2do sem pre Álgebra 2012-i

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02

CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 1 -

ÁLGEBRA

01. Grafique

2A x,y R / y x y x y 2

02. Indique la figura que mejor representa

al conjunto

2 2 2A x,y R / y x y

03. Bosquejar la gráfica del conjunto

R S si

2 3R x;y R / x y x ,x 0

2 3S x;y R / x y x ,x 0

A)

y

x

B)

y

x

-2

-2

C)

y

x

-2

2

D)

y

x 2

2

E)

y

x 2

2

A) B)

C) D)

D)

y

x

(-1;-1)

(1;1)

A)

y

x

(-1;-1)

(1;1)

B)

y

x

(-1;-1)

(1;1)

C)

y

x

(-1;-1)

(1;1)

D)



04. Determine la figura que mejor

representa a la región que representa

2 2 2x yA x,y R / x y 4

x y

.

05. La figura que mejor representa la

gráfica del conjunto

2 2A x,y / y 1 x , y x 2x

C)

-1 -2 1 2

1 2

A)

E)

y

x

A)

y

x

B)

y

x

C)

y

x

D)

B)

y

x

(-1;-1)

(1;1)

E) D)

2 2



06. Dada la ecuación 2x 1 x 1 5 ,

halle la suma de soluciones A) 5 B) 6 C) 9 D) 17 E) 21

07. Dado

A x / x 1 x 2 x 3 1 ,

halle el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. n A 0;1;2

II. n A 0

III. A 2,1

A) VVV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFF

08. Determine la suma de las raíces

racionales de 3 3 3x 1 x 1 x 2 .

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

09. Al resolver

4 4 4 42 x 3 x 2 4 x 1 3 x 2

Determine el valor de verdad de los enunciados siguientes: I. Existen dos raíces.

II. La suma de las raíces es 3

4.

III. El conjunto solución es vacio. A) VVV B) VVF C) FVV D) FFF E) FVF

10. Sean A y B son dos conjuntos

determinados por

2A x / x 9 9 x

2B x / x 2x x 3

Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. El conjunto A 1;4

II. 1 2 1 2x y x B / 4x 3x 10

III. n A B 3

A) VFV B) FFF C) VVF D) FFV E) VVV

11. Si T es un conjunto determinado por:

1 8 x 3T x / 1 1

x 4x 5

entonces la afirmación correctas es:

A) T 5;6

B) T 7;8

C) T 4;8

D) T

E) cT 5;10

12. Sean A y B dos conjuntos

determinados por

2

x 1 7 xA x / 0

x 1 3 x 1

4

2

x 1B x / x 2 3 1 x 1 x

x 1

Si Z el conjunto de los números

enteros, halle n A B Z .

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

y

x

E)



13. Si T es el conjunto solución de la siguiente inecuación

2

2

x 3x 4x 2 x 2 ,

x 4 x 4x

Entonces el conjunto T es

A) 1;1 B) 2;1 C) 0;2

D) 1;0 E)

14. Resolver 2 x 34 x x 1

x 7

A) x 0 B) x 1 C) x 2 D) x 2 E) 1 x 2

15. Sean A, B y C tres conjuntos

determinado por:

2

x x 3A x / 0

x 9

x

B x / 2 0x 2 4 x

C x 1 / x B A

Entonces, la suma de los elementos del conjunto C es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

16. Halle la suma de los elementos del

conjunto

2T x / 2x 7x 3 x 2x 1 x x 3

A) -6 B) 20

3 C) -7

D) 22

3 E)

23

3

17. Halle la suma de las soluciones de la

ecuación x 1 1 x 1

1x 1 3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

18. Determine el conjunto solución

5 x 2 3x 2

A) 1 9

;4 4

B) 1 9

;4 4

C) 5 5

;2 2

D)

E) 1 9 5 5

; ; ;4 4 2 2

19. Resolver 3x 1 x 1 12 , e indique

la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación dada. A) 61 B) 74 C) 85 D) 89 E) 97

