Álgebra vectorial es la rama de la matemática que esta relacionada con el manejo de operaciones

con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación 

Objetivo:

Adquirir destreza en el manejo de los segmentos dirigidos y de los vectores en 2 y 3 dimensiones y aplicarlos en problemas geométricos

Un punto cualquiera en el espacio de 3 dimensiones quedara definido si se conoce sus 3 distancias dirigidas a los 3 planos coordenados x, y y z

La distancia del punto al plano yz se llama ábsisa o coordenada x

La distancia del punto al plano xz se llama ordenada o coordenada y

La distancia del plano xy se llama cota o coordenada z

A cada punto en el espacio puede hacerse corresponder una terna ordenada de valores y viceversa

Para espacio de más de 3 dimensiones los puntos no se pueden representar gráficamente

VectorEn Física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta

geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3 Los vectores en un espacio euclídeo se pueden

representar geométricamente como segmentos de recta

dirigidos («flechas») en el plano   o en el espacio  .

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de Definición[editar código]

Componentes de un vector.

Se llama vector de dimensión   a una tupla de   números reales (que se llaman componentes del vector). El

conjunto de todos los vectores de dimensión   se

representa como   (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector   perteneciente a un espacio   se representa como:

(left)

, donde 

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando

frecuentemente el espacio tridimensional   ó

bidimensional  ).

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:1 2 3

módulo: la longitud del segmento dirección: la orientación de la recta sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final

de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.4

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras

mayúsculas, por ejemplo  , que indican su origen y extremo respectivamente.

Características de un vector[editar código]

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Clasificación de vectores[editar código]

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.1 En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Componentes de un vector[editar código]

Componentes del vector.

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se

representan por  ,  ,  , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en

una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila,

particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Coordenadas tridimensionales.

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

Representación gráfica de los vectores[editar código]

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).

La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

Suma de vectores[editar código]

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.

Producto por un escalar[editar código]

La definición producto por un escalar   produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que

el cuerpo de los escalares sea   modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso

que   además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Operaciones con vectores[editar código]

Suma de vectores[editar código]

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo[editar código]

Método del paralelogramo.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal[editar código]

Método del triángulo.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente:

el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector

resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el

extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores[editar código]

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores

dados,   y  , así como el ángulo   

que forman entre sí, el módulo de   es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar[editar código]

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos

tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean   un escalar y   un vector, el

producto de   por   se representa   y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar[editar código]Artículo principal: Producto escalar.

Producto vectorial[editar código]Artículo principal: Producto vectorial.

Derivada ordinaria de un vector[editar código]

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta fuProducto por un escalar[editar código]

La definición producto por un escalar   produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que

el cuerpo de los escalares sea   modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso

que   además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones

un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Operaciones con vectores[editar código]

Suma de vectores[editar código]

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo[editar código]

Método del paralelogramo.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal[editar código]

Método del triángulo.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores[editar código]

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores

dados,   y  , así como el ángulo   

que forman entre sí, el módulo de   es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar[editar código]

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean   un escalar y   un vector, el

producto de   por   se representa   

y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar[editar código]Artículo principal: Producto escalar.

Producto vectorial[editar código]Artículo principal: Producto vectorial.

Derivada ordinaria de un vector[editar código]

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la

función   representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

nción representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria

de una partícula y la función   representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Metodoss

Movimiento Armónico Simple EjerciciosProblemas

Superposición de MAS de la misma dirección

Supongamos dos movimientos armónicos simples de la misma dirección y frecuencia, cada uno con igual amplitud y fase inicial distintas.

