3 operaciones algebraicas

3. OPERACIONES ALGEBRAICAS. 3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios. 3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación. 3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. 3.4. Multiplicación por polinomios. 3.5. Definición de producto y producto notable.

3.5.1. Cuadrado de un binomio. 3.5.2. Binomios conjugados. 3.5.3. Binomio con un término común. 3.5.4. Cubo de un binomio. 3.5.5. Teorema del binomio. 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos 3.5.7. Cuadrado de un trinomio.

3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división. 3.7. División de polinomios. 3.8. División sintética. 3.9. Factorización.

3.9.1. Factor común. 3.9.2. Diferencia de cuadrados. 3.9.3. Trinomios con término de segundo grado. 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. 3.9.5. Por agrupación.

Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sido encontrados en Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como consecuencia de la creación de las pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y con ella la geometría. En los documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con el álgebra

Operaciones Algebraicas

Capitulo 3

O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S

3 - 2

3.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES

ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

E J E M P L O :

Supongamos que se desea sumar 373 2 xx y 925 2 xx ; es decir deseamos encontrar

925373 22 xxxx

Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:

658

932753

932753925373

2

2

2222

xx

xx

xxxxxxxx

E J E M P L O :

De manera semejante, la suma de 327

34 23 xxx y 9

7

16 23 xx , se escribe como:

1227

210

9327

1

7

3649

7

1632

7

34

23

22332323

xxx

xxxxxxxxxx

E J E M P L O :

Para sumar 273 2 xx y xx 534 2 ; primero escribimos ambos polinomios en orden

descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

5 2 3

5 2 3

325347354237

2

2

2222

xx

xx

xxxxxxxx

E J E M P L O :

Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.

Por ejemplo, para sumar los polinomios 37 2 xx , xx 286 2 y 53 2 xx , escribimos

cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y

sumamos:

626

626

5833276

53826375328637

2

2

222

222222

xx

xx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxx


3 - 3

RESTA

Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c

Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta)

debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que

multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

E J E M P L O :

Efectuar la operación 254123 22 xxxx

SOLUCIÓN:

17

17

215243

254123254123

2

2

22

2222

xx

xx

xxxx

xxxxxxxx

E J E M P L O :

Resolver 2 22 3

5 10x y x y

SOLUCIÓN: 2 2 2 2 2 22 3 2 3 4 3 7

5 10 5 10 10 10x y x y x y x y x y x y

E J E M P L O :

Restar 4 3 2 28 5 3x x y x y y 4 3 2 24 2 5x x y x y

SOLUCIÓN:2223344

2253244223354822532442233548

yxyxx

yxyxxyxyxxyxyxxyxyxx

E J E M P L O :

Restar 2 2 31 1 1

3 4 6x y xy x y 2 2 31 1 1

6 3 4x y xy x

SOLUCIÓN:

3 2 2

3 2 2

3 2 21 7

12 12

1 1 1

6 3 4

1 1 1

4 6 3

1

6

x x y xy

x x y xy

x x y xy


3 - 4

E J E R C I C I O S 3 .1 :

Resolver los ejercicios siguientes:

1.- 12612 22 yyyy

2.- 15134 22 xxxx

3.- 1214 22 zzzz

4.- 3453 22 yyyy

5.- xxyxxyxy 262 2

6.- 32435 22 axaxax

7.- zyxzyxzyxzyx 43222

8.- cbacbacbacba

9.- khgkhgkhgkhg 32223232


11.- 2 2 2 23 2 1 1 1 1

4 3 3 9 6 3a b ab b ab b

12.- 2 2 2 2 29 25 1 1 5 7 1 715 30 3

17 34 4 2 17 34 4 34m n mn n m m mn

13.- 2 2 2 21 3 3 1 1 1 3 12 6 4 2

2 5 4 10 4 25 5 8b m cn b m cn b m cn cn b m

14.- 2 25 3 5

6 8 6a a a

15.- 1 3

8 6 52 5

a b a b

16.- 3 2 4 4 3 2 2 3 42 3 1 7 1 2 17

9 7 8 8 14 3 3x y xy x y x y x y xy

17.- 6 6 4 2 2 4 4 2 2 4 62 1 7 5 3 3 3 5

13 3 20 14 5 10 7 9m n m n m n m n m n n

18.- 3 2 2 25 7 5 1 16

6 8 8 4 3a ab a b ab

19.- 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 20.2 0.4 0.5 0.8 0.6 0.3 0.4 6 0.8 0.2 0.9 1.5a ab a b b ab a b a a b a b a b


3 - 5

3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por

ejemplo, para combinar términos semejantes en 2253 xx tenemos que suprimir los

paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis,

podemos simplemente eliminar; esto es,

baba

baba

E J E M P L O :

35

2523

2523

22532253

x

xx

xx

xxxx

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente:

E J E M P L O :

15

3228

228

32283128

x

xxx

xxx

xxxxxx

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión,

utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general no escribimos

35 x , sino 35 x . Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los

símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.

