algebra 3 b.doc

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Adicin y sustraccin de monomios Adicin y sustraccin de polinomios

..........48 Multiplicacin de monomios Multiplicacin de polinomios

..........52 Divisin de monomios Divisin de polinomios.

GUA DE APRENDIZAJE DE LGEBRA N 07TEMA: Operaciones con Expresiones Algebraicas.

CONTENIDO: Adicin y Sustraccin de Polinomios.

Adicin y sustraccin de monomios. Adicin y sustraccin de polinomios.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SHAPE \* MERGEFORMAT

Para sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados, teniendo en cuenta la siguiente ley de signos:

a) Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo: 23xy + 25xy + 87xy = 135xy - 23xy 25xy 87xy = - 135xyb) Signos diferentes se restan y se coloca el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto. - 78x3ym + 12x3ym = - 66x3ym 78x3ym 12x3ym = 66x3ymEjemplo 01: Halla la suma de:

E = 3x2y3 + 7x2y3 6x2y3

E = (3 + 7 6) x2y3

E = 4x2y3.Ejemplo 02: Halla la suma de:

R = axnymt 11xnymt + xnymt

R = (a 11 + 1) xnymt R = (a 10) xnymtEjemplo 03: Determina el valor de:

P = 1/2 a2b6 + 1/3 a2b6 1/5 a2b6

P = (1/2 + 1/3 1/5) a2b6

Hallamos el MCM de 2; 3 y 5.

El MCM (2; 3; 5) = 30

P = ((15 + 10 6)/30) a2b6

P = 19/30 a2b6Ejemplo 04: Restar: - 45x5y7 de 73x5y7

Minuendo:= 73x5y7

Sustraendo:= - 45x5y7

Diferencia:= 73x5y7 (- 45x5y7)

= 73x5y7 + 45x5y7

= 118x5y7

Ejemplo 05: De: 127ax3 restar 98ax3.

Minuendo:= 127ax3

Sustraendo:= 98ax3

Diferencia:= 127ax3 (98ax3)

= 127ax3 98ax3

= 29ax3


I. Efecta las siguientes sumas:

a) 7x; -75x; 32x

b) 2xy; -6xy; -13xy; xy.

c) -8(3mn; 17(3mn; -5(3mn; (3mn.

d) 0,3cd; 1,3cd; 3,7cd; -8,9cd.

e) 4,25mxny; -3,76mxny; -0,97mxny.

f) -3,86h2; -5,79h2; 9,38h2; 4h2.

g) 1/5 k8; -2/3 k8; 7/10 k8; -5/6 k8.

h) 5(5h5; -4,3(5h5; -0,36(5h5; (5h5.

i) 7/9 pa; -2/3 pa; -25/27 pa; pa.

j) -23/24 ab; 7/12 ab; 5/6 ab; -3/4 ab.

II.Efecta la sustraccin de los siguientes monomios y determina la diferencia de cada uno de ellos:

a) De: 9xa+3, restar: 5xa+3.

b) De: -78w5-u, restar: 69w5-u.

c) De: -56 mn, restar: 73 mn.

d) Restar: -0,76b5c7, de: -0,24b5c7.

e) Restar: 3/7 abc, de: -20/21 abc.

f) Restar: -3(13 mxny+3, de:

9(13 mxny+3.

g) Restar: 7/8 (15x6y7z, de: -13/16 (15 x6 y7 z.

h) De: 13,347 h5k8 restar: -9,68 h5k8.

i) Restar: -97(59 ma+x, de: -103(59 ma+x.j) De: -123,78 bx+3cy+1, restar: 87,69 bx+3cy+1.


Para sumar o restar polinomios semejantes es necesario tener en cuenta la ley de signos de la adicin y sustraccin de monomios. Adems: si un signo negativo se antepone a un signo de agrupacin, los trminos que estn dentro de l cambian de signos; y, si un signo positivo se antepone a un signo de agrupacin los trminos que se encuentran dentro de l permanecen con su signo. As:

Si: P = (3x3y 4x5y8 + 6x4y9 0,25x)

Entonces: P = -3x3y + 4x5y8 - 6x4y9 + 0,25x

Si: P = + (3x3y 4x5y8 + 6x4y9 0,25x)

Entonces: P = 3x3y 4x5y8 + 6x4y9 0,25x SHAPE \* MERGEFORMAT

I.Aplicando la tcnica operativa ms adecuada efecta la adicin de los siguientes polinomios:

A = 3x2 + x 7; -8x + 23 4x2.

