adaptacion de impedancias lineas de transmision

Tema 2: Lneas de transmisin y adaptacin de impedanciasTransmisin por Soporte Fsico Ingeniero de Telecomunicacin Curso 2008-2009

ndice2.7. Introduccin.

(Parte 2: Adaptacin de impedancias)

2.7.1. Tipos de adaptacin de impedancias. 2.7.2. Teorema de Everitt. 2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedancias. 2.7.4. Adaptacin en potencia y tensin mediante dos redes. 2.8. Carta de Smith. 2.8.1. Introduccin. 2.8.2. Construccin de la carta de Smith. 2.8.3. Operaciones con la carta de Smith. 2.8.3.1. Representacin de impedancias. 2.8.3.2. Impedancia de entrada a una lnea ideal cargada. 2.8.3.3. Representacin de admitancias. 2.8.3.4. Representacin de ondas estacionarias. Valores mximo y mnimo de impedancia en la lnea. 2.8.3.5. Clculo de ZL conocidos S y la distancia de un mximo o mnimo de la amplitud de la onda de tensin o corriente a la carga. 2.8.4. Variacin de Z e Y con la frecuencia. 2.8.5. Aplicacin del diagrama de Smith a las lneas con prdidas. 2.9. Mtodos de adaptacin de banda estrecha. 2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea. 2.10.1. Stub simple. 2.10.2. Stub doble. 2.10.3. Transformador en cuarto de onda. 2.10.4. Transformador /8. 2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentrados. 2.11.1. Redes en L. 2.12. Redes adaptadoras de banda ancha.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 2

2.7. Introduccin2.7.1. Tipos de adaptacin de impedanciasCONCEPTOS GENERALES: Origen de las ondas reflejadas: desadaptacin existente entre la lnea de transmisin y la carga. La potencia entregada por el generador depende de la relacin existente entre su impedancia interna y la impedancia de entrada de la lnea cargada. Slo entregar su potencia disponible si IMPEDANCIA DE ENTRADA = CONJUGADO DE LA IMPEDANCIA INTERNA DEL GENERADOR

2 criterios distintos:1. Adaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea para evitar la aparicin de la onda reflejada. 2. Adaptacin conjugada para lograr que el generador entregue su potencia disponible a la lnea cargada.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 3

2.7. Introduccin2.7.1. Tipos de adaptacin de impedanciasADAPTACIN CONJUGADA O ADAPTACIN EN POTENCIA:

Objetivo: el generador debe entregar su PDG a la lnea cargada

Encontrar una red no disipativa que adapte a una determinada frecuencia las impedancias ZG y ZL.

ZIN =ZG*

TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO

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2.7. Introduccin2.7.1. Tipos de adaptacin de impedanciasADAPTACIN A LA IMPEDANCIA CARACTARSTICA (ADAPTACIN EN TENSIN):

Objetivo: conseguir que no exista onda reflejada en la lnea de transmisinNo existe mxima transferencia en potencia a menos que ZG=ZC


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2.7. Introduccin2.7.1. Tipos de adaptacin de impedanciasEn general sern necesarias dos redes de adaptacin


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2.7. Introduccin2.7.2. Teorema de Everitt

Si a la entrada de una red no disipativa existe adaptacin de impedancias, tambin estn adaptadas las impedancias a su salida

Cuando entre un generador y una carga, conectados mediante una serie de redes no disipativas, existe adaptacin conjugada, entonces en cualquier punto del circuito existe adaptacin


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2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin conjugada: Mediante una red adaptadora conectada entre la lnea y el generador se consigue que ZIN sea igual a ZG*. Puesto que la red es no disipativa y la lnea de transmisin sin prdidas, toda la potencia entregada por el generador llega a la carga: PL = PDG. Si la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin no coincide con la impedancia de carga, existe onda estacionaria. Puede situarse la red en cualquier otro punto del circuito, por ejemplo entre el final de la lnea y la carga, pero en este caso no se podra eliminar la onda reflejada a no ser que la impedancia interna del generador fuese igual a la impedancia caracterstica de la lnea. En la prctica, la red adaptadora es una parte ms del generador y es muy conveniente que la impedancia interna y la impedancia caracterstica de la lnea sean iguales.


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2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:Ventajas: 1. Transmisin de potencia ms eficiente

Con adaptacin Z L = Z cPLZL = ZC

=P

+

(z = 0 )e

"2! d

= PIN e

"2! d

LZ

L = ZC

P + (z = 0 ) PIN = = + = e 2! d "2! d PL P (z = 0 )e

Sin adaptacin Z L ! Z cPLZ L # ZC

=P

+

(z = 0 )e

"2! d

(1 " $ )2 L

LZ

L # ZC

P = IN = PL P + (z = 0 )e"2! d 1 " $ L

P + (z = 0 ) 1 " $ L e"4! d2

(

(

2

)= 1 " $ e ) e (1 " $ )2 "4! d L "2! d 2 L


LZ

L ! ZC

>LZ

L = ZC

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2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:Ventajas: 2. Voltaje y potencia mximos Todo dielctrico est caracterizado por un voltaje mximo que puede soportar, llamado voltaje de ruptura, VRUP

Hay que asegurar que la amplitud mxima de la onda de tensin en la lnea est por debajo de VRUP

