexe sunt

(11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=ϕ=

=ϕ+==

sinrb cosraabarctgbacr 22

Un număr complex c multiplicat cu scalarul k este un număr complex kc ale cărui parte reală şi imaginară respectiv modul sunt amplificate cu k (12) ϕ=+= jkrejkbkack Icircn reprezentarea polară a numerelor complexe suma s produsul p şi raportul d ale numerelor c1 şi c2 au următoarele expresii

(13) r

sinrsinrarcsin)cos(rr2rrr reererccs 22112121

22

21

jj2

j121

21ϕ+ϕ

=ϕϕminusϕ++==+=+= ϕϕϕ

(14) ( )21j21 errp ϕ+ϕ=

(15) ( )21j

2

1 errd ϕminusϕ=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C


108

Numărul complex ejα de modul unitar r=1 şi argument α se numeşte operator unitar de rotaţie (defazare) (16) α+α=α sinjcose j Conform relaţiei (14) multiplicacircnd un număr complex ϕ= jrec cu operatorul ejα rezultă un număr complex avacircnd modulul neschimbat şi argumentul ( )ϕ α+ (17) ( )ϕ+αα = jj rece iar vectorul OC se roteşte icircn sens trigonometric cu unghiul α (fig5)

Fig5 Rotirea unui vector complex prin multiplicare cu operatorul unitar de rotaţie

Ţinacircnd seama de relaţia (16) pentru α π= plusmn

2 operatorii de rotaţie sunt egali cu plusmnj Icircn

consecinţă multiplicarea vectorului de poziţie cu j sau -j determină rotirea vectorului cu π2

respectiv minus π2

adică

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ=minus= 2

j2

jrecjrecj

VII13 Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument variabil icircn timp (reprezentarea icircn complex nesimplificat) Icircn această reprezentare mărimii sinusoidale (1) i se asociază o mărime complexă notată cu y numită imagine icircn complex nesimplificat avacircnd modulul constant şi egal cu amplitudinea 2Y şi argumentul egal cu faza ( )ω γt + fig6

Fig6 Reprezentarea unei mărimi sinusoidale printr-o mărime complexă Această reprezentare complexă nesimplificată se notează sub forma

(19) ( )γ+ω== tjdefnot

cn Ye2y)t(yF Dacă se compară reprezentarea icircn complex nesimplificat cu reprezentarea cinematică şi se pun icircn corespondenţă axa de referinţă Ox cu axa reală şi axa normală Oy cu axa imaginară fazorului cinematic icirci corespunde vectorul de poziţie al afixului mărimii complexe y numit fazor complex nesimplificat notat cu simbolul mărimii complexe y Operaţii cu fazori complecşi bull Multiplicarea mărimii sinusoidale y(t) cu scalarul k corespunde amplificării cu k a modulului fazorului complex nesimplificat argumentul fiind nemodificat (20) ( )γ+ω= tjkYe2yk bull Suma y(t) a mărimilor sinusoidale y1(t) şi y2(t) corespunde sumei y a mărimilor complexe y1 şi y2 (fazorul complex y este egal cu suma fazorilor y1 şi y2) (21)

21yyy +=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C

α1

φ+α

ejαc

r

Rey O

Y2

j

y

Imy

ωt+γ


109

bull Derivatei mărimii sinusoidale icircn raport cu timpul icirci corespunde produsul dintre y şi jω

(22) ( )dydt

j Ye j yj t= =+2 ω ωω γ

Observaţie

Utilizacircnd operatorul unitar de rotaţie j fazorul dydt

se obţine amplificacircnd fazorul y cu ω

şi rotindu-l cu π2

icircn sens trigonometric

(23) yedtyd

2jπω=

bull Integralei icircn raport cu timpul a mărimii sinusoidale icirci corespunde produsul dintre mărimea complexă y şi 1

jω

(24) ( ) yj1e

jY2d)(y tj

ω=

ω=ττ γ+ωint

Observaţie

Fazorul int ττ d)(y se obţine icircmpărţind fazorul y cu ω şi rotindu-l cu π2

icircn sens invers

trigonometric (25) ye1dty 2j πminus

ω=int

VII14Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument constant icircn timp (reprezentarea icircn complex simplificat) Icircn această reprezentare mărimii sinusoidale (1) i se asociază mărimea complexă notată Y numită imagine icircn complex simplificat avacircnd modulul constant şi egal cu valoarea efectivă Y şi argumentul egal cu faza iniţială

(26) γ== jdefnot

cs YeY)t(yF Dacă se compară cu reprezentarea polară şi se pun icircn corespondenţă axa origine de fază cu axa reală şi axa normală cu axa imaginară fazorului polar icirci corespunde vectorul de poziţie al afixului mărimii complexe Y numit fazor complex simplificat notat cu simbolul mărimii complexe Y Corespondenţa dintre principalele operaţii cu mărimi sinusoidale şi operaţiile lor icircn complex simplificat respectiv cu operaţiile efectuate cu fazori complecşi simplificaţi sunt similare cu cele care intervin icircn reprezentarea prin mărimi complexe de argument variabil Observaţie Pentru trecerea inversă de la mărimea imagine la mărimea original se multiplică imaginea Y cu 2ej tω şi se ia partea imaginară (27) ( )γ+ω==== γωωminus tsinY2Yee2ImYe2ImYF)t(y jtjtj1

cs VII2 Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale polifazate (trifazate) Definiţie Un sistem polifazat (n-fazat) simetric de mărimi sinusoidale de succesiune directă este un ansamblu ordonat de n mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă

πω

=2

f (respectiv

aceeaşi perioadă ωπ

=2T ) avacircnd valori efective egale şi defazate cu

n2π radiani adică


110

(28)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusminusγ+ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminusω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusω=

γ+ω=

n2)1n(tsinY2

nT)1n(tsinY2)t(y

n2tsinY2

nTtsinY2)t(y

tsinY2)t(y

n

2

1

L

cu următoarea reprezentare icircn complex (simplificat)

(29) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusminusγ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πminusγ

γ === n2)1n(j

nn

2j

2j

1 YeY YeY YeY L Dacă se defineşte operatorul complex (unitar) de rotaţie an (fig7) prin

(30) n

2sinjn

2cosea n2j

nπ

+π

==π

atunci sistemul polifazat de fazori (29) se poate pune sub forma (31) 1

1n1

1n211 YaY YaY YY === minus L

Fig7 Sistem de fazori temporali Observaţie Pentru sistemul de n fazori temporali sunt adevărate următoarele relaţiile (32) knkkknknk01nk210 aaaa aa 1a 0aaaaa minusminusminus+minus =====++++++ Ţinacircnd seama de relaţiile (32) atunci pentru sistemul polifazat simetric de fazori complecşi (31) este satisfăcută relaţia (33) Y Y Y Yk n1 2 0+ + + + + = căreia icircn domeniul timp icirci corespunde următoarea relaţie icircntre mărimile instantanee yk(t) (34) 0)t(y)t(y)t(y)t(y nk21 =+++++ Fazorii complecşi Yk ai unui sistem polifazat simetric de succesiune directă se reprezintă icircn raport cu o origine comună alcătuind fie un sistem stelat cu n braţe (fig8a) fie formacircnd un sistem poligonal (fig8b)

Fig8 Reprezentarea fazorilor temporali ai unui sistem polifazat simetric Se numeşte sens direct sensul de rotire orar şi sens invers sensul antiorar Dacă mărimile sunt ordonate astfel ca succesiunea fazorilor să fie directă iar două mărimi succesive Yj şi

Yj+1 au diferenţele fazelor egale cu 2πn

sistemul de mărimi se numeşte sistem direct ( )Ykd

O

j

a1

Im

2πn

1 a2a3a4

an-1

an-2

a0

Re

Re Re

O

j Im

Y3

Y2

Y1

Yn Yn-1

O

j Im

Y3

Y2 Y1

Yn

Yn-1

a b


111

Analog se defineşte sistemul invers ( )kiY Icircn reprezentarea icircn complex simplificat dacă se ia fazorul Y d1 drept origine de fază fazorii sistemului invers sunt conjugaţii fazorilor sistemului direct Observaţie Conform relaţiei (31) icircntr-un sistem polifazat simetric direct de mărimi sinusoidale sensul de succesiune a fazorilor mărimilor este invers sensului de succesiune a versorilor temporali derivaţi din operatorul complex de rotaţie an Particularizare pentru sistemul trifazat Definiţie Un sistem trifazat simetric de mărimi periodice de succesiune directă este un ansamblu ordonat de trei mărimi periodice y1d(t) y2d(t) y3d(t) de aceeaşi perioadă care se succed la un interval de timp de T3 astfel că mărimea y2d(t) este icircn urma mărimii y1d(t) iar mărimea y3d(t) este icircn urma lui y2d(t)

(35)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+γ+ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

γ+ω=

32tsinY2

34tsinY2)t(y

32tsinY2)t(y

tsinY2)t(y

ddd3

dd2

dd1

cu imaginile icircn complex (36) dd3d

2d2dd1 YaY YaY YY ===

icircn care a este operatorul complex de rotaţie sau versorul temporal

(37) 23j

21

32sinj

32coseaa 3

2j1def

3 +minus=+===ππ

π

avacircnd următoarele proprietăţi

(38) 2

12kk3210

a23j

21

23j

21a

23j

21aa 21kaa 0aaa

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus=

minusminus=====++ minus+

Icircn fig9a s-a reprezentat diagrama fazorilor complecşi ai sistemului trifazat simetric direct respectiv icircn fig9b cea ai sistemul trifazat simetric de succesiune inversă icircn cazul general cacircnd există o defazare temporală iniţială γ

Fig9 Diagramele fazorilor temporali complecşi ai sistemului trifazat simetric Mărimile instantanee ale sistemelor trifazate simetrice satisfac relaţiile (39) 0)t(y)t(y)t(y 0)t(y)t(y)t(y i3i2i1d3d2d1 =++=++ respectiv icircn complex (40) 0YYY 0YYY i3i2i1d3d2d1 =++=++

Y1i Y1d 32π

3

2π

32π

Re

Im

Y2d

Y3d

γ

j

32π

3

2π

32π

Re

Im

Y3i

Y2i

γ

j

ω ω

a b


112

VII3 Fazorul spaţial reprezentativ Spre deosebire de studiul circuitelor electrice studiul maşinilor electrice necesită cunoaşterea unor mărimi interne care sunt distribuite spaţial (solenaţie intensitate magnetică cacircmp magnetic etc) Pentru acest studiu trebuie utilizaţi fazorii spaţiali Să revenim asupra analizei mărimilor interne create de o icircnfăşurare statorică formată din NS spire fig10 analiză prezentată icircn sectIV1

Fig10 Icircnfăşurarea statorică a unei maşini de ca monofazate a dispunerea pe circuitul magnetic statoric b desfăşurarea orizontală pe circumferinţa maşinii c reprezentarea icircnfăşurării statorice printr-un circuit electric d solenaţia creată de icircnfăşurare prin alimentarea cu un curent constant Icircnfăşurarea statorică este distribuită spaţial sinusoidal de-a lungul circumferinţei statorului (fig10a-b) După cum s-a arătat distribuţia densităţii de spire este caracterizată de relaţia

(41) θ=θη sin2

N)( SAA

Curentul iSA(t) care alimentează icircnfăşurarea AArsquo determină icircn punctul θ o forţă magnetomotoare ΘAArsquo(θt) de forma

(42) )

2sin()t(iNcos)t(iNcos

2)t(iN

dsin)t(i2

Nd)t(i)()t(

SASSASSAS

SAS

SAAAAA

π+θ=θ=α=

=αα=ααη=θΘ

θπ+θ

π+θ

θ

π+θ

θintint

Se poate constata astfel că forţa magnetomotoare generată are o distribuţie sinusoidală deplasată icircn spaţiu cu 90deg faţă de distribuţia icircnfăşurării statorice (fig10d) De aceea icircn reprezentarea maşinilor electrice prin circuite electrice cuplate magnetic icircnfăşurările sunt reprezentate prin inductanţe reale (avacircnd rezistenţă nenulă) plasate icircn axele lor magnetice (fig10c) Observaţie Se subliniază icircncă o dată faptul că distribuţia sinusoidală a forţei magnetomotoare se obţine din considerente constructive şi nu datorită formei variaţiei curentului care o străbate

x bull bull bull bull bull bull bull bull bull

bull bull bull bull bull

x x x x

x x x x

x x x

x x

θ

π 2π 0

ηAArsquo(θ)

a

bull

ΘAArsquo(θ)

π 2π 0x

b

d

A Arsquo

c

A

Arsquo

xx x

xxx x

xxx

xx

xx xx x

x

bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull Br

Br

Γ θ

θ

iSA


113

Aşa cum s-a demonstrat expresiile valorilor intensităţii magnetice şi a cacircmpului magnetic create de această icircnfăşurare icircn icircntrefierul maşinii au expresiile

(43) θδ

=δ

θΘ=θδ cos

2)t(iN

2)t(

)t(H SASAAAA

(44) θδ

μ=θμ=θ δδ cos

2)t(iN)t(H)t(B SAS0

AA0AA

Icircn cazul icircn care curentul iSA(t) care produce cacircmpul magnetic este constant solenaţia intensitatea magnetică şi respectiv cacircmpul magnetic sunt constante icircn timp faţă de icircnfăşurarea prin care trece curentul respectiv cu o repartiţie sinusoidală de-a lungul circumferinţei statorului Dacă icircnsă curentul este variabil icircn timp atunci mărimile interne produse sunt variabile Datorită distribuţiei sinusoidale a icircnfăşurării variaţia oarecare icircn timp a curentului din icircnfăşurarea AArsquo creează mărimi interne sinusoidală alternative (unde staţionare) Icircn fig11a se prezintă variaţia icircn timp a solenaţiei create de icircnfăşurarea de fază AArsquo Conform teoriei cacircmpului dublu icircnvacircrtitor variaţia alternativă armonică a solenaţiei icircntr-un punct de pe circumferinţa maşinii localizat prin unghiul θ se poate descompune icircn două solenaţii icircnvacircrtitoare icircn sensuri contrare (directă şi inversă) Sensul direct (pozitiv) este sensul trigonometric fig11b Icircn acest fel componenta fundamentală a solenaţiei spaţiale produse poate fi interpretată fie ca o undă staţionară alternativă fie ca două unde progresive fiecare de amplitudine icircnjumătăţită care se deplasează icircn sensuri contrare

Fig11 Forţa magnetomotoare produsă de un curent alternativ armonic a evoluţia fizică a solenaţiei icircntr-un punct θ de pe periferia maşinii b asocierea formală a două mărimi complexe icircn scop de analiză Icircntr-adevăr ţinacircnd seama de relaţiile Euler expresia (42) poate fi exprimată şi sub forma

(45) 0jSAS

not

Ai0jSAS

not

Ad

jAi

jAd

jSASjSASjj

SASSASAA

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(e2

)t(iNe2

)t(iN2ee)t(iNcos)t(iN)t(

minus

minusminusminus

==

+=+=+

==

ΘΘ

ΘΘθθΘ θθθθθθ

Observaţie Analiza solenaţie (dar şi a altor mărimilor interne reale ale maşinii cum ar fi intensitatea magnetică sau cacircmpul magnetic) icircn punctul de pe circumferinţa maşinii localizat prin unghiul θ se poate realiza formal cu ajutorul a două mărimi complexe de secvenţă directă şi inversă ΘAd şi ΘAi Icircn acest fel este posibil să se stabilească o corespondenţă icircntre fenomenele electromagnetice care au loc icircn interiorul maşinii electrice şi reprezentarea lor icircntr-un plan complex cu ajutorul unor segmente orientate (vectori fazori) Deoarece descompunerea operată icircn relaţia (45) este independentă de variaţia curentului prin icircnfăşurare atunci ea este valabilă atacirct pentru regimurile staţionare ale maşinii cacirct şi pentru regimurile tranzitorii ale acesteia Acest fapt este extrem de important icircn analiză dar şi icircn proiectarea sistemelor de control al maşinilor de curent alternativ Icircn cazul maşinilor de curent alternativ trifazate icircnfăşurările statorice sunt dispuse spaţial la un unghi de 120deg electrice (fig12) Datorită dispunerii spaţiale decalate cu 120deg electrice solenaţiile icircnfăşurărilor BBrsquo şi CCrsquo evaluate icircn acelaşi punct θ de pe periferia maşinii vor fi de forma

ΘAArsquo(θt)

π 2π0

θ

a b

A Arsquo

θ ΘAArsquo(θt) ΘAd(t)

ΘAi(t)

iSA


114

Fig12 Icircnfăşurările statorice ale unei maşini de ca trifazată

a dispunerea fizică a icircnfăşurărilor b reprezentarea simbolică prin circuite electrice cuplate magnetic (46) )cos()t(iN)cos()t(iN)t( 3

2SBS3

2SBSBB

ππ minusθ=θminus=θΘ (47) )cos()t(iN)cos()t(iN)t( 3

4SCS3

4SCSCC

ππ minusθ=θminus=θΘ Evoluţiile alternative ale acestor solenaţii staţionare defazate cu cacircte 120deg electrice icircn acelaşi punct de pe circumferinţa maşinii θ pot fi analizate cu ajutorul a cacircte două mărimi complexe asociate astfel

(48)

32

32

32

32

32

32

jSBSnot

BijSBS

not

Bd

jBi

jBd

jjSBSjjSBS

jjjj

SBS32

SBSBB

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN

2eeee)t(iN)cos()t(iN)t(

ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=

(49)

34

34

34

34

34

34

jSBSnot

CijSCS

not

Cd

jCi

jCd

jjSCSjjSCS

jjjj

SCS34

SCSCC

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=

Evident că reprezentările separate ale solenaţiilor (45) (48) şi (49) sunt pur formale deoarece icircn realitate ele se sumează spaţial icircn fiecare punct de pe periferia maşinii şi generează o solenaţie rezultantă Icircn virtutea liniarităţii circuitului magnetic icircn punctul de coordonată θ valoarea solenaţiei rezultante este de forma

(50) ( ) ( ) θθ

Σ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘj

CiBiAij

CdBdAd

CCBBAA

e)t()t()t(e)t()t()t(

)t()t()t()t(

+++++=

=++=minus

Se icircntrevede astfel posibilitatea studierii evoluţiei solenaţiei rezultante icircntr-un punct θ (icircn regimuri permanente dar şi tranzitorii) cu ajutorul unor mărimi reprezentate icircntr-un plan complex Aşa cum se va arăta icircnsă această reprezentare formală are profunde semnificaţii cu privire la fenomenele fizice care au loc icircn interiorul maşinii

Definirea fazorului spaţial reprezentativ

După cum s-a arătat metodele de reprezentare simbolică icircn planul complex pot fi utilizate şi pentru analiza unor mărimi ale circuitelor electrice (curenţi tensiuni) Icircnsă pentru aceasta condiţia necesară este ca aceste mărimi să varieze sinusoidal iar reprezentarea se realizează cu ajutorul fazorilor temporali numai pentru regimul staţionar (regimul permanent) Icircn acest mod aplicacircnd regulile de calcul simbolic mărimile reprezentate pot fi evaluate prin proiecţia carteziană a fazorului temporal

a b

A Arsquo

BBrsquo

CCrsquo

iSA

iSB

iSC

θ 3

2π

32π

32π

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo


115

Definiţie O mărime internă a maşinii electrice reprezintă o mărime fizică ce prezintă icircn orice moment un set de valori care pot fi exprimate printr-o funcţie matematică a cărei variabilă independentă este coordonata spaţială θ Definiţie Fazorul spaţial este un segment orientat icircn planul complex care caracterizează icircn orice moment distribuţia spaţială a unei mărimi interne a maşini condiţia fiind ca această distribuţie spaţială să fie sinusoidală Fazorul spaţial indică icircntotdeauna maximul pozitiv al undei spaţiale iar modulul său este egal cu amplitudinea acesteia Atacirct amplitudinea undei cacirct şi viteza de deplasare pot varia icircntr-o manieră arbitrară Relaţiile (42) (43) şi (44) demonstrează faptul că icircn cazul maşinilor de curent alternativ avacircnd icircnfăşurările distribuite sinusoidal pot fi realizate modelări şi analize cu ajutorul unor fazori spaţiali Asocierea de fazori spaţiali acestor mărimi interne permite o reprezentare a fenomenelor interne cu ajutorul diagramelor fazoriale Pentru o mărime internă creată de o icircnfăşurare de fază se poate defini un fazor spaţial Icircn această situaţie indiferent de sensul curentului de fază (mărimea externă maşinii) valoarea maximă a mărimii interne va fi icircntotdeauna de-a lungul axei magnetice a icircnfăşurării respective Caracterul spaţial este dat de direcţia de variaţie a mărimii respective Pe de altă parte icircn raport cu un fazor temporal acest fazor spaţial are valoarea modulului dependentă de valoarea instantanee a curentului care parcurge icircnfăşurarea Dacă prin abuz de notaţie se simbolizează versorii spaţiali care definesc direcţiile icircnfăşurărilor AArsquo BBrsquo şi CCrsquo (deplasarea icircn spaţiu) ca şi versorii temporali (operatorii complecşi de rotaţie) care iau icircn consideraţie defazarea temporală (deplasarea icircn fază) a sistemului trifazat al mărimilor externe maşinii (curenţi tensiuni) sub forma (51) 3

23

43

2 jj2j10j0 eeaea1eaπππ minus=====

atunci fazorii spaţiali ai solenaţiilor de fază pot fi definiţi sub forma (52) )t()t(i

2Na)t()t()t(i

2Na)t()t()t(i

2Na)t( CdSC

S2def

CCBdSBS1def

BBAdSAS0def

AA ΘΘΘΘΘΘ =sdot==sdot==sdot=

Fiecare din aceşti fazori spaţiali de fază reprezintă evoluţia solenaţiei de fază care are o distribuţie cosinusoidală icircn raport cu axa magnetică a fazei reprezentate Modulul fiecărui fazor va fi proporţional cu valoarea instantanee a curentului de fază Cum indiferent de evoluţia curenţilor de fază solenaţiile au icircn continuare o distribuţie cosinusoidală iar suma unor mărimi cosinusoidale este tot o mărime cosinusoidală atunci se poate asocia un fazor spaţial şi solenaţiei rezultante (53) ))t(ia)t(ia)t(ia(

2N)t()t()t()t( SC

2SB

1SA

0SCCBBAA sdot+sdot+sdot=++= ΘΘΘΘΣ

Spre deosebire de un fazor temporal care reprezintă evoluţia unei singure mărimi sinusoidale icircn regim permanent fazorul spaţial rezultant (fazorul spaţial sumă) poate reprezenta evoluţia unui sistem de mărimi trifazate interne icircn regim tranzitoriu El se obţine prin sumarea vectorială a fazorilor spaţiali ai fiecărei faze avacircnd atacirct modulul cacirct şi argumentul variabile Studiul regimului permanent al celor trei mărimi de fază se constituie icircntr-un caz particular cacircnd fazorul sumă are modulul constant dar argumentul variabil icircn timp Totuşi nici icircn această situaţie el nu trebuie confundat cu fazorul temporal deoarece el exprimă icircn continuare rezultatul acţiunii a trei mărimi de fază Observaţie Icircn mod similar se pot definii şi fazorii spaţiali ai celorlalte mărimi interne ale maşinii (intensitate magnetică cacircmp magnetic flux magnetic) Conform definiţiei fazorul spaţial rezultant ΘΣ(t) va caracteriza solenaţia rezultantă care are tot o distribuţie cosinusoidală modulul său reprezintă valoarea maximă pozitivă a distribuţiei cosinusoidale iar argumentul (unghiul) reprezintă locaţia vacircrfului (direcţia) icircn raport cu axa magnetică a fazei AArsquo aleasă prin convenţie Astfel analizacircnd cazul particular de regim permanent cacircnd armătura statorică trifazată este alimentată cu un sistem simetric echilibrat şi direct de curenţi se constată că spre deosebire de unda solenaţiei creată de o


116

singură fază fig11a care este o undă staţionară unda solenaţiei rezultante devine o undă progresivă (rotitoare) fig13d care se roteşte icircn planul radial al maşinii cu o viteză unghiulară dependentă de pulsaţia sistemului trifazat de curenţi (fig13b)

Fig13 Solenaţia statorică a unei maşini de ca trifazată a sistem trifazat echilibrat de curenţi b solenaţia rezultantă icircn planul radial al maşinii c valorile instantanee ale curenţilor de fază la momentul t1 d unda progresivă a solenaţiei rezultante Observaţii 1 Icircn fig13b sunt prezentate trei valori consecutive pe care le ia unda solenaţiei rezultante la trei momente diferite de timp 2 Sistemul trifazat de curenţi satisface icircn orice moment relaţia (fig13c) (54) 0)t(i)t(i)t(i SCSBSA =++ Dacă se consideră definiţiile fazorilor spaţiali ai solenaţiilor de fază relaţiile (52) şi al solenaţiei rezultante relaţia (53) atunci valoarea solenaţiei rezultante icircn punctul de coordonate θ relaţia (50) care este o mărime reală (şi nu complexă) poate fi exprimată prin intermediul unor mărimi complexe sub forma

(55) ( ) ( )( ) ( )

θΣ

θΣ

θθ

θθ

Σ

ΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘ

jj

jCC

BB

AA

jCCBBAA

jCiBiAi

jCdBdAd

CCBBAA

e)t(e)t(



)t()t()t()t(

+=

=+++++=

+++++=

=++=

minus

minus

minus

Observaţie Pentru a exprima componentele de secvenţă inversă s-au folosit valorile complexe conjugate ale fazorilor spaţiali de secvenţă directă

(56) )t(i

2Na)t(i

2N)a()t(

)t(i2

Na)t(i2

N)a()t()t(i2

Na)t(i2

N)a()t(

SCS1

SCS2

CC

SBS2

SBS1

BBSAS0

SAS0

AA

sdot=sdot=

sdot=sdot=sdot=sdot=

Θ

ΘΘ

(57) ))t(ia)t(ia)t(ia(2

N)t()t()t( SC1

SB2

SA0S

CCBB

AA

sdot+sdot+sdot=θΘ+Θ+Θ=ΘΣ

Deci legătura dintre planul complex fazorial (utilizat pentru analiză) şi planul radial al maşinii (perpendicular pe axul maşinii) se realizează cu ajutorul fazorului sumă ΘΣ(t) şi al conjugatei acestuia Θ

Σ(t) Conform relaţiilor (53) şi (57) fazorii de secvenţă directă şi inversă ai solenaţiei rezultante pot fi exprimaţi folosind doi fazori definiţi formal cu ajutorul mărimilor externe de fază ale maşinii adică

(58) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( SS

SC2

SBSAS

ΣΣΘ =sdot+sdot+=

(59) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( S

SSCSB

2SA

SΣΣΘ =sdot+sdot+=

A

C Crsquo

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

a b d

ω

ΘΣ(θt)

π 2π0

θ ΘΣ(t1)

ω

θa1middotiSB

iSAgt0

iSBgt0

iSClt0

c


117

Fazorii spaţiali rezultanţi ai mărimii interne şi externe au deci aceeaşi orientare icircnsă diferă printr-o constantă Fazorul spaţial obţinut prin compunerea vectorială a celor doi fazori (de secvenţă directă şi secvenţă inversă) din membrul drept al relaţiei (55) indică valoarea solenaţiei la momentul t icircn punctul periferic θ icircnsă numai fazorul spaţial de secvenţă directă indică valoarea maximă pozitivă şi poziţia momentană a distribuţiei solenaţiei produsă de icircnfăşurările trifazate statorice icircn raport cu axa magnetică a icircnfăşurării AArsquo fig13b pentru care punctul de evaluare de pe periferia maşinii devine θ=0 Evident că aceste două mărimi nu sunt independente ceea ce icircnseamnă că dacă se cunoaşte valoarea uneia se poate deduce şi cealaltă componentă De aceea icircn scopul simplificării icircn modelare analiză şi control se utilizează numai componentele de secvenţă directă Pentru a exprima icircntr-o formă compactă şi convenabilă efectul rezultant pe care cele trei mărimi de fază le-ar produce se utilizează un alt fazor spaţial al mărimilor externe numit fazor spaţial reprezentativ iS(t) definit astfel icircncacirct să fie echivalentul unui curent virtual care parcurgacircnd o singură icircnfăşurare rotitoare distribuită sinusoidal avacircnd NE spire şi localizată icircn punctul de valoare maximă a solenaţiei rezultante să producă aceeaşi rezultantă a distribuţiei solenaţiei (fig14)

(60) )t(i2

N)t(i2

N)t( SE

SS sdot== ΣΣΘ

Fig14 Solenaţia statorică a unei maşini de ca trifazată a armătura statorică trifazată parcursă de un sistem trifazat echilibrat de curenţi b solenaţia rezultantă icircn planul radial al maşinii c armătura virtuală rotitoare parcursă de un curent echivalent Icircn consecinţă fazorul spaţial reprezentativ asociat mărimii externe iS(t) nu se confundă cu fazorul sumă obţinut prin compunerea vectorială a mărimilor de fază iSΣ(t) ci există şi aici o constantă de proporţionalitate icircntre aceştia (fig15)

(61) )t(iNN)t(i S

E

SS Σ=

Fig15 Legătura dintre fenomenele interne ale maşinii (a)

şi reprezentarea prin fazori spaţiali formali asociaţi mărimilor externe (b) Evident că există multiple posibilităţi de stabilire a numărului echivalent de spire NE Ca şi icircn cazul TMG icircnsă din considerente de asigurare a invarianţei puterii maşinii echivalente obţinute prin modelarea ei cu ajutorul fazorilor spaţiali reprezentativi ai mărimilor externe (curenţi tensiuni) numărul de spire al icircnfăşurării virtuale echivalente se alege de valoarea

iSΣ

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

A

B

C Crsquo

a1middotiSB

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

θe

NS

NS

NS

NS

NS

NS

NE

ωe E

Ersquo θe

ωe

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo

Ersquo

E

θe

ωeΘΣ

θeωe

a b c

bullbullbullbull

bull bullbull bull bullbull bull bullbull bullbull bull bull

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x

ΘΣ θe


118

(62) SE N23N =

Icircn acest caz definiţiile fazorului spaţial reprezentativ şi a conjugatei acestuia asociaţi unui sistem trifazat de mărimi generice de fază (curenţi tensiuni fluxuri) notate sub forma yA(t) yB(t) şi yC(t) au expresiile

(63) ))t(ya)t(ya)t(y(32)t(y SC

2SBSAS

sdot+sdot+=

(64) ))t(ya)t(ya)t(y(32)t(y SCSB

2SA

S

sdot+sdot+=

Icircn plus dacă sistemul trifazat este dezechilibrat componenta homopolară echivalentă are valoarea (65) ))t(y)t(y)t(y(

31)t(y SCSBSA0S ++=

Observaţii 1 Teoria sistemelor de referinţă (TMG) permite echivalarea energetică a unei armături trifazate cu o armătură virtuală avacircnd două icircnfăşurări (armătură bifazată) Teoria fazorului spaţial icircnsă permite echivalarea energetică a unei armături trifazate cu o armătură virtuală avacircnd o singură icircnfăşurare complexă (armătură monofazată) 2 Fazorul spaţial reprezentativ se poate obţine cu ajutorul a trei fazori spaţiali definiţi cu ajutorul mărimilor externe de fază de module (variabile) egale cu mărimile de fază

(66) ))t(y)t(y)t(y(32))t(ya)t(ya)t(y(

32)t(y

SCSBSASC2

SBSAS++=sdot+sdot+=

Icircn acest mod valorilor scalare ySA(t) ySB(t) şi ySC(t) li s-au asociat mărimile complexe (fazorii spaţiali de fază) ySA(t) ySB(t) şi ySC(t) Să analizăm regimul permanent al unei armături statorice trifazate alimentată cu un sistem echilibrat direct de curenţi de forma

(67) 2

eeI)tcos(I)t(itjtj

MeMSA

ee ωminusω +=ω=

(68) 2

aeaeI2

eeeeI)tcos(I)t(i1tj2tj

M

jtjjtj

M32

eMSB

ee32

e32

e ωminusωωminusminusωπ +

=+

=minusω=ππ

(69) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSC

ee32

e32

e ωminusωminusωminusωπ +

=+

=+ω=ππ

Observaţii 1Valorile instantanee ale mărimilor reale de fază au fost exprimate cu ajutorul a cacircte două mărimi complexe utilizacircnd relaţiile Euler şi notaţiile pentru versorii temporali 2 Notaţia cu indicele e pentru pulsaţia curenţilor provine de la termenul excitaţie (curenţi statorici de excitaţie a armăturii) Pentru acest sistem echilibrat de curenţi componenta homopolară este nulă (70) 0))aa1(e)aa1(e(

2I

31))t(i)t(i)t(i(

31)t(i 2tj2tjM

SCSBSA0See =+++++=++= ωminusω

Fazorul spaţial reprezentativ al curentului statoric ia valoarea

(71) tj

Mtj

M2tjtjM

22tj22tjMSC

2SBSAS

eeee

ee

eI23eI

23

32))aa1(e)111(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i

ωωωminusω

ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=

Observaţie Pentru determinarea fazorului spaţial reprezentativ al curentului statoric s-au utilizat atacirct versori spaţiali cacirct şi versori temporali De aceea uneori acest fazor este denumit şi fazor spaţiotemporal


119

Fazorul spaţial reprezentativ conjugat al curentului statoric se obţine fie prin aplicarea relaţiei de definiţie fie prin conjugarea expresiei finale (71) Pentru prima metodă se obţine

(72) tj

Mtj

Mtj2tjM

22tj22tjMSCSB

2SA

S

eeee

ee

eI23eI

23

32))111(e)aa1(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i

ωminusωminusωminusω

ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=

Expresia (71) arată că secvenţa pozitivă a fazorului spaţial reprezentativ al curentului

statoric are o valoare maximă de 23 ori mai mare decacirct valoarea maximă a unui curent de

fază El poate fi reprezentat ca fiind o pătură de curent distribuită spaţial cosinusoidal de

valoare maximă MI23 care se roteşte icircn sens trigonometric cu viteza unghiulară ωe (fig14b)

De asemenea expresia (72) poate fi interpretată ca fiind tot o pătură de curent de aceeaşi amplitudine şi care se roteşte cu aceeaşi viteză unghiulară icircn sens orar (invers trigonometric) Solenaţia rezultantă icircn punctul de pe periferia maşinii localizat prin coordonata θ relaţia (55) devine

(73) ( ) ( )

( ) ( )θωθω

ΘΘθΘ θωθωθθθΣ

θΣΣ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus=

=+=+=+= minusminusminusminusminus

tcosI23Nt(cosI

23N

eeI23

2Neiei

2Ne)t(e)t()t(

eMSeME

)t(j)t(jM

EjS

jS

Ejj ee

Expresia (73) demonstrează faptul că solenaţia rezultantă poate fi considerată ca un fazor spaţial rotitor al solenaţiei care are o distribuţie spaţială cosinusoidală şi se roteşte cu viteza unghiulară ωe icircn direcţia pozitivă a lui θ Valoarea sa maximă de

23 ori mai mare decacirct

solenaţia produsă de o icircnfăşurare de fază se obţine pentru poziţia momentană teωθ = La o variaţie oarecare icircn timp a curenţilor de fază iSA(t) iSB(t) şi iSC(t) fazorul spaţial reprezentativ al curentului statoric are o amplitudine variabilă şi o viteză de rotaţie de asemenea variabilă icircn raport cu axa magnetică a icircnfăşurării AArsquo Modelarea maşinilor de curent alternativ cu ajutorul fazorilor spaţiali a permis evitarea calculului matriceal laborios prin utilizarea de operaţii algebrice simple Modelul fazorial astfel obţinut este icircntotdeauna redus la forma cea mai simplă permiţacircnd o tratare analitică compactă Matricea asociată transformării unui model trifazat icircn model fazorial are forma

(74) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y

)t(y

SC

SB

SA2

2

0S

S

S

Evident că dacă se cunosc mărimile fazoriale şi se ţine seama de relaţia (65) se pot obţine mărimile de fază corespunzătoare

(75) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

)t(y)t(y

)t(y

21

2a

2a

21

2a

2a

21

21

21

32

)t(y)t(y

)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y)t(y

0S

S

S

2

2

0S

S

S

1

2

2

SC

SB

SA

adică

(76) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

+= 0S

S

2

SC0S

SS

2

SB0S

SS

SA y2

12

yaya

32yy

21

2

yaya

32yy

21

2

yy

32y


120

Aşa cum s-a menţionat fazorul spaţial reprezentativ conjugat conţine informaţie redundantă informaţia strict necesară fiind icircnglobată icircn fazorul spaţial reprezentativ şi eventual icircn cazul unui sistem dezechilibrat de mărimi icircn componenta homopolară De aceea atunci cacircnd se doreşte obţinerea de informaţii pentru evoluţia unei mărimi de fază se pot utiliza numai aceste două ultime mărimi Astfel consideracircnd mai icircntacirci un sistem echilibrat de mărimi trifazate de fază atunci relaţia (63) poate fi dezvoltată şi sub forma

(77) )))t(y)t(y(23j))t(y)t(y(

21)t(y(

32)t(y SCSBSCSBSAS

minus++minus=

sau ţinacircnd seama de relaţia (54)

(78) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(

32)t(y SCSBSASCSBSAS

minus+=minus+=

Mărimea specifică fazei AArsquo poate fi astfel obţinută prin considerarea părţii reale a expresiei (78) adică (79) ))t(yRe()t(y

S32

SA = Dacă expresia (63) este icircnmulţită cu versorul spaţial a2 atunci se poate ajunge din nou la o relaţie similară expresiei (78) adică

(80) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(

32)t(ya SASCSBSASCSBS

2 minus+=minus+=sdot

Icircn acest caz mărimea fazei BBrsquo se obţine cu relaţia (81) ))t(yaRe()t(y

S2

32

SB sdot= Icircn sfacircrşit pentru a determina valoarea mărimii fazei CCrsquo expresia (63) se icircnmulţeşte cu versorul spaţial a ceea ce conduce la relaţia

(82) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(

32)t(ya SBSASCSCSASCS

minus+=minus+=sdot

şi apoi se obţine (83) ))t(yaRe()t(y

S32

SC sdot= Din punct de vedere geometric relaţia (79) poate fi interpretată ca fiind proiecţia scalată a fazorului spaţial reprezentativ pe axa reală a planului complex utilizat pentru reprezentare fig16 (84) ))t(y(pr))t(yRe()t(y

SAA32

S32

SA ==

Fig16 Determinarea mărimilor de fază cu ajutorul fazorului spaţial reprezentativ Pe de altă parte din analiza relaţiei (81) se observă că icircnmulţirea fazorului spaţial reprezentativ yS(t) cu versorul spaţial a2 poate fi interpretată ca fiind o operaţie de rotaţie a acestuia (şi icircmpreună cu acesta şi a sistemului trifazat de axe) cu 3

4π pentru ca direcţia fazei BBrsquo să se suprapună peste direcţia axei reale (85) ))t(y(pr))t(ya(pr))t(yaRe()t(y

SBB32

S2

AA32

S2

32

SB =sdot=sdot= Icircn mod similar interpretarea relaţiei (83) presupune rotirea fazorului spaţial reprezentativ cu 3

2π şi proiectarea acestuia pe axa reală a planului complex

iSΣ

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

NS


121

(86) ))t(y(pr))t(ya(pr))t(yaRe()t(ySCC3

2SAA3

2S3

2SC =sdot=sdot=

Icircn situaţia icircn care există şi componentă homopolară dacă se ţine seama şi de relaţia (76) atunci relaţiile de legătură dintre fazorul spaţial reprezentativ şi mărimile de fază devin (87) )t(y))t(yRe()t(y 0S3

1S3

2SA +=

(88) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S2

32

SB +sdot=

(89) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S32

SC +sdot=

Observaţie Pentru a obţine proiecţia fazorului spaţial pe o fază egală cu valoarea instantanee a mărimii de fază (invarianţa amplitudinii) icircn unele publicaţii definiţiile fazorului spaţial reprezentativ şi a componentei homopolare sunt de forma (90) ))t(ya)t(ya)t(y(

32)t(y SC

2SBSAS

sdot+sdot+=

(91) ))t(y)t(y)t(y(31)t(y SCSBSA0S ++=

Dacă se dezvoltă din nou relaţia (90) icircn componente carteziene se obţine

(92) )))t(y)t(y(23j)t(y

23(

32)))t(y)t(y(

23j))t(y)t(y(

21)t(y(

32)t(y SCSBSASCSBSCSBSAS

minus+=minus++minus=

Valoarea instantanee a curentului fazei AArsquo poate fi obţinut sub forma (93) ))t(yRe()t(y

SSA = adică proiecţia fazorului spaţial reprezentativ reprezintă chiar valoarea instantanee a mărimii de fază Icircn mod similar se pot obţine şi valorile instantanee ale celorlalte mărimi de fază sub forma (94) ))t(yaRe()t(y

S2

SB sdot= (95) ))t(yaRe()t(y

SSC sdot= Icircn cazul existenţei şi a componentei homopolare datorită noii definiţii a componentei homopolare ecuaţia (91) relaţiile (93)-(95) capătă următoarele forme generale (96) )t(y))t(yRe()t(y 0SSSA +=

(97) )t(y))t(yaRe()t(y 0SS2

SB +sdot= (98) )t(y))t(yaRe()t(y 0SSSC +sdot= Este evident icircnsă că icircn acest caz nu se mai asigură invarianţa puterii obţinacircnd un model fazorial icircn care sunt afectate ecuaţiile de putere şi cuplu deci neechivalent din punct de vedere energetic Icircn cazul controlului maşinilor de curent alternativ se impune utilizarea de modele icircn coordonate ortogonale echivalente Icircn anumite circumstanţe aceste modele permit identificarea componentelor de control producătoare de flux şi de cuplu Modelele ortogonale au avut un impact pozitiv asupra sistemelor de control al maşinilor electrice de curent alternativ şi convertoarelor statice de putere Deşi transformările aplicate modelelor icircn coordonate de fază au un caracter pur formal dar riguros matematic ele au permis obţinerea de modele utile din punct de vedere practic Pe de o parte modelele ortogonale au redus numărul de icircnfăşurări ale motorului echivalent iar pe de altă parte au asigurat o invarianţă a parametrilor echivalenţi ai modelului Modelarea fazorială nu exclude utilizarea modelelor ortogonale ci completează această abordare aducacircnd un aport de semnificaţie fizică la prelucrările pur matematice utilizate Icircn plus prin capacitatea de compresie a informaţiei modelarea fazorială evită calculul matriceal laborios inevitabil icircn cazul teoriei maşinii generalizate


122

Energia icircnmagazinată icircn icircnfăşurarea echivalentă asociată fazorului spaţial reprezentativ yS(t) are de asemenea o distribuţie spaţială sinusoidală dependentă de poziţia icircnfăşurării virtuale echivalente icircn raport cu sistemul de referinţă considerat Valoarea sa icircnsă este dependentă numai de valorile instantanee ale mărimilor de fază Icircn mod formal această energie poate fi divizată icircn două părţi (alese arbitrar) care pot fi descrise cu ajutorul a două mărimi scalare (partea reală şi partea imaginară) corespunzătoare fazorului spaţial reprezentativ Cacircnd sistemul de referinţă este precizat descompunerea icircn parte reală şi parte imaginară este dependentă de poziţia icircnfăşurării virtuale icircn raport cu acel sistem De exemplu icircn fig17 se prezintă partiţionarea ei icircn raport cu un sistem de referinţă staţionar Icircn acest fel pentru a obţine modele icircn coordonate ortogonale fazorul spaţial reprezentativ se descompune icircn două componente de variabilă reală după cele două axe numite D (Direct) şi Q (Quadrature) (fig17) Tratarea matematică se realizează ca şi icircn cazul fazorilor complecşi defazajul dintre cele două componente fiind luat icircn considerare prin versorul spaţial je 2j =

π

Fig17 Maşina electrică virtuală cu icircnfăşurări ortogonale Icircn acest fel prin descompunerea fazorului spaţial pe cele două axe ortogonale se pot obţine mărimi echivalente unei maşini electrice virtuale dar echivalentă din punct de vedere energetic (pierderi randament de conversie etc) Legătura dintre cele două tipuri de abordări este stabilită de relaţiile (99) SQSDS

yjy)t(y sdot+=

(100) SQSDS

yjy)t(y sdotminus= Icircn acest caz modelul fazorial poate fi folosit ca un intermediar icircntre modelul icircn coordonate de fază şi modelul icircn coordonate ortogonale (fig18)

Fig18 Modele echivalente ale maşinilor de ca a modelul icircn coordonate de fază b modelul fazorial c modelul icircn coordonate ortogonale Transformări de faze Relaţiile (63)-(65) de definiţie a fazorului spaţial reprezentativ stabilesc legătura icircntre modelul icircn coordonate de fază fig18a şi modelul fazorial fig18b Pe de altă parte relaţiile (99)-(100) determină legătura dintre modelul fazorial fig18b şi modelul icircn coordonate ortogonale fig18c Icircn ecuaţiile unor estimatoare de stare se utilizează adesea transformarea

yS

D D Drsquo

Q Qrsquo

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ ωe θe

E Ersquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

ySΣ

yS

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ yS yS

D hArr hArr

a b c

ω ω ω

ySΣ

D Drsquo

Q Qrsquo

E Ersquo


123

directă din coordonate de fază icircn coordonate ortogonale (transformata Clarke) Ea se obţine din egalitatea relaţiilor (63) şi (99)

(101) SQSDSC2

SBSA yjy))t(ya)t(ya)t(y(32

sdot+=sdot+sdot+

Astfel prin identificarea componentelor de pe axa reală respectiv imaginară se obţine

(102) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

yyy

21

21

21

23

230

21

211

32

yyy

adică aceeaşi expresie a transformatei Clarke dedusă cu ajutorul TMG Transformări de coordonate (axe) Ca şi icircn cazul TMG analiza sistemelor de acţionări electrice cu maşini de curent alternativ necesită deseori reprezentarea fazorilor spaţiali icircntr-un alt sistem de referinţă decacirct cel natural (statoric rotoric) Icircn acest caz este necesară definirea şi utilizarea transformărilor fazoriale de coordonate Să considerăm de exemplu fazorul spaţial al unei mărimi statorice yS reprezentată icircn sistemul de referinţă staţionar αβ caracterizat de coordonatele polare |yS| şi θs şi coordonatele carteziene ySα şi ySβ fig19

Fig19 Schimbarea de coordonate pentru un fazor spaţial statoric

(103) ( ) )t(yj)t(ye)t(y)t(ya)t(ya)t(y32)t(y SS

jSSC

2SBSAS

sβα

θ sdot+==sdot+sdot+=

Dacă se are icircn vedere un sistem de referinţă DQ rotitor cu viteza unghiulară ωR (θR=ωRt) fazorul spaţial al mărimii statorice considerate yrsquo

S este caracterizat icircn noul sistem de referinţă de coordonatele polare |yS| şi unghiul θs-θR şi coordonatele carteziene ySD şi ySQ Se obţine

(104) ( ) RRsRs jS

jjS

jSSQSD

S

e)t(yee)t(ye)t(y)t(yj)t(y)t(y θminusθminusθθminusθ ===sdot+=

Se constată astfel că relaţia de transformare de coordonate a unui fazor spaţial yS exprimat icircntr-un sistem de referinţă staţionar icircntr-un nou sistem de referinţă rotitor cu viteza unghiulară ωR este (105) tj

Sj

SS

RR e)t(ye)t(y)t(y ωminusθminus ==

Observaţie Mărimea exprimată icircntr-un alt sistem de referinţă decacirct sistemul de referinţă bdquonaturalrdquo a fost notată cu ajutorul indicelui prim (rsquo) Dacă icircn schimb se consideră fazorul spaţial al unor mărimi rotorice de fază yR icircn sistemul de referinţă bdquonaturalrdquo αβ rotitor caracterizat de coordonatele polare |yR| şi θr şi coordonatele carteziene yRα şi yRβ

(106) ( ) )t(yj)t(ye)t(y)t(ya)b(ya)t(y32)t(y RR

jRRC

2RBRAR

rβα


ySα

β

α

D

Q

θR θs

θs-θR

ySβ

ySD ySQ ωR

yS yrsquoS


124

unde mărimile de fază yRA yRB yRC sunt exprimate icircn sistemul de referinţă solidar cu rotorul care se roteşte cu viteza ωR se poate stabili expresia fazorială a transformatei inverse de coordonate Astfel consideracircnd sistemul de referinţă staţionar DQ fazorul spaţial al mărimilor rotorice de fază este caracterizat icircn noul sistem de referinţă yrsquo

R de coordonatele polare |yR| şi unghiul θR+θr şi coordonatele carteziene yRD şi yRQ (fig20)

Fig20 Schimbarea de coordonate pentru un fazor spaţial rotoric Icircn acest caz se obţine (107) ( ) )t(yj)t(ye)t(yee)t(yey)t(y RQRD

jR

jjR

jR

R

RRrrR sdot+==== θθθθ+θ

Icircn domeniul timp transformata de coordonate este echivalentă cu operaţia de modularedemodulare a mărimii pe cacircnd icircn domeniul frecvenţei ea echivalează cu o modificare a frecvenţei Icircn baza acestor precizări şi totodată prin utilizarea mărimilor de fază exprimate icircn sistemele de referinţă naturale se pot defini fazorii spaţiali reprezentativi exprimaţi icircn diferite sisteme de referinţă alese convenabil din anumite considerente Spre exemplu dacă se consideră fazorul spaţial al unei mărimi externe exprimat icircn sistemul de referinţă staţionar sub forma (108) ( )γ+ω= tj