B = 6c3x 24cx2 + 35 cx; 32cx2 27c3x + 19 cx

C = 2xa+1 +3xa-1 4xa; -3xa+1 -7xa-1 + 6xa; -9xa + 5xa+1 -6xa-1.

D = (2m3 + (3m2 - (5m 31; 2(2m3 - 3(3m2 +4(5m + 9; -3(2m3 + 6(3m2 - 5(5m 7.

E = 3/8 pq + 5/16 p2 7/32 q5; 7/8 p2 15/16 q5 + 19/24

pq; 5/8q5 31/32pq+13/32p2.

F = 0,25a - 0,37b + 0,75; 0,26b 0,32 0,63a; 0,81 + 0,76a 0,93b.

G = 3(13m + 5(11m3 - 6(7m2; -3(11m3 + 15(7m2 - 6(13m; 13(13m + (11m3 - 2(7m2

H = 1/2 rt3 3/4 r3t2 + 9/10 r4t rt4; 1/4 rt3 3/8 r3t2 + 9/20 r4t 5rt4; 1/8 rt3 3/16 r3t2 + 9/40 r4t +6rt4.

I = 2,9 k3m 3,7 k2m + 6 km; -12,7 k3m 13,7 km + 6,5 k2m; 21,4 k2m 3,7 k3m + 6,3 km.

J = 0,5x2a-3 + 4xa+3 1/2 x2a; 1/5x2a+5xa+3-1,5x2a-3;3,8x2a-3+ 1/5 xa+3 - 4/10 x2a.

II.Suprime los signos de agrupacin (parntesis, corchetes y llaves) y reduce los trminos semejantes:

M = 7x (3x 5) (-x + 9)

N = 2(3x 6y + 2z) 3(-3y 8z 9y) + 4(z x y)

P = (-7x + 6y)+3(9x 4y)5(x + y)

Q = a 4(3,5b - 7,3a) 7(- 8,9a + 2,6b)

R = 3/4 d (3/8 b + 7/9 m) + (-1/2 d + 3/4 b 2/3 m)

S = 2 1/3 p 3(p 0,3q) + 5(0,2q -4/5 p) + 6(q p).

T = 15v - (- 6v (-3w + 9) + 5v( - 34

U = {- 0,02x - 2(0,7x3 + 5(0,06x3 + 0,4x)(}

V = 9m5{-m - 4(-m3(-m + n) - n( +n} x

W = { ( 5(2f 3) 4(3g + 4h) ( } 8{2f 7(3g+4h) f}

01) Reduce la siguiente expresin:

R = 3(x3 + x2 + 4) + 4(7 2x2 + 3x3) 5(3x3 - x2).

a)40

b) 30

c) x

d)5

e) N. A.

02) Reduce la expresin siguiente:

M = 5n(b + c) 5b(n + c) 5c(n +b)

a)10bc

b) -10bcc) 5bc

d)-5bc

e) N. A.

03) Efecta:

T = 2y(x2 + z2) 2xy(x y) 2y (z2 + xy)

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) - 404) Reduce la siguiente expresin:

U = 5x - (7y 2x (3x 2y)( + 9y 11x.

a)x

b) -y

c) y

d)-x

e) 105) Halla P(x) + Q(x), si se sabe que:

P(x) = 1 + x 8x2, y, Q(x) = 8x(x + 2) 1.

a)14x

b) 15x c) 16x

d)17 x

e) 20x06) Resuelve la siguiente expresin:

W = x - (x {y (2x y)} + x (- y)(

a)x

b) -x

c) y

d)-y

e) -3x+y07) Halla el valor de:

G = a - {2b + (3c 3a (a + b)( + 2a (b + 3c)}

a)3a

b) 2b

c) 3a-2b

d)2a

e) 3b08) Al reducir los tres trminos semejantes que hay en el siguiente polinomio: P(x) = 4axa+1 + 2ax1+a 6x5; qu se obtiene?

a)18x5

b) 16x5c) -18x5

d)-16x5

e) 0

09) Determina el resultado de sumar: 2x2 x + 3 con el triple de x2 + x + 1.

a) 5x2-2x+6b) 5x2+2x+6c) 5x2+2x

d)5x2-2x-6

e) N. A.

10) Halla el resultado del cudruple de la suma de: x3 + 2x2 + 3x +1, con el doble de: x3 2x2 2x 1.

a) 12x3-4x2-4x-4 b) 8x3+4x

c)1

d) 0

e) N. A.

