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TEMAS RELEVANTES DE LA MATEMÁTICA ACTUAL:EL RETO DE LA ENSEÑANZA SECUNDARIA

Actas del Curso para Profesores deEnseñanza Secundaria

Universidad Internacional Mcnendez PelayoSantander, septiembre, 1999

DIRECTOR:Enrique Zuazua Iriondo

SECRETARIA:María Victoria Pinillos Laffon

PONENTES:Mikcl BilbaoAlicia DelibesJavier DuoandikoctxeaJosé Luis FernándezTomás RecioRoberto Rodríguez del RíoAmonio RosGilbcrl Strang

NOTA: Por omisión en la Edición del libro, introducir esta páginaantes del índice

TEMAS RELEVANTES DE LAMATEMÁTICA ACTUAL:

EL RETO DE LA ENSEÑANZASECUNDARIA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTESECRETAKÍAGELNERAL DE EDUCACIÓN Y FORMACIÓN PROFESIONALSubdirección General de Formación del Profesorado

Edita:

SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA. Centro de Publicaciones

N.I.P.O.: 176-00-062-1I.S.B.N.: 84-369-3348-6Depósito legal: M-31.645-2000

Imprime: Solana e Hijos. A.G.. S.A.

índice

Págs.

Introducción 7

Análisis de Fourier: Historia y aplicaciones recientes 11Javier Douandikoetxea

Matemáticas y Finanzas 45José Luis Fernández

El Problema Isoperimctrico 81Antonio Ros

Algebra Lineal y sus Aplicaciones 97Gilbcrt Strang

Ondas continuas y discretas 113Enrique Zuazua

Matemáticas en el Aula de Informática 145Roberto Rodríguez del Río

El reformismo educativo 211Mikel Bilbao

Las matemáticas en la enseñanza secundaria en España y enotros países de la Unión Europea 233Alicia Delibes

Educación Matemática: una oportunidad y una necesidad social 251Tomás Recio

Conclusiones 255

Direcciones 257

Temas i©tevantes cíe ta matemática aclud

Introducción

Este libro recoge los textos de las conferencias impartidas enel curso "'Temas relevantes de la Matemática actual: El reto dela Enseñaza Secundaria"celebrado en la Universidad InternacionalMenéndez Pelayo de Santander en septiembre de 1990.

Cuando diseñamos este curso, nuestro objetivo principal fue pro-porcionar a los Profesores de Matemáticas de Enseñanza Secundariala posibilidad de actualizar sus conocimientos y métodos a travésdel contacto con algunos de los temas de mayor actualidad en la in-vestigación matemática. Para ello recurrimos a científicos del másalto nivel preocupados y comprometidos con la enseñanza de lasMatemáticas.

Los temas elegidos fueron diversos. Gilbert Strang (MIT, USA)disertó sobre el Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Javier Duoandi-koetxea (UPV-EHU) habló sobre e! Análisis de Fourier, uno de losmotores más profundos del Análisis y de máxima actualidad porsus relevantes aplicaciones en tomografía y teoría de las señales.José Luis Fernández (UAM) describió las Matemáticas que en laactualidad se desarrollan de manera espectacular en relación con elmundo de las Finanzas, en las que la teoría de la Probabilidad jue-ga un papel esencial. Antonio Ros (Universidad de Granada) nosadentró en el mundo de la Geometría a través del estudio de los ori-genes y estado actual del problema isoperimétrico. De este modopretendimos cubrir los aspectos fundamentales de las Matemáticasen la Enseñanza Secundaria: Análisis, Algebra, Geometría y Pro-babilidad.

Además de estos cuatro ciclos de conferencias, se desarrollarondos sesiones de trabajo a cargo de María Victoria Pinillos (ÍES Isa-bel La Católica y UCM) y Roberto Rodríguez (TES Gabriel GarcíaMárquez y UCM) en el Aula de Informática, en las que se utiliza-ron algunos de los programas más útiles y de más fácil acceso enla enseñanza de las Matemáticas. Se mostraron asimismo algunasaplicaciones relacionadas con los temas antes mencionados.