E J E M P L O :

132

5342

5342

332521332521

2

22

22

2222

xx

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:

acabcba

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los

paréntesis. Por tanto adacabdcba . Además cabaacb


3 - 6

3.3 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en

un producto. Por ejemplo, xxxx 3. La notación exponencial proporciona un modo

sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.

Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.

Considera que m y n son enteros positivos: nmnm xxx

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la

base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que

asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión 23x tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente numérico de

35x es 5.

Si decidimos multiplicar 23x por

35x , solo multiplicamos números por números (coeficientes)

y letras por letras. Este procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y

asociativa de la multiplicación. Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:

E J E M P L O :

5323232 15155353 xxxxxx

E J E M P L O :

683215123522 64248248 yxyyyxxxyxxyyx

SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.

Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos: nmnm xx

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los

exponentes.

Considera la expresión 34x , que significa que 4x está elevado al cubo. Esta expresión

puede simplificarse como se muestra enseguida:

1244444434 xxxxxx

En forma parecida 10222222222252 yyyyyyyy

Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener los

mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes.


3 - 7

E J E M P L O :

186363 555

E J E M P L O :

96

3332

3332

333222

323232332

yx

yx

yx

yyyxxx

yxyxyxyx

TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir

Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los

factores.

Simbólicamente: nnnbaab

E J E M P L O :

3

33

3

8

2

222

2222

x

x

xxx

xxxx

E J E M P L O :

84424442 8133 yxyxxy

E J E M P L O :

9633323332 822 yxyxyx

Ene general se cumple:

nnxx Si n es número par nn

xx Si n es número impar

E J E M P L O :

1622 44 3222 55


3 - 8

3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una

cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de

modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el

multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador

reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres

polinomios cualesquiera zyx , , se cumplirá que yzxzxy . Esta ley acostumbra a

enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir,

que dados los polinomios cualesquiera yx , , se cumplirá que yxxy . Esta ley acostumbra

a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro

puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo

positivo. xyyx

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo. xyyx

c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo. xyyx

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo

positivo. xyyx

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+ + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a) Multiplicación de monomios.

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio

c) Multiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las

letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a

la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el

que le corresponda al aplicar la regla de los signos.


3 - 9

E J E M P L O :

Multiplicar 43 53 xx

SOLUCIÓN: 74343 155353 xxxx

E J E M P L O :

Multiplicar cbaab 222 38

Solución: cbacbacbaab 4312221222 243838

E J E M P L O :

Multiplicar yxyxx 223 254

SOLUCIÓN: 3612231223 40254254 yxyxyxyxx

E J E M P L O :

Multiplicar 22223 6542 ababccbabca

SOLUCIÓN:

467

1212121112322223

240

65426542

cba

cbaababccbabca

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del

polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los

productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar aaa 3453 23

SOLUCIÓN:

aaa

aaaaaaaa

12159

3435333453

34

2323

E J E M P L O :

Multiplicar: xyyxyyxx 233 3223

SOLUCIÓN:

332234

32233223

2662

2 2 3 23 2 233

xyyxyxyx

xyyxyxyxyyxxyxxyyxyyxx


3 - 10

E J E M P L O :

Multiplicar:

2543223

2

1

5

2

6

5

4

1

3

2abbabbaba

SOLUCIÓN:

7625344

2524232223

2543223

5

1

12

5

8

1

3

1

2

1

5

2

2

1

6

5

2

1

4

1

2

1

3

2

2

1

5

2

6

5

4

1

3

2

abbababa

abbabababbaabba

abbabbaba

E J E M P L O :

Multiplicar: 4 2 2 4 62 3 5

3 5 6x y x y y por

2 3 22

9a x y

SOLUCIÓN:

4 2 2 4 6

2 3 2

2 7 4 2 5 6 2 3 8

2 3 5

3 5 6

2

9

4 2 5

27 15 27

x y x y y

a x y

a x y a x y a x y

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por

cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a

continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar: 223223 5432432 babababbaa

54322345

543223

432234

322345

22

3223

10 28 25 10 6a

10 20 15 10

8 16 12 8

6 12 9 6a

5 4 3

2 4 3 2

babbababa

babbaba

abbababa

bababa

baba

babbaa


3 - 11

E J E M P L O :

