ajuste de curvas. regresión. - métodos numéricos · 2019. 4. 9. · beamer-tu-logo...

beamer-tu-logo

Ajuste de curvas.Regresión.

Curso: Métodos Numéricos en Ingenierı́aProfesor: Dr. José A. Otero HernándezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

http://metodosnumericoscem.weebly.com

beamer-tu-logo

Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados

Tópicos

1 Introducción

2 Regresión por mı́nimos cuadradosRegresión lineal por mı́nimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mı́nimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo

beamer-tu-logo

Tópicos

1 Introducción

beamer-tu-logo

Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

beamer-tu-logo

Métodos generales para el ajuste de curvas

Regresión: Si los datos exhiben un grado significativo de erroro ”ruido”, entonces la estrategia será obtener una sola curvaque represente la tendencia general de los datos.

beamer-tu-logo

Métodos generales para el ajuste de curvas

Interpolación: Si se sabe que los datos son muy precisos,entonces la estrategia será colocar una curva o una serie decurvas que pasen por cada uno de los puntos.

beamer-tu-logo

Tópicos

1 Introducción

beamer-tu-logo

Regresión lineal por mı́nimos cuadrados

beamer-tu-logo

Regresión lineal por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a una lı́nea recta (y = a0 + a1x) el conjuntode puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y ladata, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y elvalor aproximado a0 + a1x. Por lo cual, se puede determinarcomo:

e = y − a0 − a1x

Para cada punto (xi, yi) se define un error ei. La estrategiapara ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores entre los valores verdaderos y losvalores aproximados. Esto es:

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

beamer-tu-logo

e = y − a0 − a1x

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

beamer-tu-logo

e = y − a0 − a1x

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

beamer-tu-logo

Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadradosPara determinar los valores de a0 y a1, hay que derivar Sr conrespecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1) e igual a cero:

∂Sr∂a0

= −2n∑

i=1

(yi − a0 − a1xi) = 0

∂Sr∂a1

= −2n∑

i=1

(yi − a0 − a1xi)xi = 0

beamer-tu-logo

Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados

0 =

n∑i=1

yi −n∑

i=1

a0 −n∑

i=1

a1xi

0 =

n∑i=1

yixi −n∑

i=1

a0xi −n∑

i=1

a1x2i

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1

beamer-tu-logo

0 =

n∑i=1

yi −n∑

i=1

a0 −n∑

i=1

a1xi

0 =

n∑i=1

yixi −n∑

i=1

a0xi −n∑

i=1

a1x2i

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1

beamer-tu-logo

a1 =

nn∑

i=1xiyi −

n∑i=1

xin∑

i=1yi

nn∑

i=1x2i −

(n∑

i=1xi

)2

a0 =

n∑i=1

yi

n− a1

n∑i=1

xi

n

beamer-tu-logo

Ejemplo

Ejemplo 1Ajuste a una lı́nea recta los valores de x y y dados en lasiguiente tabla:

xi yi1 0.52 2.53 2.04 4.05 3.56 6.07 5.5

beamer-tu-logo

Ejemplo

Solución

clear ; clc ;x =[1 2 3 4 5 6 7 ] ;y= [ 0 . 5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5 . 5 ] ;n= length ( x ) ;sxy=sum( x .∗ y )sx2=sum( x .∗ x )sx=sum( x )sy=sum( y )a1=(n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−(sx ) ˆ 2 )a0=sy / n−a1∗sx / n

beamer-tu-logo

Ejemplo

Solución

% Solucion ejemplo 1sxy = 119.5000sx2 = 140sx = 28sy = 24a1 = 0.8393a0 = 0.0714y = 0.0714+0.8393∗x

beamer-tu-logo

Programa MATLAB: linregr.m

Programa Matlab

function [ a ] = l i n r e g r ( x , y )% l i n r e g r : A jus te de curva con regres ion l i n e a l% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a = [ a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx = sum( x ) ; sy = sum( y ) ;sx2 = sum( x .∗ x ) ; sxy = sum( x .∗ y ) ;a ( 1 ) = ( n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−sx ˆ 2 ) ;a ( 2 ) = sy / n−a ( 1 ) ∗sx / n ;% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,2 ) ;yp = a ( 1 ) ∗xp+a ( 2 ) ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on

beamer-tu-logo

Programa MATLAB: linregr.m

Ejemplo 1: Programa Matlab

beamer-tu-logo

Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados

Regresión cuadrática por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadrático(y = a0 + a1x+ a2x2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:

e = y − a0 − a1x− a2x2

Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)2

beamer-tu-logo

e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)2

beamer-tu-logo

e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)2

beamer-tu-logo

e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)2

beamer-tu-logo

Ajuste del polinomio cuadrático por mı́nimos cuadradosPara determinar los valores de a0, a1 y a2, hay que derivar Srcon respecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1, a2) e iguala cero:

∂Sr∂a0

= −2n∑

i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)= 0

∂Sr∂a1

= −2n∑

i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)xi = 0

∂Sr∂a2

= −2n∑

i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i

)x2i = 0

beamer-tu-logo

Ajuste del polinomio cuadrático por mı́nimos cuadrados

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1 +

(n∑

i=1

x2i

)a2

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1 +

(n∑

i=1

x3i

)a2

n∑i=1

x2i yi =

(n∑

i=1

x2i

)a0 +

(n∑

i=1

x3i

)a1 +

(n∑

i=1

x4i

)a2

beamer-tu-logo

Programa para la solución del sistema

clear ; clc ;syms a0 a1 a2 n sx sy sx2 sxy sx3 sx4 sx2y ;eq1=n∗a0+sx∗a1+sx2∗a2−sy ;eq2=sx∗a0+sx2∗a1+sx3∗a2−sxy ;eq3=sx2∗a0+sx3∗a1+sx4∗a2−sx2y ;[ a0 a1 a2 ]= solve ( eq1 , eq2 , eq3 , a0 , a1 , a2 )

beamer-tu-logo

Solución del sistema

a0=( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

a1=( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

a2=( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

beamer-tu-logo

Programa MATLAB: cuadregr.m

function [ a ] = cuadregr ( x , y )% cuadregr : A jus te de curva con regres ion cuadra t i ca% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a=[a2 , a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx=sum( x ) ; sy=sum( y ) ; sx2=sum( x .∗ x ) ; sxy=sum( x .∗ y ) ;sx3=sum( x .∗ x .∗ x ) ; sx4=sum( x .∗ x .∗ x .∗ x ) ; sx2y=sum( x .∗ x .∗ y ) ;a ( 3 ) =( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y

∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 2 ) =( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 1 ) =( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp = a ( 3 ) +a ( 2 ) ∗xp+a ( 1 ) ∗xp . ˆ 2 ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on

beamer-tu-logo

Ejemplo

Ejemplo 2Ajuste a un polinomio cuadrático los valores de x y y dados enla siguiente tabla:

xi yi1 0.52 2.53 2.04 4.05 3.56 6.07 5.5

beamer-tu-logo

Ejemplo

Ejemplo 2: Programa Matlab

Parte principalIntroducciónRegresión por mínimos cuadradosRegresión lineal por mínimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mínimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo

ajuste de curvas. regresión. - métodos numéricos · 2019. 4. 9. · beamer-tu-logo...

Documents