2 números enteros bloque de Álgebra y funciones

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ExploraSantiago realizó los siguientes movimientos en su cuenta bancaria: el lunes consignó $ 300, el martes retiró $ 120, el miércoles retiró $ 95 y el jueves consignó $ 80.

• Representa matemáticamente estos movimientos bancarios.

Números enteros2.1 El conjunto de los números enterosEn ocasiones no es suficiente el conjunto de los números naturales para representar matemáticamente situaciones de la vida cotidiana. Por esta razón, los matemáticos de la antigüedad consideraron necesario ampliar este conjunto y comenzar a utilizar los números negativos.

Esta decisión dio origen al conjunto de los números enteros (Z), el cual incluye los enteros negativos (Z2), los enteros positivos (Z1) y el 0.

Los números enteros negativos van precedidos por el signo menos (2).

Z2 5 h…24, 23, 22, 21j

Los números enteros positivos van precedidos por el signo más (1).

Z1 5 h11, 12, 13, 14…j

Así, los números enteros permiten diferenciar la manera en que se registran algunas situaciones como: deudas y haberes, temperaturas sobre cero y temperaturas bajo cero, alturas sobre el nivel del mar y profundidades, entre otras.

En el caso de los movimientos bancarios, se acostumbra a representar las consignaciones precedidas con el signo más y los retiros con el signo menos. Por lo tanto, los movimientos en la cuenta bancaria de Santiago se pueden representar como se muestra en la Tabla 1.

Movimientos Lunes Martes Miércoles Jueves

Consignación 1$ 300 1$ 80

Retiro 2$ 120 2$ 95

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros negativos, los enteros positivos y el 0.

Z 5 Z2 < Z1 < h0j

Z 5 h…24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14…j

Ejemplo 1

Al tomar 0 ºC como punto de referencia (temperatura nula), se puede representar una temperatura de 13 ºC bajo cero con el número entero negativo 213 ºC y una temperatura extrema de 38 ºC como 138 ºC.

Ejemplo 2

Para expresar la fecha de ocurrencia de diferentes acontecimientos, se ha convenido tomar como referencia o punto 0 el año de nacimiento de Cristo. Por esta razón, las fechas anteriores al nacimiento de Cristo se escriben precedidas por el signo menos (2) y, las posteriores, con el signo más (1).

Por ejemplo, el suceso “Euclides, geómetra griego, nació en el año 306 a. C. y murió en el año 283 a. C.” se puede expresar así: “Euclides, geómetra griego, nació en el año 2306 y murió en el año 2283”.

Ten en cuenta

• El 0 es el único número entero que no tiene signo: no es positivo ni negativo.

• Los números enteros positivos coinciden con los números naturales; por eso, es común que al escribir un número entero positivo se omita el signo más (1).

Tabla 1

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Destreza con criterios de desempeño: Reconocer los elementos del conjunto de números enteros Z, ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan los números enteros negativos.

Ejemplo 3

En las tablas 2 y 3 se registró la altura y la profundidad (respectivamente) de algunos lugares del mundo. En ambos casos se emplearon números enteros.

Picos más altos del mundo Altura

Algunos lugares profundos del

mundoProfundidad

Dhaulagiri (Nepal) 18 167 m Pozo de Kola (Rusia) 213 km

Montaña Manaslu (Nepal)

18 156 mPerforación sub-marina (Nueva Zelanda)

22 km

Nanga Parbat (Pakistán)

18 125 mMina del Cañón de Bingham (Estados Unidos)

21,2 km

Annapurna (Nepal) 18 091 mCueva de Vrtoglavi-ca (Eslovenia)

2603 m

2.2 Opuesto de un número entero

Cada elemento del conjunto de los enteros positivos tiene un opuesto en el conjunto de los enteros negativos, y viceversa. El opuesto de un número entero a se simboliza como 2a.

Ejemplo 4

Se cumple que:23 110 18 26

es el opuesto de es el opuesto de es el opuesto de es el opuesto de

13 210 28 16

Ejemplo 5

Las expresiones 2(29) y 2[2(27)] son respectivamente equivalentes a 19 y 27, porque el opuesto de 29 es 19 y el opuesto de 2(27) es 27.