SSee)t(y)t(y

prin referirea lui icircntr-un sistem de referinţă rotitor cu viteza unghiulară ωe se obţine (109) t unde e)t(y)t(y ee

jS

eS

e ω=θ= θminus

adică (110) ( ) γωminusγ+ω == j

Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee

Se constată că icircn sistemul de referinţă rotitor mărimile armonice din sistemul de referinţă staţionar devin mărimi continue (constante icircn regim permanent şi variabile icircn regim tranzitoriu) ceea ce implică posibilitatea extrapolării teoriei sistemelor continue icircn tehnicile de sinteză a structurilor de control care lucrează icircn acest sistem de coordonate Observaţii 1 Icircn cazul fazorului spaţial reprezentativ de curent referit icircn sistemul de referinţă rotitor cu viteza unghiulară ωe acesta produce acelaşi efect general ca şi cel creat de un magnet permanent aflat icircn mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ωe şi avacircnd o formă adecvată pentru a produce un cacircmp magnetic distribuit sinusoidal sau ca şi cel al unui electromagnet rotitor cu aceeaşi viteză unghiulară şi alimentat cu un curent continuu echivalent Acest efect echivalent creat fizic de cele trei icircnfăşurări de fază staţionare defazate spaţial cu cacircte 120ordm electrice şi alimentate cu un sistem trifazat direct şi echilibrat de curenţi poate fi obţinut formal şi cu două icircnfăşurări ortogonale (bifazate) Dacă decalajul lor spaţial de 90ordm electrice se substituie cu versorul spaţial 2jej

π

= cele două icircnfăşurări ortogonale pot fi substituite cu o icircnfăşurare monofazată staţionară echivalentă adică o icircnfăşurare virtuală complexă Mărimile icircnfăşurării virtuale complexe devin şi ele mărimi complexe Icircn acest fel de exemplu efectul produs de electromagnetul rotitor fig21a poate fi de asemenea obţinut alimentacircnd icircnfăşurarea virtuală complexă staţionară cu un curent complex exprimat de fazorul spaţial reprezentativ de curent referit icircn sistemul de referinţă staţionar (fig21b) Spre deosebire de fazorul spaţial al curentului de fază iSA(t) care creează o undă staţionară acest curent

yRD

Q

D

α

β

θR θr

θr+θR

yRQ

yRα yRβ ωR

yR yrsquoR


125

complex generează o undă progresivă rotitoare cu viteză unghiulară de rotaţie dependentă de pulsaţia sistemului trifazat de curenţi

Fig21 Generarea mărimilor magnetice statorice folosind a icircnfăşurare monofazată echivalentă rotitoare b icircnfăşurare monofazată echivalentă staţionară Relaţiile de legătură dintre cei doi curenţi complecşi echivalenţi se exprimă prin intermediul relaţiilor (104) şi (107) 2Transformările fazoriale de coordonate (104) şi (107) exprimă icircntr-o formă mult mai compactă aceleaşi prelucrări matematice pe care le realizau transformările matriceale de coordonate stabilite cu ajutorul TMG Astfel dacă relaţia (104) este exprimată icircn coordonate carteziene adică (111) )sin(j)))(cos(t(yj)t(y(e))t(yj)t(y()t(yj)t(y RRSS

jSSSQSD

R θminussdot+θminussdot+=sdot+=sdot+ βαθminus

βα şi icircn urma icircnmulţirii expresiilor din partea dreaptă se identifică partea reală şi partea imaginară se obţine

(112) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

α

)t(y)t(y

cossinsincos

)t(y)t(y

S

S

RR

RR

SQ

SD

expresie similară expresie (86) din sectVI3 Transformări fazoriale combinate (transformata Park modificată) După cum se ştie pentru a obţine mărimi statorice demodulate icircntr-un sistem de referinţă sincron cu fluxurile maşinii mărimile trifazate statorice sunt transformate icircn două etape transformare de faze echivalente ortogonale transformare de coordonate Aşa cum s-a arătat aceleaşi rezultate se obţin dacă se aplică icircntr-o singură etapă transformata Park Fazorial ea poate fi dedusă prin combinarea transformatele fazoriale definite anterior Icircn acest fel combinacircnd relaţiile (63) şi (105) se obţine

(113) ( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

=sdot+sdot+==

ππ +θminusminusθminusθminus

θminusθminus

)(jSC

)(jSB

jSA

jSC

2SBSA

jS

S

32

R32

RR

RR

e)t(ye)t(ye)t(y32

e)t(ya)t(ya)t(y32e)t(y)t(y

Dacă relaţia (113) se exprimă icircn coordonate carteziene se obţine imediat matricea de transformare dintr-un sistem trifazat staţionar icircntr-un sistem de referinţă ortogonal care se roteşte cu viteza electrică ωR Icircn plus prin completarea matricei de transformare cu elementele componentei homopolare invariantă la schimbarea sistemului de referinţă se obţine structura clasică completă dedusă icircntr-un mod mai laborios prin tehnici matriceale

(114) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminusθminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

)(P)t(y)t(y)t(y

21

21

21

32sin

32sinsin

32cos

32coscos

32

)t(y)t(y)t(y

SC

SB

SA

R

SC

SB

SA

RRR

RRR

0S

SQ

SD

hArr

b

jmiddotQ

D

iS(t)

ωe

θe

jmiddotQe De

ieS(t)

a

ωe

jmiddotQe De

jmiddotQ

D θe


126

VIII Modelarea fazorială a maşinii de inducţie Pentru definirea fazorului spaţial reprezentativ al mărimilor interne (solenaţie intensitate magnetică cacircmp magnetic) s-a utilizat proprietatea constructivă a icircnfăşurărilor maşinii de-a fi repartizate sinusoidal Icircn acest mod s-a putut apoi defini formal şi un fazor reprezentativ pentru curenţii armăturii care sunt mărimi externe maşinii Icircn cazul modelării maşinilor de curent alternativ comandate icircn tensiune trebuie utilizate şi alte mărimi externe şi anume tensiunile de alimentare a armăturilor Icircnsă pentru a putea asocia formal un fazor spaţial reprezentativ şi acestor mărimi trebuie definite o nouă mărime internă (cu distribuţie spaţială sinusoidală) care să aibă un fazor spaţial reprezentativ coliniar cu acesta Icircn acest scop se poate realiza o analiză a distribuţiei tensiunii induse de cacircmpul magnetic icircnvacircrtitor din icircntrefierul maşinii precum şi a distribuţiei căderilor de tensiune rezistivă şi inductivă la nivel de icircnfăşurare Astfel dacă se consideră o singură spiră (aparţinacircnd unei icircnfăşurări a armăturii statorice sau rotorice) atunci rotirea şisau modificarea amplitudinii cacircmpului magnetic din icircntrefier (distribuit sinusoidal) va induce o tensiune icircn această spiră dependentă de poziţia spaţială θ a cacircmpului magnetic inductor Deoarece icircnfăşurarea are icircn ansamblu un număr NS de astfel de spire distribuite sinusoidal atunci prin sumare tensiunea totală indusă icircn icircnfăşurare astfel obţinută poate fi modelată ca avacircnd ea icircnsăşi o distribuţie spaţială sinusoidală Pe de altă parte ţinacircnd seama de repartiţia sinusoidală a icircnfăşurării atunci şi căderile rezistive sau inductive de tensiune determinate de curentul care parcurge icircnfăşurarea vor avea de asemenea o distribuţie spaţială sinusoidală atacirct icircn regim permanent cacirct şi icircn regim tranzitoriu Cu alte cuvinte acestor noi mărimi interne li se poate asocia cacircte un fazor spaţial reprezentativ Dacă pentru circuitul electric asociat unei icircnfăşurări se aplică legea a doua a lui Kirchhoff atunci tensiunea aplicată din exterior (mărime externă) uE(t) de către sursa de alimentare trebuie să echilibreze căderile de tensiune interne rezistivă inductivă şi cea indusă de cacircmpul magnetic icircnvacircrtitor (1) )t(u)t(u)t(u)t(u ILRE θ+θ+θ= unde uE(t) reprezintă tensiunea externă furnizată de sursa de alimentare (o mărime scalară) uR(θt) este căderea internă de tensiune rezistivă uL(θt) este căderea internă de tensiune inductivă iar uI(θt) este tensiunea indusă de cacircmpul magnetic icircnvacircrtitor Prin compunerea fazorilor spaţiali asociaţi mărimilor interne de fază nou introduse se obţine un fazor spaţial rezultant care icircn mod formal poate fi atribuit tensiunii de fază de la bornele armăturii Atunci cu ajutorul fazorilor spaţiali de fază ai mărimilor interne se pot defini fazori spaţiali reprezentativi pentru toate cele trei mărimi de fază obţinacircndu-se următoarea ecuaţie fazorială pentru armătura statorică

(2) )t(edt

)t(idL)t(iR)t(u S

SSSSS ++= σ

Icircn acest mod se poate stabili o nouă corespondenţă icircntre noile mărimi interne ale maşinii şi tensiunile externe aplicate armăturii modelate Ecuaţia diferenţială fazorială (2) are reprezentarea grafică din fig1 şi constituie o reminiscenţă a diagramelor fazoriale clasice ale maşinilor de curent alternativ pentru regimul staţionar realizate cu ajutorul fazorilor temporali

Fig1 Diagrama fazorială a unei armături statorice pentru un regim tranzitoriu Totuşi icircn vreme ce icircn reprezentarea icircn complex nesimplificat diagrama fazorială temporală este o structură rigidă care se roteşte cu viteză constantă diagrama fazorială spaţială din fig1 este o structură elastică unde fiecare fazor icircşi poate schimba modulul

)t(iS

)t(eS

)t(iR SS

)t(uS

dt)t(id

L SSσ

Re

Im

ωe(t) θs


127

(lungimea) şi viteza instantanee trebuind doar să formeze icircn orice moment un poligon icircnchis Icircn acelaşi timp nu este imperios necesar ca fazorii spaţiali )t(iS şi dt

)t(id S să fie icircntotdeauna ortogonali Astfel consideracircnd expresia analitică polară a fazorului spaţial reprezentativ al curentului statoric icircn raport cu sistemul de referinţă fix de forma (3) sj

SS e)t(i)t(i θ= atunci derivata fazorului (3) este de forma

(4) )t(ijedt

)t(ide)t(ije

dt)t(id

edt

dj)t(iedt

)t(iddt

)t(idSe

jSjSe

jSjsS

jSS sssss ωωθ θθθθθ +=+=+=

consecinţă a faptului că icircn regim tranzitoriu modulul fazorului este variabil icircn timp Icircn baza relaţiei (3) versorul (direcţia) fazorului spaţial reprezentativ al curentului statoric se poate exprima sub forma

(5) )t(i)t(i

eS

Sj s =θ

care prin icircnlocuire icircn ecuaţia (4) conduce la relaţia

(6) )t(ij)t(i)t(i

dt)t(id

dt)t(id

SeS

SSS ω+=

Se poate constata că derivata fazorului spaţial reprezentativ al curentului conţine doi termeni unul datorat variaţiei amplitudinii şi coliniar cu fazorul spaţial reprezentativ al curentului iar cel de-al doilea datorat variaţiei direcţiei şi perpendicular pe direcţia acestuia Icircn regim permanent cacircnd modulul fazorului este constant şi deci variaţia sa este nulă primul termen dispare şi se obţine

(7) )t(ijdt

)t(idSe

S ω=

Observaţie Defazajele spaţiale dintre fazorii spaţiali reprezentativi sunt determinate atacirct de evoluţia temporală a mărimilor externe de fază cacirct şi de structura circuitului magnetic unde sunt generate mărimile interne ale maşinii modelate VIII1 Modelul fazorial de maşină primitivă al maşinii de inducţie trifazate Modelul sistemului electromagnetic al maşinii asincrone trifazate prezentată icircn fig2a a fost determinat icircn sectV3 El poate fi descris cu ajutorul următoarelor ecuaţii matriceale (8) ][

dtd]I][R[]U[ SSSS Ψ+=

(9) ][dtd]I][R[]U[ RRRR Ψ+=

(10) ]I)][(L[]I][L[][ RRSRSSSS θ+=Ψ (11) ]I][L[]I[)](L[]I][L[]I)][(L[][ RRRS

TRSRRRRSRRSR +θ=+θ=Ψ

unde

(12) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(13) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(14) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmS

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minusminusminus+minusminusminus+

=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ


128

(16) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmR

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ

Fig2 Modele ale maşinii asincrone trifazate a Maşina asincronă icircn coordonate de fază b Maşina asincronă icircn coordonate fazoriale naturale După cum s-a arătat utilizacircnd ca instrument de analiză şi modelare fazorul spaţial reprezentativ un sistem trifazat de mărimi poate fi substituit ca efect fizic cu un sistem virtual constituit dintr-o icircnfăşurare virtuală complexă echivalentă căreia i se asociază o mărime complexă Apare astfel posibilitatea de-a dezvolta un model de maşină electrică mult mai compact icircn care interacţiunile electrice şi magnetice dintr-un sistem de două armături trifazate să fie reduse la cele existente icircntre două icircnfăşurări monofazate complexe caracterizate de mărimi complexe Ca şi icircn cazul TMG icircn funcţie de etapele de conversie o maşină de inducţie trifazată poate fi echivalată fazorial fie cu o maşină primitivă fie cu o maşină generalizată Deşi noile tipuri de modele conţin numai două icircnfăşurări complexe caracterizate de mărimi complexe icircn cazul maşinii primitive icircnfăşurările echivalente complexe sunt solidare cu sistemele de referinţă bdquonaturalerdquo ale maşinii pe cacircnd icircn cazul maşinii generalizate cele două icircnfăşurări complexe sunt coliniare (deci fără mişcare relativă de rotaţie) şi poziţionate icircn diverse sisteme de referinţă Icircn fig2b se prezintă modelul fazorial al maşinii asincrone primitive Pentru determinarea ecuaţiilor fazoriale diferenţiale specifice acestui tip de model se are icircn vedere definiţia fazorului spaţial reprezentativ al unui sistem de trei mărimi de fază generice yA(t) yB(t) şi yC(t)

(18) )t(yj)t(y))t(ya)t(ya)t(y(32)t(y QDC

2BA sdot+=sdot+sdot+=

definiţie care implicit include transformate de faze dintr-un sistem trifazat icircntr-un sistem fazorial de icircnfăşurări complexe sau icircntr-unul ortogonal de icircnfăşurări Pentru a obţine modelul fazorial al maşinii primitive transformata de faze (18) va fi aplicată ecuaţiilor de tensiuni şi de fluxuri asociate modelului maşinii asincrone icircn coordonate de fază Icircn baza ecuaţiilor (8) (12) şi (13) ecuaţiile de echilibru tensiuni pentru circuitele de fază ale armăturii statorice au expresiile

(19) dt

)t(d)t(iR)t(u SASASSA

Ψ+=

(20) dt

)t(d)t(iR)t(u SBSBSSB

Ψ+=

(21) dt

)t(d)t(iR)t(u SCSCSSC

Ψ+=

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iS(t)

A

A

B B

C C

iR(t)

a


129

Dacă ecuaţia (20) este icircnmulţită cu versorul spaţial a ecuaţia (21) este icircnmulţită cu versorul spaţial a2 iar suma dintre ecuaţia (19) şi ecuaţiile astfel prelucrate este icircnmulţită cu

termenul 32 se obţine

(22) ))t(a)t(a)t((

32

dtd

))t(ia)t(ia)t(i(32R))t(ua)t(ua)t(u(

32

SC2

SBSA

SC2

SBSASSC2

SBSA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+

+sdot+sdot+=sdot+sdot+

sau conform definiţiei (18) ecuaţia fazorială a icircnfăşurării statorice de forma

(23) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

Ecuaţiile de echilibru tensiuni pentru icircnfăşurările armăturii rotorice pot fi scrise icircn baza relaţiilor (9) (12) şi (13) sub forma (24)

dt)t(d)t(iR)t(u RA

RARRAΨ

+=

(25) dt

)t(d)t(iR)t(u RBRBRRB

Ψ+=

(26) dt

)t(d)t(iR)t(u RCRCRRC

Ψ+=

Folosind acelaşi procedeu aplicat ecuaţiilor armăturii statorice se obţine

(27) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

RC2

RBRA

RC2

RBRARRC2

RBRA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+


sau mai compact

(28) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=

Pentru stabilirea ecuaţiilor de legătură dintre fazorii spaţiali ai curenţilor şi fluxurilor statorice şi rotorice se impun unele nuanţări Astfel analizacircnd ecuaţiile matriceale (10) (11) şi (14)-(17) se observă că fiecare expresie a fluxurilor din maşină conţine un termen care exprimă cuplajul (invariabil) dintre icircnfăşurările de pe aceeaşi armătură şi un termen care modelează cuplajul variabil dintre armăturile trifazate aflate icircn mişcare relativă De aceea pentru a realiza conversia icircn ecuaţii fazoriale se va aplica metodologia utilizată pentru ecuaţiile de echilibru tensiuni separat fiecărui set de ecuaţii Pentru armătura statorică cuplajul dintre icircnfăşurări este modelat cu ajutorul următoarelor ecuaţii (29) )t(i)L

23L()t(iL

21)t(iL

21)t(i)LL()t( SASmSSCSmSBSmSASmSSSA sdot+=sdotminussdotminussdot+=Ψ σσ

(30) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL

21)t( SBSmSSCSmSBSmSSASmSSB sdot+=sdotminussdot++sdotminus=Ψ σσ

(31) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL

21)t( SCSmSSCSmSSBSmSASmSSC sdot+=sdot++sdotminussdotminus=Ψ σσ

Observaţie Icircn deducerea expresiilor (29)-(31) s-a ţinut seama de faptul că icircn cazul unei armături statorice cu neutrul izolat curenţii de fază satisfac icircn orice moment relaţia (32) 0)t(i)t(i)t(i SCSBSA =++ Componenta fazorială a fluxului statoric determinată de fazorul spaţial reprezentativ al curentului statoric are expresia

(33) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( SC

2SBSASmSSSC

2SSBSSASS sdot+sdot+sdot+=Ψsdot+Ψsdot+Ψ=Ψ σ

Icircntr-o formă mult mai compactă ea se exprimă sub forma (34) )t(iL)t( SSSS =Ψ


130

Icircn mod similar cuplajul magnetic dintre icircnfăşurările armăturii rotorice se exprimă sub forma (35) )t(i)L

23L()t(iL

21)t(iL

21)t(i)LL()t( RASmRRCSmRBSmRASmRRRA sdot+=sdotminussdotminussdot+=Ψ σσ

(36) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL

21)t( RBSmRRCSmRBSmRRASmRRB sdot+=sdotminussdot++sdotminus=Ψ σσ

(37) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL

21)t( RCSmRRCSmRRBSmSRSmRRC sdot+=sdot++sdotminussdotminus=Ψ σσ

Icircn urma prelucrării adecvate a acestor ecuaţii se obţine dependenţa componentei fazoriale a fluxului rotoric de fazorul spaţial reprezentativ al curentului rotoric sub forma

(38) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( RC

2RBRASmRRRC

2RRBRRARR sdot+sdot+sdot+=Ψsdot+Ψsdot+Ψ=Ψ σ

sau (39) )t(iL)t( RRRR =Ψ Cuplajul dintre armăturile aflate icircn mişcare relativă este variabil dependent de poziţia momentană a armăturii rotorice θR Pentru a exprima icircntr-o formă unitară şi convenabilă acest cuplaj se recurge la exprimarea euleriană a funcţiilor cosinus care intervin icircn expresii sub forma

(40) 2

eecosRR jj

R

θminusθ +=θ

(41) 2

aeae2

eeee)cos(2jjjjjj

32

R

RR32

R32

R θminusθminusθminusθπ +

=+

=+θππ

(42) 2

aeae2

eeee)cos(RR3

2R3

2R j2jjjjj

32

R

θminusθθminusminusθπ +

=+

=minusθππ

Icircn acest fel fluxurile de cuplaj pentru fazele statorice pot fi exprimate folosind funcţii exponenţiale unele avacircnd expresii ale versorilor spaţiali astfel (43) ( )))t(ia)t(ia)t(i(e))t(ia)t(ia)t(i(e

2L)t( RCRB

2RA

jRC

2RBRA

jSmRSRA

RR sdot+sdot++sdot+sdot+=θΨ θminusθ

(44) ( )))t(ia)t(i)t(ia(e))t(ia)t(i)t(ia(e2

L)t( RC2

RBRAj

RCRBRA2jSm

RSRBRR sdot++sdot+sdot++sdot=θΨ θminusθ

(45) ( )))t(i)t(ia)t(ia(e))t(i)t(ia)t(ia(e2

L)t( RCRBRA2j

RCRB2

RAjSm

RSRCRR +sdot+sdot++sdot+sdot=θΨ θminusθ

Calculele similare necesare evidenţierii expresiilor fazorilor spaţiali reprezentativi conduc la următoarea ecuaţie fazorială specifică componentei fluxului statoric cauzată de efectul fazorului spaţial reprezentativ al curentului rotoric

(46)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jRM

jRC

2RBRASm

2RC

2RB

2RA

jSm

222RCRBRA

jSm

RSRC2

RSRBRSRARSR

e)t(iLe)t(ia)t(ia)t(i32L

23

)a1a()t(i)1aa()t(i)aa1()t(ie2

L32

)aaa()t(i)aaa()t(i)111()t(ie2

L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θθ

θminus

θ

=sdot+sdot+=

=++sdot+++sdot+++sdot+

+++sdot+++sdot+++sdot=

=θΨsdot+θΨsdot+θΨ=θΨ

Observaţie Pentru simplificarea expresiei (46) s-au folosit următoarele proprietăţi ale versorilor spaţiali (47) aa 21kaa 0aaa 12kk3210 minus+ ====++ De asemenea pornind de la ecuaţiile matriceale (11) şi (17) expresiile fluxurilor rotorice de cuplaj datorate curenţilor statorici de fază au forma


131

(48) ( )))t(ia)t(ia)t(i(e))t(ia)t(ia)t(i(e2

L)t( SC2

SBSAj

SCSB2

SAjSm

RRSARR sdot+sdot++sdot+sdot+=θΨ θminusθ


L)t( SCSBSA2j

SC2

SBSAjSm

RRSBRR sdot++sdot+sdot++sdot=θΨ θminusθ


L)t( SCSB2

SAj

SCSBSA2jSm

RRSCRR +sdot+sdot++sdot+sdot=θΨ θminusθ

Procedacircnd icircn mod similar cazului anterior de determinare a componentei de cuplaj dintre armătura statorică şi cea rotorică se obţine

(51)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jSM

jSC

2SBSASm

222SCSBSA

jSm

2SC

2SB

2SA

jSm

RRSC2

RRSBRRSARRS


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θminusθminus

θminus

θ

=sdot+sdot+=




Ecuaţiile fazoriale complete care descriu legăturile dintre fazorii spaţiali reprezentativi ai fluxurilor armăturilor şi fazorii spaţiali reprezentativi ai curenţilor sunt de forma (52) Rj

RMSSRSRSSS e)t(iL)t(iL)t()t()t( θ+=θΨ+Ψ=Ψ (53) )t(iLe)t(iL)t()t()t( RR

jSMRRRRSR

R +=Ψ+θΨ=Ψ θminus Icircn sectVI2 s-a arătat că prin utilizarea transformatei Clarke o maşină asincronă trifazată poate fi transformată icircntr-o maşină primitivă echivalentă (maşină bifazată) avacircnd cacircte două icircnfăşurări ortogonale dispuse pe cele două armături (fig3a) Modelul asociat acestei maşini este descris cu ajutorul următoarelor ecuaţii matriceale (54) ][

dtd]I][R[]U[ SDQSDQSSDQ Ψ+=

(55) ][dtd]I][R[]U[ RDQRDQRRDQ Ψ+=

(56) ]I)][(L[]I][L[][ RDQRSRSDQ

SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

unde

(58) ][][]iii[]I[]uuu[]U[

][]]iii[]I[]uuu[]U[T

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(59) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σS

S

SSS

L000L000L

]L[ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σR

R

RRR

L000L000L

]L[

(61) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ0000cosLsinL0sinLcosL

)](L[ RMRM

RMRM

RSR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ


)](L[ RMRM

RMRM

RRS

Icircn situaţia icircn care se doreşte conversia unui astfel de model ortogonal icircntr-o formă compactă de tip model fazorial similară modelului obţinut anterior plecacircnd de la ecuaţiile icircn coordonate de fază definiţia fazorului spaţial reprezentativ prezentată icircn relaţia (18) conţine de asemenea relaţiile de conversie Ele sunt exprimate de legătura dintre fazorul spaţial reprezentativ şi componentele sale ortogonale scrise icircntr-un sistem de referinţă precizat


132

Fig3 Modele ale maşinii asincrone bifazate

a Maşina asincronă icircn coordonate ortogonale b Maşina asincronă icircn coordonate fazoriale naturale Ecuaţiile de echilibru tensiuni pentru circuitele ortogonale ale armăturii statorice au expresiile

(62) dt

)t(d)t(iR)t(u SDSDSSD

Ψ+=

(63) dt

)t(d)t(iR)t(u SQ

SQSSQΨ

+=

Dacă ecuaţia (63) este icircnmulţită cu versorul spaţial 2jejπ

= şi apoi este adunată cu ecuaţia (62) se obţine

(64) dt

))t(j)t((d))t(ij)t(i(R)t(uj)t(u)t(u SQSD

SQSDSSQSDSΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(65) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

Icircn mod analog pentru armătura ortogonală rotorică se poate scrie (66)

dt)t(d)t(iR)t(u RD

RDRRDΨ

+=

(67) dt

)t(d)t(iR)t(u RQ

RQRRQΨ

+=

Procedacircnd icircn mod similar ca mai sus se obţine ecuaţia fazorială icircn coordonate carteziene de forma

(68) dt

))t(j)t((d))t(ij)t(i(R)t(uj)t(u)t(u RQRD

RQRDRRQRDRΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(69) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=

Datorită ortogonalităţii icircnfăşurările de pe aceeaşi armătură (statorică sau rotorică) sunt decuplate Icircn consecinţă pentru armătura ortogonală statorică se obţine (70) )t(iL)t( SDSSSD =Ψ (71) )t(iL)t( SQSSSQ =Ψ Atunci fazorul spaţial reprezentativ al fluxului statoric creat de icircnfăşurările ortogonale statorice are expresia (72) )t(iL))t(ij)t(i(L)t(j)t()t( SSSQSDSSSQSSDSS =sdot+=Ψsdot+Ψ=Ψ Pentru icircnfăşurările ortogonale rotorice se obţine (73) )t(iL)t( RDRRRD =Ψ (74) )t(iL)t( RQRRRQ =Ψ sau (75) )t(iL))t(ij)t(i(L)t(j)t()t( RRRQRDRRRQRRDRR =sdot+=Ψsdot+Ψ=Ψ

a

D Drsquo

β

α

Qrsquo Q

θR

α

β

drsquo d

qrsquo q

bull bull

ωR

iS0 iR0

iSD

iSQ

iRD

iRQ

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

b

iS0 iR0

iS(t) iR(t)


133

Pentru exprimarea cuplajului dintre armăturile ortogonale stator-rotor se mai are icircn vedere şi relaţia

(76) 2

eejj2eesin

RRRR jjjj

R

θminusθθminusθ minusminus=

minus=θ

Icircn acest fel icircn baza ecuaţiilor (56) şi (61) se mai poate scrie (77) ( ))t(i)ee(j)t(i)ee(

2L)t( RQ

jjRD

jjMRSRD

RRRR sdotminussdot+sdot+=θΨ θminusθθminusθ

(78) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( RQjj

RDjjM

RSRQRRRR sdot++sdotminussdotminus=θΨ θminusθθminusθ



(79) ( )( ) RRRRR

RRRR

jRMR

jjR

jjM

RQRDjj

RQRDjjM

RSRQRSRDRSR

e)t(iL)t(i)ee()t(i)ee(2

L

))t(ij)t(i()ee())t(ij)t(i()ee(2

L

)t(j)t()t(

θθminusθθminusθ

θminusθθminusθ

=sdotminus+sdot+=

=sdot+sdotminus+sdot+sdot+=

=θΨsdot+θΨ=θΨ

Componentele fluxului rotoric datorat cuplajul rotor-stator sunt (80) ( ))t(i)ee(j)t(i)ee(

2L)t( SQ

jjSD

jjMRRSD

RRRR sdotminussdotminussdot+=θΨ θminusθθminusθ

(81) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( SQjj

SDjjM

RRSQRRRR sdot++sdotminussdot=θΨ θminusθθminusθ

Prin prelucrări asemănătoare ca mai sus se obţine

(82) ( )( ) RRRRR

RRRR

jSMS

jjS

jjM

SQSDjj

SQSDjjM

RRSQRRSDRRS


L


L

)t(j)t()t(

θminusθminusθθminusθ

θminusθθminusθ

=sdotminusminussdot+=

=sdot+sdotminusminussdot+sdot+=

=θΨsdot+θΨ=θΨ

Ca şi icircn cazul conversiei unui model de maşină de inducţie icircn coordonate de fază icircn final se obţin ecuaţii fazoriale de flux (52) şi (53) adică (52) Rj


jSMRRRRSR

R +=Ψ+θΨ=Ψ θminus

VIII2 Modelul fazorial de maşină generalizată al maşinii de inducţie trifazatebifazate reprezentat icircntr-un sistem de referinţă general Aşa cum s-a arătat icircn cazul TMG un model fazorial de maşină primitivă (fig4a) poate fi convertit icircntr-un model fazorial de maşină generalizată prezentat icircntr-un sistem de referinţă general (fig4b)

Fig4 Modele fazoriale ale maşinii de inducţie a icircn sisteme de referinţe naturale b icircntr-un sistem de referinţă general

bull E Ersquo

β

αθR

α

β

ersquo e bull

ωR

a

iS0 iR0

iS(t) iR(t) bull

θg

ωg

iS0 Dg

Qg

ωg igR frsquo

f

bullig

S iR0

α

ββ

ωR α

bull θR

b

Frsquo

F


134

După cum s-a văzut modelul fazorial al sistemului electromagnetic pentru o maşină primitivă este caracterizat de următoarele 4 ecuaţii fazoriale

(83) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

(84) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=

(85) RjRMSSS e)t(iL)t(iL)t( θ+=Ψ

(86) )t(iLe)t(iL)t( RRj

SMRR +=Ψ θminus

Prima şi a treia ecuaţie descriu fenomenele electrice şi magnetice icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar icircn vreme ce ecuaţiile a doua şi a patra descriu fenomenele electrice şi magnetice icircn raport cu un sistem de referinţă solidar cu rotorul Dacă se are icircn vedere faptul că o mărime fazorială generică ys(t) exprimată icircntr-un sistem de referinţă staţionar poate fi echivalată cu o nouă mărime statorică exprimată icircntr-un sistem de referinţă general cu ajutorul transformatei fazoriale de coordonate de forma (87) gjsg e)t(y)t(y θminus= atunci icircnmulţind ecuaţia fazorială de tensiuni statorice relaţia (83) cu operatorul de rotaţie

gje θminus se obţine

(88) ggg jSjSS

jS e

dt)t(d

e)t(iRe)t(u θminusθminusθminus Ψ+=

Pe de altă parte ţinacircnd seama de identitatea de derivare a două funcţii (89) ( )

dt)t(dy)t(x

dt)t(y)t(xd)t(y

dt)t(dx

minus=

atunci ultimul termen se poate exprima şi sub forma

(90) ( ))t(j

dt)t(d

edt

d)t(j

dte)t(d

edt

)t(d gSg

gSjg

S

jSjS g

gg Ψω+

Ψ=

θΨsdot+

Ψ=

Ψ θminusθminus

θminus

Icircn final ecuaţia fazorială (88) devine

(91) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=

Pentru circuitul rotoric dacă ecuaţia fazorială de tensiuni relaţia (84) este icircnmulţită cu operatorul de rotaţie )(j Rge θminusθminus se obţine

(92) )(jR)(jRR

)(jR

RgRgRg edt

)t(de)t(iRe)t(u θminusθminusθminusθminusθminusθminus Ψ

+=

adică icircn urma prelucrărilor conform celor arătate anterior

(93) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=

Icircn acelaşi timp prin icircnmulţirea ecuaţiei fazoriale de flux statoric relaţia (85) cu operatorul de rotaţie gje θminus se obţine (94) )(j

RMj

SSjj

RMj

SSj

SRgggRgg e)t(iLe)t(iLee)t(iLe)t(iLe)t( θminusθminusθminusθminusθθminusθminus +=+=Ψ

sau ţinacircnd seama de sistemele diferite icircn care sunt referiţi fazorii spaţiali reprezentativi ai curenţilor statoric şi rotoric (95) )t(iL)t(iL)t( g

RMgSS

gS +=Ψ

Icircnmulţind ecuaţia fazorială rotorică de flux relaţia (86) cu termenul )(j Rge θminusθminus se obţine (96) )(j

RRj

SM)(j

RR)(jj

SM)(j

RRggRgRgRRg e)t(iLe)t(iLe)t(iLee)t(iLe)t( θminusθminusθminusθminusθminusθminusθminusθminusθminusθminus +=+=Ψ

sau din aceleaşi considerente ca icircn cazul precedent (97) )t(iL)t(iL)t( g

RRgSM

gR +=Ψ

Rezumacircnd ecuaţiile fazoriale diferenţiale ale maşinii de inducţie trifazate exprimate icircntr-un referenţial general rotitor cu viteza unghiulară ωg au expresiile


135

(98) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=

(99) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=

(100) )t(iL)t(iL))t(i)t(i(L)t(iL)t(iL)t(iL)t( gMM

gSS

gM

gSM

gSS

gRM

gSS

gS sdot+sdot=+sdot+sdot=+=Ψ σσ

(101) )t(iL)t(iL)t(iL)t(iL)t( gRR

gMM

gRR

gSM

gR sdot+sdot=+=Ψ σ

unde (102) )t(i)t(i)t(i g

RgS

gM +=

reprezintă fazorul spaţial reprezentativ al curentului de magnetizare Icircn ecuaţiile de tensiuni icircn partea dreaptă apar următorii termenii bull tensiunea datorată pierderilor rezistive bull tensiunea indusă de pulsaţie (de transformator) datorată variaţiei temporale a fluxurilor bull tensiunea indusă de rotaţie datorată rotaţiei sistemului de referinţă general bull tensiunea indusă de rotaţie datorată rotaţiei sistemului de referinţă rotoric Ecuaţiilor fazoriale de mai sus li se pot adăuga ecuaţiile scalare ale componentelor homopolare ale circuitului statoric şi respectiv rotoric (103)

dt)t(d)t(iR)t(u 0S

0SS0SΨ

+=

(104) dt

)t(d)t(iR)t(u 0R0RR0R

Ψ+=

(105) )t(iL)t( 0SS0S σ=Ψ (106) )t(iL)t( 0RR0R σ=Ψ Observaţie Componentele homopolare nu influenţează modelul fazorial nu numai electric şi magnetic dar nici mecanic neavacircnd aport la producerea cuplului de aceea ele nu intervin icircn buclele de reglare ale sistemelor cu orientare după cacircmp Ca şi icircn situaţia modelului de maşină generalizată (modelul Krause) dedus cu ajutorul teorie sistemelor de referinţă prin particularizarea poziţiei unghiulare θg=0 se obţin ecuaţiile fazoriale ale maşinii generalizate icircn sistemul de referinţă staţionar (modelul Stanley) pentru θg=θR se obţin ecuaţiile fazoriale ale maşinii generalizate icircn sistemul de referinţă solidar cu rotorul (modelul Brereton) icircn vreme ce pentru θg=θe se obţin ecuaţiile fazoriale ale maşinii generalizate icircn referenţial sincron cu fluxurile maşinii (modelul Kron) Pe baza ecuaţiilor fazoriale deduse pentru un sistem de referinţă general se poate dezvolta un circuit echivalent fazorial care să descrie intuitiv funcţionarea maşinii de inducţie trifazată icircntr-un regim tranzitoriu (fig5)

Fig5 Schema echivalentă fazorială a maşinii de inducţie pentru un regim tranzitoriu

bull bull

bullbull

bull

bull

bull

bull

bull

bull

)t(ugS

)t(igS

)t(ugR

)t(igR

)t(igM

)t(j gSgΨω

dt)t(d g

SΨ

dt)t(d g

RΨ

dt)t(d 0SΨ

dt)t(d 0RΨ)t(u 0S )t(u 0R

)t(i 0S )t(i 0R

SLσ RLσ

ML

SL RL

)t()(j gRRg Ψωminusω

SR

SR SLσ RLσ RR

RR


136

Icircn realitate cuplajul dintre stator şi rotor nu este o conexiune electrică ci se datorează cuplajului magnetic prin intermediul fluxului de magnetizare din icircntrefier (107) ))t(i)t(i(L)t(iL)t( g

RgSM

gMM

gM +sdot=sdot=Ψ

Rotorul s-a conectat electric de stator icircn mod fictiv datorită prelucrărilor matematice de raportare a mărimilor rotorice la frecvenţa şi numărul de faze respectiv la numărul de spire statorice Cuplajul magnetic modelat de ecuaţia (107) determină conexiunea electrică icircn schema echivalentă Cuplajul magnetic dintre stator şi rotor se manifestă şi prin intermediul celor două surse de tensiune de rotaţie la care intervin fluxurile maşinii De asemenea apare o legătură cu caracter electromecanic prin sursa de tensiune de rotaţie rotorică la care intervine viteza unghiulară a maşinii ωR Pe de altă parte icircn schema echivalentă se observă separarea modelului bifazat reprezentat cu fazori spaţiali de circuitele homopolare De asemenea pe baza ecuaţiilor fazoriale (98)-(101) se poate construi o diagramă fazorială capabilă să pună icircn evidenţă fenomenele tranzitorii electrice şi magnetice ale maşinii de inducţie trifazate Datorită variaţiei atacirct a modulului său cacirct şi a argumentului un fazor spaţial reprezentativ al unei mărimi statorice exprimat icircntr-un sistem de referinţă general sub forma (108) )(js

Sjjs

Sjs

SgS

sggsg e)t(yee)t(ye)t(y)t(y θminusθminusθminusθθminus ===

are următoarea expresie pentru derivata sa

(109) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gSsgs

S

gS

sS)(js

Ssg)(j

sS

gS sgsg sdotωminusωminus=

θminusθminus= θminusθminusθminusθminus

Din aceleaşi motive un fazor spaţial reprezentativ al unei mărimi rotorice exprimat icircntr-un sistem de referinţă general sub forma (110) )(js

Rjjs

Rjs

RgR

rggrg e)t(yee)t(ye)t(y)t(y θminusθminusθminusθθminus ===

are derivata de forma

(111) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gRrgs

R

gR

sR)(js

Rrg)(j

sR

gR rgrg sdotωminusωminus=


Observaţii 1 Vitezele unghiulare ωs şi ωr reprezintă vitezele de rotaţie ale fazorilor statoric şi rotoric icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar

2 Termenii )t(y

)t(ysS

gS şi

)t(y

)t(ysR

gR reprezintă direcţiile de orientare (versorii spaţiali) ale

fazorilor spaţiali reprezentativi statoric şi respectiv rotoric Icircn baza relaţiei (109) derivata fazorului reprezentativ al fluxului statoric are expresia

(112) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

SsgsS

gS

sSg

S ΨsdotωminusωminusΨ

ΨΨ=

Ψ

Dacă această expresie este icircnlocuită icircn ecuaţia fazorială de tensiuni (98) se obţine

(113)

)t(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gSss

S

gS

sSg

SS

gSg

gSsgs

S

gS

sSg

SSgS

Ψω+Ψ

ΨΨ+=

=Ψω+ΨsdotωminusωminusΨ

ΨΨ+=


137

Analizacircnd expresia finală obţinută se observă că ecuaţia fazorială de tensiuni statorice este independentă de viteza de rotaţie a sistemului de referinţă general ultimii doi termeni reprezentacircnd icircn fapt derivata fazorului spaţial reprezentativ al fluxului statoric icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar

(114) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

SssS

sS

sSs

S Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ

De asemenea icircn baza relaţiei (111) derivata fazorului reprezentativ al fluxului rotoric are expresia

(115) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

RrgsR

gR

sRg

R ΨsdotωminusωminusΨ

ΨΨ=

Ψ

care prin icircnlocuirea icircn ecuaţia fazorială a tensiunilor rotorice (99) conduce la relaţia

(116)

)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t()(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gRRrs

R

gR

sRg

RR

gRRg

gRrgs

R

gR

sRg

RRgR

Ψsdotωminusω+Ψ

ΨΨ+=

=Ψωminusω+ΨsdotωminusωminusΨ

ΨΨ+=

Şi icircn această situaţie se observă că ecuaţia fazorială este independentă de viteza de rotaţie a sistemului de referinţă general Similar ecuaţiei (113) icircn partea dreaptă a ecuaţiei (116) apare derivata fazorului spaţial reprezentativ al fluxului rotoric icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar

(117) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

RrsR

sR

sRs

R Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ

Icircn plus icircnsă apare şi tensiunea de rotaţie a rotorului de forma )t(j gRR Ψsdotω

Observaţie Prin substituirea derivatelor fazorilor spaţiali reprezentativi ai fluxurilor maşinii icircn ecuaţiile fazoriale de tensiuni s-au obţinut ecuaţiile fazoriale de tensiuni icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar (modelul Stanley) Pentru simplificarea notaţiei se convine să se renunţe la utilizarea indicelui s Icircn acest caz modelul electromagnetic fazorial al maşinii de inducţie poate fi scris sub forma

(118) )t(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u SsS

SSSSS Ψω+

ΨΨΨ

+=

(119) )t()(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u RRrR

RRRRR Ψsdotωminusω+

ΨΨΨ

+=

Pentru construirea diagramei fazoriale care să pună icircn evidenţă fenomenele electrice şi magnetice care au loc icircn maşina asincronă analizată se va ţine seama de relaţiile fazoriale stabilite anterior Suplimentar avacircnd icircn vedere (107) fazorii spaţiali reprezentativi ai fluxurilor statoric şi rotoric pot fi exprimaţi şi cu ajutorul fazorului spaţial al fluxului de magnetizare şi al fazorilor spaţiali reprezentativi ai fluxurilor de scăpări (120) )t()t()t()t(iL)t( MSMSSS Ψ+Ψ=Ψ+sdot=Ψ σσ (121) )t()t()t(iL)t()t( RMRRMR σσ Ψ+Ψ=sdot+Ψ=Ψ Pentru un motor asincron cu rotorul icircn scurtcircuit (uR=0) diagrama fazorială este prezentată icircn fig6 Pornind de la fazorii spaţiali reprezentativi ai curenţilor statoric iS şi rotoric iR şi folosind relaţia (102) s-a construit diagrama fazorială de curenţi Utilizacircndu-se apoi ecuaţiile de legătură dintre fazorii spaţiali de curent şi fazorii spaţiali de flux relaţiile (100) (101) (107) (120) şi (121) s-a dedus diagrama fazorială a fluxurilor maşinii electrice


138

Fig6 Diagrama fazorială a maşinii asincrone pentru regim tranzitoriu

Icircn sfacircrşit pe baza ecuaţiilor de tensiuni relaţiile (118) şi (119) s-a stabili diagrama fazorială a tensiunilor maşinii Fazorii asociaţi derivatelor modulelor fazorilor spaţiali ai fluxurilor statoric şi rotoric (figuraţi cu roşu) apar numai icircn regim tranzitoriu Icircn regim permanent diagrama fazorială devine rigidă şi toate viteze unghiulare ale fazorilor devin egale cu viteza de sincronism (122) Rers ωneω=ω=ω Astfel se ajunge la diagrama fazorială icircn regim stabilizat care reprezintă un caz particular al regimului tranzitoriu

VIII3 Ecuaţia fazorială a cuplului electromagnetic Descrierea fazorială completă a sistemului electromagnetic al maşinii de inducţie presupune completarea ecuaţiilor fazoriale (98)-(101) cu ecuaţia fazorială a mecanismului de generare a cuplului electromagnetic După cum s-a văzut relaţiile anterioare de deducere a valorii cuplului electromagnetic instantaneu au fost stabilite cu ajutorul ecuaţiilor de bilanţ energetic cărora li s-a aplicat teorema forţelor generalizate Datorită faptului că modelele stabilite sunt echivalente energetic atunci puterea instantanee din icircnfăşurările maşinii poate fi evaluată folosind mărimile de fază convenabile Icircn acest sens icircn sectVI5 s-a evaluat puterea instantanee fie folosind mărimile de fază ale sistemului trifazat de icircnfăşurări fie folosind mărimile sistemului ortogonal de icircnfăşurări sub forma

(123) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=

Modelul matematic fazorial descris cu ajutorul unor mărimi complexe asigură şi el invarianţa icircn putere De aceea este posibil ca puterea instantanee să poată fi evaluată şi cu astfel de mărimi fazoriale Totuşi deoarece puterea instantanee reprezintă o mărime scalară reală iar mărimile fazoriale sunt mărimi complexe se impun unele nuanţări cu privire la utilizarea lor Astfel dacă se consideră două mărimi complexe de forma (124) ir ajaa sdot+= (125) ir bjbb sdot+= atunci produsul scalar dintre prima mărime şi mărimea conjugată a celei de-a doua are forma (126) )baba(j)baba()bjb()aja(ba irriiirririr

minussdot++=sdotminussdotsdot+=sdot Se icircntrevede astfel posibilitatea de-a exprima printr-o expresie compactă suma produselor părţilor reale şi a părţilor imaginare cu ajutorul mărimilor complexe sub forma (127) )baRe(baba

iirr sdot=+ Ţinacircnd seama de relaţia (127) atunci puterea instantanee din icircnfăşurările maşinii poate fi exprimată şi cu ajutorul fazorilor spaţiali reprezentativi ai mărimilor externe care sunt specifici fazelor complexe virtuale ale statorului şi rotorului maşinii astfel

axa de referinţă αRe

iS

LMiS

LSiS

iR

LMiR

LRiR

iM

LMiM

ΨS

ΨR ΨM

ΨσR

ΨσS

θr θm

θs

jωsΨS )t()t(

dt)t(d

S

SS

ΨΨΨ

dt)t(d SΨ RSiS

uS

RRiR

jωrΨR )t()t(

dt)t(d

R

RR

Ψ

ΨΨ

-jωRΨR

ωr

ωs

ωm


139

(128) 0R0R0S0S

gR

gR

gS

gS0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiu)iuiuRe(iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++=+++++=

=+++++=

Utilizacircnd icircn continuare regulile şi convenţiile de lucru cu mărimi complexe şi aplicacircnd metodologia de evidenţiere a tipurilor de energii icircn care este convertită energia electrică instantanee furnizată de surse prin circuitele statoric şi rotoric se poate ajunge la o nouă expresie a cuplului electromagnetic exprimată cu ajutorul a diverse mărimi fazoriale Dacă icircn ecuaţia (128) fazorii spaţiali reprezentativi de tensiuni sunt substituiţi cu expresiile lor date de ecuaţiile (98) (99) (103) şi (104) şi apoi icircntreaga expresie este icircnmulţită cu termenul dt se obţine următoarea relaţie pentru energia electrică instantanee

(129)

dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(

dt)t(i))t()(jdt

)t(d)t(iR(Re

dt)t(i))t(jdt

)t(d)t(iR(RedW

0R0R

0RR0S0S

0SS

gR

gRRg

gRg

RR

gS

gSg

gSg

SS

Ψ++

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨωminusω+

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨω+

Ψ+=

Icircnainte de a grupa icircntr-un mod convenabil termenii din ecuaţia (129) icircn ideea de-a evidenţia tipurile de energie să observăm că produsul dintre o mărime complexă şi valoarea sa conjugată este o mărime reală care poate fi exprimată astfel

(130) 22

2i

2r

2i

2ririr

aaaaa)aja()aja(aa =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+=sdotminussdotsdot+=sdot

Icircn acest fel expresia energiei electrice instantanee devine

(131) ( )( )dt)t(i)t()(jdt)t(i)t(jRe

)t(i)t(d)t(i)t(d)t(i)t(d)t(i)t(dRe

dt))t(i)t(i(Rdt))t(i)t(i(RdW

gR

gRRg

gS

gSg

0R0R0S0Sg

RgR

gS

gS

20R

2gRR

20S

2gSS

sdotΨωminusω+sdotΨω+

+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++=

S-au evidenţiat icircn acest fel termenii care modelează pierderile de energie prin efect Joule icircn circuitele statoric rotoric şi homopolar (prima linie) termenii care modelează variaţia de energie magnetică icircnmagazinată icircn icircnfăşurările maşinii (a doua linie) precum şi cei care modelează energia magnetică transferată cacircmpului de interacţiune (linia a treia) Energia magnetică instantanee convertită icircn energie mecanică are deci expresia

(132) ( )( )( ))t(i)t()dd()t(i)t(dIm

dt)t(i)t()(dt)t(i)t(Im

dt)t(i)t()(jdt)t(i)t(jRedW

gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSgm

sdotΨθminusθ+sdotΨθminus=

=sdotΨωminusω+sdotΨωminus=

=sdotΨωminusω+sdotΨω=

Utilizacircnd teorema forţelor generalizate se poate obţine o expresie fazorială compactă pentru cuplul electromagnetic instantaneu dezvoltat de maşina de inducţie modelată fazorial de forma (133) ( ) ( ))t(i)t(Im)t(i)t()dd()t(i)t(dIm

dd

ddW)t(m g

RgR

gR

gRRg

gS

gSg

RR

me sdotΨ=sdotΨθminusθ+sdotΨθ

θminus=

θ=

Icircn situaţia unei maşini electrice de inducţie cu un număr p de perechi de poli expresia (133) devine (134) ( ))t(i)t(Imp)t(m g

RgRe sdotΨ=

Observaţii 1 Deoarece expresia cuplului electromagnetic (o mărime scalară reală) este independentă de poziţia sau viteza instantanee a sistemului de referinţă general atunci valoarea obţinută este aceeaşi indiferent de sistemul de referinţă icircn care se evaluează Cu alte cuvinte cuplul electromagnetic instantaneu este o mărime invariantă icircn raport cu sistemul de referinţă utilizat 2 Analizacircnd expresiile (133) sau (134) se observă că valoarea cuplului electromagnetic


