62227781 ejercicios de repaso 4 acoplamiento de impedancias

7/22/2019 62227781 Ejercicios de Repaso 4 Acoplamiento de Impedancias

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Ricardo AlejosElectrnica de Radiofrecuencia e Inalmbrica

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Ejercicios de repaso 4Acoplamien to de impedancias

Ejercicio 1

EnunciadoUtilizando una seccin L, encuentre las dos solucio-

nes posibles para acoplar una lnea de transmisin de a una carga .Solucin 1Para resolver este problema utilizaremos el mtodo

de la carta de Smith. Normalicemos primero la carga

para as ubicarla dentro de la carta de Smith:

Note que la carga se encuentra fuera del crculo , de tal forma que utilizaremos una seccin Lcomo la que aparece en la figura 2.

Figura 1. Impedancia de carga en la carta de Smith.

Figura 2. Red de acoplamiento a utilizar.

As bien, primero summosle una reactancia norma-

lizada que le haga tocar la periferia del crculo deadmitancia (figura 3).

Figura 3. Impedancia Para lograr este ltimo cambio:

Haciendo que


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2

Ahora reflejamos la nueva impedancia con respecto

al origen (figura 4) para obtener su admitancia co-

rrespondiente , es decir:

Figura 4. Obtencin de la admitancia correspondiente.

Ahora se le suma una susceptancia normalizada ,de tal forma que o de forma equivalen-te, que lleguemos al origen de la carta de Smith.

Una vez obtenidos los valores

y

, los desnormali-

zamos para conocer los valores y que corres-ponden al circuito de la figura 2, los cules son:

Solucin 2El primer paso es igual al que se expone en la solu-

cin 1. Conseguimos la impedancia de carga norma-lizada y la graficamos tal como en la figura 1. Nues-

tra impedancia de carga normalizada es entonces y se utiliza una red de acopla-miento como la mostrada en la figura 2.

El siguiente paso ya difiere un poco, ahora sumare-

mos una reactancia de modo que ahora toquemosla otra orilla del crculo de admitancias (figura 5).

Figura 5. Impedancia Para esto se necesita sumar una reactancia normali-

zada con un valor de:

De tal forma que:

Reflejamos ahora esta impedancia respecto al origen

para obtener la admitancia correspondiente (figu-ra 6), que tiene un valor de:


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3

Figura 6. Reflexin para obtener admitancia .Hecho esto, ahora hay que sumar una susceptancia

normalizada

de tal forma que

, o de

forma equivalente, que lleguemos al origen de lacarta de Smith.

Finalmente, desnormalizamos los valores de y :

Ejercicio 2

EnunciadoUtilizando una seccin L, encuentre las dos solucio-

nes posibles para acoplar una lnea de

a

a una carga de impedancia que consistede una resistencia de en paralelo con un capa-citor de .Solucin 1Este ejercicio lo resolveremos construyendo un pro-

grama para MatLab, mismo que se encuentra en la

tabla 1.

Tabla 1. Programa que calcula la red L.

functionLsectionLC(Z0,ZL,f)

RL=real(ZL);

XL=imag(ZL);

if(Z0


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4

else

LX1=X1/(2*pi*f)

CX1=NaN;

end

%Implementacin de X2

if(X2


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5

Figura 8. Sistema de comunicacin con una antena y red de

acoplamiento en L.

SolucinLa mxima transferencia de potencia se da cuando la

impedancia de la fuente es igual al complejo conju-

gado de su carga, es decir:

Esto significa que habremos de hacer que la red de

acoplamiento haga que la fuente vea una impedan-

cia de carga de .Calculemos pues, la impedancia de carga actual:

Ahora normalicemos ambas impedancias para poder

utilizar la carta de Smith.

La estrategia a seguir ser llegar a la impedancia de

carga a partir de la impedancia deseada, de modo

que para llegar de la impedancia de carga a la desea-

da, slo habr que seguir el procedimiento inverso.

Localicemos ahora la impedancia deseada y reflej-

mosla con respecto al origen de la carta de Smith

para obtener su admitancia (figura 9).

Note entonces que

.

Figura 9. Ubicacin de la impedancia y admitancia de carga

deseada.

Ahora, habremos de movernos hacia abajo por la

lnea de parte real constante hasta que la admitancia

toque el crculo de parte real unitaria para admitan-

cias, tal como se muestra en la figura 10.


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6

Figura 10. Movimiento de la admitancia para hacerla de

parte real unitaria.

Tras leer esta nueva admitancia, vemos que se trata

de . Para ello tuvimos que restaruna susceptancia normalizada . Ahora, nuevamente invertimos lacantidad obtenida (figura 11), pero ahora para obte-

ner una impedancia cuyo valor es:

Figura 11. Reflexin de admitancia

Y para llegar finalmente a la impedancia de carga

original (figura 12) es slo necesario restar una reac-

tancia normalizada .

