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AJUSTE DE CURVAS

Cálculo NuméricoIng. Frednides Guillén Guerra

Maracay - Venezuela

Ajuste de Curvas

• Consiste en determinar los parámetros de un modelo y=f(x) que se ajuste mejor a los datos (x1,y1), ... , (xN,yN) que están sujetos a errores aleatorios producidos por incertidumbres en las mediciones, y por un deficiente control de las condiciones en el que se realiza un experimento.

Ajuste de Curvas

• Cuando se consideran datos que están sujetos a errores aleatorios, se emplea:

EL MÉTODO DE LOSMÍNIMOS CUADRADOS

Ajuste de Curvas

• A partir del método de los mínimos cuadrados se obtienen las Ecuaciones de Regresión y tienen varias aplicaciones:– Descripción y construcción de modelos– Predicción y estimación– Estimación de parámetros– Control

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproximada:

- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7- 4

- 2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

xk yk-1 100 91 72 53 44 35 06 -1

y=Ax+B

x

y


• La recta de regresión consiste en el análisis de regresión simple del método de los mínimos cuadrados:– Lo que se desea es encontrar una ecuación simple

que aproxime lo mejor posible los puntos de estudio

– La recta o cualquier otra función elegida para aproximar los datos es llamada modelo


• La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la recta:

y = f(x) = Ax + B• Que minimiza el error cuadrático medio E2(f)

(1) )(1)(2/1

1

22

−= ∑

=

N

kkk yxfN

fE


• El error medio cuadrático está dado por la siguiente ecuación:

• El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar porque no es tan complejo de minimizar computacionalmente.

(1) )(1)(2/1

1

22

−= ∑

=

N

kkk yxfN

fE


• Sea un conjunto de N puntos (xk , yk) donde k=1 hasta N, cuyas abscisas {xk} son todas distintas, la recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de ecuación y = f (x) = Ax+B que minimiza el error medio cuadrático E2(f).

• El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente expresión es mínima:

( ) (2) )()(1

222 ∑

=

−=⋅N

kkk yxffEN


• Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la recta, entonces:

• El valor mínimo de la función E(A,B) se calcula igualando a cero sus derivadas parciales:

( ) (3) ),(1

2∑=

−+=N

kkk yBAxBAE

(4) 0),(

0),(

=∂

∂

=∂

∂

BBAE

ABAE


• Desarrollando el cálculo, tenemos:

• Luego:

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑∑

==

==

−+=−+=∂

∂

−+=−+=∂

∂

N

kkk

N

kkk

N

kkkkkk

N

kkk

yBAxyBAxB

BAE

xyBxAxxyBAxA

BAE

11

1

2

1

22),(

22),(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

,0

111

111

2

1

2

=−⋅+=−+

=−+=−+

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

N

kk

N

kk

N

kkk

N

kkk

N

kk

N

kk

N

kkkkk

yBNxAyBAx

yxxBxAxyBxAx


• Despejando:

• A este sistema de ecuaciones se le conoce como:

ECUACIONES NORMALES DE GAUSS

( ) ( ) ( )( ) ( )

(5) ,

11

111

2

∑∑

∑∑∑

==

===

=⋅+

=+N

kk

N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk

yBNxA

yxxBxA


• Ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos (-1, 10), (0,9), (1,7), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (6, -1). Obtener la ecuación de la recta aproximada. Primero se calculan los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss:

xk yk (xk)2 xk yk-1 10 1 -100 9 0 01 7 1 72 5 4 103 4 9 124 3 16 125 0 25 06 -1 36 -620 37 92 25

643.8 607.137820

252092(5)ecuación la Aplicamos

≈−≈=+

=+

BABA

BA

y=-1.607 x + 8.643y=-1.607 x + 8.643

Ajuste Potencial y=AxM

• Algunos casos experimentales se modelan mediante una función del tipo y=AxM, donde M es una constante conocida.

