3° geometria - 200 millas

RECTA

Lnea Recta se prolonga hasta el infinito en dos direcciones. Esto significa que no tiene puntos finales. Generalmente indicaremos esto en nuestro diagrama poniendo puntos de flechas en los extremos de la figura trazada para representar una recta. A menudo se designa una recta por una letra minscula, como la recta m en la figura adjunta. Tambin con frecuencia designamos una recta por las letras asignadas a dos de sus puntos :

SQ o QS son otros nombres para la recta m.

POSTULADO DE LA RECTA Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene. La recta que contiene los puntos A y B se denota por AB. SEGMENTO DE RECTA La unin del conjunto que contiene a los puntos M y N de la recta l y el conjunto de todos los puntos de l que estn entre M y N se llama segmento y se

simboliza por MN . La longitud o medida de MN es la distancia entre M y N y de designa por MN. M

y N se llaman puntos extremos de MN .

OPERACIONES CON LONGITUDES DE SEGMENTOS

Suma : AC = AB + BC

Diferencia : QR = PR - PQ

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Sobre una lnea recta YY se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E con la condicin : AC + BD + CE=44m. Halla la

longitud del segmento AB , si AE=25m y DE=2. AB. Solucin : Por condicin : AC + BD + CE = 44

AE + BD = 44 25 + BD = 44

BD = 19

Del grfico 25=AB + BD + DE

25 = AB + 19 + 2 AB AB=2

Luego la longitud del segmento AB = 2m

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha :31/03/04

Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad

TEMA : LNEA RECTA, SEGMENTO DE RECTA

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

Q S

A B

M N

M N

l

A C B

P R Q

A D B C E

25

Colegio Privado

D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S

2

2) Sobre una recta, se tiene los puntos consecutivos A; M, O; R de tal modo que

AM =4m y OR = 6m. Halla MO ; si :

-1-1-1 )AO2( )AR( )AM(

Solucin : Dato :

AO

2

AR

1

AM

1

Reemplazando :

x4

2

x10

1

4

1

Al resolver la ecuacin :

x = -12 ( no cumple)

x = 2 MO = 2m

3) Halla x , si AD=36m.

CD6 BC3 AB

Solucin : AD = AB + BC + CD

36 = 6x + 2x + x

36 = 9x x = 4m

4) Calcula x :

Adems : AC = CD ; AB = BC ;

AD=20m

Solucin :

AD = AB + BC + CD 20 = 4x

5m = x 5) Del grfico , halla x :

Solucin : Se observa :

CD BC AB AD

25 = 13 x + x + 18 x

25 = 31 x

x = 31 25

x = 6

6) Halla x, si AD=28.

Solucin :

Se observa :

CD BC AB AD

28 = 19 x + x + 14 x

28 = 33 x

x = 33 - 28

x = 5m

M O

A

6 4 x

R

B C D

x

A

B C D A

x 2x 6x

B C D A

x x 2x

B C D A

25 x

18

13

B C D A

x

14

19

B C D A

x

Colegio Privado


3

CUESTIONARIO 1).- Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y

D son tales que : AD = 18, BD = 13 y AC = 12, halla BC a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

2).- P, Q y R son tres puntos consecutivos de una recta PQ = 2QR + 1, y PR = 31.

Calcula QR a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

3).-Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B y C tales que AB = 10 y BC=8. Si M es punto medio de AB, calcula MC a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

4).- Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D tal que AD = 25, AC = 16, BD = 14. Calcula BC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5).- En la figura M es punto medio de AB, calcula a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6).- Si AD = 12, calcula a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7).- Calcula BC, si en la figura se cumple:

2AC + 3OC = 52

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8).- Segn el grfico CD = 3(AB) = 12 y BM = MC = 5. Calcula AB + BC + CD

a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

9).- Segn el grfico AD = 67. Calcula X

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

10).-En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y

E en forma consecutiva, tal que: BC = 3m, CD = 5m, AB DE = 1cm. Calcula AC - DE

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11).- En una recta estn ubicados los puntos A, B, C, D y E. Si: CD = 2(AB) y DE = 2(BC) y AE=27cm. Calcula AC. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

12).- Calcula : BC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13).- Calcula AC, si CD AB = 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10 + a 16 2a

A M B

a - b a + b

A C B

a

D

4

7

O A

C B A

X 2X + 3

A C B

3X - 2

D

A B C D

X

3X

A 9

B C D

a + b a + 2b a

A

B C

D

M

Colegio Privado


4

14).- En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C, si AB = 8 + a;

BC = 10 a. Calcula AC

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

15).- Calcula : BC, si: AC + BD = 21

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D. Si AB=3. BC=4.CD y AD =19m. Halla la longitud del segmento de : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17).- Sobre una lnea recta se consideran los

puntos consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condicin.

