cuaderno de ejercicios de matemáticas i: Álgebra i · 2017 escuela de bachilleres de la...

CUADERNO DE

EJERCICIOS DE

MATEMÁTICAS I:

ÁLGEBRA I

2017

MATERIAL RECOPILADO, ORGANIZADO Y/O ELABORADO

POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ

2017 ESCUELA DE BACHILLERES DE LA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO – ÁLGEBRA I

NOMBRE DEL ALUMNO

MATERIAL RECOPILADO, ORGANIZADO Y/O ELABORADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ 1

DATOS GENERALES

Semestre: Asignatura: Tipo:

Primero Matemáticas I: Álgebra Curso – Taller

Horas por semestre: Horas por semana: Créditos:

80 horas 5 horas 8 (ocho)

Horas teoría/sem: 3 Horas práctica/sem: 1 Horas de lab/sem: 1

PROPÓSITO GENERAL

El Álgebra en el bachillerato debe proporcionar el lenguaje necesario para que el estudiante pueda interpretar y utilizar conceptos y

modelos matemáticos, de hecho, el álgebra es una poderosa herramienta que es indispensable en el estudiante para continuar con cursos

posteriores de matemáticas a lo largo de su vida para desarrollarse en su entorno social, recordando que nuestro bachillerato es único y

propedéutico.

CONTENIDO PROGRAMÁTICO POR UNIDAD

Unidad I. Historia de la matemática

o Historia de la matemática.

Unidad II. El campo ordenado de los números reales

o Conjuntos y subconjuntos (unión, intersección y complementos).

o Conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R).

o Operaciones con números (suma, resta, producto y cociente).

o Postulados de campo de los números reales.

o Orden y distancia.

Unidad III. Introducción al álgebra

o Terminología y nomenclatura Algebraica.

o Valor numérico de expresiones algebraicas.

o Exponentes enteros positivos y sus leyes.

o Suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

o Productos notables.

o Factorización.

o Reducción de fracciones algebraicas simples y complejas.

Unidad IV. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

o Propiedades de la igualdad.

o Resolución de ecuaciones de primer grado.

o Problemas que involucren ecuaciones de primer grado.

o Despejes de fórmulas


NOMBRE DEL ALUMNO


Historia de la matemática (5 horas) En el primer día de clases se presentará el docente, el curso y las formas de trabajo y de evaluación durante el mismo, se intercambiarán

ideas sobre lo que se espera de este semestre. En un segundo momento se solicitará al estudiante que para el día de mañana consiga

información sobre la evolución que ha tenido la matemática a lo largo de los años, en particular sobre ela aritmética y el álgebra, se tiene

que hablar al menos de tres culturas distintas que hayan trabajado en estas áreas de la matemática, la información debe ser obtenida por

medio de libros, principalmente y de medios electrónicos. Uno de los productos finales será la elaboración de un texto llamado “La

historia de el álgebra y la aritmética” para esto se sugerirá al alumno:

1. reúna información histórica de diversos medios, libros, revistas, internet, etc.

2. hagan equipos de a lo más cinco personas para trabajar en equipos cooperativos.

3. ordenen la información de acuerdo a los bloques históricos y de las palabras clave,

4. ubiquen a los personajes principales dentro de cada bloque además de tener información de su vida.

5. después de seleccionar la información utilicen señalizaciones en el texto, hagan resúmenes, mapas, etc.

6. Ordenar la información para elaborar su texto y además para la creación del “árbol genealógico” o “línea de tiempo” de estos temas.

Después los equipos presentaran al grupo su árbol genealógico o su línea de tiempo con una duración de a lo más cinco minutos en esta

presentación deben incluir una nota curiosa sobre los matemáticos de la época y al final de las presentaciones se hará una cosmovisión

general del tema. Se recomienda que el trabajo de organización de información se haga en una hora de clase y las dos restantes sean

para presentar el tema.

Unidad II. El campo de los números ordenados (20 horas)

Conjuntos (2 horas)

1. Defina que es un conjunto. 2. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A = { x N / x - 1 5 }_____________________________________________________________________________

B = { x Z / - 2 x 3 }___________________________________________________________________________

C = { x / x es un pronombre personal en Inglés }._________________________________________________________

D = 2 1/ , 3 5x x N x ___________________________________________________________________

E = 2

2/ , 2 5

1x Z x

x

_________________________________________________________________

3. Define la intersección entre conjuntos.

4. ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

5. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

6. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

7. Obtener la diferencia A-B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}


NOMBRE DEL ALUMNO


8. Dados los siguientes conjuntos, encuentre la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }

A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }

a) A B b) (A B)´ c) (D E) – A

d) B C e) A´ f) B´

g) E´ D h) B E i) B E

j) A C k) ( B C)´ l) ( C D )´

m) ( A D )´ n) ( E C )´

9. Relaciones las columnas correctamente si se tiene que:

U = x | x es un digito

A = x U | 0 < x < 6 B = x U | 0 < x < 9 y x es par C = x U | 7 x 9

( ) A B a) 6, 8

( ) AC b) 8

( ) A B c) ( ) B C d) 7, 9

( ) A C e) 7, 8 , 9

( ) B C f) 1 , 2, 3, 4 , 5, 6, 8

( ) A – B g) 1, 3, 5

( ) B – C h) 1, 2 , 3, 4, 5

( ) C C i) 2, 4, 6, 8

( ) A – C j) 0, 6, 7, 8, 9

( ) B – A k) 1, 3, 5, 7, 9

( ) C – B l) 0, 1, 3, 5, 7, 9

( ) C – A m) 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6

( ) ( A B) C n) 2, 4

( ) ( A c) B o) 2, 4, 6, 7, 8, 9

( ) ( A B) C p) 2, 4, 6

( ) A C q) 1, 3, 5, 7

( ) B C r) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9

s) 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9


NOMBRE DEL ALUMNO


Conjuntos Numéricos

Elabore un mapa conceptual de los números reales

Clasificación de los números (1 hora) En la siguiente tabla marque con una palomita a que conjunto pertenece cada uno de los números, en los últimos renglones escriba

cinco números cualesquiera y clasifíquelos.

Número N Z Q I R C

-2/5

0

3 + 5i

2

– 5

10/2

7.345

1.3333…

/5

7

2. Decide si los siguientes números son racionales o irracionales:

-5,

0,

/2,

16 ,

7/3,

2,313131….,

15 ,

1,01001000100001… ,

-4/5,

4,65


NOMBRE DEL ALUMNO


1.- Indica qué tipo de números reales (naturales, enteros, racionales o irracionales) utilizarías en cada uno de los

siguientes casos.

a) Número de cabras en un rebaño.

Un número______________________

b) Perímetro de la rueda de un autobús en

función de su diámetro.

Un número_______________________

c) Peso de una caja de naranjas en una

báscula.

Un número_______________________

d) Diagonal de un cuadrado que tiene por

lado 5 cm.

Un número_______________________

e) Año en el que tuvo lugar cierto

acontecimiento histórico.

Un número_______________________

Orden (30 minutos)

1. Enuncia la propiedad de tricotomía de los números reales

2. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros.

a) -4; -10; 0; 5; -120; 403

b) 6; 4; 12; -9; 0; 8; -20

c) 12,075 ; 12,068 ; 12,9 ; 12,098 ; 12,009 ; 11,99 ; 12,1974 ; 13,01

d) 2/3, 4/5, 20/30, 1/2, 3/4, 1

3) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:

0 1

a) 8

7 ;

8

1 ;

8

5 ;

8

2 ;

8

8

0 1

b) 15

7;

15

5;

15

2;

15

11;

15

15

0 1

c) 10

1;10

7;

10

0 ;

10

6;

10

4

4) Di que Fracción representa cada una de las letras:

0 1 0 1

a)

A B C D E A B C D E

4) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:


NOMBRE DEL ALUMNO


5

3

6

5

3

7

12

1

5) Di que Fracción representa cada una de las letras:

0 1 A=___ B=___

a)

A B

0 1 A=____B=____C=____D=_____E=_______

b)

A B C D E

6) Represente gráficamente las fracciones:

a)4

17 b)

9

4 c)5 ½ d)

15

13

Conversión de decimales a fracciones y viceversa (1 hora)

1. Cambia los números racionales a decimales mediante una división.

1) 7/8

2) 9/3 3) 7/10 4) -11/3

5) 5/4

6) 8/9 7) -103/11 8) 221/14


NOMBRE DEL ALUMNO


2. Escribe en forma de fracción las expresiones siguientes, utiliza los espacios en blanco para justificar tus respuestas:

1) 2.0

2) 214,8 3) 32,2

4) 0,75

5) 24,0 6) 5300,0

7) 1,36

8) 3,1 9) 50,2

10) 36,1

11) 0.123123… 12) 3.216929292..