El curso se complementó con cuatro conferencias relacionadas.En la primera de ellas, a cargo de Mikel Bilbao (UPV-EHU) se des-cribió la evolución de la enseñanza Matemática en el siglo XX. Enla segunda, a cargo de Alicia Delibes (CIDE y UCM) se presentó la

Temas releventes de lo matemática actual

situación de la misma en España y en los países de nuestro entorno.Santos González (Universidad de Oviedo) nos habló sobre la expe-riencia de su facultad de Ciencias con los nuevos planes de estudiode la Licenciatura de Matemáticas y las expectativas de trabajoque ésta está generando en los jóvenes licenciados. Enrique Zuazua(UCM) disertó sobre la ecuación de ondas desde un punto de vistahistórico. Se celebraron, además, dos mesas redondas en torno alos temas: "Las matemáticas como profesión"y "La enseñanza delas Matemáticas". En ellas participaron los profesores del curso,pero además contamos con la presencia de Concepción Fidalgo Be-nayas (ÍES Parque Aluche), Enrique Fernández Cara (Universidadde Sevilla y presidente de SEMA) y Tomás Recio (Universidad deCantabria).

En este libro recogemos las notas de los cursos y conferencias,así como un breve resumen de las mesas redondas y de las conclu-siones que entre todos los participantes se recogieron en torno alos problemas que plantea la enseñanza de las Matemáticas en laEducación Secundaria.

Es para nosotros una gran satisfacción ver que el esfuerzo quelos profesores realizaron preparando las notas que constituyeron elmaterial básico del curso, transciende aquella semana de septiembreen el que se desarrolló, plasmándose en un libro al que muchos otrosprofesionales de las Matemáticas, educadores, científicos o públicoen general podrán acceder.

A pesar de tratarse de un curso que sólo duró una semana, hansido muchos los que con su colaboración y esfuerzo lo han hechoposible. Por ello queremos aquí testimoniar nuestro agradecimientoa todos los profesores, conferenciantes y participantes en las mesasredondas. Sirva como ejemplo del entusiasmo de todos ellos, queGilbert Strang, Profesor del MIT y presidente de SIAM, para llegara Santander tuvo que esquivar uno de los huracanes que ese veranoazotaron la costa este de los Estados Unidos. A Alicia Delibes yRoberto Rodríguez hemos de agradecerles su generosa y siempreacertada ayuda y colaboración.

Cuando diseñamos este curso, lo hicimos convencidos de que setrataba de un enfoque adecuado y que contábamos con un exce-lente plantel de conferenciantes. Pero nos resultaba difícil calibrarla acogida que tendría entre los Profesores de Enseñanza Mediaa los que iba dirigido. Desde aquí queremos testimoniar nuestro

8

Te" - ••as de ia mcflemálica actjal

agradecimiento a los asistentes que, con su interés y participaciónactiva, hicieron posible que el curso cubriese con creces nuestrasexpectativas.

Agradecemos también a José Luís Alejos, director del ÍES Au-gusto González de Linares, y a su Departamento de Informática elque nos permitieran utilizar las aulas y equipos informáticos de suinstituto para desarrollar las sesiones prácticas de trabajo.

Por último, queremos expresar nuestro más sincero agradeci-miento a la Subdirección General de Formación de Profesorado delMEC y a las autoridades de la UIMP por habernos concedido laoportunidad de organizar este curso.

Todos las que colaboraron en la UIMP, el Palacio de la Magda-lena y el maravilloso entorno de la ciudad de Santander hicieron elresto.

Madrid, 14 de febrero del 2000.

María Victoria Pinillos LafFon (ÍES Isabel La Católica y UCM)y Enrique Zuazua Iriondo (UCM)

\sisttiites al curso

ittca actual

Análisis de Fourier: Historia yaplicaciones recientes

Javier DuoanflikoetxeaUniversidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitate;i

A principios del siglo XIX, Fourier planteó el problema de la representaciónde una función en serie trigonométrica. El articulo hace un recorrido históricopor el desarrollo de la teoría hasta nuestros días y describe algunas aplicacionesdel citado análisis en el mundo real.

1 IntroducciónEl punto de partida del Análisis de Fourier está en el problema dela representación de una función en serie trigonométrica planteadopor Fourirr a principios del siglo XIX. En los intentos de dar unarespuesta convhícenle a este problema, se elaboraron y precisaronconceptos matemáticos básicos (función, integral, convergencia, su-mabilidad) que tomaremos como motivo para hacer un recorridohistórico por el desarrollo de la teoría de las series de Fourier en elsiglo XIX.

