píldora de evaluación estadística de ajuste de curvas files con las tablas: t_tables.pdf...

Píldora de evaluación estadística de ajuste de curvas

Files con las tablas:

T_tables.pdf

F_tables.pdf

Descargadas desde http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/tables.html

Ver también “A complete guide to nonlinear regression”

http://www.curvefit.com/

http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/tables.html

Tenemos una tabla con los resultados experimentales de una variable dependiente y en función de varias variables independientes x1, x2, x3 … La tabla contiene NOBS filas en que las primeras columnas son las variables independientes y la última los valores observados de la variable dependiente y(obs)Producimos una función que suponemos que describe bien los datos experimentales. Esta función depende de las variables independientes (x1, x2, x3) y un conjunto de NPAR parámetros a1, a2, a3… .aNPAR

Usamos un programa de ajuste no lineal para encontrar los NPAR parámetros. Por ejemplo Solver de Excel.

Solver nos entrega los parámetros encontrados más una lista de NOBS filas con valores calculados para la función para cada conjunto de variables independientes. Esto son los y(cal) . Un gráfico en que se muestren los valores y(obs) e y(cal) de una impresión visual de la calidad del ajuste.

Ver archivo AjusteExcel.xls

Coeficiente de correlación r2

Coeficiente de correlación r2

NOBSj

j

NOBSj

j

obsyobsy

calyobsyr

1

2

1

2

2

)()(

)()(1

http://www.curvefit.com/goodness_of_fit.htm

r2=0.01195 r2=0.95742

y = -0.0028x + 0.5714

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

y = 0.0247x + 0.0571

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Con el coeficiente de correlación se evalúa el significado estadístico del ajuste usando el Student’s test.

Con el coeficiente de correlación se evalúa el significado estadístico del ajuste usando el Student’s test.

21

1

r

NPARNOBSrt

1.. NPARNOBSdflibertaddegrados

Se compara el valor calculado de t con el de la tabla de ttabla, para comprobar la hipótesis que dice que la función describe los datos por azar. Si t < ttabla la hipótesis es verdadera. El ajuste no es significativo.Si t > ttabla la hipótesis es falsa. El ajuste sí es significativo.

La tabla del Student’s test.

Tablas estadisticashttp://www.statsoft.com/textbook/sttable.html#t

y = -0.0028x + 0.5714

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

y = 0.0247x + 0.0571

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

r2 0.01195449

df 37

t 0.66907983

r2 0.95742213

df 37

t 28.8443418

t = 0.066 < t.05,37

La hipótesis es verdad. No hay correlación

t = 28.8 > t.05,37

La hipótesis es falsa. Hay correlación

Table of t-statistics

dfP =

0.05 P =

0.01 P =

0.001

1 12.71 63.66 636.61

2 4.30 9.92 31.60

3 3.18 5.84 12.92

4 2.78 4.60 8.61

5 2.57 4.03 6.87

6 2.45 3.71 5.96

7 2.36 3.5 5.41

8 2.31 3.36 5.04

9 2.26 3.25 4.78

10 2.23 3.17 4.59

20 2.09 2.85 3.85

30 2.04 2.75 3.65

40 2.02 2.7 3.55

100 1.98 2.63 3.39

http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/t.pdf

Evaluación de un ajuste al mismo set de datos usando dos modelos diferentes.

Un modelo con más parámetros que el otro

Ejemplos de Fabián López

Modelo 1 : una curva de Gauss

vs

Modelo 2 suma de dos curvas de Gauss

http://curvefit.com/2_models__1_dataset.htm

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

r2 0.88072097

df 395

t 54.0052101

t = 54 > t.05,395

La hipótesis es falsa. Hay correlación

20 )(

5.0

b

xx

aey

r2 0.91058948

df 392

t 63.1844257

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2

2

022

1

01 )(5.0

2

)(5.0

1

b

xx

b

xx

eaeay

¿Es estadísticamente mejor este ajuste?

http://curvefit.com/2_models__1_dataset.htm

NOBSj

jcalyobsySS

1

2)()(

Al poner más parámetros la curva va a pasar más cerca de los puntos experimentales por lo tanto la suma de cuadrados de los residuos, SS, va a disminuir.

El ajuste mejora si el cambio relativo de SS es mayor que el cambio relativo del número de grados de libertad .