AC + ED + CE = 44m. Halla la longitud del

segmento AB , si : AE = 25m y DE = 2 . AB

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C , D y cumplen la ste. relacin : Si AB= 3m y AC=5m. Halla la longitud del segmento AD.

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

19).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A; B, C y D; siendo CD=3AB y AD + 3BC = 60m.

Halla la longitud del segmento AC .

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

20).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A; B, C y D. SI : AB = 2. BC; CD=2AB y AD=28m. Halla la longitud del

segmento BC .

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

21).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A; b; C y D de modo que : AC + =12m y BD=18m. Halla la longitud del segmento que une los puntos medios de

AB y CD .

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

22).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A; B, C y D. Si AB=3m; CD=1m. Halla la longitud del segmento que tiene

por extremos los puntos medios de BD y AC .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23).- Sobre una lnea recta , se consideran los

puntos consecutivos A, B, C y D de modo que : CD=3.BC. Halla la longitud del segmento AC, si :

AD + 3.AB = 20m.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos AB, C y D de modo que : AB=9m y BC=3m. adems AB. CD=AD . BC .

Halla la longitud del segmento CD .

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

25).- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos M, N, P y Q de modo que :

PQ = 3. NP y 3.MN + MQ=4m

Halla MP

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

CLAVES

1) d 2) e 3) d 4) e 5) b

6) d 7) e 8) c 9) a 10)d

11)e 12)c 13)e 14)d 15)c

16)d 17)b 18)d 19)c 20)b

21)c 22)b 23)e 24)c 25)a

7 8 C D B A

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS

COL2004/3/GEOM-01

29/03/04 J.P.B

I. DEFINICIN

Es la reunin de dos rayos que tiene un punto externo comn, es decir tienen el mismo origen. Los dos rayos son los dos del ngulo y el punto externo compn se llama vrtice del ngulo.

II. ELEMENTOS DEL NGULO

a) Lados : OA y OB b) Vrtice : O

c) Simbologa : AOB ; AOB; BOA ; O

ngulos Congruentes Dos o ms ngulos son congruentes si tiene igual medida.

AOB = MNQ

Smbolo de congruencia ()

Bisectriz de un ngulo La bisectriz de un ngulo es el rayo que partiendo del vrtice divide al ngulo en dos ngulos congruentes.

III. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS

1. SEGN SU MEDIDA : 1.1. ngulos convexos :

a) ngulo agudo b) ngulo recto

c) ngulo obtuso

1.2. ngulo llano : es aquel ngulo cuyos lados son dos rayos opuestos es decir colinelaes y su medida es 180.

1.3. ngulos no convexos :

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha :31/03/04


TEMA : NGULOS

COLEGIO PRIVADO


A

O B

A

O B

M

N Q

A

O B

x

O

O

Colegio Privado


2

1.4. ngulo nulo o pergono : Es aquel ngulo cuya medida se considera igual a 0.

2. SEGN SUS CARACTERSTICAS : 2.1. ngulos adyacentes o consecutivos. 2.2. ngulos complementarios :

Si : + = 90 :

- Complemento = 90-

- Complemento = 90 - 2.3. ngulos opuestos por el vrtice:

Si : + = 90 :

- Suplemento = 180 -

- Complemento = 180 - 2.4. ngulos por una secante (L1//L2)

NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS

Son iguales :

a) ngulos alternos internos : (3 y 5 ; 4 y 6) b) ngulos alternos externos : (1 y 7; 2 y 8) c) ngulos correspondientes : (1 y 5; 2 y 6; 4

y 8; 3 y 7) d) ngulos suplementarios:

- Conjugados internos : (3 y 6; 4 y 5) - Conjugados externos : (1 y 8; 2 y 7)

PROBLEMAS RESUELTOS

1) En la figura halla x :

Solucin : Como el ngulo llano mide 180. x + 3x + 9x + 27x = 180

40x = 180

x = 4030

2) Halla el ngulo , cuyo suplemento es ocho veces el ngulo. Solucin : Sea x el ngulo. Dato : 180 x = 8(x)

180= 9x

20 = x

3) El suplemento del suplemento del complemento de cierto ngulo mide 55. Halla el ngulo. Solucin : Sea x el ngulo Dato : 180 (180 (90 x) ) = 35

180 (90 + x) = 55 90 x = 55

x = 45 Nota:

Complemento de = (90-)

Suplemento de = (180 - )

4) L1 // L2. Halla x :

O

B A

mAOB=0

Vrtice comn

A

B

C

D

27x

9x 3x

x

92

18+ x

42+ x

L1

L2

Colegio Privado


3

Solucin .

