Álgebra - manual alumno

NIVELACIN MATEMTICA

Manual del Alumno: lgebra

INACAP

Ciencias Bsicas

Vicerrectora de Acadmica de Pregrado

2015

2 Nivelacin

PRESENTACIN

Estimado alumno:

Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelacin

matemtica para el alumno Inacapino. ste ser el documento gua de la asignatura de nivelacin

correspondiente y te servir como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.

En esta asignatura trabajaremos la resolucin de problemas de manera transversal, desarrollaremos

habilidades para el manejo algebraico y podrs utilizar la calculadora en toda ocasin.

Adems, en esta asignatura revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices

grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos

y procedimientos ms importantes de la unidad.

Al finalizar esta asignatura, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolucin de

problemas utilizando operatoria algebraica y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia

metodolgica de la solucin de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y

monitor de tu aprendizaje.

3 Nivelacin

LGEBRA

Esta asignatura contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemticas mediante estrategias matemticas relacionadas con operatoria algebraica, explicando su estrategia de resolucin y comunicando sus resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.

Materiales: Manual de nivelacin para el alumno. Calculadora. Bibliografa.

Tiempo: 10 horas pedaggicas.

4 Nivelacin

Clase 1

El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de

codificacin, valorizacin y reduccin de trminos semejantes explicando los pasos aplicados.

Ejercicio resuelto

Traduce los siguientes enunciados a lenguaje algebraico.

1. La suma entre dos nmeros consecutivos.

2. La diferencia entre los cuadrados de dos nmeros cualesquiera.

Para traducir el enunciado en lenguaje algebraico, debes identificar

bien los datos involucrados:

- La operacin es la SUMA ( + )

- Debemos sumar dos nmeros.

- Los nmeros deben ser consecutivos.

Por lo tanto, al establecer que el primer nmero se llamar x, el

segundo nmero queda determinado.

OJO: el segundo nmero puede ser el antecesor de x, o el

sucesor de x.

As, tenemos dos respuestas correctas:

Respuesta 1: Utilizando x y su antecesor x-1.

La suma de los dos nmeros ser x + (x - 1)

Respuesta 2: Utilizando x y su sucesor x+1

La suma de los dos nmeros ser x + (x + 1)



- La operacin es la RESTA (-).

- Debemos restar dos nmeros.

- La resta se debe hacer sobre los cuadrados de esos

nmeros.

Supongamos que x es un nmero e y es otro nmero.

5 Nivelacin

3. La base de un edificio mide ciertos metros de frente y su altura es el

doble de la base, menos 5 metros. Cul es la expresin que determina la

altura, en trminos de la base?

Sus cuadrados sern x2 e y2 .

As la diferencia ser x2 - y2 .

As, la respuesta es:

Respuesta: x2 - y2



- La base mide ciertos metros de largo.

- La altura es el doble de la base, menos 5 metros.

- Nos piden determinar la altura en trminos de la base.

En este caso, si lo prefieres, puedes hacer una representacin de la

situacin.

Si la base la denominamos x, entonces, la altura debe ser: el doble de

la base, menos 5 metros. Es decir, 2x 5.

Respuesta: Si la base mide x. La altura mide 2x-5.

--------Base---------

-

-----------Altu

ra----------

--

6 Nivelacin

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente ejercicio, aplicando la valorizacin de expresiones

algebraicas. Puedes utilizar tu calculadora.

Ser verdadera la siguiente afirmacin (a-b)2 = a2-b2?

Para valorizar expresiones algebraicas, debemos escoger valores

cualesquiera para a y para b.

Cmo sabemos cules son los mejores valores?

En realidad, lo ideal es comenzar a buscar valores que sean fciles

de trabajar.

Por ejemplo

a=0, b=0. (0-0)2=02-02 0 = 0

Pero esto no es suficiente para afirmar que la afirmacin es

verdadera SIEMPRE. Veamos otros valores:

Por ejemplo

a=1, b=0. (1-0)2=12-02 1 = 1

Ser que la proposicin es verdadera SIEMPRE?

Veamos otro ejemplo,

a=1, b=2. (1-2)2=12-22 (-1)2 = 1-2 1 = -1

Y esto ltimo es FALSO.

Por lo tanto, la afirmacin no es correcta siempre.

OBSERVACIN:

Si este ejercicio lo resuelves con calculadora, debes tener en

cuenta la prioridad para resolver las operaciones. Si tienes

calculadora cientfica podrs ingresar los parntesis

inmediatamente.