11) Calcula el resultado de sumar el doble de: x3 + x2 -5x + 3, con el quntuple de: x3 + 2x 3x2 6/5.

a) 7x3-13x2+12x

b) 7x+12

c) x2+1

d) 7x3-13x2e) N. A.12) Restar: x3 + 4x2 - 6x 2, del polinomio: x3 x2 7x 1. Da como respuesta la suma de coeficientes.

a)-5

b) -6

c) -7

d)1

e) 2

13) Calcula el exceso del doble de: 3x3 + 4x2 + 5x +2, sobre el triple de: x3 + 4x 1. Da como resultado la suma de coeficientes.

a)3

b) 4

c) 18

d)10

e) 1

14) Si a la suma del doble de: x5 + x3 + 2x, con el triple de: x5 + 2x3 + x, se le resta el quntuple de: x5 + x, qu se obtiene?

a)x3+8x3+6xb) 8x3+2xc) x3+2

d)x2+8x+6

e) N. A.

15) En cunto excede la suma de los polinomios: x3 + 2x2 x + 2; x3 x2 + x 2; al duplo del polinomio: x3 6.

a) x2+6

b) x3-6

c) x2

d) x3+6

e) x2+12

16) Indica el exceso del duplo de la suma de: 2x3 + x2 + x + 2, con: x3 +2x2 + 2x + 1, sobre el triple de la suma de: 3x2 + 3x 1, con: - x2 x + 3.

a) 6x

b) 6x2

c) 6

d)6x3

e) N. A.

17) Indica el exceso de la diferencia del polinomio: 2x3 + 5x2+ x + 8, con: x3 + 5x2 + 7; sobre: x3 + 1.

a) x

b) 2x

c) 1

d) 8

e) 9

18) Cul ser el exceso de la diferencia de: a3 + 2a2b + b3, con: a2b + 2 ab2; sobre la suma de: a2b + 2b3, con: -2 a2b - b3? Da como respuesta la suma de coeficientes del resultado.

a)a3

b) b3

c) a2b

d)-a2b

e) N. A.

19) Si las siguientes expresiones se reducen a una sola, halla su resultado.

P(x) = (a + b)x2a + (a b)x5b 2ax10.

a) 7

b) 5

c) 10

d) 3

e) 020) Indica la suma de coeficientes de:

P(x) = (1/3 + 1/2) x2 + (2/3 + 1/2)x (1/3 + 2/3).

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

21) Si: M(x+1) = x + 2; N(x-2) = x; S(x+2)=x+2. Halla: S(3) + N(0) M(2).

a) 1

b) 0

c) 4

d) 3

e) 2

22) Si: P(x) = x, halla: P(1) + P(2) + ... + P(10).

a)50

b) 55

c) 45

d)40

e) N. A.

23) Dado: P(x) = 3x67 368 + x, indica: P(3).

a)1

b) 2

c) 3

d)4

e) N. A.

24) Si el permetro del siguiente tringulo es de 15 metros, indica la medida de cada uno de sus lados.

a) 2;3;4

b) 3;4;5 c) 4;5;6

d) 1;3;5

e) 2;4;625) Raquel tiene que estudiar en la maana cinco horas; en la tarde 2 horas y en la noche 3 horas. Indica cuntas horas del da no estudia.

a)20 h

b) 18 hc) 16 h

d) 14 h

e) 12h

26) Si hay cinco varones ms que mujeres en el aula del Primero A, y se sabe que el aula tiene para formar 5 grupos de 5 estudiantes. Indica el nmero de mujeres.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 10

27) Si: Q(x) = x + 3, y: Q(x) = b. Halla: b a.

a) 3

b) 2

c) 1

d)0

e) N. A.

28) Sea: P (x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3. Halla el valor de: E = P (0) + P (1).

a)11

b) 10

c) 9

d)12

e) N. A.

29) Si: P(x) = x2008 4x2007 + 1. Halla: P(4).

a) -1

b) -1

c) 0

d)-4

e) 4

30) Sea: x2 + x a2. Adems: P(a) = 3. Calcula el trmino independiente de P.

a)5

b) 6

c) 7

d)8

e) 9

FECHA DE REVISIN

.../.../2008

OBSERVACIONES

FIRMA DEL PROFESOR

FIRMA DEL PP. FF.


CONTENIDO: Multiplicacin de Polinomios.

Multiplicacin de monomios. Multiplicacin de polinomios.

Para multiplicar monomios se toma en cuenta la ley de signos de la multiplicacin y las leyes de la teora de exponentes.