Como : izquierda = derecha 18 + x + 42 + x = 92

2x = 92 60 2x = 32

x = 16

5) Si ABC en un tringulo equiltero, L1//L2. Halla x

Solucin : 6) Halla el complemento de 20 mas el

suplemento de 130 ms el complemento del suplemento de 120. Solucin .

C(20) + S(130) + CS(120)

90 20 + 180 130 + 90 [180 120]

70 + 50 + 90 60 210 - 60 = 150

CUESTIONARIO I. Escribe V o F segn corresponda: II. Relaciona mediante flechas : III. Subraya la alternativa correcta .

1).- Si a un ngulo se le resta su complemento, resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Halla la medida del ngulo.

a) 40 b) 80 c) 60 d) 70 e) 35

2).- Calcula el complemento 20 ms el suplemento de 110.

a) 140 b) 130 c) 120 d) 90 e) 70

3).- Si el complemento de ms el suplemento

de es igual a 210. Halla . a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240

4).- Calcula la medida de un ngulo sabiendo

que esta es igual a 8 veces su suplemento. a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 200

5).- Calcula la medida de un ngulo sabiendo que esta es igual a la raz cuadrada de su complemento. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

6).- La suma de las medidas de dos ngulos es igual a 78. Si uno de ellos es los 3/5 del complemento del otro. Halla la medida del menor. a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30

7).- El suplemento de un ngulo mas el

complemento de otro ngulo suman 130. Cul es la suma de dichos ngulos?. a) 100 b) 120 c) 140 d) 90 e) 210

8).- Si el complemento del suplemento de la medida de un ngulo es igual a 10. calcula la medida de dicho ngulo. a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100

9).- Si el suplemento del suplemento de la

medida de un ngulo es igual a 36. Calcula el complemento del complemento de dicho ngulo. a) 32 b) 40 c) 36 d) 38 e) 50

10).- Halla =, sabiendo que :

CS() = S()

a) 90 b) 180 c) 270 d) 120 e) 80

11).- Halla el valor de E : E = 2/3 CS120 + SC40 a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 115

L2

L1

100

x A

B

C

L2

L1

100

x

60

60 60 20

Colegio Privado


4

12).- Si : x = 170 Halla : CS(x)

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 50

13).- Halla x : a) 25 b) 35 c) 45 d) 20 e) 30

14).- Halla x :

a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) 20

15).- Halla x : a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 45

16).- Halla x :

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

17).- Halla x :

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

18).- Halla x :

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

19).- Halla x : a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

20).- Halla x : a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

21).- Halla x : a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

22).- OM : bisectriz AOC

ON : bisectriz BOC

a) 50 b) 60 c) 7 d) 80 e) 90

23).- OM es bisectriz del BOC

a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15

24).- En la figura mostrada; m POR=100, OP

es la bisectriz del ngulo x O B, OR es la

bisectriz del ngulo AOX. calcula la medida

del ngulo A O B.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

x x

20

3x+60

x 120

x+10 x

x+10 4x x

x

4x

20 20

30

20

A

B

M

C

O x

110 x+30

100

2x x

x x

105

O

x

O

N

B A

M

C

20

x

A

B

M

C

x

P

B

A

R

x

e i

i

e

1. DEFINICIN Se denomina polgono a la figura geomtrica formada por la reunin de tres a ms segmentos de recta que tienen sus extremos comunes dos a dos.

2. ELEMENTOS

2.1. Vrtices : A, B, C, D, ...

2.2. Lados : CD,BC,AB , ....

2.3. ngulos : Interior =

Exterior =

2.4. Diagonales : ,...DF,CF

2.5. Permetro (2p) :

Nota: Si un polgono tiene n lados, entonces tendr n vrtices y n ngulos.

3. CLASIFICACIN 3.1. Polgonos Equilteros :

Son aquellos polgonos que tienen sus lados congruentes. Ejem :

3.2. Polgonos Equingulos :

Son aquellos polgonos cuyos ngulos internos son congruentes. Ejem:

3.3. Polgono Regulares : Son aquellos polgonos que son equilteros y equingulos. Ejem :

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : JOHN FLORES GAMARRA Fecha : 03/06/04


TEMA : POLGONOS

COLEGIO PRIVADO


A

B

F

E

D C

2p : AB + BC + CD + DE + EF + FA

a

a

a

a

a

a

a

a

a a

a a

a

60

60

60

a

a

a a

Colegio Privado


2

4. Propiedades en los Polgonos

Convexos de n lados.

