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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Guía para el ETS de Cálculo Vectorial

IE ICA ISISA

Funciones Vectoriales

1. Para cada función vectorial, calcule )(' tr y )('' tr

1.1 kji tttttr sincos)cos(sin)( 2 (Res kji ttttr cos2sin2cos)(' )

1.2 kji )/1()2(cos)( 3 tettr t (Res. kji )/1(32sin2)(' 23 tettr t )

2. Utilice las siguientes funciones de aceleración para determinar las funciones velocidad y posición.

Después, si es el caso, calcule la posición en el valor de t dado.

2.1 0)1( ,5)1( ,)( rvttta jkj . Calcule la posición en 2t

( Res. kj

3

1

2

1

6

1

3

14

2

9

6

1)( 33 tttttr )

2.2 kji 0)cos*2()sin*2()( ttta , kji )4/(v , kji4

2)4/(

r . Calcule

la posición en 4

3t ( Res. kji ttttr 3cos22sin2)( )

2.3 kji ttta 64)( , kji )0(v , i)0(r

( Res. kji

tttttttr 233

2

11

3

2)( )

2.4 kji tttta )3(sin)3(sin)( kji4

42)2/(2

v 0)2/( r

( Res. kji

1286

1

9

1814)3sin(

9

1

9

912)3sin(

9

1)(

323

tttttttr )

2.5 kji )1()()( 222 teta t i2)1( v k)1(r

( Res. kji

2

3

24

1

3

2

2124

7

2

3

4

1)(

22422 t

tttttetr t )

3. Calcule la Longitud de las curvas dadas por las siguientes funciones vectoriales en el intervalo dado:

3.1 ji23)( tttr [0, 2] (Res. 9.07)

3.2 kji ttttr 32)( [0, 2]



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3.3 ji )sen()cos()( tetetr tt 41 t (Res. )(2 4 ee )

3.4 ji tttr 33 sencos)( 3

2

6

t (Res. 3/4)

3.5 kji2sin2cos2)( ttttr [0, π/2] (Res. 4.158)

3.6 kji ttttr cos25sin2)( , 10 ,10 (Res. 2920 )

3.7 3 3 34 1( )

3 3r t t i t j t k , 2 1t

3.8 kji2)(ln)2()( ttttr 41 t (Res. 15 + ln(4))

3.9 kji322 )12()12()( ttttr en el intervalo [0, 2] (Res. 14.063)

4. Hallar la curvatura k de las curvas dadas por:

4.1 jit

ttr1

)( (2/34

3

)1(

2

t

tk )

4.2 kji ttttr sin3cos34)( ( k = 3/25)

4.3 kji )sin4()()cos4()( ttttr ( k = 4/17)

4.4 kji tttstr cos3)en3()( ( k = 3/10)

4.5

kji22

sin2

cos)(ttt

tr

( k = 1/2)

4.6

ji tttr *2sin2*2cos2)( ( k = 1/2)

5. Calcule la curvatura en t=4 de la función kji )8()()3()( 24 ttettr t .

2/3)2(

3)4(k



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Funciones de Varias Variables

6. Calcule las derivadas parciales de primer orden x

f

,

y

f

.

Resultados

7. Calcule las derivadas parciales de segundo orden: a)fxx, b) fyy, c) fxy, d) fyx

Resultados



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8. Calcule dt

dw utilizando la regla de la cadena.

8.1 yzxzxyw , 1 tx , 12 ty , tz

8.2 xyzw , 2tx , ty 2 ,

tez

8.3 ttt ezsenteytexzyxw , ,cos ,22

(Res. )1cossin(sin2)sin(cos 22 tttettedt

dw tt)

9. Calcule s

w

y

t

w

utilizando la regla de la cadena.

9.1 22 yxw , tsx , tsy , 2s , 1t

9.2 yxyw 23 3 , sex , tey , 0s , 1t

9.3 )32sin( yxw , tsx , tsy , 0s , 2/t (Res. 0

t

w)

9.4 22 yxyxw , tsx , sty

(Res. tsststst

wtssttst

s

w2222 ,2222 2222

)

10. Utilice la regla de la cadena para hallar t

uy

r

u

donde

222 zyxu , trx cos , try sin , tz : (Res. tt

ur

r

u2 ,2

)

11. Hallar la derivada direccional de la función en la dirección y puntos indicados.

11.1 yxeyxf xy ),( , 3

2 , P(2, 0) (Res.

