Captulo 4: Centro de gravedad, centro de masa y centroides4.1. Centro de gravedad de un sistema de partculas. Es el centro del sistema de fuerzas formado por los pesos de las partculas. Considrese el sistema formado por n partculas de pesos ubicadas en los puntos P1, P2, ,Pn, donde gi es la aceleracin de la gravedad en el punto Pi. Suponiendo que todas las son paralelas de acuerdo con la Ec.

(2. 24), el vector posicin del centro de gravedad vendr dado por:

Cuyas componentes cartesianas son

Siendo (xi, yi, zi) las componentes cartesianas de .

P1 P3

P2 Pi

w1

w2

w3 Pn z wn y x

wi

z

G

R y

x

4.2. Centro de masa de un sistema de partculas. El centro de masa de un sistema de partculas m1, m2, m,mn ubicadas en los puntos P1, P2, , Pn , es el punto G que viene dado por

Cuyas componentes cartesianas son

El centro de gravedad Ec.(3.1), asumida la aceleracin de la gravedad constante, coincide con el centro de masa de dicho sistema de partculas. Esta condicin se cumple con muy buena aproximacin. Para los cuerpos que se manejan normalmente en la mecnica Newtoniana

4.2. Centro de masa de un slido. Para calcular el centro de masa de de un solido ( y no slo para un conjunto de partculas), en virtud de la continuidad del slido podemos usar el clculo infinitesimal para sustituir las sumatorias de las Ecs.(3.6) (3.8), respectivamente, por integrales. As, las coordenadas del centro de masa resultan ser:

donde .

Si la densidad de la masa es constante diremos que el cuerpo es homogneo. Para cuerpos homogneos las densidades se cancelan y el centro de masa de masa se convierte en una caracterstica puramente geomtrica del cuerpo y recibe el nombre de centroide. Entonces, el Centro de Gravedad es una propiedad fsica mientras que el Centroide es una propiedad geomtrica. En el caso de que el cuerpo sea rgido, el peso de todas las partculas que conforman el solido se comportan como vectores deslizantes y el centro de masa o centro de gravedad es el punto en que se puede aplicar el vector peso total para que sea equivalente al sistema de vectores pes, por lo tanto, no depende de la orientacin del cuerpo con respecto a la superficie terrestre, ni del sistema de referencia elegido (aunque sus coordenadas sern distintas en sistemas de referencia distintos. La posicin del centro de masa puede no coincidir con ningn punto material del sistema, por ejemplo, en el sistema formado por cuatro masas iguales dispuestas en los vrtices de un cuadrado, el centro de masa est en el centro del cuadrado.

El centro de masa puede ser un punto exterior al sistema. Por ejemplo, en una chapa plana rgida con forma de L el centro de masa puede no estar en ningn punto del slido. 4.3 Centro de Gravedad y centroides de Superficies Planas y lneas 4.3.1 Superficies planas de espesor uniformey dw (x,y)

y

G

x

x

Por definicin:

x

x dw dw

;

y

y dw dw

Como la placa tiene espesor uniforme de dimensin t, entonces:dw g dm g dV g t dA

x

x dA dA

;

y

y dA dA

(4.12)

Para el caso de densidad constante: x xc

x dA dA

;

y yc

y dA dA

(4.13)

4.3.2 lneas (Caso de alambres de seccin transversal uniforme)dL, dw

y

(x,y)

y

G

x

x

Por definicin:

x

x dw dw

;

y

y dw dw

En el caso que el alambre tenga seccin transversal uniforme de dimensin a, entonces:dw g dm g dV g a dL

x

x dL dL

;

y

y dL dL

(4.14)

Para el caso de densidad constante:

x xc

x dL dL

;

y yc

y dL dL

(4.15)

4.4. Primeros momentos de areas y lneas. La integral

en la Ec. (3.13) se

conoce como primer momento del rea A con respecto al eje y, y se denota por Qy. Similarmente, la integral se define como el primer momento del rea A con

respecto al eje x y se denota por Qx, luego podemos escribir

(4. 16)

De las ecuaciones (3.13) y (3.16) podemos expresar los primeros momentos del rea A como el producto de el rea A y las coordenadas del centroide:

(3.17)