4.1. Suma de las medidas de los ngulos interiores:

4.2. Suma de las medidas de los ngulos exteriores:

4.3. Nmero total de diagonales.

4.4. Para un polgono equingulo o regular se cumple:

a) Medida de un ngulo interior:

b) Medida de un ngulo exterior:

4.5. Medida de un ngulo central de un polgono regular:

Segn el nmero de lados los polgonos se denominan:

Tringulo ............ 3 lados

Cuadriltero ............. 4 lados

Pentgono ............. 5 lados

Hexgono ............. 6 lados

Heptgono ............. 7 lados

Octgono ............. 8 lados

Nongono ........... 9 lados

Decgono ........... 10 lados

Endecgono ........... 11 lados

Dodecgono ........... 12 lados

Pentadecgono ........... 15 lados

Icosgono ........... 20 lados

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Cuntas diagonales se puede trazar en un

dodecgono? Solucin : Como : n = 12

# D = 2

)3n(n

# D = 2

)312(12

# D = 54

2) Calcula la suma de los ngulos interiores de un dodecgono. Solucin : Como : n =12

Si = 180(n-2)

Si = 180(12 2)

Si = 1800

3) Cual es el polgono regular cuyo ngulo

interior mide 135. Solucin :

Se sabe que i =

n

)2n(180

135n = 180n 360 360 = 180n 135n 360 = 45n 8 = n

Rpta : El polgono es un octgono

4) Calcula la suma de los ngulos interiores de un polgono cuyo nmero de diagonales es igual al doble de su nmero de lados. Solucin :

Dato : 2

)3n(n = 2n

n 3 = 4 n = 7

S i = 180(n - 2)

S

e = 360

ND = 2

)3n(n

i =

n

)2n(180

e = n360

C = n

360

C

Colegio Privado


3

Piden : Si = 180(n-2)

Si = 180(7 2)

Si = 900

5) En qu polgono regular se cumple que si se

disminuye 5 lados, la medida del ngulo interior disminuye en 6. Solucin :

Sabemos que : i =

n

)2n(180 ......(1)

Dato : i - 6 =

5n

)25n(180

...........(2)

Reemplazando (1) en (2) :

5n

)7n(1806

n

)2n(180

Al efectuar : n

2 - 5n + 300 = 0

n -20 n +15 (n-20) (n + 15) = 0 Cumple : n 20 = 0

n = 20

Icosgono

6) En qu polgono regular, el ngulo interior es el triple de la medida del ngulo exterior. Solucin :

Dato : n

)2n(180 = 3 x

n

360

180(n-2) = 3 x 360

n 2 = 180

360x3

n 2 = 6 n = 8

Cumple en el octgono

CUESTIONARIO

1).- En que polgono se cumple que el nmero de diagonales es numricamente igual al de lados.

a) Octgono b) Pentgono c) Decgono d) Icosgono e) Undecagono

2).- En que polgono se cumple que el nmero de diagonales es el triple del nmero de lados.

a) Nongono b) Tringulo c) Pentgono d) Octagno e) Exgono

3).-En que polgono se cumple que al aumentar

el 1 al nmero de lados, el nmero de diagonales aumenta en 5.

a) Exgono b) Pentgono c) Nongono d) Heptgono e) Dodecgono

4).- En que polgono se cumple que el nmero de

diagonales es igual al nmero de lados ms 12.

a) Tringulo b) Cuadriltero c) Octgono d) Exgono e) Nongono

5).-En que polgono se cumple que al aumentar

el numero de lados en 2, el nmero de diagonales aumenta en 19.

a) Pentgono b) Decgono c) Exgono d) Tringulo e) Octgono

6).-En que polgono se cumple que al triplicarse

el nmero de lados, el nmero de diagonales aumenta en 27.

a) Pentgono b) Exgono c) Tringulo d) Nongono e) Heptgono

7).-Si la suma de sus ngulos internos es 1800,

cuntos lados tiene el polgono.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

8).- Si el nmero de diagonales es igual a 44.

Calcula la suma de los ngulos internos del polgono.

a) 1600 b) 1620 c) 1640 d) 1660 e) 1800

9).-Si el nmero de diagonales es 20. Calcula la

suma de los ngulos internos y externos del polgono.

a) 1440 b) 1460 c) 1480 d) 200 e) 1500

10).-Si el nmero de diagonales es 14, calcula la

suma de sus ngulos internos del polgono.

a) 100 b) 300 c) 500 d) 700 e) 900

Colegio Privado


4

11).-Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1080, cuntas diagonales posee

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

12).-Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1440. Cuntas diagonales posee?

a) 5 b) 25 c) 15 d) 35 e) 45

13).-En que polgono se cumple que la suma de los ngulos internos es 80 veces el nmero de diagonales.

a) Exgono b) Pentgono c) Nongono d) Endecgono e) Exadecgono

14).-En que polgono se cumple que al disminuir

en 3 el nmero de lados, el nmero de diagonales disminuye en 15.

a) Nongono b) Pentgono c) Exgono d) Octgono e) Decgono



a) Octgono b) Nonagono c) Exgono d) Decgono e) Endecagono



a) Nongono b) Pentgono c) Exgono d) Heptgono e) Octgono

17).-En que polgono se cumple que al disminuir en 4 el nmero de lados, el nmero de diagonales disminuye en 34.

