algebra iii bim nivel 1

Nombre Del Alumno: ……………………………………………………………………

IEP BEN CARSONALGEBRA.

“Piensa en Grande” Página 2

ALGEBRA. III BIM.


Í n d i c ePág.

..............................................Monomios: Grados de un monomio 45

.............................................Adición y sustracción de monomios 47

...........................................................Multiplicación de monomios 55

........................................................................División de monomios 57

...........................................Polinomios: Grados de un polinomio 59

...........................................Adición y sustracción de polinomios 63

..............................................Multiplicación de un monomio por

..........................................................................................un polinomio 67



Monomio, tiene un sólo término algebraico.

• Por ejemplo: 4x3y4 ; +2x2 ; x2y3z4

también: M(x) = +5x2 ; M(x;y) = +10x3y4

Grados de un monomio

Cuando el monomio presenta dos o más variables se considera dos grados:

a. Grado absoluto (G.A.) Cuando se refiere a todas sus variables y está indicado por la suma de los exponentes de las variables.

b. Grado relativo (G.R.)Cuando se refiere a una sola variable y está indicado por el exponente de la variable en mención.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

M(x;y) = 3x2y3 N(x;y;z) = 5x3y4z2

G.A. = 5 = 2 + 3 G.A. = 3 + 4 + 2 = 9

G.R.(x) = 2 G.R.(x) = 3; G.R.(y) = 4; G.R.(z) = 2

G.R.(y) = 3

AHORA HAZLO TÚ

1. Identificar las variables de los siguientes monomios:

a. A(x) = 5ax2

Variable(s): ____________

G.A. = ____________

b. B(x) = 3a2b3x4


c. C(x) = a3b4c2x10

Variable(s): ____________

G.A. = ____________

d. D(x;y) = 2x2y3

Variable(s):GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GA = ____________


Variable(s): ____________

G.A. = ____________

e. E(x;y) = 6abx2y7

Variable(s):GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GA = ____________

f. F(x;y;z) = 4x3y4z9

Variable(s): ____________GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GA = ____________

2. Si: A(x) = 6x2, entonces:

GR(x) = ____________

GA = ____________

3. Si: B(x;y) = 6x4y5, entonces:

GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GA = ____________

4. Si: C(x;y) = 7a2b3x6y3, entonces:

GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GA = ____________

5. Calcular el valor de "a", si:


6. Si: N(x;y) = 30x2yb;

es de grado absoluto 9. Hallar el valor de

"b".

Rpta.: ____________________

7. Sea: A(x;y) = axby5,

hallar el valor de "b", si el monomio es de

grado absoluto 12.

Rpta.: ____________________

8. Hallar el "GR(x)", si:

B(x;y) = xay4

es de grado absoluto 7.

Rpta.: ____________________

9. Sea "x" un monomio, entonces:

GR(x) = ____________

GA = ____________

10. Sea "xyz" un monomio, entonces:

GR(x) = ____________

GR(y) = ____________

GR(z) = ____________GA = ____________

O bservació n:

E l signo positivo (+ ) delante de una

cantidad se sobreentiende así:

5x = + 5x

Recuerda:

*

*

Cantidades de signos igua les se sum an y

se pone el m ism o signo .

Cantidades de signos d iferentes se restan

y se pone el signo del m ayor.


M(x) = 5xa

es de grado absoluto 5.

Rpta.: ____________________

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS:

ADICIÓN DE MONOMIOS

Para sumar "monomios", se escriben dichos monomios unos a continuación de

otros, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes, si los

hay.

