NÚMEROS ENTEROS

EL CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO

No es difícil imaginar cómo, en algún momento del transcurrirde la historia, el hombre descubrió que para medir ciertasmagnitudes es conveniente considerar su valoración en unsentido y otro, por encima y por debajo del origen prefijado.Veamos algunos ejemplos:

Los bloques de vivienda tienen pisos por encima y por debajodel nivel de suelo. Si se pretenden numerar esos pisos, pareceimposible denominar al piso 0 al que se encuentra al nivel delsuelo, y llamar 1 al primero sobre ese nivel, 2 al segundo sobreese nivel, etc.; entonces se precisan otros números “menores”que cero, para designar a los pisos por debajo dl suelo.

Si la temperatura desciende 10° C a partirde unatemperatura de 5°C, se alcanzan los 5°C bajo cero. Ellonos informa de cuanto tiene que volver a subir paraalcanzar el punto de fusión del hielo. Si no se contara“por debajo del cero” se carecería de tal información.

Las matemáticas proporcionan una manera

unificada de tratar las cantidades como 5°C bajo

cero. Todo consiste en anteponer al número el signo

menos e interpretarlo como la cantidad que falta

para alcanzar el origen de la escala de que se trate;

así se dice que la temperatura es de -5°C. Estos

números se llaman negativos.

Por cada número natural, como 1, 2, ó 304, hay otro

negativo, -1, -2, -304. En este contexto, a los

números naturales se les denomina positivos. Por

Ello, con frecuencia, al hablar de natural se insiste

en su carácter positivo y se escribe +3 en lugar de

3.

Resulta así que los números enteros provienen de

incorporar a los números ya conocidos, los

naturales y el cero, otros números que permiten

expresar unas cantidades un tanto extrañas.

aquellas que se consideran negativas, pero

imprescindibles a partir de ciertacomplicación del

modo de vida.

Los números enteros pueden representarse

gráficamente.

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS RACIONALES

Las unidades de medida de algunas magnitudes

como la longitud, superficie, masa, capacidad, etc.,

pueden subdividirse en tantas partes iguales como

se desee. Entonces, el problema de repartir cierta

cantidad de manera equitativa se resuelve tomando

como nueva unidad de medida una parte o

fracción de la unidad inicial. A los números que

representan estas cantidades fraccionarias se les

denomina números racionales.

FRACCIONES

OPERACIONES CON FRACCIONES

EXPRESIÓN RACIONAL DE LOS NÚMEROS

RACIONALESAdemás de las fracciones hay otras formas de representar un numero racional. Lamas importante es la decimal que consiste en una extensión de la ya vista para losnúmeros enteros.Como sabemos, en el sistema de numeración decimal los números enteros seagrupan en unidades, decenas, centenas, etc. Estas agrupaciones resultaninadecuadas para dar cabida a partes mas pequeñas la unidad. En su lugar, hayque considerar nuevas agrupaciones que, siguiendo la regla del sistema decimal deir de diez en diez, resulten útiles para representar las fracciones de la unidad. Enconcreto, si se divide la unidad en diez partes iguales, se puede tomar comopatrón de agrupación la decima parte de la unidad, de modo, que diez decimasformen una unidad; si se divide la unidad en cien partes se puede tomar lacentésima de modo que cien centésimas formen una unidad.

CONSTRUCCIÓN DE

CÍRCULOS A PARTIR

DE DIFERENTES

DATOS

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos

puntos están todos a la misma distancia de un punto

fijo llamado centro.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es la línea que rodea a un círculo y todos sus puntos seencuentran a la misma distancia del centro del círculo. Generalmente se representacon la letra C la longitud de la circunferencia y con D la del diámetro.

Por ejemplo, para adornar el borde un reloj se necesitaron aproximadamente 41 cm delistón. El reloj tenía un diámetro de 13 cm. Si divides 41 cm entre 13 cm, se obtendría:

41 = 3.153813 Al rodar un bote de 12.1 cm de diámetro, se observó que al

dar una vuelta completa recorrió 37.99 cm. Si divides 37.99 cm entre 12.1, se obtendría: 3.1396

Los cocientes que se obtuvieron en ambos ejemplos sonmuy parecidos. Al dividir la medida de la circunferenciaentre la medida del diámetro del círculo se obtiene elmismo valor en cualquier circunferencia. Este valor esaproximado a 3.1416 y se indica con la letra griega (pi).

Por tanto, para saber cuánto mide una circunferencia, se multiplica el valor de pi por eldiámetro del círculo.