Ley Producto de Bases Iguales

Ley de signos

1 El producto de dos nmeros con signos iguales es positivo. (+7x3) (+8x4) = +56x7 = 56x7 (- 7x3) (- 8x4) = +56x7 = 56x72 El producto de dos nmeros con signos diferentes es negativo. (+9y5) (-12y6) = -108y11 (-9y5) (+12y6) = -108y11Ejemplo: Halla el producto de:

a) (-12 bh) (+13b2h4) =

(-)(+)(12)(13)(b. b2)(h. h4)

= - 156b3h5 SHAPE \* MERGEFORMAT

01) Halla el resultado de: (23)3 ( (22)3.

02) Cul es la expresin por la que deberamos multiplicar P para que el producto sea X20?

P = ((x2)3(2 . x4.

03) Cul es el exponente de la potencia que resulta de operar: 3m-7 ( 34-m ( 38?

04) Halla el exponente que resulta de operar: 92n-1 ( 811-n/4 ( 271-n.

05) Por cunto debemos multiplicar a E para obtener como resultado 230?

E = 166-t ( 8t+1 ( 41+t/2.06) Qu valor debe adoptar m para que la siguiente proposicin sea verdadera?

100m ( 1000m ( 10000m = 1018007) Halla el resultado de cada operacin:

a) (6x) (9x) =

b) (-7m) (-12m) =

c) (-3n2) (+7n5) =

d) (12mnp) (-15m2n3p7) =

e) (+18x6y9) (+17x12y23) =

f) (-25p5q8) (-4p7q4) =

g) (13xm+1) (-9x3-m)(4x-3+m) (-x2-m)

h) (0,4mx) (-0,5ny) (1,2pz) (m2-xp3-y)

i) (12/25 ab4) (-50/48 b7c2) (8abc)

j) (-625h3j12) (-4h5j-9) (-8h2j5k7) =


Es la operacin en la que dados dos polinomios denominados multiplicando y multiplicador, se obtiene otro denominado producto. Para multiplicar polinomios, es indispensable tener en cuenta las leyes de los exponentes (producto de bases iguales) y la ley de signos de la multiplicacin de nmeros enteros.

Ejemplo 01: Halla el valor de:

-7x3 (-6x5 + 4x4 3x2 + x 13).

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicacin, es decir, se multiplica el monomio multiplicando (-7x3) con cada uno de los trminos del polinomio multiplicador, teniendo en cuenta la ley de signos y la ley del producto de bases iguales.

= (-7x3) (-6x5) + (-7x3) (+4x4) + (-7x3) (-3x2) +(-7x3) (+x) +(-7x3) (-13)

= (+43x8) + (-28x7) + (+21x5) + (-7x4) + (+91x3)

= 43x8 -28x7 +21x5 7x4 + 91x3.

Ejemplo 02: Determina el valor de:

(2x + 3y) (4x 5y).

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma, es decir, se multiplican todos los trminos del multiplicando (2x + 3y) con todos los trminos del multiplicador (4x 5y), teniendo en cuenta las leyes respectivas y reducindose luego los trminos semejantes.

= 2x (4x 5y) + 3y (4x 5y)

= (2x) (4x) + (2x) (-5y) + (3y) (4x) + (3y) (-5y)

= 8x2 10xy + 12xy 15y2

= 8x2 +2xy -15y2.Ejemplo 03: Halla el valor de la siguiente expresin: (2m 3n + p) (4m + 5n 7p)

= 2m (4m + 5n 7p) - 3n (4m + 5n 7p) + p(4m + 5n 7p).

= 8m2 + 10mn 14mp 12mn 15n2 + 21np + 4mp + 5np 7p2.

= 8m2 2mn 10mp - 15n2 + 26np - 7p2.

= 8m2 - 15n2 - 7p2 2mn 10mp + 26np. SHAPE \* MERGEFORMAT

01)Halla el producto de las siguientes expresiones:

a) (4x + 7) (3x + 5) =

b) (2m 9) (6m + 1) =

c) (8h 3) (4h 11) =

d) -13x4y7 (- 4x5y + 8x6 9y5 + 1)

e) - 3/4 bk(12/9 b3 6/12k6 + 4/3) =

f) 2,8m4n9(1,5m2 3,6mn + 1,9n3)

g) (0,2x 0,3y) (0,5x 0,4y 0,7) =

h) (3a + 4b 6x) (4a - 3b 5x) =

i) (1/2 x 1/4 y + 1/6) (1/5 x 3/4 y -1/2) =

j) (1,42j 3,65k 8,95m) (1,5 j 1,4k +0,4m) =

02) Si: P(x) = 3x3 x2 + 3x 4, y, Q(x) = 4x2 5x + 2; indica el menor coeficiente del polinomio producto.