20. Resolver

2 2

2 2

2x x 3 2x x 32

2x x 3 2x x 3

A) 3

1;2

B) 3

;2

C) ; 1 D) 3

1;2

E) 3

\ 1;2



21. Si el conjunto solución de

x 1 21

1 x

; es de la forma a;b ;

entonces a b , es

A) 0 B) -1 C) 1

D) 1

2 E)

3

2

22. Indique el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones:

I. a; b : a b a b a b 0

II. x : 3x 1 1 2x x

III. Si1

1 x x 0entoncesx2

A) VFV B) VVF C) FVF D) FVV E) VVV

23. Determine el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones

I. Si 3x 1 4;10 ,entonces 2x 5 1

II. Si x 3

2x 3 3;1 entonces 33x 1

III. Si 1 x 1 2

3; 1 entoncesx x 2 7

A) VFV B) FVV C) FFF D) VVV E) FFV



I. Si 1 x

x entonces 12 x 1

II. 2x : x 5x 6 14

3 x x 2 8 6

III. Si x 1 y 1 x z y

donde 0entonces z 1

A) VVV B) FVF C) VVF D) VFV E) FFF

25. Halle el conjunto solución de la inecuación

x 1 21

1 x

A) 0; B) 1;1 C) 1;0

D) 0;1 E) ;0

26. Halle el conjunto solución de

1x 1 2

x 1

A) 0;1 B) 1; C)

D) R \ 1 E) 1;

27. Si Z es el conjunto de los números

enteros y A es un conjunto determinado por

2 2 x 3 1A x / x 2 x 6x 6 4 x

x 3 1

Entonces el cardinal del conjunto

cA Z es

A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 E) 13

28. Sea S el conjunto solución de la

inecuación

2

x 1 x 2S x / 0

x x 2

la

afirmación correcta es:

A) S 0; B) S 2;4

C) S R \ 1 D) S 1;

E) 0S R R

29. Halle el conjunto solución de la

siguiente inecuación x x 1 x .

A) 0;2 B) 0;

C) 1;2 D) ;2 \ 0

E) ,1 \ 0



30. Si x 3 entonces 1 1

mm 6 4 x

,

luego de “m” se puede afirmar:

m

A) m 1 B) 1

m2

C) m 0,1

D) m 1 E) 1

m4

31. Sea f : S una función tal que

2f 1 t; t 1 / t 1;1 .

Halle: Ran f Dom f

A) 1;2 B) 1;2 C) 0;2

D) 0;1 E) 0;2

32. Calcule el dominio de la función

2 2f x x 4

x 3

A) 3, B) ,3 C) \ 3

D) + E) \ 2,2 3

33. Halle el dominio de la función

2

x 34f x 49

x 1x 1

A) 4 3

; \ 13 4

B) 4 3

; \ 13 4

C) 4 3

;3 4

D) 3 4

; \ 14 3

E) 3 4

;4 3

34. El rango de la función f :R R

definida por: 2

f x 2 x 1 x 1

tiene la forma Ran f a, ,

entonces el valor de a es: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

35. Para que la función f definida por

2f x x 6x k tenga dominio R,

k deberá ser un número tal que A) k 5 B) k 8 C) k 5

D) k 9 E) k 9

36. Identifique la gráfica de 2x

f xx

A) B) C)

D)

1

x

-1

y

x

y

1

1

x

-1

y

1

x

-1

y



E)

37. Halle el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones: I. El conjunto

f x,y / x 1,4 , y , 0

es una función.

II. El conjunto

H x y , x y / x,y es

una función. III. Si f es una función dada por

2

af x

x a

, con a 0 , entonces

Ranf 0,1 .

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFF

38. Si f es una función lineal tal que

f m 2 y f n 5 . Halle

f m 1 n ; donde .

A) 2 5 B) 3 C) 5 3

D) 3 5 E) 3 5

39. Sea la función definida por

f x máximo x 1,2x , Dom f

encuentre su rango.

A) 0; B) 0; C) 1

;3

D) 1

:3

E) 2

;3

40. Determine el valor de “h” tal que la suma de los cuadrados de las raíces de la función cuadrática definida por:

2f x x h 2 x h 3 , sea la

menor posible. A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

41. La gráfica de la función f es la

siguiente parábola.