21221221 // dfdfdfdfdfSSSSSS

El modelo 1 (simple) tiene menos parámetros que el modelo 2 (complicado). Por lo tanto df1 > df2 y SS1 > SS2. .

La razón F da una estimación cuantitativa de la mejora del ajuste

0.1

//

21

221

dfdfdfSSSSSS

F

Si el modelo 2 (complicado) es mejor que el modelo 1 (simple) se espera F >1

¿Qué tanto mayor que 1 tiene que ser F para que la mejora sea significativa y no debida al azar?

Para responder esta pregunta se usa el F test.

21

22

2121 //

dfdfdfSS

dfdfSSSSF

Ajuste2 Ajuste1

nobs 399 399

npar 6 3

df 392 395

SS 0.011932 0.015936

Fcalculado 43.85

FTabla 2.62

La razón F se compara con el valor de F de la tabla en que los grados de libertad de numerador son df1-df2 y los del denominador df2.

El ajusten mejora si tablacalculado FF

Hoja de calculo para F Ftest.xlsTablas estadísticas: http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/tables/f005.html

dfnumerador

dfdenominadorr

Se cumple que Fcalculado > Ftabla por lo que el ajuste es estadísticamente mejor,

Evaluación de un ajuste al mismo set de datos usando dos modelos diferentes.

Dos modelos con el mismo número de parámetros.

Ejemplo usando Solver de Excel

NOBSj

jcalyobsySS

1

2)()(

bxay Recta

Ver archivo Recta_Exponencial.xls

NOBSj

jcalyobsySS

1

2)()(

bxay Recta

bxaey / lExponencia

NOBSj

jcalyobsySS

1

2)()(

Recta SS1 = 5.0828

Exponencial SS2 = 2.5650

Grados de libertad df1 = df2 = 8

2122

11 //

SSSSdfSSdfSS

F

98.1F

F test para evaluar si el ajuste es mejor.

F calculado es menor que el F de tabla. El ajuste exponencial no es significativamente mejor que el lineal.

df numerador

df denominador

Evaluación del cambio de los parámetros al ajustar dos set de datos usando el mismo modelo.

http://curvefit.com/1_model__2_datasets.htm

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2

2

022

1

01 )(5.0

2

)(5.0

1

b

xx

b

xx

eaeay

r2 = 0.9604a1 0.0361 0.0052a2 0.0274 0.0025b1 3.3377 0.3343b2 11.7151 1.2000x01 4.7719 0.2148x02 10.7239 2.4336

r2 = 0.9853a1 0.0463 0.0036a2 0.0261 0.0013b1 3.6223 0.1771b2 10.3013 0.7142X01 4.6649 0.0881x02 12.6866 1.3459

Valor del parámetro SE, standard error Ajuste hecho con Sigmaplot)

¿Qué parámetros son diferentes en los dos set de datos?

Para responder esta pregunta se usa el t test.

22

21

21

SESE

aat

Por ejemplo para el parámetro x02

a1=10.7239 SE1= 2.4336 a1 = 12.6866 SD2 = 1.3459 :t = 0.70578

Cada ajuste tiene df grados de libertadLos grados de libertad del t testson df1 + df2.

En estos casos NOBS = 399 NPAR = 6 df1 = df2 = 393, df = 786

Table of t-statistics

df P = 0.05 P = 0.01 P =

0.001

1 12.71 63.66 636.61

2 4.3 9.92 31.6

3 3.18 5.84 12.92

4 2.78 4.6 8.61

5 2.57 4.03 6.87

99 1.98 2.63 3.39

100 1.98 2.63 3.39

tcalculado < ttabla, la diferencia no es significativa.

a1 se1 a1 se1 t

a1 0.0361 0.0052 0.0463 0.0036 1.6128

a2 0.0274 0.0025 0.0261 0.0013 0.4614

b1 3.3377 0.3343 3.6223 0.1771 0.7523

b2 11.7151 1.2000 10.3013 0.7142 1.0124

x01 4.7719 0.2148 4.6649 0.0881 0.4609

x02 10.7239 2.4336 12.6866 1.3459 0.7058

Todos los tcalculados < ttabla.Ningún cambio es significativo.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 20 40 60 80 1000.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 20 40 60 80 100

a1 se1 a1 se1 t

a1 0.0361 0.0052 0.0394 0.0005 0.6317

a2 0.0274 0.0025 0.0244 0.0003 1.1915

b1 3.3377 0.3343 3.7948 0.0776 1.3319

b2 11.7151 1.2000 10.6104 0.1482 0.9136

x01 4.7719 0.2148 4.6527 0.0695 0.5280

x02 10.7239 2.4336 40.0273 0.1467 12.0194

ttabla = 1.98. p0.05, df = 786

El único parámetro que cambia significativamente es x02.

