notas de Álgebra i, josé camarillo

Algebra I

Jose Luis Camarillo Nava

Octubre de 2014

Capıtulo 1

Logica, Teorıa de Conjuntos yFunciones

1.1. Logica proposicional

1.2. Teorıa Intuitiva de Conjuntos

La Teorıa de Conjuntos es una rama de las matematicas que estudia laspropiedades que tienen los conjuntos. Tal nocion es una de las mas naturalese importantes en la mente del hombre: es la que le permite percibir que ciertascosas forman una totalidad o coleccion.

Esta hermosa disciplina tiene como una de sus aplicaciones la de fun-damentar el conocimiento matematico. Los matematicos han sido capacesde construir formalmente los objetos y estructuras de interes matematico apartir de ella: numeros, funciones, figuras, entre otros.

La pregunta natural serıa: ¿Como formalizar una Teorıa de Conjuntos?.La situacion es la misma que la de la Geometrıa: no se puede dar una defi-nicion clara de lo que es un punto, una recta o un plano. Tampoco se puededar una definicion clara de lo que es un conjunto; pero se pueden dar unaserie de axiomas que permiten hacer operaciones con estos objetos. Ademas,valga decir que todos tenemos una nocion intuitiva de lo que es un punto,una recta, un conjunto.

Intuitivamente, un conjunto es una coleccion de objetos que tienen unapropiedad que los caracteriza, es decir, que los determina a ellos como losunicos miembros de esa coleccion. A los objetos del conjunto se les llamatambien miembros o elementos.

Usualmente, para escribir las demostraciones sobre algunas leyes que cum-plen, los conjuntos son denotados por letras mayusculas, mientras que sus

3

4 CAPITULO 1. LOGICA, TEORIA DE CONJUNTOS Y FUNCIONES

elementos se les suele denotar por letras minusculas.Otro concepto primitivo (es decir, indefinido) de la Teorıa de Conjuntos

es la nocion de pertenencia. Ası, por ejemplo, si C es un conjunto y x esun elemento, se dice que x pertenece a C si x es un elemento de C. En talcaso, se escribe:

x ∈ C

y la expresion anterior se lee: ”x pertenece a C”.

Definicion 1.1. Sean A y B dos conjuntos. Entonces, se dice que A es unsubconjunto deB si, y solo, si todo elemento de A es tambien un elementode B. Formalmente, se dice que A esta contenido en B si, y solo, si vale laimplicacion

x ∈ A =⇒ x ∈ B

En tal caso, se escribe

A j B

y la expresion anterior se lee: ”A esta contenido en B”. Tambien sueledecirse que A esta conteenido en B o que B contiene a A.

Definicion 1.2. Sean A y B dos conjuntos. Entonces, se dice que A y Bson iguales si, y solo, si A j B y B j A. En tal caso, se escribe

A = B

Equivalentemente, se dice que A es igual a B si, y solo, si vale la siguienteequivalencia:

x ∈ A⇐⇒ x ∈ B

Ejemplo 1: Sea A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Entonces, esclaro que A j B y que A 6= B. Por tanto, se puede escribir A $ B.

Se tiene el siguiente:

Teorema 1.1. Sean A, B, C tres conjuntos. Entonces, se tiene que

1. (Propiedad Reflexiva): A j A

2. (Propiedad Transitiva): Si A j B y B j C =⇒ A j C

1.2. TEORIA INTUITIVA DE CONJUNTOS 5

3. (Propiedad Antisimetrica) Si A j B y B j A =⇒ A = B

Demostracion:

(1): Pues, suponiendo que A * A entonces, por definicion, existirıa unelemento x tal que

x ∈ A y x /∈ A

lo cual obviamente es una contradiccion. Por tanto, A j A.(2): En efecto, sea x ∈ A. Entonces, como A j B (por hipotesis) se tieneentonces que x ∈ B; luego, como B j C (por hipotesis), entonces resultaque x ∈ C

(3): Esta proposicion se sigue inmediatamente de la definicion de igualdadentre conjuntos ♠

Definicion 1.3. Se dice que un conjunto esta definido por extension cuandose hace una lista completa de los elementos que forman al conjunto.

Ejemplo 2: Al escribir el conjunto formado por las primeras 7 letras delalfabeto latino, se escribirıa:

X = {a, b, c, d, e, f, g}

Definicion 1.4. Se dice que un conjunto esta definido por comprension cuan-do enuncia la propiedad que caracteriza a sus elementos.

Ejemplo 3: Si H es el conjunto de todos los hombres, puede definirse elconjunto:

C = {x ∈ H : x es casado}

En este casi, la propiedad

”x es casado”

es la que caracteriza a los elementos de C y, es claro que no todo elementode H cumple esta propiedad.

Entre los conjuntos, es importante considerar varias operaciones impor-tantes. Ası como los numeros pueden sumarse y multiplicarse, los conjuntospueden intersectarse, unirse. Se expondran a continuacion las operacionesbasicas entre los conjuntos.


Definicion 1.5. Sean A y B dos conjuntos. Entonces, la interseccion entreA y B es el conjunto denotado por A∩B y que esta formado por los elementosque pertenecen a A y tambien a B:

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}

Ejemplo 4: Sean A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {2, 4, c, d, e, f, g, h, 1, 5, 3}.Entonces, es facil observar que

A ∩B = {1, 2, 3, 4, c}Notese que es facil construir dos conjuntos que no tengan elementos en

comun. Por ejemplo, si :

X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = {6, 7, 8, a}entonces es obvio que X ∩ Y es un conjunto que no tiene elementos. Se

podrıa escribir

X ∩ Y = { }Pero, los matematicos (como era de esperarse) utilizan el sımbolo

∅para denotar a un conjunto sin elementos. Escriben entonces:

X ∩ Y = ∅Esto motiva a dar la siguiente:

Definicion 1.6. Se dice que un conjunto es vacıo si no tiene elementos

Aunque esta definicion esta motivada por el Ejemplo 4 se puede aceptarcomo axioma la existencia de un conjunto que no tiene elementos. Concreta-mente, se puede obtener al conjunto vacıo como el definido por :

{x : x 6= x}Es decir, puesto que no existe un ente u objeto que sea diferente de

sı mismo, entonces la existencia de un conjunto vacıo justificada. Como yase dijo, el sımbolo usual para este conjunto es

∅

1.2. TEORIA INTUITIVA DE CONJUNTOS 7

Definicion 1.7. Sean A y B dos conjuntos. Entonces, la union de A y B esel conjunto denotado por A ∪ B y formado por todos los elementos de A ytodos los elementos de B. Por tanto, esta definido por:

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Ejemplo 5: Sean A y B los conjuntos

A = {1, 2, 3, 5, 8, a, x, y}

B = {a, b, 2, 5, 8, c, h}Entonces:

A ∪B = {1, 2, 3, 5, 8, a, x, y, b, c, h}Ası como se presenta de forma natural la nocion de conjunto vacıo, se

presenta y , de hecho es conveniente, la nocion de conjunto universal o,mas precisamente, universo del discurso o conjunto de referencia.