Números Reales y la Recta Real (20 minutos)

1. Indica el número que corresponde a cada letra.

2. Aproxima en la recta numérica los siguientes elementos de Q: a) 0.25, b) 1.3, c) 12/3, d) 6.5, e) -20/4, f) -10/10.

3. Identifique los números marcados en la recta numérica


NOMBRE DEL ALUMNO


Examen rápido. Selecciona la respuesta correcta

1. ¿Cuál de los símbolos representa al conjunto de los números racionales ? A) Z B) N C) Q D) I

2. Un número decimal infinito que no tiene parte periódica, pertenece a: A) Z B) N C) Q D) I

3. Es un conjunto que además contiene a los naturales, es: A) Z B) N C) Q D) I

4. Es un conjunto que contiene a los naturales y enteros, es: A) Z B) N C) Q D) I

5. El número (3,14159....) es representado por: A) ε B) ϕ C) e D) π

6. El siguiente número (0,363636....) es un: A) Z B) N C) Q D) I

7. Un número es racional, cuando: A) la parte decimal no tiene parte periódica B) la parte decimal tiene parte periódica C) Tiene solo decimales D) No tiene raíz exacta

8. Los conjuntos que conforman el conjunto de los números Reales, son: A) N,Z,Q e I B) Z,Q e I C) N,Z,Q D) Q e I

9. La unión de los conjuntos Q e I resulta: A) Q B) I C) Z D) R

10. Toda fracción es una : A) división B) Relación C) Todas D) Razón

11. Un número irracional A) no se puede expresar como cociente de dos enteros B) es periódico C) es una solución de la ecuación x2=4 D) no es un número real

12. Determine una característica de los números irracionales A) tienen una expansión decimal infinita periódica B) tienen una expansión decimal infinita no periódica C) tienen números enteros D) tienen una expansión decimal finita

13. Si se toma el conjunto de números racionales y se une con el conjunto de números irracionales se forma A) conjunto vacío B) el conjunto de números racionales C) el conjunto de números de enteros D) el conjunto de números reales

14. Si se toma el conjunto de números racionales y se intersecta con el conjunto de números irracionales se forma A) conjunto vacío B) el conjunto de números racionales C) el conjunto de números de enteros D) el conjunto de números reales

15. El siguiente número 33/8 es? A) entero B) racional C) irracional D) natural

16. El siguiente número 84/9 es? A) Z B) N C) Q D) I

17. El siguiente número 13/7 es? A) Z B) N C) Q D) I

18. El siguiente número -√144 es? A) Z B) N C) Q D) I

19. La siguiente preposición Q U ll= R es? A) falso B) verdadera

20. La preposición N C Z C Q C R es? A) falso B) verdadera

21. La preposición N C Z C Q C ll es? A) falso B) verdadera

22. El siguiente número √81/3 es ? A) Z B) N C) Q D) I

23. Se puede garantizar que todo número natural, entero, racinal, irracional es real? A) verdadero B) falso

24. La siguiente preposición Q ∩ ll=R es? A) falso B) verdadera


NOMBRE DEL ALUMNO


Propiedades de campo (2 horas)

En los ejercicios del 1 al 34 , cada proposición ilustra el uso de las propiedades de los números reales. Indicar cuál se aplica: 1. 5 + 2x = 2x + 5 2. x + ym = x + my 3. 7(3m) = (7 * 3)m 4. (2w + 8) + 3 = 2w + (8 + 3) 5. x(y + z ) = xy + xz 6. 5(u + v) = 5u + 5v 7. -(-12) = 12 8. 3xyz + 0 = 3xyz 9. (7 + 12)x = 7x + 12x 10. 8m + 5m = (8 + 5)m 11. 4uv + 7uv = (4 + 7)uv 12. 7x + 7y = 7(x + y) 13. (3x + 5) + 7 = 7 + (3x + 5) 14. (mn)p = p (mn)

15. Si ab = 0 , ¿tienen que ser 0 a o b?

16. Si ab = 1 , ¿tienen que ser 1 a o b?

17. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: (A) Todos los números naturales son enteros. (B) Todos los números reales son irracionales. (C) Todos los números racionales son reales.

1) Relaciona las siguientes columnas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(6x3)2=6(3x2)

2(3+8) =( 2x3)+(2x8)

7+0=7

9+3 = 3+9

6x1=6

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Axioma de distributividad

Axioma de asociatividad

Axioma de conmutatividad

Axioma de existencia del inverso o recíproco

Axioma de elemento neutro aditivo

Axioma de identidad para el producto

2) Frente a cada expresión escribe la propiedad de los números reales por la cual la proporción indicada es verdadera:

a) 6 + 9 = 9 + 6

b) 9 + 0 = 9

c) 6 + ( 5 + 3 ) = ( 6 + 5 ) + 3

d) 16 (0) = 0

e)

3) Escribe el recíproco de -96, -9,

4) Escribe el inverso aditivo de -96, -9,

Escriba la diferencia entre un inverso aditivo, recíproco e inverso multiplicativo.

18

18

10

10

14

14


NOMBRE DEL ALUMNO


6) Diga si los enteros forma un campo ordenado, justifique.

7) Mencione tres subconjuntos de los reales que no forman un campo ordenado. Justifique.

¿Qué es un número primo y qué es un número compuesto? Escriba los 20 primero números primos.

Escriba los criterios de divisibilidad para 2, 3, 5 7 y 11.

¿Qué es Máximo común divisor? ¿Cómo se obtiene? ¿Qué es Mínimo común múltiplo? ¿cómo se obtiene?

Descompón en factores primos:

a) 24 b) 16 c) 248 d) 12 e) 36 f) 450


NOMBRE DEL ALUMNO


a) m.c.m. (20, 24, 36) = 360 b) M.C.D. (48, 72, 84) = 12 c) m.c.m. (30, 60, 90)= 180 d) M.C.D. (8, 16, 24)=8

Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud

posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo? M.C.D. (96, 120, 144) = 23 3 = 24 cm debe medir cada

trozo.

Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato

y las de la rana? m.c.m. (60, 90) =180 cm. Coinciden cada 180 cm.

Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos. A las 20 h 15 m se encienden simultáneamente. ¿a qué

hora vuelven a encenderse juntos? ( a las 20 h 21 m 18 s)

El nùmero de pollos de un criadero es menor que 1000. Si los agrupamos de a cinco, de a seis, de a nueve o de a once, siempre sobra

uno. ¿Cuàntos pollos hay en el criadero?. (Hay 991 pollos en total.)


NOMBRE DEL ALUMNO


Operaciones básicas – Jerarquía de las operaciones (12 horas)

Mencione la jerarquía de las operaciones.

I. Sin utilizar calculadora resuelva las siguientes operaciones con números enteros:

1) 8 ( 3)

2) 6 5

3) 8 ( 4)

4) 4 ( 3 6)

5) 6 (4 8)

6) 12 (5 3)

7) 3 ( 5) 8 ( 3)

8) 6 ( 5 8) ( 3)

9) 5 ( 3 2) 5

10) ( 3) ( 3) ( 3)

11) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

12) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

16) 5(3 1) : 2 6

17) 7 2 (8 3) (5 2)

18) (4 3) (5 2) (7 3)

19) 3 4 (3 6) (8 5)

20) 3 (8 6) (5 4)

21) (8 4) 3 (4 6) 2


NOMBRE DEL ALUMNO


13) (5 4) (2 4) (14 6) (7 8)

14) (8 3) (6 3) (12 4)

15) 2 ( 5) (7 3 12) 2

5 14 2 3 11 5 15 2 14 : 7 }

22) (7 8) (4 3) 2

23) 2 5 6: 2 4 3

24) 13 5 8 3 2 14 (2 3)


NOMBRE DEL ALUMNO


¿Qué es un número racional?

Describe los tipos de fracciones que conozcas.

1) Completa la Tabla

Expresión Matemática Lectura Partes en que se divide

el entero Partes que se toman

¾

Quince Medios

Veinte

Siete

Cinco Quintos

13

1

2

1

Nueve Cienavos

Doce

Tres

Siete séptimos

17

4

2) ¿Qué fracción del cuadrado Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?

Parte 1 = ______ Parte 2= ______

Parte 3 = ______ Parte 4= ______

Parte 5 = ______

3) Para cada una de las frases, escribe la fracción que las representa:

a) Tres de cada diez caramelos son de menta = __________

1

2 3

5 4


NOMBRE DEL ALUMNO


b) En un curso de 1º Medio hay 3 niñas por cada 40 varones = __________

c) El 15 por ciento de una cantidad = __________

d) En un jardín por cada 5 rosales hay 3 jazmines = __________

e) En la biblioteca por cada 3 libros de lectura hay 4 de consulta = __________

4) ¿Qué fracción del rectángulo Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?

Parte 1=……………. Parte 2=…………….

Parte 3=……………. Parte 4=……………. Parte 5=……………

II) Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

a) 6

1,

6

4,

6

11,

6

13 b)

8

1, -

8

17,

8

13, -

8

3

c) 5

2,

3

4,

2

1,

15

12 d)

3

1,

6

1,

9

1,

18

11

III) Completa el término faltante de tal forma que las fracciones sean equivalentes:

a) 5

4=

15 b)

3

2=

20

c) 36

= 6

1 d)

16 =

9

1

4) Simplifica las siguientes fracciones:

a) 720

480 b)

245

560

1

2

3

4

5


NOMBRE DEL ALUMNO


II. Resuelve los siguientes ejercicios.

a)5

2+

6

1= b)

4

9+

5

3= d)

8

7+

4

6=

c) 9

4 -

9

2 d)

3

2 -

4

1 = f) 1

2

1 -

4

3 =

d) 9

4•

24

36 g)

14

72 21

9

h) 4

1 •

2

1 •

36

24

a)45

24:

8

9= b) -

45

100 :

90

20 =

e) -2 ½ : 4 ¼ =

Operaciones Mixtas

2

11

3

2

2

1

5

2

3

4

4

1

6

13

24

15

4

2

3

6

7

2

1

10

2

5

3

6

3

1

4

3

2

131


NOMBRE DEL ALUMNO


6

7

3

2

2

15

4

1

3

12

6

7

3

2

2

15

4

1

3

12

3

57

3

17

4

3

10

7

4

3

10

3

3 5 2:

5 3 3

2 6 3 3: :

12 4 4 2

3 12 13 4:

10 4 9 8

3

2

3

11

3

2

33

22

1

4

31

)

k

2

114

4

15


NOMBRE DEL ALUMNO


4:3

1

2

1

2

1:

4

31

5

2·3

)

o

1 3 12 · 1

3 4 2

5 2: ( 2 )

6 3

3

10

5

2

5

25

3

4

8

7

4

3

2

1

4

2

1

2

1

2

3

15

2

8

55

2

1

4

34


NOMBRE DEL ALUMNO


III. Resuelve los siguientes ejercicios sin utilizar calculadora.

1. De una pieza de tela de 60 metros. un comerciante vende 2/5 de ella y después ¾ del resto. ¿Cuántos metros de tela le

quedan?