2

135 )

11.2 )2sin(),( yxyxf , 3

, P(4, 1)

12. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado, en la dirección de v. (Res.2/3)

xzyw 2 , (1, 2, 2), v = 2i – j + 2k

13. Dada la función ) 3cos(),( 2 xxxeyxf y determine:

13.1 El gradiente en el punto (½, 0). (Res. )1 ,2

31()0,2/1(

f )

13.2 La razón de cambio máxima. (Res. 5.8)

13.3 La tasa de cambio en la dirección de ji 2

1v . (Res. 4.1145)



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14. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por:

222

1),,(

zyxzyxV

donde V está dado en Volts y x, y, z en cm.

14.1 ¿En qué dirección a partir del punto P(2, 2, -1), V crece con mayor rapidez.

(Res. kji27

1

27

2

27

2 )

14.2 ¿En qué dirección a partir del punto P(2, 2, -1), V decrece con mayor rapidez.

14.3 ¿Cuál es la razón de cambio máxima a partir del punto (2, 2, -1)? (Res. 1/9 V/cm)

14.4 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(2, 2, -1) en la dirección del vector

v=2i–3j+6k. (Res.8/189)

15. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por )2cos(),( 2 yeyxV x

volts, donde la distancia se mide en cm.

15.1 ¿En qué dirección a partir del punto P(0, π/4), V aumenta con mayor rapidez. (Res. -2j)

15.2 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(0, π/4) en la dirección del vector

ji 2 32 v . (Res. -1 V/cm)

16. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica es 22 yx

xT

. Encuentre la dirección de mayor

incremento de calor en el punto (3, 4). (Res. )625

24

625

7ji )

17. La temperatura de una placa está dada por 221

1

yx

yT

.

17.1 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura crece con mayor rapidez? (Res. -½j)

17.2 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura decrece con mayor rapidez? (Res. ½j)

17.3 ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

17.4 ¿Cuál es la razón de cambio en el punto (1, 1), en la dirección de θ = π/4?



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18. Suponga que en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por

xyzxyxzyxV 35),,( 2 .

18.1 ¿En qué dirección V aumenta más rápidamente en el punto P(3, 4, 5) (Res. 38i+6j+12k)

18.2 ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P? (Res. 4062 )

18.3 Encuentre la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en la dirección del vector v=i+j–k.

19. El campo magnético B, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado por

la ecuación )(sen)cos(2 yzxyxxeB y . Calcule en el punto (2, 0, -3):

19.1 La dirección del cambio máximo. (Res. 2i + j)

19.2 La razón de cambio máximo. (Res. 5 )

19.3 La razón de cambio del campo en la dirección kjiv 22 . (Res. 0)

20. Dada la función )ln()sin(),,( 2xyzzyxf determine en el punto (1, 1, π):

20.1 El gradiente. (Res. kji 2 )

20.2 La razón de cambio máxima. (Res. 3.85)

20.3 La tasa de cambio en la dirección de kji v . (Res. -0.0817)

21. Suponga que la temperatura en un punto en el espacio está dada por 222 321

80),,(

zyxzyxT

,

donde T está medida en grados centígrados y x; y; z están en metros.

21.1 ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto punto (1, 1, 2)?

(Res. )62(8

5kji )

21.2 ¿Cuál es la tasa máxima de incremento? (Res. 8

415)

21.3 ¿Cuál es la razón de cambio en la dirección de kji 32v ?

22. Examinar la función para localizar los extremos relativos y puntos silla aplicando el criterio de la segunda

derivada.

22.1 33 3),( yxyxyxf (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (1,1))

22.2 23 243248),( yxxyyxf (Res. punto silla:(0, 0), máximo: (1/2, 1/2))

22.3 2 3( , ) 4 2 1f x y xy y x (Res. punto silla:(0, 0), máximo: (4/3, 4/3))

22.4 xyxyyyxf 6323),( 232 (Res. punto silla:(0, 0), máximo: (-2,2))



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22.5 yxxyxyxf 12153),( 23 (Res. mínimo: (2,1), máximo:(-2,-1), puntos silla:(1,2), (-1,-2))

22.6 17182

33),( 23 xyyxyxf (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (12, 72))

22.7 xyyxyxf 3),( 32 (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (9/4, 3/2))

23. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 160 cm3 empleando tres tipos de materiales.

