algebra 3

ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A

25SISTEMA HELICOIDAL

OBJETIVOS

• Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos ejercicios así lo requieran.

MOTIVOS:En los primeros temas del curso de ÁLGEBRA mencionamos lo referente a lo que es una EXPRESIÓN ALGEBRAICA, ahora las clasificaremos para poder entender lo que es un Polinomio y cómo se denota o representa, para fines de operación entre los polinomios.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados en un número finito a través de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

La expresión : , no es una expresión algebraica dado que los exponentes de las variables no son números racionales.

Clasificación de las expresiones algebraicasLas expresiones algebráicas se van a clasificar según la característica de sus exponentes en las variables.

A continuación vamos a describir cada tipo que se presenta

en las expresiones algebraicas.I) E.A. Racionales Son aquellas donde sus variables tienen exponentes

enteros. Ejemplos:

•

•

•

•

•

Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, esto nos lleva a dividir las E.A. racionales en dos tipos:

Tipos de E.A. RACIONALES(I–a.) E.A. Racionales Enteras Son aquellas donde las variables tienen exponentes

enteros positivos, incluyendo al cero. Ejemplo:

•

(*)

•

•

•


26 PASCUAL SACO OLIVEROS

Observa que las E.A. Racionales Enteras no presentan va-riables en el denominador.

(I-b) E.A. Racionales Fraccionarias Son aquellas donde las variables tienen exponentes

enteros negativos o al menos una de las variables esta afectada de exponente negativo.

También se dice que las E.A. Racionales Fraccionarias son aquellas que presentan variables en el denomi-nador.

Ejemplos:

• •

• •

• •

II) E.A. Irracionales

Son aquellas donde sus variables tienen exponen-tes fraccionarios o estos llevan radicales.

Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

•Ejemplos de identificación de una E.A.Marcar con un aspa para indicar qué tipo de expresión algebraica corresponde.



Antes de indicar cómo se denota un Polinomio, vamos a definir lo que significa.

Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos.Ejemplos:

•

•

•

Para la notación de un polinomio se emplean las letras mayúsculas, a la vez llevan como subíndice otra letra minúsculas entre paréntesis para indicar la variable en el polinomio. Así tenemos:

Nos indica la representación de un polinomico cuya única variable es x.

Se lee: P de x.

Ejemplos:

La notación polinómica podemos extenderla a polino-mios con más de una variable; así tenemos:

(*)

(*) (*)

También se puede emplear otras letras en lugar de «P» para representar un polinomio, sin que esto altera la notación.Es decir:

•

•

•

En Es un polinomio “H de x e y”

Donde:

V.N.Es el valor obtenido como resultado luego de efectuar operaciones en un polinomio al reemplazar los valores dados a sus variables.

Ejemplos:

Hallar el valor numérico de:

Cuando : x=2

RESOLUCIÓN:

Nos piden calcular el valor de P(x) cuando x=2, para ello reemplazamos «x por 2», cuando se hace el reemplazo es necesario emplear paréntesis.

Reemplazamos x=2 en P(x):

Si se tiene:

P(1)= 3 Es el V.N. de P al cambiar x

por 1

También:

P(–2) = 12+2+1

P(–2) = 15 Es el V.N. de P al cambiar x por –2

Para calcular el valor numérico (V.N.) recuerda que hay que asignar a la variable x el valor especificado en el Polinomio.

DIVERSOS TIPOS QUE SE PRESENTAN PARA OBTENER EL VALOR NUMÉRICO

Acontinuación presentamos los diversos tipos de pro-



blemas que se dan para obtener el valor numérico en un polinomio.

Cuando se hace el reemplazo por la variable indicada.

Ejemplos:

1. Si

Hallar : P(–5)

RESOLUCIÓN:

Hacemos el reemplazo de “x por –5”

Reemplazando : x=–5 en P(x):

2. Si :

Hallar:

RESOLUCIÓN:Reemplazando x por x–1 en Q(x).Aquí: x= x–1

Reemplazando en:

3. Si : Calcular:

RESOLUCIÓN:Para calcular este problema, hacemos el cálculo de adentro hacia afuera.Es decir:

1º Cálculo :

2º Cálculo: (aqui x =2)

3º Cálculo:

Observamos que el V.N. que se obtiene de adentro hacia afuera siempre da 2.

