Álgebra intermedia. 8a. ed. richard n. aufmann y joanne s. lockwood
DESCRIPTION
Este libro está organizado con base en una jerarquía de objetivos cuidadosamente construida. Este enfoque “basado en objetivos” proporciona un entorno de aprendizaje integrado que permite al estudiante y al profesor encontrar fácilmente los recursos, como las herramientas de evaluación (tanto en el texto como en línea), tutoriales y ejercicios adicionales. En la octava edición se han conservado las características conocidas como las secciones “Tome nota” y “Punto de interés”. También se conservan ejemplos prácticos y problemas adicionales, con soluciones desarrolladas de los ejercicios planteados en la parte final del libro.TRANSCRIPT
ÁlgebraIntermediaRICHARD N. AUFMANN / JOANNE S. LOCK WOOD
8a. Ed.Portada Aufman.indd 1 16/10/12 09:51 a.m.
1 p.m.
Digi
tal V
isio
n
Richard N. AufmannPalomar College
Joanne S. LockwoodNashua Community College
ÁlgebraIntermedia
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TraducciónLorena Peralta Rosales
Sergio Antonio Durán ReyesTraductores profesionales
Revisión técnicaIgnacio García JuárezVinicio Pérez Fonseca
Academia de Matemáticas ECEEUniversidad Panamericana
8a. Ed.
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© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A.
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del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Traducido del libro
Intermediate Algebra, Eight Edition.
Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood
Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de
Cengage Learning © 2013
ISBN: 978-111-57949-4
Datos para catalogación bibliográfica:
Aufmann, Richard N.; Joanne S. Lockwood
Álgebra Intermedia, 8a. Ed.
ISBN: 978-607-481-894-9
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Composición tipográfica:Ediciones OVA
Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12
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ContenidoDi
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Prefacio xiii
Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.
Capítulo A Aspire al éxito A-1
EXAMEN DE PREPARACIÓN 1
1.1 Introducción a los números reales 2
Desigualdad y valor absoluto 2
Notación de intervalos y operaciones con conjuntos 5
1.2 Operaciones con números enteros 13
Operaciones con números enteros 13
El orden o jerarquía de las operaciones 18
1.3 Operaciones con números racionales 22
Operaciones con números racionales 22
Orden de las operaciones y fracciones complejas 26
Notación decimal 28
1.4 Expresiones algebraicas 33
Propiedades de los números reales 33
Evaluar expresiones algebraicas 35
Simplificar expresiones algebraicas 37
1.5 Expresiones verbales y expresiones algebraicas 43
Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 43
Problemas de aplicación 45
CAPÍTULO 1 Resumen 49
CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso 51
CAPÍTULO 1 Examen 53
Capítulo 1 Los números reales 1
CONTENIDO iii
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IV CONTENIDO
EXAMEN DE PREPARACIÓN 55
2.1 Ecuaciones con una variable 56
Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 56
Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 58
Problemas de aplicación 60
2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 64
Problemas de mezclas porcentuales 64
Problemas de movimiento uniforme 66
2.3 Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje 75
Problemas de inversión 75
Problemas de mezclas porcentuales 77
2.4 Desigualdades con una variable 84
Resolver desigualdades con una variable 84
Resolver desigualdades compuestas 87
Problemas de aplicación 89
2.5 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto 95
Ecuaciones con valor absoluto 95
Desigualdades con valor absoluto 96
Problemas de aplicación 98
CAPÍTULO 2 Resumen 103
CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso 105
CAPÍTULO 2 Examen 106
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 107
EXAMEN DE PREPARACIÓN 109
3.1 El sistema de coordenadas rectangulares 110
Fórmulas de distancia y punto medio 110
Graficar una ecuación con dos variables 112
3.2 Introducción a las funciones 120
Evaluar una función 120
Graficar una función 126
Prueba de la recta vertical 127
Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado 55
Capítulo 3 Funciones lineales y desigualdades con dos variables 109
00_Preliminares_AUFMANN.indd iv 12/10/12 12:59 p.m.
CONTENIDO v
Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 187
3.3 Expresiones algebraicas 136
Graficar una función lineal 136
Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 138
Problemas de aplicación 143
3.4 Pendiente de una recta 148
Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos 148
Graficar una recta dados un punto y la pendiente 151
Tasa de cambio promedio 154
3.5 Determinación de ecuaciones de rectas 161
Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 161
Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 163
Problemas de aplicación 164
3.6 Rectas paralelas y perpendiculares 168
Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares 168
3.7 Desigualdades con dos variables 176
Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables 176 CAPÍTULO 3 Resumen 179
CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso 182
CAPÍTULO 3 Examen 184
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 186
EXAMEN DE PREPARACIÓN 187
4.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 188
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico 188
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución 191
4.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 196
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta 196
Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta 198
4.3 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 204
Evaluar los determinantes 204
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer 207
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices 210
4.4 Problemas de aplicación 221
Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente 221
Problemas de aplicación 223
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VI CONTENIDO
4.5 Solución de sistemas de desigualdades lineales 229
Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales 229
CAPÍTULO 4 Resumen 233
CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso 237
CAPÍTULO 4 Examen 238
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 239
EXAMEN DE PREPARACIÓN 241
5.1 Expresiones con exponentes 242
Multiplicar monomios 242
Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos 244
Notación científica 248
Problemas de aplicación 249
5.2 Introducción a los polinomios 255
Evaluar funciones polinomiales 255
Sumar y restar polinomios 259
5.3 Multiplicación de polinomios 265
Multiplicar un polinomio por un monomio 265
Multiplicar dos polinomios 266
Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 268
Problemas de aplicación 269
5.4 División de polinomios 275
Dividir un polinomio entre un monomio 275
Dividir polinomios 276
División sintética 278
Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 280
5.5 Introducción a la factorización 285
Factorizar un polinomio para obtener un monomio 285
Factorizar por agrupamiento de términos 286
5.6 Factorización de trinomios 290
Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c 290
Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c 292
Capítulo 5 Polinomios y exponentes 241
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CONTENIDO vii
5.7 Factorización especial 299
Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 299
Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 301
Factorizar trinomios que están en forma cuadrática 302
Factorizar completamente 302
5.8 Solución de ecuaciones por factorización 307
Resolver ecuaciones por factorización 307
Problemas de aplicación 310
CAPÍTULO 5 Resumen 315
CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso 317
CAPÍTULO 5 Examen 319
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 320
EXAMEN DE PREPARACIÓN 323
6.1 Introducción a las funciones racionales 324
Encontrar el dominio de una función racional 324
Simplificar expresiones racionales 325
6.2 Operaciones con expresiones racionales 331
Multiplicar y dividir expresiones racionales 331
Sumar y restar expresiones racionales 333
6.3 Fracciones complejas 342
Simplificar fracciones complejas 342
6.4 Ecuaciones racionales o fraccionarias 346
Resolver ecuaciones fraccionarias 346
Problemas de trabajo 348
Problemas de movimiento uniforme 350
6.5 Razones y proporciones 358
Proporciones 358
Problemas de proporciones 359
6.6 Ecuaciones literales 368
Resolver ecuaciones literales 368
CAPÍTULO 6 Resumen 372
CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso 374
CAPÍTULO 6 Examen 375
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 376
Capítulo 6 Expresiones racionales 323
00_Preliminares_AUFMANN.indd vii 12/10/12 12:59 p.m.
