tema 3: expresiones algebraicas

IES MARE NOSTRUM – MÁLAGA GUILLERMO COTRINA CUENCA

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TEMA 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 2

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ........................................................................................................ 3

2. POLINOMIOS. OPERACIONES........................................................................................................ 3

2.1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. .......................................................................................... 4

2.2. PRODUCTO DE POLINOMIOS. FACTOR COMÚN. .................................................................. 5

2.3. POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES. ...................................................... 5

2.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. ................................................................................................... 6

2.5. REGLA DE RUFFINI. ................................................................................................................ 7

3. TEOREMAS DEL RESTO Y DEL FACTOR. RAÍCES DE UN POLINOMIO. ........................................... 8

4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. ............................................................................................... 9

4.1. SACAR FACTOR COMÚN ........................................................................................................ 9

4.2. PRODUCTOS NOTABLES. ..................................................................................................... 10

4.3. REGLA DE RUFFINI. .............................................................................................................. 11

4.4. FACTORIZACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO. ................................................................. 11

5. FRACCIONES ALGEBRAICAS. OPERACIONES. .............................................................................. 13

5.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS POLINOMIOS. .......................................................... 13

5.2. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. .................................................................. 13

5.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. .............................................................. 14

5.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. ........................................................................... 14


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TEMA 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

INTRODUCCIÓN Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números.

En realidad, la utilización de letras dentro del ambiente matemático es muy vieja.

— Los griegos escribían los números mediante las letras de su alfabeto: α era 1, β era 2, γ era 3, δ era 4, ... — La numeración romana también utilizaba letras.

Pero en ambos casos, cada letra representaba un número bien determinado.

El álgebra comienza, en realidad, cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los mismos números. Ese cualquier número se representa con una letra y se da, así, el paso de la aritmética, que se interesa por los número concretos, al álgebra. En un principio, las operaciones generales con números cualesquiera se describían con un montón de palabras: ¿Cuánto vale “la cosa” que, si se triplica y se la añade diez, vale el cuadrado de “la cosa”? Por el uso de la palabra se le llamó álgebra retórica.

Luego, los matemáticos se inventaron una especie de taquigrafía para decir lo mismo pero en menos espacio.

Así: Tres veces “cosa” más diez, es “cosa” por “cosa”. ¿Cuánto es “la cosa”? Se inició así el período del álgebra sincopada, es decir, abreviada. La cosa, era el término técnico para la incógnita.

Hacia el siglo XVI, los matemáticos ya se habían dado cuenta de que sería mejor tener símbolos para la cosa buscada, es decir, para la incógnita (x) y para los números que intervenían en las ecuaciones cuando no importaba qué números concretos debían ser.

En esta época (del álgebra simbólica) el problema anterior ya se expresaba así:

¿Cuánto es x si 3𝑥 + 10 = 𝑥2?

Al darse cuenta de que el método para resolver una ecuación como esta sirve igual si, en lugar de 3 y 10, hay otros números cualesquiera, el problema tomó la forma más abstracta: Hallar x tal que 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥2.

El álgebra es, sobre todo, una invención de los árabes en el siglo IX, y su expansión hacia Europa en el siglo XII tuvo lugar gracias al trasvase de cultura que se desarrolló en la península ibérica hacia este periodo.

Harun al-Rashid, el sultán de Bagdad que aparece en Las Mil y una Noches, fue un gran protector de las ciencias y de las letras, como también su hijo, Al-Mamun. Durante el reinado de este, en el siglo IX, vivió en Bagdad el mejor matemático de la época, Al-Khowarizmi, que escribió, hacia el año 825, una obra titulada Aljabr w´al muqabalah (Ciencia de la restauración y oposición) y que constituía el primer tratado de álgebra.