Determine el valor de: a b f 3

A) -4 B) -1 C) 0 D) 6 E) 12

42. Sea f :N R tal que

2

f n 1 1 f n al expresar

f n 2 en términos de f(n) se

obtiene:

A) 2

2 f n

B) 2

2f n 2 f n

C) 2

2f n 2 f n

D) 2 4

2 f n f n

E) 2 4

2 f n f n

x

y

-4

-1

y

x a 2

b f(x)



43. Determine el dominio de la función

x 2

f xx 1

A) ,1 2,

B) ,1 2,

C) ,1 2,

D) 1,2

E) 1,2

44. Si 2f x x 1 tiene como dominio a:

Dom f 4, 2 1,4 , determine

su rango.

A) 3,15 B) 1,0 3,15

C) 1,15 D) 4,16

E) 0,1 4,16

45. Determine el rango de la función f,

definida por: f x 1 x x

A) 0, B) 0, C) ,0

D) 1, E) ,1

46. Sea la función

x a

f x : x 4,5x b

, con rango

4,7 . Si a,b , determine a b .

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

47. Determine el dominio de la función f,

definido por

23

3 2

x 1 x 16f x

3 x x 2

A) x 3,3

B) x 3,1 1,3

C) x 3,1 2,3

D) x 3, 2 2, 2 2,3

E) x 3, 2 2,2 2,3

48. El rango de la función f definida en R

por f x min x; 2x 1 es:

A) R B) 1

R \3

C) 1

;3

D)

1;

3

E) 0,

49. Si 2xf x x 1 ,x \ 0

x ,

determine su rango.

A) Ranf R 1;1 B) Ranf 0

C) Ranf R 0;1 D) Ranf 0;1

E) Ranf R 1;2

50. Determine el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones, donde f,g :

I. Si f es impar, entonces 2f es impar.

II. Si f es par y g impar, entonces f g

es impar. III. Si f es par, entonces su rango es

simétrico. IV. Si g es impar, entonces su rango

es simétrico. Como respuesta dar el número de afirmaciones verdaderas. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

51. Indique cuántas afirmaciones son

verdaderas:

I. Si f : ,f(x) x x es una

función impar. II. g: impar, tal que

Rang 1,2

III. h : una función par e

impar a la vez.



IV. 2f x 1 x ,x \ 1,1 es una

función par.

V. 3x x x ,x es una

función impar. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

52. Determine el mayor valor de b para

que la función

2

3x b; x 2 f x

x 4x 2; x 2

Sea inyectiva. A) 14 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

53. Determine el rango de

2

xf x , x

x 1

.

A) 0;1 B) 1;0 C) 0

D) 1 E) 1;0;1

54. Sea f x x x x donde

0 x 2 . Si tiene como rango al

intervalo a;b ; determine a b .

A) -5 B) -3 C) 0 D) 2 E) 4

55. Sea f : M la función sobreyectiva

definida por 2

3xf x x

x 1

.

Halle el número de enteros que contiene M. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

56. Si f :R B es una función

sobreyectiva tal que f x x 2 x ,

determine el conjunto B.

A) 1,8 B) 5,10 C) 8,

D) 3,10 E) 2,

57. Determine el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes:

I. La función 1

f xx

es

decreciente.

II. Si f es creciente, entonces 1

f es

decreciente. III. Si f es par, entonces f no es impar. A) VFV B) FFF C) VVV D) VVF E) FFV

58. Sea la función real

2f x x 6x 4; x , .

Indique un intervalo donde f es creciente.

A) 1; B) 4; C) 0;

D) ,2 E) 1,5

59. Sean las funciones:

f 0,0 , 1,0 , 2,1 , 3,2 , 4,3

g x x 3,x 3,3

.

Determine “m”, si 2g f m 3

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

60. Sean f y g funciones reales tales que

las gráficas de f g y f g son

respectivamente:

halle la gráfica de f

g

y

x

2

3 1,

2 4

y

x -6

5 1,

2 4


CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 10

-

61. Determine el rango de f g si

2 3x; x 0

f xx 1; x 0

f g : 2;4 R

A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7

D) 0,8 E) R

62. Si

2x ; 0 x 3f x ; g x 3x 2; x 0;2 .