VIII CONTENIDO
EXAMEN DE PREPARACIÓN 379
7.1 Exponentes racionales y expresiones radicales 380
Simplificar expresiones con exponentes racionales 380
Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 381
Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 383
7.2 Operaciones con expresiones radicales 388
Simplificar expresiones radicales 388
Sumar y restar expresiones radicales 389
Multiplicar expresiones radicales 391
Dividir expresiones radicales 392
7.3 Funciones radicales 401
Encontrar el dominio de una función radical 401
Graficar una función radical 402
7.4 Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales 407
Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 407
Problemas de aplicación 410
7.5 Números complejos 414
Simplificar números complejos 414
Sumar y restar números complejos 416
Multiplicar números complejos 416
Dividir números complejos 418
CAPÍTULO 7 Resumen 424
CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso 427
CAPÍTULO 7 Examen 428
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 429
Capítulo 7 Exponentes racionales y radicales 379
Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas y desigualdades 431
EXAMEN DE PREPARACIÓN 431
8.1 Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces 432
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización 432
Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 434
8.2 Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática 439
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 439
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 442
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CONTENIDO ix
8.3 Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas 450
Ecuaciones de forma cuadrática 450
Ecuaciones radicales 452
Ecuaciones fraccionarias 453
8.4 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas 458
Problemas de aplicación 458
8.5 Propiedades de las funciones cuadráticas 464
Gráfica de una función cuadrática 464
Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola 468
8.6 Aplicaciones de las funciones cuadráticas 478
Problemas de máximos y mínimos 478
Aplicaciones de los máximos y mínimos 478
8.7 Desigualdades no lineales 484
Resolver desigualdades no lineales 484
CAPÍTULO 8 Resumen 489
CAPÍTULO 8 Ejercicios de repaso 491
CAPÍTULO 8 Examen 493
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 494
Capítulo 9 Funciones y relaciones 497
9.1 Traslaciones de gráficas 498
Graficar mediante traslaciones 498
9.2 Álgebra de funciones 504
Efectuar operaciones aritméticas con funciones 504
Encontrar la composición de dos funciones 506
9.3 Funciones uno-a-uno e inversas 512
Determinar si una función es uno-a-uno 512
Encontrar la inversa de una función 514
CAPÍTULO 9 Resumen 522
CAPÍTULO 9 Ejercicios de repaso 523
CAPÍTULO 9 Examen 524
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 526
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X CONTENIDO
Capítulo 10 Funciones exponencial y logarítmica 529
Capítulo 11 Sucesiones y series 581
EXAMEN DE PREPARACIÓN 529
10.1 Funciones exponenciales 530
Evaluar funciones exponenciales 530
Graficar funciones exponenciales 532
10.2 Introducción a los logaritmos 539
Escribir ecuaciones exponenciales y logarítmicas equivalentes 539
Propiedades de los logaritmos 542
10.3 Gráficas de funciones logarítmicas 552
Graficar funciones logarítmicas 552
10.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 558
Resolver ecuaciones exponenciales 558
Resolver ecuaciones logarítmicas 561
10.5 Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas 566
Problemas de aplicación 566
CAPÍTULO 10 Resumen 575
CAPÍTULO 10 Ejercicios de repaso 576
CAPÍTULO 10 Examen 578
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 579
EXAMEN DE PREPARACIÓN 581
11.1 Introducción a las sucesiones y las series 582
Escribir los términos de una sucesión 582
Evaluar una serie 583
11.2 Sucesiones y series aritméticas 588
Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética 588
Evaluar una serie aritmética 590
Problemas de aplicación 591
11.3 Sucesiones y series geométricas 596
Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica 596
Series geométricas finitas 598
Series geométricas infinitas 600
Problemas de aplicación 602
00_Preliminares_AUFMANN.indd x 12/10/12 12:59 p.m.
CONTENIDO xi
Capítulo 12 Secciones cónicas 619
11.4 Desarrollo binomial 607
Desarrollar (a 1 b)n 607
CAPÍTULO 11 Resumen 613
CAPÍTULO 11 Ejercicios de repaso 615
CAPÍTULO 11 Examen 617
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 617
EXAMEN DE PREPARACIÓN 619
12.1 La parábola 620
Graficar parábolas 620
12.2 El círculo 626
Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla 626
Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla 628
12.3 La elipse y la hipérbola 633
Graficar una elipse con centro en el origen 633
Graficar una hipérbola con centro en el origen 634
12.4 Solución de sistemas de ecuaciones no lineales 639
Resolver sistemas de ecuaciones no lineales 639
12.5 Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades 645
Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables 645
Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal 646
CAPÍTULO 12 Resumen 651
CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso 653
CAPÍTULO 12 Examen 655
EXAMEN FINAL 657
APÉNDICE
Tabla de propiedades 661
Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus 663SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO S1
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS R1
GLOSARIO G1
ÍNDICE I1
ÍNDICE DE APLICACIONES I9
00_Preliminares_AUFMANN.indd xi 12/10/12 01:00 p.m.
00_Preliminares_AUFMANN.indd xii 12/10/12 01:00 p.m.
1C A P Í T U L O
Concéntrese en el éxito
EXAMEN DE PREPARACIÓN
Digi
tal V
isio
n
¿Está listo para tener éxito en este capítulo?Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo.
Para los ejercicios 1 a 8, sume, reste, multiplique o divida.
1. 5
121
7
30 2.
8
152
7
20
3. 5
6# 4
15 4.
4
154
2
5
5. 8 1 29.34 1 7.065 6. 92 2 18.37
7. 2.19 13.42 8. 32.436 4 0.6
9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28?
(i) 26 (ii) 210 (iii) 0 (iv) 8
10. Una cada fracción con su equivalente decimal.
a. 1
2 A. 0.75
b. 7
10 B. 0.89
c. 3
4 C. 0.5
d. 89
100D. 0.7
OBJETIVOS
1.1 1 Desigualdad y valor absoluto
2 Notación de intervalos y operaciones con conjuntos
1.2 1 Operaciones con números enteros
2 El orden o jerarquía de las operaciones
1.3 1 Operaciones con números racionales
2 Orden de las operaciones y fracciones complejas
3 Notación decimal
1.4 1 Propiedades de losnúmeros reales
2 Evaluar expresiones algebraicas
3 Simplificar expresiones algebraicas
1.5 1 Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica
2 Problemas de aplicación
Los números reales
¿Ha leído Aspire al éxito? Describe las habilidades de estudio empleadas por los estudiantes que han te-nido éxito en sus cursos de matemáticas. Este prefacio le proporciona consejos sobre cómo permanecer motivado, administrar su tiempo y prepararse para los exámenes. También incluye una guía completa para el libro y cómo usar sus características para tener éxito en este curso. Aspire al éxito comienza en la página A-1.
02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 1 12/10/12 05:02 p.m.
2 CAPÍTULO 1 Los números reales
OBJETIVO Desigualdad y valor absolutoParece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejem-plo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.
Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Un con-junto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo,
a [ 5a, b, c, d, e6 d [ 5a, b, c, d, e6 k o 5a, b, c, d, e6Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales.
Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos.
Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro.
Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero.
Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo.
Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción p
q, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales.
5 e p
q, q 2 0 fNúmeros racionales donde p y q son enteros y
Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 5
1. Observe que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número 4
p no es un número racional debido a que p no es un entero.
Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales perió-dicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten.
0.5 2.34 26.20137 7
Decimales periódicos 0.3 5 0.33 c1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c
Decimales finitos o últimos
Introducción a los números reales1.1
Punto de interésLa Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.
Punto de interésEl concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completa-mente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.
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SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 3
Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales.
Números reales 5 5números racionales y números irracionales6 La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente.
Números naturales (Enteros positivos)
Cero Enteros Números racionales
Números irracionales
Números reales
Enteros negativos
en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número
Determine cuáles de los números siguientes son
a. números enteros b. números racionales c. números irracionales
d. números reales e. números primos f. números compuestos
21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, 19
2,
20
!7
a. Enteros: 21, 0, 5, 63
b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63, 19
2
c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, 20
!7d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,
19
2,
20
!7e. Números primos: 5
f. Números compuestos: 63
La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica direc-tamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo.
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
π–2.34 12
– 53
17
Considere estos enunciados:
El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente.
Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año.
En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable.
Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los ele-mentos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable.
En la siguiente definición se utilizan variables.
Concéntrese
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4 CAPÍTULO 1 Los números reales
DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD
Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, en-tonces a es menor que b. Esto se escribe a , b.
Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, enton-ces a es mayor que b. Esto se escribe a . b.
EJEMPLOS
1. 22 , 8 2. 21 . 25 3. 0 . 22
3 4. p , !17
Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes.
4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5.
5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.
Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera?
Solución Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera.
y $ 21 25 $ 21 Una expresión falsa 23 $ 21 Una expresión falsa 21 $ 21 Una expresión verdadera
1 $ 21 Una expresión verdadera
La desigualdad es verdadera para 21 y 1.