Esta obra fue traducida al latín hacia 1140 por el sevillano Juan de Luna (Johannes Hispaliensis) y, un poco más tarde, por un italiano, Gerardo de Cremona, quien vino a Toledo para aprender árabe y hacerse así capaz de leer las obras sobre astronomía y otras matemáticas de los árabes.

De los siglos X al XIII, Toledo fue para la ciencia europea el centro fundamental de atracción. Gerberto, el Papa más cultivado científicamente en la historia de la Iglesia, llegó a ser, tal vez, el hombre más culto de su tiempo y, antes de ser Papa, fue enviado a España, a finales del siglo X, para completar su formación. En el siglo XIII, Alfonso X el Sabio instituyó en Toledo la Escuela de Traductores, desde donde la ciencia griega y árabe se esparcieron por toda Europa.


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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras -que llamaremos variables-, números y signos de operaciones.

Ejemplo: Expresa el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular:

Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos:

Perímetro: 2·x + 2·y;Área: x·y

Ejemplos: También son expresiones algebraicas:

√𝑥2 + 4, 𝑥+2

𝑥−2, 4𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 5, 4 +

5

𝑥

Valor numérico: el valor numérico de una expresión algebraica es el valor que resulta de sustituir las letras por números concretos y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplos: Calcula los siguientes valores numéricos:

-2a2 +3a – 9para a = 5

4𝑥−5𝑦

𝑥𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1, 𝑦 = 2

(3a2 + 12) : ( - a2 + 7) para a = -1

2. POLINOMIOS. OPERACIONES.

−2𝑎𝑏 ∙ 3𝑎2𝑏 = −6𝑎3𝑏2

Recuerda:

Un monomio es una expresión algebraica en la que sólo aparecen la multiplicación y la potencia de exponente natural.

CoeficienteParte literal

−3𝑥2𝑦⏞Grado: 2+1 = 3

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

A. Suma y resta: Para sumar o restar dos monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y se deja la misma parte literal. Dos monomios que no sean semejantes no se pueden sumar ni restar.

Ejemplos:

a) xxxx 3234 b) xyxyxyxyxy 5482

c) 222

6

5

2

1

3

4xxx d) 5𝑎𝑏 − 5𝑎 + 4𝑎𝑏 − 7𝑎 + 𝑏 − 2𝑏𝑎 = 7𝑎𝑏 − 12𝑎 + 𝑏

B. Producto: para multiplicar dos monomios se multiplican por un lado sus coeficientes y por otro sus partes literales. El producto de dos monomios siempre es un monomio:

C. Cociente: para dividir dos monomios se dividen por un lado sus coeficientes y por otro sus partes literales. El resultado no siempre es un monomio:

12𝑥2: 6𝑥 = 2𝑥→ si es un monomio

3𝑥5: 2𝑥2 =3

2𝑥3→ si es un monomio

12𝑥2: 6𝑥4 = 2𝑥−2→ no es un monomio


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Un polinomio es una suma o resta indicada de dos o más monomios no semejantes.

Un polinomio está en su forma reducida si no tiene monomios semejantes.

En un polinomio se llama:

Término, a cada uno de los sumandos que forman el polinomio.

Grado, al mayor de los grados de cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Término independiente: al término numérico, es decir, sin letras, si es que existe. Se puede decir que el término independiente es el término de grado 0, ya que si tenemos un número solo, por ejemplo

3, tenemos: 033 x

Ejemplos:

2𝑥5 + 3𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 6 → Forma reducida, 5 términos, grado 5

5𝑥2𝑦 − 3𝑥2 + 𝑥6 + 6𝑦 − 𝑥2 + 7𝑥2𝑦 − 𝑥6 + 2𝑦 = 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒚 → Forma reducida, 3 términos, grado 3

Se llama coeficiente líder o principal de un polinomio al coeficiente del término de mayor grado.

Un polinomio se dice ordenado si los monomios que lo forman están ordenados en función de su grado, y completo si contiene todos los términos desde el término independiente hasta el de mayor grado.