Se deduce de la ecuacin anterior que las coordenadas del centroide de un rea se obtienen dividiendo el primer momento de sta rea por el rea misma. El concepto de primer momento de rea tiene una aplicacin importante en resistencia de materiales para determinar los esfuerzos cortantes en barras bajo carga transversal (vigas). De las Ecs. (3. ) tambin se deduce que si el centroide del rea se localiza sobre un eje

coordenado, el primer momento del rea con respecto a dicho eje es cero. Relaciones similares se pueden utilizar para definir los primeros momentos de una lnea con respecto a los eje coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L de la lnea y las coordenadas y de su centroide 4.5. Determinacin de centroides por integracin El centroide de un rea delimitada por curvas definidas por ecuaciones algebraicas, por lo general se determina evaluando las integrales definidas por las Ecs.(3.13)x xc

x dA dA

;

y yc

y dA dA

O despejando

e de las Ecs. (3.17)

(4.18)

4.6 Teoremas de PAPUS-GULDIN Los teoremas que siguen, conocidos como teoremas de PAPUS-GULDIN, son aplicables exclusivamente a la determinacin del centro de masa de distribuciones continuas y homogneas de materia, y relacionan el centriode de una curva plana y de una superficie plana con el rea y el volumen engendrados por ellas al girar alrededor de un eje de su plano TEOREMA I. El rea A de la superficie engendrada por una curva plana al girar alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto de la longitud L de la curva por la longitud S de la circunferencia descrita por el su centroide. En efecto, suponiendo que el eje de giro sea el eje x (figura), el rea generada por el elemento de longitud ds de la curva en su rotacin alrededor del eje es

dA = 2ydsde modo que

Y la longitud descrita por el centroide de la curva es

S = 2ycPero, de acuerdo con la definicin de centrioide de una lnea,

De donde

Ejemplo. Aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide de una semicircunferencia de radio R Tomando como ejes cartesianos xy como se indica en la figura, el centroide del arco de circunferencia se encontrar situado sobre el eje y, ( o sea xc = 0), por ser dicho eje un eje de simetra; bastar determinar yc. El rea de la superficie de revolucin engendrada por la semicircunferencia al girar alrededor del eje x es la de una esfera; esto es,

A =4R2 Y la longitud de la lnea es S= R De modo que sustituyendo en la expresin (4.1), tenemos 4R2 = 2ycR

TEOREMA II. El volumen V engendrado por una superficie plana al girar alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto del rea A de la superficie por la longitud L de la circunferencia descrita por su centroide En efecto, suponiendo como antes que el eje de giro sea el x (figura), el volumen engendrado por el elemento de rea dA = dxdy al girar alrededor del eje x es dV = 2ydA de modo que

y la longitud descrita de la circunferencia descrita por el centroide de la superficie plana es L = 2yc

Ahora bien, de acuerdo con la definicin de centroide de una superficie plana es

Finalmente

Ejemplo. Aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide del rea sombreada, limitada por la semicircunferencia de radio a y la semielipse de semiejes a y b (figura) El centroide de la figura se encontrar situado sobre el eje y (o sea xc = 0); bastar con determinar yc El volumen del slido de revolucin engendrado por el rea sombreada al girar alrededor del eje x es el de una esfera menos el de un elipsoide de revolucin;

y el rea de de la superfice sombreada es

De modo que sustituyendo en la expresin (4.2) obtenemos:

4.7. Centros de gravedad y centroides de cuerpos compuestos Se dice que un cuerpo es compuesto cuando este se puede subdividir en cuerpos de geometra conocida. Por comodidad llamaremos elemento a cada cuerpo de geometra conocida. Luego de la subdivisin, se determina el Centro de Gravedad para cada elemento y el Centro de Gravedad (G) del cuerpo compuesto se determina promediando los centros de gravedad de cada elemento. 4.7.1 Centroide de superficies planas El centroide constituye el centro geomtrico de un cuerpo. Si un cuerpo toma la forma de un rea, su centroide se podr calcular con las siguientes frmulas:x

Ai xi Ai

y

Ai yi Ai

z

Ai zi Ai

donde:

Ai es el rea de cada elemento que forma el cuerpo. xi, yi, zi son las coordenadas de los centroides de cada elemento.

Los centroides de elementos de rea de conocida (rectngulos, tringulos, crculos, etc.) se pueden obtener directamente de las tablas. 4.7.2 Centroide de lneas de seccin uniforme El centroide constituye el centro geomtrico de un cuerpo. Si un cuerpo toma la forma de una lnea, su centroide se podr calcular con las siguientes frmulas:x

Li xi Li

y

Li yi Li

z

Li zi Li

donde: Li es la longitud de cada elemento (segmento de lnea) que forma el cuerpo.xi , yi , zi son las coordenadas de los centroides de cada elemento.