7 Nivelacin

Ejercicio resuelto

1. Reduce la siguiente expresin algebraica.

x + y 2x xy + 3x 5y + 8yx 2y

2. Reduce la siguiente expresin algebraica.

2( + ) 5( )

Para reducir trminos semejantes debes preocuparte de identificar

aquellos que tengan igual parte literal. A continuacin marcaremos

con colores los trminos que tengan igual trmino literal.

x + y 2x xy + 3x 5y + 8yx 2y

Ahora podemos reducir por partes:

x 2x + 3x = 1x 2x + 3x = 2x

y 5y 2y = 6y

xy + 8yx = 7xy

As, el resultado final ser: 2 6 + 7.

Este tipo de ejercicios requiere de la eliminacin de parntesis

antes de la reduccin de trminos semejantes.

2( + ) 5( )

(2 ) + (2 ) (5 ) (5 )

22 + 2 + 5 + 52

22 + 7 + 52

8 Nivelacin

Ejercicios propuestos grupales

Codifica los siguientes enunciados en lenguaje algebraico.

1. El doble de un nmero es mayor o igual que el sucesor de otro nmero.

2. El doble de la edad de mi hermano es igual a la edad de mi pap, menos

siete.

3. El valor de cada una de las cuotas que Gonzalo tuvo que pagar, si

compr x cantidad de toallas, a $y cada una, en z nmero de cuotas.

Comprueba si las siguientes expresiones algebraicas son las

respuestas de cada situacin. Justifica tu respuesta.

1. Marcos tiene x pesos en su billetera y saca $12.500. Unos das

despus su abuela le da el doble del dinero que le quedaba en la billetera.

Cunto dinero le ha dado la abuela?

Respuesta: A Marcos su abuela le dio 2(x 12.500) pesos.

9 Nivelacin

2. La base de un rectngulo mide x cm y su largo 5 cm ms que el doble de

la base. Cunto mide el largo?

Respuesta: El largo del rectngulo mide x2 + 5 cm.

Valoriza las siguientes expresiones algebraicas.

Para = 5; = 1; = 1

1. ( + )2

2. ( + ) ( )

3. (+4)

(3)

10 Nivelacin

Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

1. x + (x 1) + 3x + 5(x 1)

2. p q (p p2 q2) 2p 6q + 3q2

3. 5(a + b) 3a(b a) + 5b(a b)

11 Nivelacin

Problemas propuestos individuales:

Utiliza las tcnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, frmulas o dudas que tengas

al respecto.

Codifica los siguientes enunciados a lenguaje algebraico.

1. Un nmero y su antecesor.

2. Un nmero ms el cuadrado de su sucesor.

3. El cuadrado de un nmero, menos el cubo de otro nmero.

4. El doble, de la suma de dos nmeros cuya diferencia es 5. (Expresa este

enunciado, utilizando solo una variable).

Valoriza las siguientes expresiones algebraicas (puedes utilizar la

calculadora):

1. + ; con = 3; = 5; = 1.

2.

; con = 0; = 12; = 6.

3. (3 + 5) 3 con = 4,5; = 2.

4. ( 2) (+)

() = 1; = 1.

Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

1. 2 22 72

2.

2+

3

4

3. 2 + + 2 22 + 3 2

4. 3

42

2

32 22 + 32

1

82

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

prxima clase.

12 Nivelacin

Clase 2

El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de productos

notables y factorizacin de expresiones algebraicas explicando los pasos aplicados.

Ejercicio resuelto

Resuelve cada uno de los siguientes productos notables.

1. (2x 5)(2x + 5)

2. (3 + )2

1 Reconocer qu producto notable debemos aplicar.

(2x 5)(2x + 5)

En este caso, es SUMA POR DIFERENCIA.

2 Aplicar el producto notable.

En general, la resolucin de una suma por diferencia es:

( )2 ( )2

(2)2 (5)2

42 25

3 Podemos verificar que el producto notable est bien aplicado,

realizando la multiplicacin correspondiente. Sin embargo,

perdemos un poco del tiempo ganado al aplicar el producto

notable.