03) Cul es el coeficiente de x4 en el siguiente producto: (6x4 4x2 + 12x - 8) (2x3 5x + 7)?

04) Determina el valor de m del producto, sabiendo que el trmino independiente es 664.

(x + 3)3 (x 4)2 (x + m)

05) Al multiplicar los polinomios:

A(x) = x2 + x + 2; B(x) = x + 2; se obtiene: P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Halla el valor de: a b + c.

06) Indica la suma de coeficientes del resultado de multiplicar la suma de: 3x 2x2 + 3x3, con: x2 x3 + 4; con el resultado de la diferencia de: 2x2 + 3x + 4, con: 2x2 2x -3.07) Efecta:

(7/9 s12t15 + 2/3 s10t4) (-18/21 s8t5 3/2s3t9).

08) Determina el valor de p del producto, sabiendo que el trmino independiente es 2592.

(x 2)5. (x 3)3 (x + p).

09) Completa la siguiente tabla del producto de dos polinomios.

X

-64-2-88-162410) Reduce la siguiente expresin:

(x + 1)(x2 + 2x 1) (x 1)2 (x2 2x 1).


01) Reduce la siguiente expresin:

E = (x 1) (2x 3) (2x + 1) (x 4) 7.

a)1

b) 0

c) 7

d)x

e) 2x02) Halla el valor de:

R = (2x 3) (4x 5) - (7 x) (3 + 8x) 3(7x - 2).

a)16x

b) 6x

c) 21

d)3

e) N. A.03) Efecta y da como respuesta la suma de los coeficientes del producto.

T = (3,6x3 + 5,2x2 9,8) (1,5x3 0,5x2)

a)0

b) 1

c) -1

d)2

e) N. A.

04) Determina el valor del trmino independiente de la siguiente expresin:

P = (x + 4)3 (x 1)9 (x + 2)4 (x 5)2

a) 25600

b) -25600c) 12800

d)-12800

e) 480005) Halla el valor de n del producto, si el trmino independiente es 1728.

(x 3)3 (x + 2)4 (x n).

a) 1

b) 2

c) 3

d)4

e) 506) Completa el siguiente cuadro de doble entrada que representa el producto de dos polinomios, y halla la suma de coeficientes del polinomio producto.

X

4-682-10-212-8 a)4

b) 3

c) 2

d)1

e) 0

07) Halla el valor de: (P(x)(2 + (Q(x)(4, si: P(x) = 4(7 - 5(7, y, Q(x) = ((2 1) ((2 + 1).

a)8

b) 7

c) 2

d)1

e) 008) Indica si es verdadero o falso las siguientes expresiones:

a) (2x 3) = -2x 3

b) (-3y2) = 3y2

c) (x3 + x2y xy2 y3)=-x3- x2y xy2 y3.09) Indica si es verdadero o falso las siguientes expresiones:

a) (- 3 ab) = ab + 3

b) a2 (b + c)2 = (ab+c) (a+b+c)

c) (2n1)(2n+1) = 2n(2n+1)(2n+1)10) Indica si es verdadero o falso las siguientes expresiones:

a) (3 + x) (-3 + x) = x2 9.

b) (x - 4)2 = x2 8x 16

c) (x + 8) (x 9) = x2 x 72.11) Si: A = (x + 4) ( x 6); B = (x 7)2. Halla: E = A B + 73.

a) 10x

b) 11x

c) 12x

d)x

e) 0

13) Halla el valor de:

M = ((5 + (2)2 + ((5 - (2)2.

a)2

b) 5

c) 7

d)14

e) 114) Halla: R = 3P 5Q, si: P = 2 x + 5x2, y, Q = x + 5 x2. Indica la suma de coeficientes del resultado.

a) 7

b) -7

c) 47

d)12

e) -12

15) Simplifica:

H = 5x2 {3x (y x) + (5x y) x} x (2x y).

a)x2+3xyb) 3xy-2c) x2

d)3xy

e)x2-3xy16) Efecta la siguiente expresin:

J = 6 + (x 3) (2 + x) + x.

a) 6

b) 3

c) 2

d) x2

e) x

17) Resuelve la expresin siguiente:

K = 2 (3 + x) (x 3) + x2.

a)-7

b) -2

c) 9

d)11

e) x

18) Si:

, halla:

E = (x 2) (x + 2) (x2 + 4) x4.