Problema 1 Sea z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles valores de z la desigualdad z # 0 es una expresión verdadera?
Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 25 de la página 10.
Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.
El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2.
2142 significa el inverso aditivo del positivo 4. 2142 5 24
21242 significa el inverso aditivo del negativo 4. 21242 5 4
Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto.
Solución • Escriba la expresión para el inverso aditivo de a.
• Sustituya a con cada elemento del conjunto y determine
el valor de la expresión.
2a 2 12122 5 12
2 102 5 0 2 142 5 24
EJEMPLO 1
†
55
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
EJEMPLO 2
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SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 5
Problema 2 Sea v [ 528, 0, 96. Determine 2v, el inverso aditivo de v, para cada elemento del conjunto.
Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 23 de la página 10.
El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un nú-mero negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces
0 a 0 5 ea, a $ 0
2a, a , 0
EJEMPLOS
1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo.
2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8.
3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la dis-tancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.
Evalúe: 2 0 212 0 Solución A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consi-
guiente, 2 0 212 0 5 212.
Problema 3 Evalúe: 0 223 0 Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 33 de la página 10.
OBJETIVO Notación de intervalos y operaciones con conjuntos
El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enu-merarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto.
El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.
Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números na-turales menores que 10.
Solución 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96
†
55
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
EJEMPLO 3
†
EJEMPLO 4
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6 CAPÍTULO 1 Los números reales
Problema 4 Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros negativos impares mayores que 28.
Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 43 de la página 11.
Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta nota-ción se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe
5x 0 x , 23, x [ enteros6y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos.
El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe
5x 0 x , 5, x [ números reales6y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”.
Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ nú-meros reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.
Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los núme-ros reales mayores que 22.
Solución 5x 0 x . 226 Problema 5 Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los núme-
ros enteros menores o iguales que 7.
Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 51 de la página 11.
La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto.
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto.
0 531–5 –3 –2 –1 42–4
Grafique: 5x 0 x # 36 :
Solución El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.
†
EJEMPLO 5
†
EJEMPLO 6
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SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 7
Problema 6 Grafique: 5x 0 x . 236 Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 63 de la página 11.
También es posible localizar los números reales entre dos números dados.
en graficar un conjunto de números reales
Grafique: 5x 0 0 # x , 46La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica.
0 531–5 –3 –2 –1 42–4
Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los nú-meros dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3.
Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto.
Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos.
Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
5x 023 # x # 26 323, 2 4, un intervalo cerrado
5x 023 , x , 26 123, 22 , un intervalo abierto
5x 023 # x , 26 323, 22 , un intervalo medio abierto
5x 023 , x # 26 123, 2 4, un intervalo medio abierto 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indi-car que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes.
Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
5x 0 x . 16 11, `2 5x 0 x $ 16 31, `2 5x 0 x , 16 12`, 12 5x 0 x # 16 12`, 1 4 5x 02` , x , `6 12`, `2
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
†
Concéntrese
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8 CAPÍTULO 1 Los números reales
Utilice la notación dada o grafique para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.
Notación Notación de conjuntos de intervalos Gráfica
A. 5x 0 0 # x # 16 ? ? B. ? 323, 42 ? C. ? ?
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
Solución
Notación Notación de conjuntos de intervalos Gráfica
A. 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
B. 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
C.
5x 0 0 # x # 16 30, 1 4 5x 023 # x , 46 323, 42 5x 0 x , 06 12`, 02
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
Problema 7 Utilice la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de interrogación.
Notación Notación de conjuntos de intervalos Gráfica
A. 5x 022 , x , 06 ? ? B. ? 121, 2 4 ? C. ? ?
0 531–5 –3 –2 –1 42–4
Solución Revise la página S1.
Intente resolver los ejercicios 73, 77 y 93 de las páginas 11 y 12.
Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección.
UNIÓN DE DOS CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elemen-tos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe
A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6EJEMPLOS
1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Obser-ve que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez.
2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36.3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.
INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, estose escribe
A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6
EJEMPLO 7
†
Punto de interésLos símbolos [, h y x se utili-zaron por primera vez en Arith-metices Principia, Nova Expósita (El principio de las matemáticas, un método de exposición nuevo), de Giuseppe Peano, publicado en 1889. El propósito de este libro era deducir los principios de las matemáticas a partir de la lógica pura.
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SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 9
EJEMPLOS
1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66.2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos
comunes para C y D.
3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86.Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.
Grafique. A. 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 B. 2`, 32 x 321, `21 Solución A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los núme-
ros reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 36.
0 531–5 –3 –2 –1 42–4 • La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36
contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3.
B. El conjunto (2 ,̀ 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21.
La gráfica de (2 ,̀ 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul.
0 531–5 –3 –2 –1 42–4
Los números reales que son elementos de (2 ,̀ 3) y [21, `) corres-ponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2 ,̀ 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observe que 3 no es un elemento de (2 ,̀ 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersecciónde los conjuntos.
0 531–5 –4 –3 –2 –1 42
Problema 8 Grafique
A. 12`, 21 4 h 32, 42 B. 5 6x 0 x # 36 x 5x 023 , x , 5
Solución Revise la página S1.
Intente resolver el ejercicio 103 de la página 12.
EJEMPLO 8
†
Ejercicios1.1
REVISIÓN DE CONCEPTOSDetermine cuáles de los números son a. números naturales, b. enteros positivos, c. enteros negativos. Elabore una lista de todos los números que correspondan.
1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626
2. 31, 245, 22, 9.7, 8600, 1
2
Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan.
3. 215
2, 0, 23, p, 2.33, 4.232232223 c,
!5
4, !7
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10 CAPÍTULO 1 Los números reales
4. 217, 0.3412, 3
p, 21.010010001 c,
27
91, 6.12
5. ¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.
6. ¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.
7. ¿Qué es el inverso aditivo de un número?
8. ¿Cuál es el valor absoluto de un número?
9. Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.
10. Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.Desigualdad y valor absoluto (Revise las páginas 2-5.)
PREPÁRESE
11. Un número como 0.63633633363333c, cuya notación decimal no termina ni se repite, es un ejemplo de un número ? .
12. El inverso aditivo de un número negativo es un número ? .
13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y ? el conjunto 51, 3, 5, 7, 96”.
14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos.
Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes.
15. 27
20. 2p
16. 23
21. 2!33
17. 3
4
22. 21.23
18. !17
23. 291
19. 0
24. 22
3
25. Sea x [ 523, 0, 76. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 5 es verdadera?
27. Sea y [ 526, 24, 76. ¿Para cuáles valores de y es verdade-ra la expresión y . 24?
29. Sea w [ 522, 21, 0, 16. ¿Para cuáles valores de w la ex-presión w # 21 es verdadera?
31. Sea b [ 529, 0, 96. Evalúe 2b para cada elemento del conjunto.
33. Sea c [ 524, 0, 46. Evalúe 0 c 0 para cada elemento del con-junto.
35. Sea m [ 526, 22, 0, 1, 46. Evalúe 2 0 m 0 para cada elemen-to del conjunto.
26. Sea z [ 524, 21, 46. ¿Para cuáles valores de z la expresión z . 22 es verdadera?
28. Sea x [ 526, 23, 36. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 23 es verdadera?
30. Sea p [ 5210, 25, 0, 56. ¿Para cuáles valores de p la ex-presión p $ 0 es verdadera?
32. Sea a [ 523, 22, 06. Evalúe 2a para cada elemento del conjunto.
34. Sea q [ 523, 0, 76. Evalúe 0 q 0 para cada elemento del con-junto.
36. Sea x [ 525, 23, 0, 2, 56. Evalúe 2 0 x 0 para cada elemento del conjunto.
37. ¿Existen números reales x para los cuales 2x . 0? Si es así, descríbalos.
38. ¿Existen números reales y para los cuales 2 0 y 0 . 0? Si es así, descríbalos.
Notación de intervalos y operaciones con conjuntos (Revise las páginas 5-9.)
PREPÁRESE
39. Dos maneras de escribir el conjunto de los números naturales menores que 5 son 50, 1, 2, 3, 46 y 5n 0 n , 5, n [ números naturales6. La primera utiliza el método ? y la segunda la notación ? .