2. Un padre deja al mayor de sus hijos ¼ de su fortuna, al segundo 2/5 y al tercero $140,000.00 que restan. Calcula el

monto total de la herencia.

3. José Luís gana $ 12,000.00 mensuales. Si el monto de sus gastos mensuales es de 4/5 de su salario. ¿cuánto ahorra en

un año?

4. El costo unitario de una cerradura es de $ 60.00 .Si se desea que la ganancia sea de 2/5 de su precio de compra. ¿Cuál

debe ser su precio de venta?

5. En una finca de 500 hectáreas se cultivan 3/20, se alquilan 1/10 y el resto se piensa vender a $ 5000.00 la hectárea.

Determina el resultado de la venta.

6. Un vestido cuesta $ 5 430 más el 15% de IVA. Determina el costo del vestido.

7. En un grupo de 1500 alumnos, reprobó el 12%, determina el número de alumnos que aprobaron.

8. Calcula el sueldo de un empleado si después de descontarle el 14% de su sueldo por impuestos recibe $3 680.00.

9. En alumno tiene 80 en el primer parcial, 92 en el segundo parcial, 75 en el tercer parcial, 45 en el examen final. Para

determinar la calificación definitiva se considera el promedio de los parciales como un 60% y el examen final como un

40%, ¿cuál es la calificación del alumno?

10. Un cliente en un banco retira el 25% de sus ahorros, recibe $25,500.00, determina su saldo anterior.


NOMBRE DEL ALUMNO


ARITMÉTICA 1. ¿Cuál es el resultado de la operación 12 + 9 – 14 – 8 + 5? A) 26 B) 22 C) 4 D) – 4 E) – 22 2. En la siguiente expresión: 3 – 18 x 3 + 42 ¿cuál es el resultado correcto? A) –35 B) – 29 C) 29 D) 35 E) 2401 3. El resultado de – 5(– 6)2 es igual a: A) 900 B) 180 C) 30 D) – 180 E) –900 4. En el grupo de Karlita se les pidió resolver la expresión: 10 + 4 x 3 / 6 – 80 + 2 – 33 ¿Cuál es la solución? 5. Al sumar mil nueve, trescientos mil quince, sesenta mil cien y cuarenta mil ochocientos cincuenta, ¿cuánto resulta? A) 41 974 B) 131 974 C) 347 974 D) 401 974 E) 410 974 6. Iván y Ernesto juegan canicas, Iván tiene el triple de canicas que Ernesto, en la primer jugada Iván pierde la mitad de sus canicas y Ernesto lo supera por cuatro, en la segunda jugada Ernesto pierde dos. Si al final de la segunda jugada los dos tienen el mismo número de canicas, ¿cuál es el número de canicas que tenía cada uno al principio del juego? A) 2 y 6 B) 3 y 9 C) 4 y 12 D) 5 y 15 E) 6 y 18 9. Si a 3 le restamos 22/9 el resultado es: A) 5/27 B) 5/9 C) 4/27 D) 4/9 E) 2/3

10. 4/9-8/9+6/9+10/9-14/9-18/9-1/9

11. 14

3

8

1

7

2

12.

4

3

6

2

3

1:

3

4

13. 5

1

5

2

2

1

4

3


NOMBRE DEL ALUMNO


Unidad III: Introducción al álgebra (37 horas)

Lenguaje algebraico

I. Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

1. 2

ba

2. 2

ba

3. 2

ab

4. 0; bb

a

5. 12 n

6. 55 nn

7. 210n

8. 31n

9. 84 n

10. 65 2 nn

11. 5232n

12. 11

3

2

x

x

13. 3,3

12

n

n

n

14. 915 x

15. 125 x


NOMBRE DEL ALUMNO


16. 625

x

17. baba

18. 120242 xxx

19. 4523 xxx

20. 01272 xx

21. 23 2 nn

22. 325

8 2

xxx

23. 22 ba

24. 2

3a

25. 2ba

26. 3 abc

27. 3

cba

28. baba

29. 2ba

II. Transformar en expresiones algebraicas los siguientes enunciados verbales:

a) El doble de un número más su cubo

b) El cuadrado de un número entre el triple de otro

c) El cubo de la mitad de la diferencia de dos números

d) El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo

e) La raíz cuadrada del producto de dos números

f) El producto de dos números consecutivos


NOMBRE DEL ALUMNO


g) La suma de dos números

h) La semisuma de dos números

i) La tercera parte de un número

j) La suma de dos números por su diferencia

III. Relaciona las columnas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

El doble de un número, menos el cubo de otro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . .

La suma de dos números cualesquiera. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El triple de la diferencia de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El cuadrado de un número, menos el cubo del mismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El triple del cuadrado de un número cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El doble de un número aumentado en seis unidades, es igual a veinte. . . . . . .

El triple del producto de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El cociente de dos números cualesquiera, disminuido en dos unidades. . . . . .

El cubo de la suma de dos números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dos números consecutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a) 32 aa

b) 23a

c) x+ y

d) 32 ba

e) 2a+6=20

d) 3(m - n)

g) 3xy

h) 2b

a

i) 3ba

j)x, x+1

k) 2 a-b3 =20

IV. Indica las expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes enunciados, utilizando una sola letra (x):

a) El siguiente de un número, más tres unidades.

b) El anterior de un número, menos doce unidades.

c) El doble de un número más su mitad.

d) El triple de un número, menos su cuarta parte.

e) La tercera parte de un número, más el doble de dicho número.

f) La mitad del siguiente de un número, menos cuatro unidades.

g) La quinta parte del triple de un número, más dieciocho unidades.

V. El número x es un número entero. Escribe frases equivalentes a las siguientes expresiones algebraicas:

a) x + 1

b) x - 1

c) 2 ·x + x : 2

d) x : 3 + 2 ·x

e) (x + 1) : 2

f) (3x) : 5

Evaluación de expresiones algebraicas

EL PESO IDEAL En algunos países se tiene la siguiente formula para calcular el peso ideal: “ Se mide la altura de la

persona, la altura se escribe en centímetros, a esa cantidad se le resta 100. Este resultado es el peso ideal de la persona”

a) ¿Cuál sería tu peso según esta formula?

b) ¿Cuál es la diferencia entre tu peso ideal y tu peso real?

c) Si tu sabes que la mamá de una amiga pesa 75 Kg. y mide 1.54 metros ¿Qué piensas de su peso? Coméntalo.


NOMBRE DEL ALUMNO


d) Averigua cómo se calcula el peso ideal en México. VI. Rellena la siguiente tabla:

Expresión algebraica x y z Expresión numérica

3x + 2y + z 5 12.5 2

x2 + y - z 52 +7 – 9 = 23

4 3 7 4 · 32 – 7 = 29

x · (y2 – z) 2’5 3 7

x : 2 + y : 3 – z 11 : 2 + 12 : 3 – 9 = 0’5

5 10 3 52 + 102 = 125

VII. Calcula el valor numérico de la expresión:

a) 2x + 1, para x = 1

b) 2x2 – 3x + 2, para x = –1

c) x3 + x2 + x + 2, para x = –2

d) 2x2 – 5x + 1, para x = ½

VIII. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas:

a) 2 · x – 3, para x = 7

b) 2 · (x – 3), para x = 7

c) x + 2 · y, para x = 5,5 e y = –11,3

d) a · x + b : y, para a = 4, b = –6, x = 3,6 e y = 0,5

53,2:52

)

5152) 3

cbaparaa

cabc

yxparaxyxa


NOMBRE DEL ALUMNO


Actividad grupal (en clase)

Indicaciones generales: Dividir al grupo en equipo de cinco personas. Cada equipo debe contar con tres dados de

distintos colores (se les debe de pedir en la clase anterior)

a) Cada uno de los dos dados, recibirá un nombre, uno se llamara “signo”, otro “X”, y el otro “Y”,

b) el primer dado al lanzarse dará el signo de cada uno de los valores de x o de y, si es par será positivo, si es impar será

negativo

c) dependiendo de los valores que se vayan obteniendo al lanzar los dados, iras reemplazando en cada una de las

expresiones o términos algebraicos.

d) Cada alumno del equipo lanzara los tres dados por lo menos una vez, después cada alumno realizará sus operaciones en

su cuaderno y al terminar compararán con sus compañeros sus resultados.

e) El equipo ganador obtendrá un punto en el parcial. (hay que entregar las operaciones en su cuaderno)

Expresión o término

Cara del dado X

(incluyendo signo)

Cara del dado Y

(incluyendo signo)

Termino o expresión

evaluada

2

x

3

y

x

y

4

2

6

yx

4

x

2

y

2

y

y

x3

4

x6

3

x2

2y

25 y

x

3

y

2

3

x

4

yx22y2x

yx

y3x2


NOMBRE DEL ALUMNO


Examen rápido de lenguaje algebraico.