Esta amplitud mxima es mayor cuando existe onda reflejada


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2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:2. Voltaje y potencia mximos a) Impedancia de carga distinta de la impedancia caracterstica y constante de atenuacin nula Amplitud mxima de la onda: Vmax

= V + (1 + ! L

)

Potencia transmitida:

P=

V+

2

2ZC

(

1 ! "L

2

)Pmax2 VRUP 1 " # L = 2ZC (1 + # L 2

Mxima potencia transmisible:

Z L ! ZC

)

2


11

2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:2. Voltaje y potencia mximos b) Impedancia de carga igual a la impedancia caracterstica y constante de atenuacin nula

Mxima potencia transmisible:

Pmax

Z L = ZC

V = RUP 2Z C

2

Pmax Z

L

!Z C

< Pmax Z

L

= ZC

La tensin de ruptura del dielctrico supone una limitacin de la potencia de pico que puede soportar el sistema. Dado que el proceso de ruptura es muy rpido, debe asegurarse que incluso pulsos de muy corta duracin se mantengan por debajo de este valor lmite.


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2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:3. Impedancia de entrada. Distorsin en frecuencia Si no existe onda reflejada, ZL = ZC, la impedancia de entrada de la lnea cargada (la impedancia vista por el generador) ser siempre igual a la impedancia caracterstica de la lnea. Si ambas impedancias son diferentes, la impedancia de entrada ser funcin de la longitud elctrica de la lnea y por tanto de la frecuencia.

Pueden ocurrir cambios en la frecuencia de oscilacin del generador o la oscilacin simultnea a dos frecuencias distintas (efecto pulling). La potencia entregada por el generador, y por tanto la que llega a la carga, es funcin de la frecuencia, dando lugar a una distorsin de frecuencia cuando se transmiten seales por un determinado ancho de banda.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 13

2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:4. Variacin de la fase de la tensin a) Si ZG = ZC, la lnea es de bajas prdidas, de longitud d y ZL = ZC, la tensin medida en la carga es:

V (z = d) = V + (z = d) =b)

VG !"d ! j#d e e 2

Pero si ahora ZL ZC, la tensin en la carga viene dada por:

V (z = d) =c)

VG !"d ! j#d e e (1+ $L ) 2!"d ! j#d

Si ZL ZC y ZG ZG la tensin en la carga es:

Funcin no lineal con la fase Distorsin14

V (z = d) =

VG ZC e e (1+ $L ) 2 ZG + ZC 1! $L $G e!2"d e!2 j#d


2.7. Introduccin2.7.3. Ventajas de la adaptacin de impedanciasAdaptacin a la impedancia caracterstica de la lnea:5. Ecos

La onda reflejada puede dar lugar a una distorsin apreciable similar a un eco. Ms apreciable cuanto mayor sea la longitud fsica de la lnea y menor su constante de atenuacin.


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2.7. Introduccin2.7.4. Adaptacin en potencia y tensin mediante dos redesPara lograr simultneamente la adaptacin al generador y a la lnea de transmisin son necesarias dos redes de adaptacin

Al insertar la red II entre el generador y la lnea, el generador equivalente que ve la lnea a su entrada tiene una impedancia interna de valor ZC (teorema de Everitt) por lo que la potencia entregada a la carga ser independiente de la longitud elctrica de la lnea de transmisin, siempre que la lnea no tenga prdidas. Por tanto, si la impedancia interna del generador es igual a ZC, es posible la mxima transferencia de potencia y la ausencia de onda estacionaria empleando nicamente la red I.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 16

2.8. Carta de Smith2.8.1. Introduccin

La Carta de Smith permite resolver grficamente problemas de adaptacin de impedancias. Su uso est extendido a otras aplicaciones de alta frecuencia: - Diseo de amplificadores. - Diseo de osciladores. En la actualidad, la Carta de Smith sigue siendo la representacin ms habitual de impedancias en circuitos de microondas. La carta se debe a P.H. Smith (1905-1987). Su origen se remonta a 1939.


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithLa Carta de Smith es una representacin en polares del coeficiente de reflexin en tensin IN. Considrese el siguiente circuito:


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de Smith

Impedancia de entrada:

Impedancia normalizada:


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEN GENERAL, se define: Impedancia normalizada en la posicin z:

con


20

2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithComo la carga es pasiva:


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithTeniendo en cuenta las expresiones anteriores

Circunferencias en coordenadas (a, b)

se obtiene


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEcuacin de la circunferencia de la PARTE REAL

Centro:

Radio:


23

2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEjemplo 1:

;


24


;


25


;


26


;


27

2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEcuacin de la circunferencia de la PARTE IMAGINARIA

Centro:

Radio:


28

2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEjemplos:X -5 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 5

Centro: CX (a; b ) (1; -0,2) (1; -0,5) (1; -1) (1; -2) (1; ! ) (1; 2) (1; 1) (1; 0,5) (1; 0,2)

Radio: rX 0,2 0,5 1 2 ! 2 1 0,5 0,2


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEjemplos:


30

2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithEjemplo de Carta de Smith:

360

/2

Escalas


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2.8. Carta de Smith2.8.2. Construccin de la Carta de SmithPuntos de inters:- Carga adaptada a la lnea:

Z L = ZC ! "L = 0

La impedancia de entrada normalizada queda representada en un punto situado sobre el centro de la carta

- Lnea terminada en cortocircuito:

Z L = 0 ! "L = #1

Punto de interseccin de las lneas de parte real y parte imaginaria normalizadas iguales a cero: (-1; 0).