• Usando la técnica de los mínimos cuadrados:

• En este caso particular basta con calcular la derivada de E(A) e igualar a cero:

( )∑=

−=N

kk

Mk yAxAE

1

2)(


• El desarrollo de las ecuaciones es el siguiente:

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (6) :obtiene se tantoloPor

0

022)('

0)( ;)(

1

2

1

11

2

1

2

1

1

2

∑∑

∑∑

∑∑

∑

==

==

==

=

=

=−

=−=−=

=∂

∂−=

N

k

Mk

N

k

Mkk

N

k

Mkk

N

k

Mk

N

k

Mkk

Mk

N

k

Mkk

Mk

N

kk

Mk

xxyA

xyxA

xyAxxyAxAE

AAEyAxAE


• Ejemplo: A fin de medir la aceleración de la gravedad, se recogieron unos datos experimentales del tiempo que tarda en llegar un objeto al suelo. La relación funcional es d=0.5gt2. donde d es la distancia de caída media en metros y t el tiempo medio en segundos. Con estos datos calcule el valor aproximado de la aceleración de la gravedad g.

Tiempotk (s)

Distanciadk (m)

0.47 1.10.71 2.40.77 30.96 4.51.1 6


• Aplicamos la ecuación (6)

Tiempotk (s)

Distancia dk (m) dk tk2 tk4

0.47 1.1 0.2430 0.04880.71 2.4 1.2098 0.25410.77 3 1.7787 0.35150.96 4.5 4.1472 0.84931.1 6 7.2600 1.4641

14.6387 2.9679

( ) ( )∑∑==

=N

k

Mk

N

k

Mkk xxyA

1

2

1

( ) ( )

2*93234:gravedad la Despejando

93234

9323496792638714

2

1

4

1

2

.g

t.d

...A

ttdAN

kk

N

kkk

=

⋅=

==

= ∑∑==

g = 9.8647 m/s2g = 9.8647 m/s2

Ajuste de Curvas

• Supóngase que se quiere ajustar un conjunto de datos a una curva exponencial de la forma:

• Aplicamos logaritmo en ambos miembros de la ecuación

• De esta manera queda linealizada la ecuación y se pueden hacer los siguientes cambios de variable:

Y=ln(y), X=x, y B=ln(C)

AxCey =

( )( ) ( )

( )BAXY

CAxyeCy

CeyAx

Ax

+=+=+=

=

ln)ln(lnln)ln(

ln)ln(

Ajuste de Curvas

• Mediante el cambio de variable los datos quedan de la siguiente forma: (Xk , Yk) = (xk , ln(yk)); a este proceso se le conoce como método de linealización de datos. Luego se aplican las ecuaciones normales de Gauss.

• Luego que se obtienen A y B, se calcula el parámetro C:

( ) ( ) ( )( ) ( )

(7) ,

11

111

2

∑∑

∑∑∑

==

===

=⋅+

=+N

kk

N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk

YBNXA

YXXBXA

BeC =

Ajuste de Curvas

• Ejemplo: Utilice el método de linealización de datos para hallar el ajuste exponencial y=CeAx a los cinco datos: (0, 1.5), (1 , 2.5), (2 , 3.5), (3 , 5.0) y (4 , 7.5). Aplicando los cambios de variable:

xk yk Xk Yk=ln(yk) Xk2 XkYk0.0 1.5 0.0 0.4054 0.0 01.0 2.5 1.0 0.9162 1.0 0.91622.0 3.5 2.0 1.2527 4.0 2.50553.0 5.0 3.0 1.6094 9.0 4.82834.0 7.5 4.0 2.0149 16.0 8.0596

10 6.1988 30.0 16.3097

Ajuste de Curvas

• Aplicando la ecuación (7) para el cálculo de los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss, se tiene:

5799.14574.0 3912.0

1988.65103097.161030

4574.0 ==≈≈

=+=+

eCBA

BABA

- 1 0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

1 0

1 2

x

y=1.5799 e0.3912 xy

Ajuste de Curvas

• Cambios de variables para linealizar datos:

Función, y=f(x) Linealización, Y=Ax+B Cambios

y = A/x + B y = A/x + B X = 1/x , Y = y

y = 1 / (A x + B) 1/y = Ax + B X = x , Y = 1/y

y = A ln(x) + B y = A ln(x) + B X = ln(x) , Y =y

y = C eAx ln(y) = A x + B X = x , Y = ln(y), B=ln(C) , C=eB

y = C xA ln(y) = A ln(x) + B X = ln(x) , Y = ln(y), B=ln(C) , C=eB

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