140

se poate exprima cu ajutorul unui produs scalar de două mărimi complexe Dacă icircnsă se are icircn vedere identitatea (135) bxababa))baba(j)babaIm(()baIm( irriirriiirr

minus=minus=minussdot++=sdot atunci expresia generală a cuplului electromagnetic relaţia (134) poate fi scrisă şi cu ajutorul unui produs vectorial de două mărimi complexe sub forma (136) ( ) ( ))t(i)t()t(i)t(p)t(ix)t(p)t(i)t(Imp)t(m g

RDgRQ

gRQ

gRD

gR

gR

gR

gRe ΨminusΨminus=Ψminus=sdotΨ=

Deşi corectă expresia fazorială a cuplului electromagnetic este mai puţin adecvată scopului de control vectorial Valorificarea ei icircn sistemul de control presupune măsurarea curenţilor rotorici ceea ce icircn cazul maşinilor de inducţie cu rotor icircn scurtcircuit este imposibilă Din fericire ecuaţia fazorială (136) poate fi exprimată sub multe alte forme icircn care mărimile complexe utilizate prezintă un interes special De exemplu deoarece icircn majoritatea sistemelor de control vectorial al maşinii de inducţie se măsoară curenţii statorici atunci este de dorit ca expresia cuplului electromagnetic să fie exprimată ca un produs vectorial dintre fazorul spaţial reprezentativ al fluxului rotoric şi cel al curentului statoric Icircn acest caz dacă se utilizează relaţia (101) curentul rotoric poate fi scris sub forma (137) ))t(iL)t((

L1)t(i g

SMgR

R

gR minusΨ=

Icircnlocuind expresia (137) icircn relaţia (136) şi ţinacircnd seama de proprietăţile produsului vectorial se obţine expresia dorită adică

(138) )t(ix)t(

LLp))t(ix)t(

LL)t(x)t(

L1(p

))t(iL)t((L1x)t(p)t(ix)t(p)t(m

gS

gR

R

MgS

gR

R

MgR

gR

R

gSM

gR

R

gR

gR

gRe

Ψ=ΨminusΨΨminus=

=minusΨΨminus=Ψminus=

O astfel de expresie este utilă atunci cacircnd sistemul de referinţă se sincronizează şi se sinfazează (se aliniază) cu fazorul fluxului rotoric (orientare după fluxul rotoric) Dacă icircnsă se intenţionează să se proiecteze un sistem de control vectorial cu orientare după fazorul fluxului statoric atunci se impune ca expresia cuplului electromagnetic instantaneu să fie dependentă de fazorul spaţial reprezentativ al fluxului statoric şi cel al curentului statoric Pentru aceasta trebuie ca fluxul rotoric din expresia (138) să fie icircnlocuit cu o expresie echivalentă dependentă icircnsă numai de fluxul statoric şi curentul statoric Această nouă expresie poate fi obţinută pe baza ecuaţiilor de flux (100)-(101) prin eliminarea curentului rotoric (100) )t(iL)t(iL)t( g

RMgSS

gS +=Ψ

(101) )t(iL)t(iL)t( gRR

gSM

gR +=Ψ

Astfel icircn vederea eliminării curentului rotoric prima ecuaţie este icircnmulţită cu LR a doua ecuaţie este icircnmulţită cu LM iar prin scăderea lor se obţine

(139) )t(iLL)LL

L1)(t(iLL)LLL)(t(i)t(L)t(L gSRS

RS

2Mg

SRS2MRS

gS

gRM

gSR σ=minus=minus=ΨminusΨ

sau (140) ))t(iL)t((

LL)t( g

SSgS

M

RgR σminusΨ=Ψ

Prin icircnlocuirea relaţiei (140) icircn relaţia (138) se obţine noua expresie fazorială a cuplului electromagnetic de forma

(141) )t(ix)t(p))t(ix)t(iL)t(ix)t((p

)t(ix))t(iL)t((LL

LLp)t(ix)t(

LLp)t(m

gS

gS

gS

gSS

gS

gS

gS

gSS

gS

M

R

R

MgS

gR

R

Me

Ψ=σminusΨ=

=σminusΨ=Ψ=

Icircn mod similar se poate obţine o expresie a cuplului electromagnetic dependentă de fazorul fluxului de magnetizare (din icircntrefier) ΨM(t) şi fazorul curentului statoric iS(t) Astfel dacă icircn expresia (141) fluxul statoric este icircnlocuit cu relaţia (120) se ajunge la o nouă relaţie de forma (142) )t(ix)t(p)t(ix))t()t(iL(p)t(ix)t(p)t(m g

SgM

gS

gM

gSS

gS

gSe Ψ=Ψ+=Ψ= σ


141

IX Controlul vectorial al maşinii de inducţie IX1 Consideraţii privind structurile de reglare ale sistemelor de acţionare electrică Icircntr-o descriere sintetică o acţionare electrică poate fi considerată ca fiind compusă dintr-un echipament electronic conectat cu un motor electric care transferă cu randament superior energia sursei de alimentare către elementele icircn mişcare ale utilajului Motorul electric la racircndul său indiferent de tip (motor de curent continuu motor de curent alternativ asincron sau sincron motor pas cu pas) poate fi descompus virtual icircntr-o parte electromagnetică şi o parte mecanică Descrierea matematică a subsistemului electromagnetic presupune modelarea curenţilor a cacircmpului magnetic şi a cuplului motor Structura acestuia este dependentă de tipul motorului Subsistemul mecanic al motorului electric este independent de tipul motorului şi conţine masele icircn mişcare Icircn fig1 se prezintă descompunerea schematică virtuală a unui sistem de acţionare electrică

Fig1 Descompunerea virtuală a unui sistem de acţionare electrică Echipamentul electronic poate fi subdivizat la racircndul său icircn elemente funcţionale ca circuite de interfaţă circuite de control şi convertor static de putere Conectarea acestor elemente care icircmpreună formează o acţionare electrică determină interacţiuni directe Interacţiunile indirecte datorate structurii fizice a fiecărei componente acţionează ca reacţii negative Cel mai relevant caz este cel al cuplului rezistent (sarcina externă) Alte interacţiuni indirecte sunt datorate elasticităţii cuplajelor impedanţei interne a ansamblului convertor static-motor şi a fenomenelor de comutaţie din dispozitivele semiconductoare ale convertorului Icircn consecinţă analiza şi proiectarea acţionărilor electrice trebuie realizate consideracircnd acţionarea electrică ca un sistem şi nu ca o grupare de elemente singulare Evoluţia unei sarcini mecanice icircn rotaţie este descrisă de ecuaţia (1) )t(m)t(D)t(m)t(m

dt)t(dJ accelRmre

Rm =ωminusminus=ω

avacircnd soluţia

(2) int ττ+ω=ωt

0accel0RmRm d)(m

J1)t(

icircn care J este momentul de inerţie D reprezintă coeficientul de frecări vacircscoase ωRm(t) este viteza de rotaţie me(t) cuplul electromagnetic dezvoltat de maşină iar mr(t) este cuplul rezistent Ecuaţia (2) evidenţiază faptul că un control de viteză implică un control de cuplu de accelerare (maccel) şi deci trebuie identificate mărimile care acţionează asupra lui Această situaţie se extinde şi la controlul de poziţie unghiulară deoarece

(3) int ττω+θ=θt

0Rm0RmRm d)()t(

implicacircnd necesitatea controlării vitezei deci a cuplului de accelerare Din analiza relaţiilor (2)-(3) se constată că mărimea controlată (poziţia şisau viteza) nu este afectată de cuplul de sarcină dacă acesta este echilibrat icircn orice moment de cuplul motor (principiul de control prin cuplul de accelerare) La unele motoare fluxul de magnetizare este asigurat cu ajutorul magneţilor permanenţi pe cacircnd la altele este obţinut prin intermediul

Echipament electronic Motor electric Componente

icircn mişcare

Sursă

Parte electromagnetică Parte mecanică


142

excitaţiei electromagnetice Convertoarele statice de putere fac posibilă alimentarea motorului de acţionare astfel icircncacirct să se dezvolte cuplul motor dorit (4) ))t(u(f)t(me = Dependenţa liniară dintre mărimea de acţionare (tensiunea la borne) şi cuplul motor poate fi obţinută prin adoptarea diferitelor strategii de control al amplitudinii acesteia Icircn cazul icircn care se dispune de un model matematic al sistemului de acţionare prin care se stabilesc relaţiile cauzale de conversie a energiei sinteza sistemului de control se simplifică icircn mod considerabil Icircn principiu metoda de proiectare se bazează pe utilizarea modelului matematic invers al procesului icircn scopul stabilirii mărimilor necesare de comandă Folosindu-se relaţiile (2)-(4) şi neglijacircndu-se frecările vacircscoase (D=0) se poate icircntocmi următorul graf informaţional cauzal (fig2)

Fig2 Graful informaţional cauzal al unui sistem de acţionare electrică Acest graf evidenţiază faptul că poziţia instantanee la un moment dat depinde de viteză care la racircndul ei depinde de cuplul de accelerare controlabil prin tensiunea de alimentare a motorului electric Folosindu-se acest graf informaţional cauzal se pot stabili condiţiile pentru controlul vitezei la o valoare impusă indiferent de valoarea cuplului rezistent mr(t) fig3

Fig3 Graful informaţional al unui sistem de control viteză Prin intermediul relaţiei R5 cuplul de accelerare obţinut ca eroarea dintre cuplul motor me(t) şi cel rezistent mr(t) este comparat cu cel de referinţă m

accel(t) icircn scopul menţinerii acceleraţiei la un nivel dorit inclusiv zero Cuplul de accelerare de referinţă la racircndul său este determinat de eroarea dintre viteza de referinţă şi viteza măsurată Sistemul de control trebuie să asigure următoarele legi (relaţii) de comandă

(5) ( )( ))t()t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

)t(m)t(m)t(m 4R

Rm

Rmaccel

accelaccel

reaccel

ωminusω=

minus=

minus=

Dacă se poate măsura cuplul rezistent mr(t) atunci proiectantul trebuie să stabilească relaţiile R5 şi R6 astfel icircncacirct eroarea de viteză să fie cacirct mai mică posibil Totuşi din motive tehnologice şisau economice accesul la cuplul de sarcină poate fi dificil sau chiar imposibil Icircn această situaţie se poate recurge la un estimator care folosind mărimile uşor accesibile (viteză curenţi) şi modelul motorului furnizează o estimaţie a cuplului de sarcină )t(mr care este apoi comparată cu estimaţia cuplului motor Pe baza acestui graf informaţional se poate proiecta următorul sistem de reglare (fig4)

)t(Rmω)t(me )t(Rmθ

)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

)t(Rmω )t(me)t(Rmθ

)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R

)t(maccel

4R)t(maccel

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control


143

Fig4 Structura principială a unui sistem automat de control viteză

Dacă nu se dispune de valoarea măsurată sau estimată a cuplului de sarcină atunci deoarece R4 nu este evaluabilă nu se poate utiliza nici relaţia cauzală R5 Icircn acest caz se stabilesc următoarele legi de reglare

(6) ( )( )Rm

Rm

e

ee

)t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

ωminusω=

minus=

Noua strategie de reglare creează o dependenţă a cuplului electromagnetic (şi nu a celui de accelerare ca icircn structura anterioară) de acceleraţia dorită iar reacţia este esenţial influenţată de viteză (şi nu de cuplul de sarcină) Cu toate acestea este posibil să se obţină performanţe foarte bune chiar fără să se cunoască valoarea cuplului de sarcină Icircn cazul icircn care valoarea cuplului de sarcină este disponibilă reglarea se poate realiza prin elaborarea unor comenzi icircn funcţie de această perturbaţie Asemenea sisteme de reglare sunt cunoscute sub denumirea de sisteme de reglare cu compensare directă (feedforward) Dacă se urmăreşte atacirct compensarea directă a acţiunii perturbaţiei cacirct şi realizarea funcţiei de reglare icircn raport cu referinţa se poate alcătui o structură de reglare combinată Icircn fig5 se prezintă o structură generală de control al unui sistem de acţionare electrică

Fig5 Structura generală de control al unui sistem de acţionare electrică Icircn structura prezentată se pot identifica două obiective de control bull controlul magnetic al maşinii bull controlul mecanic al maşinii

Pentru controlul magnetic al maşinii este implementată o buclă de flux care controlează amplitudinea fluxului de magnetizare al acesteia Controlul amplitudinii fluxului este esenţial pentru evitarea saturaţiei şi pentru minimizarea pierderilor icircn fier icircn condiţii variate de funcţionare Totodată controlul riguros al fluxului determină un răspuns dinamic foarte bun al cuplului electromagnetic al motorului electric Printr-un control corespunzător al fluxului de excitaţie se poate funcţiona fie icircn regiunea de cuplu constant (fluxul avacircnd valoare nominală) fie icircn regiunea de putere constantă (fluxul avacircnd o variaţie invers proporţională cu valoarea vitezei de rotaţie a rotorului) Valoarea de referinţă a fluxului de magnetizare dependentă de viteza curentă de funcţionare este asigurată prin intermediul unui generator de semnal


)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R)t(m

accel

)t(mr

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control

)t(i

Estimatormr

Estimatorme

)t(me

Senzori traductoare estimatoare

Sistem de control automat

- - -

-

ui

ωRmθRm

iu

θRm

θRm

ωRm

ωRm

me

me

Ψ

Ψ

Regulator poziţie

Regulator viteză

Regulator cuplu

Regulator flux

Generator referinţă flux


144

Icircn privinţa controlului mecanic s-a văzut că dacă icircntr-o aplicaţie se doreşte un control de viteză şisau poziţie atunci mărimea mecanică primordială care trebuie controlată este cuplul electromagnetic Cu alte cuvinte se poate spune că rolul principal al ansamblului convertor static ndash motor electric icircntr-un sistem de acţionare electrică este cel de sursă reglabilă de cuplu Icircn cazul general structura de control mecanic al maşinii reprezintă o structură tipică icircn cascadă de tip master-slave care implică o buclă de reglare de cuplu una de viteză şi una de poziţie Icircn privinţa vitezei de răspuns regulatorul de cuplu este cel mai rapid (banda de trecere de 1000 rads) regulatorul de viteză este mai lent (banda de trecere de 100 rads) iar regulatorul de poziţie are răspunsul cel mai lent (10 rads) Deoarece cuplul este rareori măsurat pentru implementarea structurii de control se utilizează estimatoare bazate pe modelul maşinii Atunci cacircnd prin control se asigură o liniaritate icircntre cuplul electromagnetic şi curentul prin indusul maşinii bucla de control al cuplului electromagnetic se transformă icircntr-o buclă de control al curentului Există numeroase aplicaţii care impun un control precis numai al cuplului electromagnetic O aplicaţie sugestivă o reprezintă acţionarea electrică a unui vehicul Astfel pentru a emula caracteristicile de funcţionarea ale unui vehicul clasic (propulsat de un motor termic) pedala de acceleraţie acţionată de şofer prescrie o referinţă de cuplu Majoritatea aplicaţiilor impun un control precis al vitezei unghiulare (spindle drives) Icircn această situaţie regulatorul de cuplu este subordonat unui regulator de viteză care pe lacircngă semnalul de referinţă elaborat asigură şi o protecţie activă a sistemului de acţionare (limitarea mărimilor electrice sub pragurile periculoase) Regulatorul de viteză poate fi unul liniar (de tip PI) sau un regulator inteligent (fuzzy neurofuzzy) Cele mai complexe sisteme de control sunt sistemele de poziţionare (servo drives) Icircn astfel de aplicaţii (elevatoare lifturi linii de fabricaţie roboţi industriali antene radar etc) motorul electric trebuie să pornească să se rotească după un anumit profil optim de viteză şi să se oprească precis astfel icircncacirct să execute un anumit unghi de rotaţie precizat Pentru a asigura acest lucru un sistem de control viteză se completează cu o buclă principală exterioară de poziţie Regulatorul de poziţie poate fi de asemenea unul liniar (de regulă de tip P sau PI) fuzzy neurofuzzy sau un regulator cu structură variabilă de tip sliding-mode IX2 Principiul controlului vectorial Aplicaţiile de mare performanţă impun sistemului de acţionare electrică de-a asigura o variaţie instantanee a cuplului electromagnetic adică o variaţie icircn treaptă la o prescrisă de tip treaptă a buclei exterioare Sistemele de control scalar al maşinilor de curent alternativ asigură un control al valorilor efective ale mărimilor producătoare de cuplu utilizacircnd modele aproximative ale maşinii controlate Avantajul acestor sisteme de control constă icircn simplitatea implementării icircnsă performanţele dinamice obţinute sunt modeste Sistemele de control vectorial utilizează modele ale maşinilor controlate mult mai elaborate şi asigură un control al valorilor instantanee (modul şi argument) ale mărimilor producătoare de cuplu Icircn acest caz complexitatea sistemului de control este mult mai mare icircnsă avacircnd icircn vedere performanţele sistemelor numerice contemporane de prelucrare a semnalelor acest fapt nu constituie un impediment icircn implementarea unei astfel de structuri care asigură performanţe dinamice de comportare chiar mai bune decacirct cele ale unui sistem de acţionare electrică cu motor de curent continuu Obiectivul controlului vectorial este de-a emula prin intermediul sistemului de control pe o maşină de curent alternativ funcţionarea unei maşini de curent continuu cu excitaţie separată După cum se cunoaşte mecanismul de producere a cuplului electromagnetic la o maşină de curent continuu cu excitaţie separată este de forma (7) )t(i)t(k)t(m aee sdotψsdot= unde Ψe(t) reprezintă fluxul de excitaţie (de magnetizare a maşinii) iar ia(t) este curentul prin circuitul indusului (icircnfăşurarea rotorică) Circuitele electrice şi magnetice ale maşinii de


145

curent continuu sunt complet decuplate permiţacircnd un control independent asupra fluxului de excitaţie şi al cuplului electromagnetic Icircn acest fel printr-un control corespunzător al fluxului de excitaţie se poate funcţiona fie icircn regiunea de cuplu constant (fluxul avacircnd valoare nominală) fie icircn regiunea de putere constantă (fluxul avacircnd o variaţie invers proporţională cu valoarea vitezei de rotaţie a rotorului) Pe de altă parte icircn regiunea de cuplu constant (fluxul de excitaţie de valoare constantă) cuplul este direct proporţional cu valoarea controlată a curentului rotoric Datorită faptului că maşina de curent continuu are constructiv circuitele electrice separate mărimile producătoare de cuplu (fluxul de excitaţie şi curentul rotoric) sunt controlate independent cu ajutorul a două surse externe separate Curentul din circuitul rotoric este controlat cu ajutorul unui regulator de curent necesar pentru a compensa efectul căderilor rezistive şi inductive din circuitul rotoric şi cel al tensiunii electromotoare indusă de icircnfăşurarea statorică (de excitaţie) După cum s-a văzut icircn cazul unei maşini de curent alternativ cuplul electromagnetic poate fi exprimat cu ajutorul unui produs vectorial al fazorilor reprezentativi ai unui flux şi curentul statoric (8) )t(ix)t(p)t(ix)t(p)t(ix)t(

LLp)t(m g

SgM

gS

gS

gS

gR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=

Icircn consecinţă valoarea cuplului electromagnetic este dependentă atacirct de modulul acestor mărimi cacirct şi de sinusul unghiului dintre fazori Cuplul maxim pe unitate de curent se obţine atunci cacircnd unghiul dintre aceşti fazori este de 90ordm electrice adică fazorii sunt ortogonali Controlul instantaneu al cuplului electromagnetic impune deci următoare trei cerinţe esenţiale 1 Controlul independent al fluxului la valoare constantă (regiunea de cuplu constant) sau variabilă (regiunea de putere constantă) 2 Controlul independent al curentului activ (generator de cuplu) 3 Asigurarea ortogonalităţii spaţiale icircntre solenaţia creată de curent şi fluxul de excitaţie Termenul de control cu orientare după cacircmp este utilizat ca un caz special de control vectorial icircn care unghiul dintre fluxul de excitaţie şi curentul activ este de 90deg electrice Control vectorial este mai general şi este utilizat şi pentru situaţiile cacircnd mărimile controlate nu sunt icircn mod necesar ortogonale Icircn cazul maşinii de curent continuu simplitatea mecanismului de producere a cuplului electromagnetic şi implicit a sistemului de control este asigurată constructiv cu ajutorul ansamblului perii-colector care echivalează icircnfăşurările rotorice ale maşinii de curent continuu cu o icircnfăşurare virtuală staţionară ortogonală cu icircnfăşurarea de excitaţie (fig6)

Fig6 Modelul ortogonal echivalent al maşinii de curent continuu cu excitaţie separată

Datorită acestei ortogonalităţi constructive cuplul electromagnetic este produs icircntotdeauna icircn condiţii optime (cuplu maximamper) Icircn acelaşi timp este posibil un control independent (decuplat) atacirct al mărimii magnetice (fluxul de excitaţie) cacirct şi al mărimii mecanice (cuplul electromagnetic determinat de curentul rotoric)

D Drsquo

jmiddotQ

QrsquoQ

Ψe(t)bullωr

ia(t)bull


146

Icircn cazul maşinilor de curent alternativ cele trei cerinţe enumerate mai sus nu sunt asigurate constructiv Mai mult pentru maşinile de inducţie cu rotor icircn scurtcircuit nici nu există posibilitatea de alimentare separată a circuitului inductor şi a celui indus ci alimentarea se realizează cu ajutorul unei singure surse (convertor static de putere) De aceea pentru a obţine un mecanism de generare a cuplului electromagnetic similar expresiei (7) cerinţele de mai sus sunt asigurate printr-un control corespunzător Există o stracircnsă analogie icircntre modelele de descriere a mişcării planetelor sistemului solar (modelul geocentric şi cel heliocentric) şi modelele maşinilor de curent alternativ utilizate icircn proiectarea sistemelor de control vectorial Pentru oricine priveşte cerul pare clar că Pămacircntul stă pe loc şi că toate celelalte se rotesc icircn jurul acestuia o dată pe zi Observacircnd mişcările corpurilor cereşti o perioadă de timp mai icircndelungată acestea apar icircn toată complexitatea lor Mişcarea soarelui este mai lentă icircntr-o anume perioadă a anului planetele au mişcări similare dar uneori pare că ele se icircntorc din drum şi se mişcă icircn sens opus o vreme Pe măsură ce aceste mişcări au fost mai bine icircnţelese a fost nevoie de descrieri din ce icircn ce mai elaborate ale acestora dintre care cea mai cunoscută o reprezintă cea formulată icircn secolul al II-lea de către Ptolemeu icircn lucrarea Almagest şi care deşi astăzi este considerată incorectă calculează poziţiile corecte ale planetelor cu un grad moderat de precizie Ptolemeu icircnsuşi afirmă că orice model pentru descrierea mişcării planetelor este doar o unealtă matematică şi că de vreme ce nu există o modalitate de a şti care este modelul adevărat ar trebui folosit cel mai simplu model care calculează corect traiectoriile Heliocentrismul implică afirmaţii generale precum că Soarele se află icircn centrul universului sau că unele planete sau chiar toate se rotesc icircn jurul Soarelui cu argumente care susţin aceste afirmaţii Astfel icircn secolul al XVI-lea lucrarea De revolutionibus a lui Nicolaus Copernic a prezentat o discuţie completă privind modelul heliocentric al universului icircn acelaşi fel icircn care Almagest a lui Ptolemeu prezentase modelul geocentric icircn secolul al II-lea Copernic a elaborat icircn toate detaliile geometrice sistemul propus de el a dedus parametrii modelului său dintr-o serie de observaţii astronomice şi a alcătuit tabele astronomice care permiteau calculul poziţiilor trecute şi viitoare ale stelelor şi planetelor Această teorie a rezolvat problema mişcărilor retrograde ale planetelor argumentacircnd că o asemenea mişcare era doar una aparentă şi nu una reală este un efect de paralaxă ca şi un obiect observat de cineva icircn trecere pe lacircngă el şi care pare să se mişte icircnapoi pe fundalul orizontului Icircn acest fel traiectoriile complicate ale planetelor descrise de modelul lui Ptolemeu s-au simplificat icircn mod considerabil atunci cacircnd au fost descrise cu ajutorul modelului lui Copernic Astfel mişcările aparent dezorganizate ale planetelor văzute din sistemul de referinţă staţionar al Pămacircntului au devenit traiectorii eliptice icircn jurul Soarelui atunci cacircnd noul sistem de referinţă utilizat a fost cel solidar cu Soarele Cu alte cuvinte schimbarea sistemului de referinţe poate descrie icircntr-un mod dramatic mai simplu acelaşi fenomen fizic Teoria sistemelor de referinţă precum şi principiile controlului vectorial utilizează aceeaşi idee utilizarea unui sistem de referinţă adecvat unde ecuaţiile să fie suficient de simple astfel icircncacirct soluţiile obţinute prin control să fie uşor de implementat După cum s-a văzut modelarea sistemului electromagnetic al maşinii de inducţie icircn coordonate de fază a condus la un model matematic neliniar de 7 ecuaţii diferenţiale cu parametri variabili Fiecare armătură este modelată icircntr-un sistem de referinţă trifazat propriu (bdquonaturalrdquo) Prin utilizarea transformatei de faze (Clarke) s-a putut obţine modelul de maşină primitivă un model mai simplu unde datorită ortogonalităţii icircnfăşurările virtuale de pe aceeaşi armătură sunt decuplate magnetic Datorită mişcării relative a celor două sisteme de referinţă cuplajele magnetice variabile dintre icircnfăşurările ortogonale de pe armături diferite se menţin Dacă icircn schimb ambele armături ortogonale sunt modelate icircntr-un sistem de referinţă comun atunci cuplajul magnetic dintre icircnfăşurările coliniare devine constant şi deci sistemul de ecuaţii diferenţiale se transformă icircntr-un sistem simplu cu parametri constanţi


147

Utilizarea fazorilor spaţiali reprezentativi ca instrumente de modelare şi analiză a permis stabilirea unei corelaţii icircntre fenomenele electromagnetice care au loc icircn interiorul maşinii şi mărimile externe ale acesteia (curenţi tensiuni) aflate sub controlul convertorului static de putere Icircn acest mod s-au putut stabili diverse strategii de generare a mărimilor externe ale maşinii astfel icircncacirct conversia electromecanică bazată pe mărimile interne ale maşinii să aibă loc icircntr-o manieră optimă Teoria fazorului spaţial reprezentativ introduce noi concepte cu care teoria maşinii generalizate nu operează conceptele de sincronizare şi sinfazare a sistemului de referinţă cu un fazor spaţial reprezentativ special ales Chiar dacă şi teoria maşinii generalizate operează cu noţiuni de cacircmpuri şi fluxuri magnetice icircnvacircrtitoare acestea nu sunt clar modelate astfel icircncacirct să ofere soluţii de proiectare a sistemelor de control Icircn schimb prin utilizarea conceptului de fazor spaţial reprezentativ s-a arătat că dacă mărimile armonice modelate icircntr-un sistem de referinţă staţionar sub forma (9) ( )γ+ω= tj

SSee)t(y)t(y

sunt modelate icircntr-un sistem de referinţă rotitor sincronizat cu viteza de rotaţie a fazorilor mărimilor externe de comandă ωe unde (10) tee ω=θ se obţine (11) ej

SeS

e)t(y)t(y θminus= sau (12) ( ) γωminusγ+ω == j

Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee

adică mărimile devin mărimi continue (constante icircn regim permanent şi variabile icircn regim tranzitoriu) Deşi rezultatul final al analizei modelării şi controlului este independent de alegerea sistemului de referinţă icircn scopul controlului mărimilor externe ale maşinii pare foarte atractivă ideea utilizării sistemului de referinţă rotitor cu viteza unghiulară ωe deoarece conduce la calcule mai puţin laborioase faţă de cazul cacircnd sistemul de referinţă ar fi staţionar sau s-ar roti cu viteza unghiulară a rotorului ωR Icircn plus utilizarea acestui sistem de referinţă oferă posibilitatea extrapolării teoriei sistemelor continue icircn tehnicile de sinteză a structurilor de control structuri care operează cu mărimi continue icircn acest sistem de coordonate Icircn fig7 se prezintă diagrama fazorială a mărimilor maşinii de inducţie pentru un regim staţionar de funcţionare

Fig7 Diagrama fazorială a maşinii asincrone pentru regim staţionar Deosebirea faţă de diagrama fazorială prezentată icircn sectVIII2 constă icircn faptul că nu apar variaţii ale modulelor fazorilor reprezentativi ai mărimilor maşinii şi deci fazorii asociaţi derivatelor acestor mărimi sunt perpendiculari pe fazorii mărimilor respective Pe diagramă sunt figurate cele mai reprezentative sisteme de referinţă pentru modelarea analiza şi controlul maşinii electrice sistemul de referinţă staţionar αS-βS (solidar cu statorul sau cu cel al unui utilizator) sistemul de referinţă rotoric αR-βR sincron cu rotorul maşinii şi un sistem de referinţă De-Qe sincron cu cacircmpurile magnetice icircnvacircrtitoare ale maşinii

axa de referinţă αS

Re

iS

iR

iM

ΨS

ΨR

ΨM

θr θm

θs

jωsΨS

uS

RRiR

jωrΨR

-jωRΨR

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

ωR

θR=ωRt

De

Qe βR

αR

βS


148

Poziţiile instantanee ale sistemelor de referinţă rotitoare icircn raport cu sistemul de referinţă staţionar sunt precizate cu ajutorul unghiurilor electrice θR şi respectiv θe De asemenea poziţiile instantanee ale fazorilor fluxurilor maşinii electrice (maximul pozitiv al undelor magnetice progresive) sunt evidenţiate prin intermediul unghiurilor θr θm şi respectiv θs Observaţie Deoarece viteza de rotaţie a cacircmpurilor magnetice este diferită de cea a rotorului (maşina electrică fiind una asincronă) atunci icircntre sistemul de referinţă De-Qe şi cel solidar cu rotorul αR-βR există o viteză relativă de rotaţie numită viteză unghiulară de alunecare (slip) (13) Resl ωminusω=ω Pe de altă parte icircn regim permanent unghiurile de fază dintre sistemul de referinţă sincron De-Qe şi fazorii reprezentativi ai fluxului rotoric γr fluxului de magnetizare γm şi respectiv fluxului statoric γs rămacircn constante Deoarece icircn regim dinamic poziţia relativă a fazorilor reprezentativi ai fluxurilor maşinii poate varia rezultă că şi aceste unghiuri icircşi pot modifica valorile icircntr-o anumită plajă Dacă maşina electrică de inducţie este modelată icircn sistemul de referinţă sincron De-Qe atunci ecuaţiile fazoriale deduse pentru un sistem de referinţă general icircn sectVIII2 particularizate pentru ωg=ωe devin

(14) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u e

Se

eSe

SSeS Ψω+

Ψ+=

(15) )t(jdt

)t(d)t(iR)t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u eRsl

eRe

RReRRe

eRe

RReR Ψω+

Ψ+=Ψωminusω+

Ψ+=

(16) )t()t()t(iL)t(iL)t(iL)t(iL)t( eM

eS

eMM

eSS

eRM

eSS

eS Ψ+Ψ=sdot+sdot=+=Ψ σσ

(17) )t()t()t(iL)t(iL)t(iL)t(iL)t( eR

eM

eRR

eMM

eRR

eSM

eR σσ Ψ+Ψ=sdot+sdot=+=Ψ

(18) )t(ix)t(p)t(ix)t(p)t(ix)t(LLp)t(m e

SeM

eS

eS

eS

eR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=

Pentru descrierea completă a maşinii electrice se poate adăuga ecuaţia (1) de modelare a mişcării maselor aflate icircn rotaţie (19) )t(D)t(m)t(m

dt)t(dJ Rmre

Rm ωminusminus=ω

După cum s-a arătat toate mărimile acestui model sunt mărimi continue De exemplu dacă faţă de sistemul de referinţă staţionar fazorii reprezentativi ai fluxurilor maşinii erau descrise polar ca fiind mărimi armonice (cu argument variabil) icircn acest sistem de referinţă deşi mărimile sunt aceleaşi ele sunt descrise polar ca fiind mărimi continue (cu argument constant) (20) )t()t( e)t()t( e)t()t( e

RRje

ReR

jRR

rr ΨΨΨΨΨΨ γθ ===

(21) )t()t(e)t()t( e)t()t( eMM

jeM

eM

jMM

mm ΨΨΨΨΨΨ γθ ===

(22) )t()t( e)t()t( e)t()t( eSS

jeS

eS

jSS

ss ΨΨΨΨΨΨ γθ ===

Aşa cum s-a subliniat performanţele dinamice şi energetice ale unui sistem de acţionare depind fundamental de mecanismul de producere a cuplului electromagnetic Un răspuns instantaneu icircn cuplu va asigura implicit un răspuns foarte bun icircn viteză şi eventual poziţie De aceea pe baza cauzalităţii diagramei fazoriale din fig7 obiectivul major al controlului vectorial al maşinii de inducţie poate fi formulat icircn următoarea manieră Să se identifice sistemul trifazat de tensiuni de fază (reprezentat prin fazorul reprezentativ uS(t)) care să impună o amplitudine şi un defazaj adecvat al sistemului trifazat de curenţi statorici de fază (reprezentat prin fazorul reprezentativ iS(t)) icircn raport cu unul din fluxurile icircnvacircrtitoare ale maşinii electrice (ΨR(t) ΨM(t) sau ΨS(t)) astfel icircncacirct cuplul electromagnetic modelat cu una din relaţiile (18) să aibă un răspuns instantaneu şi de valoare optimală (cuplu maximamper) similar răspunsului icircn cuplu al unui motor de curent continuu


149

Dacă ecuaţiile fazoriale de cuplu relaţiile (18) se exprimă icircn coordonate carteziene şi se ţine seama de proprietăţile produsului vectorial se obţine (23) ))t(i)t()t(i)t((p))t(i)t()t(i)t((p))t(i)t()t(i)t((

LLp)t(m e

SDeMQ

eSQ

eMD

eSD

eSQ

eSQ

eSD

eSD

eRQ

eSQ

eRD

R

Me ΨminusΨ=ΨminusΨ=ΨminusΨ=

Se constată că noile expresii ale cuplului electromagnetic sunt formulate cu ajutorul unor diferenţe dintre două produse de termeni (fig8)

Fig8 Proiecţiile fazorilor spaţiali icircn sistemul de referinţă sincron De-Qe

Faţă de expresia simplă a cuplului electromagnetic pentru maşina de curent continuu relaţia (7) care este exprimată cu ajutorul unui singur produs de termeni şi care icircn acest fel permite şi un control independent al fluxului de excitaţie şi al cuplului electromagnetic expresiile (23) sunt mult mai complexe Modelarea cuplului electromagnetic al maşinii de inducţie icircntr-o manieră asemănătoare relaţiei (7) presupune impunerea unor restricţii astfel icircncacirct termenii scăzători din relaţiile (23) să fie nuli De exemplu dacă prin control s-ar impune restricţiile (24) 0)t()t()t( e

MQeSQ

eRQ =Ψ=Ψ=Ψ

atunci relaţiile (23) ar deveni (25) )t(i)t(p)t(i)t(p)t(i)t(

LLp)t(m e

SQeMD

eSQ

eSD

eSQ

eRD

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=

adică expresii similare relaţiei (7) Din păcate restricţiile (24) nu sunt fezabile icircn acest context deoarece asigurarea proiecţiilor nule ale fazorilor reprezentativi de flux pe axa Qe impune ca modulul fiecărui flux să fie nul (26) 0)t()t()t( e

SeS

eR =Ψ=Ψ=Ψ

ceea ce este absurd Soluţia constă tot icircntr-un artificiu matematic Astfel o analiză mai atentă a diagramei fazoriale (8) relevă faptul că restricţiile de tipul (24) pot fi asigurate prin alinierea (sinfazarea) sistemului de referinţă sincron De-Qe cu unul din fazorii de flux Evident că icircn acest caz restricţiile (24) nu pot fi realizate simultan ci numai unul din cei trei termeni va fi nul Se ajunge icircn acest fel la condiţiile de orientare după unul din fluxurile maşinii (fluxul rotoric fluxul statoric sau fluxul de magnetizare) Strategia de orientare trebuie a priori stabilită Icircn cazul strategiei de control cu orientare (a sistemului de referinţă) după fluxul rotoric diagrama fazorială din fig8 se particularizează ca cea din fig9 Condiţia de sincronizare fiind subicircnţeleasă atunci condiţia de sinfazare a sistemului de referinţă după fazorul fluxului rotoric presupune (27) 0r =γ ceea ce asigură automat (28) )t()t()t( e

RDeR

eR

ψ=ψ=ψ

(29) 0)t(eRQ =Ψ

şi deci (30) )t(i)t(

LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=


Re

iS

ΨeS

ΨeR

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

De

Qe

βS

ΨeRQ

ΨeMQ

ΨeSQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

ΨeRD


150

Fig9 Sinfazarea sistemului de referinţă sincron după fazorul fluxului rotoric

Dacă se doreşte orientarea sistemului de referinţă după fazorul fluxului statoric atunci trebuie asigurat un defazaj spaţial nul al sistemului de referinţă faţă de acest fazor adică (31) 0s =γ restricţie ce asigură următoarele condiţii particulare (fig10) (32) )t()t()t( e

SDeS

eS

ψ=ψ=ψ

(33) 0)t(eSQ =Ψ

(34) )t(i)t(p)t(m eSQ

eSDe sdotΨ=

Fig10 Sinfazarea sistemului de referinţă sincron după fazorul fluxului statoric Icircn sfacircrşit strategia de orientare a sistemului de referinţă după fazorul fluxului de magnetizare (din icircntrefier) impune alinierea axei De după direcţia momentană a acestui fazor (fig11) Condiţiile specifice acestei strategii sunt (35) 0m =γ restricţie ce asigură următoarele condiţii particulare (fig10) (36) )t()t()t( e

MDeM

eM

ψ=ψ=ψ

(37) 0)t(eMQ =Ψ


eMDe sdotΨ=

Fig11 Sinfazarea sistemului de referinţă sincron după fazorul fluxului de magnetizare


Re

iS

ΨeS

ΨeR= Ψe

RD

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr=0γm γs

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

εR


Re

iS

ΨeS= Ψe

SD

ΨeRD

ΨeM

ωe

θe=ωet

γs=0

γr γm

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

RQ

ieSQ

ieSD

ΨeMD Ψe

R

εS


Re

iS

ΨeS

ΨeRD

ΨeM= Ψe

MD

ωe

θe=ωet

γm=0

γr γs

De

Qe

βS

ΨeRQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

εM


151

Din analiza diagramelor fazoriale specifice strategiilor de orientare a sistemului de referinţă sincron De-Qe fig9-fig11 se observă că pentru aceeaşi poziţie instantanee a fazorilor curentului statoric şi a fluxurilor maşinii proiecţiile carteziene pe axele sistemului de coordonate diferă fiind dependente de poziţia instantanee a sistemului de referinţă Indiferent icircnsă de strategia de orientare adoptată se constată că expresiile obţinute pentru cuplul electromagnetic relaţiile (30) (34) sau (38) sunt similare celei specifice maşinii de curent continuu relaţia (7) Dacă fluxul electromagnetic este menţinut constant (modulul său) atunci o variaţie instantanee a componentei de pe axa Qe a curentului statoric iSQ(t) determină o variaţie instantanee a cuplului electromagnetic Cu alte cuvinte numai icircn aceste sisteme de referinţă particulare proiecţia pe axa Qe a fazorului curentului statoric are semnificaţia de curent activ similar curentului rotoric ia din cazul maşinii de curent continuu Icircn concluzie prin alegerea unui sistem de referinţă particular (sincron şi sinfazic cu unul din fazorii reprezentativi ai fluxurilor maşinii) funcţionarea maşinii de inducţie pare a fi asemănătoare funcţionării unei maşini de curent continuu şi deci controlul ei icircn cuplu se poate face icircn mod asemănător Printr-un control adecvat al proiecţiei fazorului reprezentativ al curentului statoric pe axa Qe fluxul implicat fiind considerat constant se poate controla instantaneu valoarea cuplului electromagnetic dezvoltat de maşina de inducţie Evident că problema nu este complet rezolvată deoarece deşi s-a presupus tacit că fluxul implicat este constant el trebuie controlat tot prin intermediul curenţilor injectaţi icircn maşină Metoda de control al fluxului de orientare prin intermediul curentului statoric este icircnsă specifică strategiei adoptate (orientare după fluxul rotoric orientare după fluxul statoric orientare după fluxul din icircntrefier) Ea se fundamentează pe baza ecuaţiilor particulare ale maşinii obţinute din ecuaţiile (14)-(18) icircn conexiune cu restricţiile specifice de tipul (27)-(29) (31)-(33) sau (35)-(37) Metoda cea mai simplă de control al fluxului de orientare se obţine icircn situaţia strategiei de orientare a sistemului de referinţă după fazorul fluxului rotoric IX3 Controlul fluxului icircn sistemele cu orientare după fazorul fluxului rotoric Dacă se consideră o maşină asincronă cu rotor icircn scurtcircuit pentru care ue

R=0 atunci ecuaţiile fazoriale (14)-(18) pot fi descompuse după cele doua axe ortogonale De-Qe sub forma

(39) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u eSQe

eSDe

SDSeSD Ψωminus

Ψ+=

(40) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u e

SDe

eSQe

SQSeSQ Ψω+

Ψ+=

(41) )t(dt

)t(d)t(iR0 eRQsl

eRDe

RDR ΨωminusΨ

+=

(42) )t(dt

)t(d)t(iR0 e

RDsl

eRQe

RQR Ψω+Ψ

+=

(43) )t(iL)t(iL)t( eRDM

eSDS

eSD +=Ψ

(44) )t(iL)t(iL)t( eRQM

eSQS

eSQ +=Ψ

(45) )t(iL)t(iL)t( eRDR

eSDM

eRD +=Ψ

(46) )t(iL)t(iL)t( eRQR

eSQM

eRQ +=Ψ

Condiţiile de sinfazare a sistemului de referinţă sincron De-Qe cu fazorul fluxului rotoric asigură relaţiile particulare (27)-(29) care aplicate ecuaţiilor de tensiuni rotorice (41)-(42) şi ecuaţiilor de flux rotoric (45)-(46) conduc la expresiile

(47) dt

)t(d)t(iR0eRDe

RDRΨ

+=

(48) )t()t(iR0 eRDsl

eRQR Ψω+=


eSDM

eRD +=Ψ


152

(50) )t(iL)t(iL0 eRQR

eSQM +=

Ecuaţiile (47)-(48) pot fi scrise şi sub forma

(51) )t(iRdt

)t(d eRDR

eRD minus=

Ψ

(52) )t()t(i

R eRD

eRQ

Rsl Ψminus=ω

La o analiză sumară a relaţiei (51) s-ar părea că fluxul rotoric trebuie controlat prin intermediul componentei ortogonale rotorice )t(ie

RD mărime inaccesibilă măsurări (rotorul fiind icircn scurtcircuit) O analiză mai atentă a relaţiilor (49)-(50) arată că această mărime inaccesibilă poate fi exprimată cu ajutorul componentelor ortogonale ale curentului statoric (53) ))t(iL)t((

L1)t(i e

SDMeRD

R

eRD minusΨ=

(54) )t(iLL)t(i e

SQR

MeRQ minus=

Icircn acest caz ecuaţiile (51)-(52) devin

(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ

(56) )t(i)t(T

L)t(i)t(L

LR)t( eSQe

RDR

MeSQe

RDR

MRsl

Ψsdot=

Ψsdot=ω

Relaţia (55) arată că icircn condiţii de sincronizare şi sinfazare fluxul rotoric poate fi modelat cu ajutorul unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I care are drept mărime de comandă componenta ortogonală a curentului statoric )t(ie

SD Se constată astfel că prin alegerea adecvată a sistemului de referinţă de reprezentare a ecuaţiilor maşinii de inducţie s-a obţinut un model simplu şi decuplat unde fluxul este controlat prin componenta curentului statoric

)t(ieSD (numită componentă reactivă) iar cuplul este controlat prin cea de-a doua componentă a

curentului statoric )t(ieSQ (componenta activă a curentului statoric) fig9

Observaţie Componentele ortogonale ale curentului statoric au semnificaţie de componentă activă respectiv reactivă numai icircn acest sistem de reprezentare Dacă se are icircn vedere şi ecuaţia de mişcare (19) atunci maşina de inducţie orientată după fazorul reprezentativ al fluxului rotoric poate fi reprezentată cu ajutorul schemei bloc din fig12

Fig12 Schema bloc a maşinii de inducţie orientată după fluxul rotoric

Pentru utilizarea modelului simplificat obţinut icircn reprezentarea maşinii de inducţie s-a folosit transformata Park directă care realizează o conversie a curenţilor statorici de fază icircn componente ortogonale reprezentate icircn sistemul de referinţă sinfazat cu fazorul fluxului rotoric Modelul simplificat poate fi folosit pentru implementarea structurilor de control vectorial Observaţii 1 Analizacircnd ecuaţia (30) se constată că valoarea cuplului electromagnetic se poate modifica fie modificacircnd valoarea fluxului rotoric Ψe

RD(t) fie modificacircnd valoarea componentei curentului statoric ie

SQ(t) Pe de altă parte conform relaţiei (55) fluxul rotoric

1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

mr(t)

ωRm(t)

-

sistem de referinţă sincron amp sinfazic cu ΨeRD(t) sistem de referinţă staţionar


153

fiind soluţia unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I reacţionează inerţial la modificarea icircn treaptă a componentei ie

SD(t) a curentului statoric atingacircnd valoarea de regim staţionar după o perioadă de 3divide4 TR unde TR este numită constanta de timp rotorică De aceea se preferă menţinerea constantă a fluxului şi modificarea valorii cuplului electromagnetic prin variaţia componentei ie

SQ(t) a curentului statoric ecuaţia de cuplu fiind una algebrică 2 Deoarece componenta activă a curentului statoric ie

SQ(t) este ortogonală pe fazorul fluxului rotoric Ψe

RD(t) atunci rezultă că este asigurată şi condiţia de obţinere icircn manieră optimală a cuplului electromagnetic (cuplu maximamper) IX4 Convertoare statice de putere utilizate icircn structurile de control vectorial Icircn cadrul sistemelor de control vectorial al acţionărilor electrice ca de altfel şi icircn cazul sistemelor de control scalar al acestora convertoarele statice de putere joacă un rol esenţial icircn obţinerea unor răspunsuri dinamice rapide şi precise Definiţie Un convertor static de putere este un echipament care realizează interfaţa dintre o sursă de energie electrică şi unul sau mai multe receptoare cu rolul de-a realiza o conversie statică prin care se pot modifica anumite caracteristici sau parametri ai energiei (mărimea şi forma de undă a tensiunii natura curentului numărul de faze frecvenţa) icircn scopul adaptării acestora la cerinţele sarcinii Icircn funcţie de aplicaţie un convertor static de putere poate controla cantitativ icircn acelaşi timp şi fluxul energetic Procesul de conversie statică a energiei electrice este obţinut printr-o remodelare a undelor tensiunii Astfel din tensiunea aplicată la intrarea convertorului cu amplitudinea Ui frecvenţa fi şi numărul de faze mi se obţine la ieşirea convertorului tensiune cu o altă formă avacircnd amplitudinea Ue frecvenţa fe şi un număr de faze me Prin unele convertoare sensul de circulaţie a energiei poate fi schimbat Icircn acest fel este inversat rolul intrării cu cel al ieşirii convertorul numindu-se reversibil sau bidirecţional Un convertor static cuprinde icircn general două părţi (fig13) bull partea de forţă cu o anumită structură (topologie) realizată cu dispozitive semiconductoare de putere dar şi cu alte elemente de circuit cum ar fi condensatoare sau inductanţe cu rol de filtrare sau protecţie bull blocul de comandă şi control cu rol de-a furniza semnalele de comandă pentru dispozitivele semiconductoare de putere de-a controla anumite variabile din sistem şi de-a implementa funcţii de protecţie asociate părţii de forţă

Fig13 Structura generică a unui convertor static de putere unidirecţional Partea de comandă şi control a convertorului static de putere poate include circuite microelectronice pentru comanda dispozitivelor semiconductoare de putere şi microstructuri numerice care permit un control al procesului de conversie statică precum şi comunicarea cu alte echipamente de control ierarhic superioare Din punct de vedere sistemic convertorul static de putere poate fi privit ca un element de execuţie (amplificator) care amplifică semnalele informaţionale de control (de mică putere) U

e fe la un nivel corespunzător pentru receptorul (sarcina) controlat

Sursă

Structura de forţă

Receptor

Bloc de comandă şi

control

Convertor static de putere

Uef

e

Uifimi

Uefeme


154

Un criteriu foarte important de clasificare a convertoarelor statice de putere este tipul conversiei deoarece fixează denumirile unor clase sau grupuri de convertoare utilizate icircn practică Pornind de la posibilitatea existenţei energiei electrice sub formele de energie icircn curent continuu (=) şi icircn curent alternativ (~) se pot evidenţia patru tipuri posibile de conversie electric-electric (fig14)

Fig14 Clase de convertoare icircn funcţie de tipul conversiei bull conversie alternativ-continuu bull conversie continuu-alternativ bull conversie continuu-continuu bull conversie alternativ-alternativ