2.3 Números enteros en la recta numéricaLos números enteros se pueden representar en la recta numérica como sigue.

1. Sobre una recta horizontal se marca un punto que represente el 0.

2. Se fija la distancia del 0 al 1. Esta medida se toma como unidad y se traslada a la derecha y a la izquierda del 0 tantas veces como sea necesario (Figura 1).

3. Se sitúan a la derecha del 0 los números enteros positivos y a la izquierda los números enteros negativos (Figura 2).

10

121222324 0 2 3 4 5 6 7 8 925262728

Cero

Números enteros negativos (Z2) Números enteros positivos (Z1)

Pico Annapurna (Nepal): 8 091 m de altura

Ten en cuenta

Números enteros

Conjunto formado por

que son

2`,...,24,23, 22,21

1, 2, 3, 4,..., `

que son

El cero

a su vez formado por

Números negativos

Números naturales

Números positivos

El siguiente mapa conceptual representa la relación que existe entre los números enteros y los números naturales.

Tabla 2 Tabla 3

Figura 1

Figura 2

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Números enteros2Ten en cuenta

El cero (0) tardó mucho tiempo en utilizarse. En la mayoría de los sistemas numéricos antiguos no existía este número. Se cree que fueron los hindúes los que lo utilizaron por primera vez hacia el año 650 d. C.

121222324 0 2 3 4 5 6 7 8 92526272829

121222324 0 2 3 54252627

121222324 0 2 3 4

4 unidades 4 unidades

Comunicación

2 Escribe un número entero que exprese la cantidad mencionada en cada caso.

a. La cima de la montaña está a 568 m de altura.

b. Pitágoras nació en el siglo VI a. C.

c. El submarino está a 120 m de profundidad.

d. La temperatura de la ciudad es de 5 ºC bajo cero.

e. Pablo consignó $ 500 en su cuenta de ahorros.

f. Sofía debe $ 350 al banco.

3 Explica el significado de los números enteros utilizados en las siguientes expresiones.

a. La temperatura mínima registrada hoy fue de 23 ºC.

b. El buzo se encuentra a 250 m.

c. El alpinista está a 1600 m.

d. El ascensor quedó detenido en el piso 22.

e. La Edad Media comenzó aproximadamente hacia el año 1476.

f. El estado de cuenta es de $ 700.

Desarrolla tus destrezas

Ejemplo 6

En la recta de la Figura 3 se marcaron los números enteros 8, 24, 29, 5, 21 y 0. Observa.

Ejemplo 7

En la Figura 4 se ubicaron los números enteros comprendidos entre 27 y 5.

Ejemplo 8

En la representación de la recta numérica se observa que dos números enteros opuestos están a la misma distancia de 0, pero en lados contrarios. Por ejemplo, en la Figura 5 se representan los números opuestos24 y 4 .

Se observa que la distancia entre 24 y 0 es la misma que entre 0 y 4: 4 unidades.

Actividad resuelta

Razonamiento1 Determina el valor de verdad de cada afirmación. Justifica tu respuesta.

a. El conjunto de los números naturales está contenido en el de los enteros.

b. El 0 es un número entero positivo.

c. Z , Z2

d.2[2(210)] 5 210

Solución:El valor de verdad de cada afirmación es:

a. Verdadero. Todo número natural es entero positivo.

b. Falso. El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo.

c. Falso. El conjunto Z2 está contenido en el conjunto Z.

d.Verdadero. El opuesto de [2(210)] es 210.

Figura 3

Figura 4

Figura 5

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�3 �2 0 1 3

O

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20

30

40

�10

�20

�30

�40

�50

�60

Razonamiento

4 Escribe [ o Ó, según corresponda.

a. 225 Z2 b. 34 Z1

c. 267 Z1 d. 58 Z2

e. 246 Z1 f. 31 Z1

g. 215 Z2 h. 72 Z2

5 Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).

a. El opuesto de un entero negativo es negativo. ( )

b. El opuesto del opuesto de un número positivo es negativo. ( )

c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el 0. ( )

d. El opuesto de un número entero positivo es negativo. ( )

6 Determina y escribe el número entero que debe ir en cada casilla.

a.

b.

c.

d.

Comunicación

7 Ubica los números de cada grupo en la recta numérica.

a. 5, 26, 24, 3, 22, 6

b. 210, 26, 8, 4, 22, 12

c. 212, 218, 29, 6, 15, 26

Razonamiento

8 Observa la Figura 13 y resuelve.

a. ¿A qué profundidad con respecto al nivel del mar se encuentra cada uno de los buzos?

b. ¿A qué altura con respecto al nivel del mar se encuentra el avión?

c. ¿A qué profundidad con respecto al nivel del mar se encuentra el pez amarillo?

d. ¿En qué punto con respecto al nivel del mar se encuentra el barco?

e. ¿Qué distancia separa el avión del pez más amarillo?

Resolución de problemas

9 Analiza cada situación y responde las preguntas.

a. ¿Qué número se encuentra 4 unidades a la izquierda de 21? ¿Cuál es su opuesto?

b. El entero m está 5 unidades a la izquierda de n. Si n 5 22, ¿cuál es el valor de m?

c. Desde a hasta b hay 8 unidades. Si a 5 23, ¿qué valores puede tener b?

d. Los enteros m y n están separados por 10 unidades. Si la distancia de m a 0 es de 3 unidades, ¿cuáles son las posibles distancias de na 0?

e. Un número positivo está al doble de unidades de 0 que un número negativo, y los dos están separados por 27 unidades. ¿Cuáles son esos números?

10 Para atrapar un pez, dos gaviotas se sumergen en el mar. La primera se sumerge a 45 cm y la otra, a 60 cm. Si el pez se encuentra a 50 cm de profundidad, ¿cuál de las dos gaviotas está más cerca de alcanzarlo?

�6 �4 �2 0 1 3

�15 �5 0 155 25 40

�80 �60 �50 �30 �10 0 20

10

20

30

Figura 13

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12

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El valor absoluto de un número entero a se representa simbólicamente de la siguiente manera:

uau =

ExploraDos ciclistas parten de un mismo punto en sentidos opuestos y hacen un recorrido en línea recta.

• Si los dos van a una velocidad de 50 km/h, ¿qué distancia separa a cada ciclista del punto de partida al cabo de una hora de recorrido?

3 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero a se representa simbólicamente de la siguiente manera:

uau =

Ten en cuenta

La ubicación de los ciclistas se puede representar en una recta numérica como la de la Figura 1.

Se observa que, después de una hora de recorrido, el primer ciclista se encuentra a 250 km del punto de partida, mientras que el segundo está a 150 km. Sin embargo, los ciclistas están a la misma distancia del punto de partida, es decir, 50 km.

Se dice entonces que los números enteros 250 y 150 tienen el mismo valor absoluto, pues en la recta numérica están a igual distancia de 0.

El valor absoluto de un número entero es la distancia que separa al número del cero en la recta numérica. Esta medida siempre es una cantidad positiva.

El valor absoluto de un número entero a se simboliza como |a|.

Ejemplo 1

El valor absoluto de 114 es 14 porque, en la recta numérica, la distancia de 114 a 0 es de 14 unidades. Se escribe u114u 5 14. Observa la Figura 2.

Actividades resueltas

Comunicación1 Calcula los siguientes valores absolutos. Justifica en cada caso.

a. u26u b. u112u c. u27u d. u0u

Solución:

a. u26u 5 6, ya que 26 está a 6 unidades de 0 en la recta numérica.

b. u112u 5 12, porque entre 112 y 0 hay 12 unidades de distancia.

c. u27u 5 7, puesto que hay 7 unidades entre 27 y 0.

d. u0u 5 0, porque entre 0 y el mismo hay 0 unidades.

2 Escribe el número entero que cumple cada condición.

a. Su valor absoluto es 7 y está entre 210 y 3.

b. Su valor absoluto es 9.

c. Su valor absoluto es igual al de 24.

d. Es el opuesto del número cuyo valor absoluto es 6.

Solución:

a. 27 b. 9 o 29

c. 4 d. 6 o 26

0�10�20�30�40�50�60 10 20 30 40 50 60

Punto de partida

Recorrido del primer ciclista Recorrido del segundo ciclista

222426 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 unidades

Figura 1

Figura 2

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Destreza con criterios de desempeño: Reconocer los elementos del conjunto de números enteros Z, ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan los números enteros negativos.

Ejercitación

3 Determina estos valores absolutos.

a. u23u b. u54u c. u0ud. u2(211)u e. u26u f. u2(25)ug. u2au h. u2xu i. u1 1 0u

4 Calcula el resultado de cada operación.

a. u23u ? u8u b. u29u 1 u213uc. u225u 4 |5| d. u230u 4 |210|

e. u28u ? u24u f. u25u1 u210ug. u2u ? u29u h. u224u 4 |6|

Razonamiento


a. El valor absoluto de un número siempre es un entero positivo.. ( )

b. El valor absoluto de 0 es 1. ( )

c. El valor absoluto de un número entero a positivo siempre es 2a. ( )

6 Halla el valor de x para que cada expresión sea verdadera.

a. uxu 5 15 b. u23u 5 x

c. u2xu 5 7 d. uxu 5 0

e. u8u 5 x f. u2(213)| 5 x

g. ux 2 3u 5 12 h. uxu 5 211

Comunicación

7 Encuentra, en cada caso, el número entero que cumple la condición dada.

a. Su valor absoluto es 8 y está a la izquierda de 0.

b. Su valor absoluto es 3 y está situado entre 24 y 22.

c. Su valor absoluto es igual que el de su opuesto.

d. Su valor absoluto es 15 y es menor que 9.

e. Su valor absoluto es 4 y se representa en la recta numérica a la derecha de 212.

f. Su valor absoluto es 12.

g. El valor absoluto de su opuesto es 7.

8 Responde.

Si a es un número entero, ¿cuál es el valor absoluto de 2[2(2a)]?

Razonamiento

9 Señala con una X si la afirmación es verdadera o falsa.

V F

a. u21u 5 1 ( ) ( )

b. u1u 5 21 ( ) ( )

c. u8 2 6u 5 u6 2 8u ( ) ( )

d. u0 2 3u 5 u3 2 0u ( ) ( )

e. u26 1 3u 5 u3 2 6u ( ) ( )

f. 2u5u 5 25 ( ) ( )

g. 2u5u 5 5 ( ) ( )

10 Escribe el número que cumple simultáneamente estas condiciones.

a. Su valor absoluto es mayor que 5 y menor que 9.

b. Está comprendido entre 210 y 7.

c. Su valor absoluto es menor que 5 y mayor que 3.

11 Explica cuál puede ser la ubicación de dos puntos A y B sobre la recta numérica, si:

uA 2 Bu 5 13


12 Buscando una dirección, Alejandro caminó inicialmente siete cuadras en una dirección. Luego, se desplazó tres cuadras en la dirección contraria. ¿Cuántas cuadras caminó en total?

13 Valeria hizo la siguiente afirmación: “Mi hermano recorre una distancia de 2400 m de la casa hacia el colegio”. ¿Consideras que la afirmación es correcta o incorrecta? Explica.

14 Un vehículo sale del estacionamiento y se desplaza 40 m al norte. Luego, se devuelve sobre la misma calle y se traslada 70 m hacia el sur y, finalmente, se mueve 20 m hacia el sur. ¿Cuántos metros recorrió en total el vehículo?

15 Un pájaro elevándose en el aire, y un buzo sumergido en el mar, se encuentran a la misma distancia del nivel del mar. ¿A qué altura se encuentra el pájaro y a qué profundidad el buzo, si los separan 86 m?


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ExploraSofía registró en la Tabla 1 la tem-peratura de tres cuartos fríos de un laboratorio.

Cuarto Temperatura

A 22 ºC

B 28 ºC

C 25 ºC

• Según esta información, ¿en cuál de los tres cuartos hace más frío?

2 4 6 8024681012 10 12

4 Orden en los números enteros

25 2228 0

B C A

22242628 0 2 4 6 8 10 12210212214

Para determinar en cuál de los cuartos hace más frío, se pueden representar las temperaturas en una recta numérica y luego comparar su ubicación (Figura 1).

Cuando se comparan dos números enteros en la recta numérica, se deduce que es mayor el número que se encuentra ubicado a la derecha del otro. A su vez, es menor el que se encuentra ubicado a la izquierda.

De acuerdo con lo anterior, se pueden establecer las siguientes relaciones de orden:

• Como 22 está a la derecha de 25, entonces 25 , 22.



Esto quiere decir que el orden de las temperaturas es:Temperatura del cuarto B

Temperatura del cuarto C

Temperatura del cuarto A

28 ºC , 25 ºC , 22 ºC

Por lo tanto, en el cuarto B es en el que hace más frío.

Si dos números enteros a y b están representados en la recta numérica, entonces a . b, siempre que a esté ubicado a la derecha de b.

Otros criterios que permiten determinar la relación de orden existente entre dos números enteros son:

• Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

• Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

• Un número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo.

Actividad resuelta

Comunicación1 Escribe cuatro afirmaciones verdaderas en relación con la información de la

Figura 2.

Solución:Algunas afirmaciones que se pueden emitir con respecto a la información de la recta numérica son las siguientes:

• 28 , 24, ya que 24 está a la derecha de 28.

• 6 es el mayor de los números representados, puesto que está ubicado a la derecha de todos los demás.

• 3 . 29, porque un número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo.

• El orden de los números de menor a mayor es:29 , 28 , 24 , 3 , 6

Ten en cuenta

El cero es menor que cualquier entero positivo y mayor que cualquier entero negativo.

Tabla 1

Figura 1

Figura 2

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Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden en un conjunto de números enteros utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=, <, ≤, >, ≥).


10

10

�1 0

�2 0

Ejercitación

2 Representa cada pareja de números enteros en la recta numérica. Luego, escribe . o ,, según sea el caso.

a. 23 1

b. 4 26

c. 25 28

d. 6 23

3 Escribe el signo . o ,, según corresponda.

a. 14 11 b. 21 26

c. 0 13 d. 28 12

e. 22 0 f. 15 29

g. 278 26 h. 227 249

i. 47 38 j. 19 229

k. 218 36 l. 254 229

m. 45 236 n. 29 298

ñ. 219 218 o. 0 22

Comunicación

4 Completa la Tabla 2.

Anterior Número Siguiente

2210

1245

262

1299

2157

2302

5 Ordena de menor a mayor los números de cada grupo.

a. 25, 232, 24, 21, 0, 212

b. 12, 7, 220, 16, 213

c. 254, 678, 2249, 14, 224, 0, 190

d. 32, 56, 17, 28, 241

Razonamiento


a. 3 está entre 1 y 21. ( )

b. 21 está entre 23 y 0. ( )

c. 22 está entre 0 y 5. ( )

d. 2 está entre 21 y 1. ( )

e. 3 está entre 25 y 5. ( )

7 Escribe un número que cumpla la condición que se enuncia en cada caso.

a. 26 , b. . 25 .

c. u28u 5 d. 221 , ,

e. 24 , , 8 f. 22 , , 0

8 Representa en la recta numérica los números enteros que cumplan cada una de las condiciones dadas.

a. Son mayores que 212 y menores que 16.

b. Son menores que 124 y mayores que 21.

c. Son menores que 18 y mayores que 27.

d. Son menores que 27 y mayores que 224.


9 En la Tabla 3 se presentan los puntos de ebullición apro-ximados de algunos elementos de la tabla periódica.

Elemento químico Punto de ebullición (ºC)

Flúor 2188

Hidrógeno 2253

Argón 2186

Helio 2269

Nitrógeno 2196

Neón 2246

a. ¿Cuál es el elemento químico con el mayor punto de ebullición? ¿Y con el menor?

b. Ordena, de menor a mayor, los elementos periódicos de la tabla según sus puntos de ebullición.

10 Tres fosas marinas tienen una profundidad de 25534m, 26524m y 24321m, respectivamente. ¿Cuál de las tres fosas marinas tiene mayor profundidad? ¿Cuál de las fosas es menos profunda?

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Tabla 2

Tabla 3

2 números enteros bloque de Álgebra y funciones

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