1. Completa la tabla escribiendo la expresión algebraica que represente a la situación señalada. (5 Pts)

Si la edad de Paulina es (P).

Situación En lenguaje Algebraico

La edad que tenía hace 9 años atrás

La edad que tendrá dentro de 6 años.

Los años que faltan para que cumpla 83 años.

Los años que tendrá cuando cumpla el doble de años.

La edad que tenía hace x años atrás

2. Escribe la expresión algebraica que indique el perímetro y área de los siguientes gráficos.

GRÁFICO PERÍMETRO ÁREA

a)

m

n

b)

3x

c)

4y 6

y

4. Une cada enunciado con la expresión algebraica que le corresponde.

La diferencia de dos números pares es igual a 72 72

37

x

La suma de un número más su doble es igual a 72 72 yx

La suma de la tercera parte de un número y 7 es 72. xx 2725

La diferencia del quíntuplo de un número y 72 es el doble del número. 722 xx

722y -2x

4. Escribe una expresión algebraica a partir del enunciado

ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

a. El quinto de un número aumentado en cuatro es igual al mismo número.

b. El doble de un número más su mitad

c. El cuadrado de un número más el cuadrado de otro número.

d. Se compra “x” libros a “y” soles cada uno. ¿Cuál es el importe de la

compra?


NOMBRE DEL ALUMNO


Exponentes enteros positivos y sus leyes

I. Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 5,9ª2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6

54

3

3kh

abc

4

2xy

– 8ª4c2d3

a4

3

3

4

1abr

3

kh3 52

-8b3c2d3

2

2xy

II. Determina el grado y clasifica según el número de términos. Recuerda que todos son polinomios

Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos

2x – 5y3 1; 3 = 3 2: binomio

4

32 yx

a – b + c – 2d

M2 + mn + n2

x + y2 + z3 – xy2z3

7x2y + xy

2

cba

4

hcb432

½


NOMBRE DEL ALUMNO


III. Escribe las leyes de los exponentes.

1. Observa los ejemplos y escribe como se leen las siguientes potencias.

71 : siete a la uno. 81 :

32 : tres al cuadrado. 42 :

53 : cinco al cubo. 103 :

84 : ocho a la cuarta. 94 :

65 : seis a la quinta. 75 :

916 : nueve a la decimosexta. 617 :

1428 : catorce a la vigésimo octava. 1836 :

2. Observa los ejemplos e indica cuáles son los términos de las potencias siguientes.

32 : La base es 3 y el exponente es 2. 57 : La base es …. y el exponente es …..

84 : La base es …. y el exponente es …. 136 : La base es …. y el exponente es …..

75 : La …...…. es 7 y el ……………. es 5. 120 : La ………… es 12 y el …...……. es 0.

49 : ………………………………………... 27 : ………………………………………...

IV. Calcula el valor de cada potencia, utiliza las leyes de los exponentes y no uses calculadora. 1) 42 = 2) (-4)2 = 3) -42 = 4) (⅜)2 = 5) 52 = 6) (⅔) -2 =

c) b) a)

322

3

2

4

1

4

1

f) e) d)

533

2

3

5

1

3

2

IV. Simplifica los siguientes ejercicios utilizando las leyes de los exponentes.


NOMBRE DEL ALUMNO


2) 33 * 32 3) 20 * 2 * 22 * 23 4) 82 * 81 * 83

5) 122 * 123 6) 43 * 43 * 41 7) 105 * 102 * 103

8) 23 * 25 9) 42 * 43 * 44 10) 62 * 63

a) 510 : 53 513 : 53 621 : 63

b) 912 · 93 518 : 53 617 : 66

v. Simplifique en Factores primos.

1) (51)2 2) (34)2 3) (22)3 4) (82)1

5) (122)3 6) (43)3 7) (105)2 8) (23)5

9) (42)4 10) (62)3 11) (95)3 12) (43)5

13) (152)2 14) (54)3

g) 3722552

722322

3·2·)2·3·()3·2(

3·2·3·)2·()3( i)

44

3232

2·5·)5·3(

2·5·2·3·5·2

h) 2234

2245

2·5·3·2·)3·7(

7·7·3·2·3·7 j)

338

5242

3·4·4·4·3

4·3·4·16·4


NOMBRE DEL ALUMNO


a) 22 53 xx 55 46 xx 23 xx 74 64 xx

b) 5 37 5x x 75 6)3( xx 479 x 33 )2()11( xx

a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = c) 33

34

8

32

yx

yx

d) 4 6 2

3 2

125

50

a b c

a b c e) (3a4b2c3)2·(2a2b5c)3= f) (4a2b1)3·(3a1b2)2 =

g) abab

baba23

7532

)( q)

pqpraq

pqrqp23

3532

)()(

)( s) qp

pq

p

q

qp·

52

32

12)

3 22 2 5 6 5

2 3 3

2x (yz) a b c:

3a b (xyz)

19)

22443

322523

)()(

)()(

baab

baba

20) 4 5 4 1 3 4 2

2 4 1 3 3 2 2

a b c p xy z q

x y z q a bc p 22)

5 52 2 2

2 2 2

12 14:

7 4

a b x y

xy a b

a. 36aa b. aa5

c. 23p2

d. 2

x3 e. 23 22 f. 65p


NOMBRE DEL ALUMNO


g.

3232

x5x3 h.

423mn i. 632

xxx

1. 32

a6:a3 2. 243 kk

3.

4

2222 y9:y3y

4. cba50

cba125

23

264

5. 33

34

yx8

yx32 6.

ab)ab(

baba

23

7532

7.

pq)pr()aq(

)pq(rqp

23

3532

8.

qp

pq

p

q

qp·

52

32

9.

22443

322523

)ba()ab(

)ba()ba(

10.

22423

422243

)()(

)()(

yxxy

yxyx


NOMBRE DEL ALUMNO


Examen rápido de Leyes de los exponentes

Opera y simplifica :

5

73

32

5

63

22

18211630725

.

.)

.

.)

.

.)

)))

yx

yxf

yx

yxe

yx

yxd

xxxcxxxbxxxa

f) [ ( a3 )2 ( a2 )5 ]3

Reduce y expresa como potencia de un solo número :

2

332

3

3

4

2

322

8

12)

125

5)

4

2)

9

3)

4

16)8.2)

fed

cba

g) Simplificar :

a) 34

47

.

.

ba

ba = b)

4245

64237

10

10

myz

zym

c) 54.6

7458

..3

...33

cab

cba = d)

245

6437

...10

...10

ymz

zym


NOMBRE DEL ALUMNO


Polinomios

Términos semejantes (Suma y/o resta de polinomios)

I. Simplifica los términos semejantes, diga el grado del polinomio y ordene alfabéticamente.

1) aa 68

2) abab 159

3) bb 77

4) xyxy 3214

5) yxyx 22 3225

6) yxyx 33 5140

7) nmnm 22 6

8) baba 22

12

5

6

5

9) yxyx 22

14

9

7

4

10) amam5

3

1) 7a - 9b + 6a - 4b =

2) a + b – c – b – c + 2c – a =

3) 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y =

4) – 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11 =

5) – a + b + 2b – 2c + 3a + 2c – 3b =

a) –x2 + x + x2 + x3 + x

2) 8x -3x+7x= 3) 3x +9y –2x –6y=

4) a + 2a + 9a 5) m2 – 2m2 – 7m2

6) 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 7) x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz

8) 2x – 6y – 2x – 3y – 5y 9) a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4

10) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = 11) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =

12) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 13) 1 + x + xy – 2 + 2x – 3xy – 3 + 2xy – 3x

14) 4

m

3

m2

2

mm 15)

4

a

3

a

2

a


NOMBRE DEL ALUMNO


16) q

2

3p7q

4

3p2

17) 5

6

2

3

3

2

5

2222baababba

18) 222

m2mn2mn3

1m

10

1mn2m

5

3

19) t

4

1ts

3

5s

3

1s

3

2t

4

3s

3

11

20) mn

3

8nm

10

3nm

2

3mn

3

2nm

5

1 222

21) 6y

4

1xy

5

1yx

5

2y

5

3xy

8

331yx

5

2 322322


NOMBRE DEL ALUMNO


Uso de paréntesis

I. Elimine los paréntesis y simplifique los términos semejantes.

1) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=

2. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =

3. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =

4. (2 3 5 ) (5 4 2 ) (7 )a b ab a b ab a b ab

5. 2 2 2 2 2 2

(2 3 5 ) (6 2 3 ) (5 3 4 )x y xy xy xy x y xy xy xy x y

7. yx21yx5y3x2y3x5yx4

8. yxyxzzyx2


NOMBRE DEL ALUMNO


9. - ( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =

10. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =

11. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =

12. 9x + 31

2 y - 9z -

z3z5y9x

3

15z2y

2

1x7

13. 3x + 2y - x – (x – y)


NOMBRE DEL ALUMNO


14. 2m – 3n - -2m + n – (m – n)

15. -(x2 – y2) + 2x2 – 3y2 – (x2 – 2x2 – 3y2)

16. --(a – 2b) – (a + 2b) – (-a – 3b)

17. 3x + 2y - 2x - 3x – (2y – 3x) – 2x - y

18. 15 - (6a3 + 3) – (2a3 – 3b) + 9b

19. 16a + -7 – (4a2 – 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) – 6a


NOMBRE DEL ALUMNO


20. 25x - --(-x – 6) – (-3x – 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x – 3) - 4

21. 2 - --(5x – 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)

22. --(5a + 2) + (3a – 4) – (-a + 1) + (4a – 6)

23. 7a - -2a - -(-(a + 3b) – (-2a + 5b) - (-b + 3a)

Suma y resta de polinomios

I. Dados los polinomios, encuentre lo que se pide

A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones:


NOMBRE DEL ALUMNO


a) A + B =

b) A – C =

c) B – A =

d) A + 2B – 3C

e) C – ( A + B )

F) 2A + 3B – 2C


NOMBRE DEL ALUMNO


II. Suma los siguientes polinomios

1. (3x +2) + (-2x +3) =

2. ( 5x2 + 6x +1) + (-7x +2)=

3. (-4x2 +6x –3 ) + (-7x2 – 4x + 5)=

4. (3x2 + 2x -2) + (-2x2 +5x +5)=

5. (12m2 + 9m -10) + (8m2+ 3m +15)= 6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) +( 5x4 –6x3 +2x –5)=

7. (8a5 –6a3 +6a+5) + (17a5 + 3a3 + 4a -7)= 8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) + (-3d2 +2cd +1)=

9.