La eleccion de un conjunto universal se hace por conveniencia, para esta-blecer una distincion clara entre los objetos matematicos que se esten estu-diando, todos ellos en el conjunto universal; y todos los conjuntos formadospor dichos objetos,son subconjuntos del conjunto universal. Escogido un con-junto universal, para cada conjunto de objetos existe su complementario, quecontiene todos los elementos que no estan en dicho conjunto.

Ejemplo 6: Si B es el conjunto de todos los basketbolistas entonces sucomplemento no es el conjunto de todos los entes que no son basketbolistas(en el que estarıan hasta los objetos inanimados del cosmos) sino, el conjuntode todas las personas que no son basketbolistas. En este contexto, el conjuntouniversal o de referencia es pues el conjunto P de todas las personas.

Definicion 1.8. Sea A un conjunto y U un conjunto universal. Entonces, elcomplemento de A es el conjunto denotado por A′ y formado por todos loselementos de U que no pertenecen a A. Es decir:

A′ = {x ∈ U : x /∈ A}

Definicion 1.9. Sean A y B dos conjuntos y U un conjunto universal. En-tonces, la diferencia entre A y B es el conjunto denotado por A−B formadopor todos los elementos de A que no estan en B. Es decir:

A−B = {x ∈ U : x ∈ A y x /∈ B}


Se tiene el siguiente

Teorema 1.2. Sean A,B,C tres conjuntos y U un conjunto universal. En-tonces

1. (Propiedades Asociativas)

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

2. (Propiedades Conmutativas)

A ∩B = B ∩ A

A ∪B = B ∪ A

3. (Propiedades Idempotentes)

A ∩ A = A

A ∪ A = A

4. Existencia de elementos neutros

A ∩ U = A

A ∪∅ = A

5. (Propiedades Distributivas)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

6. A−B = A ∩B′

7. A = (A ∩B) ∪ (A−B)

8. (Leyes de Morgan)

(A ∩B)′ = A′ ∪B′

(A ∪B)′ = A′ ∩B′

1.3. BIBLIOGRAFIA 9

Demostracion: ♠

Teorema 1.3. Sean A,B,C,D conjuntos y U un conjunto universal. Enton-ces:

1. A ∩B j A y A ∩B j B

2. A j B ⇐⇒ A ∩B = A

3. A j A ∪B y B j A ∪B

4. A j B ⇐⇒ A ∪B = B

5. A j B y C j D =⇒ A ∩ C j B ∩D

6. A j B y C j D =⇒ A ∪ C j B ∪D

Demostracion: ♠

Teorema 1.4. Sean A,B dos conjuntos y U un conjunto universal. Entonces,las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A j B

2. A ∩B = A

3. A ∪B = B

4. B′ j A′

5. B ∪ A′ = U

6. A ∩B′ = ∅

Demostracion: ♠

1.3. Bibliografıa

1.4. Biografıas

1.5. Ejercicios

Capıtulo 2

Numeros Reales

2.1. Axiomas y Propiedades Fundamentales.

Definicion 2.1. El sistema de los numeros reales es un conjunto, R, enel que estan definidas dos operaciones binarias llamadas suma y producto ydenotadas, respectivamente, por:

” + ” : R× R −→ Ry

” · ” : R× R −→ RLa imagen que la funcion suma le asigna al par ordenado (a, b) se simbo-

liza por

+(a, b) = a + b

y se llama la suma entre a y b.Analogamente, la imagen que la funcion producto le asigna al par orde-

nado (a, b) se simboliza por

·(a, b) = a · bTambien esta definida una relacion ” < ” (se lee ”menor que”) entre los

elementos de R. Estas dos operaciones y la relacion dada satisfacen las si-guientes propiedades:

I) Proiedades de la suma y el producto

S) Propiedades de la suma:

11

12 CAPITULO 2. NUMEROS REALES

1. (Asociativa): (a + b) + c = a + (b + c) cualesquiera sean a, b, c ∈ R.

2. (Conmutativa): a + b = b + a, cualesquiera sean a, b ∈ R.

3. Existencia de un elemento neutro: Existe un elemento en R,denotadopor 0, tal que

a + 0 = 0 + a

para cualquier a ∈ R

4. Existencia de un opuesto aditivo para cada elemento: Paracada a ∈ R existe un elemento a′ ∈ R tal que

a + a′ = a′ + a = 0

P) Propiedades del producto :

1. (Asociativa): (a · b) · c = a · (b · c), cualesquiera sean a, b, c ∈ R.

2. (Conmutativa): a · b = b · a cualesquiera sean a, b ∈ R.

3. Existencia de un elemento neutro: Existe un elemento en R, de-notado por 1, tal que 1 6= 0 y

a · 1 = 1 · a = a

para cualquier a ∈ R.

4. Existencia de un inverso multiplicativo para cada elementono nulo: Para cada a ∈ R, con a 6= 0, existe un elemento a′′ ∈ R talque

a · a′′ = a′′ · a = 1

D) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

Cualesquiera sean a, b, c, d ∈ R vale la igualdad:

a · (b + c) = a · a + a · c

2.1. AXIOMAS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES. 13

C) Compatibilidad de la relacion de igualdad con la suma :

Cualesquiera sean a, b, c ∈ R

a = b =⇒ a + c = b + c

C) Compatibilidad de la relacion de igualdad con el producto:


a = b =⇒ a · c = b · c

II) Proiedades de orden

1. (Tricotomıa): Cualesquiera sean los numeros reales a, b vale una ysolo una de las siguientes relaciones:

a < b, a = b, b < a

2. (Transitividad):

Cualesquiera sean a, b, c ∈ R se tiene que

Si a < b y b < c =⇒ a < c

3. (Compatibilidad con la suma):


Si a < b =⇒ a + c < b + c

4. (Compatibilidad con el producto):


Si a < b y 0 < c =⇒ c · a < c · b


2.2. Propiedades Algebraicas

Teorema 2.1. Sean a, b, c ∈ R. Entonces:

1. (Ley de cancelacion para la suma):

Si a + b = a + c =⇒ b = c

2. (Ley de cancelacion para el producto):

Si a · b = a · c y a 6= 0 =⇒ b = c

Demostracion :(1): En efecto, por el Axioma S.4) se tiene que existe un elemento a′ ∈ R

tal que

a + a′ = a′ + a = 0

Ası, como a + b = a + c (por hipotesis), al sumar en ambos miembros a′

resulta que

(a′) + (a + b) = (a′) + (a + c)

Por el Axioma S.1), resulta:

((a′) + a) + b = ((a′) + a) + c

lo que implica por el Axioma S.4) que

0 + b = 0 + c

lo que implica por el Axioma S.3) que:

b = c

(2): En efecto, como a 6= 0 se tiene, por el Axioma m.4 que existe una′′ ∈ R tal que

a · a′′ = a′′ · a = 1

Como a · b = a · c (por hipotesis), al multiplicar en ambos miembros pora′′ se tiene que

a′′ · (a · b) = a′′ · (b · c)

2.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 15

Por el Axioma P.1) se tiene que

(a′′ · a) · b = (a′′ · b) · c

lo que implica por el Aioma P.4) que:

1 · b = 1 · c

lo que implica por el Axioma P.3) que

b = c

♠

Teorema 2.2. (Unicidad de los elementos neutros)

1. Existe un unico neutro para la suma.

2. Existe un unico neutro para el producto.

Demostracion :(1): En efecto, por el Axioma S.3, existe un elemento neutro para la suma,

0, y se satisface que

a + 0 = 0 + a para todo a ∈ R

Suponiendo que existiera otro elemento neutro para la suma, 0∗ ∈ R, setendrıa entonces que

0∗ + 0 = 0∗

Pero, por otro lado, como 0∗ es tambien un neutro, se debe tener que

0∗ + 0 = 0

Luego, 0∗ = 0∗ + 0 = 0, es decir 0∗ = 0.(2): En efecto, por el Axioma P.3, existe un elemento neutro para el

producto, 1 ∈ R, y se satisface que

a · 1 = 1 · a para todo a ∈ R

Suponiendo que existiera otro elemento neutro para el producto, 1∗ ∈ R,se tendrıa entonces que

1∗ · 1 = 1∗


Pero, por otro lado, como 1∗ es tambien un neutro para el producto, sedebe tener que

1∗ · 1 = 1

Luego, 1∗ = 1∗ · 1 = 1, es decir 1∗ = 1. ♠

Teorema 2.3. a · 0 = 0 para todo a ∈ R

Demostracion :

En efecto, pues

a · 0 + 0 = a · 0= a · (0 + 0)

= a · 0 + a · 0

Es decir, a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0, lo que implica por el Teorema 2.1. (1)que 0 = a · 0 ♠

Teorema 2.4. Sean a, x, y ∈ R. Entonces:

1. Si a + x = 0 y a + y = 0 =⇒ x = y.

2. Si a · x = 1 y a · y = 1 =⇒ x = y.

Demostracion :

(1): En efecto, de a + x = 0 y a + y = 0 se sigue, por transitividad, quea + x = a + y lo que implica por la parte (1) del Teorema 2.1 que x = y

(2): Pues, como a·x = 1 y a·y = 1 (por hipotesis), resulta por transitividadque

a · x = a · y

Ademas, es obvio que a 6= 0, lo que implica por Teorema 2.2 que x = y.♠

Teorema 2.5. (Unicidad del opuesto aditivo y del inverso multiplicativo)

1. Cada a ∈ R tiene un unico opuesto para la suma.

2. Cada a ∈ R con a 6= 0 tiene un unico inverso multiplicativo.

2.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 17

Demostracion :

(1): Sea a ∈ R. Por el Axioma S.4) existe un elemento a′ ∈ R tal que

a + a′ = a′ + a = 0

Supongase que exista otro elemento a∗ ∈ R tal que

a + a∗ = a∗ + a = 0

Se tendrıa que a + a∗ = 0 y a + a′ = 0 lo que implica, por el Teorema2.4.(1), que a∗ = a′.

(2): Sea a ∈ R, con a 6= 0. Por el Axioma P.4), existe un elemento a′′ ∈ Rtal que

a · a′′ = a′′ · a = 1

Supongase que exista otro elemento a′′′ ∈ R tal que

a · a′′′ = a′′′ · a = 1

Pero, de a · a′′ = 1 y a · a′′′ = 1 resulta por el Teorema 2.4.(2), quea′′′ = a′′. ♠

Ası pues, en virtud del Teorema 2.5, se hacen las siguientes notaciones:

1. Si a ∈ R su unico opuesto aditivo es denotado por −a. Es decir, −a esel unico numero real tal que

a + (−a) = −a + a = 0

2. Si a ∈ R y a 6= 0, entonces su unico inverso multiplicativo es denotadopor a−1. Es decir, a−1 es el unico numero real tal que

a · a−1 = a−1 · a = 1

3. Sia, b ∈ R, entonces b− a denota al numero real b + (−a).

4. Si a, b ∈ R, con b 6= 0, entoncesa

bdenota al numero real a · b−1.


Teorema 2.6. (Ecuacion lineal de primer grado con una incognita)La ecuacion

a ·X + b = 0

tiene una unica solucion, a saber, x =−ba

Demostracion :

♠

Teorema 2.7. Si a ∈ R entonces

−(−a) = a

Demostracion :

En efecto, por un lado, se tiene por el Axioma S.4), aplicado al numeroreal a, que

a + (−a) = 0

Por otro lado, aplicando el Axioma S.4) al numero real −a se tiene que

−(−a) + (−a) = 0

Luego, resulta por el Teorema 2.4.(1) que −(−a) = a. ♠

Teorema 2.8. Si a, b ∈ R, entonces

a · (−b) = −(a · b) = (−a) · b

Demostracion :

Observese que

a · b + a · (−b) = a · (b + (−b)) (Propiedad distributiva)

=⇒ a · b + a · (−b) = a · 0 (Axioma S.4)

=⇒ a · b + a · (−b) = 0 (Teorema 2.3)

=⇒ a · b = −(a · b) (Teorema 2.5 y observacion)

♠

2.3. AXIOMAS DE ORDEN. 19

Teorema 2.9. (Binomio de Newton)

Si a, b ∈ R, entonces

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demostracion :

Pues, por definicion, se tiene que

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

=⇒ (a + b)2 = (a + b)a + (a + b)b (Propiedad distributiva)

=⇒ (a + b)2 = aa + ba + ab + bb (Propiedad distributiva)

=⇒ (a + b)2 = aa + ab + ab + bb (Axioma P.2)

=⇒ (a + b)2 = a2 + (1 + 1)ab + b2 (definicion y propiedad distributiva)

=⇒ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (definicion)

♠

2.3. Axiomas de orden.

Teorema 2.10. Sean a, b, c, d ∈ R. Entonces:

1. a < b =⇒ −b < −a.

2. 0 < 1.

3. 0 < a =⇒ 0 < a−1.

4. a < b y c < d =⇒ a + c < b + d.

5. a < b y c < 0 =⇒ cb < ca.