Multiplicar: 432224123 222 xxxxxx

SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

2 6 2 2 12

2 4 6

2 4 6

4 8 12

2 2 4

1 2 3

234

2

23

234

2

2

xxxx

xx

xxx

xxx

xx

xx

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

8 3030 26 8332 -24

8 248 8 48

6 18 6 6 36

4 12 4 4 - 24

4 3 2

2 6 2 2 12

23456

234

2345

23456

2

234

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xx

xxxx


3 - 12

E J E R C I C I O S 3 .2 :

Resolver los ejercicios siguientes:

1.- 532 32 xyyx

2.- 422 54 yxxy

3.- cbaa 22

4.- 222232 4523 yxxyyxyx

5.- baba 232

6.- 3232 234 xxxx

7.- 11 aa

8.- 242 32 bcaab

9.- cabcb 332 83

10.- 2332 42 yxyzx

11.- 21 2 2

2 3 5a b a

12.- 6 4 2 2 4 6 3 4 32 1 3 1 5

5 3 5 10 7x x y x y y a x y

13.- 2 333 5 6

10a b c a x

14.- 4 2 2 4 3 42 1 3

9 3 7x x y y x y

15.- 32 3 2

3 4 3a b a b

16.- 3 2 2 3 2 23 1 2 1 2 5 2

4 2 5 4 3 2 3m m n mn n m n mn

17.- 2 3 21 1 1 1 3 1 1

2 3 4 4 2 5 10x x x x x

18.- 1 1 1 1

2 3 3 2a b a b

19.- 2 21 2 1 3

4 3 4 2a ab b a b


3 - 13

3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se

multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o

productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede

ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

3.5.1. Cuadrado de un binomio

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el

doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del

segundo.

Consideremos que 2yx . Tendremos que yxyxyx

2. Por tanto

2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y

Es decir 2222 yxyxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 22x

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 2x

El doble del producto del primer número por el segundo: xx 422

El cuadrado del segundo número: 422

Así pues 442 22 xxx

E J E M P L O :

Al desarrollar 223 yx

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 2293 xx

El doble del producto del primer número por el segundo: xyyx 12232

El cuadrado del segundo número: 2242 yy

Así pues 222412923 yxyxyx

E J E M P L O :

Al desarrollar 232 34 yx

SOLUCIÓN:

6324

233222232

92416

3342434

yyxx

yyxxyx

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos

el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del

segundo número.


3 - 14

Consideremos que 2yx .

Tendremos que yxyxyx 2

.

Por tanto 2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y

Es decir 2222 yxyxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 23x

SOLUCIÓN:

96

3323

2

222

xx

xxx

E J E M P L O :

Desarrollar 242 yx

SOLUCIÓN:

22

222

16164

4422242

yxyx

yyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 223 52 yx

SOLUCIÓN:

4236

222323223

25204

5522252

yyxx

yyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 2

2 34 3a b

SOLUCIÓN: 2 22

2 3 2 2 3 3

4 2 3 6

4 3 4 2(4 ) 3 3

16 24 9

a b a a b b

a a b b

3.5.2 Binomios conjugados

El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos

el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto: yxyx

2 2 2 2x y x y x xy xy y x y

Es decir 22 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 44 xx


3 - 15

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22xx

Cuadrado del segundo número: 1642

Así pues, 1644 2 xxx

E J E M P L O :

Multiplicar yxyx 2525

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22255 xx

Cuadrado del segundo número: 2242 yy

Así pues, 22 4252525 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 3232 3535 yxyx

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 422 255 xx

Cuadrado del segundo número: 623 93 yy

Así pues, 643232 9252525 yxyxyx

E J E M P L O :

Multiplicar 3883 xx

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia: 932

Cuadrado del segundo número de la diferencia: 22648 xx

Así pues, 26493883 xxx

3.5.3. Binomio con un término común

El producto de dos binomios del tipo bxax es igual al cuadrado del primer término,

más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el

producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que abxbaxbxax 2.

Tendremos que: 2 2x a x b x ax bx ab x a b x ab

Es decir abxbaxbxax 2, tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :

Comprobar que 545454 2 xxxx .


3 - 16

SOLUCIÓN: Tendremos

2

2

4 5

4 5 4 5

9 20

x x

x x

x x

.

E J E M P L O :

Comprobar que 323232 2 xxxx

SOLUCIÓN: Tendremos 2

2

2 3 2 3 2 3

6

x x x x

x x

.

E J E M P L O :



2

6 4 6 4 6 4

2 24

x x x x

x x

.

E J E M P L O :



2

5 3 5 3 5 3

8 15

x x x x

x x

.

3.5.4. Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del

producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del

primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 22232 , por lo

tanto

3222

322

222

22

3 3

2

2

2

yxyyxx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 3222333 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 32x

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22623 xx


3 - 17

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 12232

Cubo del segundo número: 823

Así pues 81262 233 xxxx

E J E M P L O :

Desarrollar 323 yx

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33273 xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: yxyx 2254233

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 2236233 xyyx

Cubo del segundo número: 3382 yy

Así pues 32233836542723 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 23 ba

SOLUCIÓN:

662346

3323232232332

8365427

2233233323

bbabaa

bbabaaba

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple

del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del

primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.

Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 22232 , por lo

tanto

3222

322

222

22

3 3

2

2

2

yxyyxx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 3222333 yxyyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 33x

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33xx

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22933 xx


3 - 18

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 27332

Cubo del segundo número: 2733

Así pues 272793 233 xxxx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 yx

SOLUCIÓN:

3223

32233

27546368

3323323232

yxyyxx

yyxyxxyx

E J E M P L O :

Desarrollar 332 24 ba

SOLUCIÓN:

662346

3323232232332

8489664

2243243424

bbabaa

bbabaaba

3.5.5. Teorema del binomio

El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con

la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y

positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de n

a b :

Por multiplicación directa podemos obtener

1

a b a b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b

5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a b a a b a b a b ab b

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en

su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.

2. Para cada valor de n, el desarrollo de n

a b empieza con na y termina con

nb . En

cada término los exponentes de a y b suman n.

3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b

aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1

en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del

término.


3 - 19

4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene

multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo

ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se

puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como

Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de n

a b .

1721353521717

1 6 15 20 15 6 1 6

1 5 10 10 5 1 5

1 4 6 4 1 4

1 3 3 1 3

1 2 1 2

1 1 1

1 0

n

n

n

n

n

n

n

n

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se

observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último

término son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda

y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los

elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer

coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del

renglón superior, y así sucesivamente.

E J E M P L O :

Desarrollar por el teorema del binomio: 4

2a b

SOLUCIÓN:

Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias

correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

4 3 1 2 2 1 3 44

2 1 4 2 6 2 4 2 1 2a b a a b a b a b b

efectuando las potencias, se tiene:

4 4 3 2 2 3 42 1 4 2 6 4 4 8 1 16a b a a b a b a b b

efectuando los productos:

4 4 3 2 2 3 42 8 24 32 16a b a a b a b ab b


3 - 20

E J E M P L O :

Desarrollar por el teorema del binomio: 4

3 2a b

SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:

4 3 1 2 2 1 3 44

3 2 1 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 1 2a b a a b a b a b b

efectuando las potencias:

4 4 3 2 2 3 43 2 1 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 1 16a b a a b a b a b b

efectuando los productos: 4 4 3 2 2 3 43 2 81 216 216 96 16a b a a b a b ab b

3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia

de cubos.

La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer

término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la

suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .

Tendremos:

33

322

223

22

yx

yxyyx

xyyxx

yx

yxy x

Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :


SOLUCIÓN: 2 3 2 2

3

1 1 1

1

x x x x x x x x

x

E J E M P L O :

Comprobar que 2233 46923827 yxyxyxyx

SOLUCIÓN: 2 2 3 2 2 2 2 3

3 3

3 2 9 6 4 27 18 12 18 12 8

27 8

x y x xy y x x y xy x y xy y

x y


3 - 21

E J E M P L O :

Comprobar que 224236 91216342764 ccbbcbcb

SOLUCIÓN: 2 4 2 2 6 2 2 2 2 2 2 3

6 3

4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 27

64 27

b c b b c c b b c b c b c b c c

b c

La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término

más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de

los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .

Tendremos: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3x y x xy y x x y xy x y xy y x y

Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :


SOLUCIÓN: 2 3

3

2 2 4 2 4 2 4 8

8

x x x x x x x x

x

E J E M P L O :

Comprobar que 2233 91216342764 yxyxyxyx

SOLUCIÓN: 2 2 3 3

3 3

4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 27

64 27

x y x xy y x x xy x xy y

x y

E J E M P L O :

Comprobar que 63243296 96432278 bbaababa

SOLUCIÓN: 2 3 4 2 3 6 6 4 3 2 6 4 3 2 6 9

6 9

2 3 4 6 9 8 12 18 12 18 27

8 27

a b a a b b a a b a b a b a b b

a b

3.5.7. Cuadrado de un trinomio

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los

términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en

dos.

bcacabcbacba 2222222


3 - 22

E J E M P L O :

Efectuar 2

2 3 5x y z

SOLUCIÓN:

yzxzxyzyx

zyzxyxzyxzyx

3020122594

532522322532532

222

2222

E J E M P L O :

Efectuar

21 2

3 5x y z

SOLUCIÓN:

yzxzxyzyx

zyzxyxzyxzyx

5

4

3

2

15

4

25

4

9

1

5

22

3

12

5

2

3

12

5

2

3

1

5

2

3

1

222

2

222

E J E M P L O :