Recuerda:

SUMA POR

DIFERENCIA

(a+b)(a-b)=(a2-b2)

1 Reconocer qu producto notable debemos aplicar.

BINOMIO AL CUADRADO

2 Aplicar el producto notable.

(3)2 + 2 3 + ()2

92 + 6 + 2

3 Podemos verificar que el producto notable est bien aplicado,

realizando la multiplicacin correspondiente. Sin embargo,

perdemos un poco del tiempo ganado al aplicar el producto

notable.

Recuerda:

BINOMIO AL

CUADRADO

(a+b)2 = a2+2ab+b2

13 Nivelacin

Factoriza las siguientes expresiones.

1. 83 + 64

2. 812 254

1 Reconocer qu factorizacin puedes aplicar.

SUMA DE CUBOS PERFECTOS

2 Aplicar la factorizacin.

83 + 64

(2)3 + (4)3

(2 + 4)((2)2 2 4 + (4)2)

(2 + 4)(42 8 + 16)

3 Podemos verificar que la factorizacin est bien aplicada,

realizando la multiplicacin correspondiente.

1 Reconocer qu factorizacin puedes aplicar.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

2 Aplicar la factorizacin.

812 254

(9)2 (52)2

(9 52)(9 + 52)

3 Podemos verificar que la factorizacin est bien aplicada,

realizando la multiplicacin correspondiente.

Recuerda:

SUMA DE CUBOS

(a3+b3) =

(a+b)(a2-ab+b2)

Recuerda:

DIFERENCIA DE

CUADRADOS

(a2-b2) = (a+b)(a-b)

14 Nivelacin


Aplica productos notables para resolver los siguientes ejercicios.

1. (3 22)2

2. (3 + 2)3

3. ( 3)( + 6)

15 Nivelacin


Aplica factorizacin para resolver los siguientes ejercicios.

1. + 2

2. 4 66 + 98

3. 42 + 12 + 92

16 Nivelacin

Problemas propuestos individuales:



al respecto.

Resuelve las siguientes multiplicaciones aplicando productos

notables.

1. ( + 5)2

2. (2 )3

3. ( 2)( 7)

4. (25 3)(3 25)

5. ( + 4)4

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1. 2 15 + 56

2. 6 + 6

3. ( )2 2

4. 32 + 10 + 3

5. ( + )3 ( )3

Desafos.

1. 4 + 2 + 1

2. 422 (2 + 2 2)2

3. 3 3 + 2

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

prxima clase.

17 Nivelacin

Clase 3

El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de productos

notables, factorizacin y simplificacin de expresiones algebraicas explicando los pasos aplicados.

Al comienzo debers realizar una evaluacin individual con el objetivo de que puedas conocer tus

fortalezas y debilidades en cuanto al tratamiento algebraico y puedas ir mejorando.

Ejercicios resueltos

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias:

1. 22

2

2. 2+6

29

Para poder simplificar, debemos tener la expresin factorizada.

22

2

2

( 1)

2

1

Primero debemos factorizar, luego, simplificamos.

2 + 6

2 9

( + 3)( 2)

( + 3)( 3)

( 2)

( 3)

18 Nivelacin


Discutan, en grupos de tres personas, de qu manera podran

factorizar y simplificar las siguientes expresiones. Justifiquen su

estrategia.

1. 624

1832

2. 376

26

3. 4212+9

429

19 Nivelacin

Ejercicios propuestos individuales:



al respecto.

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

1. 24

36

2. 26+9

412

3. 22+1

21

4. 34

3+22

5. 53+5

32+6+3

20 Nivelacin

Clase 4

El objetivo de esta clase es que puedas utilizar el planteamiento y la resolucin de ecuaciones para resolver

problemas, explicando los pasos aplicados.

Te recordamos que para resolver un problema, debes aplicar los siguientes pasos.

Pasos para resolver un problema:

1 Leer y comprender

Leer el enunciado del problema.

Identificar datos y pregunta del problema.

2 Proponer y fundamentar

Proponer una estrategia de resolucin.

Explicar la estrategia y justificarla.

3 Resolver y comprobar

Resolver el problema aplicando procedimientos matemticos.

Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema

4 Comunicar

Comunicar los resultado de manera acorde a la situacin e interlocutores.

En esta clase la estratega

siempre ser el

planteamiento y la

resolucin de una

ecuacin.

En la solucin de la

ecuacin, debers tener en

cuenta la prioridad en la

operatoria y la reduccin

de trminos semejantes.

