ajuste de curvas - guía

Ctedra de Laboratorio I de Fsica

Prctica N4: Grficas y ajuste de curvas (H01-31)

PAUTAS PARA ELABORAR UNA GRFICA 1. Seleccin de los ejes coordenados y de las escalas

La variable independiente se representa en el eje de las abscisas. Su valor en el experimento se vara por pasos.

La variable dependiente se representa en el eje de las ordenadas. Su valor lo determina el sistema para cada valor de la variable independiente.

Las escalas se seleccionan en funcin del rango de valores de las magnitudes involucradas.

El nmero de subdivisiones para las divisiones principales, en cada eje, debe escogerse de manera que resulten de fcil lectura. Generalmente, se recomienda que sean submltiplos o mltiplos de algn valor prefijado.

En las escalas slo se enumeran las divisiones principales.

Cuando se representen grficamente puntos experimentales, el valor de la menor divisin de las escalas debe ser mayor o igual que la apreciacin de los instrumentos empleados.

2. Identificacin de los ejes Se deben colocar los nombres completos, de las magnitudes que se

representan, a lo largo de cada eje con sus correspondientes unidades. Las magnitudes deben ir en letra mayscula y las unidades entre

parntesis.

Se utiliza letra molde.

3. Identificacin de la grfica

Se debe sealar: nombre del experimento y del autor, lugar y fecha de realizacin del experimento.



PAUTAS PARA ELABORAR UNA GRFICA 4. Representacin de los datos experimentales

Se simbolizan por cruces cuyo centro representa el valor medio de las variables (dependiente e independiente) medidas.

La longitud de los brazos, de acuerdo con las escalas utilizadas, representan el valor de los errores correspondientes a cada medida.

Cuando los errores no se puedan representar, por ser muy pequeos con respecto a las escalas implementadas, los puntos experimentales se indicarn mediante crculos pequeos.

Cuando se representen varias curvas en la misma grfica, los puntos experimentales correspondientes a un mismo conjunto de datos deben identificarse en una leyenda.

5. Trazado de la curva

Si se representan variables continuas, en cada uno de los ejes, la curva debe ser continua. La curva trazada debe ser suave sin presentar cambios o inflexiones bruscas (lneas poligonales).

La curva suave trazada debe pasar por la mayor cantidad de puntos experimentales posibles o dentro de sus zonas de observacin. Si existen puntos que se alejan demasiado de la curva trazada, es decir, del comportamiento general exhibido por el resto del conjunto de datos, dichos puntos deben ser estudiados a fin de ser corregidos o eliminados.

Los datos experimentales deben estar distribuidos, en la medida de lo posible, uniformemente a cada lado de la curva.



EJEMPLO DE GRFICA INCORRECTAMENTE ELABORADA

EJEMPLO DE GRFICA CORRECTAMENTE ELABORADA


Prctica N4: Grficas y ajuste de curvas (H04-31) AJUSTE DE CURVAS (MTODO GRFICO)

En un experimento de calentamiento de un gas se requiere encontrar la relacin funcional entre la temperatura , alcanzada por el gas, y el tiempo transcurrido para alcanzarla. Los datos experimentales obtenidos, se presentan en la siguiente tabla:

Tiempo (s) (0,1) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Temperatura (C) ( 0,2) 10,0 12,4 13,6 16,4 18,0 20,0

Se elabor la grfica Temperatura Tiempo, la cual se muestra a continuacin:

El examen de la grfica anterior, revela que la relacin funcional entre las variables sigue una tendencia lineal, luego, se asumir la forma: . El trmino se calcula utilizando los puntos P1 y P2 (mostrados en la grfica), de la siguiente forma:

20,0 10,05,0 0,0 2,0 / Por simple inspeccin de la grfica, el trmino 10,0 . Luego, la relacin funcional buscada ser: 10,0 2,0



A continuacin, se presenta de forma conjunta los datos experimentales y la curva derivada a partir de la ecuacin emprica obtenida:



Se requiere encontrar la relacin funcional entre la diferencia de potencial , entre las placas de un condensador variable, y su capacidad , para lo cual se obtuvieron los siguientes datos experimentales:

Capacidad (F) 170 200 220 235 250 280 310 330 370 400 Diferencia de Potencial (V) 23,5 19,2 18,0 17,0 16,0 14,0 12,9 12,0 10,3 10,0 Se elabor la grfica Diferencia de Potencial Capacidad, la cual se muestra a continuacin:

El examen de la grfica anterior, revela que la relacin funcional entre las variables sigue una tendencia de proporcionalidad inversa, luego, se asumir la forma:

1 Bajo esta suposicin, se proceder a graficar el inverso de la diferencia de potencial en funcin de la capacidad . La grafica resultante, se muestra a continuacin:



Capacidad (F) 170 200 220 235 250 280 310 330 370 400 Diferencia de Potencial-1 (V-1) (x10-2) 4,26 5,21 5,56 5,88 6,25 7,14 7,75 8,33 9,71 10,0

El parmetro se calcula, utilizando los puntos P1 y P2 mostrados en la grfica, de la siguiente forma:

10,0 4,2610400 17010 250 V/F Luego, la ecuacin de la recta ser: 4,26 10 250 170 10 El parmetro , se calcula sustituyendo 0 en la ecuacin anterior, lo cual arroja:

0,01 10V ! 0,0 V Entonces, la relacin resultante para la recta ser: 250 Finalmente, devolviendo el cambio de variable, la relacin emprica buscada ser:

1250



Se requiere encontrar la relacin funcional entre la temperatura en un semiconductor y el tiempo de prueba, a partir del siguiente conjunto de datos experimentales:

Tiempo (s) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Temperatura (C) 5,53 8,75 13,83 21,88 34,59 54,69 86,47

Se elabor la grfica Temperatura Tiempo, la cual se muestra a continuacin:

Basndose en el anlisis de la grfica anterior, se asumir que la relacin funcional entre las variables sigue una tendencia de tipo exponencial, es decir: " Bajo esta suposicin se proceder a graficar, sobre un papel semi logartmico, los valores de la tabla anterior. En la escala logartmica se graficarn directamente los valores de la variable temperatura mientras que, en la escala lineal, se graficarn los valores de la variables tiempo . Este proceso de linealizacin se lleva a cabo de esta forma, con fundamento en la transformacin: log log log



La pendiente de la recta, anteriormente graficada, ser:

& log86,47 log5,533,5 0,5 log )86,475,53 *3,0 0,4 s

El intercepto, se obtiene por simple inspeccin (para 0 s): , ! 3,5 - Luego, los parmetros de la curva ", resultan ser: 10. / 100,1 2 2,5 3 , / 3,5 - Finalmente, la relacin emprica buscada ser: 3,5 2,5" Si se requiere la relacin emprica final en la base 5, se hace: 5678 567,9 50,:;



Se requiere encontrar la relacin funcional entre la fuerza > aplicada a un cuerpo, y el tiempo de aplicacin de la misma, a partir del siguiente conjunto de datos experimentales:

Tiempo (s) 4,0 7,0 10,0 15,0 20,0 35,0 40,0 50,0 Fuerza (N) 3,0 8,0 15,9 33,1 56,0 155,0 200,0 300,0

Se elabor la grfica Fuerza Tiempo, la cual se muestra a continuacin:

Basndose en el anlisis de la grfica anterior, se asumir que la relacin funcional entre las variables sigue una tendencia de tipo potencial, es decir: > 8 Bajo esta suposicin se proceder a graficar, sobre un papel logartmico, los valores de la tabla anterior. En la escala logartmica vertical se graficarn directamente los valores de la variable Fuerza > mientras que, en la escala horizontal, se graficarn los valores de la variables tiempo . Este proceso de linealizacin se lleva a cabo de esta forma, con fundamento en la transformacin: log> log log



La pendiente de la recta , anteriormente graficada, ser: log300,0 log3,0log50,0 log4,0 log )

300,33,0 *log )50,04,0 * 1,82 Para el intercepto, se tiene la siguiente relacin:

?108@ Donde ? es el valor, sobre la recta, hallado para 10@. En este caso se tomar 10s, luego, se tendr A 1 y ? 16N (este ltimo valor ledo directamente sobre la grfica). Entonces, sustituyendo en la expresin para el intercepto, se tiene: 0,24 N s,C . Finalmente, la relacin emprica buscada ser:

> 0,24 ,C


Prctica N4: Grficas y ajuste de curvas (H15-31) MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

Supngase que se dispone de un conjunto de & datos experimentales asociados a dos magnitudes D, E, donde D representar la variable independiente y E la variable dependiente, de la forma FD, E, D, E, , D., E.H. Adicionalmente, supngase que se desea trazar la mejor curva que aproxime el comportamiento exhibido por el conjunto de los & datos. Finalmente, supngase que la curva puede ser perfectamente caracterizada mediante alguna funcin real ID: K / K, tal y como se esquematiza en la siguiente figura:

Ntese, en la figura anterior, que la curva no pasa por todos los puntos experimentales. Luego, es posible contabilizar las diferencias LM EM IDM, para N 1,2, , &, entre el valor experimental observado EM y el valor predicho IDM, para N 1,2, , &. Entonces, la curva que mejor se ajustar al conjunto de puntos experimentales ser aquella para la cual se cumpla que la suma de los cuadrados de las diferencias FLMHMO. sea mnima, es decir:

&NP Q R LM.MO L L S L. REM IDM.

MO



Aun cuando, en principio, la funcin ID: K / K puede ser cualquier funcin a valores reales, en la presente exposicin se tratar el caso particular para el cual ID es un polinomio de grado P de la forma TUD 0 D D S UDU. Entonces, la funcin a minimizar Q vendr dada por:

&NP Q REM 0 D D S UDU.MO Luego, el problema en cuestin se reducir a obtener los coeficientes F0, , , UH del polinomio TUD, tales que se minimice Q. Para hacer esto, se procede a obtener las derivadas parciales de Q con respecto a cada uno de los coeficientes FMHMOU , evaluadas en los & pares de puntos experimentales, e igualndolas a cero, es decir: V WQW0XFYZ,[ZHZ\=] 0; V WQWXFYZ,[ZHZ\=] 0; V WQWXFYZ,[ZHZ\=] 0; ; V WQWUXFYZ,[ZHZ\=] 0 Estas derivaciones conducirn a la conformacin de un sistema lineal de P 1 ecuaciones con P 1 incgnitas. Por esta razn, y para que en principio el sistema sea compatible y determinado, se necesario que el nmero de pares de datos experimentales sea mayor al orden del polinomio de aproximacin & _ P. Luego, expresado en forma matricial, el sistema ser:

aàaaaaaaaaab & R DM

.MO R DM

.MO S R DMU

.MO

R DM.MO R DM.

MO R DMc.

MO S R DMUd.

MOR DM.MO R DMc

.MO R DM1

.MO S R DMUd

.MOe e e f e

R DMU.MO R DMUd.

MO R DMUd.

MO S R DMU.

MO ghhhhhhhhhhhi

aàaaaaaaaaab0e

Ughhhhhhhhhhhi

aàaaaaaaaaab R EM

.MO

R EM DM.MOR EM DM.MO eR EM DMU.MO gh

hhhhhhhhhhi



Para el caso de una recta P 1, el sistema de ecuaciones queda reducido a:

a`aaab & R DM.MOR DM.MO R DM

.MO gh

hhhi

j0k a`aaab R EM.MOR EM DM.MO gh

hhhi

Resolviendo este sistema se obtiene, para los coeficientes F0, H, las siguientes expresiones:

0 EM.MO DM.MO DM.MO EM DM.MO & DM.MO DM.MO & EM DM.MO DM.MO EM.MO & DM.MO DM.MO

Evidentemente, el coeficiente representar la pendiente de la recta buscada, mientras que el coeficiente 0 se corresponder al punto de intercepcin de la recta buscada con el eje de las ordenadas. Adicionalmente, es posible demostrar que los estimadores para el error estndar asociado a los coeficientes F0, H, denotados respectivamente como mnopq , nop=r, vienen dados por las siguientes expresiones:

nopq s EM 0 DM.MO & 2 t 1& Du DM Du.MO v nop= s EM 0 DM.MO & 2 t 1 DM Du.MO v

Donde, los trminos denotados como FDu, EwH vienen dados por las siguientes expresiones: Du 1& R DM