Circunferencia = pi x diámetroComo la medida del diámetro equivale a la medida de dos radios, entonces:Circunferencia = pi x 2r, o bien = circunferencia = 2 pi· r

Ejemplo:Calcular la circunferencia de un círculo cuyo diámetro mide 6 cm.Aplicando la fórmula conocida:C = p x dSustituimos los valores: C = 3.14 x 6 = 18.84El resultado es 18.84 cm.El perímetro del círculo central de la cancha de futbol de una escuela mide 31.4 m¿Cuánto mide su diámetro?En este caso, la fórmula quedaría de la siguiente forma:C = p d d = C

piSustituyendo los valores: 31.4 = 10 m

3.14

Resultado: d = 10 m

ÁREA DEL CÍRCULO

El círculo es la región limitada por una circunferencia, se le considera como unpolígono en el que cada punto de la circunferencia representa un lado delpolígono. Esto significa que la apotema del círculo es igual a la medida del radio.

El área del círculo es igual al producto del cuadrado del radio por pi . Esto se debea que en el diámetro de la circunferencia caben dos radios (d = 2r) y que pi seconsidera como 3.1416.Ejemplo:Calcular el área de un círculo de 4 cm de radio.Área del círculo = p r2

A = 3.1416 x (4 cm)2

A = 3.1416 x 16 cm2

A = 50.2656 cm2

Para escribirle utilizamos una letra griega π llamada piEl número π no es un número natural ni racional porque tiene infinidad decifras decimales.

π = 3.141592654.....Normalmente empleamos dos cifras decimales y decimosπ = 3.14La ecuación de la longitud de la circunferencia es:

longitud = π · diámetro

l = π · d

Tomando de referencia el radio:

longitud = 2 · π · radiol = 2 · π · r

La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidadcomparándola con otras tres o más cantidades conocidas.

Regla de tres simple y directaSe aplica cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamenteproporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudescorrespondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Un albañil esta construyendo una casa de ladrillo, se sabe que el albañil coloca 8ladrillos en 47 segundos. Cuántos ladrillos logrará colocar en 230 segundos?Ahora analizamos la información dada, esto es que nos están hablando de 2 diferentesunidades (ladrillos y segundos) colocamos la información en orden como se muestra:

Datos

8 ladrillos -------> 47 seg donde X = Cuántos ladrillos logrará colocarX -------> 230 seg

Multiplicamos cruzado 8 x 230 y X x 47 obteniendo esta ecuación con una incógnita que es X:1840 = 47XAhora realizamos despeje y división:1840/47 = XY tenemos como resultado que el albañil colocará 39.14 ó 39 ladrillos en 230 seg.

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/tabla-circulo.php

http://geogebra.es/cvg/html/circulo.html

http://www.tareasya.com.mx/index.php/tareasya/secundaria/matematicas/geometria/2147.

Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes mediales.

Relación de proporcionalidadUna relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina cociente de proporcionalidad

¿Qué significa que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo?.

Ejemplo: Sabiendo que los paquetes de caramelos cuestan lo mismo. 2 paquetes de caramelos cuestan $6, 5 paquetes de caramelos cuestan $15, 4 paquetes de caramelos cuestan $12

6 dividido 2 , 15 dividido 5 ,12 dividido 4, siempre es igual a 3, que es el costo de 1 paquete de caramelo.

Ejemplos:

1. Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

Factor inverso en una relación de proporcionalidad

Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuandoal aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

EJEMPLO:

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores enhacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempoque se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, elnúmero de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

Regla de tres simple inversa

Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud

calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen

las relaciones:A más-----menos.

A menos -----más.

Un grifo que manda 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x h

Factor inverso en una relación de proporcionalidad

FACTOR DE ESCALA:

Es una medida de distancia en cosmología. La distancia entre dos

galaxias cualesquiera, por ejemplo, es proporcional al factor de

escala, que siempre está aumentando en un universo en expansión.

Si el factor de escala duplica su tamaño, entonces la distancia entre

dos galaxias cualesquiera también se duplica.

EJEMPLO:Determinen y utilicen el factor inverso en una relación de proporcionalidad.

Actividad: Van a trabajar en parejas para resolver el siguiente problema: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer mediciones.

Son problemas en donde se requiere contar una cantidadde formas de hacer algo dado un número de elementoselegidos entre un grupo igual o mayor al que pertenecenlos mismos.

