7m geometria de masas
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MECANICA Y MECANISMOS AÑO 2012
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TPN°7 Momentos de inercia
Ejercicio 7.1.54
Aplicando el teorema de Guldin, determinar el peso de una polea para poleas en V de sección 4d
diámetro=650mm.espesor
Mediante la fórmula de Guldin
Espesor
Calculamos las áreas de todos los elementos:
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Calculamos la coordenada ∑
Calculamos el volumen
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Ejercicio 7.2.55
Dado un cubo de 10Ncm de arista, con hueco esférico en su interior, cuyo radio es de 5Ncm, hecho de
material homogéneo
determinado
1. Ecuación del elipsoide central de inercia
2. Ejes principales de inercia correspondientes a un vértice
3. Ecuación del elipsoide de inercia correspondiente al mismo punto.
4. ecuación del mismo elipsoide pero referido a los ejes que coincidan con las aristas del cubo
5. representar las intersecciones del elipsoide con los planos coordenados del segundo punto.
N: número de letras de nombre
A: número de letras de apellido
E: número de la edad
Datos:
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Resolución
1. Ecuación del elipsoide central de inercia
La ecuación para determinar el elipsoide central de inercia
Que sería el elipsoide de inercia referido a los ejes Baricéntricos
Los momentos de inercia del cubo
volumen del cubo
Los momentos de inercia una esfera
volumen de la esfera
como se trata de una superficie hueca restamos los momentos de inercia de la esfera al cubo
ahora obtenemos una relacion entre las masas si suponemos que estan echos del mismo material
luego sus densidades especificas seran iguales
( )
Calculamos la masa del cubo.
Remplazamos en la ecuacion
(
)
=
(
)(
)
como en la ecuacion del elipsoide central de inercia
[ ]
la ecuacion nos representara una esfera con radio
√
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2. Ejes principales de inercia correspondientes a un vértice
Construimos un plano de simetría ABCD, que pasa por el centro Baricéntrico,
según las propiedades de simetría, si trazamos un eje que sea perpendicular a
un plano de simetría obtengo un eje principal de inercia sobre ese punto.
Entonces si trazamos un eje que sea perpendicular al plano ABCD y que pase por el
vértice A, ese eje sería un eje principal de inercia correspondiente al vértice A.
De la misma manera trazamos un eje que sea perpendicular al plano AECF y que
pase por el vértice A, ese eje sería un eje principal de inercia correspondiente al
vértice A.
La intersección de los planos simétricos ABCD y AECF, nos da un
eje AC que es un eje principal de inercia correspondiente al
vértice A.
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3. Ecuación del elipsoide de inercia correspondiente al mismo punto.
Vamos a determinar la ecuación del elipsoide de inercia respecto al punto A.
Sabemos que la elipsoide central de inercia nos da una esfera, esto nos dice
que cualquier eje que pase por el baricentro G. Su momento de inercia será
igual a , como el eje principal AC pasa por G, su momento
de inercia será igual
Para hallar el momento de inercia en el eje principal w, trazamos una paralela
que contenga al Punto G Baricéntrico. Para poder determinarlo por el
teorema de los ejes paralelos
Calculo de la masa total:
(
)
(
)
Calculo de la distancia (mitad de la diagonal) :
√
√
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Para hallar el momento de inercia en el eje principal u, trazamos una paralela que
contenga al Punto G Baricéntrico. Para poder determinarlo por el teorema de los
ejes paralelos
Este término es igual a por simetría.
La ecuación del elipsoide de inercia correspondiente
4. ecuación del mismo elipsoide pero referido a los ejes que coincidan con las aristas del cubo
La ecuación del elipsoide para estos ejes que no son
principales de inercia nos van a dar de la forma
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Calculo de momentos de inercia
Para hallar el momento de inercia respecto al eje YA trazamos una recta paralela que pase por el baricentro G.
para poder utilizar Steiner
La distancia va será la mitad del cuadrado √
Si trazamos rectas paralelas que pasen por G a los ejes , tendrán los
mismos valores que .
Calculo de los productos de inercia y
Ahora para hallar el producto de inercia este tendrá los mismos valores que
y
Aplicamos Steiner para producto inercia, donde ( por simetría)
La ecuación nos queda.
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5. representar las intersecciones del elipsoide con los planos coordenados del segundo punto.
Para el plano u y w tenemos
√
Para el plano u y v tenemos
Para el plano v y w
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Ejercicio 7.3.56
Determinar el centro de gravedad del siguiente solido de acero, ejes principales y elipsoide de inercia.
(Cilindro con una superficie hueca en forma semiesférica en la parte inferior y en la parte superior tiene
montado otra semiesfera)
Resolución: Determinamos el centro de gravedad del cuerpo, como tenemos dos planos de simetría que su
intersección está en el eje Y, deducimos que en ese eje se encuentra el centro de gravedad por lo tanto en los
ejes X y Z las coordenadas del punto G valdrán 0.
∑
∑
∑
Tendremos que hallar las masas m1 m2 m3, para eso hay que determinar el volumen.
∑
(
) (
) (
)
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Determinamos los ejes principales.