222 m2mn2mn

3

1m

10

1mn2m

5

3

10.

ab

7

8a

9

4b

7

5ab7a2ab

5

3b

3

2 2222

11.

28ba410ba1518b5a71y1c1y1x1x1x


NOMBRE DEL ALUMNO


III. Efectuar las siguientes restas de polinomios.

1. (3x +2) - (-2x +3) =

2. ( 5x2 + 6x +1) - (-7x +2)=

3. (-4x2 +6x –3 ) - (-7x2 – 4x + 5)=

4. (3x2 + 2x -2) - (-2x2 +5x +5)=

5. (12m2 + 9m -10) - (8m2+ 3m +15)=

6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) - ( 5x4 –6x3 +2x –5)=

7. (8a5 –6a3 +6a+5) - (17a5 + 3a3 + 4a -7)= 8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) - (-3d2 +2cd +1)=

9.

222 22

3

1

10

12

5

3mmnmnmmnm

10.

abababaabb

7

8

9

4

7

572

5

3

3

2 2222


NOMBRE DEL ALUMNO


Aplicaciones Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura :

9. 10. 11.

x

P = _____________ P = ____________ P = __________

12. 13. 14.

2

1m

2c 2c 2m

2m r m

m

c 2s

P = _________ P = __________ P = _____________

15. 16. 2y

3t 5t m

y

4t

m

a

p

m

a

x

x x

x

a a

b b

a a

m

r

y

y


NOMBRE DEL ALUMNO


Producto de polinomios

1. Realiza las siguientes operaciones, utiliza las leyes de los exponentes:

a) 7 212

3x x

b) 4 723

3x x

c) 2 3

34

z

d) 5 43 6

24 5

y y y

e) 23 4

2 5a a

f) 4 713

2x x x

g) 22 x5x3

h) 55 x4x6

i) 23xx

j) 74 x6x4

k) 5 37 5x x

l) 75x6x)3(

m) 4x79

n) 3 55 1

6 3x x

o) 44x)6(x)5(

p) 53x)12(x4

q) 23x7x)6(

r) 75x

3

5x

5

2

s)

t) 4 64 2

11 3x x

II- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un monomio por un polinomio:

1) 27 3( 4)x x

2)

3) ( 1)m n

4) ( 6 )a c bc

5) 6( 1 )z x

6) 2 ( 12) 4x y

7) 24 ( 2 )y y y

8) 2 (3 1)a a b

9) (1 2 )x x y

10) 2 ( )a b a

11) ( 3 )a ab b

12) 2 2(1 2 )x x y

33x)2(x)11(

11 4( 2 ) 5 7b c b


NOMBRE DEL ALUMNO


III- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un polinomio por un polinomio:

1) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =

2) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =

3) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =

4) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =

5) 4(a + 4)(a – 2) =

6) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =


NOMBRE DEL ALUMNO


7) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) = 7a. (x + 4)(x + 3)(x + 2)=

8) (7a – 2b) – [2(3a - c) – 3(2b - 3c)] =

9) 2 – x[7x – {9x – 3(3 + 6x)}] =

10) (2a – b)[5b – 4(a + 2b) + (a - 4b)] =

11) 44x + 2y{48y – 4x2(6z + 3y – 4x) + 4z} – 2x2y{4x – 8y + 2z(4x + y)} =

12)

ba

3

4ab

8

9ba

3

2 322 14.

32222 a

4

1b3ba

5

2ab3ab

8

3


NOMBRE DEL ALUMNO


Examen rápido de polinomios

Identifica el coeficiente y la parte literal en los siguientes términos y luego escribe en el cuadro:

TÉRMINO

ALGEBRAICO COEFICIENTE PARTE ITERAL

zyx 353

0,0075 42cab

117 73zxy

25 yax

Evalúa 2 x para 4 - x - x

16 - x

23

4

Escribe SI o NO, según corresponde en cada casillero:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA ¿ES UN POLINOMIO?

112 xx

32 52 xx

x

x 4

32,05,0 24 xx

Al simplificar el polinomio 3bc + 5b2c – 15bc – 9b2c el resultado es:

Calcula: a) 4334 532198 xxxxx

Realiza 3x6x75x3x5 32


NOMBRE DEL ALUMNO


Productos Notables

Binomio al cuadrado

Resuelve los siguientes binomios (utiliza la forma corta):

a) 22x b) 2

4x c) 2yx

d) 23x e) 222 x f) 253 x

g) 212 a h) 22ba i) 22ba

j) 252 x k) 27yx l) 242 nm

a. 2( 2 )x y b. 2(2 3)a

c. ( 3b – 4)2 = d. (4 + 5c) 2 =

e. 2y2x3 = f. 22 1ax4 =

g.

2

22

yx

h. 2

2 2a b

i.

23

3xx

j.

2

2 3

3y y

k.

24

2

3m2

l.

22 yz

5

3x

3

2


NOMBRE DEL ALUMNO


Binomios conjugados

Quita paréntesis (utilizando los productos notables):

a) 11 bb b) xx 44 c) 44 mm

d) 1212 xx e) yxyx 3232 f) 2323 zz

g) yxyx 22 h) mnmn 2525 i) zyzy 33

1. (a – 4b) (a + 4b)

2. (m – 6) ( m + 6)

3. (3x + 7) (3x – 7)

4. (2 1) (2 1)x x

5. 2 2( 4) ( 4)x x

6. (3 ) (3 )a b a b

7. 2 2(2 5) (2 5)a a

8. n3m9n3m922

9.

4747 q

5

2p

4

3q

5

2p

4

3

10. y35xy35x

22

11.

4747

5

1

4

1

5

1

4

1qxqx

12.

4242

5

3

4

1

5

3

4

1zyzy


NOMBRE DEL ALUMNO


Binomios con término común

Resuelve los siguientes productos:

1) (x + 1)(x + 2) =

2) (x + 2)(x + 4) =

3) (x + 5)(x – 2) =

4) (m – 6)(m – 5) =

5) (x + 7)(x – 3) =

6) (x + 2)(x – 1) =

7) (x – 3)(x – 1) =

8) (x – 5)(x + 4) =

9) (a – 11)(a + 10) =

10) (n – 19)(n + 10) =

11) (a2 + 5)(a2 – 9) =

12) (x2 – 1)(x2 – 7) =

13) (n2 – 1)(n2 + 20) =

14) (n3 + 3)(n3 – 6) =

15) (x3 + 7)(x3 – 6) =

16) (a4 + 8)(a4 – 1) =

17) (a5 – 2)(a5 + 7) =

18) (a6 + 7)(a6 – 9) =

19) (ab + 5)(ab – 6) =

20) (xy2 – 9)(xy2 + 12)


NOMBRE DEL ALUMNO

MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ

50

Binomios al cubo

a) (x + 2)3 b) (3x - 2)3 c) (2x + 5)3

1) 332 tt

2) 32 v3u2

3)

3

n5

1m

10

1

4)

3

y2x2

1

a) ( 3a + 2b )3= b) ( p + 2 )3 = c) ( 2a - 4 )3 =

d) ( 6m - 3n )3 =

e) ( 4x2 - 3y )3 = f)

3

3

1

2

1ba

g) ( 3x - 1)3 =

h) (a2 + b3)3 = i) (mn2 – m2)3 =


NOMBRE DEL ALUMNO


51

Reduce las siguientes expresiones, aplica productos notables:

a) (x + 5)2 – (x – 5) 2 =

b) (2x + 4)2 – ( 2x + 4) (2x – 4) =

c) (x – 4) (x + 8) + (2x – 4) (2x – 8) =

d) (x – 5) 3 – (x + 5)3 =

e) ( x + y + 3)2 – (x – y – 3 )2 =

F) ( 2x + 3y )2 - ( 1x - 3y )2 =

g) ( x + 2 )2 + ( 2x + 4 )( 2x - 4 ) + ( x + 3 )3 =

h) ( 2a + b + 3c )2 + ( 3a + 2b -c )2 =

i) ( p + q )( p - q ) - 3 ( 2p - q )(2p + q ) + ( p + q ) 2 =


NOMBRE DEL ALUMNO


52

Examen de productos notables

Tiempo de realización: Aciertos:

Resuelve los siguientes productos:

1) (y – 6) (y + 4) = a) y2-10y -24 b) y2-2y +24 c) y2-2y -24 d) y2 + 2y-24

2) (a + 6) (a + 8) = a) a2 + 48 a +48 b) a2 + 48 + 14a c) a2 + 48 a +14 d) a2 + 2 a + 48

3) (2w + 8) (8 + 2w) = a) (16w + 16)2 b) (2w + 8)2 c) 2(w + 4) 2 d) (w + 4)2

4) (x + 5) (x + 1) = a) x2 + 5x + 5 b) x2 + 6x +6 c) x2 + 6x + 5 d) x2 + 5x + 6

5) (xy + n) 2 = a) x2 y2 + n2 b) xy2 + 2xyn + n2 c) x2 y2 + yxn + n2 d) (xy) 2 + 2 xyn + n2

6) (2xy – 5y2)2 = a) 4xy 2 – 20 xy + 25y2 b) 4x2 y 2– 4x y3+ 25y4 c) 4x2 y 2– 20x y3+ 25y4 d) 4x 2y 2 – 25y4

7)

6

4

3

1yy =

a)

18

42y b)

18

4

3

12 yy c)

9

4

6

42 yy d)

9

2

3

12 yy

8) (2t2 – 3r5 )3

Nota: Para esta parte hay unas copias que deben de entregarse al alumno y seleccionar que ejercicios debe hacer

extra para reafirmar su conocimiento, esto si el docente lo considera necesario.


NOMBRE DEL ALUMNO


53

División de polinomios

I. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio.

1.

yx2

yx10x8

2

32

2.

2

42233

ab3

ab3ba9ba6 3.

23

2222543

vu

vuvu2vu3

4.

xyz

yzxyzx6 232

.

5.

32

326688

ba3

baba3ba6

6.

22

32

yx4

x7xy2yx3

7.

2

5232

x3

yx5yx3

8.

2

243

x6

1

x5

1x

4

1x

3

2

9.

3 4

3

1 1

3 41

2

a a

a

II. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un polinomio.

1.

3x

12x7x3xx2

2

234

2.

1x2

4x2x3

2

3

3.

4x3

20x7x62


NOMBRE DEL ALUMNO


54

4.

1aa

1a2aa

2

24

. 5.

3x

15x2x2

6.

4x3

20x7x62

7.

6x2

28x4x22

8.

4x

12x27x14x223

9.

5x2

9x8x11x623

10.

5x

10x73x33

11.

2x

8x3

12.

2x

16x4

13.

3x

9x3

14.

3x2

18x4x232

15.

1x2x

7x9x3x2

2

34


NOMBRE DEL ALUMNO


55

16.

2x6x3

3x8x4x3

2

24

17.

1xx

1xxx

2

259

18.

1xx

1xxx

2

268

… Más divisiones, (puede utilizar división sintética para comprobar, donde sea posible)…

1.

2

5432 23

x

xxx 2.

3

583

x

xx 3.

2

763 25

x

xx

4.

4 24 5 1

2

x x

x

5.

1

3572 23

x

xxx

6.

2

1

12481632 2345

x

xxxxx

24.

1aa

1a2aa

2

24

25. 1nentre1n3n8

25

26.

22

224334

yx6

1

yx2

1yx

3

2yx

3

1

27. x3x4entre36x18x24x6x16x832456 28. 2hentre20h7h3

4


NOMBRE DEL ALUMNO


56

Examen rápido de división

Describa el algoritmo de la división

Resuelve 1:453 23 xxx

Resuelve stoCocientexxxxa Re;1:1532)

223


NOMBRE DEL ALUMNO


57

Factorización

Factor común

Encuentra el factor común de las siguientes expresiones

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab =

4. 10x - 15x2 = 5. 14m2n + 7mn = 6. 8a3 - 6a2 =

7. 3b – 6x 8. 20u2 – 55u = 9. 5x – 5 =

10. b4 – b3 = 11. 6x –12y + 18= 12. 15x + 20y – 30

13. 14c – 21d – 30= 14. 152x2yz – 114xyz2= 15. 25a – 30ab + 15ab2 =

16. ax + bx + cx = 17. 20x - 12xy + 4xz = 18. 3ab + 6ac - 9ad =

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = 20. 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=

21. 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 = 22. 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

23. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 24. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

25. 24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa 26. babaabba

3322

25

16

15

8

5

12

35

4


NOMBRE DEL ALUMNO


58

27. a (x + 1) + b ( x + 1 ) = 28. x2( p + q ) + y2( p + q ) =

29. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) = 30. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

31. a ( a + b ) - b ( a + b ) = 32. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) =

33. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = 34. a (2 + x ) - ( 2 + x ) =

35. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 36. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

37. 1123

babbaa 38. 221314 axnxam

39. cbacbax 22 40. 131 nnyx


NOMBRE DEL ALUMNO


59

Factorización por agrupamiento

Factoriza las siguientes expresiones

1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab + 3a + 2b + 6 =

3. ab - 2a - 5b + 10 = 4. 2ab + 2a - b – 1 =

5. am - bm + an - bn = 6. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

7. 3x2 - 3bx + xy - by = 8. 6ab + 4a - 15b - 10 =

9. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 10. a3 + a2 + a + 1 =

11. ac - a - bc + b + c2 - c =

12. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

13. ax - ay - bx + by - cx + cy =


NOMBRE DEL ALUMNO


60

14. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

15. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

16. z7x5yz3

143xy

3

10xz

4

21x

4

15 2

17. bn5

16bm

5

4am

3

8am

3

2

Factorización de trinomios cuadrados

Expresar como un producto de dos binomios con término común:

1. x2 + 4x + 3 = 2. a2 + 7a + 10 =

3. b2 + 8b + 15 = 4. x2 - x - 2 =

5. r2 - 12r + 27 = 6. s2 - 14s + 33 =

7. h2 - 27h + 50 = 8. y2 - 3y - 4 =

9. x2 + 14xy + 24y2 = 10. m2 + 19m + 48 =

11. x2 + 5x + 4 = 12. x2 - 12x + 35 =

13. x2 + 6x + 8= 14. x2 – 16x + 63

15. x2 + 10x – 56= 16. x2 –13x – 48 =

17. y2 – 7y – 30= 18. x2 – 14x + 48=


NOMBRE DEL ALUMNO


61

19. x2 – 5x – 84= 20. x2 + 7x – 120=

21. tt 62 22. 2452 ww

23. 3072 ff 24. aa 2120 2

25. 33142 mm 26. 4062 kk

27. 56152 pp 28. 54152 ww

29. 6072 zz 30. 60172 aa

31. 300202 yy 32. 1322 xx

33. aa 42432 2 34. 675302 hh

35. 76 36 yy 36. 802 48 yy

37. 1222 xyyx 38. 1542142

ww

39. 4251352

zz 40. 22 152 aaxx

41. 22 214 baba 42. 20510 xx

43. 22 56nmnm 44. 2452

nmnm

45. 992 2244 baba 46. 22 2811 dcdc

47. 65182

dcdc 48. 482 24 yy


NOMBRE DEL ALUMNO


62

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

1. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:

a) x2 + 10x + ......... b) y2 –18y + ...........

c) m2 – ......... + 36n2 d) p2 + ............ + 64p2

e) ......... + 42x + 49 f) .......... – 390y + 225

g) 289z2 + 340 z + ........... h) 64x2 – 80xy + ............

2. Expresar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado de binomio:

1. b2 - 12b + 36 = 2. 25x2 + 70xy + 49y2 =

3. m2 - 2m + 1 = 4. x2 + 10x + 25 =

5. 16m2 - 40mn + 25n2 = 6. 49x2 - 14x + 1 =

7. 36x2 - 84xy + 49y2 = 8. 4a2 + 4a + 1 =

9. 1 + 6ª + 9a2 = 10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 = 14. g2 + 2gh + h2 =

15. 36n2 + 84pn + 49p2 16. 9x2 –12xy + 4y2

17. 225 – 30b + b2 18. p2 – 2pq + q2

19. 3p2 –6pq +3 q2 20. p2 – 14pq +49 q2

21. 8p2 – 16pq +8 q2 22. 81p2 – 18pq + q2


NOMBRE DEL ALUMNO


63

Factorización de trinomios cuadrados con a distinto de uno

1. 5x2 + 11x + 2 = 2. 3a2 + 10ab + 7b2 =

3. 4x2 + 7x + 3 = 4. 4h2 + 5h + 1 =

5. 5 + 7b + 2b2 = 6. 7x2 - 15x + 2 =

7. 5c2 + 11cd + 2d2 = 8. 2x2 + 5x - 12 =

9. 6x2 + 7x - 5 = 10. 6a2 + 23ab - 4b2 =

11. 3m2 - 7m - 20 = 12. 8x2 - 14x + 3 =

13. 5x2 + 3xy - 2y2 = 14. 7p2 + 13p - 2 =


NOMBRE DEL ALUMNO


64

15. 6a2 - 5a - 21 = 16. 2x2 - 17xy + 15y2 =

17. 2a2 - 13a + 15 = 18. 384 2 xx

19. 6112 2 xx 20. 62 2 xx

21. 12163 2 xx 22. 232 2 xx

23. 120 2 aa 24. 15148 2 aa

25. 35447 2 xx 26. 151615 2 mm


NOMBRE DEL ALUMNO


65

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

Factoriza las siguientes expresiones.