En el siglo XX la teoría tomó nuevos rumbos, encontró formasmás generales y amplió el estudio a objetos distintos de los origina-les. Como consecuencia, tanto los conceptos como las técnicas handejado de pertenecer a la Matemática elemental y requieren entraren campos avanzados, fuera del alcance de estas notas. En su lugarhe preferido describir en la segunda parte algunas aplicaciones delAnálisis de Fourier a problemas del mundo real. Aunque no deja deser una pequeña muestra de las posibilidades de las Matemáticas,espero que también sirva para convencer al lector, acostumbrado ala Matemática abstracta y teórica, de que ésta dice y tiene muchoque decir en el mundo tecnológico en que vivimos. Muchas veces nonos damos cuenta de que detrás del trabajo del físico, del ingenie-ro o de cualquier científico, puede haber una importante presencia

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matemática que no debería quedar escondida. Por otra parte, sicomo ya indicara Fourier en el "discurso preliminar'de su libro de1822, el estudio de la Naturaleza es fuente fecunda de problemaspara los matemáticos, en las aplicaciones que mostramos quedaclaro cómo la Matemática, a la vez que aporta soluciones a situa-ciones prácticas, también se nutre de nuevos problemas que surgenen ellas.

2 Algunos conceptos del Análisis y surelación con las series de Fourier

Antoni Zygmund escribió en el prefacio de su famoso libro sobreseries trigonométricas (1958):

Esta teoría ha sido una fuente de nuevas ideas para losanalistas durante los dos últimos siglos y probablemen-te lo será en los próximos años. Muchas nociones yresultados básicos de la teoría de funciones han sidoobtenidos por los matemáticos trabajando sobre seriestrigonométricas. Es concebible pensar que estos des-cubrimientos podían haber sido realizados en contextosdiferentes, pero de hecho nacieron en conexión con lateoría de las series trigonométricas. No fue accidentalque la noción de función aceptada ahora generalmen-te fuera formulada en la celebrada memoria de Dirich-let (1837) que trata de la convergencia de la serie deFourier, o que la definición de integral de Riemann ensu forma general apareciese en el IlabUitatiojwschrift deRiemann sobre series trigonométricas, o que la teoríade conjuntos, uno de tos desarrollos más importantes delas matemáticas del siglo XIX, fuera creada por Cantoren su intento de resolver el problema de los conjuntosde unicidad para series trigonométricas. En épocas másrecientes, la integral de Lebesgue se desarrolló en estre-cha conexión con la teoría de series de Fourier y la teoríade funciones generalizadas (distribuciones) cou la de lasintegrales de Fourier.

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Cuenta en un artículo posterior que un importante matemáticole acusó de imperialismo por haber escrito estas palabras, ante es-to se limitó a comentar que todos tenemos "un cierto sentido deposesión".

Sin entrar en discusiones sobre los derechos de las distintas áreasde las Matemáticas en el desarrollo de los mencionados conceptos,el objeto de esta primera parte es e] de presentar la evolución de lostrabajos sobre series trigonométricas en el siglo XIX y su aportacióna los conceptos clásicos del Análisis.

2.1 Las series de FourierUn biógrafo dice que Fourier fue sucesivamente 'profesor, policíasecreto, prisionero político, gobernador de Egipto, prefecto de Isén;y de Rhóne, amigo de Napoleón y secretario de la Academia deCiencias", lo que no es mal resumen para una sola vida. Nacido enAuxerre (Francia) en 1768, era profesor de la Ecole Polytechniquecuando fue reclinado en 1798 para formar parte de la expediciónde Napoleón a Kgipto. A su vuelta fue nombrado prefecto de Isérey fue en su puesto de Gronoble donde volvió a sus investigacionessobre el problema de la propagación del calor en los sólidos. SuMémoire de la pivpagation de la chaleur, presentada en el Instituíde France, en 1807 fue aceptada con críticas y el Instituto convocósu premio anual para 1811 sobre este tema. Fourier presentó unanueva memoria que ganó el premio aunque se seguía considerandodeficiente en ''genera! i dad y rigor''. Ninguna de las dos memoriasfue publicada en su momento. Sin embargo, en 1822, el mismo añoen que fue nombrado Secretario perpetuo de la Academia de Cien-cias, publicó su obra definitiva, un libro que se ha convertido enun clasico y que tituló Théorie analytique de la chulear. Sommer-Feld calificó a este libro como "la Biblia de ¡a Física matemática".Fourier murió en 1830.