Ejemplos:

2𝑥5 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1

{

Polinomio reducido, incompleto y ordenado

4 términos grado 5

Coeficiente principal: 2Término independiente: − 1

Un polinomio de dos términos se llama binomio, de tres trinomio, etc.

Un polinomio se dirá que es mónico si su coeficiente principal es 1.

2.1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

Para calcular la suma de dos o más polinomios lo que se hace es agrupar los monomios que son semejantes.

Y para restar dos polinomios se le suma al primero el opuesto del segundo, es decir, se le suma al primero el segundo cambiando los signos de todos los términos.

Ejemplo: Sean P(𝑥) = 6𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥 − 6 y 𝑄(𝑥) = 7𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥

𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (6𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥 − 6 ) + (7𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥) = 6𝑥4 + 7𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥 − 6

𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (6𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥 − 6 ) - (7𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥) = 6𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥 − 6 − 7𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 =6𝑥4 − 6𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 − 6

Tendremos que notar que el grado de la suma o resta de varios polinomios ha de ser menor o igual que el mayor grado de los mismos.

Ejemplos: Dados los polinomios

𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2, 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 + 5𝑥2 − 8𝑥 + 1, 𝑅(𝑥) = −3𝑥4 + 2𝑥2 − 4

calcula:

a) 𝑃(𝑥) + 2𝑄(𝑥) b) 5𝑃(𝑥) − 3𝑅(𝑥) c) 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)


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2.2. PRODUCTO DE POLINOMIOS. FACTOR COMÚN.

Producto de un monomio por un polinomio: para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica dicho monomio por todos los términos del polinomio.

Ejemplo: 3𝑥2 ∙ (𝑥3 − 2𝑥 + 3) = 3𝑥5 − 6𝑥3 + 9𝑥2

Se observa que el grado del producto es la suma de los grados del monomio y el polinomio.

Producto de dos polinomios: para multiplicar dos polinomios e multiplica cada término del primero por todos los términos del segundo, operando posteriormente con los términos semejantes para dejarlo en forma reducida.

Ejemplo: (4𝑥3 − 2𝑥2 + 5) ∙ (6𝑥3 − 7𝑥2 + 2) =

= 24𝑥6 − 28𝑥5 + 8𝑥3 − 12𝑥5 + 14𝑥4 − 4𝑥2 + 30𝑥3 − 35𝑥2 + 10 =

= 24𝑥6 − 40𝑥5 + 14𝑥4 + 38𝑥3 − 39𝑥2 + 10

Se observa que gr(p·q)=gr(p)+gr(q)

Ejemplos: Efectúa los siguientes productos de polinomios:

a) −3𝑥 ∙ (𝑥3 + 2𝑥 − 5) =

b) (3𝑥2 − 5) ∙ (4𝑥3 − 2𝑥2 + 5)

c) (𝑥2 − 𝑥 + 3) ∙ (−3𝑥4 + 2𝑥2 − 4)

Cuando todos los términos de un polinomio son múltiplos de un monomio, podemos extraer dicho monomio como factor común. Este monomio cumplirá las siguientes características:

Coeficiente: será el máximo común divisor de todos los coeficientes

Parte literal: estará compuesta por las variables que se repitan en todos los términos elevadas al menor exponente con el que aparezcan.

Ejemplos: Saca factor común en las siguientes expresiones.

a) 3𝑥4 − 6𝑥2 + 9𝑥 = 3𝑥 ∙ (𝑥3 − 2𝑥 + 3)

b) 3

10𝑥3𝑦2 −

2

5𝑥2𝑦3 +

1

15𝑥2𝑦2 =

1

5𝑥2𝑦2 (

3

2𝑥 − 2𝑦 +

1

3)

c) 6𝑥5 − 2𝑥 = 2𝑥 ∙ (3𝑥4 − 1)

d) 3𝑥3 ∙ (𝑦 − 1) + 6𝑥2 ∙ (𝑦 − 1) − 12 ∙ (𝑦 − 1) = 3 ∙ (𝑦 − 1) ∙ (𝑥3 + 2𝑥2 − 6)

2.3. POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES.

Igual que ocurre con números, para calcular la potencia de un polinomio se multiplica el polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente. Para indicar la potencia se escribe (𝑃(𝑥))𝑛 ó 𝑃𝑛(𝑥).