Los centroides de segmentos de lnea de forma conocida (lneas rectas, arcos de circunferencia, etc.) se pueden obtener directamente de las tablas

4.7.3. Centroide de volmenes El centroide constituye el centro geomtrico de un cuerpo. Si un cuerpo toma la forma de un volumen, su centroide se podr calcular con las siguientes frmulas:x

Vi xi Vi

y

Vi yi Vi

z

Vi zi Vi

donde:

Vi es el volumen de cada elemento que forma el cuerpo. xi, yi, zi son las coordenadas de los centroides de cada elemento.

Los centroides de porciones de volumen conocido (prismas, esferas, conos, cilindros, etc.) se pueden obtener directamente de las tablas 4.7.4 Centros de gravedad La sumatoria de las fuerzas ejercidas por la tierra sobre cada partcula de un slido rgido, puede ser representada por una sola fuerza o peso (W) que se aplica en un punto conocido como CENTRO DE GRAVEDAD. Para calcular este punto, se utilizan las siguientes frmulas:x

Wi xi Wi

y

Wi yi Wi

z

Wi zi Wi

donde:

Wi es el peso de cada elemento que forma el cuerpo. xi, yi, zi son las coordenadas de los centroides de cada elemento.

Los centros de masa de porciones de centroides conocido (lneas, reas o volmenes conocidos) se pueden obtener directamente de las tablas, siempre y cuando las densidades sean uniformes. Nota: Los valores del centro de gravedad de la figura compuesta G ( X ,Y , Z ) y los valores de los centros de gravedad de cada elemento Gi ( X i ,Yi , Z i ) estn referidos al mismo sistema de referencia.

Tomando como base las los fundamentos tericos, el siguiente esquema explica la secuencia de pasos a seguir para hallar el centroide o centro de gravedad de un cuerpo compuesto.

1) Separar en partes

conocidas.2) Tabular la dimen No olvidar la justificacin.

sin (L,A,V,W)

3) Calcular el centroi-

de de cada parte y completar la tabla.

No olvidar los ejes de

referencias.

4) Calcular las suma-

torias.5) Hallar el centroide

o centro de gravedad.gravedad.. 6) Resaltar la res-

puesta.

No olvidar las unidades.

A partir de lo ledo en los prrafos anteriores y siguiendo los pasos, resolver los siguientes ejercicios: 1. Hallar las coordenadas centroides del rea sombreada que se muestra. Dar los resultados en metros.

Elemento 1:cuadrado 2:rectangulo

Ai 1.5x1.5=2.25

xi 1.5/2=0.75 1.5+1.8/2=2.4

yi -1.5/2=-0.75 0.9/2=1.45

zi 0 0

Aixi 1.6875 3.8880

Aiyi -1.6875 0.7290

Aizi 0 0 0 0

0.9x1.8=1.62 +.5x1.8x1.5=1.35 3: tringulo *0.6 /2= -0.5655 4: semicrculo2

1.5+(2/3)(1.8)=2.7

0.9+(1/3)(1.5)

0

3.6540

1.8900

1.5+1.8/2=2.4

4x0.6/3=0.2546 0

-1.3572

-0.1440

4.6545

7.8633 0.7875 0

2. Calcula las coordenadas del centroide del siguiente alambre doblado en el espacio:

Elemento 1 2 3

Li

xi

yi

zi

Lixi

Liyi

Lizi

3. Determina la ubicacin del centroide de la figura mostrada.

Elemento

Vi

xi

yi

zi

Vixi

Viyi

Vizi

1

2 3

4. Un collarn de latn de longitud 50 mm se monta sobre una barra de aluminio de longitud 80 mm. Localizar el centro de gravedad de cuerpo compuesto. (Densidad: latn = 8470 kg/m3, aluminio = 2800 kg/m3)

Elemento

i

Vi

mi

xi

yi

zi

mixi

miyi

mizi

Tarea. Problema 1. Se tiene una placa homognea ABC de peso 500 N. Los arcos AB y BC son cuartos de circunferencia de radio R = 2 m. La placa est articulada en A. El extremo C se sostiene con un cable que pasa por una polea sin friccin en E. La distancia AE, de la polea a la =

articulacin, es AE =AC =2R. En el equilibrio la placa forma un ngulo 30 con la vertical AE. Se pide a) El centro de gravedad de la placa b) Valor de la fuerza F necesaria para mantener la placa en equilibrio c) Valor de la reaccin en la articulacin

Problema 2. Halle las coordenadas del centro de gravedad de la superficie encerrada bajo la curva alrededor del eje x.

( ) y el volumen engendrado al girar la superficie dada