a) Pentgono b) Exgono c) Dodecgono d) Heptgono e) Nongono

18).-En que polgono se cumple que al disminuir en 8 el nmero de lados, el nmero de diagonales disminuye en 12.

a) Heptgono b) Hexgono c) Nonagono d) Octgono e) Pentgono

19).-Cunto mide cada uno de los ngulos interiores de un polgono regular de 18 lados?

a) 160 b) 150 c) 120 d) 130 e) 450

20).-El nmero de diagonales de un polgono regular, es igual a la suma del nmero de vrtices, nmero de lados y nmero de ngulos centrales. Hallar el nmero de lados

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

21).-En un polgono regular se cumple que las medidas de un ngulo central, un ngulo exterior y un ngulo interior es 210. Calcula el nmero total de diagonales.

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 60

22).-Tres ngulos consecutivos de un octgono convexo mide 90 cada uno. Halla la medida de cada uno de los restantes, sabiendo que son congruentes entre s.

a) 130 b) 135 c) 145 d) 20 e) 30

23).-La suma de las medidas de ngulos internos, mas la suma de las medidas de ngulos centrales de un polgono regular es igual a ocho veces la suma de las medidas de los ngulos exteriores. Halla el nmero de diagonales de dicho polgono.

a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108

24).-Cul es el polgono que tiene 119 diagonales? Calcula el nmero de lados.

a) Nongono b) Icosgono c) Pentgono d) Heptadecgono e) Octgono

CLAVES

1)b 2)a 3)a 4)c 5)b

6)c 7)c 8)b 9)a 10)b

11)b 12)d 13)a 14)a 15)a

16)a 17)c 18)a 19)a 20)d

21)c 22)b 23)c 24)d


200 MILLAS

COL2004/3/GEOM-03

02/06/04 J.P.B

1.- DEFINICIN: Es un conjunto infinitos de puntos de un plano, que equidista de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

2.- CRCULO: es la reunin de una circunferencia y su regin interior.

3.- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

1. Centro : O

2. Radio : OA

3. Dimetro : AB

4. Cuerda : PQ

5. Arco : BC

6. Flecha o sagita : EF 7. Recta tangente : L1 8. Recta secante : L2 9. Pto. de tangencia :T 10. Sector circular : BOC 11. Segmento circular : MN

3.1 RADIO: segmento que une el centro de

la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

3.2 CUERDA: segmento que une dos

puntos cualesquiera de la circunferencia.

3.3 DIMETRO O CUERDA MXIMA: es

una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

4.- PROPIEDADES: 4.1.- Si T es punto de tangencia, entonces:

1LOT .

4.2.- Si: A y B son puntos de tangencia,

entonces: PA = PB Tambin : si O es centro.

PO es bisectriz BPA

4.3.- Si: ABOM ; entonces:

AM = MB

3

Secundaria

Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 25/08/04


TEMA : CIRCUNFERENCIA

COLEGIO PRIVADO


1 Unidad Temtica N 6 2 Objetivo N 6.1 3 Tema N VI 4 Contenido N 6.1 ; 6.2 ; 6.3

O

E

F Q

P

A B

N

M

T

L1

L2

C

O T

L1

O

B

A

P

O

M A B

Colegio Privado


2

4.4.- Tangentes Comunes Interiores: AB = CD 4.5.- Tangentes Comunes Exteriores. AB = CD

5.- NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

5.1.- ngulo Central:

5.2.- ngulo Inscrito:

5.3.- ngulo Semi-Inscrito:

5.4.- ngulo Ex - Inscrito:

5.5.- ngulo Interior:

5.6.- ngulo Exterior:

a) b) c)

A

C

D

B

A

C

B

D

O x

A

B

C x

A

B

2x

B

A

2x x

A

B

C x

2x

C

D

B

A

x m n

x

A

B

n m P

x

P

A

B

C

n

m

P

B

C D

A m n

x = mAB

x = 2

mAB

x = 2

mAB

x = 2

mAB

x = 2

nm

x = 2

nm

x = 2

nm

x = 2

nm

Colegio Privado


3

5.7.- De un ngulo exterior

5.8.- Si AB = CD, entonces : AB CD

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Calcula x , si O es centro.

Resolucin:

Trazamos radio perpendicular al punto de tangencia C.

Se observa que en el tringulo rectngulo OCD el valor de x = 45.

2.- Del grfico calcula el valor de x.