Ejemplo:

a. Sumar: 2a3; 3b2; 5x4; +5a3; -3x4

entonces: 32a + 3b + 5x + 5a - 3x2 4 3 4

+ 7a + 3b + 2x3 2 4

b. Sumar: 4a; 3b; 6c

4a = +4a

3b = +3b

6c = +6c

La suma será: 4a + 3b + 6c

c. Sumar: 8a; -2b

8a = +8a



-2b = -2b

La suma será: 8a + (-2b)8a - 2b

* Efectuar en cada caso:

1. Sumar: 8x2; 11b3x5; -3a2; -3b3x5

2 Sumar: 9a3x4; -3a3x4; 3a2; 4a2

3. Sumar: 10x; +50x; -40x; +5x; -x

4. Sumar tres veces "x", con cinco veces "x"

5. Sumar siete veces "x", con nueve veces "x".

6. Sumar el triple de "x" al cuadrado, con el doble de "x" al cuadrado.



7. Sumar el cuadruple de "x" al cubo con 7x3.

¡AHORA HAZLO TÚ!

Afina tu destreza y con mucha limpieza resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Suma: 4x3; 5x3; 11x3; 15x3; 3x3

a. x3 b. 2x3 c 38x3 d. 4x3

2. Suma: 5x; 9y; 7x; 11y; 12x; 19y

a. 1 b 2x + 39y c. y d. x + y

3. Interpreta y efectúa:

a. Agregar a 9 veces "x" al cubo; 6 veces "x" al cubo.b. Agregar a 15 veces "x" al cuadrado; 11 veces "x" al cuadrado.c. Siendo "x" el precio de un caramelo, ¿cuánto gastó si compra 1; 2; 3 y 4 caramelos?

4. Si: M(x) = 3x2; N(x) = 10x2; S(x) = x2

hallar el valor de:

a. M(x) + N(x) b. M(x) + S(x)

c. N(x) + S(x) d. M(x) + N(x) + S(x)

5. Si: R(x;y) = 7x2y3; S(x;y) = 3x2y3; T(x;y) = 15x2y3

hallar el valor de:

a. R(x;y) + S(x;y) b. R(x;y) + S(x;y) + T(x;y)

c. T(x;y) + S(x;y) d. R(x;y) + T(x;y)

6. Si: Q(x) = 18y3; D(y) = 6y3; C(y) = 11y3

hallar el valor de:

a. C(y) + D(y) + Q(y) b. D(y) + C(y)



c. Q(y) + D(y) d. C(y) + Q(y)

7. Si: F(x;y) = 126x3y2; B(x;y) = 28x3y2; Z(x;y) = 261x3y2

hallar el valor de:

a. B(x;y) + Z(x;y) b. F(x;y) + B(x;y)

c. Z(x;y) + F(x;y) + B(x;y) d. F(x;y) + Z(x;y)

8. Considera los siguientes monomios para luego hallar lo que se te pide.

M(x;y) = 5x2y3; N(x;y) = -18x2y3; S(x;y) = 6x2y3

a. M(x;y) + N(x;y) d. M(x;y) + N(x;y) + S(x;y)

b. M(x;y) + S(x;y) e. GR(x) en M(x;y)

c. N(x;y) + S(x;y) f. G.A. en N(x;y)

9. Halla la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono.

Triángulo equilátero

Perímetro : _ _ _ _ _ _ _ _ _

10x2

Cuadrado

Perímetro : _ _ _ _ _ _ _ _ _

5y

Triángulo isósceles

Perímetro: _ _ _ _ _ _ _ _ _

7x

Rectángu lo

Perímetro: _ _ _ _ _ _ _ _ _

2x - 1

5y4x + 3



SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

Para restar dos monomios se escribe primero el monomio "minuendo" con su

respectivo signo y a continuación el monomio "sustraendo", con el signo

cambiado.

MINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA

Ejemplo: Efectuar:

a. (5a3x2) - (2a3x2)

entonces: 5a3x2 - 2a3x2 = 3a3x2

b. 8a3 - (-5a3)

entonces: 8a3 + 5a3 =

c. 5b4m3 - (-2b4m3)

entonces:

Ejemplo: Restar:

a. 3x2 de 12x2

entonces: 12x2 - 3x2 = 9x2

b. 7y3z4 de 21y3z4

c. x7y7 de 16x7y7


Recuerda:

S i delante de una cantidad está e l signo

m enos, ésta cam bia de signo.