Efectuar 2

2 3a b c

SOLUCIÓN:

bcacabcba

cbcabacbacba

126494

32232223232

222

2222


3 - 23

E J E R C I C I O S 3 .3 :

Desarrollar los siguientes productos notables:

1. 2

2x

2. 2

3 a

3. 2

2 yx

4. 2

53 y

5. 2

32a

6. 2

32 ba

7. 2242 a

8. 2

43 ba

9. 23 62 bx

10. 223 32 yx

11. 234 23 yx

12. 2323 zyx

13. 23232 34 dcya

14. 2332 42 mnyx

15. 265 43 yx

16. 2

3x

17. 2

42a

18. 2

24 x

19. 2

23 yx

20. 2

35 yx

21. 222 yx

22. 222 32 yx

23. 22 42a

24. 223 42 ba

25. 234 2yx

26. 223 23 yx

27. 245 34 ba

28. x y x y

29. m n m n

30. a x x a

31. 2 2 2 2x a x a

32. 2 1 1 2a a

33. 1 1n n

34. 1 3 3 1ax ax

35. 2 9 2 9m m

36. 3 2 3 2a b a b

37. 2 23 3y y y y

38. 1 8 8 1xy xy

39. 2 2 2 26 6x m x x m x

40. m n m na b a b

41. 3 5 5 3a m m ax y y x

42. 1 1 1 12 2x x x xa b b a

43. baba 22


3 - 24

44. yxyx 3232

45. aa 2424

46. 2222 3232 nmnm

47. 2323 xx

48. 4242 xx

49. yy 4242

50. 5353 xx

51. 2323 22 yxyx

52. xxxx 3232 22

53. abab 4343

54. 43 xx

55. 25 aa

56. 83 aa

57. 32 xx

58. 26 aa

59. 54 aa

60. 41 aa

61. 32 aa

62. 87 xx

63. 43 22 xx

64. 53 22 aa

65. 72 22 xx

66. 45 33 xx

67. 415 33 aa

68. 23 44 xx

69. 64 55 xx

70. 84 66 xx

71. 23 xyxy

72. 64 abab

73. 52 2222 yxyx

74. 45 33 baba

75. 63 aa

76. 3

2a

77. 3

1x

78. 3

3m

79. 3

4n

80. 3

12x

81. 3

31 y

82. 322 y

83. 3

21 n

84. 3

34n

85. 32 2ba

86. 3

32 yx

87. 321 a

88. 333 23 ya

89. 3

25 x

90. 3

5x


3 - 25

3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN

Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma n

m

a

a

3

2

5

333333

33333

3

3

Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del

cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par

de números completos m y n

nmaa

a nm

n

m

con

E J E M P L O :

Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:

3325

2

5

444

44444 porque 44

4

4

4426

2

6

porque xxx

xxxxxxxx

x

x

235725

52

75

qpqpqp

qp

Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m

entonces:

mnaa

anmn

m

1

E J E M P L O :

35

2 1

xxxxxx

xx

x

x

o bien

3255

2 11

xxx

x

E J E M P L O :

2

2

4

23 3

2

32

2

6

y

x

yyyyx

yyxxx

xy

yx

o bien

2

2

24

13

4

23 33

2

6

y

x

y

x

xy

yx

Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m

m

m

aa

1


3 - 26

E J E M P L O :

Como en el caso:2

2

4

14

3

3 1

mm

b

a

baab

1

1 1 Ya que el exponente solo afecta a b

Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por

ejemplo 12

2

a

a. Si utilizamos la regla anterior, encontramos que 1022

2

2

aaa

a

Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el

cero.

p0=1 30=1

3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un

producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el

producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor

por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos 428 xyxy , se cumplirá que xyxy 824

cocientedividendodivisor cociente

divisor

dividendo

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

divisor

residuocociente

divisor

dividendo

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes

y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del

divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada

letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el

exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar

la regla de los signos.


3 - 27

E J E M P L O :

Dividir 46 48 xx

SOLUCIÓN: 2464646 24:84:848 xxxxxx

E J E M P L O :

Dividir xy

zyx

3

12 23

SOLUCIÓN: yzxzyxxy

zyx 201121323

43:123

12

E J E M P L O :

Dividir 223

243

6

18

cba

cba

SOLUCIÓN: 2222433

223

243

36:186

18bcba

cba

cba

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división

propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada

dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

E J E M P L O :

Dividir abcddcba

cba

3

2

18

12243

32

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del

polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los

cocientes parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Dividir xxxx 2864 23

SOLUCIÓN:

432

2826242864

2

2323

xx

xxxxxxxxxx


3 - 28

E J E M P L O :

Dividirxy

xyyxyxyx

3

61296 432234

SOLUCIÓN:

3223

432234432234

2432

3

6

3

12

3

9

3

6

3

61296

yxyyxx

xy

xy

xy

yx

xy

yx

xy

yx

xy

xyyxyxyx

E J E M P L O :

Dividiryx

xyyxyx2

2223

4

653

SOLUCIÓN:

x

yxy

yx

xy

yx

yx

yx

yx

yx

xyyxyx

2

3

4

5

4

3

4

6

4

5

4

3

4

6532

2

2

2

2

23

2

2223

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,

obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así

obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe

cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto

no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el

lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,

obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así

obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y

se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

E J E M P L O :

Dividir: 43223422 376 7 1535 yxyyxyxxyxyx


3 - 29

0

3 5

3 5

62 10

373 10

9 3 15

23

376 7 1535

4322

4322

3223

43223

2234

22

43223422

yxyyx

yxyyx

xyyxyx

yxyyxyx

yxyxx

yxyx

yxyyxyxxyxyx

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:

En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a

la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 415x , entre el primer

término del divisor, 25x , obteniéndose

23x , por cada uno de los términos del divisor,

obteniéndose como resultado 2234 9- 3 15 yxyxx , que se escribe debajo de los

términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos

semejantes, obteniéndose como primer resto 43223 373 10 yxyyxyx .

Después se ha dividido yx310 entre 25x obteniéndose como cociente xy2 , que es el

segundo término del cociente. Multiplicando xy2 por todos los términos del divisor que

se obtiene como resultado 3223 62 10 xyyxyx , que se escribe debajo de los

términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para

efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,

obteniéndose como segundo resto 4322 3 5 yxyyx

Finalmente se ha dividido 225 yx entre

25x , obteniéndose como cociente 2y .

Multiplicando 2y por todos los términos del divisor se obtiene como producto

4322 3 5 yxyyx , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto

cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha

procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer

resto 0, con lo cual queda acabada la división.

E J E M P L O :

Dividir: 33612115 2234 xxxxxx


3 - 30

SOLUCIÓN:

0

662-

662

662

61282

3 3-

22

61211533

2

2

23

23

234

2

2342

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxxxxx

E J E M P L O :

Dividir: 225 213- 1 aaaaa

SOLUCIÓN:

0

12

12

363

1 53

242

1 3 2

2

1323

1 3 12

2

2

23

23

234

234

345

23

252

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaaa

aaa

aaa

aaaaa

E J E M P L O :

Dividir: 2256336 324218 yxxyxyxyxy


3 - 31

SOLUCIÓN:

65

6542

6542

54233

654233

423324

653324

33245

6533245

2456

432234

6533622

126336

118354118

8 18 118

42 12642

8 24 8 42

8 24 8

8 24 18 8

3 93

8 24 21 3

3

1184283

8 24 21 3

yxy

yxyyx

yxyyx

xyyxyx

yxyyxyx

yxyxyx

yxyyxyx

yxyxyx

yxyyxyxyx

yxyxx

yxyyxyxx

yxyyxxyxyx

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es

divisible entre el primer término del divisor.

b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor.

c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor

exponente que en el primer término del divisor.

3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la

división de un polinomio entero en x por x-a.

Dividamos 1435 23 xxx entre 3x

32

5

9 3

143

62

1432

3

1435 3

2

2

2

23

23

xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx


3 - 32

Podemos apreciar que el cociente 322 xx es un polinomio en x de un grado menor

que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al

coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla

práctica:

1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del

dividendo.

2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer

término del dividendo.

3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el

coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor,

cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que

ocupa el mismo lugar en el dividendo.

4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor,

cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del

dividendo.

E J E M P L O :

Dividamos 1435 23 xxx entre 3x

SOLUCIÓN:

Dividendo Divisor

1

3x

3 31

5

5 2

x

632

3

3

x

933

14

14

3

3

x

1 -2 -3 +5

Resultado 322 xx residuo: 5

E J E M P L O :

Efectuar por división sintética 4

8752 23

x

xxx

SOLUCIÓN:

Dividendo Divisor

68 19 3 2

76419 1243 842

8 7 5 2

4

4

x

Resultado 1932 2 xx residuo: 68


3 - 33

E J E M P L O :

Efectuar por división sintética 2582 xxx

SOLUCIÓN:

Dividendo Divisor

25 10- 1

20210 221

5 8 1

2

2

x

Resultado 10x residuo: 25

E J E M P L O :

Efectuar por división sintética 8120216 35 xxx entre 4x

SOLUCIÓN:

Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos 4x y

2x , al escribir los

coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos

términos.

Dividendo Divisor

727 202- 0 0 4 1

808 0 0 16 4

81 202- 0 16- 0 1

4

4

x

Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente

son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es 2024 34 xx y el residuo es -727


3 - 34

3.9. FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a

la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el

propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la

factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que

multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

21224

3824

6424

43224

322224

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.

Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,

escribiremos 1553 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que

lo factoricemos; entonces tendremos 5315

Al factorizar el número 20, tendremos 5420 o 21020 .

Advierte que 5420 y 21020 no están factorizados por completo. Contienen

factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera

factorización 224 , de modo que 52220 mientras que la segunda

factorización 5210 , de modo que 25220 , en cualquier caso la factorización

completa para 20 es 522 .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo

por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De

esta manera no factorizamos 20 como 804

120 .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones

algebraicas.


3 - 35

3.9.1. Factor común.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos

descubrir un patrón.

baaaba

xxxx

baba

yxyx

2363

3262

25105

444

2

2

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: acabcba .

Cuando factorizamos cbaacab .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a

todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es

seleccionar el máximo factor común, nax . Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término nax , es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y

2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar 23 186 xx , podríamos escribir xxxxx 623186 223

Pero no está factorizado por completo por que xx 62 2 puede factorizarse aún más.

Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los

términos es 2x . De esta manera la factorización completa es 36186 223 xxxx .

Donde 26x es el MFC.

E J E M P L O :

Factorizar 38

388248

x

xx

E J E M P L O :

Factorizar 26

266126

y

yy

E J E M P L O :

Factorizar xx

xxxxx

525

55252510

2

2232


3 - 36

E J E M P L O :

Factorizar 326

3626618126

2

223

xxx

xxxxxxxx

E J E M P L O :

Factorizar 64325

6545352530201510

2342

22232422456

xxxx

xxxxxxxxxxx

E J E M P L O :

Factorizar 233

2333543

4212

422212842

xxx

xxxxxxxx

E J E M P L O :

Factorizar

534

1

54

1

4

13

4

1

4

5

4

1

4

3

2

22

xx

xxxx

3.9.2. Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable 22 BABABA podemos utilizar esta

relación para factorizar una diferencia de cuadrados. BABABA 22

E J E M P L O :

Factorizar 22

24 222

xx

xx

E J E M P L O :

Factorizar 525252254222 xxxx

E J E M P L O :

Factorizar 737373499 2424222448 babababa

3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.

Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un

trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.


3 - 37

963

963

22

22

xxx

xxx

Los trinomios 96 ,96 22 xxxx , son trinomios cuadrados porque son cuadrados

de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados 2A y

2B

B. No debe haber signo de menos en 2A o en

2B

C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB

o su inverso aditivo -2AB.

¿Es 1162 xx un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al

cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

222

222

)(2

)(2

BABABA

BABABA

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

E J E R C I C I O S 3 .4 :

1.- 49142 xx

2.- 962 xx

3.- 22 495616 yxyx

4.- 22 9189 yxyx

5.- 22 164836 nmnm

6.- 254016 2 xx

7.- 22 44 yxyx

8.- 122 xx

3.9.4. Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las

siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

2233

2233

BABABABA

BABABABA


3 - 38

E J E M P L O :

Factorizar 273 y , observemos primero que se puede escribir en otra forma: 33 3y

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de

factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

933327 2333 yyyyy

E J E M P L O :

Factorizar 9643232278 2333 xxxxx

E J E M P L O :

Factorizar 111 23 tttt

3.9.5. Por Agrupación.

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro

términos. Consideremos 2223 xxx . No hay ningún factor diferente de 1. Sin

embargo podemos factorizar a 23 xx y 22 x por separado:

1223 xxxx 1222 xx

Por lo tanto 12122 223 xxxxxx . Podemos utilizar la propiedad

distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

22 21121 xxxxx

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las

expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

E J E M P L O :

2332

322323

64966496

2

2

2323

xx

xxx

xxxxxx

E J E M P L O :

Factorizar

11

111

11

2

2

2323

xx

xxx

xxxxxx


3 - 39

E J E M P L O :

Factorizar

112

12

212

212

2222

2

2

2

2323

xxx

xx

xxx

xxx

xxxxxx

E J E M P L O :

Factorizar

byax

axbaxybxabayyx

22

2222222


3 - 40

R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O 3 .1 :

1.- 12612 22 yyyy

2.- 15134 22 xxxx

3.- 1214 22 zzzz

4.- 3453 22 yyyy

5.- xxyxxyxy 262 2

6.- 32435 22 axaxax


8.- cbacbacbacba

9.- khgkhgkhgkhg 32223232


R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 3 .2 :

