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IMPOSIBILIDAD DE CIERTAS SOLUCIONES
July 5, 2015
Podemos demostrar, ahora, la imposibilidad de ciertas construcciones ge-omtricas.
Teorema 9.3
Es imposible duplicar el cubo , esto es, dado el lado de un cubo, no siemprees posible construir con regla y compas el lado de un cubo que tenga el doble delvolumen del cubo original.
Demostracion
Sea el cubo de lado 1 y, por tanto, de volumen 1. El cubo buscado debe tenervolumen 2 y, por tanto, la longitud 3
2. Pero 3
2 es un cero de irreducible x32
sobre Q, de modo que[Q( 3
2) : Q] = 3
El corolario del teorema anterior muestra que para doblar este cubo de volumen1, necesitaramos que para algun entero r, 3 = 2r. Es claro que no existe dichar.
Teorema 9.4
Es posible cuadrar el crculo esto es, dado un crculo, no siempre es posibleconstruir con regla y compas un cuadrado que tenga area igual al area del crculodado
Demostracion
Sea el crculo dado de radio 1 y, por tanto, de area . Necesitaramos construirun cuadrado de lado
. Pero es trascendente sobre Q, de modo que tambien
es trascendente sobre Q.
Problema 4 Usando los resultados del problema anterior, donde sea nece-sario, muestrese que lo siguiente es cierto.
1. El 20-gono regular es construible.
2. El 30-gono regular es construible.
3. El angulo de 72 se puede trisecar.
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4. El 15-gono regular se puede construir.
Solucion
1. Podemos construir el 20-gono regular porque se puede bisecar el angulode 36 (esto por el ejercicio anterior), luego obtenemos: (360/20) = 18.
2. El angulo 72 se puede construir pues se puede escribir 72 = 2(36) (por elejercicio anterior), ademas sabemos que 60 es contruible, luego podemosescribir 72 60 = 12 = (360/30). Por consiguiente el 30-gono regulares construible.
3. En 2. demostramos que el angulo 12 es construible, as el angulo 24 =2(12) = (72/3) es construible. Por tanto el angulo 72 se puede trisecar.
4. Nuevamente como en la parte 2. demostramos que el angulo 12 es con-struible, luego el angulo 24 = 2(12) = (360/15). Por tanto el 15-gonoregular se puede construir.
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