Demostracion :

(1): Como a < b (por hipotesis) entonces por el axioma de compatibilidadcon la suma se tiene (sumando en ambos miembros −a) que:

a + (−a) < b + (−a)

=⇒ 0 < b + (−a)

lo que implica, por compatibilidad con la suma, que

(−b) + 0 < (−b) + (b + (−a))

=⇒ −b < ((−b) + b) + (−a) (por los Axiomas S.3) y S.1))

=⇒ −b < 0 + (−a) (por Axioma S.4)

=⇒ −b < −a

(2): Por el Axioma de Tricotomıa, se cumple una y solo una de las si-guientes relaciones:

0 < 1, 0 = 1, 1 < 0

Ahora bien, el Axioma P.3) garantiza que 1 6= 0.Supongase pues que sea

1 < 0

Entonces, se tiene que −0 < −1 (por lo demostrado en la parte (1) anterior),es decir, que

0 < −1

Luego, se podrıa multiplicar en ambos miembros por −1 en la desigualdad0 < −1 para obtener

0 · (−1) < (−1) · (−1)

es decir, se obtenrıa que 0 < 1. Ası pues, se ha demostrado que la supo-sicion de que 1 < 0 implica que 0 < 1 lo cual es una contradiccion.

En consecuencia, debe ser 0 < 1.

2.4. DESIGUALDADES IMPORTANTES 21

(3): En primer lugar, como a > 0 (por hipotesis) se tiene por el AxiomaP.4 que efectivamente existe a−1. Por otro lado, por el Axioma de Tricotomıase cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

0 < a−1, 0 = a−1, a−1 < 0

Si fuese a−1 = 0 entonces resultarıa que a · a−1 = a · 0 = 0, es decir,a · a−1 = 0 de donde se seguirıa que 1 = 0 lo que contradice el Axioma P.3.

Suponiendo que fuese a−1 < 0 entonces, como a > 0, resultarıa por elaxioma de compatibilidad con el producto, que

a · a−1 < a · 0

de donde resultarıa que 1 < 0 lo que contradice lo demostrado en la parteanterior.

Por tanto, 0 < a−1.

(4): En efecto, como a < b (por hipotesis)entonces por compatibilidadcon la suma se tiene que

a + c < b + c

Por otro lado, como c < d (por hipotesis) entonces por el axioma decompatibilidad con la suma resulta que

b + c < b + d

Ası pues, se tiene que a+ c < b+ c y que b+ c < b+ d lo que implica portransitividad que a + c < b + d.

(5): Como c < 0 (por hipotesis) entonces se sigue por la parte (1) anteriorque −0 < −c, es decir, que 0 < −c. Ası, como a < b (por hipotesis), entoncespor el axioma de compatibilidad con el producto, resulta que

(−c) · a < (−c) · b

es decir −(c · a) < −(c · b) lo que implicapor lo demostrado en la parte(1) anterior que c · b < c · a ♠

2.4. Desigualdades importantes

Existen una serie de desigualdades que satisfacen los numeros reales (osubconjuntos de los mismos) que tienen una importante aplicacion en Ma-tematicas.


En cierto sentido, la desigualdad mas fundamental y, de la que se derivantodas (o casi todas) las demas es la siguiente

Teorema 2.11. Si x ∈ R entonces

x2 = 0

Demostracion :

En efecto, si es x = 0 entonces, por el axioma de compatibilidad conel producto, se puede multiplicar esta misma desigualdad por x en ambosmiembros y obtener que

x · x = x · 0

es decir, que x2 = 0. Por otro lado, de ser x < 0 entonces por el Teorema2.10.(5), puede multiplicar por x en ambos miembros de esta desigualdad yobtener que

x · x > x · 0

es decir, que x2 > 0. ♠

Otra desigualdad basica y util , que en otros sistemas axiomaticos paraR es la definicion de la relacion ”mayor que”, es la siguiente

Teorema 2.12. Si x, y ∈ R entonces

x = y ⇐⇒ x− y = p

para algun p ∈ R con p = 0.

Demostracion :

♠Se pueden utilizar estas dos desigualdades anteriores para demostrar otras

desigualdades importantes. Lo haremos a continuacion:

Teorema 2.13. Sea a ∈ R, con a > 0. Entonces

a +1

a= 2


Demostracion 1 :

Supongase que fuese

a +1

a< 2

Entonces, se puede multiplicar por a en ambos miembros de esta de-sigualdad (por el axioma de compatibilidad con el producto) y se obtendrıaque

a ·(a +

1

a

)< 2

=⇒ a2 + 1 < 2a

=⇒ a2 − 2a + 1 < 0

=⇒ (a− 1)2 < 0 (pues a2 − 2a + 1 = (a− 1)2)

lo cual contradice obviamente al Teorema 2.11. ♠

Corolario 2.1. Si a ∈ R y a 6= 0 entonces:

a2 +1

a2= 2

Demostracion :♠

Corolario 2.2. Si a, b ∈ R y a, b > 0 entonces:

a

b+

b

a= 2

Demostracion :♠

Teorema 2.14. Si a, b ∈ R, a > 0, b > 0 y a + b = 1 entonces

a2 + b2 =1

2


Demostracion :

En efecto, supongase que existan a, b ∈ R con a > 0, b > 0 tales que

a2 + b2 <1

2

=⇒ a2 + (1− a)2 <1

2

=⇒ a2 + 1 + a2 − 2a <1

2

=⇒ 2a2 − 2a + 1 <1

2

=⇒ 4a2 − 4a + 2 < 1

=⇒ 4a2 − 4a + 1 < 0

=⇒ (2a− 1)2 < 0

lo cual es imposible. ♠

Teorema 2.15. (Desigualdad de Cauchy-Shwartz): Si a, b, x, y ∈ R, entonces

(ax + by)2 5 (a2 + b2)(x2 + y2)

Demostracion 1 :

En efecto, sea m el miembro derecho de la desigualdad y n el izquierdo:

m = (a2 + b2)(x2 + y2) ; n = (ax + by)2

Al desarrollar m se obtiene:

m = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2

Al desarrollar n se obtiene

n = a2x2 + b2y2 + 2axby

=⇒ m− n = a2y2 + b2x2 − 2axby


=⇒ m− n = a2y2 − b2x2 − 2aybx

=⇒ m− n = (ay − bx)2

lo que implica por los Teoremas 2.12 y 2.13 que

m = n

.