El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por cm2, el costo del material para el frente y la

parte trasera es de $0.16 por cm2, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por cm

2.

Aplique el criterio de la segunda derivada y:

a) Determine la función de costo C(x, y), donde x y y son la longitud y el ancho de la caja

respectivamente.

b) Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea el mínimo. (Res. Largo=5.7453cm, Ancho=4.3088cm, Alto=6.4632cm)

c) Calcule el costo de la caja. (Res. $26.73)

24. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la

función dada:

24.1 yxyxf 3),( , sujeta a 122 yx

(Resultado: Máximo: 1010

3,

10

1

f , Mínimo: 10

10

3,

10

1

f )

24.2 xyyxf ),( , sujeta a 222 yx

(Resultado: Máximo: 11,11,1 ff , Mínimo: 11,11,1 ff )

25. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea un máximo. Aplique el método

de los Multiplicadores de Lagrange.

26. Se disponen de 320 metros de cerca para encerrar un campo rectangular. Calcule el largo y ancho de

la cerca para que el área encerrada sea lo más grande posible. Aplique el método de los Multiplicadores

de Lagrange.

27. Se han asignado $100,000 para construir una cisterna rectangular. El concreto para construir la base y los

lados tiene un costo de $100 por m2 y el material para construir la tapa cuesta $200 por m

2. Se busca

obtener el máximo volumen. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange y determine:

a) La función objetivo y la ecuación de restricción

b) Las dimensiones de la cisterna para obtener el máximo volumen

c) El volumen de la cisterna



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28. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. Determine el radio (r) y la altura

(h) de la lata de tal forma que se utilice la mínima cantidad de metal. Utilice el método de los

multiplicadores de Lagrange. (Resultado: 8385.10h cm, 4192.5r cm)

29. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. La tapa y el fondo se construirán

con un metal que cuesta $2.0 por cm2. El costado se formará con un metal que cuesta $2.5 por cm

2. Se

busca que el costo de fabricación sea el mínimo. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange y

determine:

29.1 La función objetivo y la ecuación de restricción.

29.2 El radio (r) y la altura (h) para que el costo sea el mínimo. (Resultado: h = 9.3403 cm, r = 5.8372 cm)

29.3 El costo de la lata. (Resultado: $1284.58)

Integrales Múltiples

30. Evalúe las siguientes integrales:

30.1

3

0

2

1

)81( dydxxy (Res. 57)

30.2

2

1

4

0

22 )12( dxdyyx (Res. 20/3)

30.3

0

sin

0

)cos1(

x

dydxx (Res. 2)

30.4

1

0

1

2

22 )(sen)cos( dxdyyxyx (Res.

2

9

7 )

31. Utilice una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones

indicadas. En casa caso haga un dibujo de la región R.

31.1 Región limitada por x = 0, y = 0, 24 xy , en el primer cuadrante. (Res.16/3 u2).

31.2 Región limitada por y = x, y = –x 2 + 2 (Res. 9/2 u

2)

31.3 Región limitada por y = –x, y = 2x 2 (Res. 1/24 u

2)

31.4 Región limitada por y = 2x + 1, y = 2x 2 + 1 (Res. 1/3 u

2)

31.5 Región limitada por 24 xy , 2 xy . (Res. 9/2 u2)



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32. Evalúe la integral 2 2

R

x y dA sobre la región encerrada por las curvas xy , 2y x . Haga un dibujo de

la región. (Res. 1/54)

33. Evalúe la integral dAyx sen sobre la región encerrada por las curvas 2 ,2 xyxy . Haga un dibujo

de la región. (Res. )4cos(4

1)4sin(

2

1

4

1 )

34. Utilice una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de y = senx, y = cosx,

x = π/4, x = 5π/4. (Res. 22 u2).

35. Usar coordenadas polares para evaluar la integral dydxyx

x

3

0

9

0

2/322

2

. (Res. 10

243 )

36. Usar coordenadas polares para evaluar la integral dydxe

x

x

yx

1

1

1

1

2

2

22

. (Res. )1( e )

37. Aplique una integral doble en coordenadas polares para calcular el área del cardiode definido por

cos1r . Hacer un dibujo de la región. (Res. 2

3 u

2 )

38. Evalúe la integral triple dvxyzG

2, donde G es la caja rectangular dada por:

G = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 } (Res. 27/4)

39. Usar una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado inferiormente por el plano z = 0 y

superiormente por el elipsoide dado por 1644 222 zyx . Hacer un dibujo del sólido. (Res. 3

32 u

3 )

40. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del cilindro 122 yx , limitado superiormente

por la esfera 9222 zyx e inferiormente por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido.