Resolucin:

Se observa que x +80 = 180

x = 180 - 80 x = 100

3.- Del grfico calcula el valor de x

Resolucin: Se sabe que: 60 es un ngulo interior

60 = 2

x80

120 = 80 + x 120 - 80 = x 40 = x

4.- Calcula el valor de x

Resolucin: Del grfico se observa que: x + 112 = 360 x = 360 - 112 x = 248

5.- Calcula el valor de

x y

B C

A D

A B o

C

4

8

x D

A B o

C

4

4

D

4

x

4

40 x

60 80 x

60

x + y = 180

40 x 80

x 112

56

Colegio Privado


4

Resolucin: Se observa que:

= 2(60)

= 120 Pero:

+ = 180

+ 120 = 180

= 60 6.- Calcula x:

Resolucin: Del grfico se observa que x es un ngulo interior:

2

8060x

x = 70

CUESTIONARIO

1).- Calcula x, si O es centro.

a) 53 b) 37 c) 45 d) 30 e) 60

2).- Calcula x, si O y O son centros.

a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) 40

3).- Calcula x si o es centro.

a) 40 b) 45 c) 30 d) 50 e) 60

4).- Calcula x si o es centro.

a) 15 b) 30 c) 50 d) 25 e) 10

5).- Calcula x

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

6).- Calcula x si: BCAB

a) 60 b) 30 c) 50 d) 55 e) 40

x 80 60

O

D

C x

6

4

B A

x

o

100 o

x

x

x

60

2x

x

40

A

C B O O

35

x

Colegio Privado


5

7).- Calcula x

a) 10 b) 20 c) 15 d) 5 e) 12

8).- Calcula x

a) 100 b) 80 c) 90 d) 120 e) 150

9).- Calcula x

a) 140 b) 90 c) 130 d) 120 e) 110

10).- Calcula x, si O es centro

a) 15 b) 40 c) 10 d) 20 e) 30

11).- Calcula x si O es centro.

a) 15 b) 18 c) 12 d) 10 e) 20

12).- Si: + - = 80, calcula x

a) 35 b) 55 c) 65 d) 40 e) 50

13).- Calcula (x + y)

a) 135 b) 120 c) 90 d) 105 e) 180

14).- Calcula (x + y + z)

a) 90 b) 540 c) 360 d) 270 e) 180

50

x

x

x 120 80

x

x

y

x

y

z

o 2x x

2x

x o

Colegio Privado


6

15).- Calcula (w + x + y + z)

a) 150 b) 225 c) 270 d) 90 e) 180

16).- Calcula x si O es centro.

a) 80 b) 40 c) 60 d) 70 e) 50

17).- En la figura, calcula R

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2,5

18).- Si ABCD es cuadrado, calcula el permetro del tringulo EBG.

a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 16

19).- En la figura, calcula x si O es centro.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

20).- Calcula x si O es centro a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 CLAVES

1) b 2) c 3) e 4) d

5) b 6) d 7) a 8) c

9) e 10) e 11) b 12) e

13) c 14) e 15) e 16) a

17) b 18) a 19) b 20) d


200 MILLAS

COL2004/3S/GEOM-04

23/08/04 VAA.

y z

w x

x

20

o

R 5

3

A

B C

D

E

G

4

5 3

x

o

x

x

o

1

53

1.- TEOREMA DE THALES: Tres o ms rectas paralelas determinan sobre dos o ms rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: L1 // L2 // L3 Si: L1 // L2 // L3

2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO Si una recta es paralela a un lado de un tringulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: AC//MN

3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRINGULO:

En todo tringulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ngulo de donde se traza dicha bisectriz.

a).- BISECTRIZ INTERIOR:

b).- BISECTRIZ EXTERIOR:

4.- TEOREMA DEL INCENTRO: En todo tringulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ngulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.

3

Secundaria



TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRINGULOS

COLEGIO PRIVADO


1 Unidad Temtica N 7; 8 2 Objetivo N 7.1; 8.1 3 Tema N VIII ; IX 4 Contenido N 8.4; 8.5; 8.6; 9.1; 9.3

a

b

m

n

n

m

b

a

L1

L2

L3

a m

b n

n

m

b

a

B

A

N

C

M

a

b

m

n

n

m

b

a

a b

x

m n

a x

b

B

A E C n

m

x2 = ab - mn

n

m

b

a

n

m

b

a

x2 = mn - ab

ID

BI

b

ac

A

B

C

c a

b

I

D

Colegio Privado


2

5.- TEOREMA DE MENALO: En todo tringulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho tringulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.

6.- SEMEJANZA DE TRINGULOS. 6.1).- DEFINICIN:

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiores de igual medida y las longitudes de sus lados son directamente proporcionales.

El ABC ~ PQR

6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS.

a.- Dos tringulos son semejantes cuando

tienen dos ngulos respectivamente congruentes.

b.- Dos tringulos son semejantes, cuando

tienen un ngulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ngulo respectivamente proporcionales.

c.- Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Del grfico calcula el valor de x.