=⇒ n 5 m

=⇒ (ax + by)2 5 (a2 + b2)(x2 + y2)

♠

Notese que, en la demostracion anterior, se ha demostrado implıcitamentela siguiente:

Teorema 2.16. (Igualdad de Lagrange-Suma de Cuadrados) Si a, b, x, y ∈ Rentonces

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay − bx)2

Demostracion :

♠

Teorema 2.17. Sean a, b ∈ R tales que a > 0, b > 0 y a + b = 1. Entonces(a +

1

a

)2

+

(b +

1

b

)2

=25

2

Demostracion :

En efecto, notese que(a +

1

a

)2

+

(b +

1

b

)2

=

(a2 +

1

a2+ 2

)+

(b2 +

1

b2+ 2

)

=⇒(a +

1

a

)2

+

(b +

1

b

)2

=

(a2 +

1

a2

)+

(b2 +

1

b2

)+ 4


Por tanto:

=⇒(a +

1

a

)2

+

(b +

1

b

)2

=(a2 + b2

)+

(1

a2+

1

b2

)+ 4 (2.1)

Ahora bien, como a > 0, b > 0 y a+b = 1 (por hipotesis) se tiene entonces,por el Teorema 2.14, que

a2 + b2 =1

2(2.2)

Por otro lado, como a + b = 1 , se tiene que

1

a=

a + b

a=

b

a+ 1

1

b=

a + b

b=

a

b+ 1

=⇒(

1

a2+

1

b2

)=

(b

a+ 1

)2

+(ab

+ 1)2

=⇒(

1

a2+

1

b2

)=

(b2

a2+

2b

a+ 1

)+

(a2

b2+

2a

b+ 1

)=⇒

(1

a2+

1

b2

)=

(b2

a2+

a2

b2

)+

(2b

a+

2a

b

)+ 2

=⇒(

1

a2+

1

b2

)=

(b2

a2+

a2

b2

)+ 2

(b

a+

a

b

)+ 2

lo que implica por el Corolario 2.2 que(1

a2+

1

b2

)= 2 + 2 · 2 + 2

es decir: (1

a2+

1

b2

)= 8 (2.3)

Ası, en virtud de 2.1, 2.2 y 2.3, resulta que:(a +

1

a

)2

+

(b +

1

b

)2

=1

2+ 8 + 4 =

25

2

♠

2.5. EJERCICIOS 27

2.5. Ejercicios

Ejercicio 2.1: Demuestre las siguientes propiedades utilizando los axio-mas, teoremas y notaciones dadas en este capıtulo. En todo lo que sigue,a, b, c, d seran numeros reales.

1. a = b⇐⇒ a− b = 0

2. a + a = a⇐⇒ a = 0

3. −0 = 0

4. −(a + b) = (−a) + (−b)

5. (−a)(−b) = ab

6. a(b− c) = ab− ac

7. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

8. a2 − b2 = (a + b)(a− b)

9. a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

10. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Ejercicio 2.2: Demuestre las siguientes propiedades utilizando los axio-mas, teoremas y notaciones dadas en este capıtulo. En todo lo que sigue,a, b, c, d seran numeros reales.

1. ab = 0 =⇒ a = 0 o b = 0

2. a2 = b2 =⇒ a = b o a = −b

3. (−1)−1 = −1

4. Si a 6= 0 =⇒ a−1 6= 0 y (a−1)−1 = a

5. Si a 6= 0 =⇒ (−a)−1 = −(a−1)

6. Si a 6= 0 y b 6= 0 =⇒ ab 6= 0 y (ab)−1 = a−1b−1

7. Si b 6= 0 y d 6= 0 entoncesa

b=

c

d⇐⇒ ad = bc

8. Si b 6= 0 y d 6= 0 =⇒ a

b· cd

=ac

bd


9. Si a 6= 0 y b 6= 0 =⇒(ab

)−1=

b

a

10. Si b 6= 0 y c 6= 0 =⇒ abc

=ac

b

11. Si b 6= 0 y c 6= 0 =⇒ab

c=

a

bc

12. Si b 6= 0 entonces −(ab

)=−ab

=a

−b

13. Si b 6= 0 entonces−a−b

=a

b

14. Si b 6= 0 y d 6= 0 entonces bd 6= 0 ya

b+

c

d=

ad + bc

bd

Ejercicio 2.3: Demuestre las siguientes identidades:

1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

2. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

3. (a2+b2+c2+d2+ab+ac+bc)2 = (a+b+c)2(a2+b2+c2)+(ab+ac+bc)2

Ejercicio 2.4: Demuestre las siguientes propiedades:

1. a + a = 0 =⇒ a = 0

2. a 6= 0 =⇒ a2 > 0

3. Si a > 0 y b > 0 entonces: a < b⇐⇒ a−1 > b−1

4. Si a > 0 y b > 0 entonces: a < b⇐⇒ a2 < b2

5. a < b =⇒ a <a + b

2< b

6. a2 + b2 = 0 =⇒ a = 0 y b = 0

7. No existe un a ∈ R tal que a2 + 1 = 0

8. No existe un a ∈ R tal que a2 + a + 1 = 0

9. (ax + by + cz)2 5 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)

Ejercicio 2.5: Sean a, b ∈ R con a > 0 y b > 0. Demuestre que:

2.5. EJERCICIOS 29

1.a

b= 4− 4b

a

2.

(1

a+

1

b

)(a + b) = 4

3. a + b = 1 =⇒(

1

a− 1

)(1

b− 1

)= 1

Ejercicio 2.6: Sean a, b, c ∈ R con a > 0, b > 0 y c > 0. Demuestre que:

1. (a + b + c)

(1

a+

1

b+

1

c

)= 32

2. a + b + c = 1 =⇒(

1

a− 1

)(1

b− 1

)(1

c− 1

)= 23

3. abc = 1 =⇒ a + b + c = 3

Capıtulo 3

Numeros Naturales

3.1. Conjuntos Inductivos y la definicion de

N.

Hablando informalmente, el conjunto de los numeros naturales es aquelque utilizamos para contar objetos. Mas precisamente, una vez que el sımbo-lo 1 tiene algun significado (unidad, totalidad, etc.) entonces el hombre pasaa hacer una operacion llamada contar el siguiente . Ası, a partir del 1, seforma el elemento

1 + 1

al que se le simboliza por 2. Seguidamente, se toma el siguiente o sucesorde 2, es decir, el elemento:

2 + 1

al que se le simboliza por 3.

Por este proceso de sumar 1 se obtienen numeros distintos entre sı:

31

32 CAPITULO 3. NUMEROS NATURALES

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

5 + 1 = 6

6 + 1 = 7

7 + 1 = 8

8 + 1 = 9

¿Y el sucesor de 9? El lector sabe que es 9+1 y que los indhues disenaronun sistema de numeracion en el que el sucesor de 9 se escribe como

10

Definicion 3.1. Un subconjunto H de R se dice que es inductivo si , y solo,si

1. 1 ∈ H.

2. h ∈ H =⇒ h + 1 ∈ H

Ejemplo 1: Considerese el conjunto

H = {x ∈ R : x = 0}

Entonces, es claro que H es un conjunto inductivo: En efecto, como 1 > 0,se tiene en primer lugar que 1 ∈ H. Por otro lado, si x ∈ H entonces (pordefinicion de H) se tiene que

x = 0

lo que implica por compatibilidad con la suma que

x + 1 = 0 + 1

=⇒ x + 1 = 1

=⇒ x + 1 > 0

3.1. CONJUNTOS INDUCTIVOS Y LA DEFINICION DE N. 33

=⇒ x + 1 ∈ H

Ejemplo 2: El conjunto definido por

H = {x ∈ R : x = 1}

tambien es inductivo. Por definicion, es claro que 1 ∈ H. Por otro lado,si x ∈ H, entonces por definicion de H se tiene que

x = 1

lo que implica por compatibilidad con la suma que

x + 1 = 1 + 1

=⇒ x + 1 = 2

=⇒ x + 1 > 1

=⇒ x + 1 ∈ H

Ejemplo 3: El conjunto vacio, ∅, no es inductivo: pues obviamante1 /∈ ∅. Pero, especialmente para el principiante, es vital notar que ∅ sı cum-ple la segunda condicion que pide la definicion de conjunto inductivo.