Ejemplos:

a) (−5𝑥4)3 = (−5𝑥4) ∙ (−5𝑥4) ∙ (−5𝑥4) = −125𝑥12

b) (𝑥3 + 2𝑥)3 = (𝑥3 + 2𝑥) ∙ (𝑥3 + 2𝑥) ∙ (𝑥3 + 2𝑥) = (𝑥6 + 2𝑥4 + 2𝑥4 + 4𝑥2) ∙

(𝑥3 + 2𝑥) = (𝑥6 + 4𝑥4 + 4𝑥2) ∙ (𝑥3 + 2𝑥) = 𝑥9 + 2𝑥7 + 4𝑥7 + 8𝑥5 + 4𝑥5 + 8𝑥3 =

𝑥9 + 6𝑥7 + 12𝑥5 + 8𝑥3 =

Nótese que dentro del

paréntesis debe haber tantos

términos como tenía el

polinomio original


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En el desarrollo de las matemáticas existen tres tipos de operaciones con binomios que dada su importancia reciben el nombre de “notables”. Éstas son importantes debido a que aparecen mucho más frecuentemente que las otras y normalmente ayudan una gran variedad de problemas. Destacaremos las siguientes tres:

a) Cuadrado de una suma: el cuadrado de un binomio suma es el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Un ejemplo sería: (𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

b) Cuadrado de una resta o diferencia: el cuadrado de un binomio resta es el cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Un ejemplo sería: (𝑥 − 3)2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9

c) Suma por diferencia: el producto de un binomio suma por su binomio resta es igual a la diferencia de cuadrados de sus términos, es decir, al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.

(𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Un ejemplo sería: (𝑥 − 1) · (𝑥 + 1) = 𝑥2 − 1

Ejemplos: Calcula los siguientes productos notables:

a) (𝑥3 + 2𝑥)2 = 𝑥6 + 4𝑥4 + 4𝑥2 b) (5𝑥2 − 4)2 = 25𝑥4 − 40𝑥2 + 16

c) (√𝑥 − 2) ∙ (√𝑥 + 2) = 𝑥 − 4 d) 2

52x

e) 22 53x f) 5454 xx

2.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Para poder efectuar la división de polinomios lo que se suele hacer es aplicar el algoritmo de la división euclídea. Éste consta de los siguientes pasos:

1. Los polinomios, dividendo y divisor, se ordenan de mayor a menor grado, completando el dividendo o dejando los espacios correspondientes.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente

3. Se multiplica dicho término por el divisor colocando el resultado cambiado de signo debajo del dividendo, haciendo coincidir los términos que son semejantes.

4. Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial, que recibe el nombre de resto parcial.

5. Se continúa el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

6. Finalmente se comprueba que dividendo es igual a divisor por el cociente más el resto.

Esto es, D(x) = d(x) ∙ C(x) + R(x). donde gr[R(x)] < gr [d(x)]


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Ejemplo: Sea 𝑝(𝑥) = 5𝑥5 − 4𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥 − 5 y 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2.

5𝑥5 −4𝑥4 −2𝑥3 0𝑥2 𝑥 −5 𝑥2 + 𝑥 − 2

−5𝑥5 −5𝑥4 +10𝑥3 5𝑥3 − 9𝑥2 + 17𝑥

− 35

−9𝑥4 +8𝑥3 +0𝑥2

+9𝑥4 +9𝑥3 −18𝑥2

+17𝑥3 −18𝑥2 +𝑥

−17𝑥3 −17𝑥2 +34𝑥

−35𝑥2 +35𝑥 −5

+35𝑥2 +35𝑥 −70

+70𝑥 −75

Cociente: 𝐶(𝑥) = 5𝑥3 − 9𝑥2 + 17𝑥 − 35.