Redresoarele permit conversia energiei electrice din curent alternativ (ca) icircn curent continuu (cc) Această conversie poate fi realizată icircntr-un mod controlat sau necontrolat Conversia necontrolată se obţine cu ajutorul redresoarelor necomandate a căror structură de forţă este realizată exclusiv cu diode de putere iar tensiunea obţinută la ieşire are o valoare medie cvasiconstantă Conversia controlată este obţinută cu ajutorul redresoarelor comandate realizate fie cu tiristoare fie cu tranzistoare (redresoare PWM) Aceste convertoare permit reglarea amplitudinii tensiunii continue de la ieşire (Ueuarr) Observaţie Dacă parametrul de comandă se icircncadrează icircntr-un anumit interval atunci sensul de circulaţie al puterii se poate schimba de la partea de cc la partea de ca redresorul funcţionacircnd icircn regim de invertor Pentru a funcţiona icircnsă icircn acest mod sarcina din partea de cc trebuie să fie activă (adică să conţină o sursă proprie de cc) Săgeţile reprezentate punctat icircn fig15 simbolizează caracterul reversibil

Fig15 Simbolul redresorului

Invertoarele permit conversia energiei electrice din curent continuu icircn curent alternativ (fig16)

Fig16 Simbolul invertorului Dacă partea de ca a invertorului este legată la reţeaua de distribuţie a energiei electrice acesta se confundă cu redresorul comandat funcţionacircnd icircn regim de invertor Dacă icircnsă partea de curent alternativ este independentă de reţeaua de distribuţie a energiei electrice sau orice altă sursă furnizacircnd la ieşire o tensiune alternativă proprie cu o anumită valoare efectivă frecvenţă şi un anumit număr de faze acesta este un invertor autonom (sau independent) Convertoarele cc-cc permit conversia energiei electrice din curent continuu tot icircn curent continuu Acesta modifică doar amplitudinea tensiunii continue numindu-se astfel şi variatoare de tensiune continuă (fig17)

~ ~

= =

Redresor Invertor

Convertor cc-cc

Variator de tensiune alternativăConvertor direct de frecvenţă

~Ui fi mi ~=

=Ueuarr

~Ueuarr feuarr me

~= =Ui


155

Fig17 Simbolul convertorului cc-cc Variatoarele de tensiune alternativă permit conversia energiei electrice din curent alternativ tot icircn curent alternativ cu precizarea că prin această conversie este modificată doar valoarea efectivă a tensiunii alternative frecvenţa şi numărul de faze de la ieşirea variatorului avacircnd aceleaşi valori cu cele de la intrarea acestuia (fig18)

Fig18 Simbolul variatorului de tensiune alternativă Convertoarele directe de frecvenţă permit conversia energiei electrice din curent alternativ tot icircn curent alternativ prin care se modifică icircn primul racircnd frecvenţa tensiunii alternative valoare efectivă a acesteia şi eventual numărul de faze (fig19)

Fig19 Simbolul convertorului direct de frecvenţă Convertoare cu filtre de curent sau filtre de tensiune folosesc tipuri diferite de componente pasive cu ajutorul cărora se icircmbunătăţeşte calitatea conversiei Deoarece conversia statică a energiei electrice se face prin remodelarea formelor de undă a tensiunilor icircn foarte multe aplicaţii sarcina impune fie o filtrare a tensiunii fie o filtrare a curentului Sunt utilizate aproape icircn exclusivitate filtre pasive capacitive sau capacitiv-inductive pentru filtrarea tensiunii (convertorul avacircnd caracter de sursă de tensiune) şi inductanţe pentru filtrarea curentului (convertorul avacircnd caracter de sursă de curent)

Convertoarele statice de putere utilizate icircn controlul maşinilor de curent alternativ sunt mult mai complexe decacirct cele utilizate pentru controlul maşinilor de curent continuu deoarece ele trebuie să controleze mărimile externe ale maşinilor (curenţi tensiuni) atacirct icircn amplitudine cacirct şi icircn fază (frecvenţă) Acest fapt constituie parţial originea termenului de control vectorial utilizat icircn acţionările electrice cu maşini de curent alternativ pentru care cerinţele de performanţe sunt severe Pe de altă parte complexitatea convertoarelor statice de putere utilizate icircn controlul maşinilor de curent alternativ rezidă şi icircn faptul că icircn regim permanent mărimile controlate sunt mărimi armonice şi nu mărimi continue ceea ce impune o atentă analiză şi proiectare a blocului de comandă şi control (fig13) Icircn general pentru alimentarea cu energie electrică a unui sistem de acţionare cu maşini de curent alternativ se dispune de reţeaua trifazată de distribuţie a energiei electrice avacircnd tensiune de amplitudine şi frecvenţă constante Pe de altă parte controlul performant al maşinilor de curent alternativ impune alimentarea lor cu tensiune sau curent de amplitudine şi frecvenţă variabile adecvate regimului impus de funcţionare Icircn acest scop deşi s-ar putea utiliza şi convertoare directe de frecvenţă fig19 topologiile industriale folosesc convertoare indirecte de frecvenţă numite şi convertoare statice cu circuit intermediar care sunt obţinute prin cascadarea unui convertor static de tip redresor şi a unui convertor static de tip invertor (fig20)

Fig20 Simbolul convertorului indirect de frecvenţă

=Ueuarr

== =Ui

~Ueuarr fe=fi me=mi

~~ ~Ui fi mi

~Ueuarr feuarr me

~~ ~Ui fi mi

~Ui fi mi ~=

=Ueuarr ~Ueuarr feuarr me

~= =Ui


156

Icircn mod frecvent pentru redresarea tensiunii alternative de intrare se utilizează redresoarele trifazate necomandate (cu diode) icircn punte (B6) fig 21

Fig21 Redresor trifazat necomandat icircn punte Datorită principiului de funcţionare (comutaţie naturală) tensiunea de ieşire u0 nu este perfect continuu (ca cea furnizată de un pachet de baterii electrochimice de exemplu) ci are pe lacircngă componenta continuă şi o componentă neglijabilă de curent alternativ Valoarea medie maximă a tensiune de ieşire pe care poate să o furnizeze o astfel de topologie este (57) V540U23u L0 asymp

π=

Valoarea medie a curentului continuu de ieşire i0 depinde de sarcină iar pentru o sarcină de impedanţă constantă componenta de curent alternativ a acestuia are o pondere mai mică decacirct cea a tensiunii de ieşire Totuşi din punctul de vedere al reţelei de alimentare un astfel de redresor constituie o sarcină neliniară absorbind curenţi nesinusoidali (iR iS iT) care se apropie de o formă dreptunghiulară De aceea pentru controlul factorului de distorsiune armonică icircn curent se pot utiliza redresoare PWM (fig22)

Fig22 Redresor PWM tip sursă de tensiune Cele trei braţe ale punţii sunt astfel comandate icircncacirct fundamentala curentului de intrare furnizat de reţeaua trifazată industrială să urmărească valorile de referinţă impuse Cele trei condensatoare Ci montate la intrarea redresorului PWM constituie surse de tensiune pentru redresor Rolul lor este de-a asigura componentele de frecvenţă icircnaltă rezultate icircn urma procesului de comutaţie a redresorului PWM Inductanţa L0 de pe circuitul intermediar filtrează curentul redresat Tensiunea de ieşire a circuitului intermediar u0 nu poate fi ajustată la o valoare mai mare decacirct valoarea maximă a tensiunii liniilor de intrare Cu alte cuvinte acest redresor PWM poate fi numai coboracirctor de tensiune (step-downbuck) Pentru a putea obţine o tensiune pe circuitul intermediar peste valoarea maximă a tensiunilor de linie (step-upboost) trebuie utilizat un redresor PWM tip sursă de curent (fig23) Caracteristica redresorului de tip sursă de curent rezidă din prezenţa inductanţelor Li la intrare Deoarece elementele de comutaţie asigură conexiune directă icircntre intrările şi ieşirile acestui tip de convertor atunci se impune prezenţa condensatorului C0 icircn circuitul intermediar pentru a preveni conectarea inductanţelor de intrare prin care circulă un curent de o anumită valoare cu inductanţele sarcinii prin care poate circula un curent de o altă valoare Pe de altă parte rolul condensatorului este şi de-a filtra tensiunea de ieşire u0

iT

~

~

~

uR

uS

uT

iR

iS u0

i0

iR

uS

i0

Bloc de comandă

u0

uR

iT

~

~

~ uT

iS Ci

Ci Ci

L0


157

Fig23 Redresor PWM tip sursă de curent Observaţii 1 Spre deosebire de structura anterioară acest redresor PWM este prevăzut cu diode de icircntoarce a curentului icircntreţinut de inductanţele de intrare atunci cacircnd dispozitivele semiconductoare controlabile sunt blocate 2 Curenţii absorbiţi din reţeaua trifazată industrială sunt similari celor absorbiţi de redresorul PWM tip sursă de tensiune 3 Redresoarele PWM au posibilitatea de reversare a fluxului energetic adică sunt convertoare statice cu funcţionare icircn patru cadrane Invertoarele PWM au topologiile inversate ale redresoarelor PWM Ca şi redresoarele PWM invertoarele PWM pot avea caracter de sursă de tensiune sau de sursă de curent Invertorul PWM tip sursă de tensiune (fig24) reprezintă topologia inversă a redresorului PWM tip sursă de curent (fig23)

Fig24 Invertor PWM tip sursă de tensiune

O maşină de curent alternativ controlată icircn regim de motor absoarbe icircn valoare medie un curent de intrare i0 pozitiv Icircnsă curentul de intrare icircn valori instantanee poate avea şi valori negative care sunt absorbite de condensator De aceea prezenţa condensatorului icircn circuitul intermediar este absolut necesară Suplimentar condensatorul joacă rolul şi de sursă de energie pentru curenţii de frecvenţă icircnaltă care nu sunt absorbiţi din amonte (de la reţea) prin intermediul redresorului de la intrare Icircn plus condensatorul filtrează şi stabilizează tensiunea furnizată de redresor Observaţie Invertoarele PWM tip sursă de tensiune pot funcţiona atacirct icircn modul PWM cacirct şi icircn modul cu undă plină Icircn cel de-al doilea caz invertorul generează tensiunea maxim posibilă dar calitatea curenţilor de ieşire este mai slabă decacirct cea furnizată icircn modul de funcţionare PWM Invertorul PWM tip sursă de curent (fig25) reprezintă topologia inversă a redresorului PWM tip sursă de tensiune (fig22) Icircn modul de funcţionare cu undă plină acest tip de convertor static generează curenţi de ieşire dreptunghiulari Sursa de curent constant este asigurată de inductanţa L0 de pe circuitul intermediar Curentul de intrare i0 nefiind niciodată negativ prezenţa diodelor de icircntoarcere este inutilă

iR

iS

iT

u0

uR ~

~

~

uS

uT

i0

Bloc de comandă

Li

Li

Li

C0

i0

u0 uV

iU

iV

iW

uU

uW

Bloc de comandă

~

~

~

Lo

C0

Lo

Lo


158

Fig25 Invertor PWM tip sursă de curent Aşa cum s-a menţionat prin asocierea unui redresor şi a unui invertor se obţine un convertor indirect de frecvenţă icircn care plecacircnd de la o tensiune de intrare respectiv un curentul de intrare de amplitudine şi frecvenţă fixe se obţine o tensiune de ieşire sau un curent de ieşire de amplitudine şi frecvenţă variabile Icircn funcţie de tipul filtrelor utilizate convertoarele indirecte de frecvenţă se clasifică icircn două categorii

bull convertoare indirecte de frecvenţă cu circuit intermediar de tensiune continuă (fig26) bull convertoare indirecte de frecvenţă cu circuit intermediar de curent continuu (fig27)

Fig26 Convertor indirect de frecvenţă cu circuit intermediar de tensiune continuă Obţinerea unui convertor indirect de frecvenţă cu circuit intermediar de tensiune continuă se realizează prin cascadarea unui redresor (ne)comandat tip sursă de curent şi a unui invertor PWM tip sursă de tensiune Mărimile de ieşire ale unui invertor tip sursă de tensiune sunt tensiuni de linie de amplitudine şi frecvenţă variabile controlate de propriul bloc de comandă Deoarece mărimile electrice controlate sunt tensiuni procesul de comutaţie este independent de tipul sarcinii şi nu există riscul apariţiei supratensiunilor la bornele acesteia Convertoarele indirecte de frecvenţă cu circuit intermediar de curent continuu se obţin prin icircnserierea unui redresor comandat de tip sursă de tensiune şi a unui invertor PWM de tip sursă de curent

Fig27 Convertor indirect de frecvenţă cu circuit intermediar de curent continuu Mărimile de ieşire controlate ale convertoarelor indirecte de frecvenţă cu circuit intermediar de curent sunt curenţi de amplitudine şi frecvenţă variabile Aceste tipuri de convertoare indirecte de frecvenţă sunt mai puţin utilizate icircn acţionările electrice de viteză variabilă datorită faptului că forma curenţilor generaţi este de calitate mai slabă Perioada de comutaţie depinde de natura şi puterea sarcinii şi este mai mare faţă de perioada de comutaţie a invertoarelor tip sursă de tensiune

Co

iU

iV uV

i0

Bloc de comandă

u0

uU

iW uW

L0

~

~

~Co Co

C0

uS(t)

iR uR ~

~

~

uS

uT

Li

Li

Li

~

~

~

Lo

Lo

Lo

u0

Redresortip

sursă de curent

Invertor tip

sursă de tensiune

Bloc de comandă

Bloc de comandă

u0u0

Co

ejθe

uR ~

~ uT

Redresorcomandat

tip sursă de tensiune

Invertor tip

sursă de curent

Bloc de comandă

Bloc de comandă

i0 |iS(t)|

L0 i0 iR

uS

iT

iS

Ci

Ci

Ci

~

~

~ Co Co

~


159

Totuşi ele oferă unele avantaje icircn raport cu cele care au circuit intermediar de tensiune cum ar fi robusteţe la supracurenţi chiar şi atunci cacircnd apare un scurtcircuit icircn invertor sau icircn sarcină (datorită reacţiei de curent de pe circuitul intermediar) Absenţa diodelor de icircntoarcere micşorează costurile convertorului şi creşte suplimentar fiabilitatea Icircn contrast cu invertoarele tip sursă de tensiune conducţia simultană a semiconductoarelor de pe acelaşi braţ al punţii este sigură şi permisă pentru a scurta perioada de comutaţie a curentului prin fazele sarcinii Acest lucru este chiar recomandat pentru a evita pericolul icircntreruperii curentului ceea ce ar putea determina apariţia unor supratensiuni Icircn consecinţă strategia de comandă a braţelor invertorului tip sursă de curent este diferită faţă de cea a unui invertor tip sursă de tensiune Icircnsă controlul amplitudinii curentului de ieşire poate fi realizat numai cu ajutorul redresorului din amonte De acest aspect trebuie ţinut seama atunci cacircnd se implementează o structură de control Controlul invertoarelor tip sursă de tensiune Icircn cazul invertoarelor tip sursă de tensiune dispozitivele semiconductoare de pe acelaşi braţ al punţii nu pot fi comandate simultan deoarece ar putea scurtcircuita condensatorul C0 de pe circuitul intermediar de tensiune De aceea pentru comanda dispozitivelor semiconductoare ale unui braţ se poate folosi o variabilă logică (binară) pentru care valoarea logică 1 comandă elementul de comutaţie legat la plusul sursei circuitului intermediar şi blochează elementul de comutaţie legat la masa acesteia iar valoarea logică 0 blochează elementul de comutaţie legat la plusul sursei de alimentare şi comandă elementul de comutaţie legat la masă Asociind celor trei braţe ale invertorului variabilele logice a b şi respectiv c atunci tensiunea de linie de la ieşirea invertorului tip sursă de tensiune este de forma

(58) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

101110

011u

uuu

0

CA

BC

AB

Tensiunea de fază icircn raport cu nulul sarcinii poate fi descrisă cu ajutorul ecuaţiei

(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

211121112

3u

uuu

0

Cn

Bn

An

Prin asigurarea valorilor logice pentru variabilele de comutaţie a b şi c se pot obţine la ieşire tensiuni de amplitudine şi frecvenţă dorite Există cacircteva metode de generare a variabilelor de comutaţie (semnalele PWM) bull modularea sinusoidală bull modularea vectorului spaţial al tensiunii la ieşirea invertorului bull modularea optimizată

Toate aceste tipuri de modulatoare folosesc referinţe de tensiune furnizate din exterior de sistemul de control pentru a genera la ieşire tensiuni ale căror amplitudine şi frecvenţă sunt dorite Principiul de funcţionare al unui modulator PWM cu modulare sinusoidală este prezentat icircn fig28

Fig28 Modulator PWM cu modulare sinusoidală

Invertor tip

sursă de tensiune

-

a

b

c

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)

Generator semnal

triunghiular

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)-

-

u0


160

Circuitul de modulare PWM sinusoidală se poate realiza atacirct analogic cacirct şi numeric El se implementează practic foarte simplu cu ajutorul a trei comparatoare fără histerezis şi a unui generator de undă triunghiulară de referinţă avacircnd amplitudinea constantă şi axată faţă de zero Frecvenţa semnalului triunghiular determină frecvenţa de comutaţie a invertorului de tensiune Comparatorul se poate realiza analogic cu amplificator operaţional cu reacţie pozitivă Pe una din intrările comparatorului se aplică semnalul sinusoidal de amplitudine şi frecvenţă variabile (semnalele de control) iar pe cealaltă se conectează semnalul de referinţă triunghiular Cu ajutorul amplitudinii semnalului sinusoidal se modifică lăţimea de modulare avacircnd ca efect modificarea valorii efective a tensiunii la ieşire (fig29)

Fig29 Formele de undă aferente fazelor A şi B ale invertorului PWM trifazat Icircn sistemele icircn care curentul de ieşire depinde nu numai de tensiunea de intrare ci şi de sarcină se poate utiliza un invertor PWM controlat local icircn curent Icircn acest fel un invertor PWM care este icircn mod natural un convertor static tip sursă de tensiune poate fi transformat icircntr-un convertor static tip sursă de curent (fig30)

Fig30 Invertor PWM controlat local icircn curent Curentul este preluat de la sarcină şi folosit pentru generarea semnalelor de comutaţie Icircn fiecare fază curentul de referinţă este comparat cu valoarea curentului de reacţie iar eroarea obţinută este aplicată unui regulator bipoziţional cu histerezis a cărui ieşire constituie variabila de comutaţie pentru faza respectivă De exemplu pentru faza A se obţine

(60) ⎩⎨⎧

gtΔminusltΔ

=2hipentru1

2hipentru0a

A

A

Tc

u tru control A u control B

t

t

t

uAN

u BN

u AB

12 T1

U d

U d

- U dt

U d

u AB(1)

U control

U tr

0

0

0

0

c

b

a

Invertor PWM

controlat icircn curent

-

-

-

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t) iSC(t)

iSB(t)

iSA(t)

u0


161

unde ΔiA este eroarea de curent iar h este banda de histerezis Observaţii 1 Icircn situaţia unui invertor PWM controlat local icircn curent semnalele de control sunt referinţele de curent 2 Regulatoarele cu histerezis lucrează icircn sistemul de referinţă staţionar şi prelucrează semnale sinusoidale de curent 3 Spre deosebire de un invertor propriu-zis tip sursă de curent unde amplitudinea curentului este controlată prin intermediul redresorului din amonte iar frecvenţa prin intermediul invertorului de curent icircn cazul invertorului PWM controlat icircn curent atacirct amplitudinea cacirct şi frecvenţa curenţilor de la ieşire sunt controlate de convertorul static din aval (invertorul PWM) IX5 Implementarea structurilor de control vectorial După cum s-a arătat mecanismul de producere a cuplului electromagnetic icircn maşina de inducţie este similar cu cel al motorului de curent continuu Din păcate această similitudine nu a fost evidenţiată icircnainte de 1969 iar acest fapt a reprezentat unul din motivele pentru care tehnica de control vectorial nu a fost luată icircn discuţie mai devreme Metodele improprii de analiză a modului de funcţionare a maşinii au condus la relaţii complexe de descriere a cuplului electromagnetic instantaneu utilizarea lor icircn scop de control sugeracircnd necesitatea măsurării curenţilor rotorici şi a poziţiei rotorului Utilizarea teoriei fazorului spaţial a permis simplificarea şi comprimarea expresiei cuplului evidenţiindu-se că similar expresiei cuplului electromagnetic al maşinii de curent continuu dacă se alege un sistem de referinţă special cuplul electromagnetic instantaneu al motorului de inducţie poate fi exprimat cu ajutorul produsului vectorial dintre un curent activ şi un flux de excitaţie Absenţa dispozitivului inductor autonom şi imposibilitatea măsurării curenţilor rotorici complică considerabil icircnsă structurile de control Progresele deosebite icircnregistrate icircn domeniul microelectronicii şi al electronicii de putere au permis ca metodele de control vectorial să părăsească domeniul teoriei pure şi să constituie metode de bază icircn sinteza unor sisteme de reglare automată de mare performanţă Icircn acest fel este posibil un control magnetic şi mecanic al maşinii icircn mod independent Exista o mare varietate de soluţii particulare pentru implementarea unui control cu orientare după cacircmp aceste soluţii fiind dependente de tipul convertorului static de putere utilizat de fluxul utilizat pentru sincronizarea şi sinfazarea sistemului de referinţă şi de modul de determinare a poziţiei instantanee a acestui flux O primă clasificare a structurilor de reglare cu orientare după cacircmp se poate face icircn funcţie de tipul convertorului static de putere utilizat pentru controlul maşinii bull sisteme de control vectorial care folosesc convertoare statice de putere tip sursă de curent bull sisteme de control vectorial care folosesc convertoare statice de putere tip sursă de tensiune Mecanismul de producere a cuplului electromagnetic este direct dependent de componenta ortogonală ie

SQ(t) a curentului statoric Un control rapid al acestei componente asigură un control mecanic foarte bun al sistemului de acţionare Pe de altă parte controlul magnetic al maşinii se realizează prin intermediul celei de-a doua componente ortogonale ie

SD(t) a curentului statoric Cu alte cuvinte un control mecanic şi magnetic performant al maşinii de inducţie presupune un control riguros al curentului statoric icircn valori instantanee (modul şi argument) Convertoarele statice de putere tip sursă de curent asigură prin reacţiile locale proprii controlul icircn curent al sarcinii Din acest punct de vedere schemele de control vectorial care utilizează ca element de control al maşinii convertoarele statice de putere tip sursă de curent sunt mai simple semnalele de control elaborate icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic fiind mărimi de referinţă pentru cele două componente ortogonale ale curentului statoric Icircn situaţia icircn care convertorul static de putere tip sursă de curent este un invertor PWM controlat local icircn curent şi deci acceptă ca semnale de comandă mărimi de


162

referinţă pentru curenţii de fază componentele ortogonale ale curentului statoric elaborate icircn sistemul sincron şi sinfazic sunt prelucrate cu transformata Park inversă şi convertite icircn mărimi de referinţă acceptate de convertor Pe de altă parte atunci cacircnd convertorul static de putere este de tip convertor indirect de frecvenţă cu circuit intermediar de curent continuu la care amplitudinea curenţilor se controlează cu ajutorul redresorului comandat iar frecvenţa lor se controlează prin intermediul invertorului de curent propriu-zis schema de control vectorial trebuie să utilizeze reprezentarea polară (modul şi argument) a fazorului curentului de comandă şi să folosească modulul pentru comanda redresorului iar argumentul pentru comanda frecvenţei invertorului Controlul vectorial icircn curent utilizacircnd un invertor PWM controlat local icircn curent este posibil numai icircn cazul maşinilor de mică putere Sursa funcţionează bine atacirct timp cacirct există o rezervă de tensiune de aceea pentru astfel de sisteme de acţionare se folosesc maşini de tensiune joasă pe fază dar cu izolaţie corespunzătoare tensiunii de alimentare a sursei (Uf asympUa3) La puteri mari apar probleme legate de regimul termic al maşinii Din aceste motive este necesar controlul tensiunii de alimentare Dacă maşina este controlată icircn tensiune structura de control vectorial devine mai complexă deoarece deşi icircn esenţă mărimile de control rămacircn componentele ortogonale ale curentului statoric icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic cu un flux acestea vor fi controlate indirect prin tensiunile de la bornele motorului Pentru stabilirea cauzalităţii icircn sinteza structurii de control se utilizează ecuaţiile fazoriale de tensiune statorică şi flux statoric ale maşinii Aşa cum s-a văzut pentru sinfazarea sistemului de referinţă se poate utiliza fazorul reprezentativ al fluxului rotoric cel al fluxului statoric sau cel al fluxului din icircntrefier Din acest punct de vedere independent de tipul convertorului static de putere utilizat structurile de control vectorial se pot clasifica icircn bull sisteme de control vectorial cu orientare după fluxul rotoric bull sisteme de control vectorial cu orientare după fluxul statoric bull sisteme de control vectorial cu orientare după fluxul din icircntrefier Fiecare tip de orientare particularizează ecuaţiile generale ale maşinii de inducţie (14)-(18) prin impunerea restricţiilor (27)-(29) (31)-(33) sau (35)-(37) De exemplu utilizarea restricţiile (27)-(29) a permis evidenţierea unui model foarte simplu al maşinii de inducţie prezentat icircn fig12 pe baza căruia se poate asigura un control decuplat al fluxului magnetic rotoric şi al cuplului electromagnetic Mai mult se poate arăta că acest tip de orientare conduce la o caracteristică mecanică liniară a motorului de inducţie similară caracteristicii mecanice a motorului de curent continuu Din păcate acest model simplu se obţine numai icircn sistemul de referinţă sinfazat cu fazorul fluxului rotoric Restricţiile de tipul (31)-(33) sau (35)-(37) conduc la modele mai complicate icircn sistemele de referinţă sinfazate cu fazorul fluxului statoric respectiv fazorul fluxului de magnetizare iar caracteristicile mecanice ale maşinii sunt neliniare care prezintă un cuplu maxim dependentă de fluxul maşinii Din această cauză icircncărcarea maşinii este limitată Controlul fluxului de orientare nu se mai realizează icircn mod independent numai prin componenta ortogonală ie

SD(t) ci şi cu ajutorul componentei ortogonale ieSQ(t) De aceea icircn

astfel de structuri de control vectorial trebuie introduse suplimentar blocuri de decuplare (compensare) Structurile de control vectorial cu orientare după fluxul statoric prezintă icircnsă şi unele avantaje Astfel avacircnd icircn vedere structura circuitului magnetic al maşinii de inducţie fluxul statoric poate fi reglat mai rapid icircn raport cu celelalte fluxuri atunci cacircnd convertorul static de putere este de tip sursă de tensiune Icircn plus aşa cum se va vedea estimarea valorii acestui flux pe baza mărimilor externe ale maşinii este cea mai simplă şi cea mai puţin dependentă de parametrii modelului utilizat Cu toate acestea cele mai utilizate structuri de control vectorial sunt cele care utilizează fazorul fluxului rotoric pentru sinfazarea sistemului de referinţă adică structurile de control vectorial cu orientare după fluxul rotoric


163

O structură de control vectorial se proiectează pe baza modelului dinamic al maşinii prezentat icircn sistemul de referinţă particular Ea trebuie să asigure icircn permanenţă următoarele etape de prelucrare a semnalelor I Determinarea mărimilor specifice modelului dinamic din sistemul de referinţă particular fapt de implică I1 determinarea poziţiei curente a fazorului fluxului de sinfazare I2 reprezentarea mărimilor măsurate icircn noul sistem de referinţă prin aplicarea

transformatei Park directe II Fiind precizate cerinţele de flux de magnetizare şi cuplu electromagnetic să determine semnalele de control (curenţi tensiuni) corespunzătoare sistemului de referinţă sincron şi sinfazic astfel icircncacirct aplicate maşinii controlate cu ajutorul convertorului static de putere să conducă la atingerea obiectivelor de control III Ţinacircnd seama de tipul convertorului static de putere utilizat să disocieze şisau să moduleze corespunzător semnalele de control corespunzătoare sistemului de referinţă staţionar trifazat adică sistemului de referinţă de lucru (natural) al oricărui convertor static de putere trifazat Pentru conversia semnalelor de control icircn acest sistem de referinţă se utilizează transformata Park inversă Observaţie Prima etapă reprezintă icircn esenţă o operaţie de demodulare a mărimilor armonice prin reprezentarea lor icircn sistemul de referinţă sincron obţinacircndu-se astfel mărimi continue Cea de-a doua etapă reprezintă problema controlului propriu-zis pentru un sistem continuu (sau mai precis spus a unui sistem armonic reprezentat convenabil) Icircn sfacircrşit cea de-a treia etapă de prelucrare reprezintă o operaţie de (re)modulare prin care semnalele de control continue sunt transformate icircn semnale de control armonice compatibile cu blocul de comandă şi control (interfaţă) al convertorului static de putere Cunoaşterea poziţiei instantanee (unghiul) a fazorului reprezentativ al fluxului de orientare cu care sistemul de referinţă este sinfazat constituie o condiţie absolut necesară pentru o corectă orientare şi un control corespunzător Astfel folosind modelul maşinii de inducţie orientată după fluxul rotoric fig12 şi consideracircnd că se utilizează un invertor PWM controlat local icircn curent atunci o structură simplificată de control vectorial cu orientare după fluxul rotoric poate fi reprezentată ca icircn fig31

Fig31 Structură simplificată de control vectorial cu orientare după fluxul rotoric Din punctul de vedere al sistemului de control şi al procesului controlat cele două subsisteme sunt reprezentate icircn acelaşi sistem de referinţă sistemul de referinţă staţionar este un sistem de referinţă intermediar utilizat din considerente tehnice pentru comanda convertorului static de putere Este evident că reprezentarea din fig31 este corectă atacirct timp cacirct poziţia sistemului de referinţă de calcul )t(ˆ

eθ este identică cu cea a fazorului asociat fluxului rotoric al maşinii )t(eθ Icircn oricare altă situaţie sistemul de control vectorial se decalibrează şi introduce cuplaje icircntre cele două mărimi de control (componenta activă şi componenta reactivă a curentului statoric) Admiţacircnd o funcţionare idealizată a invertorului PWM controlat icircn curent icircn sensul că el amplifică nedistorsionat icircn putere semnalele de comanda prescrise şi fără a introducere timpi

ωRm(t)

sistem de referinţă sincron amp sinfazic cu Ψe

RD(t)

mr(t) θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

-

sistem de referinţă staţionar

)t(i eSQ

)t(êθ

P-1(θe)

)t(i eSD

)t(iSA

)t(iSB

)t(iSC

Invertor PWM


Sistem de control cu orientare după cacircmp uo


RD(t)


164

morţi iar factorul de amplificare este unitar atunci dacă există o concordanţă perfectă icircntre unghiul estimat al sistemul de referinţă de control şi cel real al fluxului de orientare lanţul de prelucrare a semnalelor ldquotransformata Park inversă rarrinvertorrarrtransformată Park directăldquo (care nu introduce icircntacircrzieri suplimentare) poate fi omis icircn etapa de proiectare a sistemului de control putacircndu-se opera icircn continuare cu structura din fig32

Fig32 Structură echivalentă de control vectorial cu orientare după fluxul rotoric Icircn funcţie de modul de determinare a poziţiei fazorului fluxului de orientare sistemele de control vectorial cu orientare după cacircmp se pot clasifica icircn bull scheme de reglare directă (elaborată de FBlaschke icircn 1972) bull scheme de reglare indirectă (elaborată de KHasse icircn 1969) Metoda directă de determinare a poziţiei fazorului de flux Icircn schemele de reglare directe poziţia fazorului de flux se estimează pe baza măsurării sau estimării componentelor ortogonale ale fluxului icircn sistemul de referinţă staţionar Icircn cazul măsurării acestor componente maşina trebuie special echipată cu senzori pe cacircnd icircn cazul estimării aceste componente se determină pe baza semnalelor uşor accesibile (curenţi tensiuni viteză) şi a unor estimatoare de stare icircn buclă deschisă (simulatoare) sau icircnchisă (observatoare de stare) Icircn cadrul acestei metode se determină atacirct argumentul cacirct şi modulul fazorului de flux Conform relaţiei (11) legătura icircntre fazorul fluxului rotoric exprimat icircn sistemul de referinţă sincron şi acelaşi fazor exprimat icircn sistemul de referinţă staţionar este de forma (61) )ˆsinjˆ(cos))t(j)t((e)t()t(j)t()t( eeRQRD

ˆjR

eRQ

eRD

eR

e θminusθsdotψsdot+ψ=sdotψ=ψsdot+ψ=ψ θminus sau

(62) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ψψ

)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos)t()t(

RQ

RD

ee

eeeRQ

eRD

Icircn cazul icircn care sistemul de referinţă de calcul se consideră sinfazat cu fazorul fluxului rotoric atunci conform relaţiilor (28)-(29) ecuaţia (62) devine

(63) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ψ+ψ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos0

)t()t(0

)t(RQ

RD

ee

ee2RQ

2RD

eRD

deoarece modulul fazorului reprezentativ al fluxului rotoric este acelaşi indiferent de sistemul de referinţă ales pentru reprezentare Ecuaţia matriceală (63) conduce la un sistem liniar de două ecuaţii avacircnd ca necunoscute funcţiile trigonometrice e

ˆcosθ şi eˆsinθ

(64) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=θψminusθψ

ψ+ψ=θψ+θψ

0ˆsin)t(ˆcos)t(

)t()t(ˆsin)t(ˆcos)t(

eRDeRQ

2RQ

2RDeRQeRD

care admite ca soluţii expresiile

(65) )t()t(

)t(ˆcos)t()t(

)t(ˆsin2RQ

2RD

RDe2

RQ2RD

RQe

ψ+ψ

ψ=θ

ψ+ψ

ψ=θ

sau

ωRm(t)


RD(t)

mr(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

- )t(i eSQ

)t(i eSD

Sistem de control cu orientare după cacircmp


RD(t)


165

(66) )t()t(ˆtg

RD

RQe Ψ

Ψ=θ

Cu alte cuvinte dacă se dispune de componentele ortogonale ale fluxului de orientare reprezentate icircn sistemul de referinţă staţionar se poate determina poziţia instantanee a fazorului spaţial reprezentativ asociat Observaţii 1 Metoda de determinare a poziţiei fazorului spaţial reprezentativ poate fi aplicată icircn mod similar şi pentru sistemele de control vectorial cu orientare după fluxul statoric sau fluxul de magnetizare 2 Fiind disponibile componentele ortogonale ale fazorul fluxului de orientare şi parametrii maşinii de inducţie controlate atunci icircn baza relaţiilor (23) se poate estima şi cuplul electromagnetic fiind invariant la schimbarea sistemului de referinţă (67) ))t(i)t()t(i)t((p))t(i)t()t(i)t((p))t(i)t()t(i)t((

LLp)t(m SDMQSQMDSDSQSQSDSDRQSQRD

R


O structură de control cu orientare directă după fluxul rotoric este prezentată icircn fig33

Fig33 Structură de control cu orientare directă după fluxul rotoric După cum se observă maşina de inducţie controlată este special echipată cu trei traductoare Hall dispuse adecvat pentru măsurarea fluxurilor magnetice de fază Deşi principial fluxurile magnetice se descompun icircn trei componente (statoric rotoric de magnetizare) fizic fluxurile statoric şi rotoric se compun şi generează fluxul magnetic din icircntrefier care este de altfel şi singurul flux măsurabil Cu alte cuvinte chiar dacă pentru orientare se doreşte măsurarea fluxului rotoric tehnic cele trei traductoare măsoară fluxurile de magnetizare ale fazelor De aceea pentru estimarea fluxurilor rotorice ortogonale din sistemul de referinţă staţionar necesare icircn utilizarea estimatorului de poziţie relaţiile (65) sau (66) trebuie utilizate ecuaţiile de flux ale maşinii care stabilesc legătura icircntre cele două tipuri de fluxuri

Icircn baza relaţiei (17) fluxul rotoric se poate exprima icircn funcţie de fluxul de magnetizare sub forma (68) )t(iL)t()t( RRMR σ+Ψ=Ψ Din păcate utilizarea acestei ecuaţii drept estimator de flux rotoric creează probleme deoarece curentul rotoric este nemăsurabil Totuşi icircn sectVIII3 s-a arătat relaţia (137) că se poate exprima curentul rotoric cu ajutorul curentului statoric astfel (69) ))t(iL)t((

L1)t(i SMRR

R minusΨ=

Rezultă deci că dacă relaţia (69) este icircnlocuită icircn relaţia (68) atunci se obţine următoarea relaţie de estimare a fluxului rotoric cu ajutorul curentului statoric măsurat şi al fluxului de magnetizare

(70) )t(iL)t(LL)t())t(iL)t((

LL)t()t( SRM

M

RRSMR

R

RMR sdotminusΨ=ΨrArrminusΨ+Ψ=Ψ σ

σ

)t(MBψ

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(eRDψ

)t(êθ

)t(MCψ)t(MAψ

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(MDψ

)t(MQψ

)t(iSD

)t(iSQbull Estimator flux rotoric

bull Estimator poziţie

bull Estimator modul flux

bull Estimator cuplu elmg

-

- Regulator cuplu

Regulator flux


166

Icircn acest fel se pot determina ulterior componentele ortogonale ale fazorului fluxului rotoric şi apoi se pot estima poziţia acestuia modulul precum şi valoarea instantanee a cuplului electromagnetic Pe baza mărimilor de reacţie estimate se pot icircnchide buclele de control magnetic (bucla de flux) şi control mecanic (bucla de cuplu) cu ajutorul regulatoarelor de tip PI care vor genera drept semnale de control componentele ortogonale ale curentului statoric ie

SD(t) şi ieSQ(t) icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic cu fazorul spaţial

reprezentativ al fluxului rotoric Protecţia activă a ansamblului invertor-motor se realizează prin limitarea componentei generatoare de cuplu la valoarea curentului impulsional e

maxsqiplusmn suportat atacirct de invertor cacirct şi maşina controlată Generarea semnalelor de referinţă pentru invertorul PWM controlat local icircn curent se realizează aplicacircnd transformata Park inversă cu argumentul (unghiul) determinat anterior

Estimarea mărimilor de reacţie (modulul fluxului rotoric şi cuplul electromagnetic) s-a realizat icircn sistemul de referinţă staţionar Aceste valori sunt independente de sistemul de referinţă utilizat De aceea pentru evaluarea lor s-a utilizat numai transformata Clarke directă Măsurarea directă a fluxului presupune costuri suplimentare pentru echiparea maşinii scăderea fiabilităţii instalaţiei iar la frecvenţe joase (lt3 Hz) chiar imposibilitatea măsurării lui (raport semnalzgomot foarte mic) De aceea icircn vederea estimării fluxului rotoric chiar şi la viteze apropiate de zero se pot utiliza estimatoare bazate numai pe mărimile externe ale maşinii (tensiuni curenţi viteză) De exemplu dacă se utilizează ecuaţia de tensiuni statorice scrisă icircn sistemul de referinţă staţionar

(71) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

atunci fluxul statoric poate fi estimat cu ajutorul relaţiei

(72) int ττminusτ+Ψ=Ψt

0SSS0SS d))(iR)(u()t(

Relaţia de legătură dintre fluxul statoric şi fluxul de magnetizare este de forma (73) MSSS )t(iL)t( Ψ+=Ψ σ sau (74) )t(iL)t( SSSM σminusΨ=Ψ care icircnlocuită icircn ecuaţia (70) permite determinarea fluxului rotoric

Structura de control vectorial direct cu orientare după fluxul rotoric şi estimarea mărimilor de reacţie numai pe baza măsurării tensiunilor şi curenţilor maşinii este prezentată icircn fig34

Fig34 Structură de control cu orientare directă după fluxul rotoric şi estimarea mărimilor de reacţie pe baza mărimilor externe ale maşinii

Observaţie Icircn aplicaţiile practice implementarea imediată a integratorului pur din ecuaţia (72) ridică

probleme serioase datorită imposibilităţii iniţializării corecte a estimatorului şi a derivelor

-

)t(eRDψ

)t(me

)t(iSQ

)t(uSA

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(êθ

)t(uSB)t(uSC

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(uSD

)t(uSQ

)t(iSDbull Estimator flux statoric

bull Estimator flux rotoric




- Regulator cuplu

Regulator flux


167

(offset) inerente semnalelor de tensiune şi curent De aceea icircn astfel de aplicaţii integratorul pur este icircnlocuit cu un filtru trece jos cu o bandă de trecere adecvat aleasă

Metoda indirectă de determinare a poziţiei fazorului de flux Icircn schemele de reglare indirectă nu interesează decacirct poziţia fazorului de flux fără a mai

fi necesară determinarea modulului acestuia Poziţia fazorului este determinată indirect cu ajutorul vitezei mecanice şi a alunecării estimate calculată cu ajutorul modelului maşinii şi al semnalelor de curent sau tensiune măsurate evitacircndu-se astfel necesitatea măsurării sau estimării fluxurilor din maşină Pe de altă parte această metodă de orientare afectează icircn mod considerabil şi metoda de sinteză a structurii de control vectorial Icircntr-adevăr icircn cazul precedent deoarece se dispunea de mărimile propriu-zise de reacţie (modulul fluxului de orientare şi estimaţia cuplului electromagnetic) era posibilă o implementare de structură de control cu bucle de reglare (structură de tip feedback) Icircn cazul metodei de orientare indirectă aceste mărimi nu sunt icircn mod necesar evaluate De aceea structura de control se proiectează cu ajutorul modelului invers al maşinii (structură de tip feedforward) Astfel consideracircnd că sunt precizate cerinţele de flux de magnetizare şi cuplu electromagnetic componentele ortogonale ale curentului statoric icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic cu fazorul spaţial reprezentativ al fluxului rotoric se determină folosind ecuaţiile particulare de flux relaţia (55) şi cuplu relaţia (30) specifice acestui tip de sinfazare (30) )t(i)t(

LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=

(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ

Structura modelelor operaţionale ale celor două ecuaţii este prezentată icircn fig35a iar modelul invers al acestui subsistem este prezentată icircn fig35b

Fig35 Detaliu privind decuplarea buclelor de curent a modelul sistemului electromagnetic al maşinii echivalente b reţeaua de decuplare (modelul invers al sistemului electromagnetic)

Icircn cazul modelului invers funcţia de transfer a căii componentei reactive este necauzală Pentru implementare acest bloc se icircnlocuieşte cu un element de tip avans-icircntacircrziere

(75) ( )1sTL1sT

)s()s(i)s(H

0RM

Re

RD

eSD

++

=Ψ

=

Din considerente de dinamică comparabilă valoarea polului introdus se poate alege de cel puţin 5 ori mai mare decacirct a zeroului funcţiei de transfer inverse )5TT( R0R = Regulatorul de decuplare astfel obţinut este prezentat icircn fig36

Fig36 Structură incompletă de control cu orientare indirectă după fluxul rotoric

)s(ieSD

)s(ieSQ

1sTL

R

M

+ )s(e

RDψ

R

M

LLp me(s)

M

R

L1sT + )s(e

RDψ

)s(me

)s(i eSD

M

R

pLL

1

2 )s(i eSQ

b

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM


Sistem de control cu orientare după cacircmp u0

)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

2

)t(êθ


168

Ca şi icircn situaţia precedentă cacircnd se utilizau estimatoare pe baza modelului de maşină implementarea structurii de control cu orientare indirectă după fluxul rotoric din fig36 impune cunoaşterea cu precizie a parametrilor modelului motorului electric Structura de control vectorial prezentată anterior este icircnsă incompletă deoarece pentru a modula componentele ortogonale ale curentului statoric transformata Park inversă necesită poziţia instantanee a fazorului reprezentativ al fluxului rotoric Pentru determinarea (indirectă) a acestei poziţii se utilizează din nou ecuaţiile particulare ale modelului maşinii reprezentat icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic cu fluxul de orientare Icircn sistemul de referinţă sincron şi sinfazic cu fazorul spaţial reprezentativ al fluxului rotoric ecuaţia (56) stabileşte legătura dintre viteza unghiulară de alunecare componenta activă a curentului statoric şi fluxul rotoric (56) )t(i

)t(TL)t(i

)t(LLR)t( e

SQeRDR

MeSQe

RDR

MRsl

ψsdot=

ψsdot=ω

relaţie care se constituie icircntr-un estimator al alunecării maşinii pentru acest tip de orientare Pe de altă parte ţinacircnd seama de relaţia (13) se obţine

(76) )t(

)t(iTL)t()t()t()t( e

RD

eSQ

R

MRslRe

ψ+ω=ω+ω=ω

ceea ce permite estimarea poziţiei fazorului de flux cu ajutorul relaţiei

(77) intint ττψ

τ+τω=ττω=θ d)

)()(i

TL)(p(d)(ˆ)t(ˆ

eRD

eSQ

R

MRmee

Icircn baza relaţiilor (56) şi (77) structura din fig36 completată cu estimatoarele vitezei unghiulare de alunecare şi cel al poziţiei instantanee a fazorului spaţial reprezentativ al fluxului de orientare este prezentată icircn fig37

Fig37 Structură completă de control cu orientare indirectă după fluxul rotoric Viteza unghiulară de alunecare este estimată pe baza prescrisei componentei active a curentului statoric şi cea a fluxului rotoric Pentru determinarea vitezei unghiulare a fazorului reprezentativ al fluxului rotoric trebuie măsurată sau estimată viteza mecanică a rotorului

Structurile de control vectorial prezentate icircn fig33 fig34 fig36 şi fig37 asigură un

control decuplat al fluxului rotoric şi cuplului electromagnetic al maşinii Dacă icircnsă se doreşte un control icircn viteză atunci ele trebuie completate cu o buclă exterioară icircn care regulatorul de viteză de regulă de tip PI generează referinţa de cuplu pe baza erorii dintre viteza mecanică dorită şi viteza măsurată (sau estimată icircn cazul structurilor de tip sensorless) Pentru valori ale vitezei mecanice pacircnă la viteza nominală ωRmN maşina electrică funcţionează icircn zona de cuplu constant fluxul prescris fiind fluxul nominal ΨRN Dacă se impune funcţionarea icircn regiunea de putere constantă atunci prin intermediul unui bloc generator de prescrisă de flux maşina poate fi subexcitată conform relaţiei

traductor viteză

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

p R

M

TL

1

2 s1

estimator ωsl(t)

ωRm(t)

ωR(t) ωsl(t)

)t(êθ

2


169

(78) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

Ψ

ωleωΨ=Ψ

RNRmRm

RNRN

RNRmRNe

RD )t( )t(

)t( )t(

O structură de control al vitezei cu orientare indirectă după fluxul rotoric şi funcţionare atacirct icircn zona de cuplu constant cacirct şi icircn zona de putere constantă este prezentată icircn fig38

Fig38 Structură de control al vitezei cu orientare indirectă după fluxul rotoric

Bibliografie selectivă [1] A Kelemen M Imecs Sisteme de reglare cu orientare după cacircmp ale maşinilor de curent alternativ Editura Academiei Republicii Socialiste Romacircnia 1989 [2] PVas Vector Control of AC Machines Clarendon Press 1990 [3] W Leonhard Control of Electrical Drives Springer ndash Verlag 1996 [4] DO Kisch Reglarea vectorială a maşinilor de curent alternativ Editura ICPE Bucureşti 1997 [5] A Cacircmpeanu Introducere icircn dinamica maşinilor electrice de curent alternativ Editura Academiei Romacircne 1998 [6] A Trzynadlowski Control of Induction Motor Academic Press 2001 [7] PKrause O Wasynczuk SSudhoff Analysis of Electric Machinery and Drive Systems Wiley Inter-Science 2002 [8] A Simion Maşini electrice Maşina sincronă Editura rdquoGh Asachirdquo Iaşi 2003 [9] I Husain Electric and Hybrid Vehicles Design Fundamentals CRC Press 2003 [10] J Chiasson Modeling and High-Performance Control of Electric Machines Wiley Inter-Science 2005

regulator vectorial

p

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++

)t(eRDψ

M

R

pLL

1

2

1

2 s1

estimator ωsl(t) ωRm(t)

ωR(t) ωsl(t)

ωe(t)

)t(Rmω

-

traductor viteză

R

M

TL

)t(êθ

u0

argument variabil icircn timp (reprezentarea icircn complex nesimplificat) 108 VII14 Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument constant icircn timp (reprezentarea icircn complex simplificat) 109 VII2 Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale polifazate (trifazate) 109 VII3 Fazorul spaţial reprezentativ 112 VIII Modelarea fazorială a maşinii de inducţie 126 VIII1 Modelul fazorial de maşină primitivă al maşinii de inducţie trifazate 127 VIII2 Modelul fazorial de maşină generalizată al maşinii de inducţie trifazatebifazate reprezentat icircntr-un sistem de referinţă general 133 VIII3 Ecuaţia fazorială a cuplului electromagnetic 138 IX Controlul vectorial al maşinii de inducţie 141 IX1 Consideraţii privind structurile de reglare ale sistemelor de acţionare electrică 141 IX2 Principiul controlului vectorial 144 IX3 Controlul fluxului icircn sistemele cu orientare după fazorul fluxului rotoric 151 IX4 Convertoare statice de putere utilizate icircn structurile de control vectorial 153 IX5 Implementarea structurilor de control vectorial 161


1




2





a b


3





a b


4



(2) li

FBBdef

==


(3) TmA

N]B[def==




5




(7) BxniBxmdef


(8) nimdef

sdot=


6




(10) r2

iHπ

=

a b


7


(11) R2

iHπ

=



lC

dlHdlH


kk

l

idlH


(15) liNH =



def=


8


(19) r2

iH 11 π=


(20) r2iliHxliF 210

12012π

μ=μ=




9

(21) SBdef=Φ


SB Φ=


S

dSB



(3) gauss10mWbT

mAN]B[ 4

2

def====



(27) 0

MBMμ

=



10





(32) e2

efdtdQib π

ωminus=minus==


11



(33) LLm2e

mLe

2riSim

ee

2bb γminus=minus=

ωπ

πω

minus=π==



12





a b c d e


13




14




15


00 μμ =+==


(36) 0MBH0

0 ltminus=μ



16





a b c

a b

a b


17



magnetaer CCC



aerC

gtsdotint


magnetC

ltsdotint


C

sdot=sdotint


ik000 +μ=+μ= sum


18



(4) A

BHμΦ

μ==

relaţia (2) devine

(5) Θ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

+μ

Φδ

δ

Al

Al

Fe

Fe



19

(7) AlR m μ

= [AWb]