Si L1 // L2 // L3

Solucin: Aplicando el Teorema de Thales.

EF

DE

BC

AB

)x(

x

620

8

4(x+6) = 10x 4x + 24 = 10x 24 = 6x 4 = x

2.- Calcula x si: AC//PQ

Solucin: Aplicando el teorema de Thales.

3

6

4

2

xx

x

x2 5x + 6 = 6x 24

x2 11x + 30 = 0

x 5 x 6 (x-5)(x-6) = 0

C.S {5; 6}

b x

a

y

z c

a.b.c = x.y.z

D

Q

R

ak ck

bk C A

B

c a

b

12

9 3

4

10 12

14

5 6

7

A

B

C

D

E

F

8 x

20 x+6

A

B

C

P Q

6

x-3 x-4

x-2

Colegio Privado


3

3.- Calcula x.y.z, si: a.b.c = 24

Solucin: Aplicando el Teorema de Menelao

a.b.c = x.y.z

24 = x.y.z

4.- Del grfico calcula x:

Solucin:

Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:

9

16 x

x

x2 = 16.9

x = 4.3 = 12

5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 adems AB = 3;

CD = 4; EG = 6 y FH= 7

Solucin: Aplicando el Teorema de Thales: Del grfico se observa que:

GH

EF

CD

AB

243217

6

4

3

x

x

x-4x

x = 3

6.- Calcula x

Solucin: Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:

MC

BC

AM

AB

5

48

x

Simplificando x = 10

CUESTIONARIO

1).- Calcula DE . Si: 4AB ; BCDE y

1 BCEF ; adems L1 // L2 // L3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 3,5

2).- Calcula x, si AC//PQ

a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3

a

b

y

x

c

z

16 x

9 x

A E

F

G

H

B

C

D

L1

L2

L3

L4

x

A

B

C

8 4

5 x

M

A D

E

F

B

C

L1

L2

L3

A

B

C

P Q

6

x-3

x-2

x-4

Colegio Privado


4

3).- Calcula x: L1 // L2 // L3

a) 5 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

4).- En la figura calcula x, si AC//MN .

a) 8 b) 21 c) 17 d) 12 e) 14

5).- Calcula : MN , si AB = 12; AC = 9 ;

BN = 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6).- Calcula x

a) 21,6 b) 12 c) 13,5 d) 15 e) 24

7).- Calcula m - n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8).- Calcula: m + n

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 9).- Calcula x.

a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15

10).- Calcula x, si 18 PByAP

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

x

L1

L2

L3 4

12

8

3a 21

x 2a

A

B

C

N M

A

B

C

M

N

B

A C

x

D

24

E

40

B

A C

6 m

n 4

7

E

B

A C

6 8

n m

7

E

B

C

P

A

30

50

P

B

C A

x

Colegio Privado


5

11).- Calcula x

a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45 d) 1,75 e) 2,75

12).- Calcula x

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

13).- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 9

14).- Calcula x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15).- En un tringulo ABC, AB =10; BC =14

y AC =12, se traza BD bisectriz interior

(D en AC ), calcula AD .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16).- En la figura calcula AD .

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 17).- En la figura, calcula x.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

18).- Calcula BD

DE

a) 7

6 b)

6

7 c)

5

2

d) 8

4 e)

11

10

P

B

Q

A C x

x

4 9 M N

E F

B

C A G

24

12

B

C A

F

E

4

2

x

8

B C

D

A E

8

5

16

B

A D

C 4

9

x

7

C

E

A

B

6

D

E

A C B

D

x

2x

Colegio Privado


6

19).- En la figura: L1//L2//L3. AB =5; EF =x+2;

BC =7 y FG =2x 2. Calcula x.

a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

20).- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB =5;

CD =7; EG = 15 y FH= 19. Calcula FG .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 CLAVES

1) b 2) a 3) b 4) e

5) c 6) a 7) a 8) d

9) e 10) a 11) e 12) c

13) d 14) b 15) c 16) c

17) c 18) a 19) c 20) c


200 MILLAS

COL2004/3S/GEOM-05

06/09/04 V.A.A.

A E

B F

C G

L1

L2

L3

A E

B F

C G

L1

L2

L3

D H L4

I. PROYECCIN ORTOGONAL Se llama proyeccin ortogonal de un punto, sobre una recta, al pie de la perpendicular desde el punto a la recta. Ejem : A : Proyeccin de A, sobre l.

MN : Proyeccin de AB , sobre l.

AN : Proyeccin de AB , sobre l.