Resto: 𝑅(𝑥) = 70𝑥 − 75.

Se comprueba que 𝑝(𝑥) = [(𝑥2 + 𝑥 − 2) · (5𝑥3 − 9𝑥2 + 17𝑥 − 35)] + 70𝑥 − 75

Ejemplos:

a) 123:1449 224 xxxxx

b) 12:424 3346 xxxxxx

c) xxxxx 2:57124 234

2.5. REGLA DE RUFFINI.

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un

polinomio por un binomio de la forma (𝑥 ± 𝑎). Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos

𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5 y 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1. La división se realiza como sigue:

1. Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el término independiente de q(x) cambiado de signo, en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado. Este paso se corresponde con la figura 1.


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2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2.

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente. Resto = 5 y 𝐶(𝑥) =2𝑥2 + 3𝑥.

Ejemplos: Efectúa las siguientes divisiones usando la regla de Ruffini e indica cuál es el cociente y el resto.

a) (5𝑥4 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2): (𝑥 + 1)

b) (𝑥6 − 4): (𝑥 − 2)

3. TEOREMAS DEL RESTO Y DEL FACTOR. RAÍCES DE UN POLINOMIO.

Teorema del resto: El resto que se obtiene al dividir )(xP entre ax es igual al valor numérico del

polinomio para ax :

)(aPR

Demostración:

Como el divisor es de grado uno, el resto de la división tiene que ser un número, con lo que si llamamos )(xC al cociente y R al resto, tenemos:

RaxxCxP ))(()(

Sustituyendo x por a, tenemos:

RaPRaaaCaP )()()()(

Ejemplos:

a) El resto de la división de 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥 − 3 entre 𝑥 − 2 es 33, ya que:

𝑃(2) = 4 ∙ 23 + 2 ∙ 2 − 3 = 33

b) Calcula el valor de k para que la división de 2𝑥3 + 𝑘𝑥2 − 13𝑥 + 6 entre 𝑥 + 2 sea exacta.

Como queremos que la división sea exacta, 𝑃(−2) tiene que ser 0:

𝑃(−2) = 2 ∙ (−2)3 + 𝑘 ∙ (−2)2 − 13 ∙ (−2) + 6 = −16 + 4𝑘 + 26 + 6 = 16 + 4𝑘 →

16 + 4𝑘 = 0 → 𝑘 =−16

4= −4


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Teorema del Factor: Un polinomio P(x) tiene como factor a x-a, o es divisible por el binomio x-a, si el valor numérico de dicho polinomio para x=a es cero.

Este resultado es consecuencia inmediata del anterior, ya que si P(a) = 0, por el resultado anterior el resto de la división es 0, luego P(x) es divisible por x-a.

Ejemplo: Si queremos saber si la división de 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 entre 𝑥 − 1 es exacta, calculamos 𝑃(1):

𝑃(1) = 1 − 3 + 2 = 0 → La división es exacta.

Llamamos raíz de un polinomio P(x) a cada uno de los números r para los cuales el valor numérico del polinomio es cero.

0)()( de raíz es rPxPr

Ejemplos:

1 es raíz de 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 1, ya que 𝑃(1) = 0

Pero 2 no es raíz de 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 1, ya que 𝑃(2) = 3

Fíjate que calcular una raíz de un polinomio P(x) es lo mismo que resolver la ecuación P(x)=0. Calcula una raíz de 2𝑥 + 1

Se dice que r es raíz doble de un polinomio P(x) si es raíz de P(x) y también del cociente que resulta al dividir P(x) entre x-r.