- Lnea terminada en circuito abierto:

Z L ! " # $L = 1

Punto de interseccin de las lneas de parte real y parte imaginaria normalizadas que tienden a infinito: (1; 0).TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 32

2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.1 Representacin de impedanciasPara representar un valor de impedancia conocidas sus partes real e imaginaria, una vez normalizada respecto a la impedancia considerada, tan solo es necesario hallar el punto en el que intersecan las circunferencias de resistencia y reactancia normalizadas correspondientes.


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.1 Representacin de impedanciasPara representar el coeficiente de reflexin en mdulo y fase, en la parte inferior a la carta existe una escala graduada desde 0 hasta 1 para tomar el valor del mdulo y para la fase el borde de la carta est graduado en grados (y en unidades de longitud de onda).


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.1 Representacin de impedanciasPropagacin del coeficiente de reflexin hacia el generador


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.1 Representacin de impedanciasPropagacin del coeficiente de reflexin hacia la carga


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.2 Impedancia de entrada de una lnea ideal cargadaUna de las mayores utilidades de la carta consiste en la obtencin de la impedancia de entrada a una lnea de transmisin ideal de impedancia caracterstica dada ZC, conocida su longitud y la impedancia de carga. Coeficiente de reflexin a la entrada de la lnea:

# IN = # L $ e "2 j ! d

$ IN = $ L % e

j (" L # 2 ! d )

#L =

Z L " ZC = # L e j! L Z L + ZC

El modulo del coeficiente de reflexin permanece constante a lo largo de la lnea, variando nicamente su fase, por lo que el lugar geomtrico de todos los posibles IN(z) ser una circunferencia con radio igual a |L| y centro el centro de la carta de Smith.37


2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.2 Impedancia de entrada de una lnea ideal cargadaEjemplo: Calcular ZIN utilizando la Carta de Smith


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.2 Impedancia de entrada de una lnea ideal cargadaEjemplo:

Solucin:

ZIN1=(0,65 + j0,4) ZC ZIN2=(1,6 + j0,6 ) ZC ZIN3=(3 + j0,6) ZC ZIN=(0,9 - j1,15) ZC


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.3 Representacin de admitancias

Coeficiente de reflexin en corriente para una lnea ideal y el origen en la carga:

I "e" j! z # = + j! z I eI

V " " j! z " e ZC = = "# V + j! z e ZC

La admitancia se representa en la carta de Smith en el punto diametralmente opuesto a la impedancia.


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.3 Representacin de admitanciasComo:

I "e" j! z # = + j! z I eI

V " j! z e ZC = = "# V + j! z e ZC "

"

V! =

VL ! ZC I L 2

V+ =

VL + Z C I L 2

"I =

Z C I L ! VL I L ! VLYC YL ! YC = = ZC I L + VL I L + VLYC YL + YC

Expresin dual a la obtenida para el coeficiente de reflexin en tensin si se intercambian impedancias por admitancias.


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.3 Representacin de admitanciasEmpleando un desarrollo similar al de la carta de Smith de impedancias:

Y (z ) 1 + ! I (z ) Y (z ) = = YC 1 " ! I (z )

Teniendo en cuenta:

Y = G + jB

Centros y radios de conductancias y susceptancias normalizadas constantes

! I = "! = " a " jb

" !G % CG = $ , 0' #1+ G &1 rG = 1+ G

" !1% CB = $!1, ' # B&


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.3 Representacin de admitancias


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.3 Representacin de admitanciasCarta de Smith de impedancias y admitancias


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2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.4 Representacin de ondas estacionarias. Valores mximo y mnimo de la impedancia de la lnea.Conocida ZL, todos los valores posibles de (z) se sitan sobre una circunferencia de centro el origen de la carta y radio |L|. Impedancia mxima:

Z (z1 ) =Z (z 2 ) =

V (z1 ) I ( z1 )

= ZC= ZC

1 + !L 1 " !L1 ! "L 1 + "L = ZC S

S=

Z ( z1 ) 1 + ! L = ZC 1 " !L

Impedancia mxima:

V (z 2 ) I ( z2 )

El valor mximo de impedancia es real, su valor normalizado respecto a la impedancia caracterstica de la lnea coincide con la relacin de onda estacionaria y se encuentra en los puntos del semieje real positivo. En dichos puntos se encuentran el mximo de tensin en la lnea y el mnimo de intensidad. El valor mnimo de la impedancia es real, su valor normalizado respecto a la impedancia caracterstica en la lnea coincide con la inversa de la relacin de onda estacionaria y se encuentra en el semieje real negativo. En dichos puntos se localizan el mnimo de tensin y el mximo de intensidad en la lnea.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 45

2.8. Carta de Smith2.8.3. Operaciones con la Carta de Smith2.8.3.5 Clculo de ZL conocidos S y la distancia de un mximo o mnimo de la amplitud de la onda de tensin o corriente a la carga.A partir de S se obtiene |L|: La