(8) lA

R1

m

μ==Λ [WbA]


(13) INlBlH0

FeFe =Θ=μ

+ δδ

sau

(14) 1l

Bl

H

0Fe

Fe =Θμ

+Θ δ

δ





20


(16) δδ

δ μ=Θμ

=lNi

lB 0

0



21



(1) dtdNuiΦ

minus=



a b


22


(3) dt

)t(dA)t(B)t(Adt

)t(dBui minusminus=


(4) Adt

)t(dBui minus=


(5) dt

)t(dABui minus=




23


(12) Bxve

FE mi =minus=


Ci dlEu


A

dAB



dABdtddlE




24





)cos|A||B(|dNdt


==minus=sdot

minus=minus=




25


(20) Al

iNAHAB 00 sdotsdot

μ=sdotμ=sdot=Φ


(21) dtdi

lAN

dtdNu

2

0i μminus=Φ

minus=


(22) dtdiLui minus=

unde

(23) m

22

0 RN

lANL =μ=


(24) int sdot=Ψ

=Φ

=A

notdAB

iN

iiNL


WbA

sV]L[ ==sdot

=




26

(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=






(27) dt


+=minus=

(28) dt

dNiRuiRu 22222i222

Φ+=minus=


(32) dtdiM

dtdiLiRu 21

1111 ++=

(33) dtdiM

dtdiLiRu 12

2222 ++=


(34) dt


1111+

+minus+=

(35) dt


2222+

+minus+=



27


(36) 0i2

2

0i2

222

0i1

1

0i1

111

1122ii

NLii

NL====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=

(37) 0i1

2

0i1

22

0i2

1

0i2

11

2211ii

Nii

NM====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=





(40) I21LI

21

2iLLidiuidtE 2

I

0

2I

0

t

0L Ψ===== intint



28

(41) lA

EVEw LL

m ==


(42) lINH =


(23) lANL

2

0μ=


(43) HB21H

21

lAI

lAN

21w 2

0

22

0m sdot=μ=μ=


(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=


(49) HVB21

2HVdHHVdBHVW

2H

0

B



(50) HB21HdB

VWw

B

0

mm sdot=== int


29




30











electrolizatilde

efect Joule


efect fotovoltaic


31



(1) 4200

020

e

m 102E

2Bww

congε

μ=





32




a b c


33





34




35





r

a b


36


(3) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr


r


(5) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr








37





(8) intΓ

sdotminus=S

i SdBdtdu

rr

sau

(9) dtduiΦ

minus=

(10) intΓ

sdot=ΦS

SdBrr



(11) 12 l

2lS π

=


(12) 12 l

2lBBS π

==Φ

SΓ

dS

Γ


38


(13) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2l)B(dzd

2lBSdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

θπθθπθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=minus+=sdot=

+

+

int intint intintrr


(14) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2lBdzd

2l)B(SdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

πθθπθθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=+minus=sdot=

+

+

int intint intintrr


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ



(16) RER21R

21R

R

R21R

R

RRi KBll

dtdBll

dtd))

2mod(Bll(

dtd)(

dt)(du ω=ω=

θ=

θθpart

πminusπθpart

=θ

θpartθΦpart

minus=θΦ

minus=


39





(18) ⎩⎨⎧


θminusθ20

00)(K

R

RR




R

1 R

R

l

0R

2R

l

0

2

Sa dzd)(Ki

2ldzd)(Ki

2ldSB)i(

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθψ


(20) i

)i(Laψ

=


(21) 0dzd)(K2lL

1 R

R

l

0R

2def


θ

θθθ


(23) dtdiLiR

dt)i(diRV aS +=

ψ+=



40



dtdiLiRV ω++=++=


(25) RLmR D




(28) Rm

2a

2RT

2a

2

REa2

S

)t(iL21

dtd)t(iRK)t(i)t(iL

21

dtd)t(iR

K)t(idt


ωτ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=ω++=




41





42




rrrrrrrang=sdot=Φ



43





rrrrsdot=sdot=Φ


r

a b c


44


(37) f

fff i

)i(L ψ=


(38) dt

)t(diL)t(iRdt

)t(d)t(iR)t(V ffff

ffff +=

ψ+=


(39) dt

d)i(dtdi

i)i(

dt)i(du R

R

Rff

f

RfRfi

θθpartθψpart

minuspart

θψpartminus=

θψminus=


i)i( f

f

Rf



(40) RR

RfR

R

Rfi

)i(dt


minus=θ

θpartθψpart

minus=


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ


(41) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minus+θminus=θΦ2

modn



(42) sumsum==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π


1kRf21

n

1kRfkRf 2

modn

)1k()i(Bll)i()i(


(43) RERf21RR


θpartθψpart

minus=


(44) REaS nKdt




=π

=



45


=τ


(47) RfMaS iKdt



(48) fff

ffff iRdtdiLiRV =+=



(49) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

ψ

ωleωψ=ψ

bRR

b0f

bR0f

fref


(50) const)(signLK

LK

LKiKu Rb0f

f

MR

R

b0f

f

MR

f


ωω

ψ=ωψ

=ω=



46





47




(4) 2

I)t(i2

I)t(i4

1t SSb

SSa

S==

πω

=

(5) SSbSaS

I)t(i0)t(i2

1t ==π

ω=


48

(6) 2

I)t(i2

I)t(i4

31t SSb

SSa

S=minus=

πω

=




a b


49




50





51




a b


52



53




54










55




a b


56


kk

CSa idlH




k

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa idlHdlHdlHdlH

sau


k

4

3Sa

2

1Sa idlHdlH



k

4

3Sa

2

1Sa idl)(Hdl)0(H


(10)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧


ltle

=


πθ

θ

235 03523 i2334 i33432 i4

322 i323 i

30 0

i)(n

Sa

Sa

Sa

Sa

Sa

Sac



57



SSa =sdotint




θθμθθθθ2

0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(13) δθθ Sac



(14) 0di)(n)0(H2

0

SacSa =⎟

⎠⎞


θδθ


(15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝


35

23

23

34

34

32

32

2

2

3


0c

Sa2

0Sa

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

θθθθθδ

θθδ

θππ

sau

(16) πδ

πππππδ

π 4i66

33

246

36

i2)0(H SaSaSa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=sdot


(17) δ

= SaSa

i2)0(H


(18) δθminus

=δθ

minus=θ SacSacSaSa

i))(n2(i)(n)0(H)(H


58


(19) δθminus

μ=θ Sac0Sa

i))(n2()(B



(20) suminfin

=

θ+θ=θ0k


unde


T2a

2

0Sa

T

0Sak

2

0Sa

T

0Sak intintintint

ππ

θθθπ

=θθθ=θθθπ

=θθθ=


(22) suminfin

=

θ=θ0k

kSa kcosa)(B


(23)

)(

πδμcong⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +πδ

μ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πδμ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πδμ=


μ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠


πδμ=

=⎟⎟⎠


⎜⎜⎝


π=θθθ

π=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ


intintintint

intintintint

4i86612

324i2344i

2321

23

231

23

2321

23

231

232i





Sa0

Sa0

Sa0

Sa0

235

3523

2334

3432

322

23

30

Sa0

2

35

35

23

23

34

34

32

32

2

2

3

3

0

Sa0

2

35Sa

35

23Sa

23

34Sa

34

32Sa

32

2Sa

2

3Sa

3

0Sa

2

0Sa1


(24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== int 6


0

2

0Sak

ππδ

μθθθπ

π


59


(25) θπδ






60


(28) m0m0

m0


intint

adică

(29) 2

NSm =η


(30) θ=θη sin2

N)( S



kk

CSa idlH

sau


α⎟⎠⎞


0

SSa

0Sa

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa dsin

2Nid)(idlHdlHdlHdlH



4

3Sa

2

1Sa cos

2NidlHdlH

sau


cos2

Ni2

Nidl)(Hdl)0(H SSa

SSa

0Sa

0Sa


(35) δ

minus+θδ

=θ2Ni)0(Hcos

2Ni)(H S

SaSaS

SaSa


61


SSa =sdotint




0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(38) 0d2Ni)0(Hcos

2Nirl

2

0

SSaSa

SSa01 =θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δminus+θ

δμ int

π

sau

(39) 02Ni)0(Hsin

2Ni 2

0S

Sa20Sa

20

SSa =θ

δminusθ+θ

δπππ


(40) δ

=2Ni)0(H S

SaSa


(41) θδ

=θ cos2Ni)(H S

SaSa


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa




62




(43) θ=π

+θ=θη cos2

N)2

sin(2

N)( SSb


(44) θδ

μθπδ

μθ sini2N

2cosi

2N)(B Sb

S0Sb

S0Sb =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=






δμ=θ+θ=θ


63


(48) )tcos(2


IN)ii(B SSS

0SSSS

0SbSaS θminusωδ

μ=θω+θωδ

μ=θ





64




65


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa


(50) θθ= dsin2

NdN SS


(51)

θδ


μ=αδ

μ=

=ααδ

μ=αα=sdotα=θΦ

θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ


sini2Nll))sin((sini

2N

2llsini

2N

2ll

dcosi2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

SaS

210SaS21

0SaS21

0

SaS21

0

l

0

2Sa

spiraSSaSa

1


(52) θθδ


2lldN)()(d 2

Sa

2S21

0SSaSa


(53) intintππ

θθδ

μ=θΨ=Ψ0

2Sa

2S21

00

SaSa dsini2N

2ll)(d

Cum

(54) 2

2sin41

21dsin 00

0


π

int

se obţine

(55) Sa2S

210Sa i

4N

2ll

δπμΨ =


(56) 2S

210

Sa

SaSaM N

42ll

iL

δπ

μ=Ψ

=



66


(57) θ=θη sin2

N)( RR





(58) θδ

μ=θ cosi2N)(B Ra

R0Ra



R0RRa θminusθ

δμ=θθ


(60)


2N

2ll)(sini

2N

2ll

d)cos(i2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

RRaR

210RRRaR21

0RRaR21

0

RRaR21

0

l

0

2RRa

spiraSRRaRSaRa

1

θminusθδ


μ=θminusαδ

μ=

=αθminusαδ


θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ



(61) θθθθδ


2lldN)()(d RRa



67



θθθθδ

μθθΨθΨ0

RRaRS21

00


2ll)(d)(


(63) R0R0R0

R0

R0

R cos2

)2sin(21cos

21d)2cos(dcos

21d)sin(sin θ

π=⎟

⎠⎞


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


πππ

intintint


(64) RaRRS21

0RSaRa icosNN42

ll)( θδπ

μ=θΨ


(65) RRS21

0Ra

RSaRaRSaRa cosNN

42ll

i)()(L θ

δπ

μ=θΨ

=θ



abull

aarsquoarsquo

θR

bull

ω


68




69


dt)t(dtsinE)t(e S

ψω minus==


SS ω




70



71



(5) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

BbBa

AbAa

Sb

Sa

BBBA

ABAA

Sb

Sa

ii

LLLL

ii

LLLL


(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

bbba

abaa

Sb

Sa

bBbA

aBaA

Rb

Ra

ii

LLLL

ii

LLLL


a arsquo

brsquo

bθR

arsquo

abrsquo

b

bull

ωR

uSaiSa

uRaiRa

uSbiSb

uRbiRb bull

bull

bull


72


(10) αδπ

μ= cosNN42

llL yx21

0xy


(11) Sm

not2S

210BmAm LN

42llLL =

δπ

μ==


(12) Rm

not2R

210bmam LN

42llLL =

δπ

μ==


(13) 02

cosN42

llLL 2S

210BAAB =

πδπ

μ==


(14) 02

cosN42

llLL 2R

210baab =

πδπ

μ==


(15) RRS21

0bBBbaAAa cosNN42

llLLLL θδπ

μ====

(16) RRS21

0RRS21

0bAAb sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μminus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ==

(17) RRS21

0RRS21

0aBBa sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θminusπ

δπ

μ==



73


(20) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

RR

RRSm

S

R

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

LNN

ii

LL00LL

(21) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

Sm2S

2R

R

Sm2S

2R

R

Sb

Sa

RR

RRSm

S

R

Rb

Ra

ii

LNNL0

0LNNL

ii

cossinsincos

LNN


(22) dt

diRu SaSaSSa

Ψ+=

(23) dt

diRu SbSbSSb

Ψ+=


(24) dt

diRu RaRaRRa

Ψ+=

(25) dt

diRu RbRbRRb

Ψ+=


(26) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

(27) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu


Raportul spirelor S

R



(28) RS

RRR

R

SR i

NNi u

NNu ==

şi parametrii

(29) R2R

2S

RR2R

2S

R LNNL R

NNR σσ ==


74


S


(30) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

unde

(31) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

σ

σRb

Ra

Sm

R

Sm

R

Sb

Sa

RR

RRSm

Rb

Ra

ii

LL00LL

ii

cossinsincos

L


(32) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σRb

Ra

RR

RRSm

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

Lii

LL00LL


(33) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θθminus+θθ

θθ+θminusθ+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

Rb

Ra

Sb

Sa

Sm

RRSmRSm

Sm

RRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii




uRimiRm

uSi1iS1

Sistem electric

Sistem mecanic

Cacircmp magnetic

uS1iS1

uS2iS2

uRmiRm



75


(37) ikk

kkkkk

kkkk udtdiLiR

dtd

dtdiLiRu ++=

Ψ++= σσ


kkik

kkkk

k

2kk

kkk

kkkk

k

2kk



(39) exteR

2R

2mm

dtdD

dtdJ =minus+

θθ


(40) ReRR

R2R

2

Rext dmddt

dDddt





kkik

kkkm dtiuiddW




kθ+=

=Ψ

sau

(45) constR

me

kddWm

=Ψθminus=


76



⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψ

kkkm

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk didW2dii

21d2diidid



sau (48) Rem



kθ+minus=

=

sau

(50) constiR

me

kddWm

=θ=


(51) )iiii(21i

21W

RbRb

Ra

RaSbSbSaSa



RbR




(54) ( )RaSm

RRSbRSaSm

Ra

Ra



77

(55) ( )RbSm

RRSbRSaSm

Rb

Rb



(56)


))ii(L)ii(L(21



))ii(L)ii(L(21W

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaS

RRbSbR

RbSaR

RaSbR

RaSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaSm

θ+θ+θminusθ+

++++=

=θ+θminusθ+θ+

+θ+θ+θminusθ+

++++=


(57) [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θminusθ+θθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=


part=

π

π

Rb

Ra

R2R

2RRSbSaSm

Rb

Ra

RR

RRSbSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

R

me

ii

sin)sin()sin(sin

ii-Lii

sincoscossin

ii-L



(58) RR

RLeR

dtdDmm

dtdJ ω=

θωminusminus=

ω




78




a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

θR bull

bull

ωR

32π

32π

32π

bull

bull

bull

bull

bull


79


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

S

S

S

SC

SB

SA

dtd

iii

R000R000R

uuu

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

RC

RB

RA

RC

RB

RA

R

R

R

dtd

iii

R000R000R

000


(61)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

cccbcacCcBcA

bcbbbabCbBbA

acabaaaCaBaA

CcCbCaCCCBCA

BcBbBaBCBBBA

AcAbAaACABAA

RC

RB

RA

SC

SB

SA

iiiiii



(62) Sm

not2S

210CmBmAm LN

42llLLL =

δπ

μ===

(63) Rm

not2R

210cmbmam LN

42llLLL =

δπ

μ===


(64) 2

L3

2cosN42

llLLLLLL Sm2S


⎠⎞

⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(65) 2

LNN

2L

32cosN

42llLLLLLL Sm

2S

2RRm2

R21


⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(66) RSmS

RRRS


NNcosNN

42llLLLLLL θ=θ

δπ

μ======

(67) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210aCcBbACaBcAb

(68) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210bCaBcACbBaAc



80

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ


⎜⎝⎛ π

minusθθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ+minusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminus+minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθminusminus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

Sm

RSmSmRSmRSmRSm

SmSm

RSmRSmRSmRSm

SmSmSm

RRSmRSmRSm

RSmRSmRSmSmsSmSm

RSmRSmRSmSmSmSSm

RSmRSmRSmSmSmSmS

RC

RB

RA

SC

SB

SA

i

i

i

i

i

i

LLL21L

21cosL

32cosL

32cosL

L21LLL

21

32cosLcosL

32cosL

L21L

21LL

32cosL

32cosLcosL

cosL3

2cosL3

2cosLLLL21L

21

32cosLcosL

32cosLL

21LLL

21

32cosL

32cosLcosLL

21L

21LL


(70) ⎟⎠⎞


θpartpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotΨ

θpartpart

=θpart

part= I)(LI

21I

21Wm R

TT

R

T

RR

me

unde

(71)

( )( )

( )( )( )

RBSCRASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

RC

RB

RC

RA

RB

RASCSBSCSASBSASm

2RC

2RB

2RA

R

2SC

2SB

2SAS

Tm

iiiiii)cos(L

iiiiii)cos(L

iiiiiicosL

)iiiiiiiiiiii(L21-

)iii(L)iii(L21I

21W

++minusθ+

++++θ+

+++θ+

++++++

minus+++++=sdotΨ=

π

π


(72)

( ) ( )( )

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

=++minusθminus


part=

ππ

ππ

ππ

π

π

RC

RB

RA

R32

R32

R

32

RR32

R

32

R32

RR

SCSBSASm

RBSC

RASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

R

me

iii


iii-L

iiiiii)sin(L




81



82


(1) ⎩⎨⎧

+==+=


amp


(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=





83



23u ==

(19) 3f2f3f2f i23iuu ==

(20) 3f2f3f2f i23iu



(21) θ=θ=

β

α

sinNNcosNN

3f

3f


84


(22) 00sinNN

N0cosNN

3fA

3f3fA

==

==

β

α

3f3fB

3f3fB

N23

32sinNN

N21

32cosNN

=π

=

minus=π

=

β

α

3f3fC

3f3fC

N23

34sinNN

N21

34cosNN

minus=π

=

minus=π

=

β

α


21iN

21iN =minusminus



23

=minus


(25)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


SCSB2f

3fSb

SCSBSA2f

3fSa

i23i

23

NNi

i21i

21i

NNi


(27) SA2f

3fSa i

23

NNi =

sau

(28) 3f2f

3f2f i

23

NNi =


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

α

βNAβ iSA

iSB NBβ

NCβ

NAαNBαNCα

c


85

(29) 32

NNi

23i

23

NNi

2f

3f3f3f

2f

3f2f =rArr==


(30) 3f2f N23N =


(31) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

Sb

Sa

iii

23

230

21

211

32

i

i


(32) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sb

Sa

SC

SB

SA

i

i

23

21

23

21

01

32

iii


(34) 03

ii3

ii3

ii NSC

NSB

NSA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

sau (35) 0iii

SCSB

SA =++




(36) 3

i3

iiii NSCSBSA0 =

++=


(37) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

+=

+=

+=


(38) 0iN

23iN

23

0iN21iN

21iN

03f03f

03f03f03f

=minus

=minusminus



86





(39) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

minus=

minus=

minus=

(40) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


⎠⎞


⎠⎞


SCSB0SC0SBSC

SBSb

SCSBSA0SC0SB0SASC

SB

SASa

i23i

23

32ii

23ii

23

32i

23i

23

32i

i21i

21i

32ii

21ii

21ii

32i

21i

21i

32i


1f

3fe0 i

NN3i =


(45) 3f1f1f

3f N3N3NN3 =rArr=


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

βNAβ irsquo

SAirsquo

SBirsquoSC

NBβ

NCβ

NAαNBαNCαi0

Nf3

Nf3

Nf3

i0

Nf3

Nf3

Nf3

c


87


(46) 2

iii32


0e0++

=++

==


(47) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

Sb

Sa

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii

(48) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

Sb

Sa1

0S

Sb

Sa

SC

SB

SA

iii

]C[iii

21

23

21

21

23

21

2101

32

iii




m2π

=α


(50) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sm

2S

1S

0S

Sb

Sa

i

ii

21

21

21


m2

iii

ML

L

L


a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a

brsquob

bull α

β

Nf2

Nf2

iSa

iSb

b

Nf1

iS0 ]C[

rArr

1]C[ minuslArr


88



a

D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θR

α

β

drsquo d

qrsquoq

bullbull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iSD

iSQ

iRD

iRQ

A

A

B B

C C


89

(51) ][dtd]I][R[]U[ SSSS Ψ+=

(52) ][dtd]I][R[]U[ RRRR Ψ+=



unde

(55) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

(56) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=



)](L[LLLLLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR

SSm21

Sm21

Sm21

SSm21

Sm21

Sm21

S

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ



)](L[LLL

LLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS

RSm21

Sm21

Sm21

RSm21

Sm21

Sm21

R

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ




1SSS


(60) ( ) ][dtd]I[]C][R][C[]][C[


1RRR


unde

(61) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===



]I[]C)][(L][C[]I[]C][L][C[

]I][C[]C)][(L][C[]I][C[]C][L][C[]][C[][

RDQ1

RSRSDQ1

SS

R1

RSRS1

SSSSDQ

minusminus

minusminus

θ+=

=θ+=Ψ=Ψ

(63) ]I[]C][L][C[]I[]C)][(L][C[

]I][C[]C][L][C[]I][C[]C)][(L][C[]][C[][

RDQ1

RRSDQ1

RRS

R1

RRS1

RRSRRDQ

minusminus

minusminus

+θ=

=+θ=Ψ=Ψ


(64) [ ] [ ][ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+minusminus

minus+minus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

== minus

cba00

0)cb(a)bc(

0)cb()cb(a

21

23

21

21

23

21

2101

32

acb

bac

cba

21

21

21

23

230

21

211

32Z

21

23

23

21

1CCZ


90




(66) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ S

S

S

S1

SS =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(67) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ R

R

R

R1

RR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(68) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

S

Sm23

S

Sm23

S

SmS

Sm21

S

Sm21

S1

SSSS

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


(69) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

R

Sm23

R

Sm23

R

SmR

Sm21

R

Sm21

R1

RRRR

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


2RSm3



SR ]C)][(L][C[)](L[

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=ππ

ππππ

ππππ

32

R32

RRSm

32

R32

R21

RSm32

R32

RSm23

32

R32

RSm23

32

R32

R21

RSm


0coscosLcoscoscosL






(72) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθminusθ

=θ=θ=θ minus


]C)][(L][C[)](L[)](L[ RSm23

RSm23

RSm23

RSm23

1RSR

TR

RSR

SR


91


(73) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(74) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(75) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Rb

Ra

Sb

Sa

SmRRSmRSm

SmRRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ


(76) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

SQ

SD

SQ

SD

S

S

SQ

SD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(77) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

RQ

RD

RQ

RD

R

R

RQ

RD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(78)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

RQ

RD

SQ

SD

Sm23

RRSm23

RSm23

Sm23

RRSm23

RSm23

RSm23

RSm23

Sm23

S

RSm23

RSm23

Sm23

S

RQ

RD

SQ

SD

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ




2f21

02Sm N42

llLδπ

μ=


3f21

03Sm N42

llLδπ

μ=


(81) 23f

22f

3Sm

2Sm

NN

LL

=


(82) 32

NN

2f

3f =


23L ==



92





D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θg bull

bull

ωg

iS0 Dg

Qg Drsquo

D

θg ωg

Q Qrsquo

Nf2

Nf2

Nf2

iSD

igSDig

SQ

iSQ

Nf1


93


gSQ2fg



gSQ2fg



(86) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡gSQ

gSD

gg

gg

SQ

SD

ii

cossinsincos

ii


(87) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

SQ

SD

gg

gggSQ

gSD

ii

cossinsincos

ii




(89) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0S

SQ

SD

g

0S

SQ

SD

gg

gg

0S

gSQ

gSD

iii

Diii

1000cossin0sincos

iii


(90) ( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ=θ minus

1000cossin0sincos

DD gg

ggT

g1

g




94


(91) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0R

RQ

RD

Rg

0R

RQ

RD

RgRg

RgRg

0R

gRQ

gRD

iii

Diii


iii

(92) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θminusθ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0R

gRQ

gRD

1Rg

0R

gRQ

gRD

RgRg

RgRg

0R

RQ

RD

iii

Diii


iii




dtd]I][R[]U[ SDQSDQ

SSDQ Ψ+=


RRDQ Ψ+=

unde

(95) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===


SRSDQ

SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

β

α

θg

bull

bull

ωg

iR0 Dg

Qg θg

ωg

Nf2

Nf2

Nf2

igRD

igRQ

Nf1

θR drsquo d

bull ωR

bull

θR

drsquo

d

Nf2

iRD

iRQ q

qrsquoq

qrsquo

β

bull

b

D Drsquo

β

Qrsquo Q

α

β

qrsquoq

bull

ωR

a

iS0 iR0

bull bull

bull θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg

igRD

igRQ drsquo

drsquo

d

d

iRD

iRQ qrsquo

qqrsquoθR

θR

α

bull igSD

igSQ

iR0

)](D[)](D[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](D[

)](D[minus

minus

θθminusθ

lArriSD

iSQ


95


(98) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U)][(D[]U[

gSDQ

1gg

gSDQ

1g

Sg

SDQg1

ggSDQg1

gSgSDQg

gSDQ

Ψθθ+θθ=


minusminus

minusminus

(99) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U[

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1Rg

RRg

RDQRg1

RgRgRDQRg1

RgRRg

gRDQ

Ψθθθθθθθθ


minusminus

minusminus




dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

SDQ1

ggSDQ

1g

gSDQ


(101) ( ) ( ) ( ) ][)](D[dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

RDQ1

RggRDQ

1Rg

gRDQ



(102) ]Z[b000a000a

1000cossin0sincos

b000a000a

1000cossin0sincos

)](D][Z)][(D[ gg

gg

gg

gg1

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ minus


1000cossin0sincos

dtd)](D[

dtd

gggg

gg

ggg

gg1

g θω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


ω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ minus

(104) ]J[000001010

0000sincos0cossin

1000cossin0sincos

)](E)][(D[ gg

gg

gg

gg

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ

(105)

1gRRg

RgRg

RgRg

RR

RR

gg

gg1

RgRg

)](D)][(Z)][(D[]K[0000a000a



1000cossin0sincos

)](D)][(Z)][(D[

minus

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θminusθθθ




dtd)](D[]I][R[]U[ S

S

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

gS


(107) ( ) ]R[]R[]R[][)](D[dtd)](D[]I][R[]U[ R

R

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR



(108)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J[][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gSDQg

gSDQ

gSDQ

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

1g

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

Ψω+Ψ+=

=Ψθθ+Ψθθ+=

=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


96

(109)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J)[(][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gRDQRg

gRDQ

gRDQ

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gSDQ

1Rg

gSDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gRDQ

ΨωωΨ


ΨθθΨθθθθ

minus++=


=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


(110) ]I[)](D)][(L)][(D[]I[)](D][L)][(D[

]I)][(D[)](D)][(L)][(D[]I)][(D[)](D][L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

1g

SSg

RDQRg1

RgRSRgSDQg

1g

SSg

SDQggSDQ

minusminus

minusminus

θminusθθθ+θθ=


=Ψθ=Ψ

(111) ]I[)](D][L)][(D[]I[)](D)][(L)][(D[

]I)][(D[)](D][L)][(D[]I)][(D[)](D)][(L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1Rg

RRRg

gSDQ

1gR

RSRg

RDQRg1

RgRRRgSDQg

1gR

RSRg

RDQRggRDQ

minusminus

minusminus



=Ψθminusθ=Ψ



SSgSS

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

gSS


(113) ]L[]L[]I][L[]I[)](D)][(L)][(D[][ RR

gRR

gRDQ

gRR

gSDQ

1gR

RSRg



RDQgSR

gSDQ

gSS

gSDQ +=Ψ

(115) ]I][L[]I][L[][ gRDQ

gRR

gSDQ

gRS

gRDQ +=Ψ

unde

(116) ]L[0000L000L

]L[ gRSM

MgSR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= SmM L

23L =


(117) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gSQ

gSD

ggSQ

gSD

gSQ

gSD

S

SgSQ

gSD

0110

dtd

ii

R00R

uu

(118) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gRQ

gRD

RggRQ

gRD

gRQ

gRD

R

RgRQ

gRD

0110

)(dtd

ii

R00R

00

uu

(119)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨ

ΨΨ

σ

σ

σ

σ

gRQ

gRD

gSQ

gSD

MRM

MRM

MMS

MMS

gRQ

gRD

gSQ

gSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL



97



RDQTg

RDQgSDQ

TgSDQR

TRS

TS +=+=

unde



0RgRQ

gRD

gRDQ

T0R

gRQ

gRD

gRDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

TRCRBRAR

TRCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

====

====

Se obţine

(122) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=


(123) 0R0R0RR

gRQ

gRDRg

gRQ

gRQR

gRD

gRQRg

gRD

gRDR

0S0S0SSgSQ

gSDg

gSQ

gSQS

gSD

gSQg

gSD

gSDS

idtdiRi)(

dtdiRi)(

dtdiR

idtdiRi

dtdiRi

dtdiRS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞


⎠⎞


+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψω+Ψ++⎟

⎠⎞



(125) ( )( )

( ) ( )dtii)(dtii

idididididid

dt)iii(R)iii(RdW

gRD

gRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ

gSDg

0R0RgRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD

20R

2gRQ

2gRDR

20S

2gSQ

2gSDS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++++=


RDgRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ



SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gRQM

gSQS

gSQ

gRDM

gSDS

gSD

gSQ

gSQ


(128) ( ) ( )

( ) ( )gSD

gSQ

gSQ

gSD

gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gRD

gSQM

gRQR

gRQ

gSDM

gRDR

gRD

gRQ

gRQ

gRD

iiiiiiL

iiLiLiiLiLii


=+minus+=ΨminusΨ


98


SDgSQ

gSQ

gSDR

gSD

gSQ

gSQ

gSDR

gRD

gRQ

gRQ



SDgSQ

gSQ

gSD

R

me ii

ddWm ΨminusΨ=θ

=


SDgRQ

gSQ

gRDMe iiiiLm minus=


SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipLiip

ddWp


θ=

θ=


(134) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii


(135) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

SQ

SD1

0S

SQ

SD

SC

SB

SA

iii

]C[iii

123

21

123

21

101

iii


(136) ( ) ( )0R0R0S0SgRQ

gRQ

gRD

gRD

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiu13iuiuiuiu

23

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=



99

(137) ( ) ( )gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipL

23iip

23

ddWp


θ=

θ=


gSDQ θ=θ=θ=


(139)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θ=θ

21

21

21

23

230

21

211

32

1000cossin0sincos

]C)][(D[)](P[ gg

gg

gg


2πplusmn adică

(140)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

= ππ

ππ

21

21

21


32

21

21

21

23

230

21

211

32]C[ 3

23

23

23

2


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ ππππ

ππππ

21

21

21


32)](P[ 3

2g3

2g3

2g3

2ggg

32

g32

g32

g32

ggg

g

(141)

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


= ππ

ππ

21

21

21

sinsinsincoscoscos

32

32

g32

gg

32

g32

gg


100


g11

g1


(143) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θminus+θ

minusθminusminusθ

θminusθ

=θ

ππ

ππminus

21sincos

21sincos

21sincos

32)](P[

32

g32

g

32

g32

g

gg

1g




β

bull

b

θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg ig

RD ig

RQ

drsquo

d

qrsquoq

qrsquo

α

bullig

SD

igSQ

iR0

)](P[)](P[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](P[

)](P[minus

minus

θθminusθ

lArr

a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC

A

A

B B

C C


101


(144) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sSQ

sSD

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

dtd

ii

R00R

uu

(145) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sRQ

sRD

RsRQ

sRD

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

0110

dtd

ii

R00R

00

uu

(146)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

sRQ

sRD

sSQ

sSD

MRM

MRM

MMS

MMS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL

(147) )ii(pm sSD

sSQ

sSQ

sSDe ΨminusΨ=




(149) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

sSQ

sSD

ii

R00R

uu

dtd

(150) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

RsRQ

sRD

ii

R00R

0110

dtd


(151)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus

sRQ

sRD

sSQ

sSD

1

RM

RM

MS

MS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0L

L0L00L0L

iiii


(152) sRD

sRDR

sSDM

sSD

sRDM

sSDS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+

(153) sRQ

sRQR

sSQM

sSQ

sRQM

sSQS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+


(154) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

MRRS

RM

MS

RsRD

MsSD

sSD LL

LL1

LLLLLL

i


102

(155) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

SMRS

RM

MS

sRDM

sSDS

sRD LL

LL1

LLLL

LL

i

unde prin

(156) RS

2M

LLL

=σ


(157) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

MRRS

RM

MS

RsRQ

MsSQ

sSQ LL

LL1

LLLLLL

i

(158) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

SMRS

RM

MS

sRQM

sSQS

sRQ LL

LL1

LLLL

LL

i


(159)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minusminus

σ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sRQ

sRD

sSQ

sSD

SM

SM

MR

MR

RSsRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0LL0L00L0L

LL1

iiii


(160) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SCA

SBC

SAB

SC

SB

SA

uuu

110011101

31

uuu



103


RS

RS

RR

RR

SDψ

SQψ

RDψ

RQψ

SDi

SQi

RDi

RQi

uSA

uSB

uSC

iSA

iSB

iSC

3 rarr 2 2 rarr 3

A

B

C

D

Q Q

D A

B

C

p

p

1J

D

ωRm

ωR

me

-

-

-

-

-

- -

-

mL

uSD

uSQ

SDψ SDi

RDi

SQi

RQi

RDψ

SQψ

RQψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SDi

RDi

-

-

SDψ

RDψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SQi

RQi

-

-

SQψ

RQψ


104



105



ω

y

xO

Arsquo A

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1

Y2x0 γgt0

ω A2 γlt0

a b


106









ω=γ+ω




mică OA3 (fig2a)



y

xO

Brsquo BγY

Aω

y1

xO

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1 1Y2

ω A2

a b

y Y2k A

2Y2

Y2 y1

y2

A3

A2

A1

2π

2π

y3

y2

Y2ω

ωY2


107


(8) γ= |Y)t(yFnot




(11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=ϕ=

=ϕ+==



(13) r


22

21

jj2

j121

21ϕ+ϕ


(14) ( )21j21 errp ϕ+ϕ=

(15) ( )21j

2

1 errd ϕminusϕ=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C


108






respectiv minus π2

adică

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ=minus= 2

j2

jrecjrecj





21yyy +=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C

α1

φ+α

ejαc

r

Rey O

Y2

j

y

Imy

ωt+γ


109


(22) ( )dydt


Observaţie





(23) yedtyd

2jπω=


jω

(24) ( ) yj1e

jY2d)(y tj

ω=

ω=ττ γ+ωint

Observaţie


icircn sens invers


ω=int


(26) γ== jdefnot



πω

=2

f (respectiv



n2π radiani adică


110

(28)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusω=

γ+ω=

n2)1n(tsinY2

nT)1n(tsinY2)t(y

n2tsinY2

nTtsinY2)t(y

tsinY2)t(y

n

2

1

L


(29) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎜⎝⎛ πminusγ

γ === n2)1n(j

nn

2j

2j


(30) n

2sinjn

2cosea n2j

nπ

+π

==π


1n1






O

j

a1

Im

2πn

1 a2a3a4

an-1

an-2

a0

Re

Re Re

O

j Im

Y3

Y2

Y1

Yn Yn-1

O

j Im

Y3

Y2 Y1

Yn

Yn-1

a b


111


(35)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+γ+ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

γ+ω=

32tsinY2

34tsinY2)t(y

32tsinY2)t(y

tsinY2)t(y

ddd3

dd2

dd1




(37) 23j

21

32sinj

32coseaa 3

2j1def

3 +minus=+===ππ

π


(38) 2

12kk3210

a23j

21

23j

21a

23j

21aa 21kaa 0aaa

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus=




Y1i Y1d 32π

3

2π

32π

Re

Im

Y2d

Y3d

γ

j

32π

3

2π

32π

Re

Im

Y3i

Y2i

γ

j

ω ω

a b


112



(41) θ=θη sin2

N)( SAA


(42) )


2)t(iN

dsin)t(i2

Nd)t(i)()t(

SASSASSAS

SAS

SAAAAA

π+θ=θ=α=

=αα=ααη=θΘ

θπ+θ

π+θ

θ

π+θ

θintint




x x x x

x x x x

x x x

x x

θ

π 2π 0

ηAArsquo(θ)

a

bull

ΘAArsquo(θ)

π 2π 0x

b

d

A Arsquo

c

A

Arsquo

xx x

xxx x

xxx

xx

xx xx x

x


Br

Γ θ

θ

iSA


113


(43) θδ

=δ

θΘ=θδ cos

2)t(iN

2)t(

)t(H SASAAAA

(44) θδ

μ=θμ=θ δδ cos

2)t(iN)t(H)t(B SAS0

AA0AA



(45) 0jSAS

not

Ai0jSAS

not

Ad

jAi

jAd

jSASjSASjj

SASSASAA

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(e2

)t(iNe2


minus

minusminusminus

==

+=+=+

==

ΘΘ



ΘAArsquo(θt)

π 2π0

θ

a b

A Arsquo


ΘAi(t)

iSA


114



2SBS3

2SBSBB


4SCS3

4SCSCC


(48)

32

32

32

32

32

32

jSBSnot

BijSBS

not

Bd

jBi

jBd

jjSBSjjSBS

jjjj

SBS32

SBSBB

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=

(49)

34

34

34

34

34

34

jSBSnot

CijSCS

not

Cd

jCi

jCd

jjSCSjjSCS

jjjj

SCS34

SCSCC

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=


(50) ( ) ( ) θθ

Σ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘj

CiBiAij

CdBdAd

CCBBAA


)t()t()t()t(

+++++=

=++=minus




a b

A Arsquo

BBrsquo

CCrsquo

iSA

iSB

iSC

θ 3

2π

32π

32π

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo


115


23

43



2Na)t()t()t(i

2Na)t()t()t(i

2Na)t( CdSC

S2def

CCBdSBS1def

BBAdSAS0def



2N)t()t()t()t( SC

2SB

1SA




116



(55) ( ) ( )( ) ( )

θΣ

θΣ

θθ

θθ

Σ

ΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘ

jj

jCC

BB

AA

jCCBBAA

jCiBiAi

jCdBdAd

CCBBAA

e)t(e)t(



)t()t()t()t(

+=

=+++++=

+++++=

=++=

minus

minus

minus


(56) )t(i

2Na)t(i

2N)a()t(

)t(i2

Na)t(i2

N)a()t()t(i2

Na)t(i2

N)a()t(

SCS1

SCS2

CC

SBS2

SBS1

BBSAS0

SAS0

AA

sdot=sdot=


Θ

ΘΘ

(57) ))t(ia)t(ia)t(ia(2

N)t()t()t( SC1

SB2

SA0S

CCBB

AA




(58) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( SS

SC2

SBSAS

ΣΣΘ =sdot+sdot+=

(59) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( S

SSCSB

2SA


A

C Crsquo

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

a b d

ω

ΘΣ(θt)

π 2π0

θ ΘΣ(t1)

ω

θa1middotiSB

iSAgt0

iSBgt0

iSClt0

c


117


(60) )t(i2

N)t(i2

N)t( SE

SS sdot== ΣΣΘ


(61) )t(iNN)t(i S

E

SS Σ=



iSΣ

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

A

B

C Crsquo

a1middotiSB

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

θe

NS

NS

NS

NS

NS

NS

NE

ωe E

Ersquo θe

ωe

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo

Ersquo

E

θe

ωeΘΣ

θeωe

a b c

bullbullbullbull


x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x

ΘΣ θe


118

(62) SE N23N =



2SBSAS

sdot+sdot+=


2SA

S

sdot+sdot+=


31)t(y SCSBSA0S ++=


(66) ))t(y)t(y)t(y(32))t(ya)t(ya)t(y(

32)t(y

SCSBSASC2

SBSAS++=sdot+sdot+=


(67) 2

eeI)tcos(I)t(itjtj

MeMSA

ee ωminusω +=ω=

(68) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSB

ee32

e32


=+

=minusω=ππ

(69) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSC

ee32

e32


=+

=+ω=ππ


2I

31))t(i)t(i)t(i(

31)t(i 2tj2tjM



(71) tj

Mtj

M2tjtjM

22tj22tjMSC

2SBSAS

eeee

ee

eI23eI

23

32))aa1(e)111(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i

ωωωminusω

ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=



119


(72) tj

Mtj

Mtj2tjM

22tj22tjMSCSB

2SA

S

eeee

ee

eI23eI

23

32))111(e)aa1(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i


ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=






(73) ( ) ( )

( ) ( )θωθω


θΣΣ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus=


tcosI23Nt(cosI

23N

eeI23

2Neiei

2Ne)t(e)t()t(

eMSeME

)t(j)t(jM

EjS

jS

Ejj ee




(74) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y

)t(y

SC

SB

SA2

2

0S

S

S


(75) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

)t(y)t(y

)t(y

21

2a

2a

21

2a

2a

21

21

21

32

)t(y)t(y

)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y)t(y

0S

S

S

2

2

0S

S

S

1

2

2

SC

SB

SA

adică

(76) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

+= 0S

S

2

SC0S

SS

2

SB0S

SS

SA y2

12

yaya

32yy

21

2

yaya

32yy

21

2

yy

32y


120


(77) )))t(y)t(y(23j))t(y)t(y(

21)t(y(

32)t(y SCSBSCSBSAS

minus++minus=


(78) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=


S32


(80) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(




S2

32


(82) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=sdot


S32


SAA32

S32

SA ==



SBB32

S2

AA32

S2

32



iSΣ

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

NS


121


2SAA3

2S3

2SC =sdot=sdot=


1S3

2SA +=

(88) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S2

32

SB +sdot=

(89) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S32

SC +sdot=


32)t(y SC

2SBSAS

sdot+sdot+=



(92) )))t(y)t(y(23j)t(y

23(

32)))t(y)t(y(

23j))t(y)t(y(

21)t(y(





S2






122


π


yjy)t(y sdot+=

(100) SQSDS



yS

D D Drsquo

Q Qrsquo

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ ωe θe

E Ersquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

ySΣ

yS

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ yS yS

D hArr hArr

a b c

ω ω ω

ySΣ

D Drsquo

Q Qrsquo

E Ersquo


123


(101) SQSDSC2


sdot+=sdot+sdot+


(102) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

yyy

21

21

21

23

230

21

211

32

yyy




jSSC

2SBSAS

sβα




(104) ( ) RRsRs jS

jjS

jSSQSD

S



Sj

SS




jRRC

2RBRAR

rβα


ySα

β

α

D

Q

θR θs

θs-θR

ySβ

ySD ySQ ωR

yS yrsquoS


124




jR

jjR

jR

R



SSee)t(y)t(y


jS

eS

e ω=θ= θminus


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee


π


yRD

Q

D

α

β

θR θr

θr+θR

yRQ

yRα yRβ ωR

yR yrsquoR


125



jSSSQSD



(112) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

α

)t(y)t(y

cossinsincos

)t(y)t(y

S

S

RR

RR

SQ

SD


(113) ( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

=sdot+sdot+==


θminusθminus

)(jSC

)(jSB

jSA

jSC

2SBSA

jS

S

32

R32

RR

RR

e)t(ye)t(ye)t(y32



(114) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminusθminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

)(P)t(y)t(y)t(y

21

21

21

32sin

32sinsin

32cos

32coscos

32

)t(y)t(y)t(y

SC

SB

SA

R

SC

SB

SA

RRR

RRR

0S

SQ

SD

hArr

b

jmiddotQ

D

iS(t)

ωe

θe

jmiddotQe De

ieS(t)

a

ωe

jmiddotQe De

jmiddotQ

D θe


126


(2) )t(edt

)t(idL)t(iR)t(u S

SSSSS ++= σ



)t(iS

)t(eS

)t(iR SS

)t(uS

dt)t(id

L SSσ

Re

Im

ωe(t) θs


127




(4) )t(ijedt

)t(ide)t(ije

dt)t(id

edt

dj)t(iedt

)t(iddt

)t(idSe

jSjSe

jSjsS



(5) )t(i)t(i

eS

Sj s =θ


(6) )t(ij)t(i)t(i

dt)t(id

dt)t(id

SeS

SSS ω+=


(7) )t(ijdt

)t(idSe

S ω=






unde

(12) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(13) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(14) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmS

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ


128

(16) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmR

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ





(19) dt


Ψ+=

(20) dt


Ψ+=

(21) dt


Ψ+=

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iS(t)

A

A

B B

C C

iR(t)

a


129



(22) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

SC2

SBSA

SC2

SBSASSC2

SBSA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+



(23) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RA

RARRAΨ

+=

(25) dt


Ψ+=

(26) dt


Ψ+=


(27) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

RC2

RBRA

RC2

RBRARRC2

RBRA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+


sau mai compact

(28) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


23L()t(iL

21)t(iL


(30) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(31) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(33) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( SC

2SBSASmSSSC




130


23L()t(iL

21)t(iL


(36) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(37) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(38) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( RC

2RBRASmRRRC



(40) 2

eecosRR jj

R

θminusθ +=θ

(41) 2

aeae2

eeee)cos(2jjjjjj

32

R

RR32

R32


=+

=+θππ

(42) 2

aeae2

eeee)cos(RR3

2R3

2R j2jjjjj

32

R


=+

=minusθππ


2L)t( RCRB

2RA

jRC

2RBRA

jSmRSRA



L)t( RC2

RBRAj

RCRBRA2jSm



L)t( RCRBRA2j

RCRB2

RAjSm



(46)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jRM

jRC

2RBRASm

2RC

2RB

2RA

jSm

222RCRBRA

jSm

RSRC2

RSRBRSRARSR


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θθ

θminus

θ

=sdot+sdot+=






131


L)t( SC2

SBSAj

SCSB2

SAjSm



L)t( SCSBSA2j

SC2

SBSAjSm



L)t( SCSB2

SAj

SCSBSA2jSm



(51)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jSM

jSC

2SBSASm

222SCSBSA

jSm

2SC

2SB

2SA

jSm

RRSC2

RRSBRRSARRS


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θminusθminus

θminus

θ

=sdot+sdot+=






jSMRRRRSR





SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

unde

(58) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(59) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σS

S

SSS

L000L000L

]L[ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σR

R

RRR

L000L000L

]L[

(61) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ


)](L[ RMRM

RMRM

RSR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ


)](L[ RMRM

RMRM

RRS



132



(62) dt


Ψ+=

(63) dt

)t(d)t(iR)t(u SQ

SQSSQΨ

+=



(64) dt


SQSDSSQSDSΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(65) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RD

RDRRDΨ

+=

(67) dt

)t(d)t(iR)t(u RQ

RQRRQΨ

+=


(68) dt


RQRDRRQRDRΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(69) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


a

D Drsquo

β

α

Qrsquo Q

θR

α

β

drsquo d

qrsquo q

bull bull

ωR

iS0 iR0

iSD

iSQ

iRD

iRQ

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

b

iS0 iR0

iS(t) iR(t)


133


(76) 2

eejj2eesin

RRRR jjjj

R


minus=θ


2L)t( RQ

jjRD

jjMRSRD


(78) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( RQjj

RDjjM




(79) ( )( ) RRRRR

RRRR

jRMR

jjR

jjM

RQRDjj

RQRDjjM

RSRQRSRDRSR


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ

=sdotminus+sdot+=


=θΨsdot+θΨ=θΨ


2L)t( SQ

jjSD

jjMRRSD


(81) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( SQjj

SDjjM



(82) ( )( ) RRRRR

RRRR

jSMS

jjS

jjM

SQSDjj

SQSDjjM

RRSQRRSDRRS


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ



=θΨsdot+θΨ=θΨ



jSMRRRRSR




bull E Ersquo

β

αθR

α

β

ersquo e bull

ωR

a

iS0 iR0

iS(t) iR(t) bull

θg

ωg

iS0 Dg

Qg

ωg igR frsquo

f

bullig

S iR0

α

ββ

ωR α

bull θR

b

Frsquo

F


134


(83) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

(84) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=



SMRR +=Ψ θminus



(88) ggg jSjSS

jS e

dt)t(d



dt)t(dy)t(x

dt)t(y)t(xd)t(y

dt)t(dx

minus=


(90) ( ))t(j

dt)t(d

edt

d)t(j

dte)t(d

edt

)t(d gSg

gSjg

S

jSjS g

gg Ψω+

Ψ=

θΨsdot+

Ψ=

Ψ θminusθminus

θminus


(91) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=


(92) )(jR)(jRR

)(jR

RgRgRg edt


+=


(93) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


RMj

SSjj

RMj

SSj



RMgSS

gS +=Ψ


RRj

SM)(j

RR)(jj

SM)(j



RRgSM

gR +=Ψ



135

(98) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=

(99) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


gSS

gM

gSM

gSS

gRM

gSS



gMM

gRR

gSM



RgS

gM +=


dt)t(d)t(iR)t(u 0S

0SS0SΨ

+=

(104) dt


Ψ+=



bull bull

bullbull

bull

bull

bull

bull

bull

bull

)t(ugS

)t(igS

)t(ugR

)t(igR

)t(igM

)t(j gSgΨω

dt)t(d g

SΨ

dt)t(d g

RΨ

dt)t(d 0SΨ


)t(i 0S )t(i 0R

SLσ RLσ

ML

SL RL


SR

SR SLσ RLσ RR

RR


136


RgSM

gMM

gM +sdot=sdot=Ψ


Sjjs

Sjs

SgS



(109) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gSsgs

S

gS

sS)(js

Ssg)(j

sS




Rjjs

Rjs

RgR



(111) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gRrgs

R

gR

sR)(js

Rrg)(j

sR




2 Termenii )t(y

)t(ysS

gS şi

)t(y

)t(ysR



(112) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

SsgsS

gS

sSg


ΨΨ=

Ψ


(113)