Ejemplo: Comprueba que r=-1 es raíz doble de 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3

4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado de forma que su producto sea el polinomio dado.

Básicamente se usan tres técnicas para factorizar un polinomio: sacar factor común, utilizar los conceptos de identidades notables y utilizar Ruffini sucesivamente (división exacta para factorizar).

4.1. SACAR FACTOR COMÚN

Como hemos visto antes, cuando hay un factor (normalmente un monomio, aunque hemos visto en los ejemplos anteriores que también puede ser un polinomio) que se repite en todos los términos de un polinomio, podemos sacar factor común. Así, ya hemos conseguido poner el polinomio de partida como producto de un monomio por un polinomio o incluso de dos polinomios.

Ejemplos:

a) 3𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 ∙ (3𝑥 − 2)

b) 2𝑥9 + 𝑥6 − 3𝑥4 = 𝑥4 · (2𝑥5 + 𝑥2 − 3)

c) 6𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 2 ∙ (3𝑥2 + 2𝑥 − 4)

d) 3𝑥4 − 6𝑥3 + 15𝑥2 + 9𝑥 = 3𝑥 ∙ (𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 3)


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4.2. PRODUCTOS NOTABLES.

Otra manera de factorizar un polinomio es identificarlo como el resultado de un producto notable, es decir, identificar las fórmulas que hemos visto antes "al revés". Recordemos estas fórmulas:

22

222

222

)()(

2

2

bababa

bababa

bababa

A la vista de estas fórmulas, podemos llegar a las siguientes conclusiones:

Para que un polinomio sea el resultado de efectuar un producto notable sólo puede ser un trinomio o un binomio. Si tiene más términos queda descartada esta opción.

Si es un trinomio (tres términos), puede ser el cuadrado de una suma o de una diferencia. Para que esto sea posible, el primer término y el último tienen que ser cuadrados perfectos. A partir de estos dos términos y del signo del segundo término, se establece el binomio de partida, y se comprueba si efectivamente el término central es el doble producto del primero por el segundo.

Ejemplos:

a) 𝒙𝟐 + 6𝑥 + 𝟗 = (𝑥 + 3)2

b) 𝟗𝒙𝟐 − 6𝑥 + 𝟏 = (3𝑥 − 1)2

c) 𝒙𝟒 + 4𝑥2 + 𝟒 = (𝑥2 + 2)2

d) 𝑥2 + 2𝑥 − 1 No viene de ningún producto notable, ya que el signo del último término no puede ser -

Si es un binomio, tiene que ser el resultado de hacer una suma por una diferencia. En este caso, el binomio tiene que ser una diferencia de dos términos y los dos términos tienen que ser cuadrados perfectos, y el producto notable de partida es la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de dichos términos.

Ejemplos:

a) )5)(5(252 xxx

b) )12)(12(14 2 xxx

c) 252545 224 xxx

Ejemplos: Usando los productos notables, factoriza los siguientes polinomios:

a) 9𝑥2 − 4 b) 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 c) 4𝑥6 − 8𝑥3 + 1

d) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 e) 𝑥4 − 7 f) 16𝑥2 + 24𝑥 + 9

Poner un ejemplo combinando ambos casos

Los dos son cuadrados perfectos. Sus raíces son x y 3, y como el signo del término del centro es +, el binomio tiene que ser x+3. Comprobamos que el término del centro es el doble producto del primero por el segundo.


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4.3. REGLA DE RUFFINI.

Veamos ahora qué podemos hacer si tenemos un polinomio al que no le podemos aplicar ninguno de los casos anteriores. Dado un polinomio cualquiera P(x), intentaremos descomponerlo como producto de binomios de la forma (𝒙 ± 𝒂). Para ello, al dividir P(x) entre un binomio de este tipo el resto ha de ser 0.

Por tanto, según los resultados vistos en el apartado anterior, si encontramos las raíces de un polinomio lo podemos factorizar, ya que si x=a es raíz sabemos que podemos dividir entre x-a y la división es exacta.