"L =

S !1 S +1

carta dispone de una escala graduada en el valor de la relacin de onda estacionaria, tanto de manera lineal (S) como de manera logartmica (20log (S)). Trasladando este valor desde la escala hasta la carta se obtiene una circunferencia centrada en el origen cuyo radio es igual al del coeficiente de reflexin en la lnea. Conociendo que S es el valor normalizado de la impedancia mxima en la lnea, se puede encontrar el punto en el que la circunferencia de resistencia normalizada de valor S corta al eje de abcisas, en este punto se localizar S. Para determinar la fase se puede emplear la distancia desde la carga hasta el primer mnimo de tensin. Se ha demostrado que este valor mnimo corresponde a una fase de coeficiente de reflexin de 180, por lo que se encontrar en el punto de corte de la circunferencia anteriormente trazada con el semieje de abcisas negativo. Desplazando este punto hacia la carga la distancia indicada, se determina el valor normalizado de la impedancia de carga y la fase del coeficiente de reflexin en la carga.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 46

2.8. Carta de Smith2.8.4. Variacin de Z e Y con la frecuencia La longitud elctrica, l, puede variar tanto en funcin de l, como de f (por lo que vara tambin ). Si la impedancia de carga es resistiva pura, todos los posibles valores de la impedancia de entrada normalizada estarn sobre una circunferencia de centro el origen y radio |L|. Al aumentar la frecuencia decrece la fase del coeficiente de reflexin visto en un punto fijo de la lnea, lo que indica que la traza sobre la carta girar en sentido horario.

Teorema de Foster: La velocidad de variacin con la frecuencia de las reactancias y susceptancias, en un circuito ser siempre positiva. Si se estudia la variacin de la fase del coeficiente de reflexin con la frecuencia se puede demostrar que su velocidad de variacin tiene igual signo que la de la parte imaginaria de la impedancia asociada


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2.8. Carta de Smith2.8.4. Variacin de Z e Y con la frecuenciaEjemplo: Variacin con la frecuencia del coeficiente de reflexin a la entrada

A: 500 MHz B: 1000 MHz C: 1500 MHzTRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 48

2.8. Carta de Smith2.8.5. Aplicacin del diagrama de Smith a las lneas con prdidasEn lneas con prdidas:

! = !L " e#2$ l = !L " e#2% l " e# j 2 & l

Junto a la carta de Smith existe una escala que relaciona los valores de || con la atenuacin l.


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2.9. Mtodos de adaptacin de banda estrechaSi el objetivo buscado es conseguir mxima transferencia de potencia, el sistema de ecuaciones a resolver:!e [Z IN ] = !e [Z G ]!m [Z IN ] = "!m [Z G ]

Para que la potencia entregada por el generador llegue ntegra a la carga es necesario que la red adaptadora se disee con elementos reactivos (red no disipativa). Bajo esta condicin y de acuerdo al teorema de Everitt, la condicin de adaptacin puede imponerse en cualquier punto de la red, eligindose aquel para el que la resolucin del sistema de ecuaciones anterior sea ms sencilla.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 50

2.9. Mtodos de adaptacin de banda estrechaSi el objetivo buscado es adaptar una carga ZL a una lnea de impedancia caracterstica ZC, el sistema de ecuaciones a resolver:!e [Z IN ] = Z C !m [Z IN ] = 0

Vlido para lneas ideales o lneas de bajas prdidas


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2.9. Mtodos de adaptacin de banda estrecha El mnimo nmero de elementos reactivos de que constar la red de adaptacin ser de dos, pues dos son las ecuaciones a resolver. En teora de circuitos de baja frecuencia se estudian las redes en L por su diseo simple y por lo tiles que resultan a nivel prctico. Una red en L consta de dos elementos reactivos, uno conectado en serie y otro en paralelo con la carga. PROBLEMA: Las bobinas y los condensadores convencionales dejan de comportarse del modo deseado cuando se emplean para la realizacin de circuitos de microondas. Por otro lado, los elementos de conexin y encapsulado llevan asociados elementos parsitos que complican sobremanera el estudio de estos dispositivos en este rango de frecuencias.


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2.9. Mtodos de adaptacin de banda estrechaPueden construirse bobinas y condensadores para que funcionen adecuadamente a frecuencias de microondas?

S, pero su estructura es muy diferente de la propia de los elementos de baja frecuencia. Son dispositivos que almacenan energa elctrica y magntica pero con geometras y composiciones muy variadas que dependern de la tecnologa elegida para realizar el circuito al que van destinados.

Con slo 2 elementos no se controla el ancho de banda de la adaptacin

ADAPTACIN EN BANDA ESTRECHA


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simpleSTUB o SINTONIZADOR: Tramo de lnea terminado en circuito abierto o en cortocircuito. Circuito abierto Corto circuito


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simpleSi

! " 0:Tramos de lnea acabados en c.a. Tramos de lnea acabados en c.c.

Para obtener un elemento de comportamiento capacitivo Para obtener un elemento de comportamiento inductivo

La longitud del stub debe ser mnima para minimizar las prdidas

limita las reactancias que se pueden realizar pues al crecer l, el mdulo de disminuye y la impedancia de entrada tendr parte real no nula.


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simpleStub acabado en c.c. se prefiere en: - Lneas Bifilares. - Cables Coaxiales. - Guas de onda. Stub acabado en c.a. Tiene como inconvenientes: - Pueden radiar energa. - La discontinuidad altera la configuracin de los campos. Capacidades parsitas Razones: - Es ms fcil de ajustar. - Presenta mayor rigidez mecnica.