.MO Ew 1& R EM

.MO

Estos puntos, por los cuales pasa la recta calculada, representan el centroide o centro de masa del conjunto de & datos experimentales. Lo anterior, se representa en la siguiente figura:



Ntese, en la figura anterior, que los valores ms probables de la ordenada en el origen y la pendiente de la recta calculada son F0, H, respectivamente, pero los valores verdaderos estn comprendidos en los intervalos x0 y nopqz, para la ordenada en el origen, y x y nop=z para la pendiente, dando como resultado dos rectas lmites, las cuales acotaran las posibles variaciones de la recta promedio calculada, y cuyas ecuaciones vendran dadas por las siguientes expresiones: E.MUD x0 nopqz x nop=zD E.p{D x0 nopqz x nop=zD En la prctica, y a fin de rechazar datos experimentales atpicos, se construyen dos rectas de igual pendiente y que pasen por la ordenada en el origen x0 nopqz, para la recta inferior, y por x0 nopqz, para la recta superior. Por ltimo, se aclara que en la figura se han dibujado las rectas lmites pasando ambas por el centroide FDu, EwH, sin embargo, esto no necesariamente tiene que ser as en la prctica. En todo caso, si el conjunto de pares de valores es grande y su dispersin, alrededor de la recta promedio, es lo suficientemente pequea, entonces, dichas rectas pasaran con muy buena aproximacin por el centroide.


Prctica N4: Grficas y ajuste de curvas (H19-31) AJUSTE DE CURVAS (MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS)

En un experimento se tomaron lecturas de la velocidad E y el desplazamiento } de un mvil. Se requiere determinar la relacin funcional entre estas dos magnitudes. Los datos experimentales se listan en la siguiente tabla:

Desplazamiento (m) 0,0 1,1 2,2 2,8 4,2 5,2 Velocidad (m/s) 2,0 4,1 6,0 7,5 10,2 12,0

Se elabor la grfica Velocidad Desplazamiento, la cual se muestra a continuacin:

Basndose en el anlisis de la grfica anterior, se asumir que la relacin funcional entre las variables sigue una tendencia de tipo lineal, es decir: E } Con esto en mente, se proceder a procesar los datos experimentales a fin de calcular la recta, que mejor a dichos datos, utilizando el mtodo de los mnimos cuadrados. Los datos procesados, se muestran en la siguiente tabla:



TABLA PARA EL CLCULO DE LOS MNIMOS CUADRADOS ~ / ~ xz ~ x/z 0,0 2,0 0,0 0,0 1,1 4,1 1,2 4,5 2,2 6,0 4,8 13,2 2,8 7,5 7,8 21,0 4,2 10,2 17,6 42,8 5,2 12,0 27,0 62,4

R ~O , R

O , R~

O , R ~

O , En funcin de los datos de la tabla anterior, se procede a calcular los parmetros F, H de la recta, quedando:

EMMO }MMO }MMO EM }MMO 6x }MMO z x }MMO z 41,858,6 15,5144,0658,6 15,5 2,0 m s 6 EM }MMO }MMO EMMO 6x }MMO z x }MMO z 6144,0 15,541,8658,6 15,5 1,9 m s

Para los estimadores del error estndar asociado a los coeficientes F, H, denotados respectivamente como Fnop, no8H, se tendr:

}uuuu 16 R }M

MO 2,6 m nop s EM }MMO 6 2 t16 }uuuu }M }uuuuMO v s0,14 t16 2,618,5 v 0,1 m s

no8 s EM }MMO 6 2 t 1 }M }uuuu.MO v s0,14 118,5 0,1 m s Finalmente, los valores estimados para los coeficientes F, H, sern: 2,0 y 0,1 m s 1,9 y 0,1 m s