Su estudio de la ecuación de] calor le condujo a escribir lasolución en forma de una serie (de funciones) cuyos coeficientesnuméricos venían dados por los que correspondían a la representa-ción de una función (dato inicial) en serie trigonométrica. Concre-tamente, necesitaba poder escribir una función periódica de periodo2TT en la forma

(1) /(í) - ?ce

k=l

Un primera cuestión que se nos presenta es: ¿qué valores debentener las sucesiones de coeficientes {ak} y {h}'- Fourier respondióa esta pregunta y dedujo que dada / debemos elegir

(2) ak= - f f(t)cosktdt. bk = - [* }{t)smktdt.

Una vez conocidos éstos, aparecen nuevas preguntas: ¿cuándoconverge la serie?; si converge, ¿lo hace a / o a otra función?, etc.

Para algunas funciones particulares, Fourier calculó precisamen-te los coeficientes y estudió la convergencia. En general, se atrevióa asegurar que la representación (1) era válida para "toda"funciónperiódica.

Durante mucho tiempo, el único tipo de convergencia conside-rado fue el que hoy llamamos convergencia puntual; la convergenciauniforme no se comprendió bien hasta el último tercio del siglo XIXy otros tipos de convergencia surgieron a principios del siglo XX.Para cada t se construye la sucesión

s-v(í) = ir +2c o s kt + bk sin kt)

k=i

(que llamamos suma parcial N-ésima) y se estudia su límitecuando N tiende a infinito.

Las fórmulas (2) para los coeficientes se suelen obtener fácilmentemultiplicando los dos miembros de (1) por 1 (para ao), por CÜS¿Í

(para a*) y por sin kt (para b^) e integrando en {—7r,ir). Si acep-tarnos que la integral y el sumatorio se pueden intercambiar, loscoeficientes salen aplicando las fórmulas

(3)cos nt cos kt dt =

íJ-ir

inísin/c/í/í =0, si n ̂ k.JT, si n = ¿;

cos nt sin ¿í Í/Í = ü para todos n y k.

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Este método aparece en el libro de Fourier. aunque después deotro procedimiento muy curioso en el que determina los coeficientesa través del desarrollo de / en serie de Taylor.

Si bien la representación de una función en serie trigonométricase había considerado antes de Fourier, como veremos en la secciónsiguiente, nadie antes que él puso de manifiesto la correspondenciaentre funciones y coeficientes

que leída en un sentido es un análisis (de / en sus componentes) yen el otro, es una síntesis (de / a partir de sus componentes).

La descomposición de / en sus componentes, su recuperación apartir de ellas, el que las relaciones (3) se llamen de oitogonalidad,nos recordará inmediatamente la geometría euclídea. Entrar en estaconexión, que nos llevaría a los primeros años del siglo XX. quedafuera del propósito de este texto pero es otra de las relaciones de lasseries de Fourier con conceptos fundamentales del Análisis (basesortonormales en espacios de Hilbert).

2.2 Los precursores y el concepto de función

No fue Fourier ol primero en plantearse la representación (1). Yaa mediados del siglo XVIII, la solución que Daniel Bernoulli dio alproblema de la cuerda vibrante incluía una representación semejan-te. Pero, en este caso, la solución de Bernoulli "competía"con unapropuesta de solución completamente distinta, debida a d'Alembert,en forma de suma de- una onda que avanza y otra que retrocede,que se determinan según Euler a partir de la posición y velocidadiniciales de la cuerda. Los tres personajes mencionados y, más tar-de Laplace, intervinieron en una larga discusión sobre cuál de laspropuestas era la más general posible. Ninguno de los demás seinclinaba a aceptar la propuesta de Bernoulli como suficientementeamplia y sólo los trabajos sobre las series de Fourier aclararon lasituación con el tiempo.

El elemento que distorsionaba fuertemente la discusión era lanoción de función. ¿Qué es una función? En aquel momento losmatemáticos estaban dispuestos a aceptar dos tipos de funciones,las que venían dadas por una fórmula y las que se trazaban arbi-trariamente dibujando su gráfica. En cualquier caso, se entendía

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(1) como una igualdad entre fórmulas y se veía en su lado dere-cho una "rigidez"que no podía ser equivalente a la generalidad dellado izquierdo. Hoy no tenemos problemas en aceptar que unafunción puede venir dada por una fórmula en un intervalo y exten-dida periódicamente fuera de él sin que allí la misma fórmula seaválida, pero hace doscientos años era complicado desligar una fun-ción de su fórmula y eso presentaba problemas de interpretación dela igualdad (1). Bernoulli, que había llegado a sus conclusiones porrazonamientos físicos, defendía su generalidad sin dar argumentosconvincentes.

La idea abstracta de función como correspondencia tardó to-davía un tiempo en aparecer. Este terna nos propone una primeraidea para meditar: los estudiantes parecen tener tendencia a que-darse con ]a noción de función del siglo XVIII y encuentran difi-cultades en entender el concepto general, ¿"justifica"el desarrollohistórico de la noción esta actitud?

No fueron estos trabajos y discusiones previas el punto de par-tida de Fourier. El llegó más lejos y, además, partiendo de unaecuación menos "natural"para ello. Al menos parece que la idea deBernoulli de superposición de ondas elementales está más ligada alas vibraciones que a la difusión del calor. Y es que Fourier no llegóa su representación a través de la intuición física sino a través delo que hoy llamamos método de separación de variables para resol-ver ecuaciones en derivadas parciales, método que también hay quecolocar en su haber.

2.3 Cauchy y la integral

Las fórmulas de los coeficientes contienen integrales. /.Qué es laintegral? Para Fourier la integral es e! área encerrada por unacurva en un intervalo y, por tanto, no hay dudas sobre la existenciade los coeficientes. Sin embargo, si la función es muy irregular laidea misma de área queda en entredicho. Pero este inconveniente,que estaría ligado a un concepto amplio de función, no afectaba alos ejemplos que Fourier manejó.

Los trabajos de Fourier fueron simultáneos con el intento de(r)establecer el rigor en Matemáticas de B. Bolzano (1781-1848) yA. L. Cauchy (1789-1857). Este último publicó en 1821 su Coursd'Analyse (de l'Bcole Polytechnique) en cuya introducción se puede

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leer:

En cuanto a los métodos, he tratado de darles todo elrigor que se exige en geometría, de manera que no hayaque recurrir nunca a razonamientos sacados de la gene-ralidad del álgebra. Los razonamientos de este tipo,aunque admitidos comúnmente, sobre todo en el pasode las series convergentes a las series divergentes y delas cantidades reales a las expresiones imaginarias, meparece que no pueden ser considerados más que comoinducciones apropiadas para hacer presentir a veces laverdad, pero que son poco acordes con la exactitud tanproclamada de las ciencias matemáticas.

Pretende que todos los conceptos estén definidos y que los razo-namientos se basen en ellos, no en manipulaciones. Por primera vezencontramos en Cauchy la definición de la integraJ de una función(no en rae libro sino en su Resume des legons de 1823). La dio parauna función continua en un intervalo y es

lim (xi - xQ)f{x0) + (xn- i n -

donde los puntos xtí, xi,..., xn forman una partición del inter-valo y e! límite se toma haciendo que la longitud de los intervalos dela partición tienda a cero. Para ser consistente con sus propósitos,Caucíiy tuvo que proliar que el límite existe para funciones conti-nuas. Su prueba no fue de! todo correcta, ya que utilizaba sin justifi-cación el concepto do continuidad uniforme que fue desarrollándoseprecisamente a la vista de estas dificultades, aunque hizo falta tiem-po para que los matemáticos lo comprendiesen y se familiarizasencon él. Una vez definida la integral pudo deducir el teorema fun-damental del Cálculo y probar que derivando la integral resulta lafunción original.

Quizá alguien se sorprenda de ver atribuida a Cauchy la defi-nición de integral que parece ser la que habitualtuentc llamamosde Riemaim. Volveremos un poco más adelante sobre el tema alhablar de éste.

2.4 Dirichlet y la convergenciaP. Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue enviado por su padre a Parísen 1822 para estudiar Matemáticas en el lugar más adecuado delmomento según su opinión. Allí se encontró con las series de Fouriercomo tema de moda por un lado y con los métodos rigurosos deCauchy, por otro. Fue capaz de combinarlos para producir el primerteorema de convergencia para series de Fourier: si la función f esacotada, continua a trozos y tiene un número finito de máximos ymínimos, la serie de Fouñer de f converge a f(x) en los puntos decontmuidady a ( / (x+)+/( i—))/2 en los de discontinuidad(f (x+)y f{x—) son los límites laterales).

\\

< I "1 1

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Figura 1: Función Salto. Suma Parcial de Fourier de orden 10

Figura 2: Función Salto. Suma Parcial de Fourier de orden 20

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\ .

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Figura 3: Función Valor Absoluto. Suma Parcial de Fourier deorden 10

Merece la pona resaltar algunos aspectos del trabajo de Dirich-let. En primer lugar, limita su propósito a una clase de funcionesy no pretende probar un resultado para "todas" las funciones. Paraser riguroso necesita trabajar con funciones para las que tiene unadefinición de integral y para funciones acotadas continuas a trozos,la definición de Cauchy es suficiente. También dispone de una de-finición de límite en el libro de Cauchy. Escribe una representaciónintegral de la suma parcial que seguimos usando hoy (introducien-do lo que llamamos el núcleo de Dirirhlel) y la descompone ni dospartes aplicando un razonamiento distinto a cada una de ellas (untour de forcé en su tiempo en palabras de Kahane, aunque paranosotros boy sea habitual este tipo de argumento). A partir de estemomento se sabe quo ciertas (muchas) funciones tienen series deFourier convergentes y corresponde a otros ampliar la clase.

Dirichlet discute al final de su trabajo la posibilidad de unnúmero infinito de discontinuidades o de extremos y encuentra ladificultad de la integral. Da una condición que considera necesariae incluye el comentario siguiente:

Tenemos un ejemplo de una función que no cumple estacondición [de integrabilidad] si suponemos <p(x) igual auna constante determinada c cuando la variable x tieneun valor racional e igual a otra constante (/ cuando estavariable es irracional. La función así definida tiene va-lores finitos y determinados para todo valor de x y, sinembargo, no se puede sustituir en la serie [de Fourier].

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1 n matemática aciud

puesto que las diferentes integrales que entran en estaserie perderían todo su sentido en este caso.

Se considera que Dirichiet poseía una noción moderna de fun-ción como correspondencia, independiente de una representaciónanalítica o geométrica. Muestra, ademas, los inconvenientes paraextender la definición de integral de Cauchy proponiendo nuestroejemplo habitual de función no integrable (en el sentido de Rie-inann). Y queda claro que para tal función hablar de área bajo unacurva tampoco tiene sentido por el momento. Poner de manifiestolas dificultades es un primer paso para avanzar.

2.5 Riemann, su integral y las seriestrigonométricas

La producción matemática de G. B. Riemann (1826-1866), aunquepoco abundante, es de una asombrosa calidad y cubre campos varia-dos de la Matemática en los que abrió nuevos caminos. Su relacióncon el problema que nos ocupa la heredó de Dirichiet y constituyesu memoria de habilitación de 1852 que llevaba como título Sobreel desarrollo de, una junción en serie trigonométrica. Tras hacer unrepaso histórico del problema, empieza atacando el problema de ladefinición de la integral, para lo que necesita extender la noción deCauchy. Parece necesitar una "disculpa" por este deseo de integrarmás funciones y lo expresa así:

Cualquiera que sea nuestra ignorancia respecto a la ma-nera según la cual las fuerzas y los estados de la mate-ria varían con el tiempo y el lugar en lo infinitamentepequeño, podemos tener por seguro que las funcionesa las que no son aplicables los resultados de Dirichietno intervienen en los fenómenos naturales. Sin embar-go, parece que estos casos no tratados por Dirichiet sondignos de atención por dos razones.

Primeramente, como señala el mismo Dirichiet al finalde su trabajo, este tema está muy estrechamente rela-cionado con los principios del Cálculo infinitesimal, ypuede servir para aportar mayor claridad y seguridad a

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Temos relevantes Oe tí rrxjtemóHco tXft*S

estos principios. Desde este punto de vista, su estudiotiene un interés inmediato.

En segundo lugar, la aparición de las series de Fourierno se limita a las investigaciones físicas, hoy día sonaplicadas también con éxito en un dominio de las ma-temáticas puras, la teoría de los números, y parece queaquí son precisamente las funciones cuyo desarrollo enserie trigonométrica no ha sido estudiado por Diricbletlas que son importantes.

¿Cuál es la diferencia entre la definición de integral de Cauchyy la de Riemann? Planteada así la pregunta, la respuesta es queprácticamente ninguna. Porque lo que Riemann hace es proclamarcomo integrable a toda función para la que el límite propuesto porCaucíiy existe y estudiar laclase de funciones resultante (las que hoyllamamos integrables Rítmann). Consigue dar dos caracterizacionesbasadas en la oscilación de la función y puede construir funcionesintegrables con un conjunto denso de discontinuidades, lo que no esfácilmente intuible. Podríamos decir que si bien Cauchy definió laintegral, Riemann definió la clase de funciones integrables, lo quesupone un mayor nivel de abstracción. Otra cuestión para meditar:¿no sería conveniente en algún tipo de cursos y posiblemente entoda la enseñanza secundaria limitarse a explicar la definición deCauchy de integral de funciones continuas a trozos, que son las querealmente vamos a manejar, y no entrar en la definición de la clasede funciones integrables"'

En cuanto al problema de la representación de una función enserie trigonométrica. Riemann plantea una pregunta al revés: ¿quépropiedades tienen las sumas de las series trigonométricas? Porquesólo las funciones que las cumplan pueden ser representadas. Unavez más, Riemann propone el estudio de una clase de funcionesque satisfacen una determinada propiedad. Tuvo la brillante ideade integrar dos veces la serie formalmente, lo que la hace unifor-memente convergente (y da como suma una función continua) yaplicó después una especie de derivada segunda generalizada. Unaexplicación en un contexto moderno nos situaría en la teoría dedistribuciones. Por otra parte, uno de sus resultados de conver-gencia es en realidad un resultado de sumabílidad, cuestión que sedesarrolló para series divergentes al final de! siglo.

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Ter jilcaoo'ud

No entraremos en detalles de los resultados anteriores y men-cionaremos simplemente dos propiedades importantes de las seriesde Fourier que Riemann descubrió: (i) los coeficientes de Fourierde una función integrable (dados por (2)) tienden a cero; (ii) elcomportamiento de la serie de Fourier en un punto sólo depende delos valores de la función en un entorno del punto {principio de loca-lización). Esta última propiedad, que puede sorprender a primeravista, merece una reflexión: si cambiamos arbitrariamente los va-lores de la función fuera de un intervalo, los coeficientes de Fourierquedan alterados y, sin embargo, lo que Riemann probó es que elcomportamiento de la serie de Fourier para valores de la variable enel intervalo no cambia (sigue siendo convergente y hacia el mismolímite donde ya lo era y diverge donde antes divergía).

2.6 Cantor y la unicidad

Georg Cantor (1845-1918) siguió con el estudio de las series trigo-nométricas iniciado por Riemann y probó que si dos series trigo-nométricas tienen el mismo límite en todo punto, sus coeficientestienen que ser iguales.

Cuando la información sobre la convergencia no es en todo pun-to aparece el problema de la unicidad: si dos series trigonométricasconvergen al mismo límite fuera de un subconjunto de (—ir, n),¿están obligadas a tener el mismo límite dentro de él y, en con-secuencia, los mismos coeficientes? La respuesta, obviamente, de-pende del conjunto y llamamos conjuntos de unicidad a aquéllospara los que la respuesta es positiva. Haciendo la diferencia de lasdos series, la pregunta se puede plantear del modo siguiente: dadoun conjunto E C (—TT.ÍT), estudiar si siempre que una serie trigo-nométrica converge a cero en (—TT, TT) \ E, también converge a ceroenE.

Cantor probó que los conjuntos de un solo punto son de uni-cidad (y, por tanto, los finitos) y después extendió el estudio aconjuntos infinitos. Pudo probar el resultarlo para los que tienenun único punto de acumulación (noción que definió él mismo) eli-minando primero los puntos aislados para llegar a quedarse con unconjunto de un punto. Aplicando sucesivamente el proceso llegó ademostrarlo para conjuntos para los que al eliminar puntos aisla-dos sucesivamente acaban siendo vacíos. Este proceso le condujo a

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