1. 9a2 - 25b2 = 2. 16x2 - 100 =

3. 4x2 - 1 = 4. 9p2 - 40q2 =

5. 36m2n2 - 25 = 6. 49x2 - 64t2 =

7. 169m2 - 196 n2 = 8. 121 x2 - 144 k2 =

9. 22 b36

49a

25

9 10. 44 y16

9x

25

1

11. 3x2 - 12 = 12. 5 - 180f2 =

13. 8y2 - 18 = 14. 3x2 - 75y2 =

15. 45m3n - 20mn = 16. 2a5 - 162 a3 =

17. 22 169144 ba 18. 22mwt

19. 12125 102 zx 20. 224169100 ylk

21. 144842 nma 22. 1064291 dcba

23. 1264225196 zyx 24. 1361 16x

25. 8412 289256 mbd 26.

64

4

49

68 xm

27. 2536

82 xa 28. 6

94

1a

29. 22

dcba 30.

2536

82 xa


NOMBRE DEL ALUMNO


66

Factorización de la suma o resta de dos cubos

Factoriza las siguientes expresiones.

1. 64 – x3 =

2. 27m3 + 6n6 =

3. 27

8

8

1 3 x =

4. 8a3b3 + 27 =

5. x6 – y6 =

6.64

13 x =

7. 13a

8. 13

y

9. 13x

10. 18 3m

11. 6427 3x

12. 273x

13. 273a

14. 3327 nm

15. 646x

16. 1253r

17. 32161 m

18. 96 278 ba

19. 126 bv

20. 33 278 mn

21. 27

8

8

1 3 x

23. 1333 xnm

24. 7298 6x

25. 3

8 yx

26. 39 ut

27. 3

8 yx

28. 612 ur

29. 33

32 mz

30. 6391258 zyx


NOMBRE DEL ALUMNO


67

Expresiones racionales simples

Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:

a) b) = c) d) 48

72

25

75

96

32

3

5

2

2

3 2

4 3

a

ab

a b

ab

m n

m n

a b

a b

( )

( )

e) f) = g) h) 4 4

5 5

3 6

5 10

8 7

64 49

2

2 2 2

a b

a b

x y

x y

x xy

xy y

x y

x y

i) j) = k) l) 24 18

44 33

16

8 16

9 30 25

6 10

25

20

2

2

2 2

2

x y

x y

x

x x

x x

x

x

x x

m) n) = ñ) o) 4 4 1

6 3

6 8

7 12

4 12

8 12

64

13 40

2 2

2

2

2

2

2

y y

x

x x

x x

x x

x x

u

u u


NOMBRE DEL ALUMNO


68

p) q) r) s) ( )

( )

a b c

a b c

c

c

x x

x

x x

x x

2 2

2 2

6

2

2

2

2

2

1 64

1 4

7 10

25

2

3 2

t) v) w) x) a

a

m n

n m

y y

y y

x x

x x

2 2 2 2

2

2

2

9

3 3 2 2

12

2 15

5 6

8 15

( )


NOMBRE DEL ALUMNO


69

Efectúa las siguientes operaciones algebraicas

1) 4a2b3 x 7x2 y8 21x2y4 – a3b6

2) 56a4b2 x 9x3y2 27xy4 35a5b2

3) ( 2x ) 3 x ( 9y )2 (– 4y ) 2 ( 3x )4

4) ( 12x y3 ) 3 x ( 9x3 )2 ( 18x2y2) 2 ( 4xy2 )3

5) 6a2b3 15a4 b3 8x2y6 –12x3y6

6) 2x2 + 3x . x2 + 2x – 3 . x2 – x 4x2 + 8x + 3

7) a2 + 7a + 10 . a2 – 9 = a2 – a – 6 a2 + 3a


NOMBRE DEL ALUMNO


70

8) a2 – 81 . a2 + 5 . __ 8ab = 2a2 + 10 4a – 36 ab + 9b 9) a2 – 81 . a + 11 . 2a – 12 . a3 + 5a2

2a2 + 10a a2 – 36 2a + 18 2a + 22

10) 2x2 + 15x + 18 . 12x2 – 23x – 24 . 12x2 – 25x + 12 12x2 – 41x + 24 4x2 + 27x + 18 8x2 + 10x – 3


NOMBRE DEL ALUMNO


71

11) x2 + 4x + 4 x2 + 2x. 3x2 – 12 x3 – 2x2

12) x3 – x 5x2 – 5x x2 + 6x 2x + 6

13) 15x2 + 7x – 2 6x2 + 13x + 6 25x3 – x 10x2 + 17x + 3


NOMBRE DEL ALUMNO


72

14) a2x2 + 5a ax2 + 5 4a2 – 1 2a + 1

Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas

15) 2a – a – 1 + 2 = a + 3 a + 3 a + 3

16) 2a – a + 4 = a + 5 a + 5 a + 5

17) a + x – a = a a – x

18) a + x – a = a + x a – x

19) 2 – 5 + 3 = (2x + 3)(x + 1) ( 2x + 3)(x – 2) (x + 1)(x – 2)


NOMBRE DEL ALUMNO


73

20) 1 – 1 + 1 = 5(1 + a) 10(1 – a2) 5(1 – a)

21) 1 – 1 + 1 =

ax a2 + ax a + x

22) 2 – 5 + 3 = 2x2 + 5x + 3 2x2 – x – 6 x2 – x – 2 23) a – 3 + 2a + 5 – 5a – 2 = 20a + 10 40a + 20 60a + 30


NOMBRE DEL ALUMNO


74

24) 1 – 2 + 1 = x2 + 5x + 6 x2 – 4 x2 + x – 6

Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas complejas

25) 14

2

12

2

x

xx

26) 12

2

12 2

x

x

xy

xy

yx

11

22

27)

ab

aba

ab

aba

1

)(1

1


NOMBRE DEL ALUMNO


75

x + x . 2

28) __________________________________________ =

x – x . 4

x + 1 – 2x . 2 29) __________________________________________ =

1 – 4 – x . 4

a – b . a – b a + b 30) __________________________________________ =

a + b + a . a – b b

a – x x a 31) __________________________________________ =

1 + x . a


NOMBRE DEL ALUMNO


76

a – x x a 32) __________________________________________ =

1 + x . a

x + 3 + 6 . x – 4

33) __________________________________________ =

x + 5 + x . 4

b + 4 – b . 4 + b b 34) __________________________________________ =

4 + b – b . b 4 + b


NOMBRE DEL ALUMNO


77

z 2 – 25 + 3 z – 5 __________ _____________________________

z + 8 35) __________________________________________ =

9 + z 2 – 36 . z – 6 __________ _____________________________

z – 11

81-a

9+a :

9-a

9+6a+a4

2

2

2

= 1)+2)(x+(x

2+x

2+3x+x2

=

5-x

5+x

1-x

x +

1-x

2 -

1+x

32

=

5-xx

5x

1-x

x +

1-x

2 -

1+x

32

4

22

2


NOMBRE DEL ALUMNO


78

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:

1. 5 + 6x = 2

2. 4b + 1 = -18 3. 18c - 3 = 0

4. 5 - 2d = 9

5. - 3f + 1 = 4

6. - 2 - 5g = 0

7. 13 - h = 13

8. 5j - 9 = 3j + 5

9. 2k + 7 = 12 - 3k

10. 10 - 4x = 7 - 6x

11. 5m - 3,2 = 2m + 2,8

29. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n

30. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ – 11

14. 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p

15. q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q

16. 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0


NOMBRE DEL ALUMNO


79

18. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)

19. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)

20. 3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4) 21. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)

22. -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x) 12y = 3(3y - 5)

23. 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4) 24. – 2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3)

25. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0 26. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g – 12


NOMBRE DEL ALUMNO


80

27. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)

28. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2

29. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)

30. 2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10) = 11

31. (t - 3)² - (t - 2)² = 5

32. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1)

33. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w – 2 34. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)

35. 2 - (y + 1)² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y² 36. (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4)


NOMBRE DEL ALUMNO


81

37.

38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.


NOMBRE DEL ALUMNO


82

45.

46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.


NOMBRE DEL ALUMNO


83

Ecuaciones Fraccionarias de primer grado

x6

x731

3

1

x4

9

x3

8

x2

7

x

32

x

11

x

3

2

3

x

5

072

13

x24

1

x12

1

x9

1

x8

1

x14

11

4

1

x

1

x7

8

14

5

x4

3

23x

7

02

5

2x

3

1x

3

1x

2


NOMBRE DEL ALUMNO


84

01x6

x6

1x3

2x3

0

3x

11

3x2

13

0x2

5x2

3x

4x

1

64

9

32

13

x

x

x

x

654

32

x

x

12

13

32

23

x

x

x

x

1

3

2

7

1

4

xxx 0

2

12

x

x


NOMBRE DEL ALUMNO


85

52

4

52

2

254

322

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

4

18

53

4

1

2

1

2

2

3 2 8

4 3 7 12x x x x

, (x=9)

2

1 2 1 2 3 14

1 3 1 3 1 9

x x x

x x x


NOMBRE DEL ALUMNO


86

2

2

2 6 2

3 9 1 3 1

x

x x

2

5 11 13 2

1 4 3 4

x xx x

x x x x

2 2 2

1 1 3

3 3 28 12 35 20x x x x x x


NOMBRE DEL ALUMNO


87

Problemas verbales que involucran ecuaciones lineales

Plantear una ecuación consiste en interpretar, comprender y expresar en una ecuación matemática el enunciado verbal de cualquier problema. Es decir:

Lenguaje verbal (un problema) traducción Lenguaje matemático (ecuaciòn)

Recomendaciones para plantear una ecuación

No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas:

1. Leer y comprender el problema. 2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema. 3. Plantear la ecuación y resolverla. 4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.

