Universidad Andrs BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matemticas

lgebra (FMM013)Examen

Julio 6, 2012.Duracin: 90 minutos.

Importante: No se asignarn puntos por respuestas sin justificacin.

Problema 1 : (1,2 puntos) Usando induccin pruebe que para todo n N se tiene que24n 1 es mltiplo de 15

Solucin:Base inductiva: para n = 1 tenemos 24(1) 1 = 16 1 = 15, obviamente mltiplo de15.

Hiptesis de induccin: Suponemos que la propiedad es vlidad para n = k, es decirexiste A N tal que

24k 1 = 15ATesis de induccin: probamos que la proposicin es vlida para n = k + 1.Tenemos

24(k+1) 1 = 24k+4 1= 24k24 1= (24k 1)24 + 24 1= 15A24 + 24 1= 15A24 + 15

= 15(16A+ 1)

Por el axioma de induccin, tenemos entonces que la propiedad es verdadera para todon N

Problema 2 : (1,2 puntos) Sean p, q y r proposiciones. Se sabe que la proposicin

[(p r) p] [r q]es falsa. Determine, si es posible, el valor de verdad de p, q, r y de[

(p r) (r q)] (p q r)

Solucin:

La nica forma para que la proposicin [(p r) p] [r q] sea falsa, es que{(p r) p Vr q F

De la segunda equivalencia obtenemos que r V y q F .Sustituyendo en la primera equivalencia tenemos(p V ) p VV p VPor lo tanto p V .(Tambin podemos deducir que p V directamente de la primera equivalencia.)

[(p r) (r q)

] (p q r)[

(V V ) (V F )] (V F V )[

(F V ) F ] F[F V ] F[F V ] F

V FF

Problema 3 : (1,2 puntos) Encuentre una expresin para todos los x R tales que

cos(2x) = 1 + 4 sen x

Solucin:

cos(2x) = 1 + 4 sen x

cos2 x sen2 x = 1 + 4 sen x1 sen2 x sen2 x = 1 + 4 sen x

2 sen2 x+ 4 sen x = 0

2 sen x(sen x+ 2) = 0

Por lo tanto senx = 2 o senx = 0.La primera ecuacin no tiene solucin para x RLa segunda ecuacin se verifica para x = kpi para todo k Z.

Problema 4 : En S = R {1} considere la operacin definida como a b = a + b abpara a y b elementos de R.

a) (0,2 puntos) Demuestre que es una ley de composicin interna.b) (0,2 puntos) Demuestre que la operacin es asociativa.

c) (0,2 puntos) Demuestre que es conmutativa.

d) (0,2 puntos) Encuentre el neutro. Justifique.

e) (0,2 puntos) Para cada elemento de S encuentre el inverso. Justifique.

f) (0,2 puntos) Encuentre la solucin en S de la ecuacin

x = x1

(Tenga en cuenta que el inverso se refiere a la operacin .)Solucin:

a) Si a R {1} y b R {1} queremos probar que a b R {1}, es decira b 6= 1.Supongamos que a b = 1, tenemos:a+ b ab = 1a(1 b) = (1 b)Como b 6= 1 tenemos que (1 b) 6= 0, y podemos simplificara = 1Una contradiccin.Por lo tanto debemos tener que a b 6= 1.

b) Sean a, b, c elementos de S, tenemos

a (b c) = a (b+ c bc)= a+ b+ c bc a(b+ c bc)= a+ b+ c bc ab ac+ abc

(a b) c = (a+ b ab) c= a+ b ab+ c (a+ b ab)c= a+ b ab+ c ac bc+ abc

Por lo tanto (a b) c = a (b c), y la operacin es asociativa.c)

a b = a+ b ab= b+ a ba= b a

d) Dado a S, buscamos e S tal que a e = e a = a.Como la operacin es conmutativa, alcanza con probar a e = a.Tenemos

a e = aa+ e ae = ae(1 a) = 0

Como a 6= 1, debemos tener e = 0.Verificamos directamente a 0 = a+ 0 a0 = a.

e) Sea a S, buscamos b S tal que a b = b a = e = 0.COmo la operacin es conmutativa, alcanza con verificar a b = 0.Tenemos a b = 0a+ b ab = 0b(1 a) = ab =

a1 a b =

a

a 1Verificamosa a

a 1 = a+a

a 1 aa

a 1 = a+ (1 a)a

a 1 = a a = 0Por lo tanto a1 =

a

a 1

f) x = x1

x x = x1 xx+ x x2 = 0x2 2x = 0x(x 2) = 0

Por lo tanto las soluciones son x = 0 y x = 2

Problema 5 : (1,2 puntos) Encuentre todos los z C tal que

6z2 (13 + 8i)z + 4 + 7i = 0

Solucin:

Tenemos

z =13 + 8i+

(13 + 8i)2 4(6)(4 + 7i)

2(6)

z =13 + 8i+

64 + 208i+ 169 96 168i12

z =13 + 8i+

9 + 40i

12

Necesitamos ahora9 + 40i

Buscamos a y b reales tal que(a+ ib)2 = 9 + 40ia2 b2 + 2abi = 9 + 40iResolvemos{

a2 b2 = 92ab = 40

Encontramos las soluciones reales a = 5, b = 4 y a = 5, b = 4.Tenemos que las races de la ecuacin son

z1 =13 + 8i+ 5 + 4i

12= 3

2+ i

z2 =13 + 8i 5 4i

12= 2

3+ 1

3i