Los stubs acabados en c.a. se prefieren en microstrip para no tener que hacer conexiones al plano de masa


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simpleLos DOS parmetros de diseo necesarios (adaptacin en banda estrecha) son d y l

Stub simple en serie

Stub simple en paralelo


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simpleMtodo de adaptacin con stub simple paralelo (lneas de transmisin ideales) (el mtodo de adaptacin con stub serie es equivalente, pero utilizando impedancias NORMALIZADAS en lugar de admitancias NORMALIZADAS) 1. Clculo de d: Con el primer tramo (de distancia d) se traslada YL (hacia el generador) en la Carta de Smith hasta que su parte real coincida con la admitancia caracterstica de la lnea (YC=1). Existen DOS SOLUCIONES posibles para d

Dos cortes posibles con la circunferencia


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.1. Stub simple2. Clculo de l: El stub debe introducir una admitancia igual a -jB para eliminar la susceptancia introducida por el primer elemento de longitud d. La longitud l se calcula a partir del valor -jB movindose hacia la carga del stub: (c.a.) (c.c.) Mtodo de adaptacin con stub simple paralelo (lneas de transmisin ideales)

Es equivalente moverse en direccin al generador desde la carga del stub a su inicio

DOS soluciones de l (una para cada solucin de d)


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.2. Stub dobleDoble stub paralelo

d y d son datos Las DOS incgnitas son l1 y l2


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.2. Stub dobleSi

d! " 0

Se calcula

YL!

y se trabaja con el circuito equivalente


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.2. Stub doble La susceptancia que suma el primer stub, jB1, debe ser justo aquella que al trasladar Y1=YL + jB1 una distancia d se obtenga Y2 = 1 + jB2. Para ello se rota la circunferencia G = 1 hacia la carga una distancia d y se ven los puntos de corte G = GL . Se obtienen dos soluciones (dos puntos de corte) posibles Estos puntos determinan Y1.

Elegido Y1, se traslada una distancia d hasta el generador para obtener Y2.

Existe una ZONA PROHIBIDA de impedancias de carga donde la adaptacin NO ES POSIBLE


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.2. Stub doble

Zona prohibida:- Paralelo:

Re[YL ] >- Serie:

1 sen 2 (!d) 1 sen 2 (!d)

Re[ Z L ] >


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2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaAdaptacin con una seccin de lnea de transmisin En los apartados anteriores se ha abordado el estudio de diversas redes de adaptacin que emplean tramos de lneas de transmisin. En todos ellos las impedancias caractersticas de las lneas son dato, debiendo calcularse las longitudes de los stubs y de algunos de los tramos de lnea que los conectan entre s y al resto del circuito. Puesto que dos son los grados de libertad necesarios para resolver un problema de adaptacin (ya sea en potencia o en tensin), puede disearse una red compuesta por un nico tramo de lnea de transmisin. Suponiendo la lnea ideal, las incgnitas a calcular son su impedancia caracterstica y su longitud. Para obtener los valores de ZC y d se utiliza la expresin

Z IN = Z CTRANSMISIN POR SOPORTE FSICO

Z L + jZC tg (! d ) ZC + jZ Ltg (! d )64

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaAdaptacin en potenciaValores de ZC y d que garantizan mxima transferencia de potencia entre un generador de impedancia interna ZG = RG + jXG y la impedancia ZL:2 2 2 2 RG X L ! RL X G + RG RL ! RL RG RL ! RG 2 2 2 2 RG X L + RG RL ! RL RG RG X L = RL RG + RL ! RG RL ! RG

ZC =

Si X G = 0

ZC =

# Z (R " RG ) $ arctan % C L & ' RL X G " X L RG ( d= !

# Z (R " RL ) $ arctan % C G & X L RG ' ( d= !

ZC y d deben reales positivos

2 RG X L RL RG + >0 RL ! RG


65

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaAdaptacin a una lnea de transmisin de impedancia ZCDe forma anloga puede disearse una red que permita adaptar la carga ZL una lnea de transmisin de impedancia caracterstica ZC1

ZC =

2 2 2 2 Z C 1 X L + Z C1 RL ! RL Z C1 ZC1 X L = RL Z C1 + RL ! Z C1 RL ! Z C1

# Z (Z " RL ) $ arctan % C C1 & X L Z C1 ' ( d= !


66

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaTransformador /4 Cuando las impedancias a adaptar son resistivas puras, el problema siempre tiene solucin. Al sustituir el valor XL=0 en las expresiones anteriores, tan(d) tiende a infinito, por lo que la longitud elctrica de la lnea es

"d =

! + n! , 2

n = 0,1, 2,...

d=

! ! +n 4 2

Para adaptar dos impedancias resistivas la longitud de la lnea a insertar debe ser igual a un cuarto de la longitud de onda.

Adems:TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO

ZC = RL ! ZC167

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaTransformador /4. Ancho de banda de adaptacin Cuando las impedancias a adaptar son resistivas puras, las condiciones a imponer para conseguir adaptacin en potencia son las mismas que para adaptacin en tensin. En este apartado se estudiar el ancho de banda de adaptacin de un transformador /4 diseado para adaptar una carga RL=R3 a una lnea de impedancia caracterstica ZC1 a una frecuencia f0.


68

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaTransformador /4. Ancho de banda de adaptacin Los resultados son aplicables directamente al caso en el que se imponga mxima transferencia de potencia desde el generador a la carga, siempre que la impedancia equivalente de salida del generador y el primer tramo de lnea, ZSAL, sea real. En este caso, y slo en este caso, basta con sustituir ZC1 por ZSAL para obtener las expresiones deseadas.

A f0 :

ZC 2 = ZC1 ! R3Z IN = Z C 2 R3 + jZ C 2 tan(! d) Z C 2 + jR3 tan(! d) ! IN = Z IN " Z C1 Z IN + Z C1

A otra frecuencia:


69

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaTransformador /4. Ancho de banda de adaptacin

" IN = 1+

(R3 # ZC1 )

1 4 ZC 1R3

sec 2 (! d ) 2

Ancho de Banda

! IN " ! M

!"

Valor tpico:

! M = 0, 0570


2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.3. Transformador en cuarto de ondaTransformador /4. Ancho de banda de adaptacin

#! $ %" = 2 ' & " M ( )2 *

! M = arccos2 f 0! M "

2 " M Z C1 R3

!f = 2 f0 " f M2

(

)

% 2 ( = 2 f0 ' 1 " $ M * & # )

(R3 # ZC1 )

1# " M

% !f 2 2 ( = f0 " f M = 2 ' 1 " $ M * f0 f0 & # )

(

)

fM =


71

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.4. Transformador en /8

Cuando la impedancia de carga es resistiva pura puede emplearse una seccin /4 como elemento de adaptacin entre dicha impedancia y una lnea de transmisin. Para solventar esta limitacin, pueden aadirse elementos reactivos en serie o en paralelo con la carga para eliminar la parte imaginaria de su impedancia. Cuando se elige este mtodo de adaptacin, debe tenerse en cuenta que todos los resultados que se han obtenido en el apartado anterior son vlidos nicamente para impedancias de carga resistivas puras. Al aadir un elemento reactivo serie o paralelo, slo se elimina la parte imaginaria de la impedancia que carga la seccin /4 a la frecuencia de diseo, f0. Para otras frecuencias, esta impedancia ser una funcin de la frecuencia.


72

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.4. Transformador en /8

Puede optarse por varias posibilidades a la hora de transformar la impedancia de carga ZL en una impedancia resistiva pura: - Aadir un elemento reactivo de parmetros concentrados (bobina o condensador) conectado en serie o en paralelo con ZL. - Conectar un stub en serie o en paralelo con la carga. - Intercalar un tramo de lnea entre la carga y el transformador /4.

Empleando la carta de Smith, se calculan de forma sencilla los valores de la bobina o del condensador necesarios o las longitudes de los stubs a emplear. Pero los valores de la impedancia caracterstica y la longitud del tramo de lnea a intercalar entre la carga y el transformador /4 no son tan evidentes.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 73

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.4. Transformador en /8Una solucin comn en la prctica es el empleo de una seccin de longitud /8


74

2.10. Adaptacin de impedancias mediante secciones de lnea2.10.4. Transformador en /8Si se impone Im[Z1] = 02 2 Z ! / 8 = RL + X L = Z L

Z1 = Z ! / 8

Z L + jZ ! / 8 Z ! /8 + jZ L

Z1 =

RL Z ! /8 Z ! /8 " X L

Impedancia caracterstica del transformador /4

Z ! / 4 = Z C Z1 = Z CTRANSMISIN POR SOPORTE FSICO

RL Z ! / 8 Z! /8 " X L75

2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentradosCircuitos microstrip


76

2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentradosMics Monolticos Mics Hbridos


77

2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentrados2.11.1. Redes en L Con las redes de adaptacin en L no es posible adaptar cualquier valor de impedancia para una configuracin dada. Asociada a cada configuracin existe una regin prohibida dentro de la carta de Smith.

Zonas de adaptacin prohibida en redes en LCS CP

LS CP


78

2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentrados2.11.1. Redes en LCS

LP

CS

LP


79

2.11. Adaptacin de impedancias mediante elementos concentrados2.11.1. Redes en L


80

Adaptacin de impedancias de banda anchaLaboratorio de Transmisin por Soporte Fsico Ingeniero de Telecomunicacin Curso 2006-2007

ndice4.1. Introduccin 4.2. Teora aproximada de pequeas reflexiones 4.3. Transformador /4 de mltiples secciones 4.4. Transformador binmico 4.5. Transformador de Chebyshev


82

2.11. Redes adaptadoras de banda ancha

Cuando se emplea una nica seccin de longitud /4 para adaptar dos impedancias reales, el ancho de banda de la adaptacin suele ser demasiado pequeo para muchas de las aplicaciones de inters prctico. Para aumentarlo pueden utilizarse varios transformadores en cuarto de onda conectados en cascada: los llamados transformadores /4 de mltiples secciones. Las incgnitas a resolver a la hora de disear un transformador /4 de mltiples secciones son el nmero de secciones a emplear y la impedancia caracterstica de cada una de ellas. Eligiendo de forma adecuada estos valores es posible sintetizar cualquier respuesta en frecuencia.


83

2.11. Redes adaptadoras de banda ancha

El primer paso en la resolucin del problema de la adaptacin consiste en calcular el mdulo del coeficiente de reflexin IN en la lnea de impedancia caracterstica ZC en funcin de las incgnitas planteadas. Esta expresin es muy compleja, tanto ms cuanto mayor es el nmero de secciones a emplear.