Si trazamos un plano de simetría por el plano ZY, y tomamos un eje que sea perpendicular a dicho plano
y que pase por G, tendremos el eje principal XG
Si trazamos un plano de simetría por el plano XY, y tomamos un eje que sea perpendicular a dicho plano
y que pase por G, tendremos el eje principal ZG
La intersección de los dos planos de simetría nos da el eje principal de inercia YG.
Determinar el elipsoide central de inercia.
Determinamos donde sabemos
Aplicamos Steiner en los tres casos para hallar
( ( )
) (
) (
( ) )
(
(
)
)
[
]
(
( (
))
)
Determinamos donde sabemos
Como los momentos de inercia de las dos semiesferas se anulan con respecto al eje y solo nos queda
Determinamos donde sabemos
Y nos fijamos que este momento de inercia sería igual a
La ecuación nos quedaría
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Ejercicio 7.4.57
Determinar el momento de inercia de un volante, conocidos siguientes pesos ,
se dan las dimensiones de la figura y considerar los brazos como varillas delgadas.
Vamos a sacar el momento de inercia respecto del eje X.
1 y 3 son cilindros huecos
(
)
[
]
(
)
[
]
Para el momento de inercia de las barras delgadas lo hacemos
por Steiner
(
)
(
)
(
)
Como tenemos 4 varillas delgadas el momento total respecto al eje x del volante seria.
( )
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Ejercicio 7.5.58
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Ejercicio 7.6.59
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Ejercicio 7.7.60
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Ejercicio 7.8.61 El esquema de la figura representa una transmisión mecánica correspondiente a un tambor arrolla cable accionado por un motor eléctrico. Determinar 1- descripción funcional 2- velocidad de giro de cada uno de los ejes 3- momento torsor y potencia en cada uno de los ejes. 4- momento de inercia sobre cada uno de los ejes y momento de inercia equivalente respecto al eje motor
Resolución 1- descripción funcional: Un motor eléctrico acciona una caja reductora a través de un acople que tiene por función corregir errores de desalinamiento y montaje. El reductor tiene por función trasmitir una potencia al tambor arrolla cable con un momento torsor elevado acosta de perder rpm. El tambor arrolla cable actúa como un malacate en la elevación de la carga. 2- velocidad de giro de cada uno de los ejes
Igualdad entre las fuerzas tangenciales
Igualdad entre las velocidades tangenciales
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Relación del conductor (1) y el conducido (2)
Conducido respecto a
Conducido respecto a
3- momento torsor y potencia en cada uno de los ejes.
[ ]
[
]
Conducido respecto a
Conducido respecto a
Afectando el rendimiento
Potencia
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4- momento de inercia sobre cada uno de los ejes y momento de inercia equivalente respecto al eje motor Para calcular el GD2 de los elementos, se determina
donde para el caso de los engranajes k= 0.6 y para el caso de tambores k=0.7. Calculo de GD2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Despreciando los momentos de inercia de los ejes. Calculo de momento de inercia sobre cada uno de los ejes
Calculo del Momento de inercia total
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
Sabiendo
(
) (
) (
) (
) (
)
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Ejercicio 7.9.62 Calcular el tiempo aproximado de arranque de un ventilador centrífugo acoplado directamente a un motor eléctrico trifásico jaula de ardilla, arranque directo. Potencia 20CV n=965rpm. El ventilador esta acoplado por
un acoplamiento semielastico modelo 14-1, el momento de inercia del ventilador es , para un motor marca Corradi MTA -180L/G El momento acelerador : es necesario para sacarlo de la posición de equilibrio y llevarlo al número de vueltas de régimen.
El momento acelerador solo existe cuando tenemos aceleración angular es decir cuando el motor entre en velocidad constante de régimen no va haber momento acelerador. Solo habrá momento de régimen constante.
∫ ∫
Este es el tiempo de arranque del motor, hay que tratar de que el tiempo sea mínimo.
Tenemos como dato
Tenemos como dato (tabla )
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Para poder determinar la curva característica de un motor, el fabricante me lo da por catalogo Podemos hacer un calculado aproximado, para calcular el momento acelerador. La forma seria: calcular la curva y trabajando con los puntos característicos, uniendo los puntos de forma aproximada a la curva característica real. Para calcular los puntos característicos en el eje vertical Momento arranque 1.9 M régimen Momento fondo 1.6 M régimen Momento máximo 2.25 M régimen
Momento régimen =
*
+ [ ]
Para calcular los puntos característicos en el eje horizontal
Lo que se hace es tomar 1/3 de número de vueltas del régimen para el punto M fondo. Y tomar 2/3 de número de vueltas de régimen para el punto M máximo. Que para el caso de este motor el número de vueltas de régimen es 1000 rpm
La curva resistente es la del ventilador y es cuadrática respecto al número de rpm, es decir que la función que cumpliría el momento torsor del ventilador es Si yo conozco el punto donde ambas curvas se cruzan puedo calcular el k
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Una vez que tengamos las curvas podría sacar la diferencia de las áreas entre las dos curvas, esa área cerrada encerrada seria el momento acelerador.
Para poder hacerlo practica es subdividiendo el área encerrada de la dos curvas, entre más pequeñas mejor. Si este caso tenemos 1000rpm y dividimos en 10 porciones. Supongamos que estas divisiones tienen el mismo ancho serian 100 rpm.
Matemáticamente seria
∑
∑