1.- 83532 632 yxxyyx

2.- 63422 2054 yxyxxy

3.- acabacabaaacbaa 2222222 322

4.-

343335

22222232222232

12156

4353234523

yxyxyx

yxyxxyyxyxyxyxxyyxyx

5.- 22 26232 babababa

6.- 9636743232 23456234 xxxxxxxxxx

7.- 532321111

aaaa

8.- 235242 632 cbabcaab

9.- 45332 2483 cabcabcb

10.- 3352332 842 zyxyxyzx


3 - 41

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 3 .3 :

1.- 442 22 xxx

2.- 22693 aaa

3.- 222442 yxyxyx

4.- 222530953 yyy

5.- 912432 22 aaa

6.- 222912432 bababa

7.- 4222 1616442 aaa

8.- 2221624943 bababa

9.- 23623 3624462 bbxxbx

10.- 4236223 912432 yyxxyx

11.- 6348234 412923 yyxxyx

12.- 63224232 693 zyzxyxzyx

13.- 6432326423232 9241634 dcdcyayadcya

14.- 62332642332 1616442 nmmnyxyxmnyx

15.- 126510265 1612943 yyxxyx

16.- 963 22 xxx

17.- 1616442 22 aaa

18.- 224161624 xxx

19.- 222412923 yxyxyx

20.- 2229302535 yxyxyx

21.- 4224222 2 yyxxyx

22.- 4224222 96432 yyxxyx

23.- 1616442 2422 aaa

24.- 4236223 1616442 bbaaba

25.- 6348234 442 yyxxyx

26.- 4236223 412923 yyxxyx

27.- 84510245 9121634 bbaaba

28.- 2 2x y x y x y

29.- 2 2m n m n m n

30.- 2 2a x x a a x

31.- 2 2 2 2 4 4x a x a x a

32.- 22 1 1 2 4 1a a a

33.- 21 1 1n n n

34.- 2 21 3 3 1 1 9ax ax a x

35.- 22 9 2 9 4 81m m m

36.- 3 2 3 2 6 4a b a b a b

37.- 2 2 4 23 3 9y y y y y y

38.- 2 21 8 8 1 1 64xy xy x y

39.- 2 2 2 2 4 4 26 6 36x m x x m x x m x

40.- 2 2m n m n m na b a b a b

41.- 2 23 5 5 3 9 25a m m a a mx y y x x y

42.- 1 1 1 1 2 2 2 22 2 4x x x x x xa b b a a b

43.- 22422 bababa

44.- 22 943232 yxyxyx

45.- 24162424 aaa

46.- 442222 943232 nmnmnm

47.- 492323 2 xxx

48.- 1644242 2 xxx

49.- 21644242 yyy

50.- 2595353 2 xxx

51.- 462323 422 yxyxyx

52.- 2422 943232 xxxxxx

53.- 221694343 baabab

54.- 12743 2 xxxx

55.- 10725 2 aaaa

56.- 24583 2 aaaa

57.- 6532 2 xxxx


3 - 42

58.- 12426 2 aaaa

59.- 2054 2 aaaa

60.- 4541 2 aaaa

61.- 632 2 aaaa

62.- 5687 2 xxxx

63.- 1243 2422 xxxx

64.- 15853 422 aaaa

65.- 14572 2422 xxxx

66.- 2045 3633 xxxx

67.- 6011415 3633 aaaa

68.- 623 4844 xxxx

69.- 24264 51055 xxxx

70.- 32484 61266 xxxx

71.- 623 22 xyyxxyxy

72.- 24264 22 abbaabab

73.- 10352 22442222 yxyxyxyx

74.- 2045 32633 babababa

75.- 18963 2 aaaa

76.- 3 3 22 6 12 8a a a a

77.- 3 3 21 3 3 1x x x x

78.- 3 3 23 9 27 27m m m m

79.- 3 3 24 12 48 64n n n n

80.- 3 3 22 1 8 12 6 1x a x x

81.- 3 2 31 3 1 9 27 27y y y y

82.- 3

2 2 4 62 8 12 6y y y y

83.- 3 2 31 2 1 6 12 8n n n n

84.- 3 3 24 3 64 144 108 9n n n n

85.- 3

2 6 4 2 2 32 6 12 8a b a a b a b b

86.- 3 3 2 2 32 3 8 36 54 27x y x x y xy y

87.- 3

2 2 4 61 1 3 3a a a a

88.- 3 3 9 6 3 3 6 93 2 27 54 36 8a y a a y a y y

89.- 3 2 35 2 125 150 60 8x x x x

90.- 3 3 25 15 75 125x x x x

R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O S 3 .4 :

1.- 22 74914 xxx

2.- 22 396 xxx

3.- 222 74495616 yxyxyx

4.- 222 339189 yxyxyx

5.- 222 46164836 nmnmnm

6.- 22 54254016 xxx

7.- 222 244 yxyxyx

8.- 22 112 xxx

3 operaciones algebraicas

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