matrices de impedancias

ORV

Sistemas Eléctricos de Potencia II

EL MODELO DE LAS IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED

En la práctica, rara vez se requiere ZBARRA en forma explícita y así los factores triangulares de YBARRA se usan para generar los elementos ZBARRA que sean necesarios. Por definición:

Zbarra = Y-1barra

Para una red de 3 nodos independientes:

Los elementos de impedancia ZBARRA que están en la diagonal principal se conocen como “Impedancias de punto de operación” de las barras. Los elementos fuera de la diagonal principal se les llama “Impedancias de transferencia” de las barras.

Las ecuaciones de nodo expresadas en la forma: I = YbarraV

En la barra 2 se tiene

barraZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

333231

232221

131211

1 32

1

2

3

2 21 1 22 2 23 3I Y V Y V Y V

ORV


Si V1 y V3 = 0 el corto circuitar las barras 1 y 3 con el nodo de referencia, y si se aplica a la barra 2 el voltaje V2 de tal forma que I2 entre a la barra 2, la admitancia propia en esta barra es:

Así entonces, se puede evaluar la admitancia propia de una barra en particular, cortocircuitando todas las otras barras y encontrar la relación de corriente inyectada en la barra al voltaje aplicado en ella. Sea la red :

En la fig. 8.1:

1 3

222

2 0V V

IY

V

03

333

01

111

03

222

323231

;;

VVVVVV

VI

VI

IV

Y

ORV


Como se ve:

Y11, Y22, y Y33 son cada una la suma de las admitancias que se conectan al nodo 1,2, 3 respectivamente. Todo esto cuando no hay ramas acopladas.

La figura 8.1 también sirve para ilustrar los términos de YBARRA fuera de la diagonal principal, sea por ejemplo:

Aquí :

Así, Y 12 se mide al cortacircuitar todas las barras con excepción de la barra 2 y aplicando V2 a la barra 2. Ahora veamos, desde el punto de vista teórico, la ecuación.

Se resuelve como:

Que en forma expandida es:

1 11 1 12 2 13 3I Y V Y V Y V

02

112

31

VV

VI

Y

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

V Z I Z I Z I

V Z I Z I Z I

V Z I Z I Z I

barraI = Y V

barraV = Z I

ORV


La impedancia de “punto de operación” por ejemplo Z22 se determina como:

Y la “Impedancia de transferencia”, por ejemplo Z12 se determina como:

Éstas se pueden explicar con el siguiente circuito

1 3

222

2 0I I

VZ

I

1 3

112

2 0I I

VZ

I

ORV


Teorema de Thévenin y Z barra

Sea V0 = ZBARRA I0

V0 = Voltajes de barra iniciales de circuito abierto medidos entre cada una de las barras y el nodo de referencia. Cuando las corrientes de barra cambian de sus valores iniciales a sus nuevos valores, los nuevos voltajes de barra están dados por la ecuación de superposición.

Sea la red

0 0

º

barra barra barra

V V

V Z I I Z I Z I

En principio se considera que el circuito no está energizado así que Iº y Vº son cero.Ahora se inyecta una corriente IK en Amperes o en p.u. Por medio de una fuente de corriente que conecta al nodo de referencia.

ORV


Los cambios de voltaje resultantes en las barras de la red están dados por:

Que resulta como:

)17.8(

0

0

0

2

1

21

21

222221

111211

N

kk

NNNkNN

kNkkkk

Nk

Nk

V

V

V

V

I

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

)18.8(

2

1

2

1

N

kk

Nk

kk

k

k

V

V

V

V

I

Z

Z

Z

Z

1 2 k N

1

2

k

N

N

k

2

1

k

ORV


En concordancia con la ecuación 8.16

V = Vº + V

Vk = Vºk + Zkk Ik

El circuito que corresponde a esta ecuación es:

ORV


La impedancia de Thevenin Zth en la barra k es:

Zth = Zkk ; Donde Zkk es elemento diagonal de Zbarra

De manera similar, la impedancia de Thevenin entre dos barras j y k. La red se energiza con inyecciones de corriente Ij en la barra j y Ik en la barra k como en la figura siguiente:

Los cambios de voltajes de barra son:

)21.8(

0

0

0 11

2

1

21

21

111211

kNkjNj

kkkjkj

kjkjjj

kkjj

N

kk

NNNkNN

kNkkkk

Nk

IZIZ

IZIZ

IZIZ

IZIZ

V

V

V

V

I

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

1 2 k N

1

2

k

N

ORV


Al sumar estos cambios de voltaje a los voltajes originales como en la ecuación 8.16

Se obtiene:

Al sumar y restar ZjkIj a la ecuación 8.22 tenemos y de la misma forma ZkkIk de la ec. 8.23 se obtiene:

Dado que ZBARRA es simétrica Zjk = Zkj, entonces de acuerdo al circuito que se muestra en esta figura, donde el voltaje de corto circuito de la barra k a la barra j es:

ºº

jk VV

º

º ºbarra barra barra

V V

V Z I I Z I Z I

0

0

j j jj j jk k

k k kj j kk k

V V Z I Z I

V V Z I Z I

0

0

j j jj jk j jk j k

k k kj j k kk kj k

V V Z Z I Z I I

V V Z I I Z Z I

ORV


La impedancia que resulta para la corriente de corto circuito ISC de la barra k a la barra j en la figura 8.4 c es la impedancia de Thevenin.

Cuando se conecta la impedancia de rama Zb entre las barras j y k de la figura, la corriente resultante es:

Modificación de una Zbarra Existente

En la notación para usarse en el análisis, las barras existentes se identifican con números o con las letras h, i, j y k. Las letras p ó q designarán la nueva barra que se añade a la red para convertir la Zorig en una matriz de (N+1) x (N+1)

, 2th jk jj kk jkZ Z Z Z

0 0

,

k j k jb

th jk b b

V V V VI

Z Z Z

ORV


CASO 1. Añadir la Zb de una nueva barra p al nodo de referencia.

Una nueva barra p que se conecta a través de Zb sin conexión con cualquier otra barra de la red original, se agrega como:

)28.8(

000

0

0

0

0

02

01

2

1

)(

p

N

p

N

Z

b

orig

V

V

V

V

I

I

I

I

Z

Z

nuevabarra

p

ORV


0

0

k k p kk

p k p kk p b

V V I Z

V V I Z I Z

CASO 2. Añadir la Zb de una nueva barra p a una barra existente k

ORV


Al sustituir Vºk se obtiene:

0

1 1 2 2

k

p k k N kN p kk b

V

V I Z I Z I Z I Z Z

)28.8(2

1

2

1

21

2

1

)(

p

N

p

N

Z

kkbkNkk

Nk

orig

k

k

V

V

V

V

I

I

I

I

ZZZZZ

Z

Z

Z

Z

nuevabarra

p

ORV


CASO 3. Añadir la Zb desde una barra existente k al nodo de referencia

1 1

( )

h N N i

hi nueva hikk b

Z ZZ Z

Z Z

ORV


CASO 4. Añadir la Zb entre dos barras existentes j y k

El cambio de voltaje en cada nodo h ocasionado por la corriente Ib en la barra j e –Ib en la barra k,

Con base en la definición de cambios de voltaje

bhkhjh IZZV

10

11 VVV

ORV


ORV


1 1

( . . )

(8.41)

( . . )0

orig

orig

de Z j j

orig k k

Nk

N Nbb

de Zb

Z

I V

col j col kI V

Z I V

ZI Vcol j col k ZI

bjkkkjj

iNNhhinuevahi ZZZZ

ZZZZ

211

)(

ORV


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Reducción de Kron• El método de reducción de Kron consiste en utilizar un

procedimiento similar al método de eliminación Gaussiana, eliminando los nodos que tienen corrientes inyectadas con valor cero.

• Al eliminar el nodo 1, se obtiene el sistema reducido de 3X3,

ORV


Reducción de Kron

• Partiendo del cálculo de la matriz de admitancias de barra reducida, seleccionando un elemento pivote se tiene la formula de reducción de Kron para admitancias,

jp pk

jkjk nuevapp

Z ZZ Z

Z

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Determinación Directa de ZBARRA

Primero.- Se escribe la ecuación para una barra que se conecta a través de una impedancia de rama Za a la referencia, como:

Segundo.- Se añade una nueva barra conectada a la primera y al nodo de referencia.

Tercero.- Se modifica ZBARRA añadiendo otras barras y ramas según lo descrito en la sección 8.3.

1 1aV Z I 1

1

)45.8(0

0

2

1

2

1

I

I

Z

Z

V

V

b

a1

2

1 2

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Cálculo de ZBARRA usando YBARRA

Se puede calcular la ZBARRA fácilmente si los factores triangulares superior e inferior de YBARRA están disponibles y cuando la forma numérica completa de ZBARRA no se requiere de manera explícita en una aplicación dada. Sea una ZBARRA que se multiplica por un vector que tiene solamente un elemento que no es cero.

)46.8(

0

1

0

0

2

1

21

21

222221

111211

mbarrabarra Z

Nm

mm

m

m

m

Z

NNNmNN

mNmmmm

Nm

Nm

Z

Z

Z

Z

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

1 2 m N

1

2

m

N

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Esta es una forma de extraer la m-ésima columna que se llama vector Z (m)BARRA ; esto es:

Dado que el producto YBARRA por ZBARRA es la matriz unidad, entonces

)46.8(

2

1

)(

Nm

mm

m

m

barra

mbarra

Z

Z

Z

Z

Z

de

mcolumna

Z

m

1

2

m

N

)47.8(

0

1

0

0

0

1

0

0

mbarra

mbarra

mbarrabarra YZYZ

ORV


Si están disponibles las matrices triangulares superior e inferior de YBARRA o sea, si se conocen L (Matriz triangular inferior ) y U (Matriz triangular superior) se puede hacer lo siguiente:

Con esta ecuación se ve, que fácilmente se pueden encontrar los elementos en el vector columna de Z(m)

barra ; sea entonces;

( )

0

0

1

0

mbarra

m

LUZ

(3)

1311 12 13 14

21 22 2323 24

31 32 3334

41 42 43 44 43

1 0

1 0

11

01

barraZ

Zl u u u

l l Zu u

l l Zu

l l l l Z

ORV


Esta ecuación se puede resolver en dos etapas para ZBARRA , como sigue:

O sea que:

11 1

21 22 2

31 32 3

41 42 43 44 4

0

0

1

0

l x

l l x

l l x

l l l l x

(3)

13 112 13 14

23 223 24

33334

443

1

1

1

1

barraZ

Z xu u u

Z xu u

xZu

xZ

ORV


“POR ELIMINACIÓN DE VARIABLES”

4433

434444

1

343

0

242

0

141

333333

0

232

0

131

2222

0

121

1111

0

11

00

00

333

ll

lxxlxlxlxl

lxxlxlxl

xxlxl

xxl

lx

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“Sustitución Inversa”

Si se requieren evaluar términos de la ZBARRA del tipo (Zim-Zin). Se pueden calcular de manera similar como antes y se tiene:

43 4

33 34 43 3 33 3 34 43

23 23 33 24 43 2 23 2 23 33 24 43

13 12 23 13 33 14 43 1 13 1 12 23 13 33 14 43

Z X

Z u Z X Z X u Z

Z u Z u Z X Z X u Z u Z

Z u Z u Z u Z X Z X u Z u Z u Z

( )

0

1

1

0

m

m nbarra

n

LUZ

ORV


Ramas Mutuamente Acopladas en Zbarra

• CASO 5. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente P a una nueva barra Q

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CASO 6. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente p a referencia.

• El procedimiento para este caso es una aplicación especial del caso 5: se añade una impedancia Zb entre la barra p y la nueva barra q acoplada a través de la impedancia mutua ZM.

• Se cortocircuita la barra q al nodo de referencia con lo que Vq es igual a cero, y se llega a la misma ecuación matricial del caso anterior

ORV


• CASO 7. Añadir una Zb acoplada mutuamente entre las barras existentes p y k.

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• CASO 8. Quitar una Zb mutuamente acoplada entre barras existentes

• Esto se puede lograr añadiendo el negativo de la impedancia Zb.

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