- ( -2 ) = + 2

- (+ 3) = -3

- (4 ) = - 4

- ( -7 ) = 7

Recuerda:

*

*

Cantidades del m ism o signo se sum an

y se po ne e l m ism o s igno.

Cantidades de signos contrarios se

restan y se pone e l signo de l m ayor.


Ejemplo:

a. De: 17x2y3 restar 2x2y3

entonces: 17x2y3 - (2x2y3)

17x2y3 - 2x2y3 = 15x2y3

b. De: 4xyz restar 2xyz

entonces:

c. De: 15x3y3 restar 12x3y3

entonces:

d. Restar 9 veces "x" de 12 veces "x"

entonces:

e. Restar 3 veces "x" de 6 veces "x"

entonces:

f. Restar 7 veces x2 de 24 veces x2

entonces:

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Efectúa las siguientes restas de monomios:

a. (16a3x5) - (7a3x5) b. 6a2 - (4a2)

c. 56m8n3 - (3m8n3) d. Restar 6x3 de 8x3

e. Restar x6y2 de 2x6y2 f. De 3xyz restar 3xyzg. De 10xm3 restar 10xm3 h. De 12x2y2 restar 10x2y2



2. Resuelve:

A. Restar 5a de 7a

a. -2a + 5 b. -2a - b + 5 c. 2a d. 2a + b - 5

B. Restar: y de z

a. -y - z b. z - y c. -z + y d. z + y

C. Restar: 6x2 de 15x2

a. x2 b. -11x2 c. 11x2 d. 9x2

D. Restar: 23x2y3 de 40x2y3

a x2y3 b. 17 c 17x2y3 d. 17x2

3. Interpreta y efectúa:

a. Quitarle a 12 veces "x" al cuadrado, 8 veces "x" al cuadrado.

b. Quitarle a 15 veces "x" al cubo, 9 veces "x" al cubo.

c. Si el precio de un chocolate es "x", ¿cuánto me queda si compro diez

chocolates y tengo 21x?

4. Si: M(x) = 23y2; J(y) = 240y2; L(y) = 135y2

hallar el valor de:

a. J(y) - M(y) b. L(y) - M(y)

c. J(y) - L(y) d. J(x) - L(y) - M(y)

5. Si: W(y;x) = 50y3x2; A(y;x) = 17y3x2; S(y;x) = 9y3x2

hallar el valor de:

a. W(y;x) - S(y;x) b. A(y;x) - S(y;x)

c. W(y;x) - A(y;x) - S(y;x) d. W(y;x) - A(y;x)

6. Si: B(x) = 3x3; C(x) = 15x3; D(x) = 6x3



hallar el valor de:

a. C(x) - D(x) b. C(x) - B(x)

c. D(x) - B(x) d. C(x) - D(x) - B(x)

7. SI: E(x;y) = 157x3y3; F(x;y) = 93x3y3; G(x;y) = 15x3y3

hallar el valor de:

a. E(x;y) - G(x;y) b. F(x;y) - G(x;y)

c. E(x;y) - G(x;y) - F(x;y) d. E(x;y) - F(x;y) - G(x;y)

Lee y completa:

Recuerda:

M ( x ) = 4 x 9M O NO M I O

Parte

N um érica

Parte

Literal

• ¿Cómo se multiplican MONOMIOS?

Primero : Se multiplican las partes numéricas, signos y números

(coeficientes).

Segundo : Se multiplican las partes literales, si tienen variables diferentes,

solo se juntan.

Si tienen variables iguales, se pone la misma variable y se

suman los exponentes.