Se resuelven con diagramas de árbol, factoriales,permutaciones, combinaciones, reglas de multiplicación ysuma (regla de la probabilidad total, regla de Laplace,reglas de probabilidad condicional, etc).

Regla de Laplace

Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de lossucesos favorables y de los sucesos posibles a veces noplantea ningún problema, ya que son un númeroreducido y se pueden calcular con facilidad:

Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salgaun número par. Habrá que dividir los números pares deun dado (3) entre el número total de caras del dado (6)

a) Combinaciones:

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. Elementosque se pueden formar con los "n" elementos de una nuestra.Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que locomponen, sin que influya el orden.

Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.

Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3).En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) seconsideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez.

b) Variaciones

Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos quese pueden establecer con los "n" elementos de una muestra.Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que locomponen o en el orden de dichos elementos (es lo que lediferencia de las combinaciones).

Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementosque se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.

Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3),(3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) seconsideran distintos.

c) Permutaciones:

Calcula las posibles agrupaciones que se puedenestablecer con todos los elementos de un grupo,por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo delresto es el orden de los elementos.

Por ejemplo, calcular las posibles formas en que sepueden ordenar los número 1, 2 y 3.

Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1,3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)

• Gráfico Circular.• El gráfico circular es útil para representar

proporciones de distintas clases dentro de unamuestra.

• La muestra es representada por un círculo y cadauna de las clases que la componen, por un sectorde éste.

• El ángulo de cada sector mantiene la mismaproporción de 360° que la de la claserepresentada respecto del tamaño total de lamuestra.

• El gráfico siguiente, representa la respuesta de 1886 alumnos de Cuarto Medio al preguntárseles por su interés de seguir estudios universitarios.

• El gráfico siguiente, representa la respuesta de 1886 alumnos de Cuarto Medio al preguntárseles por su interés de seguir estudios universitarios.

Los datos corresponden a alumnosque cursaban Cuanto Año Medio enel año 1997 en 7 localidades de la Vregión (Valparaíso, Viña del Mar,Quilpué, Villa Alemana, Limache,Quillota, La Calera) y enestablecimientos de tipoMunicipalizado, Subvencionado yParticular.De los 1886 alumnos encuestados,1768 (93.74%) se interesa por seguirestudios universitarios. Los restantes118 (6.26%), no.

• Para construir el gráficocircular , debemos calcular elángulo central del sectorcorrespondiente a cadarespuesta. Para el caso de los1768 Interesados en estudiosuniversitarios su proporciónrespecto de la muestra total(93.74%) nos permitedeterminar que su ángulo delcentro es 337º 28' 34.1'' y porlo tanto, el complemento a360º (22º 31' 25.9'')representa a los NoInteresados.

¿Para qué sirve?

Un grafico de barras es aquella representación gráficabidimensional en que los objetos gráficos elementales son unconjunto de rectángulos dispuestos paralelamente de maneraque la extensión de los mismos es proporcional al a magnitudque se quiere representar.

Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal overticalmente. En esté último caso reciben también el nombrede gráficos de columnas.

• Se emplea para representar de manera gráfica lainformación que se ha recolectado. El tipo de datosque se representa en una gráfica de barras es elnúmero de eventos que son medidos en distintascategorías de datos.

• Una gráfica de barras usualmente se utiliza pararepresentar datos que se han organizado en una tablade datos. Se puede utilizar para hacer comparacionesde usuarios que utilizan diferentes servicios, tipos demedicamentos que son utilizados con mayor o menorfrecuencia, número de consultas por servicio, etc.

• Se recomienda utilizar este tipo de gráfica cuandola información corresponda a una serie deeventos (escala nominal) y cuando quieracomparar dos o más grupos entre sí (no más deseis).

• Al equipo de trabajo y directivos les permitirá elvisualizar las relaciones entre las diferentescategorías de factores que afectan los servicios delos usuarios .

• A) Dibuje los ejes vertical (y) y horizontal (x).

• B) En el eje vertical cree una escala que midalas frecuencias de la variable, (por ejemplonúmero de medicamentos, número deusuarios, etc.)

• C) En el eje horizontal, ponga la escala nominal,que se refiere a las diferentes características ocualidades de la variable. (por ejemplo, sexofemenino, sexo masculino, tipos demedicamentos, etc.)

• D) Dibuje un rectángulo para cada característica ocualidad de la variable. La altura de la barrarepresentará la frecuencia en la que lacaracterística fue observada.

FUENTES DE CONSULTA :

..\GRAFICA_BARRAS.pdf

..\GRAFICA_PASTEL.pdf