Pero, ¿con qué números probamos? La respuesta nos la da el siguiente resultado:

Teorema: Las raíces enteras de un polinomio están entre los divisores del término independiente siempre

que éste no sea nulo.

Teniendo en cuenta esto, para factorizar un polinomio sólo hay que aplicar Ruffini sucesivamente probando por los divisores del término independiente y buscando que el resto sea cero.

Lo veremos en el siguiente ejemplo: factorizar el polinomio x3 + 2x2 – x – 2

Los divisores de – 2 son {1, -1, 2, -2}

Probemos con 1: da de resto 0

Volvemos a probar por 1, pero no da de resto 0, entonces probamos por -1 y si sale.

En este paso descartamos ya el 1, entonces probamos por -1 y no sale, probamos por 2 y tampoco, probamos por -2 y si sale.

La descomposición factorial quedaría como sigue: x3 + 2x2 – x – 2 = (x – 1) ∙ (x + 1) ∙ (x + 2) ∙ 1

Otros ejemplos a realizar en el aula para una mejor comprensión pues contemplan distintos casos serían:

a) x3 - 3x2 – 13x + 15= (x – 1) ∙ (x + 3) ∙ (x - 5) ∙ 1

b) x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) ∙ (x2 + x + 1) ∙ 1

c) 𝑥3 − 𝑥2 − 16𝑥 − 20 = (𝑥 + 2)2 ∙ (𝑥 − 5)

d) 3x3 + x2 – 3x – 1 = (x – 1) (x + 1) (3x + 1)

e) 2x4 + 2x3 – 3x2 + x – 2 = (x – 1) (x + 2) (2x2 + 1)

4.4. FACTORIZACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO.

Por tanto, dado un polinomio P(x), los pasos generales que hay que dar para factorizarlo son:

1º. Comprobar si se puede sacar factor común.

2º. En el polinomio que queda después de sacar factor común o en el de partida si no se ha podido, ver si el polinomio viene de algún producto notable.

3º. Si no se ha podido aplicar ninguno de los pasos anteriores o el paso 2º, intentar descomponer el polinomio usando la regla de Ruffini, probando con los divisores del término independiente.

4º. Si llegamos a un polinomio de grado mayor que uno que no se puede factorizar más probando con los divisores del término independiente pueden ocurrir dos cosas:

1 2 -1 - 2

1 1 3 2

1 3 2 0

-1 -1 -2

1 2 0

-2 -2

1 0


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Que el polinomio sea irreducible, es decir, que no tenga ninguna raíz real más, como por ejemplo x2+1.

Que el polinomio no tenga raíces enteras pero sí raíces racionales. En este caso, si el polinomio es de grado mayor que 2 no podemos hacer nada; pero si es de grado 2 podemos factorizarlo resolviendo la ecuación de segundo grado P(x) = 0.

Ejemplo: Si queremos factorizar 𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 𝑥 − 2, al probar por Ruffini vemos que no podemos. Tampoco es un binomio que venga de un producto notable. Resolvemos P(x)=0 y tenemos:

6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 =1 ± √1 + 48

12=1 ± √49

12=1 ± 7

12= {

8

12=2

3−6

12= −

1

2

Un binomio que tenga de raíz 2

3 y con coeficientes enteros es 3𝑥 − 2, y uno que tenga de

raíz −1

2 es 2𝑥 + 1. Puedes comprobar que:

𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)

Tenemos que tener en cuenta que, igual que ocurre con los números, no siempre es posible factorizar un polinomio. Cuando un polinomio no se puede factorizar se dice que es irreducible.