)t(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gSss

S

gS

sSg

SS

gSg

gSsgs

S

gS

sSg

SSgS

Ψω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


137


(114) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

SssS

sS

sSs

S Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ


(115) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

RrgsR

gR

sRg


ΨΨ=

Ψ


(116)

)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t()(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gRRrs

R

gR

sRg

RR

gRRg

gRrgs

R

gR

sRg

RRgR

Ψsdotωminusω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


(117) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

RrsR

sR

sRs

R Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ



(118) )t(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u SsS

SSSSS Ψω+

ΨΨΨ

+=

(119) )t()(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u RRrR


ΨΨΨ

+=



138




(123) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=





iS

LMiS

LSiS

iR

LMiR

LRiR

iM

LMiM

ΨS

ΨR ΨM

ΨσR

ΨσS

θr θm

θs

jωsΨS )t()t(

dt)t(d

S

SS

ΨΨΨ

dt)t(d SΨ RSiS

uS

RRiR

jωrΨR )t()t(

dt)t(d

R

RR

Ψ

ΨΨ

-jωRΨR

ωr

ωs

ωm


139

(128) 0R0R0S0S

gR

gR

gS

gS0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD



iuiuiuiuiuiuS

+++=+++++=

=+++++=


(129)

dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(

dt)t(i))t()(jdt

)t(d)t(iR(Re

dt)t(i))t(jdt

)t(d)t(iR(RedW

0R0R

0RR0S0S

0SS

gR

gRRg

gRg

RR

gS

gSg

gSg

SS

Ψ++

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨωminusω+

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨω+

Ψ+=


(130) 22

2i

2r

2i

2ririr




(131) ( )( )dt)t(i)t()(jdt)t(i)t(jRe



gR

gRRg

gS

gSg

0R0R0S0Sg

RgR

gS

gS

20R

2gRR

20S

2gSS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++=


(132) ( )( )( ))t(i)t()dd()t(i)t(dIm



gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSgm





dd

ddW)t(m g

RgR

gR

gRRg

gS

gSg

RR


θminus=

θ=


RgRe sdotΨ=



140



RDgRQ

gRQ

gRD

gR

gR

gR



L1)t(i g

SMgR

R

gR minusΨ=


(138) )t(ix)t(

LLp))t(ix)t(

LL)t(x)t(

L1(p


gS

gR

R

MgS

gR

R

MgR

gR

R

gSM

gR

R

gR

gR

gRe




RMgSS

gS +=Ψ


gSM

gR +=Ψ


(139) )t(iLL)LL


RS

2Mg

SRS2MRS

gS

gRM


sau (140) ))t(iL)t((

LL)t( g

SSgS

M

RgR σminusΨ=Ψ



)t(ix))t(iL)t((LL

LLp)t(ix)t(

LLp)t(m

gS

gS

gS

gSS

gS

gS

gS

gSS

gS

M

R

R

MgS

gR

R

Me

Ψ=σminusΨ=

=σminusΨ=Ψ=


SgM

gS

gM

gSS

gS

gSe Ψ=Ψ+=Ψ= σ


141



dt)t(dJ accelRmre

Rm =ωminusminus=ω

avacircnd soluţia

(2) int ττ+ω=ωt

0accel0RmRm d)(m

J1)t(



0Rm0RmRm d)()t(



icircn mişcare

Sursă



142





(5) ( )( ))t()t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

)t(m)t(m)t(m 4R

Rm

Rmaccel

accelaccel

reaccel

ωminusω=

minus=

minus=



)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u


)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R

)t(maccel

4R)t(maccel

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control


143



(6) ( )( )Rm

Rm

e

ee

)t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

ωminusω=

minus=





)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R)t(m

accel

)t(mr

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control

)t(i

Estimatormr

Estimatorme

)t(me



- - -

-

ui

ωRmθRm

iu

θRm

θRm

ωRm

ωRm

me

me

Ψ

Ψ

Regulator poziţie

Regulator viteză

Regulator cuplu

Regulator flux



144



145


LLp)t(m g

SgM

gS

gS

gS

gR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=




D Drsquo

jmiddotQ

QrsquoQ

Ψe(t)bullωr

ia(t)bull


146



147


SSee)t(y)t(y


SeS


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee




Re

iS

iR

iM

ΨS

ΨR

ΨM

θr θm

θs

jωsΨS

uS

RRiR

jωrΨR

-jωRΨR

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

ωR

θR=ωRt

De

Qe βR

αR

βS


148


(14) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u e

Se

eSe

SSeS Ψω+

Ψ+=

(15) )t(jdt

)t(d)t(iR)t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u eRsl

eRe

RReRRe

eRe

RReR Ψω+

Ψ+=Ψωminusω+

Ψ+=


eS

eMM

eSS

eRM

eSS



eM

eRR

eMM

eRR

eSM



SeM

eS

eS

eS

eR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


dt)t(dJ Rmre

Rm ωminusminus=ω


RRje

ReR

jRR


(21) )t()t(e)t()t( e)t()t( eMM

jeM

eM

jMM


(22) )t()t( e)t()t( e)t()t( eSS

jeS

eS

jSS




149


LLp)t(m e

SDeMQ

eSQ

eMD

eSD

eSQ

eSQ

eSD

eSD

eRQ

eSQ

eRD

R





MQeSQ

eRQ =Ψ=Ψ=Ψ


LLp)t(m e

SQeMD

eSQ

eSD

eSQ

eRD

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


SeS

eR =Ψ=Ψ=Ψ


RDeR

eR

ψ=ψ=ψ

(29) 0)t(eRQ =Ψ


LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=


Re

iS

ΨeS

ΨeR

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

De

Qe

βS

ΨeRQ

ΨeMQ

ΨeSQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

ΨeRD


150



SDeS

eS

ψ=ψ=ψ

(33) 0)t(eSQ =Ψ


eSDe sdotΨ=


MDeM

eM

ψ=ψ=ψ

(37) 0)t(eMQ =Ψ


eMDe sdotΨ=



Re

iS

ΨeS

ΨeR= Ψe

RD

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr=0γm γs

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

εR


Re

iS

ΨeS= Ψe

SD

ΨeRD

ΨeM

ωe

θe=ωet

γs=0

γr γm

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

RQ

ieSQ

ieSD

ΨeMD Ψe

R

εS


Re

iS

ΨeS

ΨeRD

ΨeM= Ψe

MD

ωe

θe=ωet

γm=0

γr γs

De

Qe

βS

ΨeRQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

εM


151



(39) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u eSQe

eSDe

SDSeSD Ψωminus

Ψ+=

(40) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u e

SDe

eSQe

SQSeSQ Ψω+

Ψ+=

(41) )t(dt

)t(d)t(iR0 eRQsl

eRDe

RDR ΨωminusΨ

+=

(42) )t(dt

)t(d)t(iR0 e

RDsl

eRQe

RQR Ψω+Ψ

+=


eSDS

eSD +=Ψ


eSQS

eSQ +=Ψ


eSDM

eRD +=Ψ


eSQM

eRQ +=Ψ


(47) dt

)t(d)t(iR0eRDe

RDRΨ

+=


eRQR Ψω+=


eSDM

eRD +=Ψ


152


eSQM +=


(51) )t(iRdt

)t(d eRDR

eRD minus=

Ψ

(52) )t()t(i

R eRD

eRQ

Rsl Ψminus=ω



L1)t(i e

SDMeRD

R

eRD minusΨ=

(54) )t(iLL)t(i e

SQR

MeRQ minus=


(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ

(56) )t(i)t(T

L)t(i)t(L

LR)t( eSQe

RDR

MeSQe

RDR

MRsl

Ψsdot=

Ψsdot=ω










1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

mr(t)

ωRm(t)

-



153








Sursă


Receptor


control


Uef

e

Uifimi

Uefeme


154







~ ~

= =

Redresor Invertor

Convertor cc-cc


~Ui fi mi ~=

=Ueuarr

~Ueuarr feuarr me

~= =Ui


155






=Ueuarr

== =Ui

~Ueuarr fe=fi me=mi

~~ ~Ui fi mi

~Ueuarr feuarr me

~~ ~Ui fi mi

~Ui fi mi ~=


~= =Ui


156



π=



iT

~

~

~

uR

uS

uT

iR

iS u0

i0

iR

uS

i0

Bloc de comandă

u0

uR

iT

~

~

~ uT

iS Ci

Ci Ci

L0


157




iR

iS

iT

u0

uR ~

~

~

uS

uT

i0

Bloc de comandă

Li

Li

Li

C0

i0

u0 uV

iU

iV

iW

uU

uW

Bloc de comandă

~

~

~

Lo

C0

Lo

Lo


158





Co

iU

iV uV

i0

Bloc de comandă

u0

uU

iW uW

L0

~

~

~Co Co

C0

uS(t)

iR uR ~

~

~

uS

uT

Li

Li

Li

~

~

~

Lo

Lo

Lo

u0

Redresortip

sursă de curent

Invertor tip

sursă de tensiune

Bloc de comandă

Bloc de comandă

u0u0

Co

ejθe

uR ~

~ uT

Redresorcomandat


Invertor tip

sursă de curent

Bloc de comandă

Bloc de comandă

i0 |iS(t)|

L0 i0 iR

uS

iT

iS

Ci

Ci

Ci

~

~

~ Co Co

~


159


(58) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

101110

011u

uuu

0

CA

BC

AB


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

211121112

3u

uuu

0

Cn

Bn

An




Invertor tip

sursă de tensiune

-

a

b

c

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)

Generator semnal

triunghiular

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)-

-

u0


160




(60) ⎩⎨⎧

gtΔminusltΔ

=2hipentru1

2hipentru0a

A

A

Tc


t

t

t

uAN

u BN

u AB

12 T1

U d

U d

- U dt

U d

u AB(1)

U control

U tr

0

0

0

0

c

b

a

Invertor PWM


-

-

-

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t) iSC(t)

iSB(t)

iSA(t)

u0


161





162





163





ωRm(t)


RD(t)

mr(t) θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

-


)t(i eSQ

)t(êθ

P-1(θe)

)t(i eSD

)t(iSA

)t(iSB

)t(iSC

Invertor PWM




RD(t)


164



ˆjR

eRQ

eRD

eR


(62) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ψψ

)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos)t()t(

RQ

RD

ee

eeeRQ

eRD


(63) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ψ+ψ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos0

)t()t(0

)t(RQ

RD

ee

ee2RQ

2RD

eRD



(64) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=θψminusθψ

ψ+ψ=θψ+θψ

0ˆsin)t(ˆcos)t(


eRDeRQ

2RQ

2RDeRQeRD


(65) )t()t(

)t(ˆcos)t()t(

)t(ˆsin2RQ

2RD

RDe2

RQ2RD

RQe

ψ+ψ

ψ=θ

ψ+ψ

ψ=θ

sau

ωRm(t)


RD(t)

mr(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

- )t(i eSQ

)t(i eSD



RD(t)


165

(66) )t()t(ˆtg

RD

RQe Ψ

Ψ=θ



R





L1)t(i SMRR

R minusΨ=


(70) )t(iL)t(LL)t())t(iL)t((

LL)t()t( SRM

M

RRSMR

R


σ

)t(MBψ

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(eRDψ

)t(êθ

)t(MCψ)t(MAψ

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(MDψ

)t(MQψ

)t(iSD





-

- Regulator cuplu

Regulator flux


166






(71) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=









-

)t(eRDψ

)t(me

)t(iSQ

)t(uSA

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(êθ

)t(uSB)t(uSC

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(uSD

)t(uSQ






- Regulator cuplu

Regulator flux


167




LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=

(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ




(75) ( )1sTL1sT

)s()s(i)s(H

0RM

Re

RD

eSD

++

=Ψ

=



)s(ieSD

)s(ieSQ

1sTL

R

M

+ )s(e

RDψ

R

M

LLp me(s)

M

R

L1sT + )s(e

RDψ

)s(me

)s(i eSD

M

R

pLL

1

2 )s(i eSQ

b

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

2

)t(êθ


168


)t(TL)t(i

)t(LLR)t( e

SQeRDR

MeSQe

RDR

MRsl

ψsdot=

ψsdot=ω


(76) )t(


RD

eSQ

R

MRslRe

ψ+ω=ω+ω=ω


(77) intint ττψ


)()(i

TL)(p(d)(ˆ)t(ˆ

eRD

eSQ

R

MRmee





traductor viteză

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

p R

M

TL

1

2 s1

estimator ωsl(t)

ωRm(t)

ωR(t) ωsl(t)

)t(êθ

2


169

(78) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

Ψ

ωleωΨ=Ψ

RNRmRm

RNRN

RNRmRNe

RD )t( )t(

)t( )t(




regulator vectorial

p

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++

)t(eRDψ

M

R

pLL

1

2

1

2 s1


ωR(t) ωsl(t)

ωe(t)

)t(Rmω

-

traductor viteză

R

M

TL

)t(êθ

u0


1




2





a b


3





a b


4



(2) li

FBBdef

==


(3) TmA

N]B[def==




5




(7) BxniBxmdef


(8) nimdef

sdot=


6




(10) r2

iHπ

=

a b


7


(11) R2

iHπ

=



lC

dlHdlH


kk

l

idlH


(15) liNH =



def=


8


(19) r2

iH 11 π=


(20) r2iliHxliF 210

12012π

μ=μ=




9

(21) SBdef=Φ


SB Φ=


S

dSB



(3) gauss10mWbT

mAN]B[ 4

2

def====



(27) 0

MBMμ

=



10





(32) e2

efdtdQib π

ωminus=minus==


11



(33) LLm2e

mLe

2riSim

ee

2bb γminus=minus=

ωπ

πω

minus=π==



12





a b c d e


13




14




15


00 μμ =+==


(36) 0MBH0

0 ltminus=μ



16





a b c

a b

a b


17



magnetaer CCC



aerC

gtsdotint


magnetC

ltsdotint


C

sdot=sdotint


ik000 +μ=+μ= sum


18



(4) A

BHμΦ

μ==

relaţia (2) devine

(5) Θ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

+μ

Φδ

δ

Al

Al

Fe

Fe



19

(7) AlR m μ

= [AWb]


(8) lA

R1

m

μ==Λ [WbA]


(13) INlBlH0

FeFe =Θ=μ

+ δδ

sau

(14) 1l

Bl

H

0Fe

Fe =Θμ

+Θ δ

δ





20


(16) δδ

δ μ=Θμ

=lNi

lB 0

0



21



(1) dtdNuiΦ

minus=



a b


22


(3) dt

)t(dA)t(B)t(Adt

)t(dBui minusminus=


(4) Adt

)t(dBui minus=


(5) dt

)t(dABui minus=




23


(12) Bxve

FE mi =minus=


Ci dlEu


A

dAB



dABdtddlE




24





)cos|A||B(|dNdt


==minus=sdot

minus=minus=




25


(20) Al

iNAHAB 00 sdotsdot

μ=sdotμ=sdot=Φ


(21) dtdi

lAN

dtdNu

2

0i μminus=Φ

minus=


(22) dtdiLui minus=

unde

(23) m

22

0 RN

lANL =μ=


(24) int sdot=Ψ

=Φ

=A

notdAB

iN

iiNL


WbA

sV]L[ ==sdot

=




26

(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=






(27) dt


+=minus=

(28) dt

dNiRuiRu 22222i222

Φ+=minus=


(32) dtdiM

dtdiLiRu 21

1111 ++=

(33) dtdiM

dtdiLiRu 12

2222 ++=


(34) dt


1111+

+minus+=

(35) dt


2222+

+minus+=



27


(36) 0i2

2

0i2

222

0i1

1

0i1

111

1122ii

NLii

NL====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=

(37) 0i1

2

0i1

22

0i2

1

0i2

11

2211ii

Nii

NM====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=





(40) I21LI

21

2iLLidiuidtE 2

I

0

2I

0

t

0L Ψ===== intint



28

(41) lA

EVEw LL

m ==


(42) lINH =


(23) lANL

2

0μ=


(43) HB21H

21

lAI

lAN

21w 2

0

22

0m sdot=μ=μ=


(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=


(49) HVB21

2HVdHHVdBHVW

2H

0

B



(50) HB21HdB

VWw

B

0

mm sdot=== int


29




30











electrolizatilde

efect Joule


efect fotovoltaic


31



(1) 4200

020

e

m 102E

2Bww

congε

μ=





32




a b c


33





34




35





r

a b


36


(3) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr


r


(5) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr








37





(8) intΓ

sdotminus=S

i SdBdtdu

rr

sau

(9) dtduiΦ

minus=

(10) intΓ

sdot=ΦS

SdBrr



(11) 12 l

2lS π

=


(12) 12 l

2lBBS π

==Φ

SΓ

dS

Γ


38


(13) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2l)B(dzd

2lBSdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

θπθθπθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=minus+=sdot=

+

+

int intint intintrr


(14) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2lBdzd

2l)B(SdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

πθθπθθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=+minus=sdot=

+

+

int intint intintrr


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ



(16) RER21R

21R

R

R21R

R

RRi KBll

dtdBll

dtd))

2mod(Bll(

dtd)(

dt)(du ω=ω=

θ=

θθpart

πminusπθpart

=θ

θpartθΦpart

minus=θΦ

minus=


39





(18) ⎩⎨⎧


θminusθ20

00)(K

R

RR




R

1 R

R

l

0R

2R

l

0

2

Sa dzd)(Ki

2ldzd)(Ki

2ldSB)i(

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθψ


(20) i

)i(Laψ

=


(21) 0dzd)(K2lL

1 R

R

l

0R

2def


θ

θθθ


(23) dtdiLiR

dt)i(diRV aS +=

ψ+=



40



dtdiLiRV ω++=++=


(25) RLmR D




(28) Rm

2a

2RT

2a

2

REa2

S

)t(iL21

dtd)t(iRK)t(i)t(iL

21

dtd)t(iR

K)t(idt


ωτ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=ω++=




41





42




rrrrrrrang=sdot=Φ



43





rrrrsdot=sdot=Φ


r

a b c


44


(37) f

fff i

)i(L ψ=


(38) dt

)t(diL)t(iRdt

)t(d)t(iR)t(V ffff

ffff +=

ψ+=


(39) dt

d)i(dtdi

i)i(

dt)i(du R

R

Rff

f

RfRfi

θθpartθψpart

minuspart

θψpartminus=

θψminus=


i)i( f

f

Rf



(40) RR

RfR

R

Rfi

)i(dt


minus=θ

θpartθψpart

minus=


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ


(41) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minus+θminus=θΦ2

modn



(42) sumsum==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π


1kRf21

n

1kRfkRf 2

modn

)1k()i(Bll)i()i(


(43) RERf21RR


θpartθψpart

minus=


(44) REaS nKdt




=π

=



45


=τ


(47) RfMaS iKdt



(48) fff

ffff iRdtdiLiRV =+=



(49) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

ψ

ωleωψ=ψ

bRR

b0f

bR0f

fref


(50) const)(signLK

LK

LKiKu Rb0f

f

MR

R

b0f

f

MR

f


ωω

ψ=ωψ

=ω=



46





47




(4) 2

I)t(i2

I)t(i4

1t SSb

SSa

S==

πω

=

(5) SSbSaS

I)t(i0)t(i2

1t ==π

ω=


48

(6) 2

I)t(i2

I)t(i4

31t SSb

SSa

S=minus=

πω

=




a b


49




50





51




a b


52



53




54










55




a b


56


kk

CSa idlH




k

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa idlHdlHdlHdlH

sau


k

4

3Sa

2

1Sa idlHdlH



k

4

3Sa

2

1Sa idl)(Hdl)0(H


(10)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧


ltle

=


πθ

θ

235 03523 i2334 i33432 i4

322 i323 i

30 0

i)(n

Sa

Sa

Sa

Sa

Sa

Sac



57



SSa =sdotint




θθμθθθθ2

0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(13) δθθ Sac



(14) 0di)(n)0(H2

0

SacSa =⎟

⎠⎞


θδθ


(15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝


35

23

23

34

34

32

32

2

2

3


0c

Sa2

0Sa

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

θθθθθδ

θθδ

θππ

sau

(16) πδ

πππππδ

π 4i66

33

246

36

i2)0(H SaSaSa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=sdot


(17) δ

= SaSa

i2)0(H


(18) δθminus

=δθ

minus=θ SacSacSaSa

i))(n2(i)(n)0(H)(H


58


(19) δθminus

μ=θ Sac0Sa

i))(n2()(B



(20) suminfin

=

θ+θ=θ0k


unde


T2a

2

0Sa

T

0Sak

2

0Sa

T

0Sak intintintint

ππ

θθθπ

=θθθ=θθθπ

=θθθ=


(22) suminfin

=

θ=θ0k

kSa kcosa)(B


(23)

)(

πδμcong⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +πδ

μ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πδμ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πδμ=


μ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠


πδμ=

=⎟⎟⎠


⎜⎜⎝


π=θθθ

π=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ


intintintint

intintintint

4i86612

324i2344i

2321

23

231

23

2321

23

231

232i





Sa0

Sa0

Sa0

Sa0

235

3523

2334

3432

322

23

30

Sa0

2

35

35

23

23

34

34

32

32

2

2

3

3

0

Sa0

2

35Sa

35

23Sa

23

34Sa

34

32Sa

32

2Sa

2

3Sa

3

0Sa

2

0Sa1


(24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== int 6


0

2

0Sak

ππδ

μθθθπ

π


59


(25) θπδ






60


(28) m0m0

m0


intint

adică

(29) 2

NSm =η


(30) θ=θη sin2

N)( S



kk

CSa idlH

sau


α⎟⎠⎞


0

SSa

0Sa

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa dsin

2Nid)(idlHdlHdlHdlH



4

3Sa

2

1Sa cos

2NidlHdlH

sau


cos2

Ni2

Nidl)(Hdl)0(H SSa

SSa

0Sa

0Sa


(35) δ

minus+θδ

=θ2Ni)0(Hcos

2Ni)(H S

SaSaS

SaSa


61


SSa =sdotint




0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(38) 0d2Ni)0(Hcos

2Nirl

2

0

SSaSa

SSa01 =θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δminus+θ

δμ int

π

sau

(39) 02Ni)0(Hsin

2Ni 2

0S

Sa20Sa

20

SSa =θ

δminusθ+θ

δπππ


(40) δ

=2Ni)0(H S

SaSa


(41) θδ

=θ cos2Ni)(H S

SaSa


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa




62




(43) θ=π

+θ=θη cos2

N)2

sin(2

N)( SSb


(44) θδ

μθπδ

μθ sini2N

2cosi

2N)(B Sb

S0Sb

S0Sb =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=






δμ=θ+θ=θ


63


(48) )tcos(2


IN)ii(B SSS

0SSSS

0SbSaS θminusωδ

μ=θω+θωδ

μ=θ





64




65


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa


(50) θθ= dsin2

NdN SS


(51)

θδ


μ=αδ

μ=

=ααδ

μ=αα=sdotα=θΦ

θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ


sini2Nll))sin((sini

2N

2llsini

2N

2ll

dcosi2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

SaS

210SaS21

0SaS21

0

SaS21

0

l

0

2Sa

spiraSSaSa

1


(52) θθδ


2lldN)()(d 2

Sa

2S21

0SSaSa


(53) intintππ

θθδ

μ=θΨ=Ψ0

2Sa

2S21

00

SaSa dsini2N

2ll)(d

Cum

(54) 2

2sin41

21dsin 00

0


π

int

se obţine

(55) Sa2S

210Sa i

4N

2ll

δπμΨ =


(56) 2S

210

Sa

SaSaM N

42ll

iL

δπ

μ=Ψ

=



66


(57) θ=θη sin2

N)( RR





(58) θδ

μ=θ cosi2N)(B Ra

R0Ra



R0RRa θminusθ

δμ=θθ


(60)


2N

2ll)(sini

2N

2ll

d)cos(i2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

RRaR

210RRRaR21

0RRaR21

0

RRaR21

0

l

0

2RRa

spiraSRRaRSaRa

1

θminusθδ


μ=θminusαδ

μ=

=αθminusαδ


θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ



(61) θθθθδ


2lldN)()(d RRa



67



θθθθδ

μθθΨθΨ0

RRaRS21

00


2ll)(d)(


(63) R0R0R0

R0

R0

R cos2

)2sin(21cos

21d)2cos(dcos

21d)sin(sin θ

π=⎟

⎠⎞


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


πππ

intintint


(64) RaRRS21

0RSaRa icosNN42

ll)( θδπ

μ=θΨ


(65) RRS21

0Ra

RSaRaRSaRa cosNN

42ll

i)()(L θ

δπ

μ=θΨ

=θ



abull

aarsquoarsquo

θR

bull

ω


68




69


dt)t(dtsinE)t(e S

ψω minus==


SS ω




70



71



(5) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

BbBa

AbAa

Sb

Sa

BBBA

ABAA

Sb

Sa

ii

LLLL

ii

LLLL


(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

bbba

abaa

Sb

Sa

bBbA

aBaA

Rb

Ra

ii

LLLL

ii

LLLL


a arsquo

brsquo

bθR

arsquo

abrsquo

b

bull

ωR

uSaiSa

uRaiRa

uSbiSb

uRbiRb bull

bull

bull


72


(10) αδπ

μ= cosNN42

llL yx21

0xy


(11) Sm

not2S

210BmAm LN

42llLL =

δπ

μ==


(12) Rm

not2R

210bmam LN

42llLL =

δπ

μ==


(13) 02

cosN42

llLL 2S

210BAAB =

πδπ

μ==


(14) 02

cosN42

llLL 2R

210baab =

πδπ

μ==


(15) RRS21

0bBBbaAAa cosNN42

llLLLL θδπ

μ====

(16) RRS21

0RRS21

0bAAb sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μminus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ==

(17) RRS21

0RRS21

0aBBa sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θminusπ

δπ

μ==



73


(20) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

RR

RRSm

S

R

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

LNN

ii

LL00LL

(21) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

Sm2S

2R

R

Sm2S

2R

R

Sb

Sa

RR

RRSm

S

R

Rb

Ra

ii

LNNL0

0LNNL

ii

cossinsincos

LNN


(22) dt

diRu SaSaSSa

Ψ+=

(23) dt

diRu SbSbSSb

Ψ+=


(24) dt

diRu RaRaRRa

Ψ+=

(25) dt

diRu RbRbRRb

Ψ+=


(26) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

(27) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu


Raportul spirelor S

R



(28) RS

RRR

R

SR i

NNi u

NNu ==

şi parametrii

(29) R2R

2S

RR2R

2S

R LNNL R

NNR σσ ==


74


S


(30) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

unde

(31) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

σ

σRb

Ra

Sm

R

Sm

R

Sb

Sa

RR

RRSm

Rb

Ra

ii

LL00LL

ii

cossinsincos

L


(32) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σRb

Ra

RR

RRSm

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

Lii

LL00LL


(33) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θθminus+θθ

θθ+θminusθ+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

Rb

Ra

Sb

Sa

Sm

RRSmRSm

Sm

RRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii




uRimiRm

uSi1iS1

Sistem electric

Sistem mecanic

Cacircmp magnetic

uS1iS1

uS2iS2

uRmiRm



75


(37) ikk

kkkkk

kkkk udtdiLiR

dtd

dtdiLiRu ++=

Ψ++= σσ


kkik

kkkk

k

2kk

kkk

kkkk

k

2kk



(39) exteR

2R

2mm

dtdD

dtdJ =minus+

θθ


(40) ReRR

R2R

2

Rext dmddt

dDddt





kkik

kkkm dtiuiddW




kθ+=

=Ψ

sau

(45) constR

me

kddWm

=Ψθminus=


76



⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψ

kkkm

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk didW2dii

21d2diidid



sau (48) Rem



kθ+minus=

=

sau

(50) constiR

me

kddWm

=θ=


(51) )iiii(21i

21W

RbRb

Ra

RaSbSbSaSa



RbR




(54) ( )RaSm

RRSbRSaSm

Ra

Ra



77

(55) ( )RbSm

RRSbRSaSm

Rb

Rb



(56)


))ii(L)ii(L(21



))ii(L)ii(L(21W

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaS

RRbSbR

RbSaR

RaSbR

RaSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaSm

θ+θ+θminusθ+

++++=

=θ+θminusθ+θ+

+θ+θ+θminusθ+

++++=


(57) [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θminusθ+θθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=


part=

π

π

Rb

Ra

R2R

2RRSbSaSm

Rb

Ra

RR

RRSbSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

R

me

ii

sin)sin()sin(sin

ii-Lii

sincoscossin

ii-L



(58) RR

RLeR

dtdDmm

dtdJ ω=

θωminusminus=

ω




78




a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

θR bull

bull

ωR

32π

32π

32π

bull

bull

bull

bull

bull


79


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

S

S

S

SC

SB

SA

dtd

iii

R000R000R

uuu

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

RC

RB

RA

RC

RB

RA

R

R

R

dtd

iii

R000R000R

000


(61)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

cccbcacCcBcA

bcbbbabCbBbA

acabaaaCaBaA

CcCbCaCCCBCA

BcBbBaBCBBBA

AcAbAaACABAA

RC

RB

RA

SC

SB

SA

iiiiii



(62) Sm

not2S

210CmBmAm LN

42llLLL =

δπ

μ===

(63) Rm

not2R

210cmbmam LN

42llLLL =

δπ

μ===


(64) 2

L3

2cosN42

llLLLLLL Sm2S


⎠⎞

⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(65) 2

LNN

2L

32cosN

42llLLLLLL Sm

2S

2RRm2

R21


⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(66) RSmS

RRRS


NNcosNN

42llLLLLLL θ=θ

δπ

μ======

(67) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210aCcBbACaBcAb

(68) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210bCaBcACbBaAc



80

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ


⎜⎝⎛ π

minusθθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ+minusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminus+minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθminusminus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

Sm

RSmSmRSmRSmRSm

SmSm

RSmRSmRSmRSm

SmSmSm

RRSmRSmRSm

RSmRSmRSmSmsSmSm

RSmRSmRSmSmSmSSm

RSmRSmRSmSmSmSmS

RC

RB

RA

SC

SB

SA

i

i

i

i

i

i

LLL21L

21cosL

32cosL

32cosL

L21LLL

21

32cosLcosL

32cosL

L21L

21LL

32cosL

32cosLcosL

cosL3

2cosL3

2cosLLLL21L

21

32cosLcosL

32cosLL

21LLL

21

32cosL

32cosLcosLL

21L

21LL


(70) ⎟⎠⎞


θpartpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotΨ

θpartpart

=θpart

part= I)(LI

21I

21Wm R

TT

R

T

RR

me

unde

(71)

( )( )

( )( )( )

RBSCRASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

RC

RB

RC

RA

RB

RASCSBSCSASBSASm

2RC

2RB

2RA

R

2SC

2SB

2SAS

Tm

iiiiii)cos(L

iiiiii)cos(L

iiiiiicosL

)iiiiiiiiiiii(L21-

)iii(L)iii(L21I

21W

++minusθ+

++++θ+

+++θ+

++++++

minus+++++=sdotΨ=

π

π


(72)

( ) ( )( )

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

=++minusθminus


part=

ππ

ππ

ππ

π

π

RC

RB

RA

R32

R32

R

32

RR32

R

32

R32

RR

SCSBSASm

RBSC

RASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

R

me

iii


iii-L

iiiiii)sin(L




81



82


(1) ⎩⎨⎧

+==+=


amp


(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=





83



23u ==

(19) 3f2f3f2f i23iuu ==

(20) 3f2f3f2f i23iu



(21) θ=θ=

β

α

sinNNcosNN

3f

3f


84


(22) 00sinNN

N0cosNN

3fA

3f3fA

==

==

β

α

3f3fB

3f3fB

N23

32sinNN

N21

32cosNN

=π

=

minus=π

=

β

α

3f3fC

3f3fC

N23

34sinNN

N21

34cosNN

minus=π

=

minus=π

=

β

α


21iN

21iN =minusminus



23

=minus


(25)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


SCSB2f

3fSb

SCSBSA2f

3fSa

i23i

23

NNi

i21i

21i

NNi


(27) SA2f

3fSa i

23

NNi =

sau

(28) 3f2f

3f2f i

23

NNi =


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

α

βNAβ iSA

iSB NBβ

NCβ

NAαNBαNCα

c


85

(29) 32

NNi

23i

23

NNi

2f

3f3f3f

2f

3f2f =rArr==


(30) 3f2f N23N =


(31) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

Sb

Sa

iii

23

230

21

211

32

i

i


(32) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sb

Sa

SC

SB

SA

i

i

23

21

23

21

01

32

iii


(34) 03

ii3

ii3

ii NSC

NSB

NSA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

sau (35) 0iii

SCSB

SA =++




(36) 3

i3

iiii NSCSBSA0 =

++=


(37) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

+=

+=

+=


(38) 0iN

23iN

23

0iN21iN

21iN

03f03f

03f03f03f

=minus

=minusminus



86





(39) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

minus=

minus=

minus=

(40) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


⎠⎞


⎠⎞


SCSB0SC0SBSC

SBSb

SCSBSA0SC0SB0SASC

SB

SASa

i23i

23

32ii

23ii

23

32i

23i

23

32i

i21i

21i

32ii

21ii

21ii

32i

21i

21i

32i


1f

3fe0 i

NN3i =


(45) 3f1f1f

3f N3N3NN3 =rArr=


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

βNAβ irsquo

SAirsquo

SBirsquoSC

NBβ

NCβ

NAαNBαNCαi0

Nf3

Nf3

Nf3

i0

Nf3

Nf3

Nf3

c


87


(46) 2

iii32


0e0++

=++

==


(47) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

Sb

Sa

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii

(48) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

Sb

Sa1

0S

Sb

Sa

SC

SB

SA

iii

]C[iii

21

23

21

21

23

21

2101

32

iii




m2π

=α


(50) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sm

2S

1S

0S

Sb

Sa

i

ii

21

21

21


m2

iii

ML

L

L


a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a

brsquob

bull α

β

Nf2

Nf2

iSa

iSb

b

Nf1

iS0 ]C[

rArr

1]C[ minuslArr


88



a

D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θR

α

β

drsquo d

qrsquoq

bullbull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iSD

iSQ

iRD

iRQ

A

A

B B

C C


89

(51) ][dtd]I][R[]U[ SSSS Ψ+=

(52) ][dtd]I][R[]U[ RRRR Ψ+=



unde

(55) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

(56) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=



)](L[LLLLLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR

SSm21

Sm21

Sm21

SSm21

Sm21

Sm21

S

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ



)](L[LLL

LLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS

RSm21

Sm21

Sm21

RSm21

Sm21

Sm21

R

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ




1SSS


(60) ( ) ][dtd]I[]C][R][C[]][C[


1RRR


unde

(61) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===



]I[]C)][(L][C[]I[]C][L][C[

]I][C[]C)][(L][C[]I][C[]C][L][C[]][C[][

RDQ1

RSRSDQ1

SS

R1

RSRS1

SSSSDQ

minusminus

minusminus

θ+=

=θ+=Ψ=Ψ

(63) ]I[]C][L][C[]I[]C)][(L][C[

]I][C[]C][L][C[]I][C[]C)][(L][C[]][C[][

RDQ1

RRSDQ1

RRS

R1

RRS1

RRSRRDQ

minusminus

minusminus

+θ=

=+θ=Ψ=Ψ


(64) [ ] [ ][ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+minusminus

minus+minus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

== minus

cba00

0)cb(a)bc(

0)cb()cb(a

21

23

21

21

23

21

2101

32

acb

bac

cba

21

21

21

23

230

21

211

32Z

21

23

23

21

1CCZ


90




(66) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ S

S

S

S1

SS =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(67) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ R

R

R

R1

RR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(68) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

S

Sm23

S

Sm23

S

SmS

Sm21

S

Sm21

S1

SSSS

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


(69) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

R

Sm23

R

Sm23

R

SmR

Sm21

R

Sm21

R1

RRRR

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


2RSm3



SR ]C)][(L][C[)](L[

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=ππ

ππππ

ππππ

32

R32

RRSm

32

R32

R21

RSm32

R32

RSm23

32

R32

RSm23

32

R32

R21

RSm


0coscosLcoscoscosL






(72) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθminusθ

=θ=θ=θ minus


]C)][(L][C[)](L[)](L[ RSm23

RSm23

RSm23

RSm23

1RSR

TR

RSR

SR


91


(73) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(74) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(75) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Rb

Ra

Sb

Sa

SmRRSmRSm

SmRRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ


(76) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

SQ

SD

SQ

SD

S

S

SQ

SD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(77) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

RQ

RD

RQ

RD

R

R

RQ

RD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(78)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

RQ

RD

SQ

SD

Sm23

RRSm23

RSm23

Sm23

RRSm23

RSm23

RSm23

RSm23

Sm23

S

RSm23

RSm23

Sm23

S

RQ

RD

SQ

SD

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ




2f21

02Sm N42

llLδπ

μ=


3f21

03Sm N42

llLδπ

μ=


(81) 23f

22f

3Sm

2Sm

NN

LL

=


(82) 32

NN

2f

3f =


23L ==



92





D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θg bull

bull

ωg

iS0 Dg

Qg Drsquo

D

θg ωg

Q Qrsquo

Nf2

Nf2

Nf2

iSD

igSDig

SQ

iSQ

Nf1


93


gSQ2fg



gSQ2fg



(86) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡gSQ

gSD

gg

gg

SQ

SD

ii

cossinsincos

ii


(87) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

SQ

SD

gg

gggSQ

gSD

ii

cossinsincos

ii




(89) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0S

SQ

SD

g

0S

SQ

SD

gg

gg

0S

gSQ

gSD

iii

Diii

1000cossin0sincos

iii


(90) ( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ=θ minus

1000cossin0sincos

DD gg

ggT

g1

g




94


(91) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0R

RQ

RD

Rg

0R

RQ

RD

RgRg

RgRg

0R

gRQ

gRD

iii

Diii


iii

(92) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θminusθ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0R

gRQ

gRD

1Rg

0R

gRQ

gRD

RgRg

RgRg

0R

RQ

RD

iii

Diii


iii




dtd]I][R[]U[ SDQSDQ

SSDQ Ψ+=


RRDQ Ψ+=

unde

(95) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===


SRSDQ

SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

β

α

θg

bull

bull

ωg

iR0 Dg

Qg θg

ωg

Nf2

Nf2

Nf2

igRD

igRQ

Nf1

θR drsquo d

bull ωR

bull

θR

drsquo

d

Nf2

iRD

iRQ q

qrsquoq

qrsquo

β

bull

b

D Drsquo

β

Qrsquo Q

α

β

qrsquoq

bull

ωR

a

iS0 iR0

bull bull

bull θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg

igRD

igRQ drsquo

drsquo

d

d

iRD

iRQ qrsquo

qqrsquoθR

θR

α

bull igSD

igSQ

iR0

)](D[)](D[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](D[

)](D[minus

minus

θθminusθ

lArriSD

iSQ


95


(98) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U)][(D[]U[

gSDQ

1gg

gSDQ

1g

Sg

SDQg1

ggSDQg1

gSgSDQg

gSDQ

Ψθθ+θθ=


minusminus

minusminus

(99) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U[

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1Rg

RRg

RDQRg1

RgRgRDQRg1

RgRRg

gRDQ

Ψθθθθθθθθ


minusminus

minusminus




dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

SDQ1

ggSDQ

1g

gSDQ


(101) ( ) ( ) ( ) ][)](D[dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

RDQ1

RggRDQ

1Rg

gRDQ



(102) ]Z[b000a000a

1000cossin0sincos

b000a000a

1000cossin0sincos

)](D][Z)][(D[ gg

gg

gg

gg1

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ minus


1000cossin0sincos

dtd)](D[

dtd

gggg

gg

ggg

gg1

g θω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


ω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ minus

(104) ]J[000001010

0000sincos0cossin

1000cossin0sincos

)](E)][(D[ gg

gg

gg

gg

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ

(105)

1gRRg

RgRg

RgRg

RR

RR

gg

gg1

RgRg

)](D)][(Z)][(D[]K[0000a000a



1000cossin0sincos

)](D)][(Z)][(D[

minus

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θminusθθθ




dtd)](D[]I][R[]U[ S

S

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

gS


(107) ( ) ]R[]R[]R[][)](D[dtd)](D[]I][R[]U[ R

R

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR



(108)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J[][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gSDQg

gSDQ

gSDQ

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

1g

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

Ψω+Ψ+=

=Ψθθ+Ψθθ+=

=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


96

(109)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J)[(][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gRDQRg

gRDQ

gRDQ

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gSDQ

1Rg

gSDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gRDQ

ΨωωΨ


ΨθθΨθθθθ

minus++=


=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


(110) ]I[)](D)][(L)][(D[]I[)](D][L)][(D[

]I)][(D[)](D)][(L)][(D[]I)][(D[)](D][L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

1g

SSg

RDQRg1

RgRSRgSDQg

1g

SSg

SDQggSDQ

minusminus

minusminus

θminusθθθ+θθ=


=Ψθ=Ψ

(111) ]I[)](D][L)][(D[]I[)](D)][(L)][(D[

]I)][(D[)](D][L)][(D[]I)][(D[)](D)][(L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1Rg

RRRg

gSDQ

1gR

RSRg

RDQRg1

RgRRRgSDQg

1gR

RSRg

RDQRggRDQ

minusminus

minusminus



=Ψθminusθ=Ψ



SSgSS

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

gSS


(113) ]L[]L[]I][L[]I[)](D)][(L)][(D[][ RR

gRR

gRDQ

gRR

gSDQ

1gR

RSRg



RDQgSR

gSDQ

gSS

gSDQ +=Ψ

(115) ]I][L[]I][L[][ gRDQ

gRR

gSDQ

gRS

gRDQ +=Ψ

unde

(116) ]L[0000L000L

]L[ gRSM

MgSR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= SmM L

23L =


(117) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gSQ

gSD

ggSQ

gSD

gSQ

gSD

S

SgSQ

gSD

0110

dtd

ii

R00R

uu

(118) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gRQ

gRD

RggRQ

gRD

gRQ

gRD

R

RgRQ

gRD

0110

)(dtd

ii

R00R

00

uu

(119)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨ

ΨΨ

σ

σ

σ

σ

gRQ

gRD

gSQ

gSD

MRM

MRM

MMS

MMS

gRQ

gRD

gSQ

gSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL



97



RDQTg

RDQgSDQ

TgSDQR

TRS

TS +=+=

unde



0RgRQ

gRD

gRDQ

T0R

gRQ

gRD

gRDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

TRCRBRAR

TRCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

====

====

Se obţine

(122) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=


(123) 0R0R0RR

gRQ

gRDRg

gRQ

gRQR

gRD

gRQRg

gRD

gRDR

0S0S0SSgSQ

gSDg

gSQ

gSQS

gSD

gSQg

gSD

gSDS

idtdiRi)(

dtdiRi)(

dtdiR

idtdiRi

dtdiRi

dtdiRS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞


⎠⎞


+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψω+Ψ++⎟

⎠⎞



(125) ( )( )

( ) ( )dtii)(dtii

idididididid

dt)iii(R)iii(RdW

gRD

gRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ

gSDg

0R0RgRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD

20R

2gRQ

2gRDR

20S

2gSQ

2gSDS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++++=


RDgRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ



SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gRQM

gSQS

gSQ

gRDM

gSDS

gSD

gSQ

gSQ


(128) ( ) ( )

( ) ( )gSD

gSQ

gSQ

gSD

gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gRD

gSQM

gRQR

gRQ

gSDM

gRDR

gRD

gRQ

gRQ

gRD

iiiiiiL

iiLiLiiLiLii


=+minus+=ΨminusΨ


98


SDgSQ

gSQ

gSDR

gSD

gSQ

gSQ

gSDR

gRD

gRQ

gRQ



SDgSQ

gSQ

gSD

R

me ii

ddWm ΨminusΨ=θ

=


SDgRQ

gSQ

gRDMe iiiiLm minus=


SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipLiip

ddWp


θ=

θ=


(134) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii


(135) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

SQ

SD1

0S

SQ

SD

SC

SB

SA

iii

]C[iii

123

21

123

21

101

iii


(136) ( ) ( )0R0R0S0SgRQ

gRQ

gRD

gRD

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiu13iuiuiuiu

23

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=



99

(137) ( ) ( )gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipL

23iip

23

ddWp


θ=

θ=


gSDQ θ=θ=θ=


(139)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θ=θ

21

21

21

23

230

21

211

32

1000cossin0sincos

]C)][(D[)](P[ gg

gg

gg


2πplusmn adică

(140)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

= ππ

ππ

21

21

21


32

21

21

21

23

230

21

211

32]C[ 3

23

23

23

2


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ ππππ

ππππ

21

21

21


32)](P[ 3

2g3

2g3

2g3

2ggg

32

g32

g32

g32

ggg

g

(141)

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


= ππ

ππ

21

21

21

sinsinsincoscoscos

32

32

g32

gg

32

g32

gg


100


g11

g1


(143) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θminus+θ

minusθminusminusθ

θminusθ

=θ

ππ

ππminus

21sincos

21sincos

21sincos

32)](P[

32

g32

g

32

g32

g

gg

1g




β

bull

b

θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg ig

RD ig

RQ

drsquo

d

qrsquoq

qrsquo

α

bullig

SD

igSQ

iR0

)](P[)](P[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](P[

)](P[minus

minus

θθminusθ

lArr

a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC

A

A

B B

C C


101


(144) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sSQ

sSD

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

dtd

ii

R00R

uu

(145) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sRQ

sRD

RsRQ

sRD

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

0110

dtd

ii

R00R

00

uu

(146)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

sRQ

sRD

sSQ

sSD

MRM

MRM

MMS

MMS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL

(147) )ii(pm sSD

sSQ

sSQ

sSDe ΨminusΨ=




(149) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

sSQ

sSD

ii

R00R

uu

dtd

(150) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

RsRQ

sRD

ii

R00R

0110

dtd


(151)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus

sRQ

sRD

sSQ

sSD

1

RM

RM

MS

MS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0L

L0L00L0L

iiii


(152) sRD

sRDR

sSDM

sSD

sRDM

sSDS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+

(153) sRQ

sRQR

sSQM

sSQ

sRQM

sSQS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+


(154) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

MRRS

RM

MS

RsRD

MsSD

sSD LL

LL1

LLLLLL

i


102

(155) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

SMRS

RM

MS

sRDM

sSDS

sRD LL

LL1

LLLL

LL

i

unde prin

(156) RS

2M

LLL

=σ


(157) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

MRRS

RM

MS

RsRQ

MsSQ

sSQ LL

LL1

LLLLLL

i

(158) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

SMRS

RM

MS

sRQM

sSQS

sRQ LL

LL1

LLLL

LL

i


(159)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minusminus

σ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sRQ

sRD

sSQ

sSD

SM

SM

MR

MR

RSsRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0LL0L00L0L

LL1

iiii


(160) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SCA

SBC

SAB

SC

SB

SA

uuu

110011101

31

uuu



103


RS

RS

RR

RR

SDψ

SQψ

RDψ

RQψ

SDi

SQi

RDi

RQi

uSA

uSB

uSC

iSA

iSB

iSC

3 rarr 2 2 rarr 3

A

B

C

D

Q Q

D A

B

C

p

p

1J

D

ωRm

ωR

me

-

-

-

-

-

- -

-

mL

uSD

uSQ

SDψ SDi

RDi

SQi

RQi

RDψ

SQψ

RQψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SDi

RDi

-

-

SDψ

RDψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SQi

RQi

-

-

SQψ

RQψ


104



105



ω

y

xO

Arsquo A

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1

Y2x0 γgt0

ω A2 γlt0

a b


106









ω=γ+ω




mică OA3 (fig2a)



y

xO

Brsquo BγY

Aω

y1

xO

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1 1Y2

ω A2

a b

y Y2k A

2Y2

Y2 y1

y2

A3

A2

A1

2π

2π

y3

y2

Y2ω

ωY2


107


(8) γ= |Y)t(yFnot




(11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=ϕ=

=ϕ+==



(13) r


22

21

jj2

j121

21ϕ+ϕ


(14) ( )21j21 errp ϕ+ϕ=

(15) ( )21j

2

1 errd ϕminusϕ=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C


108






respectiv minus π2

adică

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ=minus= 2

j2

jrecjrecj





21yyy +=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C

α1

φ+α

ejαc

r

Rey O

Y2

j

y

Imy

ωt+γ


109


(22) ( )dydt


Observaţie





(23) yedtyd

2jπω=


jω

(24) ( ) yj1e

jY2d)(y tj

ω=

ω=ττ γ+ωint

Observaţie


icircn sens invers


ω=int


(26) γ== jdefnot



πω

=2

f (respectiv



n2π radiani adică


110

(28)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusω=

γ+ω=

n2)1n(tsinY2

nT)1n(tsinY2)t(y

n2tsinY2

nTtsinY2)t(y

tsinY2)t(y

n

2

1

L


(29) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎜⎝⎛ πminusγ

γ === n2)1n(j

nn

2j

2j


(30) n

2sinjn

2cosea n2j

nπ

+π

==π


1n1






O

j

a1

Im

2πn

1 a2a3a4

an-1

an-2

a0

Re

Re Re

O

j Im

Y3

Y2

Y1

Yn Yn-1

O

j Im

Y3

Y2 Y1

Yn

Yn-1

a b


111


(35)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+γ+ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

γ+ω=

32tsinY2

34tsinY2)t(y

32tsinY2)t(y

tsinY2)t(y

ddd3

dd2

dd1




(37) 23j

21

32sinj

32coseaa 3

2j1def

3 +minus=+===ππ

π


(38) 2

12kk3210

a23j

21

23j

21a

23j

21aa 21kaa 0aaa

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus=




Y1i Y1d 32π

3

2π

32π

Re

Im

Y2d

Y3d

γ

j

32π

3

2π

32π

Re

Im

Y3i

Y2i

γ

j

ω ω

a b


112



(41) θ=θη sin2

N)( SAA


(42) )