II. RELACIONES MTRICAS EN

EL TRINGULO RECTNGULO

1) a

2 = n . b

2) c2 = m . b

3) h2 = m . n

4) a . c = b . h

5) a2 + c

2 = b

2

III. RELACIONES MTRICAS EN EL

TRINGULO OBLICUNGULO

1) TEOREMA DE EUCLIDES

a)

a2 = b

2 + c

2 - 2bm para < 90

b)

a2 = b

2 + c

2 + 2bm para > 90

2) TEOREMA DE HERN

H = )cP)(bP)(aP(Pc2

Donde : P = 2

cba

3

Secundaria



TEMA : RELACIONES MTRICAS

COLEGIO PRIVADO


1 Unidad Temtica N 9 2 Objetivo N 9 3 Tema N X 4 Contenido N 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6

C

a c

m

b

C A

B

a

b A

B

C

c

m

b a h

c

A

B B

M N N A l

A

A

a c

m n

b

A

B

h

Colegio Privado


2

3) TEOREMA DE LA MEDIANA

a2 + b

2 = 2x

2 +

2c 2

IV. RELACIONES MTRICAS EN

LA CIRCUNFERENCIA

1) TEOREMA DE LAS CUERDAS

2) TEOREMA DE LA TANGENTE

3) TEOREMA DE LAS SECANTES

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Del grfico halla el valor de x

Solucin : Aplicando el teorema de las cuerdas, se tiene que : 8 . 12 = 3 . x

3

12.8 = x

8 x 4 = x

x = 32 cm

2) Halla x

Solucin :

Aplicando el teorema de la tangente :

62 = (x + 5) 5

36/5 = x + 5

7,2 = x + 5

x = 2,2

3) Halla h, si AC es dimetro.

b a

x

c

a.b = x.y

x

y

b

a

a

b

x

x2

= a . b

a

b

y

x

ab = x . y

8cm

12cm

3cm

x

x 5

6

4 9

h

C A

B

Colegio Privado


3

Solucin : Del tringulo ABC se observa que :

h2 = 4 . 9

h = 36

h = 6

4) Halla x

Solucin :

Del grfico se observa que : x

2 = 12 . 3

x2 = 36

x = 6 5) Halla x

Solucin : Aplicando el Teorema de Euclides :

x2 = 10

2 + 5

2 2(10) (4)

x2 = 100 + 25 80

x2 = 45 x = 3 5

6) Halla x

Solucin : Aplicando el teorema de Euclides. x

2 = 6

2 + 8

2 + 2(6)(4)

x

2 = 36 + 64 + 48

x

2 = 148

x = 2 37

CUESTIONARIO

1).- Calcula x :

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

2).- Calcula x a) 20 b) 15 c) 13 d) 12 e) 10

4 9

h

C A

B

x

12

3 9

5

4 6

x

C A

B

x

8

4 6

9 - x

18 - x

16 - x

x

a (a+1)

42

x

12

C A

B

9

Colegio Privado


4

3).- Calcula x :

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

4).- Calcula x :

a) 3 b) 2 c) 1

d) 2 3 e) 4 3

5).- Calcula x :

a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1

6).- Calcula CD, si : AB =8 ; BC = 4; DE =6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 2,5

7).- Calcula x : a) 9 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

8).- Calcula : CQ, si : MCAM ; AP = 3;

PB = BC =9

a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 1

9).- Calcula x , si O y O son centros.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

10).- Calcula x :

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2

6

x

4

x 6 12

x+1

6

x

A B

C D

E

4

6

12

x

A

P

B

Q

C M

4

x

6 0

4

x 0

Colegio Privado


5

11).- Calcula x, si O es centro : a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 1

12).- Calcula x : a) 20 b) 15 c) 14 d) 12 e) 16

13).- Calcula R : a) 6 b) 4 c) 3 d) 8 e) 5

14).- Calcula AL si : BF=5; FH=4 y O es

centro.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 2

15).- Calcula x : a) 6 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16).- Calcula AB si O es centro : a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 4

17).- Calcula x en la semicircunferencia

mostrada. a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 8

18).- En la figura, calcula x : a) 3,5 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

2 5

x

O

x + 4

x-4 x

6

2

R

10

O A

F H

B

L

4

1

x

6

x

8

7 8

5 x

o

B A

3

5

Colegio Privado


6

19).- Calcula x : a) 7 b) 8 c) 5 d) 6 e) 4

20).- Calcula x : a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

CLAVES

1)b 2)c 3)b

4)e 5)b 6)b

7)e 8)a 9)b

10)b 11)b 12)e

13)e 14)a 15)e

16)c 17)b 18)b

19)d 20)e


200 MILLAS COL2004/GEOM-06 CR

20/09/04 J.P.B

7

8

3 x

17 10

21

x

GEOM-01.pdfGEOM-02.pdfGEOM-03.pdfGEOM-04.pdfGEOM-05.pdfGEOM-06.pdf

3° geometria - 200 millas

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