Para plantear correctamente una ecuación es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un problema. Veamos a continuación algunos ejemplos de enunciados y su respectiva representación matemática.

Enunciado Representación matemática

Un numero

El doble de un numero

El doble de un numero, aumentado en 5

El doble, de un numero aumentado en 5

El triple de un numero, disminuido en 7

El triple, de un numero disminuido en 7

Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana

Omar tiene el doble que Silvana

Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana

Carlos tiene dos veces mas de lo que tiene Diana

“x” es tres veces “y”

“a” es a “b” como 3 es a 5

“m” y “n” están en la misma razón que 2 y 7

La suma de tres números


NOMBRE DEL ALUMNO


88

La suma de tres números consecutivos

La suma de tres números pares consecutivos

La suma de los cuadrados de tres números

El cuadrado de la suma de tres números

El cubo del doble de un numero

El doble del cubo de un numero

“A” excede a “B” en 4

Tres menos dos veces un numero cualquiera.

Un número par

Tres pares consecutivos

Un número impar

Tres impares consecutivos

Un número múltiplo de cinco

Un número múltiplo de tres


NOMBRE DEL ALUMNO


89

Plantear y resolver los siguientes problemas 1. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo

número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

4. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

5. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.

6. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?

7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. R/51 y 52.

8. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 57. R/18, 19 y 20.


NOMBRE DEL ALUMNO


90

9. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar estos tres números. R/67, 68 y 69.

10. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. R/17, 18, 19 y 20.

11. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 192. R/62, 64 y 66.

12. Hallar tres números enteros consecutivos pares cuya suma sea 486. R/160, 162 y 164.

13. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números? R/32,34 y 36.

14. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.

15. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número? Sol: 18

16. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del menor. ¿De qué número se trata?


NOMBRE DEL ALUMNO


91

17. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número? Sol: el 0 y el 7.

18. El producto de un numero natural por su siguiente es igual a 210. ¿De qué número se trata? Sol:14

19. Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igual que su triple disminuido en tres unidades. Sol: 4

20. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos números? Sol: 46, 47, 48.

21. Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma es igual al cuádruplo del menor.

22. En el triángulo ABC, los lados BCAB 3 y ACBC2

1

. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?

23. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la

fracción queda equivalente a 3

4. Hallar la fracción.

24. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.


NOMBRE DEL ALUMNO


92

25. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.

26. La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.

27. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

28. Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.

29. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

30. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?


NOMBRE DEL ALUMNO


93

31. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

Despejes de variables

Despeja en las siguientes expresiones la incógnita indicada. Lo ideal es que se despeje cada una de las variables

1. La velocidad de un objeto bajo ciertas condiciones está dada por la fórmula; V2 = v0 2 + 2ad donde v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y d es el desplazamiento.

Despeje la aceleración

Despeje el desplazamiento

2. La expresión 𝑺 =𝒂−𝒓𝑳

𝟏−𝒓 aparece en el estudio de las progresiones geométricas. Despeja r y L.

Despeje la r

Despeje L Despeje a


NOMBRE DEL ALUMNO


94

3. La relación entre la temperatura en °C y la temperatura en °F es C = 5/9 C (F - 32). Despeje la variable F.

4. El área de un cilindro está dada por A = 2πr(r + h). Despeja para h.

5. El nivel de energía de un objeto es E = mgh + 1/2mv2.

Despeje la m

Despeje h Despeje v

6. De la formula 2

2at

tvd i que representa la distancia que recorre un móvil:

Despeje la a

Despeje vi


NOMBRE DEL ALUMNO


95

7. De la fórmula 4

32aA

que sirve para calcular el área de de triángulo equilátero. Despeja el lado a-

8. De la formula

21

21·

rr

rrR

que sirve para calcular la resistencia eléctrica total en paralelo.

Despeje la r1

Despeje r2

9. De la fórmula2

21··r

qqKF que en física sirve para calcular la fuerza atracción entre dos cargas,

Despeje la r

Despeje q1 Despeje q2


NOMBRE DEL ALUMNO


96

10. La fórmula que relaciona la capacitancia equivalente (Cs) para capacitadores en serie está dada por: 𝟏

𝑪𝑺=

𝟏

𝑪𝟏+

𝟏

𝑪𝟐+

𝟏

𝑪𝟑 Despejar cada una de las cuatro variables.

11. Despeja todas las variables de S = 2 R H + 2 R 2

13. Despeja todas las variables de 13

3

m

r

hp


NOMBRE DEL ALUMNO


97

Evaluación y acreditación

Sobre la evaluación se señala lo siguiente:

1. La evaluación debe ser continua y se le debe dar un peso para la acreditación al trabajo diario de los alumnos,

como es la participación en clase, tareas y prácticas de laboratorio realizadas, etc.

2. El profesor debe recomendar el uso de los bancos de reactivos de la academia con la finalidad de que el

alumno aplique los conocimientos adquiridos y desarrolle habilidades, aptitudes y destrezas en la resolución

de ejercicios y problemas. Estos reactivos deben ser resueltos por los alumnos fuera del horario de clases.

3. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades,

valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas, honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo

que contribuyan al desarrollo individual y de la sociedad.

En cuanto a la acreditación:

1. La calificación mínima aprobatoria de 6 (seis)

2. La asistencia igual o mayor al 80%, así como el 80% en trabajos entregados, es requisito indispensable para

tener derecho a presentar los exámenes parciales. En relación a las prácticas de laboratorio el alumno debe

cubrir al menos el 80% de las prácticas realizadas durante el curso.

3. Los exámenes parciales se realizan por lo regular dos días después de finalizar la unidad correspondiente.

4. Las dudas generales del curso, se resolverán tanto en clase como en asesorías.

5. Para exentar la materia deberá de tener un promedio numérico mínimo de 8 (ocho) siempre y cuando todos

los parciales estén acreditados.

6. Para presentar el examen final, el alumno deberá de contar con al menos el 80% de asistencias de las sesiones

programadas según el calendario escolar.

7. Un examen con fines de acreditación debe incluir problemas, ejercicios y preguntas teóricas que relacionen

conceptos y aplicaciones.

8. En el caso de trabajos de investigación, se evaluarán los contenidos, la puntualidad de la entrega, la

presentación, la ortografía y la limpieza del mismo.


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Bibliografía

BALDOR, Aurelio; 2007. “Álgebra”. México. Grupo Editorial Patria

DE OTEYZA, Elena; HERNÁNDEZ, Carlos; LAMM, Emma. 1996. Álgebra. México. Ed. Prentice Hall.

GOBRAN, Alfonse; 1990. “Álgebra Elemental”. México. Grupo Editorial Iberoamérica.

KAUFMANN, Jerome; SCHWITTERS Karen. 2000. Álgebra intermedia. México. Ed. Thomson

REES Fred Sparks Paul. 1968. Álgebra. España. Ed. Reverté.

REES Fred Sparks, Paul. 1990. Álgebra. EUA. Ed. Mc. Graw Hill.

RIBNIKOV, K. 1987. Historia de las Matemáticas. Rusia. Editorial Mir Moscú.


NOMBRE DEL ALUMNO


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Me encanta Dios. Es un viejo magnífico que no se toma en serio. A él le gusta jugar y juega,

y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente. Pero esto

sucede porque es un poco cegatón y bastante torpe con las manos.

Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda, o Cristo, o Mahoma, o mi tía Chofi,

para que nos digan que nos portemos bien. Pero esto a él no le preocupa mucho: nos conoce.

Sabe que el pez grande se traga al chico, que la lagartija grande se traga a la pequeña, que el

hombre se traga al hombre. Y por eso inventó la muerte: para que la vida -no tú ni yo- la vida,

sea para siempre.

Ahora los científicos salen con su teoría del Big Bang... Pero ¿qué importa si el universo se

expande interminablemente o se contrae? Esto es asunto sólo para agencias de viajes.

A mí me encanta Dios. Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el tránsito en el

camino de las hormigas. Y es tan juguetón y travieso que el otro día descubrí que ha hecho -

frente al ataque de los antibióticos- ¡bacterias mutantes!

Viejo sabio o niño explorador, cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo y de carne y

hueso, hace campos de flores o pinta el cielo de manera increíble.

Mueve una mano y hace el mar, y mueve la otra y hace el bosque. Y cuando pasa por encima

de nosotros, quedan las nubes, pedazos de su aliento.

Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos, y manda tormentas, caudales de fuego,

vientos desatados, aguas alevosas, castigos y desastres. Pero esto es mentira. Es la tierra que

cambia -y se agita y crece- cuando Dios se aleja.

Dios siempre está de buen humor. Por eso es el preferido de mis padres, el escogido de mis hijos,

el más cercano de mis hermanos, la mujer más amada, el perrito y la pulga, la piedra más

antigua, el pétalo más tierno, el aroma más dulce, la noche insondable, el borboteo de luz, el

manantial que soy.

A mí me gusta, a mí me encanta Dios. Que Dios bendiga a Dios.

Me encanta Dios - Poemas de Jaime Sabines

http://www.poemas-del-alma.com/me-encanta-dios.htm#ixzz3i7otz300

cuaderno de ejercicios de matemáticas i: Álgebra i · 2017 escuela de bachilleres de la...

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