†
†
†
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SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 11
40. El símbolo para la “unión” es ? . El símbolo para la intersección es ? .
41. El símbolo ` se llama símbolo ? .
42. Reemplace cada signo de interrogación con “incluye” o “no incluye” para hacerverdadera la expresión siguiente. El conjunto [24, 7) ? el número 24 y
? el número 7.
Utilice el método de lista para escribir el conjunto.
43. los enteros entre 23 y 5
45. los números naturales pares menores que 14
47. los enteros positivos múltiplos de 3 que son menores o iguales que 30
49. los enteros negativos múltiplos de 5 que son mayores o iguales que 235
44. los enteros entre 24 y 0
46. los números naturales impares menores que 14
48. los enteros negativos múltiplos de 4 que son mayores o iguales que 220
50. los enteros positivos múltiplos de 6 que son menores o iguales que 36
Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto.
51. los enteros mayores que 4
53. los números enteros mayores o iguales que 22
55. los números reales entre 0 y 1
57. los números reales entre 1 y 4, inclusive
52. los enteros menores que 22
54. los números reales menores o iguales que 2
56. los números reales entre 22 y 5
58. los números reales entre 0 y 2, inclusive
Grafique.
59. 5x 021 , x , 56 61. x 0 0 # x # 36 63. 5x 0 x , 26 65. 5x 0 x $ 16
60. 5x 0 1 , x , 36 62. 5x 021 # x # 16 64. 5x 0 x , 216 66. 5x 0 x # 226
Escriba cada intervalo en notación de conjuntos.
67. 10, 82 72. 14, 5 4
68. 122, 42 73. 12`, 4 4
69. 325, 7 4 74. 12`, 222
70. 33, 4 4 75. 15, `2
71. 323, 62 76. 322, `2
Escriba cada conjunto de números reales en notación de intervalos.
77. 5x 022 , x , 46 81. 5x 0 x , 16 85. 5x 0 x [ números reales6
78. 5x 0 0 , x , 36 82. 5x 0 x # 66 86. 5x 0 x . 216
79. 5x 021 # x # 56 83. 5x 022 # x , 66
80. 5x 0 0 # x # 36 84. 5x 0 x $ 36
†
†
†
†
†
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12 CAPÍTULO 1 Los números reales
Grafique.
87. 122, 52 89. 321, 2 4 91. 12`, 3 493. 33, `2
88. 10, 32 90. 323, 2 4 92. 12`, 21294. 322, `2
Encuentre A < B y A > B.
95. A 5 51, 4, 96, B 5 52, 4, 66 97. A 5 52, 3, 5, 86, B 5 59, 106 99. A 5 524, 22, 0, 2, 46, B 5 50, 4, 86 101. A 5 51, 2, 3, 4, 56, B 5 53, 4, 56
96. A 5 521, 0, 16, B 5 50, 1, 26 98. A 5 51, 3, 5, 76, B 5 52, 4, 6, 86 100. A 5 523, 22, 216, B 5 522, 21, 0, 16 102. A 5 52, 46, B 5 50, 1, 2, 3, 4, 56
Grafique
103. 5x 0 x . 16 h 5x 0 x , 216
106. 5x 0 x . 216 x 5x 0 x # 46
109. 5x 0 x . 26 h 5x 0 x . 16
112. 123, 4 4 h 321, 52
115. 12, `2 h 122, 4 4
104. 5x 0 x # 26 h 5x 0 x . 46
107. 5x 0 x . 16 x 5x 0 x $ 226
110. 5x 0 x , 226 h 5x 0 x , 246
113. 321, 2 4 x 30, 4 4
116. 12`, 2 4 h 14, `2
105. 5x 0 x # 26 x 5x 0 x $ 06
108. 5x 0 x , 46 x 5x 0 x # 06
111. 12`, 2 4 h 34, `2
114. 325, 42 x 122, `2
117. ¿Cuál conjunto es un conjunto vacío?
(i) 5x 0 x [ enteros6 x 5x 0 x [ números racionales6(ii) 524, 22, 0, 2, 46 h 523, 21, 1, 36
(iii) 35, `2 x 10, 52
118. ¿Cuál conjunto no es equivalente al intervalo [21, 6)?
(i) 5x 021 # x , 66 (ii) 5x 0 x $ 216 h 5x 0 x , 66(iii) 5x 0 x , 66 x 5x 0 x $ 216
APLICACIÓN DE CONCEPTOSSean R 5 5x 0 x [ números reales6, A 5 5x 021 # x # 16, B 5 5x 0 0 # x # 16, C 5 5x 021 # x # 06, y [ 5 conjunto vacío. Indique si cada una de las expresiones siguien-tes es equivalente a R, A, B, C o [.
119. A h B
124. C x R
120. A h A
125. B h R
121. B x B
126. A h R
122. A h C
127. R h R
123. A x R
128. R x [
129. El conjunto B > C no puede expresarse utilizando R, A, B, C o [. ¿Qué número real se representa por B > C?
130. Un estudiante escribió 23 . x . 5 como la desigualdad que representa los números reales menores que 23 o mayores que 5. Explique por qué esta notación es incorrecta.
†
†
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SECCIÓN 1.2 Operaciones con números enteros 13
Grafique el conjunto solución.
131. 0 x 0 , 2
133. 0 x 0 . 3
132. 0 x 0 , 5
134. 0 x 0 . 4
135. Dado que a, b, c y d son números reales positivos, ¿cuál de las respuestas siguientes asegu-rará que a 2 b
c 2 d # 0?
(i) a $ b y c . d (ii) a # b y c . d (iii) a $ b y c , d (iv) a # b y c , d
PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPOUn conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Por ejem-plo, si nuestra atención estuviera centrada en el conjunto de los números enteros, entonces el conjunto universal sería el conjunto de los números enteros. Si nos interesáramos por todos los números naturales menores que 10, entonces el conjunto universal sería U 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96. El complemento de un conjunto E, designado por Ec, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen a E.
136. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 52, 4, 6, 86. Encuentre Ec.
137. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 5números primos menores que 106. Encuentre Ec.
138. Sea U 5 5x 0 x [ números naturales6 y E 5 5x 0 x [ números naturales impares6. Encuentre Ec.
139. Sea U 5 5x 0 X [ números reales6 y E 5 5x 0 x [ números racionales6. Encuentre Ec.
140. Si E es un conjunto dentro del conjunto universal U, encuentre a. E < Ec y b. E > Ec.
OBJETIVO Operaciones con números enterosPara tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A conti-nuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.
SUMA DE NÚMEROS REALES
Números que tienen el mismo signo
Para sumar dos números que tienen el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Luego coloque el signo de los sumandos.
Números que tienen diferentes signos
Para sumar dos números con diferente signo, encuentre el valor absoluto de cada número. Reste el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloque el signo del número con el valor absoluto mayor.
Operaciones con números enteros1.2
Punto de interésLas reglas para efectuar opera-ciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas re-glas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.
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14 CAPÍTULO 1 Los números reales
en la suma de números reales
Sume. A. 265 1 12482 B. 17 1 12532 C. 245 1 81
A. Los signos son iguales. Sume los valores absolutos de los números.
0265 0 1 0248 0 5 65 1 48 5 113
Luego coloque el signo de los sumandos.
265 1 12482 5 2113
B. Los números tienen signos distintos. Encuentre el valor absoluto de cada número.
0 17 0 5 17 0253 0 5 53
Reste el menor de estos números del mayor.
53 2 17 5 36
Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , colo-que el signo de 253.
17 1 12532 5 236
C. Los números tienen diferente signo. Encuentre el valor absoluto de cada número.
0245 0 5 45 0 81 0 5 81
Reste el menor de estos dos números del mayor.
81 2 45 5 36
Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , colo-que el signo de 81.
245 1 81 5 36
RESTA DE NÚMEROS REALES
Para restar dos números reales, sume al primer número el opuesto del segundo.
en la resta de números reales
Reste. A. 48 2 12222 B. 217 2 37 C. 225 2 12142
cSume el opuesto de 222.
