9.- minas elasticidad 2015-2

8/17/2019 9.- Minas Elasticidad 2015-2

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Prof. : Fis. Luis Vilcapoma Lá[email protected]

Universidad Nacional ayor de San arcos

Universidad del Perú, Decana de América

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera, Metalúrgica y Geográfica

Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Minas

Curso de Física 1

Elasticidad


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Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas Fis. Luis P. Vilcapoma Lázaro2015 - 2

Introducción

Cuando los cuerpos son sometidos a fuerzas,este se desplaza de un punto a otro.

F

µ = 0

ma

MgN


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Introducción

En otros casos pueden quedar en estado dereposo si es que la suma de fuerzas sobre ellaes cero.

F1

µ = 0

M

F220º

MgN


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Introducción

Sin embargo, estos cuerpos acelerados o enestado de reposo sufren deformaciones ya seade alargamiento, o de acortamiento cuando

sobre ella actúan fuerzas colineales, y si lasfuerzas son no colineal, la deformación es decorte.

Estos casos estudiaremos en

este capitulo.


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El sólido

Es un cuerpo que esta formado por átomos yforman estructuras cristalinas cuya formapermanece invariante en el tiempo.

Hexagonal compacta

Cúbica compacta

Cúbica centrada en el cuerpo


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El sólido

Todos los cuerpos sólidos se pueden clasificar de acuerdo a sus propiedades elásticas, y esque los sólidos se deforman de distintas

maneras cuando son sometidos a esfuerzosexternos. Si el esfuerzo aplicado sobre ellos seretira, estos sólidos pueden volver a su formaoriginal o cambiar su forma original.


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Elasticidad

El objetivo de la elasticidad es estudiar ladeformación de los materiales sólidos talescomo la madera, acero, hormigón, etc. por la

acción de fuerzas aplicadas sobre ella.


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Esfuerzo

Es la fuerza aplicada a un cuerpo por unidad deárea, este esfuerzo es capaz de provocar deformación en el material.

A

F

área

fuerza

Esfuerzo


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Deformación unitaria

Es una razón de cambio de la longitud de unmaterial ( ΔL = L – L0), a esto se divide lalongitud inicial del material (L0). Aquí no se

toma en cuenta el signo.

0

0

original longitud

longitud de cambio

ndeformació L

L L


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Régimen elástico y plástico yun sólido

Deformación unitaria ΔL/L0

E s f u e r

z o

F / A

( N / m

2 )

Zona elástica no lineal

límite elástica

Zona plástica

Zona deruptura


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Módulo de elasticidad

La deformación unitaria de un cuerpo debido aun esfuerzo de tracción, compresión o torsiónes directamente proporcional al esfuerzoaplicado, y siempre que no se sobrepase ellímite elástico.

A F

L L 0


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Tipos de esfuerzo

AF

F

ΔL

L0

Tracción

AF

F

ΔL

L0

Compresión

FΔL

F

L0

A

Corte


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Módulo de Young (Y)

Este módulo se determina entre el cociente delesfuerzo con la deformación unitaria lineal, estoes:

unitariandeformació

EsfuerzoYoung de Módulo

A FF

ΔL

L0


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Módulo de Young (Y)

0 L

L

A

F

Y

A la constante Y, se le denomina módulo deYoung. Si queremos determinar la deformación,

la relación que se usa es:

YA

FL L 0


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Ejemplo 1

Se cuelga una viga de 2500 kg de dos cablesde la misma sección, uno de aluminio y otro deacero. Al suspenderla, ambos cables se estiran

lo mismo. Calcular la tensión que soporta cadauno.

Módulos de Young: acero = 20x1010 N/m2,

aluminio=7x1010

N/m2


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Deformación por peso propio

Una barra de masa M, longitud inicial L0, áreatransversal A y módulo de Young Y, como se muestra enla figura, se deforma por su propio peso. Estadeformación se puede determinar usando la relación:

L0

YA

Fdy Ld )(


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0,35m

0,1m

0,1m

Ejemplo 2

La figura representa a un pan de molde de 1 kg demasa, entero (sin cortar) de base cuadrada puesto enposición vertical. Haciendo uso de los diferenciales,halle:

• El módulo de Young del pan si se deforma3 mm por efecto de su propio peso.

• La fuerza que se debe aplicar en la cara

superior para que la deformación verticaltotal sea de 6 mm.