a)x2

b) x4

c) x

d)16

e) -16

19) Halla: P Q, si:

P = (x2 + 6) (x2 + 1) 7x2 6,

Q = (x2 + 1) (x2 3) + x2 + 4.

a)x2-1

b) x2+1c) x2

d)-1

e) x4+120) Resuelve la siguiente expresin:

D = (x + y) (y + z) + (y z) (x z) (y + z) (y z) 2z2.

a) xy

b) 2xy

c) x

d)y

e) z21) Efecta la siguiente expresin:

F = (x + 1)2 (x 3)2.

a) 1

b) x-1

c) x+1

d)8(x-1)

e) 8(x+1)22) Resuelve la expresin siguiente:

B = (12x)2 + (2x3)2 + 2(2x3) (1- 2x)

a)6

b) 9

c) 3

d)-6

e) -923) Simplifica:

U = (2a 1) (2a + 1) (4a2 + 1) (16a2 + 1) 1.

a) 256a4

b) 16a4 c) -16a4

d)4a2

e) 1

24) Simplifica:

Z = 7 (x4 + (7) ((7 x4)

a)7

b) x4

c) x6

d) x8

e) x1625) Resuelve:

T = ((3 +a) (a - (3) (3 + a2) + 9.

a) a

b) a2

c) a4

d)a8

e) -126) Simplifica:

E = (a + (3)2 - 2(3a a2.

a)a

b) (3

c) 2

d)3

e) a227) Resuelve la expresin siguiente:

F = (x + 3)2 + (x 3)2 18

a) x2

b) 2x2

c) 4x2

d) 4

e) 9

28) Simplifica:

W = (x 1) (x4 + x2 + 1) (1 + x) + 1

a) x3

b) x6

c) x3

d) -1

e) x629) Resuelve:

Y = (a6 a3 + 1) (a2 a + 1) (a + 1) a9.

a) a9

b) a3

c) -9

d) -3

e) -130) Halla el valor de M, si:

a) x

b) x2

c) y

d) y2

e) 1

FECHA DE REVISIN

.../.../2008

OBSERVACIONES

FIRMA DEL PROFESOR

FIRMA DEL PP. FF.


CONTENIDO: Divisin algebraica.

Divisin de monomios.

Divisin de polinomios.

Es la operacin inversa de la multiplicacin que tiene como objetivo calcular una expresin llamada cociente (q) y otra llamada residuo (r) conociendo otras llamadas dividendo (D) y divisor (d).

Se cumple que: D = d. q + r.Consideraciones:1 Si: r = 0, se obtiene un cociente exacto.

D = d. q.

2 Si: r ( 0, se obtiene un cociente completo.

D = d. q + r.

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuacin se escriben las letras en orden alfabtico, ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Para este caso se utiliza la siguiente propiedad de cocientes de bases iguales de la teora de exponentes:

Adems, se debe tener en cuenta la ley de signos de la multiplicacin:

Ejemplo 01: Halla el valor de:

Ejemplo 02: Determina el valor de:

Para todos los mtodos es necesario que el dividendo (D) y el divisor (d) estn ordenados y completos-

PROPIEDADES:1 El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor disminuido en la unidad. Adems, el grado del resto es menor que el grado del divisor.

2 El grado mximo del resto es el grado del divisor disminuido en la unidad. Adems, el grado del resto es menor que el grado del divisor.

r < d ( r (mx) = d - 1: r: Grado mximo del resto.3 La propiedad fundamental de la divisin en el lgebra, forma una identidad; para todo valor que se le asigne a su variable,

4 Si la divisin es exacta, el resto es un polinomio idnticamente nulo.

D = d. q( r ( 0

Ejemplo: Determina los valores de los elementos de la divisin siguiente:

D = 12 ( q = 12 7 = 5

d = 7 ( rmx = 7 1 = 6

Para dividir polinomios por el mtodo clsico o convencional se procede de la siguiente manera:

1 Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2 Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, obtenindose el primer trmino del cociente.3 El primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del divisor que restan a los trminos semejantes del dividendo, cancelando necesariamente a los primeros trminos.

4 Luego, se bajan los trminos que quedan y el primer trmino de este nuevo dividendo se divide entre el primer trmino del divisor, repitindose el procedimiento anterior, hasta que el grado de los nuevos dividendos del primer trmino sean menores que el grado del divisor.

EJEMPLO 01: Resuelve: (2x5 + 4x + 6x7 x2 + 2 + 6x4 x6) ( (x3 2x + 1 + 3x4).