A. 48 2 12222 5 48 1 22 5 70
cSume el opuesto de
B. 217 2 37 5 217 1 12372 5 254
cSume el opuesto de 214.
C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211
37.
Concéntrese
Concéntrese
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2C A P Í T U L O
Concéntrese en el éxito
EXAMEN DE PREPARACIÓN
Digi
tal V
isio
n
¿Está listo para tener éxito en este capítulo?Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo.
Para los ejercicios 1 a 5, sume, reste, multiplique o divida.
1. 8 2 12 .2 29 1 3
3. 218
26 .4 2
3
4a24
3b
5. 25
8a4
5b
Para los ejercicios 6 a 9, simplifique.
6. 3x 2 5 1 7
7. 6 1x 2 22 1 3
8. n 1 1n 1 22 1 1n 1 42 9. 0.08x 1 0.05 1400 2 x2
10. Veinte onzas de la mezcla de una botana con-tienen frutos secos y pretzels. n representa el número de onzas de frutos secos en la mezcla. Exprese en función de n el número de onzas de pretzels en la mezcla.
OBJETIVOS
2.1 1 Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma yla multiplicación de ecuaciones
2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis
3 Problemas de aplicación
2.2 1 Problemas de mezclas porcentuales
2 Problemas de movimiento uniforme
2.3 1 Problemas de inversión
2 Problemas de mezclas porcentuales
2.4 1 Resolver desigualdades conuna variable
2 Resolver desigualdades compuestas
3 Problemas de aplicación
2.5 1 Ecuaciones con valor absoluto
2 Desigualdades con valor absoluto
3 Problemas de aplicación
Ecuaciones y desigualdades de primer grado
¿Tiene dificultades con los problemas expresados en palabras? Este tipo de problemas muestra la diver-sidad de maneras en que pueden utilizarse las matemáticas. La solución de cada problema en palabras puede dividirse en dos pasos: estrategia y solución. La estrategia consiste en leer el problema, anotar los datos que se proporcionan y los que se piden, e idear un plan para encontrar los datos que se solici-tan. La solución a menudo consiste en resolver una ecuación y luego comprobar la solución. (Vea en la página A-10 la sección Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos.)
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56 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
OBJETIVO Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la sumay la multiplicación de ecuaciones
Una ecuación expresa la igualdad de dos expre-siones matemáticas. Las expresiones pueden ser expresiones numéricas o algebraicas.
La ecuación de la derecha es una ecuación con-dicional. La ecuación es verdadera si la variable se sustituye por 3. La ecuación es falsa si la variable se sustituye por 4.
Los valores de sustitución de la variable que hacen verdadera una ecuación se llaman raíces, o soluciones, de la ecuación.
La solución de la ecuación x + 2 = 5 es 3.
La ecuación de la derecha es una identidad. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación verdadera.
La ecuación de la derecha es una ecuación sin solución porque no existe un número que se iguale a sí mismo más 1. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación falsa.
Cada una de las ecuaciones de la derecha es una ecuación de primer grado con una variable. To-das las variables tienen exponente de grado uno.
Resolver una ecuación significa encontrar una solución de la ecuación. La ecuación más simple de resolver es una ecuación de la forma variable = constante, porque la constante es la solución.
Si x = 3, entonces 3 es la solución de la ecuación, ya que 3 = 3 es una ecuación verdadera.
Al resolver una ecuación, la meta es reescribir la ecuación dada en la forma variable = constante. La propiedad de la adición de las ecuaciones puede utilizarse para reescribir en esta forma una ecuación.
PROPIEDAD DE LA SUMA DE ECUACIONES
Si a, b y c son expresiones algebraicas, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones que la ecuación a + c = b + c.
La propiedad de la suma de las ecuaciones establece que la misma cantidad puede sumarse a cada lado de una ecuación sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un término de un lado de una ecuación al sumar el opuesto de ese término en ambos lados de la ecuación.
en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la suma de las ecuaciones
A. Resuelva: x − 3 = 7
2 1 8 5 10
x 1 8 5 11
x2 1 2y 5 7
s Ecuaciones
x 1 2 5 5 Ecuación condicional3 1 2 5 5 Una ecuación verdadera4 1 2 5 5 Una ecuación falsa
x 1 2 5 x 1 2 Identidad
x 5 x 1 1 Sin solución
x 1 2 5 12 Ecuaciones de primer grado 3y 2 2 5 5y
3 1a 1 22 5 14a
Concéntrese
Ecuaciones con una variable2.1
Tome notaEl modelo de una ecuación como una balanza es aplicable.
3x – 3 7
3
Si se añade una pesa en un lado de la ecuación, se requiere añadir una pesa igual en el otro lado de la ecuación, de modo que ésta se mantenga en equilibrio.
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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones con una variable 57
Sume a cada lado de la ecuación el opuesto del término constante −3. Simplifique.
Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.
Para comprobar la solución, sustituya la va-riable con 10. Simplifique el lado izquierdo de la ecuación. Debido a que 7 = 7 es una ecuación verdadera, 10 es una solución.
B. Resuelva: x 17
125
1
2
Sume el opuesto del término constante 7
12 a cada lado de la ecuación. Esto es equivalente a restar
712 de cada lado.
Simplifique.
La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones también puede utilizarse para reescribir una ecuación en la forma variable = constante.
PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Si a, b y c son expresiones algebraicas, y c Z 0, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones como la ecuación ac = be.
La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones establece que podemos multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número diferente de cero, sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un coeficiente de un término variable en una ecuación al multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente.
en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la multiplicación delas ecuaciones
A. Resuelva: 23
4x 5 12
Multiplique cada lado de la ecuación por 243,
que es el recíproco de 234.
Simplifique.
Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.
x 2 3 5 7x 2 3 11 3 5 7 1 3
x 1 0 5 10x 5 10
Comprobación: x 2 3 5 710 2 3 7
75 7
La solución es 10.
x 17
125
1
2
x 17
122
7
125
1
22
7
12
x 1 0 56
122
7
12
x 5 21
12
La solución es 2 112.
Concéntrese
23
4x 5 12
a24
3b a23
4bx 5 a24
3b12
1x 5 216
x 5 216
Comprobación: 23
4x 5 12
23
412162 12
21 5 12
La solución es 216.
Tome notaRecuerde comprobar la solución.
x 17
125
1
2
21
121
7
12
1
2
6
12
1
2
1
25
1
2
Tome notaCuando se utiliza la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones, por lo general es más fácil multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente cuando el coeficiente es una fracción, como en el inciso A. Divida cada lado de la ecuación entre el coeficiente cuando el coeficiente sea un entero o un decimal, como en el inciso B.
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58 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
B. Resuelva: −5x = 9
La multiplicación de cada lado de la ecuación por el recíproco de −5 es equivalente a dividir cada lado de la ecuación entre −5.
Simplifique.
Usted debe comprobar la solución.
Al resolver una ecuación, a menudo es necesario aplicar las propiedades tanto de la suma como de la multiplicación de las ecuaciones.
Resuelva: 5 2 6x 5 9
Solución
5 2 6x 5 9 522 5 2 6x 5 9 2 5
26x 5 4
26x
265
4
26
x 5 22
3
La solución es223.
• Reste 5 de cada lado de la ecuación.
• Simplifique.
• Divida entre 26 cada lado de la ecuación.
• Simplifique.
Problema 1 Resuelva: 6x
52 3 5 27
Solución Revise la página S3.
Intente resolver el ejercicio 41 de la página 61.
Resuelva: 3x 2 5 5 26x 1 2
Solución 3x 2 5 5 26x 1 23x 11 6x2 5 5 26x 1 6x1 2
9x 2 5 5 2 9x 2 5 1 5 5 2 1 5
9x 5 7
9x
95
7
9
x 57
9
La solución es 79.
• Sume 6x a cada lado de la ecuación. • Sume 5 a cada lado de la ecuación.
• Divida entre 9 cada lado de la ecuación.
Problema 2 Resuelva: 3x 2 5 5 14 2 5x
Solución Revise la página S3.
Intente resolver el ejercicio 43 de la página 61.
OBJETIVO Resolver ecuaciones que contienen paréntesisCuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos al resolverla requiere utilizar la propiedad distributiva.