Ejemplo 4: El conjunto H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no es inductivo, puesaunque 1 ∈ H, no es cierto que 7 + 1 ∈ H.

Teorema 3.1. Sean H1 y H2 subconjuntos de R. Entonces, se tiene que:

Si H1 y H2 son inductivos ⇒ H1 ∩H2 es inductivo

Demostracion :

En efecto, es claro, que:

(1) 1 ∈ H1 ∩H2:

Pues, como H1 y H2 son inductivos (por hipotesis), entonces se tiene que1 ∈ H1 y 1 ∈ H2. Luego, 1 ∈ H1 ∩H2.


(2) Si h ∈ H1 ∩H2 =⇒ h + 1 ∈ H1 ∩H2:

En efecto, pues si h ∈ H1 ∩ H2, entonces como H1 y H2, son inductivosse tiene que h + 1 ∈ H1 y h + 1 ∈ H2, de modo que h + 1 ∈ H1 ∩H2.♠Mas generalmente, se tiene el siguiente:

Teorema 3.2. Sea {Hi}i∈I una familia cualquiera de subconjuntos inductivosde R. Entonces ∩i∈IHi es un conjunto inductivo.

Demostracion :

En efecto, es claro, que:

(1) 1 ∈ ∩i∈IHi:

Pues, como cada Hi es inductivo (por hipotesis), entonces se tiene que1 ∈ Hi para todo i ∈ I. Luego, 1 ∈ ∩i∈IHi.

(2) Si h ∈ ∩i∈IHi =⇒ h + 1 ∈ ∩i∈IHi:

En efecto, pues si h ∈ ∩i∈IHi, entonces se sigue que h ∈ Hi para cadai ∈ I. Como cada Hi es inductivo, se tiene que h + 1 ∈ Hi. Luego, h + 1 ∈∩i∈IHi. ♠

Ası pues, se da la siguiente

Definicion 3.2. Sea F = {Hi}i∈I la familia de todos los subconjuntos in-ductivos de R. Entonces, el conjunto de los numeros naturales es el definidopor

N = ∩i∈IHi

Inmediatamente, se sigue el siguiente

Teorema 3.3. N es un conjunto inductivo y esta contenido en cualquiersubconjunto inductivo de R.

Demostracion :

♠

Teorema 3.4. n = 1 para todo n ∈ N.

3.1. CONJUNTOS INDUCTIVOS Y LA DEFINICION DE N. 35

Demostracion :

En efecto, sea n ∈ N. Se demostro, en un ejemplo anterior, que el con-junto H = {x ∈ R : x = 1} es un conjunto inductivo. Luego, N j H y, portanto, n ∈ H, de modo que n = 1. ♠

Observemos ahora que la suma puede verse como un proceso inductivo.Por ejemplo, la tabla de suma correspondiente al 2 es:

2 + 1 = 3

2 + 2 = 2 + (1 + 1 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4

2 + 3 = 2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5

2 + 4 = 2 + (3 + 1) = (2 + 3) + 1 = 5 + 1 = 6

2 + 5 = 2 + (4 + 1) = (2 + 4) + 1 = 6 + 1 = 7

2 + 6 = 2 + (5 + 1) = (2 + 5) + 1 = 7 + 1 = 8

2 + 7 = 2 + (6 + 1) = (2 + 6) + 1 = 8 + 1 = 9

2 + 8 = 2 + (7 + 1) = (2 + 7) + 1 = 9 + 1 = 10

2 + 9 = 2 + (8 + 1) = (2 + 8) + 1 = 10 + 1 = 11

Es decir, si se tienen dos numeros naturales a y b, entonces , si se sabesumar a con b, se sabra sumar a con b+ 1 (el siguiente de b) ya que ”la sumade a con el siguiente de b es igual al siguiente de la suma de a con b”, puespor la propiedad asociativa se tiene que:

a + (b + 1) = (a + b) + 1

Formalmente, se tiene el siguiente:

Teorema 3.5. Si a, b ∈ N =⇒ a + b ∈ N.

Demostracion :

Sean a, b ∈ N y defınase elconjunto H por

H = {x ∈ N : a + x ∈ N}

Este conjunto es inductivo. En efecto, observese que


(1) 1 ∈ H:En efecto, como a ∈ N (por hipotesis) y como N es un conjunto inductivo,

se sigue que a + 1 ∈ N lo que implica que 1 ∈ H.

(2) Si h ∈ H =⇒ h + 1 ∈ H:

En efecto, si h ∈ H entonces (por definicion de H) se tiene que h ∈ N ya+h ∈ N lo que implica (por ser N inductivo) que h+1 ∈ N y (a+h)+1 ∈ Nde modo que

h + 1 ∈ N y a + (h + 1) ∈ N

lo que implica que h + 1 ∈ H.Ası pues, H es inductivo, de modo que N j H. Luego, como b ∈ N,

resulta que b ∈ H y, por tanto, a + b ∈ N. ♠

Analogamente, la multiplicacion es un proceso inductivo. En este caso,por la propiedad distributiva, se tiene que

a · (b + 1) = a · b + a

Por tanto, la tabla de multiplicar de 2 comienza con 2 · 1 = 2 y, losresultados van aumentando sucesivamente ”de dos en dos”. Es decir:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 2 · (1 + 1) = 2 · 1 + 2 · 1 = 2 + 2 = 4

2 · 3 = 2 · (2 + 1) = 2 · 2) + 2 · 1 = 4 + 2 = 6

2 · 4 = 2 · (3 + 1) = 2 · 3 + 2 · 1 = 6 + 2 = 8

2 · 5 = 2 · (4 + 1) = 2 · 4 + 2 · 1 = 8 + 2 = 10

2 · 6 = 2 · (5 + 1) = 2 · 5 + 2 · 1 = 10 + 2 = 12

2 · 7 = 2 · (6 + 1) = 2 · 6 + 2 = 12 + 2 = 14

2 · 8 = 2 · (7 + 1) = 2 · 7 + 2 = 14 + 2 = 16

2 · 9 = 2 · (8 + 1) = 2 · 8 + 2 = 16 + 2 = 18

Formalmente, se tiene el siguiente:

Teorema 3.6. Si a, b ∈ N =⇒ a · b ∈ N.

3.2. PRINCIPIO DE INDUCCION. 37

Demostracion :

Sean a, b ∈ N y defınase elconjunto H por

H = {x ∈ N : a · x ∈ N}

Este conjunto es inductivo. En efecto, observese que

(1) 1 ∈ H:

En efecto, como a ∈ N y, como a = a · 1 y como N, se tiene que a · 1 ∈ Nlo que implica que 1 ∈ H.