4 ; 3 x 6

Calcule f g x .

A) 2f g x x 3x 2; x 0;2

B) 2f g x x x 1; x 0;2

C) 2f g x x x 2; x 0,6

D) 2f g x x 3x 2; x 0;2

E) 2f g x x ; x 3;6

63. Sean las funciones reales

2f x x 7x 12 y

7 11

g 1,0 , ,1 , 0,3 , ,10 , 4,52 3

.

Halle el mínimo valor de Ran f g

A) 2 3 3 B) 5 C) 24

D) 2 5 E) 4

64. Sea

2x 1; x 1f x , g 0;3 , 1,4 , 2;3

x 1; x 1

Determine la suma de elementos del

rango de 2f f.g

f

A) -6 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2

65. Determine el máximo valor de f g

f g

si

se conoce:

f 1;0 , 0;1 , 2;3 , 3;2

g 1;3 , 2;1 , 3;2 , 5;3

x

y

B)

1

2

2 -1

y

x

C)

2

D)

x

y

1

2

E)

y

x

x

y

A)

1

2

2

(-3,6)

(3,6)

2 -2

4

y

x

g(x)



-

A) 13

11 B)

5

3 C) 2

D) 7

3 E) 3

66. Sean

g 2,4 , 3,5 , 4,6 , 6,8

h 3,1 , 4,5 , 6,7 , 7,2

halle una función f tal que h f g

A) 5,1 , 6,5 , 7,8

B) 5,1 , 6,5 , 8,7

C) 2,3 , 8,2 , 0,1

D) 1,6 , 4,3 , 6,8

E) 6,2 , 8,4 , 7,1

67. Dadas las funciones

f 2;4 , 0;3 , 1;1 , 3;5 , 6;9

g 1; 2 , 3,2 , 8,0 , 9,4 , 16,1 , 20,3

Determine la suma de los valores de

h x f g x x; x Dom f g I

A) -21 B) -30 C) -32 D) -40 E) -43

68. Si 2010

f : 0; R / f x 2f 3xx

.

Determine A, si además:

2

Ax Af f x x

xA x

A) 0 B) 1 C) 2010 D) 4020 E) 6030

69. Si 2f x 4 x x , 8 x 2 y

g x 1 x, 4 x 0 , entonces

Dom f g es

A) 3; 1 B) 2;0 C) 3;0

D) 8, 1 E) 1, 5

70. Sean las funciones definidas mediante las reglas

f x x 2 y

g: ,0 R / g x 1 2x .

Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. 1

Dom f g ,02

II. (f g) x 1 2x

III. Ran f g 0,2

A) VVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FVV

71. Si

2

2

f x 2x x , Dom f 1;10 .

g x x ; x 8;8

Determine Dom g f .

A) 0;4 B) 1;4 C) 2;4

D) 3;4 E) 1;3

72. Determine cuántas afirmaciones son

correctas: I. Si f;g : son funciones

pares, entonces f g es par.

II. Si f;g : son funciones y

f g es par, entonces f y g son

pares. III. Si f : es una función par,

entonces f f es par. IV. Si f : es una función impar

y par, entonces f 0 (función

nula) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



I. 2f : / f x x 2x 1, x 1 ,

es inyectiva.



-

II. 1

f x x 1 1, x 6, 3 2, 12

,

no es inyectiva.

III. 1

f : 2,3 1, ,f xx 2

, es

sobreyectiva.

A) FVV B) FFV C) VVF D) VVV E) FFF

74. Determine B para que : 2,6f B ,

1( ) 1

2f x x sea biyectiva, si

A) 2,6 B) 2;4 C) 2;4

D) R E) 0,4

75. Sean f,g : funciones,

determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si f es creciente, entonces f es

inyectiva. II. Si f y g son inyectivas, entonces

f g es inyectiva.

III. Si f g I (I: función identidad en

), entonces g es inyectiva y f es sobreyectiva.