25x 5 9
25x
2255
9
225
1x 5 29
5
x 5 29
5
La solución es 295.
EJEMPLO 1
†
EJEMPLO 2
†
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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones con una variable 59
en resolver una ecuación que contiene paréntesis
Resuelva: 3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2
Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
Simplifique.
Sume 2x a cada lado de la ecuación.
Sume 3 a cada lado de la ecuación.
Divida entre el coeficiente 5 cada lado de la ecuación.
Compruebe la solución.
Resuelva: 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12
Solución 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 1201 x 2 35 1 2 5 12 2 3x 2 12
01 x 2 33 5 23x 233 5 213x
33
135 x
La solución es 3313.
• Utilice la propiedad distributiva.
• Simplifique.
• Reste 10x de cada lado de la
ecuación.
• Divida entre −13 cada lado de la
ecuación.
Problema 3 Resuelva: 6 15 2 x2 2 12 5 2x 2 3 14 1 x2
Solución Revise la página S3.
Intente resolver el ejercicio 57 de la página 62.
Para resolver una ecuación que contiene fracciones, primero elimine los denominadores almultiplicar cada lado de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denomina-dores.
en resolver una ecuación mediante la eliminación de los denominadores
Resuelva: x
22
7
95
x
61
2
3
Multiplique por 18 cada lado de la ecuación,que es el mcm de 2, 9, 6 y 3.
Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
Simplifique.
Reste 3x de cada lado de la ecuación.
Sume 14 a cada lado de la ecuación.
Divida entre el coeficiente 6 cada lado de la ecuación.
Compruebe la solución.
Concéntrese
3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2 3x22 6 1 3 5 122 2x
3x 2 3 5 12 2 2x
5x 2 3 5 12
5x 5 15
x 5 3
La solución es 3.
EJEMPLO 3
†
Concéntrese
x
22
7
95
x
61
2
3
18ax
22
7
9b 5 18ax
61
2
3b
18x
22
18 # 79
518x
61
18 # 23
9 x 2 14 5 3x 1 12
6 x 2 14 5 12
6 x 5 26
x 513
3
La solución es 133 .
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60 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
Resuelva: 3x 2 2
122
x
95
x
2
Solución 3x 2 2
122
x
95
x
2
36a3x 2 2
122
x
9b 5 36ax
2b
36 13x 2 2212
236x
95
36x
2
3 13x 2 22 2 4x 5 18x 9x 2 6 2 4x 5 18x
5x 2 6 5 18x 26 5 13x
26
135 x
La solución es 2 613.
• El mcm de 12, 9 y 2 es 36.
• Multiplique cada lado de la ecuación
por el mcm de los denominadores
• Utilice la propiedad distributiva.
• Simplifique.
Problema 4 Resuelva: 2x 2 7
32
5x 1 4
552x 2 4
30
Solución Revise la página S3.
Intente resolver el ejercicio 79 de la página 62.
OBJETIVO Problemas de aplicaciónLa solución de problemas de aplicación es principalmente una habilidad para convertir enun-ciados en ecuaciones y luego resolver las ecuaciones. Una ecuación indica que dos expresiones matemáticas son iguales. Por tanto, la conversión de un enunciado en una ecuación requiere el reconocimiento de las palabras o frases que significan igual. Estas frases incluyen “es”, “es igual que”, “equivale a” y “representa”. Una vez que la expresión se convierte en una ecuación, ésta se resuelve al reescribirla en la forma variable = constante.
Un plomero cobra $80 por una visita de servicio más $1.25 por cada minuto adicional de servicio después de los 60 min. Si la factura por un trabajo de reparación de plomería fue de $115, ¿cuántos minutos duró la visita?
Estrategia Para calcular la duración en minutos de la visita de servicio, escriba y resuelva una ecuación utilizando n para representar el número total de minutos de la visita. Por tanto n − 60 es el número de minutos adiciona-les después de los primeros 60 minutos de la visita de servicio. El precio fijo por los 60 minutos más el cargo por los minutos adicionales es el costo total de la llamada de servicio.
Solución 08 1 1.25 1n 2 602 5 11508 1 1.25n 2 75 5 115
52.1 n 1 5 5 11552.1 n 5 110 n 5 88
La visita de servicio duró 88 min.
Problema 5 Usted gana un sueldo de $34,500 y recibe 4% de incremento para el próximo año. Calcule su sueldo para el próximo año.
Solución Revise la página S4.
Intente resolver el ejercicio 95 de la página 63.
EJEMPLO 4
†
EJEMPLO 5
†
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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones con una variable 61
Ejercicios2.1
REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cómo difiere una ecuación de una expresión?
2. ¿Cuál es la propiedad de la adición de las ecuaciones y cómo se utiliza?
3. ¿Cuál es la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones y cómo se utiliza?
Determine si cada una de las ecuaciones siguientes es una ecuación de primer grado con una variable.
4. 4a 2 5 5 0
7. 2 1 3y 5 6
5. 2x 1 7
8. 6 2 2 14a 2 12
6. x2 1 3 5 4
9. 5 5 7 2 2
10. ¿Todas las ecuaciones tienen por lo menos una solución?
Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicaciónde ecuaciones (Vea las páginas 56-58.)
11. ¿es 1 una solución de 7 − 3m = 4?
12. ¿es 5 una solución de 4y − 5 = 3y?
13. ¿es −2 una solución de 6x − 1 = 7x + 1?
14. ¿es 3 una solución dex2 = 4x − 5?
PREPÁRESE
15. Para resolver la ecuación a − 42 = 13, utilice la propiedad de la suma de las ecuacio-nes para sumar ? a cada lado de la ecuación. La solución es ? .
16. Para resolver la ecuación 12 + x = 5, ? 12 de cada lado de la ecuación. La solución es ? .
17. Para resolver la ecuación 225 n = 8, utilice la propiedad de la multiplicación de las
ecuaciones para multiplicar cada lado de la ecuación por ? . La solución es ? .
18. Para resolver la ecuación 9 = 18b, la solución es ? cada lado de la ecuación por 18. La solución es ? .
Resuelva y compruebe.
19. x 2 2 5 7
22. 212 5 x 2 3
25. 2y 5 7
28. x 12
35
5
6
31. 25
12y 5
7
16
34. b 1 3.87 5 22.19
37. 2x 2 4 5 12
40. 7 5 7 2 5x
43. 2 2 3t 5 3t 2 4
20. x 2 8 5 4
23. 3x 5 12
26. 2x 5 0
29. 3a
75 221
32. 23
4x 5 2
4
7
35. 3x 1 5x 5 12
38. 5 2 7a 5 19
41. 29 5 4x 1 3
21. a 1 3 5 27
24. 8x 5 4
27. 2
71 x 5
17
21
30. 3t
85 215
33. b 2 14.72 5 218.45
36. 2x 2 7x 5 15
39. 16 5 1 2 6x
42. 2x 1 2 5 3x 1 5
†
†
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62 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
44. 3x 2 2x 1 7 5 12 2 4x
46. 2x 2 5 1 7x 5 11 2 3x 1 4x
45. 2x 2 9x 1 3 5 6 2 5x
47. 9 1 4x 2 12 5 23x 1 5x 1 8
48. r es un número positivo menor que 1. ¿La solución de la ecuación 109 1 x 5 r es posi tiva
o negativa?
49. a es un número negativo menor que −5. ¿La solución de la ecuación a = −5b es menor o mayor que 1?
Resolver ecuaciones que contienen paréntesis (Revise las páginas 58-60.)
PREPÁRESE
50. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación 9x – 3(5 − x)= 3(8x + 7): 9 − ? + ? = ? + ?
51. Para eliminar los denominadores de la ecuación x7 11
14 516, multiplique cada lado de
la ecuación por ? , el mínimo común múltiplo de los denominadores 7, 14 y 6.
Resuelva y compruebe.