Aproximacin Teora de pequeas reflexiones (se consideran slo reflexiones de primer orden)


84

IntroduccinTransformador /4 de una seccin:/4

ZC

Z/4

RL

Z ! = Z C RL4

IN ZIN

L= 1

Transformador /4 de mltiples secciones:/4 /4 /4 /4 RL La variacin con la frecuencia de |IN| ser mucho ms lenta,y el ancho de banda de la adaptacin mayor. Incgnitas: N y Zi Es posible sintetizar cualquier respuesta en frecuencia.

ZC

Z1

Z2

ZN

IN

Problema: Clculo de INTRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 85

Teora aproximada de pequeas reflexionesPermite obtener una aproximacin de IN considerando nicamente las reflexiones de primer orden.A Z0 A d B Z2 =RL B

Z ! Z1 "1 = 2 Z 2 + Z1

Z IN

1 + "1 $ e #2 j!d = Z1 1 # "1 $ e #2 j!d

Z1

IN ZIN

L= 1

$ IN

" j 2! d Z IN " Z 0 (Z1 " Z 0 ) + (Z1 + Z 0 )# $1 # e = = Z IN + Z 0 (Z1 + Z 0 ) + (Z1 " Z 0 )# $1 # e " j 2 ! d

Si se define el coeficiente de reflexin parcial de la discontinuidad como:

Z ! Z0 "0 = 1 Z1 + Z 0

# IN

#0 + #1 $ e " j 2 ! d = 1 + #0 $ #1 $ e " j 2 ! d

" IN "

0 1. Como los polinomios son positivos para x>1:

R " Z0 1 RL 1 TN $sec (! M )% = L & ' R + Z ( # ln Z 2 ( L 0 0 M M#f $ 2! % = 2 '1 & M ( f0 " * )

' - RL ! + ln Z0 !1 sec( M ) = cos & arccos + / +2 . !N M + ! + , %TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO

*$ (! (! (# (! (! )"

93

Transformador de ChebychevClculo de los parmetros. Conocido N: Dado ||M,

A = !M

y los coeficientes de reflexin parciales, i, se obtienen identificando

# IN = Ae " jN! TN $sec (! M )cos (! )% & 'Con:

& IN = 2 ' e " jN!

# N "1 $ 1 %2 % * 0 &i cos ((N " 2i )! ) + & N / 2 + , - 2 % i =0 % . /N par

& IN = 2 ' e " jN!

# N2"1 $ % % * 0 &i cos ((N " 2i )! ) + , % i =0 % . / N inpar

Impedancias caractersticas:

Z i = Z i +1

1 ! "i 1 + "i

o

1 !Z " #i $ ln % i +1 & 2 ' Zi (

Dado ||M y M, se elegir el menor orden N que cumple:

TN [sec( M )]# "

R 1 ln L 2 ! M Z094


Tabla de impedancias (transformador binmico)RL/ Z0 1.5 2 3 4 6 8 10 N=2 Z1 /Z0 Z2/Z0 1.1067 1.3554 1.1892 1.6818 1.3161 2.2795 1.4142 2.8285 1.5651 3.8336 1.6818 1.7783 4.7568 5.6233 N=3 Z2/Z0 1.2247 1.4142 1.7321 2.0000 2.4495 2.8284 3.1623 N=4 Z2/Z0 Z3 /Z0 1.1351 1.3215 1.2421 1.6102 1.4105 2.1269 1.5442 2.5903 1.7553 3.4182 1.9232 2.0651 4.1597 4.8424

Z1/Z0 1.0520 1.0907 1.1479 1.1907 1.2544 1.3022 1.3409

Z3/Z0 1.4259 1.8337 2.6135 3.3594 4.7832 6.1434 7.4577

Z1/Z0 1.0257 1.0444 1.0718 1.0919 1.1215 1.1436 1.1613

Z4/Z0 1.4624 1.9150 2.7990 3.6633 5.3500 6.9955 8.6110

Tabla: Impedancias caractersticas para transformadores binmicos de N = 2, 3 y 4 secciones.


95

Ejemplo 1Se desea adaptar una lnea de impedancia Z0 = 50 a una carga resistiva RL = 100 utilizando un transformador /4 de N = 2 secciones. Si el valor mximo del mdulo del coeficiente de reflexin a la entrada es 0,05, calcule el ancho de banda relativo de la red de adaptacin. Solucin:!L = Z L " Z0 1 = Z L + Z0 3

# N & 1 # 2& ! i = ! L 2" N % ( = 2"2 % ( $ i ' 3 $ i'!2 = 1 1 y !1 = 12 61 ! "2 = 84,6154# 1 + "2

Como comprobacin obtenemos el valor de la impedancia caracterstica del primer tramo a partir del coeficiente de reflexin parcial 0 = 1/12:Z0 = Z1 1 ! "0 = 51# $ 50# 1 + "0

Z2 = Z L

El valor resultante es distinto del dato de partida porque el mtodo de clculo no es consistente

Z1 = Z 2

1 ! "1 = 60,4396# 1 + "196


Ejemplo 1 (continuacin)Como alternativa, pueden calcularse las impedancias caractersticas de las secciones mediante la expresin aproximada:!Z $ ! N$ ! Z $ ln # i+1 & ! 2' N # & ln # L & , i = 1,2,3,...N " i % " Z0 % " Zi %