Cuando se calcula el valor de la variable antes de su re-emplazo.Ejemplos:1. Si se tiene

Hallar : P(2)

RESOLUCIÓN:1º Calculamos el valor de x (valor de la variable)Como: P(x– 2) = P(2)Igualamos: x–2=2Despejamos : x=42º Procedemos a reemplazar “x por 4”

2. Si:

Calcular:

RESOLUCIÓN:1º Igualamos : 3x – 1 = 5 3x = 6 x = 2

2º Reemplazamos en:

Cuando se hace un cambio de variable para obtener el polinomio original.Ejemplos:

1. Si



Hallar : P(x)

RESOLUCIÓN:Hacemos un cambio de variable; asignando x– 3 a x.1º x–3 x (asignación de izquierda a derecha) Osea : x–3=x x=x+32º Reemplazando en P(x–3) : x=x+3 P(x–3) = 5x–2

Luego: P(x) = 5(x+3)–2

2. Se define: P(x+5) = 2x+1

Hallar : P(x)

RESOLUCIÓN:Haciendo un cambio de variable:

x+5 x (asignación de izq. a derecha)Osea : x+5= x x=x–5Reemplazando en P(x+5) : x=x–5

P(x+5) = 2x+1

P(x) = 2(x-5) +1

I. Problema desarrollado

1. Si:

Demostrar que: H(4)=5

Demostración:1º Igualamos 3x + 1 = 4

3x = 3 x = 12º Reemplazamos en:

H(3x+1)= 2x+3

H(4) = 2(1)+3 H(4) = 2+3 H(4) = 5

II. Problema por desarrollar

2. Si: Demostrar que: P(5)=–1



1. Si P(x)=2x+1 Hallar el valor de P(5)

Rpta.: .......................................................

2. Si P(x)=3x–2 Hallar el valor de P(6)

Rpta.: .......................................................

3. Si Hallar el valor de P(–5)

Rpta.: .......................................................

4. Si Hallar el valor de P(–2)

Rpta.: .......................................................

5. Si Hallar el valor de P(x+5)

Rpta.: .......................................................

6. Si Hallar el valor de P(x–2)

Rpta.: .......................................................

7. Si Hallar el valor de:

Rpta.: .......................................................

8. Si Hallar el valor de:

Rpta.: .......................................................

9. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

10. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

11. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

12. Si Calcular: P(x+3) + P(x–2) Rpta.: .......................................................

13. Si Hallar: P(–2) + P(3) Rpta.: .......................................................

14. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

15. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

16. Si Calcular:

Rpta.: .......................................................

17. Si Calcular: P(0.5) Rpta.: .......................................................



18. Si Calcular P(–2, 1) Rpta.: .......................................................

19. Si Calcular :

Rpta.: .......................................................

20. Si Calcular :

Rpta.: .......................................................

1. Si: Calcular : P(–2, 1)

A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 E) 15

2. Si: P(x)=3+x

Calcular P(2) + P(3)

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11

3. Resolver: Si

Hallar : P(7)

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

4. Si:

Calcular :

A) 5 B) 10 C) 11 D) 13 E) 15

5. Si:

Hallar: P(3)

A) –1 B) –2 C) –3 D) 0 E) 1



Problema desarrollado

1. Demostrar que: P + 2Q = a+b Si: P = 3a – 5b + 6 Q = –a + 3b – 3

Demostración:1º Reemplazamos en P+2Q 3a–5b+6+2(–a+3b–3)2º Reducimos 3a–5b+6–2a+6b–6 a+b

Problema por desarrollar2. Demostrar que: 3M+4N = 10x+y Si: M = 2x+3y–4 N = x–2y+3

Demostrar

1. Reducir los términos:

a)

b)

2. Reducir:a) P = 5mn–4mn+8mn–4mn b) M = 4ab+2ba–3ab–ba

Rpta.: .......................................................