(Res. 9.15 u3)



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41. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro 422 yx , limitado

superiormente por la esfera 16222 zyx e inferiormente por el plano z = 0. Hacer un dibujo del

sólido. (Res. 46.98 u

3)


superiormente por el plano 10z e inferiormente por el paraboloide 224 yxz . Hacer un dibujo

del sólido. (Res. 32 u3)


superiormente por el plano z = 5 e inferiormente por el paraboloide 221 yxz . Hacer un dibujo del

sólido. (Res. 24 u3)

44. En los siguientes problemas emplee una integral triple en coordenadas esféricas para determinar el

volumen del sólido que está acotado por las gráficas de las ecuaciones que se indican. En cada caso haga

un dibujo del sólido.

44.1 1222 zyx (esfera), 9222 zyx (esfera) (Res. 3

104 u

3)

44.2 222 yxz (cono), 9222 zyx (esfera) sobre el plano XY (Res. 2918 u3 ).

44.3 2223 yxz (cono), 1222 zyx (esfera) sobre el plano XY (Res. 3

u

3).

44.4 222 33 yxz (cono), 2z (plano), sobre el plano XY (Res. 9

8u

3).

44.5 2223 yxz (cono), 2z (plano), sobre el plano XY (Res. 8 u3).

Divergencia y Rotacional de un campo Vectorial

45. Calcule la divergencia y rotacional del campo vectorial: jyeiyezyxF xx )cos()sin(),,( .

(Res. kzyxFrot 2),,( , yeyezyxFdiv xx sensen),,( )

46. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por zkjzxixyzyxF 2)()2(),,( 22 . (Res. 0).

47. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por zkyjixyzzyxF )(),,( y evalúe en el punto

(1, 2, 1). (Res. 2j – k ).

48. Calcule la divergencia del campo vectorial dado por kyzjxzizxzyxF )()2()(),,( 2 en el punto

(2, -1, 3). (Res. 11).



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Integrales de Línea y Teorema de Green.

49. Evalúe la integral de línea dsxyC

3 , donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=4sent,

y=4cost, z=3t, en el intervalo 0 ≤ t ≤ π/2. (Res. 320).

50. Evalúe la integral de línea dszyc

sen donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=cost,

y=sent, z=t, en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π

51. Evalúe la integral de línea 2 2(6 2 ) 4

Cx y dx xydy donde C es la curva dada por 3( ) ( ) ( )r t t i t j ;

0 1t . (Res. 4)

52. Evalúe la integral de línea dyyxxydxc

)( , donde C está formada por los segmentos de recta (0,0) a

(2,0) y de (2,0) a (3,2). (Res. 17/3)

53. Evalúe la integral de línea dsxeC

yz

, donde C es el segmento de recta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).

(Res. 12

)1(14 6 e ).

54. Evalúe la integral de línea dyxxyC

)ln( , donde C es el arco de la parábola 2xy de (1, 1) a (3, 9).

(Res. )3ln(95

464 ).

55. Evalúe la integral de línea c

xds2 , donde C es la parábola 2xy de (0, 0) a (1, 1).

56. Evalúe la integral de línea por los métodos siguientes:

a) Directamente

b) Aplicando el Teorema de Green

27.1 dyxdxxyC

32 , donde C es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 2). (Res. 1/2)

27.2 dyxedxe y

c

y 2 , donde C es el cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).



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57. Aplique el Teorema de Green para evaluar las siguientes integrales:

57.1 dyyxdxeyx

C

)cos2()( 2 , donde C es la frontera de la región limitada por las parábolas

2xy , xy . (Res. 1/3)

57.2 dyxydxyxC

)2()( 22 , donde C es la frontera de la región limitada por las curvas 22xy ,

xy 2 . (Res. 16/15)

57.3 dyxdxyC

)3()2( , donde C es la frontera de la región limitada por 122 yx . (Res. 5π)

57.4 C

xydydxyx 2)( 22 donde C es la curva descrita por las ecuaciones

2xy y xy ,

desde (0, 0) a (1, 1) y desde (1, 1) a (0, 0). (Res. -3/5)

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