52. 2x 1 2 1x 1 12 5 10
55. 5 12 2 b2 5 23 1b 2 32
53. 2x 1 3 1x 2 52 5 15
56. 3 2 2 1y 2 32 5 4y 2 7
54. 2 1a 2 32 5 2 14 2 2a2
57. 3 1y 2 52 2 5y 5 2y 1 9
58. 4 1x 2 22 1 2 5 4x 2 2 12 2 x2
60. 2 12d 1 12 2 3d 5 5 13d 2 22 1 4d
62. 4 33 1 5 13 2 x2 1 2x 4 5 6 2 2x
64. 2 3b 2 14b 2 52 4 5 3b 1 4
66. 4 3a 2 13a 2 52 4 5 a 2 7
68. 23 1x 2 22 5 2 3x 2 4 1x 2 22 1 x 4
70. 2
9t 2
5
65
1
12t
72. 2
3x 2
5
6x 2 3 5
1
2 x 2 5
74. 3x 2 2
42 3x 5 12
76. x 2 2
42
x 1 5
65
5x 2 2
9
78. 2
3115 2 6a2 5
5
6112a 1 182
80. 1
31x 2 72 1 5 5 6x 1 4
82. 7
8x 2
1
45
3
4x 2
1
2
84. 24.2 1 p 1 3.42 5 11.13
86. 0.11x 1 0.04 700 2 x 5 0.06 700
59. 2x 2 3 1x 2 42 5 2 13 2 2x2 1 2
61. 24 17y 2 12 1 5y 5 22 13y 1 42 2 3y
63. 2 34 1 2 15 2 x2 2 2x 4 5 4x 2 7
65. 23 3x 1 4 1x 1 12 4 5 x 1 4
67. 5 2 6 32t 2 2 1t 1 32 4 5 8 2 t
69. 3 3x 2 12 2 x2 2 2x 4 5 3 14 2 x2
71. 3
4t 2
7
125
1
6
73. 1
2x 2
3
4x 1
5
85
3
2x 2
5
2
75. 2a 2 9
51 3 5 2a
77. 2x 2 1
41
3x 1 4
85
1 2 4x
12
79. 1
5120x 1 302 5
1
316x 1 362
81. 2 1y 2 42 1 8 51
216y 1 202
83. 1
2x 2
3
55
2
5x 1
1
2
85. 21.6 1b 2 2.352 5 211.28
87. x 1 0.06 60 5 0.20 x 1 20 1 1 112 2 2 2
2
†
†
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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones con una variable 63
88. Considere la ecuación 23 35 2 4 1x 2 22 4 5 5 1x 2 52 . ¿Cuántas veces utilizaría la pro-piedad distributiva para eliminar los símbolos de agrupación si resuelve la ecuación?
89. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes es equivalente a la ecuación del ejercicio 88?
(i) 215 1 12 1x 2 22 5 5x 2 25 (ii) 23 3x 2 2 4 5 5 1x 2 52
(iii) 23 35 2 4x 2 8 4 5 5x 2 25
Problemas de aplicación (Revise la página 60.)
PREPÁRESE
90. Cuando una expresión se convierte en una ecuación, la palabra “es” se convierte en el signo ? .
91. Suponga que 10 amigos van a cenar a un restaurante. Algunas personas del grupo ordenan el buffet, mientras que el resto ordena el combo de sopa y sándwich. Si 2 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces una expresión que representa el número de personas que ordenan elcombo de sopa y sándwich es ? .
92. Temperatura La temperatura Fahrenheit es 59°. Esto es 32° más que 95 de la temperatura Celsius. Calcule la temperatura Celsius.
93. Temperatura La temperatura Celsius en una mañana de otoño fue de 5º. Esto es 59 de la diferencia entre la temperatura Fahrenheit y 32°. Calcule la temperatura Fahrenheit.
94. Mano de obra La factura por la reparación de su automóvil es por $428.55. El cargo por las refacciones fue de $148.55. Un mecánico trabajó en su automóvil durante 4 horas. ¿Cuál fue el cargo por hora de mano de obra?
95. Consumerismo Una tienda local de alimentos vende por $10.90 una bolsa de 100 libras de alimento. Si un cliente compra más de una bolsa, cada bolsa adicional cuesta $10.50. Un cliente compró $84.40 de alimento. ¿Cuántas bolsas de 100 libras de alimentocompró?
96. Consumerismo El Showcase Cinema of Lawrence cobra $7.75 por un boleto de adultos y $4.75 por un boleto de niños para todos los espectáculos antes de las 6:00 P.M. Si una familia de seis integrantes paga $34.50 para entrar a un espectáculo por la tarde, ¿cuántos boletos de adultos y cuántos de niños compró la familia?
97. Sueldos Vea el recorte de prensa de la derecha. Calcule la tarifa por hora que se pagará a los profesores por las horas extra que trabajarán.
98. Consumerismo La tarifa de admisión por familia en un zoológico de la ciudad es $7.50 por la primera persona y $4.25 por cada miembro de la familia adicional. ¿Cuántas perso-nas hay en una familia que paga $28.75 por su admisión?
99. Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta en Char-lotte fue $4681.25, más 25% de sus ingresos que rebasan los $34,000. Si pagó $8181.25 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuál fue su ingreso anual?
100. Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta para una pareja de esposos que presentan juntos su declaración de impuestos fue $9362.50, más 25% de sus ingresos que rebasan los $68,000. Si pagaron $10,612.50 por el impuesto fede-ral sobre la renta, ¿cuáles fueron sus ingresos anuales?
†
En las noticias
Horas extra para los profesoresEn un esfuerzo por mejorar el desempeño de los estudiantes,se solicitó a los profesores de12 escuelas de la ciudad que, por un incremento de sueldo relativamente pequeño, traba-jen más horas al día el próxi-mo año. Por trabajar 190 horas adicionales, un profesor que actualmente gana 79,400 dólares al año vería que su sueldo aumenta a 83,500 dólares al año.
Fuente: The Boston Globe
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64 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
APLICACIÓN DE CONCEPTOSResuelva.
101. 1
1
y
5 29
103. 10
3
x
2 5 5 4x
.201 8 41
x5 23
.401 6
7
a
5 218
Resuelva. Si la ecuación no tiene solución, escriba “sin solución”.
105. 2 33 1x 1 42 2 2 1x 1 12 4 5 5x 1 3 11 2 x2
107. 4 3 1x 2 32 1 2 11 2 x2 4
55 x 1 1
109. 3 12x 1 22 2 4 1x 2 32 5 2 1x 1 92
.601 3 34 1 y 1 22 2 1 y 1 52 4 5 3 13y 1 12
.801 4 1x 2 52 2 1x 1 12
35 x 2 7
.011 2584 4 x 5 5446
x
PROYECTOS 0 ACTIVIDADES EN EQUIPORecuerde que un número entero par es un entero que es divisible entre 2. Un número entero impar es un entero que no es divisible entre 2.
Los enteros consecutivos son enteros que siguen en orden uno después de otro. Los ejemplos de enteros consecutivos se muestran a la derecha.
A la derecha se muestran ejemplos de enteros pares consecutivos.
A la derecha se muestran enteros impares con-secutivos.
111. La suma de tres números enteros consecutivos es 33. Encuentre los enteros.
112. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 105. Encuentre los enteros.
113. La suma de cuatro números enteros pares consecutivos es 92. Encuentre los enteros.
OBJETIVO Problemas de mezcla de valores
Un problema de mezcla de valores implica la combinación de dos ingredientes que tienen pre-cios diferentes en una sola mezcla. Por ejemplo, un fabricante de café puede mezclar dos tipos de café en una mezcla única.
Una solución a un problema de mezcla de valores se basa en la ecuación V = AC, donde V es el valor del ingrediente, A la cantidad del ingrediente y C el costo por unidad del ingrediente.
8, 9, 10 23, 22, 21n, n 1 1, n 1 2, donde n es un número entero
16, 18, 20 26, 24, 22n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero par
11, 13, 15 223, 221, 219n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero impar
Mezcla de valores y problemas de movimiento2.2
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SECCIÓN 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 65
Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación de mezcla de valores para obtener el valor de 12 libras de café que cuestan $5.25 por libra.
V 5 AC
V 5 12 15.252
V 5 63
El valor del café es $63.