Sea la expresión del armónico que llamaremos

1               

y el otro armónico que llamaremos 2 tendrá la expresión      Siendo A1 = A2 = AEl resultado será otro movimiento armónico simple de la misma dirección y frecuencia. cuya

expresión general es del tipo Podemos recurrir al método geométrico para calcular el valor del armónico resultante o al

método analítico.Método analítico

Vamos a realizar la suma de la posiciones para determinar x

Aplicando la expresión trigonométrica correspondiente a la suma de seno de ángulos nos queda

donde los valores de A y B son   

por lo que                  

y 

por lo tanto realizando las operaciones necesarias resulta que

Siendo   el valor de la amplitud resultante y la fase

inicial  Método geométrico

Se aplica aquí el procedimiento vectorial para la suma de movimientos armónicos de la misma frecuencia. En este caso de amplitudes iguales A.

El método se basa en que las componentes x e y de la resultante de dos vectores es igual a la suma de las componentes x e y de dichos vectores.

Por lo tanto tenemos que las proyecciones de los vectores rojos sobre el eje x representan los dos movimientos armónicos que difieren en su fase inicial y la proyección del azul suma de ambos vectores representa el movimiento armónico suma.

El ángulo es la fase inicial de la

suma que como ya vimos

vale  y la amplitud viene dada por la expresión

Si los dos movimientos armónicos tuvieran la misma fase inicial, el valor de la amplitud del movimiento suma resulta ser 2.A dado que el coseno de la diferencia de fases es coseno de 0º que es 1 y el movimiento armónico resultante estaría en fase con los movimientos armónicos que lo conforman.

Si ambos movimientos armónicos tuvieran fases que difieren en 180º () entonces el valor de la amplitud resultante sería la diferencia de las amplitudes de la movimientos armónicos que lo componen, y como en este caso son iguales, el resultado sería que ambos movimientos se anulan entre sí.

En la figura siguiente se muestran dos movimientos armónicos simples sumados y el resultado de la suma. El movimiento graficado en color azul tiene una fase inicial de /6 y el representado en color rojo una fase inicial /3.

La suma se representa en color verde. Se señalan con flechas de color rojo los puntos donde la suma de las ondas produce un máximo o mínimo de amplitud y las que se señalan con flechas verdes son puntos donde el movimiento resultante tiene amplitud 0.

A continuación y simplemente a modo de ejemplo se va a mostrar la suma de movimientos armónicos donde su amplitud es diferente así como la fase inicial. En el ejemplo se ha utilizado el criterio de que uno tenga el doble de amplitud que el otro y que las fases correspondan al mismo ejemplo graficado anteriormente.

Ahora observaremos los mismos armónicos anteriores pero donde se tenga totalmente diferentes los parámetros es decir son diferentes las fases iniciales que se mantienen las utilizadas hasta ahora, son diferentes las amplitudes máximas, que se mantienen las del gráfico anterior y  son diferentes los valores de la frecuencia angular donde uno de ellos tiene frecuencia angular doble que el otro.

Se observa claramente que la frecuencia del movimiento x2 corresponde al color rojo tiene amplitud doble que el x1 y además su frecuencia es doble de la frecuencia del x1  (Que una frecuencia es doble de la otra es fácil de apreciar, basta con ver que mientras la gráfica roja hace dos ciclos, la gráfica azul hace tan sólo uno.

En este último caso el módulo del vector resultante si se aplicara el método geométrico no tiene longitud constante y su valor máximo que alcanza es la suma de las amplitudes de los movimientos que lo componen, siendo la amplitud mínima el valor absoluto de la diferencia entre sus amplitudes.

Producto vectorial

Esquema

En Matemáticas, el producto cruz, producto vectorial, o producto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vectorperpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Definición[editar código]

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores   y   en el espacio vectorial  . El producto vectorial

entre   y   da como resultado un nuevo vector,  . El producto vectorial

entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos

manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial

mediante1 :

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde   es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por

la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se

la llama a menudo también regla del sacacorcho.

Producto vectorial de dos vectores[editar código]

Sean los vectores concurrentes de  , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se

define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la

primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya

que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más

pequeño, la dirección de   es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

Ejemplo[editar código]

El producto vectorial de los

vectores   y   se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente

que   es ortogonal a los

vectores   y   efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).