( Se ordenan en forma descendente el dividendo y el diviso, y adems se completa con ceros los que trminos que faltan, as:

(6x7 x6 + 2x5 + 6x4 + 0x3 x2 + 4x + 2) ( (3x4 + x3 + 0x2 2x + 1).( Procedemos a dividir en forma prctica:

Para una mejor comprensin, lo explicaremos con un ejemplo prctico y sencillo

Este mtodo se recomienda utilizarlo cuando el divisor presenta grado mayo o igual a do (2).

EJEMPLO 01: Divide por el mtodo de Horner la siguiente expresin algebraica:

(6x7 x6 + 2x5 + 6x4 + 0x3 x2 + 4x + 2) ( (3x4 + x3 + 0x2 2x + 1).

( Se coloca los coeficientes del dividendo en forma horizontal, cubriendo con ceros la ausencia de los trminos. Luego, se coloca en forma vertical los coeficientes del divisor, el primer trmino cobre la lnea horizontal con su respectivo signo y los siguientes, debajo y con signo cambiado. de igual modo, cubriendo con ceros los trminos ausentes. Es decir que los polinomios dividendo y divisor deben ser ordenados y completos.

( Luego, se cuentan cuntos trminos hay debajo de la lnea horizontal (cuatro) y se cuentan igual nmero de trminos, de derecha a izquierda del dividendo para ubicar una lnea vertical, para finalmente trazar una lnea horizontal debajo del ltimo trmino del divisor.

( Ahora, de acuerdo al esquema establecido se procede a operar, tendiendo en cuenta que slo se divide entre el primer trmino del divisor, ubicado sobre la horizontal (3), comenzando con el primer trmino del dividendo (6); haciendo la operacin mental (6 ( 3 = 2), cuyo resultado se coloca en el espacio reservado para el cociente, alineado con el primer trmino del dividendo.

( El nmero obtenido en el cociente se multiplica con cada uno de los trminos del divisor (-1; 0; 2; -1) y los resultados se ubican debajo de la horizontal, paralela al dividendo, corriendo un lugar hacia la derecha.

( Para continuar, bastar aplicar la regla sumo y divido, es decir, que la columna formada por (-1) y (-2), al sumarlas se obtiene (-1 - 2 = -3), el resultado (-3) se divide entre el primer trmino del divisor (3), entonces (-3 ( 3 = 1), este nmero va al cociente que multiplica a cada uno de los trminos del divisor que se encuentran ubicados debajo de la horizontal, repitiendo el procedimiento anterior, colocando los productos recin obtenidos (1; 0; -2; 1).

( Para hallar el tercer trmino del cociente, se procede como en el caso anterior:

( Cuando llegamos al ltimo trmino del cociente, se efecta la multiplicacin que deber alinearse hasta el ltimo trmino del dividendo, la cual nos indica que la divisin ha concluido. Para hallar el residuo se efectuar la suma en forma vertical con todos los trminos que quedan despus de la segunda lnea vertical.

( Finalmente, determinamos el cociente y el residuo de la divisin, as:

Para obtener el grado del primer trmino del cociente o del residuo se restan los exponentes del primer trmino del dividendo con el primer trmino del divisor: (7 4), lo que nos indica que el polinomio cociente es de tercer grado. El resto de trminos se colocan consecutivamente en forma descendente.

q (x) = 2x3 x2 + x + 3.

r (x) = -7x3 + 2x2 + 9x 1.

01) Efecta las siguientes divisiones:

a) (-72ab3c7) ( (-24b2c5) =

b) (-0.025m7n9) ( (0,5m4n6) =

c) (12,8px+6qy-7) ( (6,4p3-x q-y-4) =

d) (8/3 hm+17k2n-23) ( (16/9 h17-mk23)

e) (-25/79 mk-2b+4v) ( (125/237 m4v+k) =

02) Efecta las siguientes divisiones de polinomios con monomios:

a)

b)

c)

d)

e)

03) Efecta las siguientes divisiones por el mtodo tradicional o convencional:

a) (12x4 + x3 5x2 + 21x 19) ( (4x2 + 3x - 5) =

b) (6x5 + 4x4 + 5x3 + 8x2 7x 5) ( (3x2 + x + 1) =

c) (x4 + 3x3 5x2 + 3x 10) ( (x2 + x 2) =

d) (12x6 2x5 19x4 + 19x3 x 7) ( (3x 2) =

e) (5x5 + 16x4 15x3 2x + 8) ( (x + 4) =

f) (8x4 + 40x2 + 32x3 + 13x 15) ( (7x2 3x + 3) =

g) (6x5 + 7x4 18x3 + 10x2 + 7x 9) ( (3x3 x2 + 2) =

h) (2x6 + 5x5 10x4 + 2x3 + 10x2 +10x 3) ( ( x3 + 2x2 + 3x 4) =

i) (x4 2x2 7x + 5) ( (x + 2) =

j) (2x8 28x4 5x2 + 4) ( (x2 + 2) =04) Divide por el mtodo de Horner, las siguientes divisiones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


01) Halla el cociente de: (6x2 + 7x + 2) entre (3x + 2).