D f ió


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Deformación en cuerposacelerados

Un bloque de masa M, longitud inicial L0, áreatransversal A y módulo de Young Y, está apoyadasobre una superficie horizontal lisa como semuestra en la figura. Sobre el bloque actúa una

fuerza horizontal, la aceleración hace que estebloque se deforme Esta deformación se puededeterminar usando la relación:

Liso

F

L0

YA

Fdy Ld )(


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Ejemplo 3

La figura muestra a un bloque con W de peso, ymódulo de Young Y. Si el bloque es desplazadomediante un par de fuerza de 3W y Wrespectivamente, halle mediante diferenciales ladeformación lineal en la dirección del desplazamiento.


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Ejemplo 4

La figura muestra a un bloque de masa M, y módulode Young Y. Si el bloque es desplazado mediante unafuerza hacia arriba mediante una fuerza F, determinela deformación longitudinal del bloque.

L0

F


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Coeficiente de Poisson

Cuando a un bloque se somete a una tracción,no solo se alarga en la dirección de la fuerzaaplicada, sino que sus dimensiones

transversales disminuyen

FF

L

L0


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Por el contrario si al bloque se somete a unacompresión, las dimensiones transversalesaumentan.

FF

LL0


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La razón de la deformación unitaria transversala la deformación unitaria lineal se denominacoeficiente de Poisson (σ)

FF

LL0

h0

h

0 L L h

h


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Constantes de PoissonMaterial Y (Pa.)

Aluminio 0,34

Acero 0,28

Cobre 0,35

Oro 0,41

Hierro,fundido

0,28

Plomo 0,33Nickel 0,30

Platino 0,38

Plata 0,37

El orden de magnitud

de la mayor parte delos metales esaproximadamente 0,3


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x

y

z

Fy Fy

Fz

Fz

Fx

Fx a0

b0

c0

Cuando se aplican pares de fuerzas a las caras deun paralelepípedo recto rectangular de volumeninicial V0=a0b0c0, se origina una disminución de suvolumen por que las dimensiones de cada una de

los lados disminuye en ΔV

))()(( 0000

ccbbaaV

V

0000 c

c

b

b

a

a

V

V


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Asumiendo que la magnitud de todas las fuerzas son iguales yque los lados de la figura también tiene la misma longitud

)12()12()12(0000000

bYa

F

cYa

F

cYb

F

V

V z y x

)21(3)12(

3

0

Y B

YA

F

V

V


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Al paralelepípedo de la figura se aplica dospares de fuerza en las direcciones indicadas.Determine la deformación volumétrica unitaria

si las constantes de Young y Poisson es Y, σ.

x

y

z

F F

2F

a

5a

a

2F

Ejemplo 5


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Ejemplo 6

A un paralelepípedo de constante de Young Y,constante de Poisson σ, se aplica dos pares defuerzas como se muestra en al figura.

Determine:

F

z

x

y

F

2a

F

F

2a

a

a) La fuerza que se debe aplicaren el eje y para que la

deformación en este eje seacero.

b) La deformación volumétrica

unitaria final.


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Módulo de corte (Mc)

Se determina dividiendo el esfuerzo tangencialentre la deformación de corte ( ΔL/L0), esto es:

cortedendeformació

al tangenciEsfuerzocorte de Módulo

FΔL

F

L0

A


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A

F

L

L A

F M c

0

Módulo de corte (Mc)

A la constante Mc, se le denomina módulo decorte o cizalladura. Los valores de este módulo

de corte son menores que el módulo de Young.


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Módulo de compresibilidad (B)

Es aquella que relaciona el aumento de lapresión hidrostática con la disminucióncorrespondiente de volumen.

F

F

A

AA

F

F

FF

F

F

F

F

FF

V V P

LV A F B

0


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Constantes elásticasMaterial Y (Pa.) Mc (Pa.) B (Pa.)

Aluminio 7,0x1010 2,5x1010 7,0x1010

Hueso (Ext.Comp.) 9,3x109

Latón 9,0x1010 3,5x1010 7,5x1010

Cobre 11x1010 3,8x1010 12x1010

Vidrio 5,7x1010 2,4x1010 4,0x1010

Hierro 15x1010 6,0x1010 12x1010

Nylon 5,0x108 8,0x108

Acero 20x1010 8,2x1010 15x1010

Mercurio 26x109

Agua 2,2x109


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Ley de R. Hooke

ΔL

Una barra en posición vertical como se muestra en lafigura, es sometida a la fuerza del peso de un bloque,

esta fuerza produce una deformación en la barra cuya

magnitud se determina

YA

FL L 0

L0


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Ley de R. Hooke

Dando forma esta relación se obtiene

L L

YA F

0

Sustituyendo YA/L0 por la constante k y ΔLpor x

kx F

Aquí se puede notar que el alargamiento de labarra depende de la fuerza aplicada.

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