Resuelva: ¿Cuántas libras de cacahuates que cuestan $2.25 por libra deben mezclarse con 40 libras de nueces de la India que cuestan $6.00 por libra para hacer una mezcla que cuesta $3.50 por libra?
ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES
� Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.
Cantidad de cacahuates: x
Cantidad, A # Costo unitario, C = Valor, V
Cacahuates x # 2.25 = 2.25x
Nueces de la India
40 # 6.00 = 6.00(40)
Mezcla x + 40 # 3.50 = 3.50(x + 40)
� Determine cómo se relacionan los valores de los ingredientes individuales. Utilice el hecho de que la suma de los valores de los ingredientes es igual al valor de la mezcla.
La suma de los valores de los cacahuates y las nueces de la India es igual al valor de la mezcla.
2.25x 1 6.00 1402 5 3.50 1x 1 402
52.2 x 1 240 5 3.50x 1 140
21.25x 1 240 5 140
21.25x 5 2100
x 5 80
La mezcla debe contener 80 lb de cacahuates.
¿Cuántas onzas de una aleación de oro que cuesta $320 la onza deben mezclarse con 100 onzas de una aleación que cuesta $100 la onza para elaborar una mezcla que cuesta $160 la onza?
EJEMPLO 1
$2.25por
libra
$6.00por
libra
$3.50
por
libra
100 onzas
x onzas
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66 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado
Estrategia � Onzas de la aleación de oro de $320: x
Cantidad Costo Valor
Aleación de $320
x 320 320x
Aleación de $100
100 100 100(100)
Mezcla x + 100 160 160(x + 100)
� La suma de los valores antes de la mezcla es igual al valor después de la mezcla.
Solución 320x 1 100 11002 5 160 1x 1 1002023 x 1 10,000 5 160x 1 16,000061 x 1 10,000 5 16,000
061 x 5 6000 x 5 37.5
La mezcla debe contener 37.5 onzas de la aleación de oro de $320.
Problema 1 Un carnicero mezcló carne molida para hamburguesa que cuesta $4.00 por libra con otra que cuesta $2.80 por libra. ¿Cuántas libras de cada una se utilizaron para elaborar una mezcla de 75 libras que cuesta $3.20 por libra?
Solución Revise la página S4.
Intente resolver el ejercicio 15 de la página 72.
OBJETIVO Problemas de movimiento uniforme
Cualquier objeto que se desplaza a una velocidad constante en línea recta se dice que está en movimiento uniforme. El movimiento uniforme significa que la velocidad y la dirección de un objeto no cambian. Por ejemplo, un tren que viaja a una velocidad constante de 50 millas por hora en una vía recta está en movimiento uniforme.
La solución de un problema de movimiento uniforme se basa en la ecuación d = r t, donde d es la distancia recorrida, r la velocidad a que se viaja y t el tiempo que dura el viaje. Por ejemplo, suponga que un tren viaja durante 2 horas a una velocidad promedio de 45 mph. Debido a que el tiempo (2 horas) y la velocidad (45 mph) son conocidas, podemos calcular la distancia recorrida al resolver d para la ecuación d = rt.
d 5 rt
d 5 45 122 • r 5 45, t 5 2
d 5 90
El tren viaja una distancia de 90 millas.
en utilizar la ecuación d = rt
Un chef sale de un restaurante y conduce a su casa, que está a 16 millas de distancia. Si el chef tarda 20 minutos en llegar, ¿cuál es la velocidad promedio a la que conduce?
Dado que la respuesta debe estar en millas por hora y el tiempo en minutos, convierta
20 minutos a horas: nim 02 52060 h 5 1
3 h.
†
Concéntrese
Cómo se usaEl receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS) de un automóvil utiliza en repetidas ocasiones la ecuación d = rt cada vez que determina la ubicación del automóvil, siendo r la velocidad de la luz y t el tiempo que tarda una señal en viajar desde un satélite GPS al receptor en el automóvil.
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SECCIÓN 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 67
Para calcular la tasa de velocidad, resuelva r para la ecuación d = rt, sustituyendo los valores d = 16 y t 5 1
3.
Si dos objetos se mueven en direcciones opuestas, en-tonces la velocidad a la cual la distancia entre ellos está aumentando es la suma de las velocidades de los dosobjetos. Por ejemplo, en el diagrama de la derecha, dos corredores parten del mismo punto y corren en direcciones opuestas. La distancia entre ellos cambia a una velocidad de 21 pies/s.
Asimismo, si dos objetos se mueven aproximándose entre sí, la distancia entre ellos está disminuyendo a una velocidad que es igual a la suma de las veloci-dades. La velocidad a la cual los dos ciclistas de la derecha se aproximan entre sí es 35 mph.
en utilizar la ecuación d = rt
Dos automóviles parten del mismo punto y se mueven en direcciones opuestas. El auto-móvil que se desplaza hacia el oeste viaja a 50 mph, y el que se desplaza al este viaja a 65 mph. ¿En cuántas horas los automóviles estarán a 230 millas de distancia?
Los automóviles se desplazan en direcciones opuestas, así que la velocidad a la cual la distancia entre ellos está cambiando es la suma de las velo-cidades de los automóviles. Por tanto, r = 115.
La distancia es 230 millas. Para calcular el tiempo, resuelva para t d = rt.
La velocidad de crucero típica de un avión Boeing 777es 525 mph. Sin embargo, el viento afecta la velocidad del avión. Por ejemplo, cuando un avión está volando de California a Nueva York, el viento está por lo general en la dirección de vuelo, aumentando así la velocidad efectiva del avión. Si la velocidad del viento es de50 mph, entonces la velocidad efectiva del avión es la suma de la velocidad del avión y la velocidad del viento: 525 mph + 50 mph = 575 mph.
d 5 rt
16 5 ra1
3b
61 51
3r
13216 5 132 13
r
84 5 r
La velocidad media es 48 mph.
12 pies/s
9 pies/s + 12 pies/s = 21 pies/s
9 pies/s
20 mph
35 mph
15 mph
Concéntrese
65 mph
115 mph
50 mph
d 5 rt 230 5 115t
230
1155
115t
115
25 t
El tiempo es 2 h.
Velocidad efectiva
575 mph
viento
50 mph 525 mph
Tome notaLa abreviatura pies/s significa “pies por segundo”.
50 mph + 65 mph = 115 mph
Tome notaLa corriente en chorro que fluye generalmente de oeste a este a través de Estados Unidos afecta el tiempo que tarda un avión en volar desde Los Ángeles a Nueva York. Por ejemplo, en un día cualquiera, el tiempo de vuelo desde Nueva York a Los Ángeles es aproximadamente unos 40 minutos más largo que el viaje de Los Ángeles a Nueva York.
03_Cap-02_AUFMANN.indd 67 12/10/12 05:59 p.m.
Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión
de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la
experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a
esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar
con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita
que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta fi nal es incrementar el
enfoque en el estudiante.
• Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se
incluyen al fi nal de cada Ejemplo/Problema par.
• La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo
específi co de problema que debe dominar para
tener éxito en los ejercicios de tarea o en un
examen.
• Los ejercicios de Aplicación de conceptos
profundizarán su comprensión de los temas de
la sección.
• Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará
a observar la utilidad de las matemáticas en
nuestro mundo cotidiano. Se basa en
la información obtenida de fuentes de medios
de comunicación conocidos, como periódicos,
revistas e Internet.
• Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se
incluyen al fi nal de cada serie de ejercicios.
• Los recuadros Punto de interés, que mantienen
relación con el tema objeto de discusión de
estas cuestiones, pueden ser de naturaleza
histórica o de interés general.
• Nueva sección Cómo se usa. Estos
recuadros se relacionan con el tema en
estudio. Presentan escenarios del mundo
real que demuestran la utilidad de los
conceptos seleccionados en el libro.
• Los recuadros de Tecnología contienen
instrucciones para utilizar una calculadora
grafi cadora.
• El enfoque del libro en la solución de
problemas hace hincapié en la importancia de
una estrategia bien defi nida. Las estrategias
del modelo se presentan como guías para que
a medida que intente resolver el problema, al
mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo
numerado.
Confi amos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a
comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo
abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las
habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.
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