Ejemplos:

a) 323 327279)( xxxxxP

b) 2612356)( 2234 xxxxxxxxxP

c) 22 234129)( xxxxP

d) 4𝑥4 − 16𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 4 = (𝑥 − 2)2(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)

Las posibles raíces del término independiente son: {±1, ±2, ±4}

Si probamos con 1 y con -1 no sale, así que al probar por 2 tenemos:

El último polinomio es de grado 2, pero no tiene ninguna raíz entera. Si expresamos la factorización tenemos:

4𝑥4 − 16𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 4 = (𝑥 − 2)2 (4𝑥2 − 1)⏟ 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

= (𝑥 − 2)2 ∙ (2𝑥 + 1) ∙ (2𝑥 − 1)

No nos ha salido la factorización completa usando Ruffini, pero sí usando los productos notables. Esto ocurre porque las raíces de 4x2-1 no son enteras

e) 10𝑥2 + 13𝑥 − 3= (5x-1).(2x+3)

4 -16 15 4 -4

2 8 -16 -2 4

4 -8 -1 2 0

2 8 0 -2

4 0 -1 0


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5. FRACCIONES ALGEBRAICAS. OPERACIONES.

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios: 0)(con )(

)(xQ

xQ

xP

Ejemplos: ,...1

4,

47

5322

xx

x

Vamos a ver que la forma de trabajar con fracciones algebraicas es totalmente análoga a como trabajamos

con las fracciones numéricas.

Dos fracciones algebraicas son equivalentes si el numerador y el denominador de una se obtienen de multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la otra por un mismo polinomio no nulo.

Por tanto, para simplificar una fracción algebraica se descomponen en factores el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes.

Ejemplos:

a)

2

1

2

21

44

2223

2

xx

x

xx

xx

xxx

xx

b)

2

2

2

22

44

4222

xx

x

xx

x

c) 234

23

65

6

xxx

xxx

5.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS POLINOMIOS.

Igual que ocurre con los números, para calcular el m.c.m. de dos o más polinomios:

Se hace la descomposición factorial de los polinomios como hemos visto antes.

El m.c.m. es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Ejemplos: Calcula el m.c.m. de los siguientes polinomios:

a) 96)(,12)( 22 xxxQxxxP

Hacemos la descomposición factorial de los polinomios y cogemos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

43)(),(

396)(

4312)( 2

22

2

xxxQxPmcm

xxxxQ

xxxxxP

b) 1)(,1)( 323 xxQxxxxP

5.2. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

Para sumar o restar fracciones algebraicas, igual que con las numéricas, se pasan a fracciones equivalentes con el mismo denominador (el m.c.m. de los denominadores) y luego se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.


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Ejemplos:

a) 5

5

5

232

5

2

5

32

x

x

x

xx

x

x

x

x

b) 2

222

2

22

2

121

2

343443333

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

c)

22222

114

2

1051

2

251

2

5

44

1

x

x

x

xx

x

xx

xxx

x

5.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

Otra vez igual que con números, el producto de dos fracciones algebraicas es una fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores.

Como el resultado hay que simplificarlo todo lo que se pueda, los productos se dejan indicados y lo que se hace es factorizar los polinomios que aparezcan a ver si se puede simplificar.

Ejemplos:

a)

522

522

22

54

2

5

2

42

2

2

2

2

2

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

b)

172

2

17172

2217

14944

417

149

4

44

17222

2

2

2

2

xx

x

xxx

xxx

xxx

xx

x

x

xx

x

c) 124

55

1

622

x

x

x

x

5.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

Para dividir dos fracciones algebraicas se multiplica la primera por la inversa de la segunda, es decir, se multiplica en cruz. Igual que en el caso del producto, las operaciones se dejan indicadas y lo que se hace es facttorizar los polinomios.

Ejemplos:

a) 1

1

11

1

1

1

1

1:

1

122

xxx

x

x

x

xx

b)

25

1

2533

33

259

33

3

25:

9

322

22

2

2

xxxxx

xxx

xxx

xxx

x

xx

x

xx

c) x

x

x

x 1:

1 2

2

4

tema 3: expresiones algebraicas

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