Evauación de la independencia del los parámetros

Ejemplo una curva normal

Ajuste hecho con LabFit. Wilton Pereira da Silva (Brasil)[email protected] www.labfit.net

mailto:[email protected]

http://www.labfit.net/

THE CONVERGENCE HAPPENED IN THE ITERATION 5 C_Normal.txt N. 29: Y = A*EXP(((X-B)**2)/C) <--- Gaussian PARAMETERS: Mean UNCERTAINTIES: SD t P(t) A = 0.18648524573E+01 SIGMAA = 0.11884440790E-01 0.156915E+03 0.000 B = 0.47729148665E+01 SIGMAB = 0.15785173528E-02 0.302367E+04 0.000 C = -0.92081840012E-01 SIGMAC = 0.13570209777E-02 -0.678559E+02 0.000

Correlation Coeficient: = 0.9871693E+00Average Absolute Residual:Sum of Absolute Residuals / Number of points =>Res_av = 0.102686E+02 / 201 => Res_av = 0.510874E-01

COVARIANCE MATRIX 0.141240E-03 -.294458E-09 0.932009E-05 -.294458E-09 0.249172E-05 -.657955E-10 0.932009E-05 -.657955E-10 0.184151E-05

0.011884

0.001579

0.001357

Raíz cuadrada de los elementos de la diagonal

SIGMAA = 0.11884440790E-01SIGMAB = 0.15785173528E-02 SIGMAC = 0.13570209777E-02

COVARIANCE MATRIX A B CA 0.141240E-03 -.294458E-09 0.932009E-05 B -.294458E-09 0.249172E-05 -.657955E-10 C 0.932009E-05 -.657955E-10 0.184151E-05

Los elementos fuera de la diagonal muestran la interacción entre los parámetros. Tienen que ser menores que los elementos de la diagonal

Diagnóstico: Hay interacción entre A y C. A y C no son independientes.

Efectivamente, la curva normal es así:

2

2

2

2

1

ux

epdf

Si conoces , ya sabes el factor pre-exponencial,

2

2

2

2

1

ux

epdf

Y=(1/(A*(2*3.1416)**0.5))*exp(-0.5*((x-B)/A)**2) PARAMETERS: Mean UNCERTAINTIES: SD t P(t) A = 0.21414195474E+00 SIGMAA = 0.12874464101E-02 0.166331E+03 0.000 B = 0.47729149197E+01 SIGMAB = 0.15754263575E-02 0.302960E+04 0.000 Correlation Coeficient:

R²yy(x) = 0.9872929E+00 adjR²yy(x) = 0.9872290E+00 Ryy(x) = 0.993626E+00 => P(NP,|R|) = 0.300E-07 Average Absolute Residual:Res_av = Sum of Absolute Residuals / Number of points =>Res_av = 0.102755E+02 / 201 => Res_av = 0.511218E-01

COVARIANCE MATRIX 0.165752E-05 0.465531E-10 0.465531E-10 0.248197E-05

¿Cuál de los dos ajuste es mejor?

21

22

2121 //

dfdfdfSS

dfdfSSSSF

Ajuste2 Ajuste1

nobs 201 201

npar 3 2

df 197 198

SS 0.102686E+02 0.102755E+02

Fcalculado 0.132

FTabla ?



Tablas estadísticas: http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/tables/f005.html

dfnumerador

dfdenominadorr

Se cumple que Fcalculado > Ftabla por lo que el ajuste es estadísticamente mejor,

¿Cuál de los dos ajuste es mejor?

21

22

2121 //

dfdfdfSS

dfdfSSSSF

Ajuste2 Ajuste1

nobs 201 201

npar 3 2

df 197 198

SS 0.102686E+02 0.102755E+02

Fcalculado 0.132

FTabla 3.89



El ajuste de 3 parámetros no es mejor que el de 2 parámetros

píldora de evaluación estadística de ajuste de curvas files con las tablas: t_tables.pdf...

Documents