A continuacin, se presenta la grfica Velocidad Desplazamiento presentando los datos experimentales originales conjuntamente con la recta promedio calculada mediante el mtodo de los mnimos cuadrados:


Prctica N4: Grficas y ajuste de curvas (H22-31) AJUSTE DE CURVAS (MTODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS)

Supngase que se dispone de un conjunto de datos experimentales asociados a dos magnitudes }, , donde } representar la variable independiente y la variable dependiente, de la forma F}0, 0, }, , , }U, UH, donde todos los }M son distintos entre si para N 0,1, , P. Entonces, el polinomio T.}, con & P, que interpola dichos puntos, presentar la siguiente estructura:

T.} R x} }zMO0 U

MO

T.} } }0 } }0} } S } }0} } S } }U Donde;

}0 0} }0 } 0} }0 } } c 0}c }0 } c c }c } 1 0c}1 }0 c c }c } c1 c1 c}1 } }c c c1 c1 c}1 } c1 1 c}1 }c }1 1 e e e e e e



Se requiere determinar la relacin funcional entre la Fuerza > aplicada sobre un cuerpo y la Energa Cintica del mismo. Considrese como variable independiente a la Fuerza. Los datos experimentales se listan en la siguiente tabla:

Fuerza (N) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 Energa Cintica (J) 1348 1289 1212 1113 990 848 690 511

Se construye la tabla de diferencias divididas, la cual se muestra a continuacin:

TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS >N J

10,0 1348

-5,900

Cocientes aproximadamente constantes -0,1 20,0 1289

-0,090 Alternancia de signos y cocientes 0,0

-7,700

-0,00067

30,0 1212

-0,110

0,000

-9,900

-0,00033

0,000

40,0 1113

-0,120

0,000

0,000

-12,300

0,00083

0,000

0,000

50,0 990

-0,095

0,000

0,000

-14,200

0,00050

0,000

60,0 848

-0,080

0,000

-15,800

-0,00083

70,0 690

-0,105

-17,900

80,0 511

El polinomio de interpolacin ser:

> 1348 5,900> 10,0 0,090> 10,0> 20,0 > 1389,0 3,2 > 0,090 > Una forma alternativa, de hallar el polinomio de interpolacin de orden &, consiste en seleccionar & 1 datos experimentales y conformar un sistema lineal de & 1 incgnitas (coeficientes del polinomio) por & 1 ecuaciones. Aplicado al presente ejemplo, el sistema quedar de la siguiente forma:



1,0 10,0 100,01,0 40,0 1600,01,0 80,0 6400,0 0

13481113511 Donde se han seleccionado los datos experimentales F10,0; 134840,0; 111380,0; 511H. La solucin del sistema anterior, proporciona el siguiente conjunto de valores para los coeficientes:

0 1385,0952,6790,103



GRFICA N1: VELOCIDAD TIEMPO

Tiempo (s) 0,0 0,1 1,1 0,1 2,2 0,2 3,1 0,2 4,0 0,2 5,2 0,2

Velocidad (m/s) 2,0 0,1 4,1 0,1 6,0 0,2 8,0 0,2 10,2 0,2 12,0 0,2



GRFICA N 2 A: PRESIN - VOLUMEN

Volumen (cm3) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Presin (mmHg) 100,0 50,0 33,3 25,0 20,0 16,6 14,3 12,5



GRFICA N 2 B: PRESIN -1 - VOLUMEN

Volumen (cm3) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Presin-1 (mmHg-1) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08



GRFICA N 3 A: VOLTAJE - TIEMPO

Tiempo (s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Voltaje (V) 3,08 2,38 1,83 1,41 1,10 0,84



GRFICA N 3 B: VOLTAJE - TIEMPO

Tiempo (s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Voltaje (V) 3,08 2,38 1,83 1,41 1,10 0,84



GRFICA N 4 A: ESPACIO - TIEMPO

Tiempo (s) 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0

Espacio (m) 50 200 450 800 1250 1800 2450 3200



GRFICA N 4 B: ESPACIO - TIEMPO

Tiempo (s) 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0

Espacio (m) 50 200 450 800 1250 1800 2450 3200

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