02) Halla la suma de coeficientes del cociente de: (6x4 9x3 + 3x3 12x) entre (1/3 x).03) Halla el residuo de: (m5 2m4 + 3m3 4m2) entre (m - 1).04) Halla el resto de: (3x4 13x3 + 3x2 3x + 13) entre (x2 5x + 3).

05) Determina el residuo de: (5x2 2x3 + 3x2 5x 9) entre (x2 3x + 2).06) Determina la suma de coeficientes del cociente: (6x4 16x3 + 25x2 7x 4) entre (3x2 + 2x + 1).07) Determina el coeficiente del trmino lineal de: (15x4 6x3 5x2 + 7x 8) entre (5x 2).08) Indica el trmino independiente del residuo de: (15x4 + 22x3 + 41x2 + 28x + 8) entre (3x2 + 2x + 6).09) Halla la suma de coeficientes del cociente de: (4x5 15x3 + 20x2 7x 4) entre (2x3 + 3x2 5x + 4).10) Indica el menor coeficiente del cociente:

(12x6 2x5 19x4 + 19x3 x 7) entre (3x 2).

11) Halla la potencia cbica del residuo de:

(4x6 + x4 5x3 + 7x + 1) entre (2x 1).

12) Calcula la suma de coeficientes del cociente de:(2x99 x98 + 5x2 10x+18)entre(x 1).13) Da la suma de coeficientes del cociente entero de: (3x8 + x6 5x2 + 1) entre (x2 + 1).14) Indica la suma del cociente y el residuo de: (x3 + 5x2 + 12x + 6) entre (x2 + 3x + 4).

15) Indica la suma de coeficientes del cociente: (10x3 + 3x2 6x 4) entre (5x2 x 3).16) En la siguiente divisin, indica el resto:

(6x3 5x2 + 4x 2) ( (3x2 x + 1).

17) Dado el esquema de Horner, halla: a b.

18) Halla el valor de m, en la siguiente divisin exacta: (x3 x2 + 5x m) entre (x2 + x + 7).19) Si la divisin es exacta, halla: m + n.

(2x3 + 5x2 + mx + n) ( (2x2 + x + 3).

20) Indica el resto de: (2x3 + 5x2 + 17x 11) entre (2x 1).21) Indica la suma del cociente y el residuo de: (3x3 + 5x2 4x + 2) entre (3x + 2).22) Indica la suma del resto y el trmino independiente del cociente, en:

(x4 + sx3 + x + 6) ( (x + 2).23) Indica la suma de coeficientes del cociente, en:

(5x3 + 9x2 17x + 3) ( (5x 1).24) En la siguiente divisin exacta, halla: b2b: (x3 + 4x2 + 2x b) ( (x + 1).

FECHA DE REVISIN

.../.../2008

OBSERVACIONES

FIRMA DEL PROFESOR

FIRMA DEL PP. FF.

NIVEL

SECUNDARIA DE MENORES

EMBED Visio.Drawing.11

1er

Grado

SECUNDARIA

I N D I C E

1 Unidad

2 Unidad

3 Unidad

ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS

PRCTICA DE CLASE

ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS

PRCTICA DE CLASE

PRCTICA DOMICILIARIA

MULTIPLICACIN DE MONOMIOS

bx. by = bx+y; b ( 0

PRCTICA DE CLASE

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

PRCTICA DE CLASE


EMBED Equation.3

DIVISIN ALGEBRAICA

DIVISIN DE MONOMIOS

EMBED Equation.3

DIVISIN DE POLINOMIOS

q = D - d

D = d. q + r

EMBED Equation.3

DIVISIN POR EL MTODO CLSICO

DIVISIN POR EL MTODO DE HORNER

PRCTICA DE CLASE


_1279500996.vsdBloque de texto

_1279501004.unknown

_1279501008.unknown

_1279501010.unknown

_1279501012.unknown

_1279501014.unknown


_1279501013.unknown

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Bloque de texto

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_1279500983.unknown


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algebra 3 b.doc

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