21 Nivelacin

Ejercicio resuelto

1. En una pea folclrica, la seora Mara vendi 80 botellas de

bebestibles. Vendi cada botella de gaseosa en $ 600 y cada botella de jugo,

en $ 400, recaudando $ 39.200. Cuntas botellas de gaseosa vendi?

1 Leer el enunciado, identificar datos y pregunta.

Mara vendi 80 botellas de bebestibles.

1 gaseosa vale $600; 1 jugo vale $400

En total se recaud $39.200.

Hay de determinar la cantidad de gaseosas que se vendieron.

2 La estrategia ser plantear y resolver una ecuacin. Llamaremos:

x: cantidad de botellas de gaseosas.

y: cantidad de botellas de jugos.

Por lo tanto, y=80-x.

3 Resolvemos: as, tenemos la siguiente ecuacin:

600*x + 400*(80-x)=39.200

Para resolver aplicamos las propiedades de las operaciones:

600*x + 400*(80-x)=39.200

600x + 32.000 400x = 39.200

600x 400x = 7.200

200x = 7.200

x=7.200/200

x=36

.

x+y=80

Valor recaudado al

vender x cantidad de

gaseosas a $600 c/u.

Valor recaudado al

vender 80-x cantidad

de jugos a $400 c/u.

Total recaudado

22 Nivelacin

2. Una solucin de azcar si hizo al 10% y otra al 25% Cuntos litros de

cada una deben mezclarse para obtener 20 litros de solucin al 16% de

azcar?

Por consiguiente:

y = 80-x = 80-36 = 44.

4 Comunicar sus resultados: Se vendieron 36 gaseosas y 44 jugos.

1 Leer el enunciado, identificar datos y pregunta.

Solucin al 10%

Solucin al 25%

Necesito 20 litros de solucin al 16%.

Pregunta: Cuntos litros de cada solucin se necesitan?

2 La estrategia ser plantear y resolver una ecuacin. Llamaremos:

x: cantidad de litros de la solucin al 10%

20-x: cantidad de litros de la solucin al 25%

y formamos la siguiente ecuacin.

10% de + 25% de (20 ) = 16% de 20 itros

3 Resolvemos:

10

100 +

25

100(20 ) =

16

10020

10 + 25(20 ) = 16 20

10 + 500 25 = 320

180 = 15

180

15=

12 =

Por lo tanto, de la otra solucin necesitaremos 8 litros.

4 Comunicar sus resultados: se deben mezclar 12 litros de

solucin al 10% y 8 litros de solucin al 25%.

23 Nivelacin


Resuelvan los siguientes ejercicios, estableciendo claramente los pasos:

1 Identificar datos.

2 Nombrar incgnita(s) y plantear ecuacin.

3 Resolver ecuacin.

4 Dar respuesta al problema.

1. Ral puede intar una oficina en 6 horas. Su primo Julin puede hacerlo

en 8 horas. Cunto tiempo demorarn en pintar la pieza si lo hacen

juntos?

24 Nivelacin


2. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 218 metros de

alambre. Calcula las dimensiones del terreno, si su rea debe ser de 2.860

m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles.

25 Nivelacin

Ejercicios propuestos individuales:

Resuelve los siguientes ejercicios, estableciendo claramente los pasos:

1 Identificar datos.

2 Nombrar incgnita(s) y plantear ecuacin.

3 Resolver ecuacin.

4 Dar respuesta al problema.



al respecto.

1. Luca compr estampillas de $120 y $175 cada una. Si compr 79

estampillas en total y gast $11.515. Cuntas estampillas de cada una

compr?

2. Aldo tiene 3 aos ms que Aurora. Dentro de 2 aos, la edad de Aldo

ser el doble de la edad que Aurora tena hace 5 aos. Qu edad tiene cada

uno actualmente?

3. Ral invirti en dos cuentas un total de $560.000. En una gan un 10% y

en otra perdi un 4%. Cunto invirti en cada cuenta, si las prdidas

igualaron las ganancias?

4. El tiempo de una ingeniera consultora se cobra a $42.000 por hora y el

de su asistente a $13.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de

$1.042.000 por cierto trabajo encomendado a estas personas. Si la asistente

trabaj 4 horas ms que la ingeniera. Cunto tiempo destin cada una en el

trabajo?

26 Nivelacin

Clase 5

El objetivo de esta clase es que aclares tus ltimas dudas y resuelvas el taller de evaluacin de manera grupal. Aqu, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntrselas a tu profesor.

Álgebra - manual alumno

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