(2) Si h ∈ H =⇒ h + 1 ∈ H:

En efecto, si h ∈ H entonces (por definicion de H) se tiene que h ∈ Ny a · h ∈ N lo que implica, por ser el Teorema anterior, que ah + a ∈ N, esdecir, que a · (h + 1) ∈ N lo que implica que h + 1 ∈ H.

Ası pues, H es inductivo, de modo que N j H. Luego, como b ∈ N,resulta que b ∈ H y, por tanto, a · b ∈ N. ♠

3.2. Principio de Induccion.

El cientıfico italiano, Galileo Galilei experimentaba dejando caer cuerpos(tales como balas de canon) y luego anotaba los resultados de sus mediciones.Sirviendose de una rampa fue capaz de medir la distancia que recorrıa unabala de canon luego cada segundo que transcurrıa a patir de iniciado elmovimiento. Segun sus mediciones, el fenomeno se observo de la siguientemanera:

Sea y(t) la distancia total recorrida por el movil luego de t segundos. Seau la distancia recorrida por el movil luego del primer segundo: esta cantidadsera tomada como la unidad de distancia recorrida. Sea d(t) la distanciarecorrida por el movil durante el segundo t. Como ya se dijo, luego de t = 1segundo, el movil recorre una unidad de distancia: es decir, u.

Galileo observo que, en el siguiente segundo, el movil recorrio otras tresunidades de distancia mas: es decir 3u. En el siguiente segundo, es decir, eltercero, observo que recorrio cinco unidades mas de distancia, es decir: 5u.En el cuarto segundo, recorrio siente unidades mas de distancia: es decir, 7u,etc.

En la siguiente tabla, se resumen los resultados de t contra d(t) y y(t)para los primeros 10 esgundos.


t d(t) y(t)1 u u2 3u u + 3u = 4u3 5u u + 3u + 5u = 9u4 7u u + 3u + 5 + 7u = 16u5 9u u + 3u + 5 + 7u + 9u = 25u6 11u u + 3u + 5 + 7u + 9u + 11u = 36u7 13u u + 3u + 5 + 7u + 9u + 11u + 13u = 49u8 15u u + 3u + 5 + 7u + 9u + 11u + 13u + 15u = 64u9 17u u + 3u + 5 + 7u + 9u + 11u + 13u + 15u + 17u = 81u10 19u u + 3u + 5 + 7u + 9u + 11u + 13u + 15u + 17u + 19u = 100u

Estos resultados inducen naturalmente a formular las ecuaciones que mo-delan este movimiento:

d(t) = 2t− 1; y(t) = u · t2

Por otro lado, se vuelve natural conjeturar la siguiente proposicion:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2, para todo n ∈ N

¿Como se puede demostar esta afirmacion?. El siguiente teorema propor-ciona un metodo para hacerlo:

Teorema 3.7. (Principio de Induccion Matematica)Sea P (n) una proposicion para el numero natural n y supongase que P (n)tiene las siguientes propiedades:

1. P (1) es verdadera.

2. P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera.

Entonces, P (n) es verdadera para todo n ∈ N.

Demostracion :

En efecto, basta observar que el cunjunto

H = {h ∈ N : P (h) es verdadera}

3.2. PRINCIPIO DE INDUCCION. 39

es un conjunto inductivo, lo cual es evidente debido a las dos propiedadesque tiene P . ♠

A continuacion, demostaremos inductivamente (es decir, utilizando elTeorema 3.7) la ecuacion

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2, para todo n ∈ N

En efecto:

1. P (1) es verdadera:

Pues al sustituir n = 1 en el enunciado de la proposicion, el miembroiaquierdo se reduce a 1 y el izquierdo a 12 = 1, de modo que la igualdadse cumple.

2. P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera:

Pues, si P (h) es verdadera, entonces se tiene que

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2h− 1) = h2

Sumando 2(h + 1)− 1 en ambos miembros, se obtiene:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2h− 1) + 2(h + 1)− 1 = h2 + 2(h + 1)− 1

=⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2h− 1) + (2(h + 1)− 1) = h2 + 2h + 2− 1

=⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2h− 1) + (2(h + 1)− 1) = h2 + 2h + 1

=⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2h− 1) + (2(h + 1)− 1) = (h + 1)2

=⇒ P (h + 1) es verdadera.

♠

Otra ecuacion importante es la siguiente:


Teorema 3.8.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + (n− 1) + n =n(n + 1)

2para todo n ∈ N

Demostracion :

En efecto, se tiene que:

1. P (1) es verdadera:

Pues, para n = 1, el miembro izquierdo de la ecuacion es 1, mientrasque el izquierdo es

1(1 + 1)

2=

1 · 22

= 2

2. P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera:

Pues si P (h) es verdadera, entonces se tiene que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + (h− 1) + h =h(h + 1)

2

=⇒ 1+2+3+4+5+6+7+...+(h−1)+h+(h+1) =h(h + 1)

2+(h+1)

=⇒ 1+2+3+4+5+6+7+ ...+(h−1)+h+(h+1) = (h+1) ·(h

2+ 1

)

=⇒ 1+2+3+4+5+6+7+ ...+(h−1)+h+(h+1) = (h+1) ·(h + 2

2

)


♠

3.3. POTENCIAS 41

3.3. Potencias

Sea a ∈ R. Se define:

a1 = a

y

ah+1 = ah · a, para todo h ∈ N

Ası, queda definido an para todo n ∈ N.

Por ejemplo, se tiene que :

a2 = a · a

a3 = a · a · a

a4 = a · a · a · a

Las leyes basicas de potenciacion se demuestran en el siguiente:

Teorema 3.9. Sean a, b ∈ R y m,n ∈ N. Entonces, se tiene que:

1. am · an = am+n

2. (am)n = amn

3. (ab)n = an · bn

Demostracion :

(1): Se hara la demostracion por induccion sobre n:

P (1) es verdadera:

Pues, para n = 1, el miembro izquierdo se reduce a am · a1 el cual, pordefinicion, es igual a am+1. Es decir, por definicion, es am ·a1 = am+1 de modoque la ecuacion es cierta para n = 1.

P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera:


am · ah = am+h

Multiplicando por a en ambos miembros, resulta


=⇒ (am · ah) · a = am+h · a

=⇒ am · (ah · a) = a(m+h)+1

=⇒ am · ah+1 = am+(h+1)

P (h + 1) es verdadera.

(2): Nuevamente, se hara una demostracion por induccion sobre n:

P(1) es verdadera:

Para n = 1 el miembro izquierdo de la ecuacion se reduce a (am)1 el cual,por definicion es igual a am. Por tanto, se puede escribir que

(am)1 = am = am·1

=⇒ P (1) es verdadera.