Ejemplo:

• (4x7) (5y3) = 20x7y3

• (3x2) (2y3) = 6x2y3



• (3x9) (2x4) = 6x9 + 4 = 6x13

• (4x3) (3x2) = 12x5

• (5x4yz2) (3x4y4z2) =

• (4x7) (2y5) =

• (10x3y4) (3x4y3) =

• (7xy4) (3x2y) =

• (x3y4) (4x5y7) =

• (3xyz) (x2y3z4) =

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Hallar la expresión algebraica que representa el área de cada figura.

a.

3x2

b.

5x+5x

3x 3x

c. 4x

x

d. 7xy2

2. Hallar "A + B", si:

A = 3x2 (5x2) B = 7x4 (6)

3. Calcular el coeficiente de "A.B" si:

A = 4x3y4 (4xy) B = 7x5 (5xy8)


Área de la

Región Cuadrada

lado lado×

Área de la

Región Rectangular

largo ancho×

Área de la

Región Triangular

base altura

2

×

lado

altura


4. Indicar el exponente de "z", luego de simplificar: "P(x) . Q(x)" si:

P(x)

= 7(8x2z4) + 2x2z4 y Q(x)

= 6(5x3z2) + 9x3z2

5. Simplificar:

P(x)

= 3x2y2 (6x3y2) + 2x4y (4xy3)

• ¿Cómo se dividen MONOMIOS?

Primero : Se dividen las partes numéricas, signos y números

(coeficientes)

Segundo : Se dividen las partes literales, si tienen variables iguales, se

pone la misma variable y se restan los exponentes.

Si tienen variables diferentes, se deja el cociente indicado.

Se divide coeficiente entre coeficiente y variables iguales respectivamente.

Ejemplos:



i. Si se cumple: (ax10yb) (2xcy3) = 3xy; hallar el valor de "a + b - c"

j. Si se cumple: (15xm + nyn + 1) (px3y4) = 3x3y; hallar "mnp"

k. Si: M(x) = 58x2; N(x) = 2x; hallar: M(x) N(x)

l. Si: P(x) = 100x3; Q(x) = 25x2; hallar: P(x) Q(x)

m. Hallar: R(x) S(x); si: R(x) = 225x3 y S(x) = 15x

n. Hallar: A(x;y) B(x;y); si: A(x;y) = 35x2y2 y B(x;y) = 7xy



o. Si: C(x;y) = 48x4y5 y D(x;y) = 12x2y3; hallar: C(x;y) D(x;y)

p. Hallar: M(x) N(x); si: M(x) = 18x9 y N(x) = 6x3. El G.A. de M(x) N(x) es:

q. Hallar el G.A. de R(x) S(x); si: R(x) = 72x8 y S(x) = 9x4

Definición: Es una expresión algebraica racional entera (los exponentes de sus variables son números enteros no negativos).

Ejemplos:

a. 2x2 - 6x b. x2 + 2x + 1

c. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 d. P(x) = x2 - 2x + 4

e. P(x;y) = x2 - y2 f. Q(x) = 4x3 + 3x2 + x + 3

N úm ero s enteros no negativo ssign ifica núm eros m ayores o

iguales a cero .

Recuerda:

Grados de un polinomioTenemos que distinguir:



a. Grado relativo, respecto a una de sus variables. Está dado por el mayor exponente que dicha variable tiene en el polinomio.

Ejemplo: En: 5x2y4 + 3x3y3 + 2x4y + x5y2, luego, GR(x) = 5; GR(y) = 4

b. Grado absoluto, respecto a todas sus variables. Está dado por el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.

Ejemplo:Sea: P(x;y) = x2y6 + 3x4y5 - 2x8y2

luego: G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 6

Para calcular el grado absoluto, se debe calcular:- el grado absoluto del 1er término = 2 + 6 = 8- el grado absoluto del 2do término = 4 + 5 = 9- el grado absoluto del 3er término = 8 + 2 = 10- y el mayor es: 10 = G.A.