A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) VFF

76. Sean f, g, h : , determine

cuántas afirmaciones son verdaderas: I. Si f g es inyectiva, entonces g es

inyectiva. II. Si f es impar y g par, entonces

f g es impar.

III. Si f es creciente y g decreciente, entonces f g es decreciente.

IV. Si f h g h , entonces f g .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

77. Halle la función afín f : a;b 0;1 ,

con a b tal que f sea biyectiva y creciente.

A) x b

f xb a

B)

x bf x

a b

C) x a

f xb a

D)

axf x

b a

E) bx a

f xb a

78. Sean f y g dos funciones biyectivas

f : 2,3 A / f x 2 3x

2g : A B / g x

x 2

Determine B.

A) 2

,15

B) 5

1,2

C) 5

, 12

D) 2

1,5

E)

21;

5

79. Sea la función

2f x 3x x 7; x 2;3

. Halle

la función inversa f x .

A) 23x x 56

f x8

B) 23x x 28

f x4

C) 23x x 56

f x8

D) 23x x 28

f x8

E) 23x x 42

f x6

80. Determine el valor de verdad de los

siguientes enunciados:



-

I. Si f :R R tiene inversa,

entonces g x f x x ,x R

también tiene inversa.

II. Si f x x x ,x. R , entonces

existe f x .

III. Si f x x x , x R , entonces f

tiene inversa. A) VVF B) VFV C) FVV D) FFF E) VVV

81. Dada la función

21 x

f xx

;

x 2; 1 . Halle la función f .

A) 2

1 5f x ; ;5

2x 1

B) 2

xf x ; 1;3

1 x

C) 2

2xf x ; 0;2

1 x

D) 2f x 1 x ; 1,2

E) 2

1 5f x ; 2,

2x 1

82. Dadas las funciones

8f x , x 0,4 \ 2

x 2 ,

2

x 3 ,1 x 5g x

x 3, 6 x 1

Halle la composición f g .

A) 1,4 B) 4,1

C) 4, 1 D) 1,4

E) 1, 4

83. Sea f : / f x x 10 Sgn x .

Determine la función inversa de f. Indique el valor de verdad de las proposiciones:

I. Dom f

II. Ran f Dom f

III.

x; x 0

9

xf x ; x 0

10

x; x 0

11

A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF

84. Dadas las siguientes funciones

2 bf x x bx b, x , b 0

2

g x x b

h x c x 1 .

Halle b c tal que f g h

A) 2 B) 1| C) 0

D) 1 E) 2 85. Halle el valor de verdad de las


I. 2

: f xx

es una

función acotada. II. Si f es una función biyectiva,

entonces f es acotada. III. Si f es acotada y g una función

cualquiera definidas en todo R, entonces f g es acotada.

A) VVV B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF

86. Sea 2x 3

f x , x 1x 1

, dar el

valor de verdad de las siguientes afirmaciones:



-

I. f x es acotada.

II. f x es biyectiva.

III. f x es creciente.

A) VVV B) FFF C) FVV D) VFF E) FVF

87. Dada la función 2

1f x

3x x 1

;

determine el menor valor positivo “k”

tal que f x k

A) 31

11 B)

29

11 C)

27

11

D) 17

11 E)

12

11

88. Sea f : determine la verdad

(V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si f es creciente, entonces f no es

acotada.

II. Si f es acotada, entonces f es

acotada. III. Si f es acotada, f f es una

función acotada. A) VVV B) FVV C) FVF D) FFF E) FFV

89. Si la magnitud A es directamente

proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a C. ¿En qué fracción de su valor, aumenta A;

si B y C aumentan en 2

3 y

1

4 de su

valor respectivamente?

A) 11

9 B)

1

3 C)

11

20

D) 1

15 E)

16

15

90. Sean los conjuntos:

A x,y / y es directamente

proporcional a 3x

B x,y / y es inversamente

proporcional a x

Además se sabe que: (2,24) y (a, 192) pertenecen a A. (81,4) y (b, 12) pertenecen a B. Halle a b . A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2do sem pre Álgebra 2012-i

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