2)t(iN

dsin)t(i2

Nd)t(i)()t(

SASSASSAS

SAS

SAAAAA

π+θ=θ=α=

=αα=ααη=θΘ

θπ+θ

π+θ

θ

π+θ

θintint




x x x x

x x x x

x x x

x x

θ

π 2π 0

ηAArsquo(θ)

a

bull

ΘAArsquo(θ)

π 2π 0x

b

d

A Arsquo

c

A

Arsquo

xx x

xxx x

xxx

xx

xx xx x

x


Br

Γ θ

θ

iSA


113


(43) θδ

=δ

θΘ=θδ cos

2)t(iN

2)t(

)t(H SASAAAA

(44) θδ

μ=θμ=θ δδ cos

2)t(iN)t(H)t(B SAS0

AA0AA



(45) 0jSAS

not

Ai0jSAS

not

Ad

jAi

jAd

jSASjSASjj

SASSASAA

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(e2

)t(iNe2


minus

minusminusminus

==

+=+=+

==

ΘΘ



ΘAArsquo(θt)

π 2π0

θ

a b

A Arsquo


ΘAi(t)

iSA


114



2SBS3

2SBSBB


4SCS3

4SCSCC


(48)

32

32

32

32

32

32

jSBSnot

BijSBS

not

Bd

jBi

jBd

jjSBSjjSBS

jjjj

SBS32

SBSBB

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=

(49)

34

34

34

34

34

34

jSBSnot

CijSCS

not

Cd

jCi

jCd

jjSCSjjSCS

jjjj

SCS34

SCSCC

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=


(50) ( ) ( ) θθ

Σ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘj

CiBiAij

CdBdAd

CCBBAA


)t()t()t()t(

+++++=

=++=minus




a b

A Arsquo

BBrsquo

CCrsquo

iSA

iSB

iSC

θ 3

2π

32π

32π

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo


115


23

43



2Na)t()t()t(i

2Na)t()t()t(i

2Na)t( CdSC

S2def

CCBdSBS1def

BBAdSAS0def



2N)t()t()t()t( SC

2SB

1SA




116



(55) ( ) ( )( ) ( )

θΣ

θΣ

θθ

θθ

Σ

ΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘ

jj

jCC

BB

AA

jCCBBAA

jCiBiAi

jCdBdAd

CCBBAA

e)t(e)t(



)t()t()t()t(

+=

=+++++=

+++++=

=++=

minus

minus

minus


(56) )t(i

2Na)t(i

2N)a()t(

)t(i2

Na)t(i2

N)a()t()t(i2

Na)t(i2

N)a()t(

SCS1

SCS2

CC

SBS2

SBS1

BBSAS0

SAS0

AA

sdot=sdot=


Θ

ΘΘ

(57) ))t(ia)t(ia)t(ia(2

N)t()t()t( SC1

SB2

SA0S

CCBB

AA




(58) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( SS

SC2

SBSAS

ΣΣΘ =sdot+sdot+=

(59) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( S

SSCSB

2SA


A

C Crsquo

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

a b d

ω

ΘΣ(θt)

π 2π0

θ ΘΣ(t1)

ω

θa1middotiSB

iSAgt0

iSBgt0

iSClt0

c


117


(60) )t(i2

N)t(i2

N)t( SE

SS sdot== ΣΣΘ


(61) )t(iNN)t(i S

E

SS Σ=



iSΣ

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

A

B

C Crsquo

a1middotiSB

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

θe

NS

NS

NS

NS

NS

NS

NE

ωe E

Ersquo θe

ωe

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo

Ersquo

E

θe

ωeΘΣ

θeωe

a b c

bullbullbullbull


x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x

ΘΣ θe


118

(62) SE N23N =



2SBSAS

sdot+sdot+=


2SA

S

sdot+sdot+=


31)t(y SCSBSA0S ++=


(66) ))t(y)t(y)t(y(32))t(ya)t(ya)t(y(

32)t(y

SCSBSASC2

SBSAS++=sdot+sdot+=


(67) 2

eeI)tcos(I)t(itjtj

MeMSA

ee ωminusω +=ω=

(68) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSB

ee32

e32


=+

=minusω=ππ

(69) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSC

ee32

e32


=+

=+ω=ππ


2I

31))t(i)t(i)t(i(

31)t(i 2tj2tjM



(71) tj

Mtj

M2tjtjM

22tj22tjMSC

2SBSAS

eeee

ee

eI23eI

23

32))aa1(e)111(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i

ωωωminusω

ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=



119


(72) tj

Mtj

Mtj2tjM

22tj22tjMSCSB

2SA

S

eeee

ee

eI23eI

23

32))111(e)aa1(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i


ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=






(73) ( ) ( )

( ) ( )θωθω


θΣΣ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus=


tcosI23Nt(cosI

23N

eeI23

2Neiei

2Ne)t(e)t()t(

eMSeME

)t(j)t(jM

EjS

jS

Ejj ee




(74) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y

)t(y

SC

SB

SA2

2

0S

S

S


(75) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

)t(y)t(y

)t(y

21

2a

2a

21

2a

2a

21

21

21

32

)t(y)t(y

)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y)t(y

0S

S

S

2

2

0S

S

S

1

2

2

SC

SB

SA

adică

(76) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

+= 0S

S

2

SC0S

SS

2

SB0S

SS

SA y2

12

yaya

32yy

21

2

yaya

32yy

21

2

yy

32y


120


(77) )))t(y)t(y(23j))t(y)t(y(

21)t(y(

32)t(y SCSBSCSBSAS

minus++minus=


(78) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=


S32


(80) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(




S2

32


(82) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=sdot


S32


SAA32

S32

SA ==



SBB32

S2

AA32

S2

32



iSΣ

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

NS


121


2SAA3

2S3

2SC =sdot=sdot=


1S3

2SA +=

(88) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S2

32

SB +sdot=

(89) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S32

SC +sdot=


32)t(y SC

2SBSAS

sdot+sdot+=



(92) )))t(y)t(y(23j)t(y

23(

32)))t(y)t(y(

23j))t(y)t(y(

21)t(y(





S2






122


π


yjy)t(y sdot+=

(100) SQSDS



yS

D D Drsquo

Q Qrsquo

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ ωe θe

E Ersquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

ySΣ

yS

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ yS yS

D hArr hArr

a b c

ω ω ω

ySΣ

D Drsquo

Q Qrsquo

E Ersquo


123


(101) SQSDSC2


sdot+=sdot+sdot+


(102) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

yyy

21

21

21

23

230

21

211

32

yyy




jSSC

2SBSAS

sβα




(104) ( ) RRsRs jS

jjS

jSSQSD

S



Sj

SS




jRRC

2RBRAR

rβα


ySα

β

α

D

Q

θR θs

θs-θR

ySβ

ySD ySQ ωR

yS yrsquoS


124




jR

jjR

jR

R



SSee)t(y)t(y


jS

eS

e ω=θ= θminus


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee


π


yRD

Q

D

α

β

θR θr

θr+θR

yRQ

yRα yRβ ωR

yR yrsquoR


125



jSSSQSD



(112) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

α

)t(y)t(y

cossinsincos

)t(y)t(y

S

S

RR

RR

SQ

SD


(113) ( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

=sdot+sdot+==


θminusθminus

)(jSC

)(jSB

jSA

jSC

2SBSA

jS

S

32

R32

RR

RR

e)t(ye)t(ye)t(y32



(114) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminusθminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

)(P)t(y)t(y)t(y

21

21

21

32sin

32sinsin

32cos

32coscos

32

)t(y)t(y)t(y

SC

SB

SA

R

SC

SB

SA

RRR

RRR

0S

SQ

SD

hArr

b

jmiddotQ

D

iS(t)

ωe

θe

jmiddotQe De

ieS(t)

a

ωe

jmiddotQe De

jmiddotQ

D θe


126


(2) )t(edt

)t(idL)t(iR)t(u S

SSSSS ++= σ



)t(iS

)t(eS

)t(iR SS

)t(uS

dt)t(id

L SSσ

Re

Im

ωe(t) θs


127




(4) )t(ijedt

)t(ide)t(ije

dt)t(id

edt

dj)t(iedt

)t(iddt

)t(idSe

jSjSe

jSjsS



(5) )t(i)t(i

eS

Sj s =θ


(6) )t(ij)t(i)t(i

dt)t(id

dt)t(id

SeS

SSS ω+=


(7) )t(ijdt

)t(idSe

S ω=






unde

(12) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(13) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(14) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmS

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ


128

(16) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmR

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ





(19) dt


Ψ+=

(20) dt


Ψ+=

(21) dt


Ψ+=

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iS(t)

A

A

B B

C C

iR(t)

a


129



(22) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

SC2

SBSA

SC2

SBSASSC2

SBSA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+



(23) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RA

RARRAΨ

+=

(25) dt


Ψ+=

(26) dt


Ψ+=


(27) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

RC2

RBRA

RC2

RBRARRC2

RBRA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+


sau mai compact

(28) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


23L()t(iL

21)t(iL


(30) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(31) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(33) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( SC

2SBSASmSSSC




130


23L()t(iL

21)t(iL


(36) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(37) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(38) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( RC

2RBRASmRRRC



(40) 2

eecosRR jj

R

θminusθ +=θ

(41) 2

aeae2

eeee)cos(2jjjjjj

32

R

RR32

R32


=+

=+θππ

(42) 2

aeae2

eeee)cos(RR3

2R3

2R j2jjjjj

32

R


=+

=minusθππ


2L)t( RCRB

2RA

jRC

2RBRA

jSmRSRA



L)t( RC2

RBRAj

RCRBRA2jSm



L)t( RCRBRA2j

RCRB2

RAjSm



(46)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jRM

jRC

2RBRASm

2RC

2RB

2RA

jSm

222RCRBRA

jSm

RSRC2

RSRBRSRARSR


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θθ

θminus

θ

=sdot+sdot+=






131


L)t( SC2

SBSAj

SCSB2

SAjSm



L)t( SCSBSA2j

SC2

SBSAjSm



L)t( SCSB2

SAj

SCSBSA2jSm



(51)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jSM

jSC

2SBSASm

222SCSBSA

jSm

2SC

2SB

2SA

jSm

RRSC2

RRSBRRSARRS


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θminusθminus

θminus

θ

=sdot+sdot+=






jSMRRRRSR





SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

unde

(58) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(59) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σS

S

SSS

L000L000L

]L[ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σR

R

RRR

L000L000L

]L[

(61) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ


)](L[ RMRM

RMRM

RSR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ


)](L[ RMRM

RMRM

RRS



132



(62) dt


Ψ+=

(63) dt

)t(d)t(iR)t(u SQ

SQSSQΨ

+=



(64) dt


SQSDSSQSDSΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(65) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RD

RDRRDΨ

+=

(67) dt

)t(d)t(iR)t(u RQ

RQRRQΨ

+=


(68) dt


RQRDRRQRDRΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(69) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


a

D Drsquo

β

α

Qrsquo Q

θR

α

β

drsquo d

qrsquo q

bull bull

ωR

iS0 iR0

iSD

iSQ

iRD

iRQ

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

b

iS0 iR0

iS(t) iR(t)


133


(76) 2

eejj2eesin

RRRR jjjj

R


minus=θ


2L)t( RQ

jjRD

jjMRSRD


(78) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( RQjj

RDjjM




(79) ( )( ) RRRRR

RRRR

jRMR

jjR

jjM

RQRDjj

RQRDjjM

RSRQRSRDRSR


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ

=sdotminus+sdot+=


=θΨsdot+θΨ=θΨ


2L)t( SQ

jjSD

jjMRRSD


(81) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( SQjj

SDjjM



(82) ( )( ) RRRRR

RRRR

jSMS

jjS

jjM

SQSDjj

SQSDjjM

RRSQRRSDRRS


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ



=θΨsdot+θΨ=θΨ



jSMRRRRSR




bull E Ersquo

β

αθR

α

β

ersquo e bull

ωR

a

iS0 iR0

iS(t) iR(t) bull

θg

ωg

iS0 Dg

Qg

ωg igR frsquo

f

bullig

S iR0

α

ββ

ωR α

bull θR

b

Frsquo

F


134


(83) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

(84) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=



SMRR +=Ψ θminus



(88) ggg jSjSS

jS e

dt)t(d



dt)t(dy)t(x

dt)t(y)t(xd)t(y

dt)t(dx

minus=


(90) ( ))t(j

dt)t(d

edt

d)t(j

dte)t(d

edt

)t(d gSg

gSjg

S

jSjS g

gg Ψω+

Ψ=

θΨsdot+

Ψ=

Ψ θminusθminus

θminus


(91) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=


(92) )(jR)(jRR

)(jR

RgRgRg edt


+=


(93) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


RMj

SSjj

RMj

SSj



RMgSS

gS +=Ψ


RRj

SM)(j

RR)(jj

SM)(j



RRgSM

gR +=Ψ



135

(98) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=

(99) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


gSS

gM

gSM

gSS

gRM

gSS



gMM

gRR

gSM



RgS

gM +=


dt)t(d)t(iR)t(u 0S

0SS0SΨ

+=

(104) dt


Ψ+=



bull bull

bullbull

bull

bull

bull

bull

bull

bull

)t(ugS

)t(igS

)t(ugR

)t(igR

)t(igM

)t(j gSgΨω

dt)t(d g

SΨ

dt)t(d g

RΨ

dt)t(d 0SΨ


)t(i 0S )t(i 0R

SLσ RLσ

ML

SL RL


SR

SR SLσ RLσ RR

RR


136


RgSM

gMM

gM +sdot=sdot=Ψ


Sjjs

Sjs

SgS



(109) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gSsgs

S

gS

sS)(js

Ssg)(j

sS




Rjjs

Rjs

RgR



(111) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gRrgs

R

gR

sR)(js

Rrg)(j

sR




2 Termenii )t(y

)t(ysS

gS şi

)t(y

)t(ysR



(112) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

SsgsS

gS

sSg


ΨΨ=

Ψ


(113)

)t(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gSss

S

gS

sSg

SS

gSg

gSsgs

S

gS

sSg

SSgS

Ψω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


137


(114) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

SssS

sS

sSs

S Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ


(115) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

RrgsR

gR

sRg


ΨΨ=

Ψ


(116)

)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t()(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gRRrs

R

gR

sRg

RR

gRRg

gRrgs

R

gR

sRg

RRgR

Ψsdotωminusω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


(117) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

RrsR

sR

sRs

R Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ



(118) )t(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u SsS

SSSSS Ψω+

ΨΨΨ

+=

(119) )t()(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u RRrR


ΨΨΨ

+=



138




(123) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=





iS

LMiS

LSiS

iR

LMiR

LRiR

iM

LMiM

ΨS

ΨR ΨM

ΨσR

ΨσS

θr θm

θs

jωsΨS )t()t(

dt)t(d

S

SS

ΨΨΨ

dt)t(d SΨ RSiS

uS

RRiR

jωrΨR )t()t(

dt)t(d

R

RR

Ψ

ΨΨ

-jωRΨR

ωr

ωs

ωm


139

(128) 0R0R0S0S

gR

gR

gS

gS0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD



iuiuiuiuiuiuS

+++=+++++=

=+++++=


(129)

dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(

dt)t(i))t()(jdt

)t(d)t(iR(Re

dt)t(i))t(jdt

)t(d)t(iR(RedW

0R0R

0RR0S0S

0SS

gR

gRRg

gRg

RR

gS

gSg

gSg

SS

Ψ++

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨωminusω+

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨω+

Ψ+=


(130) 22

2i

2r

2i

2ririr




(131) ( )( )dt)t(i)t()(jdt)t(i)t(jRe



gR

gRRg

gS

gSg

0R0R0S0Sg

RgR

gS

gS

20R

2gRR

20S

2gSS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++=


(132) ( )( )( ))t(i)t()dd()t(i)t(dIm



gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSgm





dd

ddW)t(m g

RgR

gR

gRRg

gS

gSg

RR


θminus=

θ=


RgRe sdotΨ=



140



RDgRQ

gRQ

gRD

gR

gR

gR



L1)t(i g

SMgR

R

gR minusΨ=


(138) )t(ix)t(

LLp))t(ix)t(

LL)t(x)t(

L1(p


gS

gR

R

MgS

gR

R

MgR

gR

R

gSM

gR

R

gR

gR

gRe




RMgSS

gS +=Ψ


gSM

gR +=Ψ


(139) )t(iLL)LL


RS

2Mg

SRS2MRS

gS

gRM


sau (140) ))t(iL)t((

LL)t( g

SSgS

M

RgR σminusΨ=Ψ



)t(ix))t(iL)t((LL

LLp)t(ix)t(

LLp)t(m

gS

gS

gS

gSS

gS

gS

gS

gSS

gS

M

R

R

MgS

gR

R

Me

Ψ=σminusΨ=

=σminusΨ=Ψ=


SgM

gS

gM

gSS

gS

gSe Ψ=Ψ+=Ψ= σ


141



dt)t(dJ accelRmre

Rm =ωminusminus=ω

avacircnd soluţia

(2) int ττ+ω=ωt

0accel0RmRm d)(m

J1)t(



0Rm0RmRm d)()t(



icircn mişcare

Sursă



142





(5) ( )( ))t()t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

)t(m)t(m)t(m 4R

Rm

Rmaccel

accelaccel

reaccel

ωminusω=

minus=

minus=



)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u


)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R

)t(maccel

4R)t(maccel

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control


143



(6) ( )( )Rm

Rm

e

ee

)t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

ωminusω=

minus=





)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R)t(m

accel

)t(mr

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control

)t(i

Estimatormr

Estimatorme

)t(me



- - -

-

ui

ωRmθRm

iu

θRm

θRm

ωRm

ωRm

me

me

Ψ

Ψ

Regulator poziţie

Regulator viteză

Regulator cuplu

Regulator flux



144



145


LLp)t(m g

SgM

gS

gS

gS

gR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=




D Drsquo

jmiddotQ

QrsquoQ

Ψe(t)bullωr

ia(t)bull


146



147


SSee)t(y)t(y


SeS


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee




Re

iS

iR

iM

ΨS

ΨR

ΨM

θr θm

θs

jωsΨS

uS

RRiR

jωrΨR

-jωRΨR

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

ωR

θR=ωRt

De

Qe βR

αR

βS


148


(14) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u e

Se

eSe

SSeS Ψω+

Ψ+=

(15) )t(jdt

)t(d)t(iR)t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u eRsl

eRe

RReRRe

eRe

RReR Ψω+

Ψ+=Ψωminusω+

Ψ+=


eS

eMM

eSS

eRM

eSS



eM

eRR

eMM

eRR

eSM



SeM

eS

eS

eS

eR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


dt)t(dJ Rmre

Rm ωminusminus=ω


RRje

ReR

jRR


(21) )t()t(e)t()t( e)t()t( eMM

jeM

eM

jMM


(22) )t()t( e)t()t( e)t()t( eSS

jeS

eS

jSS




149


LLp)t(m e

SDeMQ

eSQ

eMD

eSD

eSQ

eSQ

eSD

eSD

eRQ

eSQ

eRD

R





MQeSQ

eRQ =Ψ=Ψ=Ψ


LLp)t(m e

SQeMD

eSQ

eSD

eSQ

eRD

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


SeS

eR =Ψ=Ψ=Ψ


RDeR

eR

ψ=ψ=ψ

(29) 0)t(eRQ =Ψ


LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=


Re

iS

ΨeS

ΨeR

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

De

Qe

βS

ΨeRQ

ΨeMQ

ΨeSQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

ΨeRD


150



SDeS

eS

ψ=ψ=ψ

(33) 0)t(eSQ =Ψ


eSDe sdotΨ=


MDeM

eM

ψ=ψ=ψ

(37) 0)t(eMQ =Ψ


eMDe sdotΨ=



Re

iS

ΨeS

ΨeR= Ψe

RD

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr=0γm γs

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

εR


Re

iS

ΨeS= Ψe

SD

ΨeRD

ΨeM

ωe

θe=ωet

γs=0

γr γm

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

RQ

ieSQ

ieSD

ΨeMD Ψe

R

εS


Re

iS

ΨeS

ΨeRD

ΨeM= Ψe

MD

ωe

θe=ωet

γm=0

γr γs

De

Qe

βS

ΨeRQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

εM


151



(39) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u eSQe

eSDe

SDSeSD Ψωminus

Ψ+=

(40) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u e

SDe

eSQe

SQSeSQ Ψω+

Ψ+=

(41) )t(dt

)t(d)t(iR0 eRQsl

eRDe

RDR ΨωminusΨ

+=

(42) )t(dt

)t(d)t(iR0 e

RDsl

eRQe

RQR Ψω+Ψ

+=


eSDS

eSD +=Ψ


eSQS

eSQ +=Ψ


eSDM

eRD +=Ψ


eSQM

eRQ +=Ψ


(47) dt

)t(d)t(iR0eRDe

RDRΨ

+=


eRQR Ψω+=


eSDM

eRD +=Ψ


152


eSQM +=


(51) )t(iRdt

)t(d eRDR

eRD minus=

Ψ

(52) )t()t(i

R eRD

eRQ

Rsl Ψminus=ω



L1)t(i e

SDMeRD

R

eRD minusΨ=

(54) )t(iLL)t(i e

SQR

MeRQ minus=


(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ

(56) )t(i)t(T

L)t(i)t(L

LR)t( eSQe

RDR

MeSQe

RDR

MRsl

Ψsdot=

Ψsdot=ω










1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

mr(t)

ωRm(t)

-



153








Sursă


Receptor


control


Uef

e

Uifimi

Uefeme


154







~ ~

= =

Redresor Invertor

Convertor cc-cc


~Ui fi mi ~=

=Ueuarr

~Ueuarr feuarr me

~= =Ui


155






=Ueuarr

== =Ui

~Ueuarr fe=fi me=mi

~~ ~Ui fi mi

~Ueuarr feuarr me

~~ ~Ui fi mi

~Ui fi mi ~=


~= =Ui


156



π=



iT

~

~

~

uR

uS

uT

iR

iS u0

i0

iR

uS

i0

Bloc de comandă

u0

uR

iT

~

~

~ uT

iS Ci

Ci Ci

L0


157




iR

iS

iT

u0

uR ~

~

~

uS

uT

i0

Bloc de comandă

Li

Li

Li

C0

i0

u0 uV

iU

iV

iW

uU

uW

Bloc de comandă

~

~

~

Lo

C0

Lo

Lo


158





Co

iU

iV uV

i0

Bloc de comandă

u0

uU

iW uW

L0

~

~

~Co Co

C0

uS(t)

iR uR ~

~

~

uS

uT

Li

Li

Li

~

~

~

Lo

Lo

Lo

u0

Redresortip

sursă de curent

Invertor tip

sursă de tensiune

Bloc de comandă

Bloc de comandă

u0u0

Co

ejθe

uR ~

~ uT

Redresorcomandat


Invertor tip

sursă de curent

Bloc de comandă

Bloc de comandă

i0 |iS(t)|

L0 i0 iR

uS

iT

iS

Ci

Ci

Ci

~

~

~ Co Co

~


159


(58) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

101110

011u

uuu

0

CA

BC

AB


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

211121112

3u

uuu

0

Cn

Bn

An




Invertor tip

sursă de tensiune

-

a

b

c

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)

Generator semnal

triunghiular

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)-

-

u0


160




(60) ⎩⎨⎧

gtΔminusltΔ

=2hipentru1

2hipentru0a

A

A

Tc


t

t

t

uAN

u BN

u AB

12 T1

U d

U d

- U dt

U d

u AB(1)

U control

U tr

0

0

0

0

c

b

a

Invertor PWM


-

-

-

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t) iSC(t)

iSB(t)

iSA(t)

u0


161





162





163





ωRm(t)


RD(t)

mr(t) θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

-


)t(i eSQ

)t(êθ

P-1(θe)

)t(i eSD

)t(iSA

)t(iSB

)t(iSC

Invertor PWM




RD(t)


164



ˆjR

eRQ

eRD

eR


(62) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ψψ

)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos)t()t(

RQ

RD

ee

eeeRQ

eRD


(63) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ψ+ψ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos0

)t()t(0

)t(RQ

RD

ee

ee2RQ

2RD

eRD



(64) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=θψminusθψ

ψ+ψ=θψ+θψ

0ˆsin)t(ˆcos)t(


eRDeRQ

2RQ

2RDeRQeRD


(65) )t()t(

)t(ˆcos)t()t(

)t(ˆsin2RQ

2RD

RDe2

RQ2RD

RQe

ψ+ψ

ψ=θ

ψ+ψ

ψ=θ

sau

ωRm(t)


RD(t)

mr(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

- )t(i eSQ

)t(i eSD



RD(t)


165

(66) )t()t(ˆtg

RD

RQe Ψ

Ψ=θ



R





L1)t(i SMRR

R minusΨ=


(70) )t(iL)t(LL)t())t(iL)t((

LL)t()t( SRM

M

RRSMR

R


σ

)t(MBψ

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(eRDψ

)t(êθ

)t(MCψ)t(MAψ

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(MDψ

)t(MQψ

)t(iSD





-

- Regulator cuplu

Regulator flux


166






(71) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=









-

)t(eRDψ

)t(me

)t(iSQ

)t(uSA

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(êθ

)t(uSB)t(uSC

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(uSD

)t(uSQ






- Regulator cuplu

Regulator flux


167




LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=

(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ




(75) ( )1sTL1sT

)s()s(i)s(H

0RM

Re

RD

eSD

++

=Ψ

=



)s(ieSD

)s(ieSQ

1sTL

R

M

+ )s(e

RDψ

R

M

LLp me(s)

M

R

L1sT + )s(e

RDψ

)s(me

)s(i eSD

M

R

pLL

1

2 )s(i eSQ

b

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

2

)t(êθ


168


)t(TL)t(i

)t(LLR)t( e

SQeRDR

MeSQe

RDR

MRsl

ψsdot=

ψsdot=ω


(76) )t(


RD

eSQ

R

MRslRe

ψ+ω=ω+ω=ω


(77) intint ττψ


)()(i

TL)(p(d)(ˆ)t(ˆ

eRD

eSQ

R

MRmee





traductor viteză

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

p R

M

TL

1

2 s1

estimator ωsl(t)

ωRm(t)

ωR(t) ωsl(t)

)t(êθ

2


169

(78) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

Ψ

ωleωΨ=Ψ

RNRmRm

RNRN

RNRmRNe

RD )t( )t(

)t( )t(




regulator vectorial

p

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++

)t(eRDψ

M

R

pLL

1

2

1

2 s1


ωR(t) ωsl(t)

ωe(t)

)t(Rmω

-

traductor viteză

R

M

TL

)t(êθ

u0


2





a b


3





a b


4



(2) li

FBBdef

==


(3) TmA

N]B[def==




5




(7) BxniBxmdef


(8) nimdef

sdot=


6




(10) r2

iHπ

=

a b


7


(11) R2

iHπ

=



lC

dlHdlH


kk

l

idlH


(15) liNH =



def=


8


(19) r2

iH 11 π=


(20) r2iliHxliF 210

12012π

μ=μ=




9

(21) SBdef=Φ


SB Φ=


S

dSB



(3) gauss10mWbT

mAN]B[ 4

2

def====



(27) 0

MBMμ

=



10





(32) e2

efdtdQib π

ωminus=minus==


11



(33) LLm2e

mLe

2riSim

ee

2bb γminus=minus=

ωπ

πω

minus=π==



12





a b c d e


13




14




15


00 μμ =+==


(36) 0MBH0

0 ltminus=μ



16





a b c

a b

a b


17



magnetaer CCC



aerC

gtsdotint


magnetC

ltsdotint


C

sdot=sdotint


ik000 +μ=+μ= sum


18



(4) A

BHμΦ

μ==

relaţia (2) devine

(5) Θ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

+μ

Φδ

δ

Al

Al

Fe

Fe



19

(7) AlR m μ

= [AWb]


(8) lA

R1

m

μ==Λ [WbA]


(13) INlBlH0

FeFe =Θ=μ

+ δδ

sau

(14) 1l

Bl

H

0Fe

Fe =Θμ

+Θ δ

δ





20


(16) δδ

δ μ=Θμ

=lNi

lB 0

0



21



(1) dtdNuiΦ

minus=



a b


22


(3) dt

)t(dA)t(B)t(Adt

)t(dBui minusminus=


(4) Adt

)t(dBui minus=


(5) dt

)t(dABui minus=




23


(12) Bxve

FE mi =minus=


Ci dlEu


A

dAB



dABdtddlE




24





)cos|A||B(|dNdt


==minus=sdot

minus=minus=




25


(20) Al

iNAHAB 00 sdotsdot

μ=sdotμ=sdot=Φ


(21) dtdi

lAN

dtdNu

2

0i μminus=Φ

minus=


(22) dtdiLui minus=

unde

(23) m

22

0 RN

lANL =μ=


(24) int sdot=Ψ

=Φ

=A

notdAB

iN

iiNL


WbA

sV]L[ ==sdot

=




26

(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=






(27) dt


+=minus=

(28) dt

dNiRuiRu 22222i222

Φ+=minus=


(32) dtdiM

dtdiLiRu 21

1111 ++=

(33) dtdiM

dtdiLiRu 12

2222 ++=


(34) dt


1111+

+minus+=

(35) dt


2222+

+minus+=



27


(36) 0i2

2

0i2

222

0i1

1

0i1

111

1122ii

NLii

NL====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=

(37) 0i1

2

0i1

22

0i2

1

0i2

11

2211ii

Nii

NM====

Ψ=

Φ=

Ψ=

Φ=





(40) I21LI

21

2iLLidiuidtE 2

I

0

2I

0

t

0L Ψ===== intint



28

(41) lA

EVEw LL

m ==


(42) lINH =


(23) lANL

2

0μ=


(43) HB21H

21

lAI

lAN

21w 2

0

22

0m sdot=μ=μ=


(25) dtdiLRi

dtdNRiuRiu i +=Φ

+=minus=


(49) HVB21

2HVdHHVdBHVW

2H

0

B



(50) HB21HdB

VWw

B

0

mm sdot=== int


29




30











electrolizatilde

efect Joule


efect fotovoltaic


31



(1) 4200

020

e

m 102E

2Bww

congε

μ=





32




a b c


33





34




35





r

a b


36


(3) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr


r


(5) iB2llFx

2l 21

a2

a ==τrr








37





(8) intΓ

sdotminus=S

i SdBdtdu

rr

sau

(9) dtduiΦ

minus=

(10) intΓ

sdot=ΦS

SdBrr



(11) 12 l

2lS π

=


(12) 12 l

2lBBS π

==Φ

SΓ

dS

Γ


38


(13) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2l)B(dzd

2lBSdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

θπθθπθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=minus+=sdot=

+

+

int intint intintrr


(14) )

2(BllB

2ll)(B

2llB

2llB

2ll

dzd2lBdzd

2l)B(SdB)(

R21R21

R212121

l

0

2l

0

2

SR

R

R

1 R1

R

πθθπθθθ

θθθΦ

θππ

πθ

θπ

π

π

θ


=+minus=sdot=

+

+

int intint intintrr


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ



(16) RER21R

21R

R

R21R

R

RRi KBll

dtdBll

dtd))

2mod(Bll(

dtd)(

dt)(du ω=ω=

θ=

θθpart

πminusπθpart

=θ

θpartθΦpart

minus=θΦ

minus=


39





(18) ⎩⎨⎧


θminusθ20

00)(K

R

RR




R

1 R

R

l

0R

2R

l

0

2

Sa dzd)(Ki

2ldzd)(Ki

2ldSB)i(

πθ

θ

πθ

θ

θθθθθθψ


(20) i

)i(Laψ

=


(21) 0dzd)(K2lL

1 R

R

l

0R

2def


θ

θθθ


(23) dtdiLiR

dt)i(diRV aS +=

ψ+=



40



dtdiLiRV ω++=++=


(25) RLmR D




(28) Rm

2a

2RT

2a

2

REa2

S

)t(iL21

dtd)t(iRK)t(i)t(iL

21

dtd)t(iR

K)t(idt


ωτ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=ω++=




41





42




rrrrrrrang=sdot=Φ



43





rrrrsdot=sdot=Φ


r

a b c


44


(37) f

fff i

)i(L ψ=


(38) dt

)t(diL)t(iRdt

)t(d)t(iR)t(V ffff

ffff +=

ψ+=


(39) dt

d)i(dtdi

i)i(

dt)i(du R

R

Rff

f

RfRfi

θθpartθψpart

minuspart

θψpartminus=

θψminus=


i)i( f

f

Rf



(40) RR

RfR

R

Rfi

)i(dt


minus=θ

θpartθψpart

minus=


(15) )2

mod(Bll)( R21Rπ

minusπθminus=θΦ


(41) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minus+θminus=θΦ2

modn



(42) sumsum==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πminusπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π


1kRf21

n

1kRfkRf 2

modn

)1k()i(Bll)i()i(


(43) RERf21RR


θpartθψpart

minus=


(44) REaS nKdt




=π

=



45


=τ


(47) RfMaS iKdt



(48) fff

ffff iRdtdiLiRV =+=



(49) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

ψ

ωleωψ=ψ

bRR

b0f

bR0f

fref


(50) const)(signLK

LK

LKiKu Rb0f

f

MR

R

b0f

f

MR

f


ωω

ψ=ωψ

=ω=



46





47




(4) 2

I)t(i2

I)t(i4

1t SSb

SSa

S==

πω

=

(5) SSbSaS

I)t(i0)t(i2

1t ==π

ω=


48

(6) 2

I)t(i2

I)t(i4

31t SSb

SSa

S=minus=

πω

=




a b


49




50





51




a b


52



53




54










55




a b


56


kk

CSa idlH




k

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa idlHdlHdlHdlH

sau


k

4

3Sa

2

1Sa idlHdlH



k

4

3Sa

2

1Sa idl)(Hdl)0(H


(10)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧


ltle

=


πθ

θ

235 03523 i2334 i33432 i4

322 i323 i

30 0

i)(n

Sa

Sa

Sa

Sa

Sa

Sac



57



SSa =sdotint




θθμθθθθ2

0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(13) δθθ Sac



(14) 0di)(n)0(H2

0

SacSa =⎟

⎠⎞


θδθ


(15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝


35

23

23

34

34

32

32

2

2

3


0c

Sa2

0Sa

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

θθθθθδ

θθδ

θππ

sau

(16) πδ

πππππδ

π 4i66

33

246

36

i2)0(H SaSaSa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=sdot


(17) δ

= SaSa

i2)0(H


(18) δθminus

=δθ

minus=θ SacSacSaSa

i))(n2(i)(n)0(H)(H


58


(19) δθminus

μ=θ Sac0Sa

i))(n2()(B



(20) suminfin

=

θ+θ=θ0k


unde


T2a

2

0Sa

T

0Sak

2

0Sa

T

0Sak intintintint

ππ

θθθπ

=θθθ=θθθπ

=θθθ=


(22) suminfin

=

θ=θ0k

kSa kcosa)(B


(23)

)(

πδμcong⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +πδ

μ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πδμ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πδμ=


μ=

=⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠


πδμ=

=⎟⎟⎠


⎜⎜⎝


π=θθθ

π=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ


intintintint

intintintint

4i86612

324i2344i

2321

23

231

23

2321

23

231

232i





Sa0

Sa0

Sa0

Sa0

235

3523

2334

3432

322

23

30

Sa0

2

35

35

23

23

34

34

32

32

2

2

3

3

0

Sa0

2

35Sa

35

23Sa

23

34Sa

34

32Sa

32

2Sa

2

3Sa

3

0Sa

2

0Sa1


(24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== int 6


0

2

0Sak

ππδ

μθθθπ

π


59


(25) θπδ






60


(28) m0m0

m0


intint

adică

(29) 2

NSm =η


(30) θ=θη sin2

N)( S



kk

CSa idlH

sau


α⎟⎠⎞


0

SSa

0Sa

1

4Sa

4

3Sa

3

2Sa

2

1Sa dsin

2Nid)(idlHdlHdlHdlH



4

3Sa

2

1Sa cos

2NidlHdlH

sau


cos2

Ni2

Nidl)(Hdl)0(H SSa

SSa

0Sa

0Sa


(35) δ

minus+θδ

=θ2Ni)0(Hcos

2Ni)(H S

SaSaS

SaSa


61


SSa =sdotint




0Sa01

2

0Sa1

l

0

2

0Sa


1


(38) 0d2Ni)0(Hcos

2Nirl

2

0

SSaSa

SSa01 =θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δminus+θ

δμ int

π

sau

(39) 02Ni)0(Hsin

2Ni 2

0S

Sa20Sa

20

SSa =θ

δminusθ+θ

δπππ


(40) δ

=2Ni)0(H S

SaSa


(41) θδ

=θ cos2Ni)(H S

SaSa


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa




62




(43) θ=π

+θ=θη cos2

N)2

sin(2

N)( SSb


(44) θδ

μθπδ

μθ sini2N

2cosi

2N)(B Sb

S0Sb

S0Sb =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus=






δμ=θ+θ=θ


63


(48) )tcos(2


IN)ii(B SSS

0SSSS

0SbSaS θminusωδ

μ=θω+θωδ

μ=θ





64




65


(42) θδ

μ=θ cosi2N)(B Sa

S0Sa


(50) θθ= dsin2

NdN SS


(51)

θδ


μ=αδ

μ=

=ααδ

μ=αα=sdotα=θΦ

θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ


sini2Nll))sin((sini

2N

2llsini

2N

2ll

dcosi2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

SaS

210SaS21

0SaS21

0

SaS21

0

l

0

2Sa

spiraSSaSa

1


(52) θθδ


2lldN)()(d 2

Sa

2S21

0SSaSa


(53) intintππ

θθδ

μ=θΨ=Ψ0

2Sa

2S21

00

SaSa dsini2N

2ll)(d

Cum

(54) 2

2sin41

21dsin 00

0


π

int

se obţine

(55) Sa2S

210Sa i

4N

2ll

δπμΨ =


(56) 2S

210

Sa

SaSaM N

42ll

iL

δπ

μ=Ψ

=



66


(57) θ=θη sin2

N)( RR





(58) θδ

μ=θ cosi2N)(B Ra

R0Ra



R0RRa θminusθ

δμ=θθ


(60)


2N

2ll)(sini

2N

2ll

d)cos(i2N

2lldzd

2l)(BdS)(B)(

RRaR

210RRRaR21

0RRaR21

0

RRaR21

0

l

0

2RRa

spiraSRRaRSaRa

1

θminusθδ


μ=θminusαδ

μ=

=αθminusαδ


θ

πminusθ

θ

πminusθ

θ



(61) θθθθδ


2lldN)()(d RRa



67



θθθθδ

μθθΨθΨ0

RRaRS21

00


2ll)(d)(


(63) R0R0R0

R0

R0

R cos2

)2sin(21cos

21d)2cos(dcos

21d)sin(sin θ

π=⎟

⎠⎞


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


πππ

intintint


(64) RaRRS21

0RSaRa icosNN42

ll)( θδπ

μ=θΨ


(65) RRS21

0Ra

RSaRaRSaRa cosNN

42ll

i)()(L θ

δπ

μ=θΨ

=θ



abull

aarsquoarsquo

θR

bull

ω


68




69


dt)t(dtsinE)t(e S

ψω minus==


SS ω




70



71



(5) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

BbBa

AbAa

Sb

Sa

BBBA

ABAA

Sb

Sa

ii

LLLL

ii

LLLL


(8) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

Rb

Ra

bbba

abaa

Sb

Sa

bBbA

aBaA

Rb

Ra

ii

LLLL

ii

LLLL


a arsquo

brsquo

bθR

arsquo

abrsquo

b

bull

ωR

uSaiSa

uRaiRa

uSbiSb

uRbiRb bull

bull

bull


72


(10) αδπ

μ= cosNN42

llL yx21

0xy


(11) Sm

not2S

210BmAm LN

42llLL =

δπ

μ==


(12) Rm

not2R

210bmam LN

42llLL =

δπ

μ==


(13) 02

cosN42

llLL 2S

210BAAB =

πδπ

μ==


(14) 02

cosN42

llLL 2R

210baab =

πδπ

μ==


(15) RRS21

0bBBbaAAa cosNN42

llLLLL θδπ

μ====

(16) RRS21

0RRS21

0bAAb sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μminus=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ==

(17) RRS21

0RRS21

0aBBa sinNN42

ll2

cosNN42

llLL θδπ

μ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θminusπ

δπ

μ==



73


(20) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

RR

RRSm

S

R

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

LNN

ii

LL00LL

(21) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σ

Rb

Ra

Sm2S

2R

R

Sm2S

2R

R

Sb

Sa

RR

RRSm

S

R

Rb

Ra

ii

LNNL0

0LNNL

ii

cossinsincos

LNN


(22) dt

diRu SaSaSSa

Ψ+=

(23) dt

diRu SbSbSSb

Ψ+=


(24) dt

diRu RaRaRRa

Ψ+=

(25) dt

diRu RbRbRRb

Ψ+=


(26) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

(27) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu


Raportul spirelor S

R



(28) RS

RRR

R

SR i

NNi u

NNu ==

şi parametrii

(29) R2R

2S

RR2R

2S

R LNNL R

NNR σσ ==


74


S


(30) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

unde

(31) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

σ

σRb

Ra

Sm

R

Sm

R

Sb

Sa

RR

RRSm

Rb

Ra

ii

LL00LL

ii

cossinsincos

L


(32) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

σ

σRb

Ra

RR

RRSm

Sb

Sa

SmS

SmS

Sb

Sa

ii

cossinsincos

Lii

LL00LL


(33) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θθminus+θθ

θθ+θminusθ+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

Rb

Ra

Sb

Sa

Sm

RRSmRSm

Sm

RRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii




uRimiRm

uSi1iS1

Sistem electric

Sistem mecanic

Cacircmp magnetic

uS1iS1

uS2iS2

uRmiRm



75


(37) ikk

kkkkk

kkkk udtdiLiR

dtd

dtdiLiRu ++=

Ψ++= σσ


kkik

kkkk

k

2kk

kkk

kkkk

k

2kk



(39) exteR

2R

2mm

dtdD

dtdJ =minus+

θθ


(40) ReRR

R2R

2

Rext dmddt

dDddt





kkik

kkkm dtiuiddW




kθ+=

=Ψ

sau

(45) constR

me

kddWm

=Ψθminus=


76



⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ=Ψ

kkkm

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk didW2dii

21d2diidid



sau (48) Rem



kθ+minus=

=

sau

(50) constiR

me

kddWm

=θ=


(51) )iiii(21i

21W

RbRb

Ra

RaSbSbSaSa



RbR




(54) ( )RaSm

RRSbRSaSm

Ra

Ra



77

(55) ( )RbSm

RRSbRSaSm

Rb

Rb



(56)


))ii(L)ii(L(21



))ii(L)ii(L(21W

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaS

RRbSbR

RbSaR

RaSbR

RaSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

2Rb

2Ra

R

2Sb

2SaSm

θ+θ+θminusθ+

++++=

=θ+θminusθ+θ+

+θ+θ+θminusθ+

++++=


(57) [ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θminusθ+θθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=


part=

π

π

Rb

Ra

R2R

2RRSbSaSm

Rb

Ra

RR

RRSbSaSm

RRbSbR

RaSbR

RbSaR

RaSaSm

R

me

ii

sin)sin()sin(sin

ii-Lii

sincoscossin

ii-L



(58) RR

RLeR

dtdDmm

dtdJ ω=

θωminusminus=

ω




78




a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

θR bull

bull

ωR

32π

32π

32π

bull

bull

bull

bull

bull


79


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

S

S

S

SC

SB

SA

dtd

iii

R000R000R

uuu

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

RC

RB

RA

RC

RB

RA

R

R

R

dtd

iii

R000R000R

000


(61)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

cccbcacCcBcA

bcbbbabCbBbA

acabaaaCaBaA

CcCbCaCCCBCA

BcBbBaBCBBBA

AcAbAaACABAA

RC

RB

RA

SC

SB

SA

iiiiii



(62) Sm

not2S

210CmBmAm LN

42llLLL =

δπ

μ===

(63) Rm

not2R

210cmbmam LN

42llLLL =

δπ

μ===


(64) 2

L3

2cosN42

llLLLLLL Sm2S


⎠⎞

⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(65) 2

LNN

2L

32cosN

42llLLLLLL Sm

2S

2RRm2

R21


⎜⎝⎛ πplusmn

δπ

μ======


(66) RSmS

RRRS


NNcosNN

42llLLLLLL θ=θ

δπ

μ======

(67) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210aCcBbACaBcAb

(68) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθδπ

μ======3

2cosLNN

32cosNN

42llLLLLLL RSm

S

RRRS

210bCaBcACbBaAc



80

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ


⎜⎝⎛ π

minusθθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ


⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ+minusminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminus+minus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θθminusminus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

RC

RB

RA

SC

SB

SA

Sm

RSmSmRSmRSmRSm

SmSm

RSmRSmRSmRSm

SmSmSm

RRSmRSmRSm

RSmRSmRSmSmsSmSm

RSmRSmRSmSmSmSSm

RSmRSmRSmSmSmSmS

RC

RB

RA

SC

SB

SA

i

i

i

i

i

i

LLL21L

21cosL

32cosL

32cosL

L21LLL

21

32cosLcosL

32cosL

L21L

21LL

32cosL

32cosLcosL

cosL3

2cosL3

2cosLLLL21L

21

32cosLcosL

32cosLL

21LLL

21

32cosL

32cosLcosLL

21L

21LL


(70) ⎟⎠⎞


θpartpart

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotΨ

θpartpart

=θpart

part= I)(LI

21I

21Wm R

TT

R

T

RR

me

unde

(71)

( )( )

( )( )( )

RBSCRASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

RC

RB

RC

RA

RB

RASCSBSCSASBSASm

2RC

2RB

2RA

R

2SC

2SB

2SAS

Tm

iiiiii)cos(L

iiiiii)cos(L

iiiiiicosL

)iiiiiiiiiiii(L21-

)iii(L)iii(L21I

21W

++minusθ+

++++θ+

+++θ+

++++++

minus+++++=sdotΨ=

π

π


(72)

( ) ( )( )

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

=++minusθminus


part=

ππ

ππ

ππ

π

π

RC

RB

RA

R32

R32

R

32

RR32

R

32

R32

RR

SCSBSASm

RBSC

RASB

RCSA3

2RSm

RASC

RCSB

RBSA3

2RSm

RCSC

RBSB

RASARSm

R

me

iii


iii-L

iiiiii)sin(L




81



82


(1) ⎩⎨⎧

+==+=


amp


(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=





83



23u ==

(19) 3f2f3f2f i23iuu ==

(20) 3f2f3f2f i23iu



(21) θ=θ=

β

α

sinNNcosNN

3f

3f


84


(22) 00sinNN

N0cosNN

3fA

3f3fA

==

==

β

α

3f3fB

3f3fB

N23

32sinNN

N21

32cosNN

=π

=

minus=π

=

β

α

3f3fC

3f3fC

N23

34sinNN

N21

34cosNN

minus=π

=

minus=π

=

β

α


21iN

21iN =minusminus



23

=minus


(25)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


SCSB2f

3fSb

SCSBSA2f

3fSa

i23i

23

NNi

i21i

21i

NNi


(27) SA2f

3fSa i

23

NNi =

sau

(28) 3f2f

3f2f i

23

NNi =


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

α

βNAβ iSA

iSB NBβ

NCβ

NAαNBαNCα

c


85

(29) 32

NNi

23i

23

NNi

2f

3f3f3f

2f

3f2f =rArr==


(30) 3f2f N23N =


(31) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

Sb

Sa

iii

23

230

21

211

32

i

i


(32) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sb

Sa

SC

SB

SA

i

i

23

21

23

21

01

32

iii


(34) 03

ii3

ii3

ii NSC

NSB

NSA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

sau (35) 0iii

SCSB

SA =++




(36) 3

i3

iiii NSCSBSA0 =

++=


(37) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

+=

+=

+=


(38) 0iN

23iN

23

0iN21iN

21iN

03f03f

03f03f03f

=minus

=minusminus



86





(39) iii

iii

iii

0SCSC

0SBSB

0SASA

minus=

minus=

minus=

(40) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝


⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎟⎠⎞


⎠⎞


⎠⎞


SCSB0SC0SBSC

SBSb

SCSBSA0SC0SB0SASC

SB

SASa

i23i

23

32ii

23ii

23

32i

23i

23

32i

i21i

21i

32ii

21ii

21ii

32i

21i

21i

32i


1f

3fe0 i

NN3i =


(45) 3f1f1f

3f N3N3NN3 =rArr=


a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a arsquo

brsquo b

bull α

β Nf2

Nf2

iSa

iSb

βNAβ irsquo

SAirsquo

SBirsquoSC

NBβ

NCβ

NAαNBαNCαi0

Nf3

Nf3

Nf3

i0

Nf3

Nf3

Nf3

c


87


(46) 2

iii32


0e0++

=++

==


(47) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

Sb

Sa

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii

(48) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

Sb

Sa1

0S

Sb

Sa

SC

SB

SA

iii

]C[iii

21

23

21

21

23

21

2101

32

iii




m2π

=α


(50) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Sm

2S

1S

0S

Sb

Sa

i

ii

21

21

21


m2

iii

ML

L

L


a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

bull 3

2π

32π

32π

α

β

Nf3

Nf3

Nf3

iSA

iSB

iSC

a

brsquob

bull α

β

Nf2

Nf2

iSa

iSb

b

Nf1

iS0 ]C[

rArr

1]C[ minuslArr


88



a

D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θR

α

β

drsquo d

qrsquoq

bullbull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iSD

iSQ

iRD

iRQ

A

A

B B

C C


89

(51) ][dtd]I][R[]U[ SSSS Ψ+=

(52) ][dtd]I][R[]U[ RRRR Ψ+=



unde

(55) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===

(56) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=



)](L[LLLLLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR

SSm21

Sm21

Sm21

SSm21

Sm21

Sm21

S

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ



)](L[LLL

LLLLLL

]L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS

RSm21

Sm21

Sm21

RSm21

Sm21

Sm21

R

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=ππ

ππ

ππ




1SSS


(60) ( ) ][dtd]I[]C][R][C[]][C[


1RRR


unde

(61) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===



]I[]C)][(L][C[]I[]C][L][C[

]I][C[]C)][(L][C[]I][C[]C][L][C[]][C[][

RDQ1

RSRSDQ1

SS

R1

RSRS1

SSSSDQ

minusminus

minusminus

θ+=

=θ+=Ψ=Ψ

(63) ]I[]C][L][C[]I[]C)][(L][C[

]I][C[]C][L][C[]I][C[]C)][(L][C[]][C[][

RDQ1

RRSDQ1

RRS

R1

RRS1

RRSRRDQ

minusminus

minusminus

+θ=

=+θ=Ψ=Ψ


(64) [ ] [ ][ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+minusminus

minus+minus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

== minus

cba00

0)cb(a)bc(

0)cb()cb(a

21

23

21

21

23

21

2101

32

acb

bac

cba

21

21

21

23

230

21

211

32Z

21

23

23

21

1CCZ


90




(66) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ S

S

S

S1

SS =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(67) ]R[R000R000R

]C][R][C[]R[ R

R

R

R1

RR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== minus


(68) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

S

Sm23

S

Sm23

S

SmS

Sm21

S

Sm21

S1

SSSS

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


(69) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus+

+==

σ

σ

σminus

R

Sm23

R

Sm23

R

SmR

Sm21

R

Sm21

R1

RRRR

L000LL000LL

LL000LL000LL

]C][L][C[]L[


2RSm3



SR ]C)][(L][C[)](L[

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡



=ππ

ππππ

ππππ

32

R32

RRSm

32

R32

R21

RSm32

R32

RSm23

32

R32

RSm23

32

R32

R21

RSm


0coscosLcoscoscosL






(72) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθminusθ

=θ=θ=θ minus


]C)][(L][C[)](L[)](L[ RSm23

RSm23

RSm23

RSm23

1RSR

TR

RSR

SR


91


(73) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sb

Sa

Sb

Sa

S

S

Sb

Sa

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(74) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Rb