3. Reducir:

Rpta.: .......................................................

4. Reducir:

Rpta.: .......................................................

5. Reducir:

Rpta.: .......................................................

6. Reducir:

Rpta.: .......................................................

7. Reducir:

Rpta.: .......................................................

8. Reducir:

Rpta.: .......................................................

OBJETIVOS

• Saber reconocer a los términos semejantes a través de su parte literal y poder reducirlos a uno solo.



9. Reducir:

Rpta.: .......................................................

10. Reducir:

Rpta.: .......................................................

11. Reducir:

Rpta.: .......................................................

12. Reducir:

Rpta.: .......................................................

13. Reducir:

Rpta.: .......................................................

14. Calcular el valor de “n” si los siguientes términos:

Rpta.: .......................................................

15. Calcular el valor de (m+n) si los términos son semejantes de variables “x” e “y”:

Rpta.: .......................................................

16. Reducir:

Rpta.: .......................................................

17. Sumar P+Q si:

P =

Q =

Rpta.: .......................................................

18. Efectuar M–N si:

M =

Q =

Rpta.: .......................................................

19. Efectuar 3P+Q si:

P =

Q =

Rpta.: .......................................................

20. Efectuar 4M–2N si:

M = 7a–2b+5ab–4

N = 3b+8a–3+4ab

Rpta.: .......................................................

1. Reducir:



A) 0 B) 1 C)

D) E)

2. Reducir:

A) –2 B) –1 C) 0

D) E)

3. Reducir:

A) –1 B) 0 C)

D) E) x

4. Indicar el valor de n si los términos:

Son semejantes

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5. Indicar el valor de m si los términos:

son semejantes.

A) 24 B) 8 C) 6

D) 4 E) 2



Problema desarrollado

1. Demostrar que:

Demostración:1º Eliminar el signo de colección

2º Reducir términos semejantes

; agrupándo términos

Problema por desarrollar

2. Demostrar que:

1. Eliminar los signos de colección:

a) –(4m+2n+5)

b) +(–x+3y–4)

c) –(–5a–2b–3)

2. Introducir el signo de colección afectado por un signo negativo:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

3. Reducir:

K=–2a+6+(3a–4)

Rpta.: .......................................................

4. Reducir: P=3x+5y+2–(2x+4y–1)

Rpta.: .......................................................

5. Reducir: M=–3a–(2a+6)+6(a–2)

Rpta.: .......................................................6. Reducir: Q=5x–(3x–7)–3(x+12)

OBJETIVOS

• Aplicar correctamente los signos de colección ya sea en su eliminación o introducción para agrupar términos. Para reducir términos es importante saber eliminar los signos de colección a través de una regla de signos.



Rpta.: .......................................................

7. Reducir:

Rpta.: .......................................................

8. Reducir:

Rpta.: .......................................................

9. Reducir:

Rpta.: .......................................................

10. Reducir:

Rpta.: .......................................................

11. Reducir:

Rpta.: .......................................................

12. Reducir:

Rpta.: .......................................................

13. Reducir:

Rpta.: .......................................................

14. Reducir: Q=5(m–3m+6)–4(2n–5+m)

Rpta.: .......................................................

15. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

16. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

17. Reducir:

Rpta.: .......................................................

18. Reducir:

Rpta.: .......................................................

19. Reducir:

Rpta.: .......................................................

20. Reducir:

Rpta.: .......................................................

1. Simplificar:



A) 5a B) 7a C) 5a –8 D) 8 E) 5a+8

2. Reducir:

M=5(m–n)–2(n+m)+7n

A) 4m B) 3m C) 2m

D) m E) –7m

3. Reducir:

P=3(x+2y)–2(y+2x)–4y

A) x B) 2y C) x+4y D) –x E) 4y

4. Reducir:

A) 1 B) –1 C) 0

D) x E) y

5. Reducir:

A) 0 B) –1 C) 1 D) 2a E) b

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