Figura 12. Llegada a la impedancia de carga original.

Si para llegar aqu tuvimos que restar y duranteel procedimiento, para llegar a la impedancia desea-

da desde la impedancia de carga deben sumarse estas

cantidades, y as entonces los valores des-

normalizados de estas cantidades son:

As entonces, los valores de bobina y capacitor re-

queridos son:


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7

Ejercicio 5

Enunciado

Se desea acoplar una carga de impedancia queconsiste de una resistencia de en paralelo conun capacitor de a con una lnea detransmisin cuya impedancia es de . Uti-lizando una red de acoplamiento de protuberancia

singular como la mostrada en la figura 13:

(a) Encuentre las primeras dos distancias y desde la carga donde la protuberanciapodra ser conectada.

(b) Conectando la protuberancia al mnimo dedistancia desde la carga, encuentre la longi-

tud para una protuberancia de circuitoabierto, y la longitud para una protube-rancia de corto circuito.

Figura 13. Circuito del ejercicio 5.

SolucinPara resolver este ejercicio, programaremos las fr-

mulas requeridas para calcular los parmetros pedi-

dos. Dicho programa se encuentra en la tabla 2.

Tabla 2. Programa utilizado para calcular dimensiones de

protuberancias en serie.

functionsstubse(Z0,ZL)

YL=1/ZL;

Y0=1/Z0;

GL=real(YL);BL=imag(YL);

if(GL~=Y0)

t1=(BL+sqrt(GL*((Y0-

GL)^2+BL^2)/Y0))/(GL-Y0);

t2=(BL-sqrt(GL*((Y0-

GL)^2+BL^2)/Y0))/(GL-Y0);

%Clculo de distancia d/lambda (1ra

opcin)

if(t1>=0) d1=(1/(2*pi))*atan(t1)

elsed1=(1/(2*pi))*(pi+atan(t1))

end

%Clculo de distancia d/lambda (2da

opcin)

if(t2>=0) d2=(1/(2*pi))*atan(t2)


end

X1=((GL^2)*t1-(Y0-

BL*t1)*(BL+Y0*t1))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t1)^2))

;

X2=((GL^2)*t2-(Y0-

BL*t2)*(BL+Y0*t2))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t2)^2))

;

%Clculo de loc/lambda

lsc1=(-1/(2*pi))*atan(X1/Z0);if(lsc1


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8

X=((GL^2)*t-(Y0-

BL*t)*(BL+Y0*t))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t)^2));


lsc=(-1/(2*pi))*atan(X/Z0);

if(lsc=0) d2=(1/(2*pi))*atan(t2)


end

B1=((RL^2)*t1-(Z0-

XL*t1)*(XL+Z0*t1))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t1)^2))

;

B2=((RL^2)*t2-(Z0-

XL*t2)*(XL+Z0*t2))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t2)^2))

;


loc1=(-1/(2*pi))*atan(B1/Y0);

if(loc1


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9

XL*t)*(XL+Z0*t))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t)^2));


loc=(-1/(2*pi))*atan(B/Y0);

if(loc


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10

(

)

()

Finalmente, la longitud de las tres secciones ser la

misma, es decir, un cuarto de la longitud de onda.

Para ello primero calculemos el valor de la longitud

de onda

. Recordemos que para lneas de transmi-

sin ideales, su constante dielctrica efectiva es .

Entonces la longitud de las tres secciones es:

Para terminar el ejercicio, ya nada ms har falta

simular en APLAC. Para ello, se implement el cir-

cuito de la figura 15 en APLAC y se obtuvieron los

resultados mostrados en la figura 17 con ayuda del

cdigo mostrado en la figura 16.

Figura 15. Implementacin del circuito en APLAC.

Figura 16. Cdigo utilizado para hacer la simulacin.

Figura 17. Resultados de la simulacin.

Input

Z=54.535

ER=1

Length=75mm

Z=70.71

ER=1

Length=75mm

Z=91.685

ER=1

Length=75mm

RL100

50Port1

Sweep

"Transformador de cuarto de onda de tres secciones"

LOOP 300 FREQ LIN 100KHz 2GHz

WINDOW=0 grid Y "" "" 0 0.33

WINDOW=1 grid Y "" "" 0 -80

Show W=0 Y Mag(S(1,1))

Show W=1 Y MagdB(S(1,1))

EndSweep

100.000k 500.075M 1.000G 1.500G 2.000G

0.00

0.08

0.17

0.25

0.33

Transformador de cuarto de onda de tres seccionesLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONL

f/HzMag(S(1,1))

100.000k 500.075M 1.000G 1.500G 2.000G

-80.00

-60.00

-40.00

-20.00

0.00

Transformador de cuarto de onda de tres seccionesLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONL

f/HzMagdB(S(1,1))


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Ejercicio 9

EnunciadoDisee un transformador de impedancias de 5 sec-

ciones Butterworth para acoplar una carga

a una lnea de transmisin cuya impedanciacaracterstica es . Calcule el ancho debanda fraccional terico para una reflexin mxima

de . Calcule las longitudes correspondientesde las cinco secciones para lograr un acoplamiento

perfecto a los , adumiendo que las lneas detransmisin son ideales con una constante dielctrica

efectiva .SolucinCon un procedimiento similar al del ejercicio ante-

rior, diseemos el transformador de impedancias

comenzando por calcular el cociente de impedan-

cias:

Ahora, consultemos en la tabla los coeficientes que

corresponden a un transformador de cinco secciones

con el cociente que acabamos de obtener (figura 18).

Figura 18. Coeficientes para un transformador de cinco

secciones.

As entonces, los valores de las impedancias son:

()

()

() () ()

El ancho de banda fraccional est dado por la expre-

sin:

[

(

)]

Dnde:

| |De esta forma, primero encontremos el valor de :

| |

||

El valor de lo obtenemos a partir del dato :


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Y entonces, el ancho de banda fraccional es:

[ ( )]

[ ( )]De modo que si centramos nuestra frecuencia de

operacin en nuestro ancho de bandaterico ser de .La longitud de todas las secciones es:

Ejercicio 10

Enunciado

Implemente el transformador de impedancias del

problema 8 en tecnologa micro-cinta. Asuma que la

altura del substrato es , con una constantedielctrica relativa , y una tangente de prdi-das de . Simule dicho circuito en APLAC.Solucin

Es posible determinar las medidas de las lneas con

ayuda de las ecuaciones de Walker o las ecuaciones

de Gupta (ambas deben llegar al mismo resultado).

Tras resolver para las ecuaciones de Walker ob-tenemos (auxilindonos de Wolfram Mathematica).

Recordemos las ecuaciones de Walker, una de ellas

vlida si :

( ) Y la otra en el caso contrario, es decir, si ,y entonces:

Siendo en ambos casos

As entonces, conociendo y , primero calcula-mos las constantes dielctricas efectivas:

Y as ahora, al sustituir en las ecuaciones de Walker

y resolver para obtenemos los anchos de cadapista de micro-cinta:

Note adems que las constantes dielctricas han

cambiado (y que por lo tanto, la longitud de onda

para cada seccin es distinta), de modo que ser

necesario recalcular las longitudes de cada seccin.


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Finalmente, tras simular en APLAC obtenemos los

resultados mostrados en la figura 20. Es importante

recordar que cuando se simulan lneas de transmi-sin no ideales, el primer elemento de control a co-

locar en la lista es el substrato. El circuito utilizado

para hacer la simulacin y los comandos para la

misma estn en la figura 19.

Figura 19. Circuito y comandos de simulacin.

Figura 20. Resultados de la simulacin

Note que el resultado ha empeorado un poco con

respecto al circuito implementado con lneas de

transmisin ideales.

Adems, conforme crece la frecuencia, los resulta-

dos ya no sern tan buenos en los mltiplos impares

de la frecuencia de diseo, tal como se muestra en la

figura 21.

L=42.7264mm

W=3.5340mm

L=43.5276mm

W=2.1658mm

L=44.3495mm

W=1.2214mm

RL

100

MSub Substrato

ER=4.0

H=2mmTAND=0.01

50

Port1

Sweep

"Transformador de cuarto de onda de tres secciones

implementado con tecnologa micro-cinta"

LOOP 300 FREQ LIN 100KHz 2GHz

WINDOW=0 grid Y "" "" 0 0.33

WINDOW=1 grid Y "" "" 0 -80

Show W=0 Y Mag(S(1,1))

Show W=1 Y MagdB(S(1,1))

EndSweep

100.000k 500.075M 1.000G 1.500G 2.000G

0.00

0.08

0.17

0.25

0.33

r de cuarto de onda de tres secciones implementadoLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONL

f/HzMag(S(1,1))

100.000k 500.075M 1.000G 1.500G 2.000G

-80.00

-60.00

-40.00

-20.00

0.00


f/HzMagdB(S(1,1))


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Figura 21. Resultados de la simulacin para frecuencias ms

altas.

100.000k 1.250G 2.500G 3.750G 5.000G

0.00

0.08

0.17

0.25

0.33


f/HzMag(S(1,1))

100.000k 1.250G 2.500G 3.750G 5.000G

-80.00

-60.00

-40.00

-20.00

0.00


f/HzMagdB(S(1,1))

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