Ra

Rb

Ra

R

R

Rb

Ra

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(75) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Rb

Ra

Sb

Sa

SmRRSmRSm

SmRRSmRSm

RSmRSmSmS

RSmRSmSmS

Rb

Ra

Sb

Sa

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ


(76) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

SQ

SD

SQ

SD

S

S

SQ

SD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(77) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

RQ

RD

RQ

RD

R

R

RQ

RD

dtd

ii

R00R

uu

ΨΨ

(78)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+minus+

+minus+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

RQ

RD

SQ

SD

Sm23

RRSm23

RSm23

Sm23

RRSm23

RSm23

RSm23

RSm23

Sm23

S

RSm23

RSm23

Sm23

S

RQ

RD

SQ

SD

iiii


σ

σ

σ

σ

θθθθ

θθθθ

ΨΨΨΨ




2f21

02Sm N42

llLδπ

μ=


3f21

03Sm N42

llLδπ

μ=


(81) 23f

22f

3Sm

2Sm

NN

LL

=


(82) 32

NN

2f

3f =


23L ==



92





D Drsquo

β

α

QrsquoQ

θg bull

bull

ωg

iS0 Dg

Qg Drsquo

D

θg ωg

Q Qrsquo

Nf2

Nf2

Nf2

iSD

igSDig

SQ

iSQ

Nf1


93


gSQ2fg



gSQ2fg



(86) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθminusθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡gSQ

gSD

gg

gg

SQ

SD

ii

cossinsincos

ii


(87) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

SQ

SD

gg

gggSQ

gSD

ii

cossinsincos

ii




(89) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0S

SQ

SD

g

0S

SQ

SD

gg

gg

0S

gSQ

gSD

iii

Diii

1000cossin0sincos

iii


(90) ( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ=θ minus

1000cossin0sincos

DD gg

ggT

g1

g




94


(91) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θminusθ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0R

RQ

RD

Rg

0R

RQ

RD

RgRg

RgRg

0R

gRQ

gRD

iii

Diii


iii

(92) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θminusθ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0R

gRQ

gRD

1Rg

0R

gRQ

gRD

RgRg

RgRg

0R

RQ

RD

iii

Diii


iii




dtd]I][R[]U[ SDQSDQ

SSDQ Ψ+=


RRDQ Ψ+=

unde

(95) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ

===

===


SRSDQ

SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

β

α

θg

bull

bull

ωg

iR0 Dg

Qg θg

ωg

Nf2

Nf2

Nf2

igRD

igRQ

Nf1

θR drsquo d

bull ωR

bull

θR

drsquo

d

Nf2

iRD

iRQ q

qrsquoq

qrsquo

β

bull

b

D Drsquo

β

Qrsquo Q

α

β

qrsquoq

bull

ωR

a

iS0 iR0

bull bull

bull θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg

igRD

igRQ drsquo

drsquo

d

d

iRD

iRQ qrsquo

qqrsquoθR

θR

α

bull igSD

igSQ

iR0

)](D[)](D[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](D[

)](D[minus

minus

θθminusθ

lArriSD

iSQ


95


(98) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U)][(D[]U[

gSDQ

1gg

gSDQ

1g

Sg

SDQg1

ggSDQg1

gSgSDQg

gSDQ

Ψθθ+θθ=


minusminus

minusminus

(99) ( )

( )][)](D[dtd)](D[]I[)](D][R)][(D[

])][(D[)](D[dtd)](D[]I)][(D[)](D][R)][(D[]U[

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1Rg

RRg

RDQRg1

RgRgRDQRg1

RgRRg

gRDQ

Ψθθθθθθθθ


minusminus

minusminus




dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

SDQ1

ggSDQ

1g

gSDQ


(101) ( ) ( ) ( ) ][)](D[dtd][

dtd)](D[][)](D[

dtd g

RDQ1

RggRDQ

1Rg

gRDQ



(102) ]Z[b000a000a

1000cossin0sincos

b000a000a

1000cossin0sincos

)](D][Z)][(D[ gg

gg

gg

gg1

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ minus


1000cossin0sincos

dtd)](D[

dtd

gggg

gg

ggg

gg1

g θω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


ω=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

=θ minus

(104) ]J[000001010

0000sincos0cossin

1000cossin0sincos

)](E)][(D[ gg

gg

gg

gg

gg =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θθ

(105)

1gRRg

RgRg

RgRg

RR

RR

gg

gg1

RgRg

)](D)][(Z)][(D[]K[0000a000a



1000cossin0sincos

)](D)][(Z)][(D[

minus

minus


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θminusθθθ




dtd)](D[]I][R[]U[ S

S

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

gS


(107) ( ) ]R[]R[]R[][)](D[dtd)](D[]I][R[]U[ R

R

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR



(108)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J[][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gSDQg

gSDQ

gSDQ

gS

gSDQ

1gg

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

1g

gSDQ

1gg

gSDQ

gS

gSDQ

Ψω+Ψ+=

=Ψθθ+Ψθθ+=

=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


96

(109)

( ) ( )

( ) ( )( ) ]][J)[(][

dtd]I][R[

][)](D[dtd)](D[][

dtd)](D)][(D[]I][R[

][)](D[dtd][

dtd)](D[)](D[]I][R[]U[

gRDQRg

gRDQ

gRDQ

gR

gRDQ

1RgRg

gRDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gSDQ

1Rg

gSDQ

1RgRg

gRDQ

gR

gRDQ

ΨωωΨ


ΨθθΨθθθθ

minus++=


=⎟⎠⎞


minusminus

minusminus


(110) ]I[)](D)][(L)][(D[]I[)](D][L)][(D[

]I)][(D[)](D)][(L)][(D[]I)][(D[)](D][L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

1g

SSg

RDQRg1

RgRSRgSDQg

1g

SSg

SDQggSDQ

minusminus

minusminus

θminusθθθ+θθ=


=Ψθ=Ψ

(111) ]I[)](D][L)][(D[]I[)](D)][(L)][(D[

]I)][(D[)](D][L)][(D[]I)][(D[)](D)][(L)][(D[

])][(D[][

gRDQ

1Rg

RRRg

gSDQ

1gR

RSRg

RDQRg1

RgRRRgSDQg

1gR

RSRg

RDQRggRDQ

minusminus

minusminus



=Ψθminusθ=Ψ



SSgSS

gRDQ

1RgR

SRg

gSDQ

gSS


(113) ]L[]L[]I][L[]I[)](D)][(L)][(D[][ RR

gRR

gRDQ

gRR

gSDQ

1gR

RSRg



RDQgSR

gSDQ

gSS

gSDQ +=Ψ

(115) ]I][L[]I][L[][ gRDQ

gRR

gSDQ

gRS

gRDQ +=Ψ

unde

(116) ]L[0000L000L

]L[ gRSM

MgSR =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= SmM L

23L =


(117) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gSQ

gSD

ggSQ

gSD

gSQ

gSD

S

SgSQ

gSD

0110

dtd

ii

R00R

uu

(118) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminusω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡gRQ

gRD

RggRQ

gRD

gRQ

gRD

R

RgRQ

gRD

0110

)(dtd

ii

R00R

00

uu

(119)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨ

ΨΨ

σ

σ

σ

σ

gRQ

gRD

gSQ

gSD

MRM

MRM

MMS

MMS

gRQ

gRD

gSQ

gSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL



97



RDQTg

RDQgSDQ

TgSDQR

TRS

TS +=+=

unde



0RgRQ

gRD

gRDQ

T0R

gRQ

gRD

gRDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

T0S

gSQ

gSD

gSDQ

TRCRBRAR

TRCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

====

====

Se obţine

(122) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=


(123) 0R0R0RR

gRQ

gRDRg

gRQ

gRQR

gRD

gRQRg

gRD

gRDR

0S0S0SSgSQ

gSDg

gSQ

gSQS

gSD

gSQg

gSD

gSDS

idtdiRi)(

dtdiRi)(

dtdiR

idtdiRi

dtdiRi

dtdiRS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞


⎠⎞


+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψω+Ψ++⎟

⎠⎞



(125) ( )( )

( ) ( )dtii)(dtii

idididididid

dt)iii(R)iii(RdW

gRD

gRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ

gSDg

0R0RgRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD

20R

2gRQ

2gRDR

20S

2gSQ

2gSDS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++++=


RDgRQ

gRQ

gRDRg

gSD

gSQ

gSQ



SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gRQM

gSQS

gSQ

gRDM

gSDS

gSD

gSQ

gSQ


(128) ( ) ( )

( ) ( )gSD

gSQ

gSQ

gSD

gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gRD

gSQM

gRQR

gRQ

gSDM

gRDR

gRD

gRQ

gRQ

gRD

iiiiiiL

iiLiLiiLiLii


=+minus+=ΨminusΨ


98


SDgSQ

gSQ

gSDR

gSD

gSQ

gSQ

gSDR

gRD

gRQ

gRQ



SDgSQ

gSQ

gSD

R

me ii

ddWm ΨminusΨ=θ

=


SDgRQ

gSQ

gRDMe iiiiLm minus=


SDgRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipLiip

ddWp


θ=

θ=


(134) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

iii

]C[iii

21

21

21

23

230

21

211

32

iii


(135) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

0S

SQ

SD1

0S

SQ

SD

SC

SB

SA

iii

]C[iii

123

21

123

21

101

iii


(136) ( ) ( )0R0R0S0SgRQ

gRQ

gRD

gRD

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiu13iuiuiuiu

23

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=



99

(137) ( ) ( )gSD

gRQ

gSQ

gRDM

gSD

gSQ

gSQ

gSD

R

m

Rm

me iiiipL

23iip

23

ddWp


θ=

θ=


gSDQ θ=θ=θ=


(139)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ

=θ=θ

21

21

21

23

230

21

211

32

1000cossin0sincos

]C)][(D[)](P[ gg

gg

gg


2πplusmn adică

(140)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

= ππ

ππ

21

21

21


32

21

21

21

23

230

21

211

32]C[ 3

23

23

23

2


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θ ππππ

ππππ

21

21

21


32)](P[ 3

2g3

2g3

2g3

2ggg

32

g32

g32

g32

ggg

g

(141)

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡


= ππ

ππ

21

21

21

sinsinsincoscoscos

32

32

g32

gg

32

g32

gg


100


g11

g1


(143) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+θminus+θ

minusθminusminusθ

θminusθ

=θ

ππ

ππminus

21sincos

21sincos

21sincos

32)](P[

32

g32

g

32

g32

g

gg

1g




β

bull

b

θg

ωg

iS0 Dg

Qg θg ωg ig

RD ig

RQ

drsquo

d

qrsquoq

qrsquo

α

bullig

SD

igSQ

iR0

)](P[)](P[ Rg

gθminusθθ

rArr

1g

1Rg)](P[

)](P[minus

minus

θθminusθ

lArr

a

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC

A

A

B B

C C


101


(144) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sSQ

sSD

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

dtd

ii

R00R

uu

(145) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusωminus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡sRQ

sRD

RsRQ

sRD

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

0110

dtd

ii

R00R

00

uu

(146)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

σ

σ

σ

σ

sRQ

sRD

sSQ

sSD

MRM

MRM

MMS

MMS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

iiii

LL0L00LL0L

L0LL00L0LL

(147) )ii(pm sSD

sSQ

sSQ

sSDe ΨminusΨ=




(149) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sSQ

sSD

S

SgSQ

sSD

sSQ

sSD

ii

R00R

uu

dtd

(150) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

sRQ

sRD

R

RsRQ

sRD

RsRQ

sRD

ii

R00R

0110

dtd


(151)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus

sRQ

sRD

sSQ

sSD

1

RM

RM

MS

MS

sRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0L

L0L00L0L

iiii


(152) sRD

sRDR

sSDM

sSD

sRDM

sSDS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+

(153) sRQ

sRQR

sSQM

sSQ

sRQM

sSQS

iLiL

iLiL

Ψ=+

Ψ=+


(154) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

MRRS

RM

MS

RsRD

MsSD

sSD LL

LL1

LLLLLL

i


102

(155) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRD

sSD

SMRS

RM

MS

sRDM

sSDS

sRD LL

LL1

LLLL

LL

i

unde prin

(156) RS

2M

LLL

=σ


(157) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

MRRS

RM

MS

RsRQ

MsSQ

sSQ LL

LL1

LLLLLL

i

(158) [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ

minusσ

=ΨΨ

= sRQ

sSQ

SMRS

RM

MS

sRQM

sSQS

sRQ LL

LL1

LLLL

LL

i


(159)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minusminus

σ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sRQ

sRD

sSQ

sSD

SM

SM

MR

MR

RSsRQ

sRD

sSQ

sSD

L0L00L0LL0L00L0L

LL1

iiii


(160) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SCA

SBC

SAB

SC

SB

SA

uuu

110011101

31

uuu



103


RS

RS

RR

RR

SDψ

SQψ

RDψ

RQψ

SDi

SQi

RDi

RQi

uSA

uSB

uSC

iSA

iSB

iSC

3 rarr 2 2 rarr 3

A

B

C

D

Q Q

D A

B

C

p

p

1J

D

ωRm

ωR

me

-

-

-

-

-

- -

-

mL

uSD

uSQ

SDψ SDi

RDi

SQi

RQi

RDψ

SQψ

RQψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SDi

RDi

-

-

SDψ

RDψ

LR

LM

LM

LS

RSLL1

σ

RSLL1

σ

SQi

RQi

-

-

SQψ

RQψ


104



105



ω

y

xO

Arsquo A

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1

Y2x0 γgt0

ω A2 γlt0

a b


106









ω=γ+ω




mică OA3 (fig2a)



y

xO

Brsquo BγY

Aω

y1

xO

Y2 x0

ωt

γ

ωt+γ

y

x O

A1 1Y2

ω A2

a b

y Y2k A

2Y2

Y2 y1

y2

A3

A2

A1

2π

2π

y3

y2

Y2ω

ωY2


107


(8) γ= |Y)t(yFnot




(11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=ϕ=

=ϕ+==



(13) r


22

21

jj2

j121

21ϕ+ϕ


(14) ( )21j21 errp ϕ+ϕ=

(15) ( )21j

2

1 errd ϕminusϕ=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C


108






respectiv minus π2

adică

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ=minus= 2

j2

jrecjrecj





21yyy +=

Rec O

b

r

j

c

a

Imc

φ

C

α1

φ+α

ejαc

r

Rey O

Y2

j

y

Imy

ωt+γ


109


(22) ( )dydt


Observaţie





(23) yedtyd

2jπω=


jω

(24) ( ) yj1e

jY2d)(y tj

ω=

ω=ττ γ+ωint

Observaţie


icircn sens invers


ω=int


(26) γ== jdefnot



πω

=2

f (respectiv



n2π radiani adică


110

(28)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusω=

γ+ω=

n2)1n(tsinY2

nT)1n(tsinY2)t(y

n2tsinY2

nTtsinY2)t(y

tsinY2)t(y

n

2

1

L


(29) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π


⎜⎝⎛ πminusγ

γ === n2)1n(j

nn

2j

2j


(30) n

2sinjn

2cosea n2j

nπ

+π

==π


1n1






O

j

a1

Im

2πn

1 a2a3a4

an-1

an-2

a0

Re

Re Re

O

j Im

Y3

Y2

Y1

Yn Yn-1

O

j Im

Y3

Y2 Y1

Yn

Yn-1

a b


111


(35)

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+γ+ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusγ+ω=

γ+ω=

32tsinY2

34tsinY2)t(y

32tsinY2)t(y

tsinY2)t(y

ddd3

dd2

dd1




(37) 23j

21

32sinj

32coseaa 3

2j1def

3 +minus=+===ππ

π


(38) 2

12kk3210

a23j

21

23j

21a

23j

21aa 21kaa 0aaa

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minusminus=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minus=




Y1i Y1d 32π

3

2π

32π

Re

Im

Y2d

Y3d

γ

j

32π

3

2π

32π

Re

Im

Y3i

Y2i

γ

j

ω ω

a b


112



(41) θ=θη sin2

N)( SAA


(42) )


2)t(iN

dsin)t(i2

Nd)t(i)()t(

SASSASSAS

SAS

SAAAAA

π+θ=θ=α=

=αα=ααη=θΘ

θπ+θ

π+θ

θ

π+θ

θintint




x x x x

x x x x

x x x

x x

θ

π 2π 0

ηAArsquo(θ)

a

bull

ΘAArsquo(θ)

π 2π 0x

b

d

A Arsquo

c

A

Arsquo

xx x

xxx x

xxx

xx

xx xx x

x


Br

Γ θ

θ

iSA


113


(43) θδ

=δ

θΘ=θδ cos

2)t(iN

2)t(

)t(H SASAAAA

(44) θδ

μ=θμ=θ δδ cos

2)t(iN)t(H)t(B SAS0

AA0AA



(45) 0jSAS

not

Ai0jSAS

not

Ad

jAi

jAd

jSASjSASjj

SASSASAA

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(e2

)t(iNe2


minus

minusminusminus

==

+=+=+

==

ΘΘ



ΘAArsquo(θt)

π 2π0

θ

a b

A Arsquo


ΘAi(t)

iSA


114



2SBS3

2SBSBB


4SCS3

4SCSCC


(48)

32

32

32

32

32

32

jSBSnot

BijSBS

not

Bd

jBi

jBd

jjSBSjjSBS

jjjj

SBS32

SBSBB

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=

(49)

34

34

34

34

34

34

jSBSnot

CijSCS

not

Cd

jCi

jCd

jjSCSjjSCS

jjjj

SCS34

SCSCC

e2

)t(iN e2

)t(iN

e)t(e)t(ee2

)t(iNee2

)t(iN


ππ

ππ

ππ

ΘΘ

ΘΘ

θθΘ

θθθθ

θθπ

minus

minusminusminus

minusminus

==

+=+=

=+

=minus=


(50) ( ) ( ) θθ

Σ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘj

CiBiAij

CdBdAd

CCBBAA


)t()t()t()t(

+++++=

=++=minus




a b

A Arsquo

BBrsquo

CCrsquo

iSA

iSB

iSC

θ 3

2π

32π

32π

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo


115


23

43



2Na)t()t()t(i

2Na)t()t()t(i

2Na)t( CdSC

S2def

CCBdSBS1def

BBAdSAS0def



2N)t()t()t()t( SC

2SB

1SA




116



(55) ( ) ( )( ) ( )

θΣ

θΣ

θθ

θθ

Σ

ΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

θΘθΘθΘθΘ

jj

jCC

BB

AA

jCCBBAA

jCiBiAi

jCdBdAd

CCBBAA

e)t(e)t(



)t()t()t()t(

+=

=+++++=

+++++=

=++=

minus

minus

minus


(56) )t(i

2Na)t(i

2N)a()t(

)t(i2

Na)t(i2

N)a()t()t(i2

Na)t(i2

N)a()t(

SCS1

SCS2

CC

SBS2

SBS1

BBSAS0

SAS0

AA

sdot=sdot=


Θ

ΘΘ

(57) ))t(ia)t(ia)t(ia(2

N)t()t()t( SC1

SB2

SA0S

CCBB

AA




(58) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( SS

SC2

SBSAS

ΣΣΘ =sdot+sdot+=

(59) )t(i2

N))t(ia)t(ia)t(i(2

N)t( S

SSCSB

2SA


A

C Crsquo

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

a b d

ω

ΘΣ(θt)

π 2π0

θ ΘΣ(t1)

ω

θa1middotiSB

iSAgt0

iSBgt0

iSClt0

c


117


(60) )t(i2

N)t(i2

N)t( SE

SS sdot== ΣΣΘ


(61) )t(iNN)t(i S

E

SS Σ=



iSΣ

a b

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

A

B

C Crsquo

a1middotiSB

a2middotiSC Arsquo

Brsquo

a0middotiSA

ΘΣ(t1)

θe

NS

NS

NS

NS

NS

NS

NE

ωe E

Ersquo θe

ωe

B

Brsquo

C

Crsquo

32π

32π

32π

A

Arsquo

Ersquo

E

θe

ωeΘΣ

θeωe

a b c

bullbullbullbull


x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x

ΘΣ θe


118

(62) SE N23N =



2SBSAS

sdot+sdot+=


2SA

S

sdot+sdot+=


31)t(y SCSBSA0S ++=


(66) ))t(y)t(y)t(y(32))t(ya)t(ya)t(y(

32)t(y

SCSBSASC2

SBSAS++=sdot+sdot+=


(67) 2

eeI)tcos(I)t(itjtj

MeMSA

ee ωminusω +=ω=

(68) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSB

ee32

e32


=+

=minusω=ππ

(69) 2

aeaeI2


M

jtjjtj

M32

eMSC

ee32

e32


=+

=+ω=ππ


2I

31))t(i)t(i)t(i(

31)t(i 2tj2tjM



(71) tj

Mtj

M2tjtjM

22tj22tjMSC

2SBSAS

eeee

ee

eI23eI

23

32))aa1(e)111(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i

ωωωminusω

ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=



119


(72) tj

Mtj

Mtj2tjM

22tj22tjMSCSB

2SA

S

eeee

ee

eI23eI

23

32))111(e)aa1(e(

2I

32

))aaaa1(e)aaaa1(e(2

I32))t(ia)t(ia)t(i(

32)t(i


ωminusω

==+++++=

=+++++=sdot+sdot+=






(73) ( ) ( )

( ) ( )θωθω


θΣΣ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus=


tcosI23Nt(cosI

23N

eeI23

2Neiei

2Ne)t(e)t()t(

eMSeME

)t(j)t(jM

EjS

jS

Ejj ee




(74) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y

)t(y

SC

SB

SA2

2

0S

S

S


(75) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

)t(y)t(y

)t(y

21

2a

2a

21

2a

2a

21

21

21

32

)t(y)t(y

)t(y

21

21

21

aa1aa1

32

)t(y)t(y)t(y

0S

S

S

2

2

0S

S

S

1

2

2

SC

SB

SA

adică

(76) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

sdot+sdot=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

+= 0S

S

2

SC0S

SS

2

SB0S

SS

SA y2

12

yaya

32yy

21

2

yaya

32yy

21

2

yy

32y


120


(77) )))t(y)t(y(23j))t(y)t(y(

21)t(y(

32)t(y SCSBSCSBSAS

minus++minus=


(78) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=


S32


(80) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(




S2

32


(82) )))t(y)t(y(2

1j)t(y23)))t(y)t(y(

23j)t(y

23(


minus+=minus+=sdot


S32


SAA32

S32

SA ==



SBB32

S2

AA32

S2

32



iSΣ

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a0middotiSA

a1middotiSB

a2middotiSC

iS

NS


121


2SAA3

2S3

2SC =sdot=sdot=


1S3

2SA +=

(88) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S2

32

SB +sdot=

(89) )t(y))t(yaRe()t(y 0S31

S32

SC +sdot=


32)t(y SC

2SBSAS

sdot+sdot+=



(92) )))t(y)t(y(23j)t(y

23(

32)))t(y)t(y(

23j))t(y)t(y(

21)t(y(





S2






122


π


yjy)t(y sdot+=

(100) SQSDS



yS

D D Drsquo

Q Qrsquo

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ ωe θe

E Ersquo

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

ySΣ

yS

ySD

jmiddotQ

ySΣ

ySQ yS yS

D hArr hArr

a b c

ω ω ω

ySΣ

D Drsquo

Q Qrsquo

E Ersquo


123


(101) SQSDSC2


sdot+=sdot+sdot+


(102) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus

minusminus

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

SC

SB

SA

0S

SQ

SD

yyy

21

21

21

23

230

21

211

32

yyy




jSSC

2SBSAS

sβα




(104) ( ) RRsRs jS

jjS

jSSQSD

S



Sj

SS




jRRC

2RBRAR

rβα


ySα

β

α

D

Q

θR θs

θs-θR

ySβ

ySD ySQ ωR

yS yrsquoS


124




jR

jjR

jR

R



SSee)t(y)t(y


jS

eS

e ω=θ= θminus


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee


π


yRD

Q

D

α

β

θR θr

θr+θR

yRQ

yRα yRβ ωR

yR yrsquoR


125



jSSSQSD



(112) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθminusθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

α

)t(y)t(y

cossinsincos

)t(y)t(y

S

S

RR

RR

SQ

SD


(113) ( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

=sdot+sdot+==


θminusθminus

)(jSC

)(jSB

jSA

jSC

2SBSA

jS

S

32

R32

RR

RR

e)t(ye)t(ye)t(y32



(114) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθminusθminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

minusθθ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

)(P)t(y)t(y)t(y

21

21

21

32sin

32sinsin

32cos

32coscos

32

)t(y)t(y)t(y

SC

SB

SA

R

SC

SB

SA

RRR

RRR

0S

SQ

SD

hArr

b

jmiddotQ

D

iS(t)

ωe

θe

jmiddotQe De

ieS(t)

a

ωe

jmiddotQe De

jmiddotQ

D θe


126


(2) )t(edt

)t(idL)t(iR)t(u S

SSSSS ++= σ



)t(iS

)t(eS

)t(iR SS

)t(uS

dt)t(id

L SSσ

Re

Im

ωe(t) θs


127




(4) )t(ijedt

)t(ide)t(ije

dt)t(id

edt

dj)t(iedt

)t(iddt

)t(idSe

jSjSe

jSjsS



(5) )t(i)t(i

eS

Sj s =θ


(6) )t(ij)t(i)t(i

dt)t(id

dt)t(id

SeS

SSS ω+=


(7) )t(ijdt

)t(idSe

S ω=






unde

(12) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


RCRBRART

RCRBRART

RCRBRAR

TSCSBSAS

TSCSBSAS

TSCSBSAS

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(13) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(14) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmSSm21

Sm21

Sm21

SmS

SS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RSR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ


128

(16) LLLL

LLLLLLLL

]L[

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmRSm21

Sm21

Sm21

SmR

RR⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=

σ

σ

σ



)](L[

RSm32

RSm32

RSm

32

RSmRSm32

RSm

32

RSm32

RSmRSm

RRS⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=θππ

ππ

ππ





(19) dt


Ψ+=

(20) dt


Ψ+=

(21) dt


Ψ+=

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

A Arsquo

B Brsquo

C Crsquo

a arsquo

b brsquo

c crsquo

θR bull

bull

ωR

b

iS0 iR0

iSA

iSB

iSC

iRA

iRB

iRC iS(t)

A

A

B B

C C

iR(t)

a


129



(22) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

SC2

SBSA

SC2

SBSASSC2

SBSA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+



(23) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RA

RARRAΨ

+=

(25) dt


Ψ+=

(26) dt


Ψ+=


(27) ))t(a)t(a)t((

32

dtd


32

RC2

RBRA

RC2

RBRARRC2

RBRA

Ψsdot+Ψsdot+Ψ+


sau mai compact

(28) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


23L()t(iL

21)t(iL


(30) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(31) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(33) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( SC

2SBSASmSSSC




130


23L()t(iL

21)t(iL


(36) )t(i)L23L()t(iL

21)t(i)LL()t(iL


(37) )t(i)L23L()t(i)LL()t(iL

21)t(iL



(38) ))t(ia)t(ia)t(i()L23L(

32))t(a)t(a)t((

32)t( RC

2RBRASmRRRC



(40) 2

eecosRR jj

R

θminusθ +=θ

(41) 2

aeae2

eeee)cos(2jjjjjj

32

R

RR32

R32


=+

=+θππ

(42) 2

aeae2

eeee)cos(RR3

2R3

2R j2jjjjj

32

R


=+

=minusθππ


2L)t( RCRB

2RA

jRC

2RBRA

jSmRSRA



L)t( RC2

RBRAj

RCRBRA2jSm



L)t( RCRBRA2j

RCRB2

RAjSm



(46)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jRM

jRC

2RBRASm

2RC

2RB

2RA

jSm

222RCRBRA

jSm

RSRC2

RSRBRSRARSR


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θθ

θminus

θ

=sdot+sdot+=






131


L)t( SC2

SBSAj

SCSB2

SAjSm



L)t( SCSBSA2j

SC2

SBSAjSm



L)t( SCSB2

SAj

SCSBSA2jSm



(51)

( )

( )

( )

( ) RR

R

R

jSM

jSC

2SBSASm

222SCSBSA

jSm

2SC

2SB

2SA

jSm

RRSC2

RRSBRRSARRS


23


L32


L32

)t(a)t(a)t(32)t(

θminusθminus

θminus

θ

=sdot+sdot+=






jSMRRRRSR





SSSDQ θ+=Ψ


RSRDQ +θ=Ψ

unde

(58) ][][]iii[]I[]uuu[]U[


0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQT

0RRQRDRDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

T0SSQSDSDQ

ΨΨΨ=Ψ==

ΨΨΨ=Ψ==

(59) R000R000R

]R[R000R000R

]R[

R

R

R

R

S

S

S

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

(60) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σS

S

SSS

L000L000L

]L[ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σR

R

RRR

L000L000L

]L[

(61) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθminusθ


)](L[ RMRM

RMRM

RSR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθminusθθ


)](L[ RMRM

RMRM

RRS



132



(62) dt


Ψ+=

(63) dt

)t(d)t(iR)t(u SQ

SQSSQΨ

+=



(64) dt


SQSDSSQSDSΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(65) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=


dt)t(d)t(iR)t(u RD

RDRRDΨ

+=

(67) dt

)t(d)t(iR)t(u RQ

RQRRQΨ

+=


(68) dt


RQRDRRQRDRΨsdot+Ψ

+sdot+=sdot+=

sau

(69) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=


a

D Drsquo

β

α

Qrsquo Q

θR

α

β

drsquo d

qrsquo q

bull bull

ωR

iS0 iR0

iSD

iSQ

iRD

iRQ

E Ersquo

β

α θR

α

β

ersquo e bull bull

ωR

b

iS0 iR0

iS(t) iR(t)


133


(76) 2

eejj2eesin

RRRR jjjj

R


minus=θ


2L)t( RQ

jjRD

jjMRSRD


(78) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( RQjj

RDjjM




(79) ( )( ) RRRRR

RRRR

jRMR

jjR

jjM

RQRDjj

RQRDjjM

RSRQRSRDRSR


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ

=sdotminus+sdot+=


=θΨsdot+θΨ=θΨ


2L)t( SQ

jjSD

jjMRRSD


(81) ( ))t(i)ee()t(i)ee(j2

L)t( SQjj

SDjjM



(82) ( )( ) RRRRR

RRRR

jSMS

jjS

jjM

SQSDjj

SQSDjjM

RRSQRRSDRRS


L


L

)t(j)t()t(


θminusθθminusθ



=θΨsdot+θΨ=θΨ



jSMRRRRSR




bull E Ersquo

β

αθR

α

β

ersquo e bull

ωR

a

iS0 iR0

iS(t) iR(t) bull

θg

ωg

iS0 Dg

Qg

ωg igR frsquo

f

bullig

S iR0

α

ββ

ωR α

bull θR

b

Frsquo

F


134


(83) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=

(84) dt

)t(d)t(iR)t(u R

RRRΨ

+=



SMRR +=Ψ θminus



(88) ggg jSjSS

jS e

dt)t(d



dt)t(dy)t(x

dt)t(y)t(xd)t(y

dt)t(dx

minus=


(90) ( ))t(j

dt)t(d

edt

d)t(j

dte)t(d

edt

)t(d gSg

gSjg

S

jSjS g

gg Ψω+

Ψ=

θΨsdot+

Ψ=

Ψ θminusθminus

θminus


(91) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=


(92) )(jR)(jRR

)(jR

RgRgRg edt


+=


(93) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


RMj

SSjj

RMj

SSj



RMgSS

gS +=Ψ


RRj

SM)(j

RR)(jj

SM)(j



RRgSM

gR +=Ψ



135

(98) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u g

Sg

gSg

SSgS Ψω+

Ψ+=

(99) )t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u gRRg

gRg

RRgR Ψωminusω+

Ψ+=


gSS

gM

gSM

gSS

gRM

gSS



gMM

gRR

gSM



RgS

gM +=


dt)t(d)t(iR)t(u 0S

0SS0SΨ

+=

(104) dt


Ψ+=



bull bull

bullbull

bull

bull

bull

bull

bull

bull

)t(ugS

)t(igS

)t(ugR

)t(igR

)t(igM

)t(j gSgΨω

dt)t(d g

SΨ

dt)t(d g

RΨ

dt)t(d 0SΨ


)t(i 0S )t(i 0R

SLσ RLσ

ML

SL RL


SR

SR SLσ RLσ RR

RR


136


RgSM

gMM

gM +sdot=sdot=Ψ


Sjjs

Sjs

SgS



(109) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gSsgs

S

gS

sS)(js

Ssg)(j

sS




Rjjs

Rjs

RgR



(111) )t(y)(j)t(y

)t(y

dt

)t(yde)t(y

dt)(d

jedt

)t(yd

dt

)t(yd gRrgs

R

gR

sR)(js

Rrg)(j

sR




2 Termenii )t(y

)t(ysS

gS şi

)t(y

)t(ysR



(112) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

SsgsS

gS

sSg


ΨΨ=

Ψ


(113)

)t(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gSss

S

gS

sSg

SS

gSg

gSsgs

S

gS

sSg

SSgS

Ψω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


137


(114) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

SssS

sS

sSs

S Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ


(115) )t()(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d g

RrgsR

gR

sRg


ΨΨ=

Ψ


(116)

)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR

)t()(j)t()(j)t(

)t(dt

)t(d)t(iR)t(u

gRRrs

R

gR

sRg

RR

gRRg

gRrgs

R

gR

sRg

RRgR

Ψsdotωminusω+Ψ

ΨΨ+=


ΨΨ+=


(117) )t(j)t(

)t(dt

)t(d

dt)t(d s

RrsR

sR

sRs

R Ψsdotω+Ψ

ΨΨ=

Ψ



(118) )t(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u SsS

SSSSS Ψω+

ΨΨΨ

+=

(119) )t()(j)t()t(

dt)t(d

)t(iR)t(u RRrR


ΨΨΨ

+=



138




(123) 0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD


iuiuiuiuiuiu

iuiuiuiuiuiuS

+++++=

=+++++=





iS

LMiS

LSiS

iR

LMiR

LRiR

iM

LMiM

ΨS

ΨR ΨM

ΨσR

ΨσS

θr θm

θs

jωsΨS )t()t(

dt)t(d

S

SS

ΨΨΨ

dt)t(d SΨ RSiS

uS

RRiR

jωrΨR )t()t(

dt)t(d

R

RR

Ψ

ΨΨ

-jωRΨR

ωr

ωs

ωm


139

(128) 0R0R0S0S

gR

gR

gS

gS0R0R

gRQ

gRQ

gRD

gRD0S0S

gSQ

gSQ

gSD

gSD



iuiuiuiuiuiuS

+++=+++++=

=+++++=


(129)

dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(dt)t(i)dt

)t(d)t(iR(

dt)t(i))t()(jdt

)t(d)t(iR(Re

dt)t(i))t(jdt

)t(d)t(iR(RedW

0R0R

0RR0S0S

0SS

gR

gRRg

gRg

RR

gS

gSg

gSg

SS

Ψ++

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨωminusω+

Ψ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotΨω+

Ψ+=


(130) 22

2i

2r

2i

2ririr




(131) ( )( )dt)t(i)t()(jdt)t(i)t(jRe



gR

gRRg

gS

gSg

0R0R0S0Sg

RgR

gS

gS

20R

2gRR

20S

2gSS


+Ψ+Ψ+Ψ+Ψ+

++++=


(132) ( )( )( ))t(i)t()dd()t(i)t(dIm



gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSg

gR

gRRg

gS

gSgm





dd

ddW)t(m g

RgR

gR

gRRg

gS

gSg

RR


θminus=

θ=


RgRe sdotΨ=



140



RDgRQ

gRQ

gRD

gR

gR

gR



L1)t(i g

SMgR

R

gR minusΨ=


(138) )t(ix)t(

LLp))t(ix)t(

LL)t(x)t(

L1(p


gS

gR

R

MgS

gR

R

MgR

gR

R

gSM

gR

R

gR

gR

gRe




RMgSS

gS +=Ψ


gSM

gR +=Ψ


(139) )t(iLL)LL


RS

2Mg

SRS2MRS

gS

gRM


sau (140) ))t(iL)t((

LL)t( g

SSgS

M

RgR σminusΨ=Ψ



)t(ix))t(iL)t((LL

LLp)t(ix)t(

LLp)t(m

gS

gS

gS

gSS

gS

gS

gS

gSS

gS

M

R

R

MgS

gR

R

Me

Ψ=σminusΨ=

=σminusΨ=Ψ=


SgM

gS

gM

gSS

gS

gSe Ψ=Ψ+=Ψ= σ


141



dt)t(dJ accelRmre

Rm =ωminusminus=ω

avacircnd soluţia

(2) int ττ+ω=ωt

0accel0RmRm d)(m

J1)t(



0Rm0RmRm d)()t(



icircn mişcare

Sursă



142





(5) ( )( ))t()t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

)t(m)t(m)t(m 4R

Rm

Rmaccel

accelaccel

reaccel

ωminusω=

minus=

minus=



)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u


)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R

)t(maccel

4R)t(maccel

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control


143



(6) ( )( )Rm

Rm

e

ee

)t(6R)t(m 6R

)t(m)t(m5R)t(u 5R

ωminusω=

minus=





)2(R 2

)3(R1

)t(mr

)4(R3)t(u

5R)t(m

accel

)t(mr

6R

)t(Rmω

)t(Rmω

Sistem de control

)t(i

Estimatormr

Estimatorme

)t(me



- - -

-

ui

ωRmθRm

iu

θRm

θRm

ωRm

ωRm

me

me

Ψ

Ψ

Regulator poziţie

Regulator viteză

Regulator cuplu

Regulator flux



144



145


LLp)t(m g

SgM

gS

gS

gS

gR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=




D Drsquo

jmiddotQ

QrsquoQ

Ψe(t)bullωr

ia(t)bull


146



147


SSee)t(y)t(y


SeS


Stjtj

SeS

e)t(yee)t(y)t(y ee




Re

iS

iR

iM

ΨS

ΨR

ΨM

θr θm

θs

jωsΨS

uS

RRiR

jωrΨR

-jωRΨR

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

ωR

θR=ωRt

De

Qe βR

αR

βS


148


(14) )t(jdt

)t(d)t(iR)t(u e

Se

eSe

SSeS Ψω+

Ψ+=

(15) )t(jdt

)t(d)t(iR)t()(jdt

)t(d)t(iR)t(u eRsl

eRe

RReRRe

eRe

RReR Ψω+

Ψ+=Ψωminusω+

Ψ+=


eS

eMM

eSS

eRM

eSS



eM

eRR

eMM

eRR

eSM



SeM

eS

eS

eS

eR

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


dt)t(dJ Rmre

Rm ωminusminus=ω


RRje

ReR

jRR


(21) )t()t(e)t()t( e)t()t( eMM

jeM

eM

jMM


(22) )t()t( e)t()t( e)t()t( eSS

jeS

eS

jSS




149


LLp)t(m e

SDeMQ

eSQ

eMD

eSD

eSQ

eSQ

eSD

eSD

eRQ

eSQ

eRD

R





MQeSQ

eRQ =Ψ=Ψ=Ψ


LLp)t(m e

SQeMD

eSQ

eSD

eSQ

eRD

R

Me Ψ=Ψ=Ψ=


SeS

eR =Ψ=Ψ=Ψ


RDeR

eR

ψ=ψ=ψ

(29) 0)t(eRQ =Ψ


LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=


Re

iS

ΨeS

ΨeR

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr γm γs

De

Qe

βS

ΨeRQ

ΨeMQ

ΨeSQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

ΨeRD


150



SDeS

eS

ψ=ψ=ψ

(33) 0)t(eSQ =Ψ


eSDe sdotΨ=


MDeM

eM

ψ=ψ=ψ

(37) 0)t(eMQ =Ψ


eMDe sdotΨ=



Re

iS

ΨeS

ΨeR= Ψe

RD

ΨeM

ωe

θe=ωet

ωe

γr=0γm γs

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

ΨeMD

εR


Re

iS

ΨeS= Ψe

SD

ΨeRD

ΨeM

ωe

θe=ωet

γs=0

γr γm

De

Qe

βS

ΨeMQ Ψe

RQ

ieSQ

ieSD

ΨeMD Ψe

R

εS


Re

iS

ΨeS

ΨeRD

ΨeM= Ψe

MD

ωe

θe=ωet

γm=0

γr γs

De

Qe

βS

ΨeRQ Ψe

SQ

ieSQ

ieSD

ΨeSD

εM


151



(39) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u eSQe

eSDe

SDSeSD Ψωminus

Ψ+=

(40) )t(dt

)t(d)t(iR)t(u e

SDe

eSQe

SQSeSQ Ψω+

Ψ+=

(41) )t(dt

)t(d)t(iR0 eRQsl

eRDe

RDR ΨωminusΨ

+=

(42) )t(dt

)t(d)t(iR0 e

RDsl

eRQe

RQR Ψω+Ψ

+=


eSDS

eSD +=Ψ


eSQS

eSQ +=Ψ


eSDM

eRD +=Ψ


eSQM

eRQ +=Ψ


(47) dt

)t(d)t(iR0eRDe

RDRΨ

+=


eRQR Ψω+=


eSDM

eRD +=Ψ


152


eSQM +=


(51) )t(iRdt

)t(d eRDR

eRD minus=

Ψ

(52) )t()t(i

R eRD

eRQ

Rsl Ψminus=ω



L1)t(i e

SDMeRD

R

eRD minusΨ=

(54) )t(iLL)t(i e

SQR

MeRQ minus=


(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ

(56) )t(i)t(T

L)t(i)t(L

LR)t( eSQe

RDR

MeSQe

RDR

MRsl

Ψsdot=

Ψsdot=ω










1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

mr(t)

ωRm(t)

-



153








Sursă


Receptor


control


Uef

e

Uifimi

Uefeme


154







~ ~

= =

Redresor Invertor

Convertor cc-cc


~Ui fi mi ~=

=Ueuarr

~Ueuarr feuarr me

~= =Ui


155






=Ueuarr

== =Ui

~Ueuarr fe=fi me=mi

~~ ~Ui fi mi

~Ueuarr feuarr me

~~ ~Ui fi mi

~Ui fi mi ~=


~= =Ui


156



π=



iT

~

~

~

uR

uS

uT

iR

iS u0

i0

iR

uS

i0

Bloc de comandă

u0

uR

iT

~

~

~ uT

iS Ci

Ci Ci

L0


157




iR

iS

iT

u0

uR ~

~

~

uS

uT

i0

Bloc de comandă

Li

Li

Li

C0

i0

u0 uV

iU

iV

iW

uU

uW

Bloc de comandă

~

~

~

Lo

C0

Lo

Lo


158





Co

iU

iV uV

i0

Bloc de comandă

u0

uU

iW uW

L0

~

~

~Co Co

C0

uS(t)

iR uR ~

~

~

uS

uT

Li

Li

Li

~

~

~

Lo

Lo

Lo

u0

Redresortip

sursă de curent

Invertor tip

sursă de tensiune

Bloc de comandă

Bloc de comandă

u0u0

Co

ejθe

uR ~

~ uT

Redresorcomandat


Invertor tip

sursă de curent

Bloc de comandă

Bloc de comandă

i0 |iS(t)|

L0 i0 iR

uS

iT

iS

Ci

Ci

Ci

~

~

~ Co Co

~


159


(58) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminus

minus=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

101110

011u

uuu

0

CA

BC

AB


(59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

cba

211121112

3u

uuu

0

Cn

Bn

An




Invertor tip

sursă de tensiune

-

a

b

c

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)

Generator semnal

triunghiular

uSA(t)

uSB(t)

uSC(t)-

-

u0


160




(60) ⎩⎨⎧

gtΔminusltΔ

=2hipentru1

2hipentru0a

A

A

Tc


t

t

t

uAN

u BN

u AB

12 T1

U d

U d

- U dt

U d

u AB(1)

U control

U tr

0

0

0

0

c

b

a

Invertor PWM


-

-

-

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t) iSC(t)

iSB(t)

iSA(t)

u0


161





162





163





ωRm(t)


RD(t)

mr(t) θe(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+P(θe)

iSA(t)

iSB(t)

iSC(t)

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

-


)t(i eSQ

)t(êθ

P-1(θe)

)t(i eSD

)t(iSA

)t(iSB

)t(iSC

Invertor PWM




RD(t)


164



ˆjR

eRQ

eRD

eR


(62) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ψψ

)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos)t()t(

RQ

RD

ee

eeeRQ

eRD


(63) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθminusθθ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ψ+ψ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ)t()t(

ˆcosˆsin

ˆsinˆcos0

)t()t(0

)t(RQ

RD

ee

ee2RQ

2RD

eRD



(64) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=θψminusθψ

ψ+ψ=θψ+θψ

0ˆsin)t(ˆcos)t(


eRDeRQ

2RQ

2RDeRQeRD


(65) )t()t(

)t(ˆcos)t()t(

)t(ˆsin2RQ

2RD

RDe2

RQ2RD

RQe

ψ+ψ

ψ=θ

ψ+ψ

ψ=θ

sau

ωRm(t)


RD(t)

mr(t)

)t(ieSD

)t(ieSQ

1sTL

R

M

+

)t(eRDΨ

R

M

LLp

DJs1+

me(t)

- )t(i eSQ

)t(i eSD



RD(t)


165

(66) )t()t(ˆtg

RD

RQe Ψ

Ψ=θ



R





L1)t(i SMRR

R minusΨ=


(70) )t(iL)t(LL)t())t(iL)t((

LL)t()t( SRM

M

RRSMR

R


σ

)t(MBψ

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(eRDψ

)t(êθ

)t(MCψ)t(MAψ

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(MDψ

)t(MQψ

)t(iSD





-

- Regulator cuplu

Regulator flux


166






(71) dt

)t(d)t(iR)t(u S

SSSΨ

+=









-

)t(eRDψ

)t(me

)t(iSQ

)t(uSA

32 larr

u0

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)t(êθ

)t(uSB)t(uSC

)t(ˆ eRDψ

)t(me

regulator vectorial

32 larr

)t(uSD

)t(uSQ






- Regulator cuplu

Regulator flux


167




LLp)t(m e

SQeRD

R

Me sdotΨ=

(55) R

Rnot

ReSD

R

MeRD

R

eRD

RLT)t(i

TL)t(

T1

dt)t(d

==Ψ+Ψ




(75) ( )1sTL1sT

)s()s(i)s(H

0RM

Re

RD

eSD

++

=Ψ

=



)s(ieSD

)s(ieSQ

1sTL

R

M

+ )s(e

RDψ

R

M

LLp me(s)

M

R

L1sT + )s(e

RDψ

)s(me

)s(i eSD

M

R

pLL

1

2 )s(i eSQ

b

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

2

)t(êθ


168


)t(TL)t(i

)t(LLR)t( e

SQeRDR

MeSQe

RDR

MRsl

ψsdot=

ψsdot=ω


(76) )t(


RD

eSQ

R

MRslRe

ψ+ω=ω+ω=ω


(77) intint ττψ


)()(i

TL)(p(d)(ˆ)t(ˆ

eRD

eSQ

R

MRmee





traductor viteză

regulator vectorial

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD

iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++ )t(e

RDψ

M

R

pLL

1

p R

M

TL

1

2 s1

estimator ωsl(t)

ωRm(t)

ωR(t) ωsl(t)

)t(êθ

2


169

(78) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωgtωωω

Ψ

ωleωΨ=Ψ

RNRmRm

RNRN

RNRmRNe

RD )t( )t(

)t( )t(




regulator vectorial

p

)t(iSC iSC(t)

iSB(t)

)t(me

)t(i eSD iSA(t)

)t(i eSQ

P-1(θe)

)t(iSA

)t(iSB

Invertor PWM



)1sT(L1sT

0RM

R

++

)t(eRDψ

M

R

pLL

1

2

1

2 s1


ωR(t) ωsl(t)

ωe(t)

)t(Rmω

-

traductor viteză

R

M

TL

)t(êθ

u0

controlul vectorial al acţionărilor electrice...

Documents