Escuela Politecnica NacionalAlgebra I

Milton Torres Espana

16 de abril de 2013

Demostrar que

|A tI| = (1)ntn + (1)n1(trA)tn1 + . . . + |A|

donde A = (aij) una matriz cuadrada de orden n.

Solucion:La determinante |A tI| forma el polinomio caracterstico de A, si los elementos de la matrizson numeros enteros, tambien lo son los coeficientes de polinomio caractersitico, multiplicadopor (1)n. De manera general se cumple para cualquier numero. Entonces tenemos que

P (t) = (1)n(tn c1tn1 c2tn2 . . . cn) (1)

De donde podemos notar que los coeficientes se obtienen mediante multiplicaciones, adicionesy sustracciones.

Para demostrar la relacion propuesta debemos encontrar los valores de los coeficientes c1y cn.Si usamos la formula de Vieta* que dice que la suma de las races de un polinomio es igual a

cn1cn

Esta suma corresponde a la traza de A. Ademas por la misma formula se obtiene el resultadoque cn = (1)n1det(A). En resumen sabemos que

c1 = tr(A), cn = (1)n1det(A) (2)

Reemplazamos ambos resultados en el lado derecho de la ecuacion (1) y obtenemos que

P (t) = (1)n(tn + tr(A)tn1 c2tn2 . . . (1)n1det(A))

simplificando tenemos que

P (t) = (1)ntn + (1)n1(trA)tn1 + . . . + det(A)

1

Con lo que probamos la relacion propuesta.

*Formula de Francois Viete es una formula que relaciona los coeficientes de un polinomiocon la suma y producto de sus races.

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