4º trigonometria - 200 millas

7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas

1/55

NGULO TRIGONOMTRICO

Es aquel ngulo generado por la rotacin de una semirecta alrededor de un punto fijo (centro de giro).

B

Elementos

OA: Lado InicialO A OB: Lado Final

O: Vrtice

I).- ANG. POSITIVO II) ANG. NEGATIVO

O B

OBS. :Los ngulos trigonomtricos son ilimitados.

ANGULO DE UNA VUELTAEs aquel ngulo generado por la rotacin completa deuna semi-recta.

SISTEMA DE MEDIDA DE NGULOS

1).- SEXAGESIMAL INGLES

360

vuelta11 1vuelta =360

60

1'1 1 = 60

60

'1''1 1 = 60

1 = 60

1 = 3600

2).- CENTESIMAL FRANCS

400

vuelta11g 1 vuelta = 400

g

adems:

1g= 100

m

1m

= 100s

1g= 10000

s

3).- SISTEMA RADIAL CIRCULARUnidad: radin (rad)

1 radin: Esa aquel ngulo central que determinasobre la circunferencia un arco (L) cuya longitud esigual al radio (r).

L = rAdems:r

1 vuelta = 2raddonde: O 1 rad

= 3, 1416 r

= 22/7

OBS.:

1 vuelta = 360 = 400g=2rad

vuelta = 180 = 200g=rad

Luego:rad = 180

rad = 200g

9 = 10g

FORMAS PRCTICAS DE CONVERSIN

En general:

dadoSist.

pedido.Sist

dado.Sist

elen.Ang

pedidoSist.

elenAngulo

RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS

En general:

KR

200

C

180

S

Donde:S: N de grados sexagesimalesC: N de grados centesimalesR: N de radianes

Tambin:

R200C;

R180S

RELACIN PARTICULAR:

10

C

9

S

L

4

PreuniversitarioAlumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :

ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 08 03 04

Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad

TEMA : NGULO TRIGONOMTRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

SentidoAntihorario

Sentido

HorarioO A

B

A


2/55

Colegio Privado

D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si : abc 'x

')''xx(

'x

)''xx(

'x

)'xx(

Calcular : a + b +c

Solucin : Se observa

'x

'x61

'x

'xx61

Entonces :

abc = 616161

abc = 61621

abc = 6221

a + b + c = 65

2).- Hallar un ngulo en rad que cumple :

5

S

4

C43

Solucin : Se sabe

S = 180k; C = 200k ; R = k

5

k1804

k200 43

86k = 43 =

R=2

3).- Hallar x en :

Si : x o y = 200

Solucin : En la figura :

Si : x o y = 200

xgy =180

10

x9-y = 180

9x10y = 1800

x + 10y = 200

x = 200

4).- Calcular el valor de :

6rad10

40rad3Q

g

Solucin : Pasando a grados

*3

rad x

60

rad

180

* 40gx

g10

9=36

*10

rad x

rad

180

=18

En (Q)

Q =g

g

24

96

618

3660

Q = 4

EJERCICIOS DE APLICACIN1).- Pasar :

a) 450a grados sexagesimalesb) 640 minutos sexagesimalesc) 720a grados sexagesimales

2).- Pasar :

a) 230 ma grados centesimalesb) 480sa minutos centesimales

c) 4600

s

a grados centesimales

3).- Pasar :

a) 240 a grados centesimalesb) 620ga grados sexagesimales

c) 2/5 rad a grados sexagesimalesd) 330ga radianes

4).- Calcular:

rad10/216

270360N

g

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/3

5).- Calcular un ngulo en radianes

2S+5C = 13, 6

a) /10 rad b) /100 rad

c) /1000 rad d) /50 rad

b) /40 rad

y

xg

-yxg


3/55

Colegio Privado


6).- Calcular un ngulo en radianes si cinco veces lamedida en centesimales menos cuatro veces lamedida en sexagesimales todo multiplicado por la

medida en radianes es igual a 2, 8

a) /5 rad b) /4 rad c) /10 rad

d) /6 rad e) /100 rad

7).- Reducir :

R20

)SC()SC(P

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 100

8).- Calcular :

8rad10

1550T

g

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A.

9).- En un tringulo ABC, las medidas de los ngulosinternos. Son:

rad10

xC;x10B;x9A

g

Entonces el tringulo es:a) Equilterob) Isscelesc) Rectngulod) Rectngulo Isscelese) Escaleno

10).- Siendo S y C nmeros convencionales para loscuales se cumple que:

)yx(2yxC

)1yx(2yxS

22

22

Calcular el valor de: xyy3x2

y5x81E

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 4 e) 1/4

11).- Calcular la medida de un ngulo en radianes si:

S + C = 95

a) / rad b) /2 rad c) /3 rad

d) /4 rad e) /5 rad

12).- Calcular el valor de:

6rad10

40rad3Q

g

2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13).- Hallar la medida de un ngulo en radianes, si:

2

CR

10

1

5

SR

6

1R2

2

a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14).- Si se cumple que: 262 63 = aaaHallar a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15).- Hallar x en: x + 10y = 200

a) 200b) 100 xg

c) 205 yd) 180e) 150

16).- Hallar el nmero de radianes de un ngulo queverifica:

5

C

3

SR

a) /20 rad b) rad c) /40 radd) 20 rad e) 20rad

17).- Reducir:

SC

)SC(5

SC

SCE

22

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18).- Si:

101032/1

5R

18010

C9

Hallar: S+C

a) 10/19 b) 17/10 c) 19/9d) 10/17 e) 19/10

19).- Los ngulos de un cuadriltero AMOR se midenen tres sistemas diferentes. El ngulo A mide 30, el

ngulo M mide 5/6 rad y el ngulo O mide 90g

.Determinar la medida del ngulo R.

a) /20 rad b) 11/20 rad c) /30 rad

d) 3/20 rad e) N.A.

20).- Al medir un ngulo en sentido antihorario, seobserva que los nmeros que resultan en lossistemas convencionales se relacionan del modosiguiente:


4/55

Colegio Privado


La suma del triple del mayor con el doble delintermedio es igual a la suma de 125 con 46 veces el

deduplo del menor entre . De acuerdo a esto,determine la medida circular de dicho ngulo.


d) /5 rad e) /6 rad

21).- Halle el ngulo en radianes que cumple con larelacin:

435

S

4

C


d) /3 rad e) /4 rad

22).- