ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

TRABAJO COLABORATIVO, MOMENTO 4

PRESENTADO A:

MARIO JULIAN DIAZ.

INTEGRANTES:

JOHN ENEIDER ANACONA. 108170322

EDWIN FERNANDO DIAGO.10302156

CARLOS ALFREDO IMBAQUIN. 1085260650

JUAN CARLOS RAMIREZ. 6 105724

DAMARIS YULIET SILVA. 1086549128

GRUPO: 301301_399

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

COLOMBIA

ABRIL 3 DE 2015

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo analizaremos y desarrollaremos los temas de la unidad 2 del módulo de

algebra cada integrante del grupo de trabajo aporto sus conocimientos de los procedimientos

que se deben tener en cuenta y puntos de vista para el desarrollo de los problemas planteados,

describiendo e interpretando analítica y críticamente los diversos tipos de funciones,

trigonométricas e hipernometricas, atreves del estudio teórico y análisis de casos modelos con

los cuales podemos utilizarlos como herramientas matemáticas en la solución a posibles

situaciones en el campos socia y académico.

Identificaremos los conceptos y los fundamentos de las funciones de trigonometría e

hipernometría, así mismo explicaremos y analizaremos estos fundamentos y conceptos.

EJERCICIO 1

𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3

𝑋2 − 4

4𝑋 − 3 ≥ 0

4𝑋 ≥ 3

𝑋 ≥3

4

𝐷𝐹: 𝑋 ∈ [3

4, ∞)

𝑋2 − 4 ≠ 0

𝑋2 ≠ 4

𝑋 ≠ √4

𝑋 ≠ 2

DF: X lR − {2}

DF: X ∈ [3

4, 2) ∪ [2, ∞)

Comprobación Geógebra

𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3

𝑋2 − 4

Ejercicio 2

2) determinar el rango de la función

𝑓(𝑥) =X + 6

√X − 5

Como f(x)=y

Y = X+6

√X−5

Y* √X − 5 = X+6

[Y* √X − 5]2 = [X+6]2 (A+B) = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 − 𝐵2

𝑌2* √X − 5 = 𝑋2 + 12𝑋 + 36

𝑌2* (X-5) = 𝑋2 + 12𝑋 + 36

𝑌2X -5𝑌2 = 𝑋2 + 12𝑋 + 36

0=𝑋2 + 12𝑋 + 36−𝑌2X +5𝑌2

0=𝑋2 + 12𝑋−𝑌2X + 36 +5𝑌2

𝑋2 + 12𝑋−𝑌2X + 36 +5𝑌2 = 0

𝑋2 + (12 − 𝑌2)𝑋 + (36 + 5𝑌2) = 0

A𝑋2 + BX+C =0

A=1 B=12-𝑌2 C=36 + 5𝑌2

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(12 − 𝑌2) ± √(12 − 𝑌2)2 − 4(1)(36 + 5𝑌2)

2(1)

𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √144 − 24𝑌2 + 𝑌4 − 144 − 20𝑌2)

2

𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √𝑌4 − 44𝑌2

2

𝑥 =−12 + 𝑌2 ± √𝑌2(𝑌2 − 44)

2

𝑥 =−12 + 𝑌2 ± Y√𝑌2 − 44

2

𝑌2 − 44 ≥ 0

𝑌2 − √442

≥ 0 √44 = √22 ∗ 11 = 2√11

𝑌2 − (2√11)2 ≥ 0

(𝑌 − 2√11)(𝑌 + 2√11) ≥ 0

y − 2√11 > 0

y > 2√11 0 2√11

y + 2√11 > 0

Y > −2√11 −2√11 0 2√11

(Y-2√11 )(Y+2√11)

−2√11 0 2√11

S=(−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)

Rg= (−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)

Comprobación Geógebra

3 EJERCICIO

𝑓(𝑥) =2𝑥 − 1

2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2

a) (𝑓 + 𝑔)(2)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1

2+ 2

(𝑓 + 𝑔)(2) =2(2) − 1

2= +22 + 2 =

4 − 1

2+ 4 + 2 =

3

2+ 6 =

12 + 3

2=

15

2

Comprobación Geógebra

b) (𝑓 − 𝑔)(2)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 2

2− (−𝑥2 + 2)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1

2− 𝑥2 − 2

(𝑓 − 𝑔)(2) =2(2) − 1

2= −(2)2 − 2 =

4 − 1

2− 4 − 2 =

3

2− 6 =

3 − 12

2= − −

9

2

Comprobación Geógebra

C) (𝑓 ∗ 𝑔)(3)

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = (2𝑥 − 1

2) (𝑥2 + 2)

(𝑓 ∗ 𝑔)(3) = (2(3) − 1

2) (32 + 2) = (

6 − 1

2) (9 + 2) = (

5

2) (11) =

55

2

Comprobación Geógebra

d) (𝑓

𝑔) (−3)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

2𝑥 − 12

𝑥2 + 2

(𝑓

𝑔) (−3) =

2(−3) − 12

−32 + 2

=

−6 − 12

9 + 2

=

−72

11=

−7

22= −

7

22

Comprobación Geógebra

EJERCICIO 4

𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1

a) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)

(𝑓 𝑜 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √ 𝑔(𝑥 + 2) = √𝑥2 − 1 + 2 = √𝑥2 + 1

Comprobación en Geogebra

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)

(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2 − 1 = (√𝑥 + 2)2 − 1 = 𝑥 + 2 − 1 = 𝑥 + 1

Comprobación en Geogebra

c) (f+g)(x)

(f +g)(x)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 + 𝑥2 − 1

Comprobación en Geogebra

d) (f- g)(x)

(f-g)(x) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − (𝑥2 − 1) = √𝑥 + 2 − 𝑥2 − 1

Comprobación en Geogebra

EJERCICIO 5

2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑐𝑜𝑡𝑥

2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

=𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − 1𝑠𝑒𝑛2𝑥=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

=𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1=

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑜𝑡𝑥

Solución: 𝑐𝑜𝑡𝑥

Ejercicio 6

Demuestre la siguiente identidad, usando las funciones de las diversas identidades

hiperbólicas fundamentales.

𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥

1−𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 =

𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥

1 − (𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥)2= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

1− 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥2

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥− 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

1

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

senhx∗𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥

coshx = 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ≠ 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

Se utilizaron las definiciones de las identidades hiperbólicas fundamentales pero no se

cumple ninguna igualdad.

Ejercicio 7

Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende

200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay

entre la base del edificio y el lugar A?

¿Con que ángulo descendió?

Avión 60mts

Azotea 40mts θ? 200mts

30ᵒ

A?

X

60° por que.

Solución

𝑐𝑜𝑠𝑥 =100

200=

1

2

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (1

2) = 60°

Respuesta: desciende con un Angulo de 60°

Solución pregunta 2

√(200)2(100)2 = √30000𝑚2 = 100√3 = 173𝑚

Respuesta: la distancia que hay entre la base del edificio y el lugar A es 173m.

A C

B

Ejercicio 8

Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B,

situada al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se

encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B.

Determine la distancia entre las ciudades A y B.

𝐶𝑂𝑆 60° =𝑋1

4

𝑋1 = 4 . 𝐶𝑂𝑆 60°

𝑋1 = 2 Km

𝐶𝑂𝑆 50° =𝑋2

6

𝑋2 = 6 . 𝐶𝑂𝑆 50°

𝑋2 = 3,85 Km

𝑋1 + 𝑋2 = 2 Km + 3,85 Km

X = 5,85 Km

Respuesta= La Diferencia entre las 2 Ciudades es de 5.85 km

Ejercicio 9

2𝑐𝑜𝑠2x + √3 senx = −1

Como: 𝑠𝑒𝑛2x + 𝑐𝑜𝑠2x = 1

𝑐𝑜𝑠2x = 1 − 𝑠𝑒𝑛2x

Entonces:

2[1-𝑠𝑒𝑛2x]+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1

2-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0

-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0

𝑎𝑥2+bx+c=0 sea X=senx

A=-2 b=√3 c=3

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−√3 ± √(√3)

2− 4(−2)(3)

2(−2)

𝑥 =−√3 ± √3 + 24

−4

𝑥 =−√3 ± √27

−4

𝑥 =−√3 ± 3√3

−4

𝑥 =−√3 + 3√3

−4

𝑥 =2√3

−4

𝑥1 = − √3

2

𝑥 =−√3 − 3√3

−4

𝑥 =−4√3

−4

𝑥2 = √3

COMO X = sen x

Sen x = − √3

2 sen x = √3

X = 𝑠𝑒𝑛−1 (− √3

2 ) sen x = 1.73 no tiene solución

porque el 1,73 se sale del rango den

senx que es [−1,1]

X = −600

X=180+600 v 𝑥 = 3600 − 600

X=2400 v x =3000

Cs = {2400, 3000}

CONCLUCIONES.

Al finalizar nuestro trabajo nos damos cuenta de que como estudiantes podremos interpretar

analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonometría e hipermetropía, a través

del estudio teórico y el análisis de casos modelos, estos nos permitieron prepararnos para

poder enfrentar futuros relacionadas con esta área y poder resolverlos por medio de los

conocimientos adquiridos

El software GeoGebra es una herramienta q con el conocimiento adecuado nos ayuda a

entender y analizar mejor este tipo de problemas ya que nos grafica las funciones y nos da un

concepto más amplio y claro de las funciones trigonometría y hipernometria

Se diferencia y se identifican conceptos sobre dominio y rango e identidades así como también

trigonometría y hipernometria.

BLIBLIOGRAFIA

Geogebra. Herramienta online para graficar y comprobar ecuaciones y funciones. Recuperado el 3 de abril de 2015 de: https://login.geogebra.org/user/signin/caller/web?clientinfo=startup&url=http://web.geogebra.org/chromeapp/

Objeto de información: funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt

Objeto de información: trigonometría. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt

Tangente hiperbólica. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:

https://www.youtube.com/watch?v=IIU2DlBrqQg

Dominio de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:

:https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg

Clases de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de

https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI

Funciones exponenciales Recuperado el 28 de marzo de 2015 de

https://www.youtube.com/watch?v=8IU7RKr80gI

Rango de una función racional. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de

https://www.youtube.com/watch?v=0lMR7K5GOlo

Dominio y rango de una función racional con radical en el denominador. Recuperado el 28 de

marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=XPDYguWEBdM