AHORA HAZLO TÚ

1. Identificar cuántos términos tiene cada polinomio:

a. P(x) = x2 + 2x + 1 b. P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1

Rpta.: _________________ Rpta.: _________________

c. P(x;y) = x2y2 + 3x + 3y3 d. x2 + y2 + 2xy

Rpta.: _________________ Rpta.: _________________

e. x3 + y3 + 2x2y2 + 2y3

Rpta.: _________________

2. Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios:

a. P(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 2x + 1 b. P(y) = y6 + y5 + 4y4 + 3y2 + 5

Rpta.: _________________ Rpta.: _________________



c. P(x) = 6x2 + 3x3 +7x + 8x4 d. P(x;y) = 5x2y3 + 3x4y5 + 8x

Rpta.: _________________ Rpta.: _________________

e. Q(x;y) = x6 + y6 + 3x2y4 + 6x8y3 f. R(x;y;z) = 3x3y4z8 + x8y2z + z4

Rpta.: _________________ Rpta.: _________________

3. Hallar el valor de "a", si el grado absoluto del polinomio: P(x) = xa + 3x2; es 3.

Rpta.: _________________

4. Hallar el valor de "b", si se sabe que el grado relativo de "x" es 6 en el

siguiente polinomio:

P(x;y) = 5x2y3 + 3xby4

Rpta.: _________________

5. Hallar: GR(x) y GR(y), si:

P(x;y) = 3x2y3 + x4y + y4

GR(x) = GR(y) =

6. Hallar: GR(x) ; GR(y) y GA en:

P(x;y) = 6x2 + 3y5 + x4y3 + 7

GR(x) = GR(y) = G.A. =

7. Indica verdadero (V) si la proposición es verdadera y falso (F) si es falsa.

• El grado absoluto de un polinomio es igual al grado absoluto del ( )

término de mayor grado.

• En un polinomio el grado relativo respecto a una de sus variables ( )



viene dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el

polinomio.

• Los términos algebraicos en un polinomio están separados por ( )

los signos ( + ) y ( - ).

• En: P(x;y) = 3ax2y3 las variables son "a", "x" e "y". ( )

• Si: P(x;y;z) = 5x2 + 3x4y3z + 3a sus variables son: "x" e "y". ( )

ADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar polinomios, se colocan los polinomios uno debajo del otro, de tal forma que coincidan los términos semejantes.Ejemplo:

a. Sumar: 3x2 + 6ab3 ; -2x2 + 3ab3

entonces:3 x + 6 a b

- 2 x + 3 a b

x + 9 a b

2 3

2 3

2 3

+



*

*

S i dos o m ás cantidades tienen el m ism o signo

se sum an y se pone el m ism o signo.

S i dos cantidades tienen signos co ntrarios se

restan y se pone e l signo del m ayor.

Recuerda:

b. Sumar: 9ab3 + 4z4 + 12b2y3 + 8x2; 5z4 - 7b2y3 - 5ab3

c. Sumar: 8x4z5 + 5m3 + 7x2y2; -3m3 - 7x2y2 + 2x4z5

d. Sumar: x2 + 2x + 1; +5 - 2x + 7x2

e. Sumar: 5x3 + 4x + 7; 4 - 4x - 5x3

f. Sumar: x2 +3x + 5; 3x2 + 4x - 2; -7x - 3

g. Sumar: x10 + 2x6 - x3 - 1; 2x3 - 2x6 + 2x10 + 1

h. Sumar: x2y3 + 3x3y2; 7x2y3 - 6x3y2; x2y3 + 3x3y2

i. Sumar: 7ab2 + 5c3; 2ab2 + 6c3; ab2 - 10c3

j. Sumar: 6x3y + 2xy - 9xy2; 4x3y + 8xy - xy2

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Se procede como en la suma de polinomios, sólo que esta vez al polinomio

sustraendo se le cambia de signo a cada uno de sus términos.

a. (6a3b4 + 2x3 + 3mn) - (-mn + 2x3 - a3b4)

entonces:

b. (5a3 + 7b2x3 + 9m3n8) - (4b2x3 - 7a3 - 5m3n8)

c. (3x3 + 2x2 + x + 16) - (-2x3 - 2x2 - 6x + 13)



¡AHORA HAZLO TÚ!

Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

I. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios.

a. x3 + 5x3 b. 3x2 + 8x2

c. 2xyz + 9xyz d. 11ac - 7ac

e. 13ab - 5ab + 4ab f. 5an - 4an + 11an

g. 10xm + 7xm + 16xm h. 7xy4 + 2xy4 - 6xy4

i. 6ax9 - 6ax9 + 2ax9 j. xyn + 13xyn - 10xyn - 2xyn

II. En los siguientes polinomios, reduce los términos semejantes de cada

clase.

a. 9x + 6y - 4x - 3y

b. 13ab + 6bc - 8ab + 9bc

c. 16an + 3am + 4an - an + 15am - am

d. 6x2 + 4y2 - 3x2 + 16 - 2y2 - 15

III. Resolver:

a. Restar: -5a + b + 10 de 7a + b + 18

b. Sumar: x2 + 14x; -5x + x2

c. Sumar: a + b - b - a + 2a - 2b

d. Sumar: 3x + x3; 4x2 + 5; x3 - 4x2 + 6

e. De: 31x2y restar - 12x2y

f. Restar: "c" de "b"

g. El resultado de sumar: 2x + 5x2 con el doble de x + 2x2 es:

h. Indicar el resultado del triple de la suma de: x3 + 2x2 + 3x + 1 con:

x2 - 2x2 - 2x - 1

i. ¿Cuál será el resultado de sumar: el triple de a2 + 2ab + b2 con el

doble de:

b2 - 3ab - a2?



j. De: 2x2 + 5x + 10 restar 2x2 + 2x + 3

IV. Sean los siguientes polinomios:

P(x) = 3x2 + 10x + 7

Q(x) = 9 + 11x + 16x2

R(x) = 17x3 + 3x2 + 10x + 7

calcular:

a. E = P(x) + Q(x)

b. F = R(x) - P(x)

c. G = P(x) + Q(x) + R(x)

d. H = R(x) - Q(x)

V. Completa la tabla con monomios, de tal manera que al sumar las filas,

columnas y diagonales siempre de 26x3.

3 x 3

x 3

6 x 3

16x32 x 3

5 x 3

VI. Hallar la expresión algebraica, en cada caso, que represente el perímetro

de la figura. (Reducir términos semejantes, de ser posible)

Perímetro es la suma de todas las longitudes de los lados del polígono.



a.

x + 5

x + 1

P =

P = b.

x + 2

P =

P =

c.

P =

P =

x + 10

x + 8

x + 6

d.

P =

P =

5x4x

3x



AHORA HAZLO TÚ

1. Resuelve y luego simplifica si es posible:

a. 7(8x + 3) g. 3x(3 + 5x2 + 3x3)

b. 6(3x - 3) h. 8x(7x3 - 5x2 + 6x)

c. 8(x2 + 5x - 10) i. 4x2 (5x3 - 6x4 + 3x5)

d. 9(x3 + 3x2 - 4x) j. 5x2 (3x2 - 8x3 - 10x4)

e. 10(x2 + 6x - 6) k. 12x3 (6x2 - 7x4 - 8x6)

f. 11(6x3 - 3x2 + 4x) l. 9x3(3x3 - 6x2 - 3)

2. Simplificar en cada uno de los siguientes casos:



a. P(x) = 3x(2 + 4x) + (5x + 2)2x

b. Q(x) = 6(3x2 + 2) + 8(5x2 - 1)

c. R(x) = 4x2(5 + 3x) + 6x2(6 + 8x)

d. S(x) = 5x3(x2 + 7) + 7x3(x2 - 4)

e. T(x) = x4(x2 + x3) + x4(x3 - x2)

f. V(x) = 8(x2 + 1) + 6(x2 + 2)

g. U(x) = 9(12x + 3) + 7(12x + 4)


algebra iii bim nivel 1

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