Partiendo de Z0 = 50 , se obtienen los siguientes valores:1 3 !Z $ 1 !Z $ 4 ln # 1 & ! ln # L & ' Z1 ! Z L Z04 = 59,4604( " Z0 % 4 " Z0 %

1 3 ! Z2 $ 1 ! Z L $ 4 4 ln # & ! ln # & ' Z 2 ! Z0 Z L = 84,0896( " Z1 % 2 " Z0 %

1 1 !Z $ 1 !Z $ ( 4 ln # 3 & ! ln # L & ' Z3 ! Z L Z0 4 Z 2 = Z L = 100) " Z 2 % 4 " Z0 %

La solucin exacta indicada en la tabla anterior es: Z1 = 1.1892Z0 = 59,46!; Z2 = 1.6818Z0 = 84,09!TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 97

Tabla de impedancias (transformador de Chevychev)RL/ Z0 1.5 2 3 4 6 8 10 N=2, | |M=0,05 Z1 /Z0 Z2/Z0 1,1347 1,3219 1,2193 1,6402 1,3494 2,2232 1,4500 2,7585 1,6047 3,7389 1,7244 1,8233 4,6393 5,4845 Z1/Z0 1,1029 1,1475 1,2171 1,2662 1,3383 1,3944 1,4385 N=3, | |M=0,05 Z2/Z0 Z3/Z0 1,2247 1,3601 1,4142 1,7429 1,7321 2,4649 2,0000 3,1591 2,4495 4,4833 2,8284 3,1623 5,7372 6,9517 Z1/Z0 1,0892 1,1201 1,1586 1,1906 1,2290 1,2583 1,2832 N=4, | |M=0,05 Z2/Z0 Z3 /Z0 1,1742 1,2775 1,2979 1,5409 1,4876 2,0167 1,6414 2,4369 1,8773 3,1961 2,0657 2,2268 3,8728 4,4907 Z4/Z0 1,3772 1,7855 2,5893 3,3597 4,8820 6,3578 7,7930

Impedancias caractersticas para la adaptacin mediante N = 2, 3 y 4 y coeficiente de reflexin mximo de 0,05.

RL/ Z0 1.5 2 3 4 6 8 10

N=2, | |M=0,20 Z1 /Z0 Z2/Z0 1,2247 1,2247 1,3161 1,5197 1,4565 2,0598 1,5651 2,5558 1,7321 3,4641 1,8612 1,9680 4,2983 5,0813

Z1/Z0 1,2247 1,2855 1,3743 1,4333 1,5193 1,5766 1,6415

N=3, | |M=0,20 Z2/Z0 Z3/Z0 1,2247 1,2247 1,4142 1,5558 1,7321 2,1826 2,0000 2,7908 2,4495 3,9492 2,8284 3,1623 5,0742 6,0920

Z1/Z0 1.2247 1,2727 1,4879 1,3692 1,4415 1,4914 1,5163

N=4, | |M=0,20 Z2/Z0 Z3 /Z0 1,2247 1,2247 1,3634 1,4669 1,5819 1,8965 1,7490 2,2870 2,0231 2,9657 2,2428 2,4210 3,5670 4,1305

Z4/Z0 1,2247 1,5715 2,0163 2,9214 4,1623 5,3641 6,5950

Impedancias caractersticas para la adaptacin mediante N = 2, 3 y 4 y coeficiente de reflexin mximo de 0,02.TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 98

Ejemplo 2Disee un transformador de Chebychev que permita adaptar una carga de impedancia 100 a una lnea de impedancia caracterstica 50 si se desea un ancho de banda relativo del 80% y se permite un valor mximo del mdulo del coeficiente de reflexin a la entrada de 0,01. Solucin:!M = "% $f ( 1# = 0,9425rad = 54 2' 2f * & )1 R ln 2

L N ser el menor nmero entero que cumpla la condicin: TN "sec (! M ) $ & # % 2 ' ln Z = 0,02 = 34,66 0 M

()

! $ 1 T2 # & = 4,79 cos 54 % "

( )

! $ 1 T3 # & = 14,6 " cos 54 %

( )( )

!

N=4

! 1 $ T4 # & = 44,9 " cos 54 %TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 99

Ejemplo 2 (continuacin)! IN = Ae" j 4# T4 $sec 54 cos # & % '

( ) ()

!R $ 1 A ! ln # L & = 0,0077 " Z0 % 2TN (sec ' M * ) +

( )

su mdulo no coincide con ||M pero es inferior, por lo que cumple las especificaciones

! IN = e" j 4# $0,0645cos 4# + 0,1689cos 2# + 0,1044 & % '$ 1 ' ! IN = 2e" j 4# & ! 0 cos 4# + !1 cos 2# + ! 2 ) 2 ( %

( )

( )

Segn la teora de pequeas reflexiones:

( )

( )

Identificando trminos:

!0 = !1 =

0,0645 = 0,0323 2 0,1689 = 0,0845 2

! 2 = 0,1044TRANSMISIN POR SOPORTE FSICO 100

Ejemplo 2 (continuacin)El transformador debe cumplir las condiciones de simetra:! 4 = ! 0 = 0,0323 ! 3 = !1 = 0,0845

Z1 = Z0 e

2! 0

= 53,34"

Z 2 = Z1e

2!1

= 63,16"

Z3 = Z 2 e2! 2 = 77,82"2! 3

Z 4 = Z3 e

= 92,15"


101

adaptacion de impedancias lineas de transmision

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