Si P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera:


(am)h = amh

=⇒ (am)h · am = amh · am

=⇒ (am)h+1 = amh+m

=⇒ (am)h+1 = am(h+1)


(3): Procediendo por induccion sobre n observese que:

P (1) es verdadera:

Pues, para n = 1 el miembro izquierdo se reduce a (a · b)1 el cual, pordefinicion, es igual a a · b. Por otro lado, para n = 1, el miembro derecho sereduce a a1 · b1 el cual, por definicion, es igual a a · b. Luego, la igualdad se

3.4. SUMATORIAS 43

cumple para n = 1, de modo que P (1) es verdadera.

P (h) es verdadera =⇒ P (h + 1) es verdadera:

En efecto, si P (h) es verdadera, se tiene que

(a · b)h = ah · bh

=⇒ (a · b)h · (a · b) = ah · bh · (a · b)

=⇒ (a · b)h+1 = (ah · a) · (bh · b)

=⇒ (a · b)h+1 = ah+1 · bh+1

=⇒ P (h + 1) es verdadera ♠

3.4. Sumatorias

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matematico, representadotradicionalmente por la letra griega sigma escrita en mayuscula:∑

Permite representar de manera abreviada sumas con una cierta cantidadde sumandos. Concretamente, la cantidad de sumandos que interesa mani-pular en ciertos calculos puede ser finita, infinita o incluso con una cantidadno numerable de sumandos.

Formalmente, se tiene la siguiente:

Definicion 3.3. Sea {ai}∞i=1 una sucesion de numeros reales. Entonces, paran ∈ N, se define inductivamente el sımbolo

n∑i=1

ai

de la siguiente manera:

1∑i=1

ai = a1

h ∈ N =⇒h+1∑i=1

ai =h∑

i=1

ai + ah+1


A partir de esta definicion, se demuestran facilmente las siguientes pro-piedades para el operador

∑:

Teorema 3.10. Propiedades del operador∑

Supongase que c ∈ R, que {xi}∞i=1 y {yi}∞i=1 son dos familias de numerosreales. Para cada n ∈ N se tiene que

1. (Aditiva):

n∑i=1

(xi + yi) =n∑

i=1

xi +n∑

i=1

yi

2. (Conmutativa):

n∑i=1

(xi + yi) =n∑

i=1

(yi + xi)

3. (Distributiva)

c ·n∑

i=1

xi =n∑

i=1

c · xi

4. (Linealidad):

n∑i=1

(c · xi + yi) = c ·n∑

i=1

xi +n∑

i=1

yi

Demostracion :

♠

Teorema 3.11. Propiedades de separacion


1.n∑

i=1

xi = x1 +n∑

i=2

xi

3.4. SUMATORIAS 45

2.n∑

i=1

xi =n−1∑i=1

xi + xn

3. Si k ∈ N y k < n, entonces

n∑i=1

xi =k∑

i=1

xi +n∑

i=k+1

xi

Demostracion :

♠

Teorema 3.12. Propiedades del Reloj y Propiedad Telescopica


1.n∑

i=k

xi =n+r∑

i=k+r

xi−r

2.n∑

i=k

xi =n−r∑

i=k−r

xi+r

3.n∑

i=1

(xi+1 − xi) = xn+1 − x1

4.n∑

i=k

(xi+1 − xi) = xn+1 − xk

Demostracion :

♠


Teorema 3.13. Cambio de escala

Para cada k ∈ N, con k < n se tiene que

n∑i=k

xi =n∑

i=1

xi −k−1∑i=1

xi

Demostracion :

♠

La notacion∑

permite pues escribir de forma abreviada resultados im-portantes. Considerense, por ejemplo, las sumatorias

n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n− 1) + n

n∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + (n− 1)2 + n2

n∑i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + (n− 1)3 + n3

Como veremos mas adelante, estas y otras sumatorias aparecen de formanatural al intentar resolver ciertos problemas cientıficos. Para cada una, sepuede obtener una formula en funcion de n. A continuacion, se daran talesformulas y se haran demostraciones inductivas para cada una de ellas.

Teorema 3.14. (Formulas)

Para cada n ∈ N se tiene que:

1. (Formula de la constante) Si c ∈ R entonces

n∑i=1

c = n · c

2. (Formulas de las potencias)

n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n− 1) + n =n(n + 1)

2

3.5. TEORIA COMBINATORIA 47

n∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + (n− 1)2 + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

n∑i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + (n− 1)3 + n3 =n2(n + 1)2

4

n∑i=1

i4 = 14+24+34+44+...+(n−1)4+n4 =n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n− 1)

30

3. (Progresion Geometrica)

Si r ∈ R y r 6= 1 entonces:

n∑i=1

ri = r + r2 + r3 + ... + rn =r · (rn − 1)

r − 1

3.5. Teorıa Combinatoria

3.6. Problemas y Ejercicios

Ejercicio 1: Sea n ∈ N. Si n > 1, demuestre que :(1 +

1

n

)n

> 2

Ejercicio 2: Sea n ∈ N. Si n > 2, demuestre que :

2n−1 < n!

Ejercicio 3: Sea n ∈ N. Si n > 1, demuestre que :(1 +

1

n

)n

<n∑

i=1

1

i!


Ejercicio 4: Sea n ∈ N. Si n = 1, demuestre que :(1 +

1

n

)n

< 3

Ejercicio 5: Sea n ∈ N. Si n > 1, demuestre que :

n! <

(n + 1

2

)n

Ejercicio 6: Sea n ∈ N. Demuestre que:

1.n∑

i=1

i(i + 1) =1

3n(n + 1)(n + 2)

2.n∑

i=1

(i− 1)(i + 1) =1

4n(n + 1)(n2 + n− 2)

3.n∑

i=1

(2i− 1)2 =1

3n(4n2 − 1)

Ejercicio 7: Demuestre que si ainR y a 5 b, entonces

an 5 bn

para todo n ∈ N.

Ejercicio 8: Demuestre que si a, b ∈ R y a = −1, entonces

(1 + a)n = 1 + na

para todo n ∈ N.

Ejercicio 9: Demuestre que si a ∈ R, a > 0 y n ∈ N, con n = 2, entonces

(1 + a)n = 1 + na +n(n− 1)

2a2

Ejercicio 10: Demuestre (inductivamente) las siguientes relaciones:

3.6. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 49

1.n∑

i=1

1

(2i− 1)(2i + 1)=

n

2n + 1

2.n∑

i=1

i · 2i−1 = 1 + (n− 1) · 2n

3.

4.n∑

i=1

i2 · 2i = 2n+1(n2 − 2n + 3)− 6

5.n∑

i=1

i · i! = (n + 1)!− 1

6.n+1∑i=1

1

n + i5

5

6

Ejercicio 11: Demuestre que

1.6n = 1 + 4n, para todo n ∈ N

2.3n = 1 + 2n, para todo n ∈ N

3.n4 < 4n, para todo n ∈ N, n = 5

notas de Álgebra i, josé camarillo

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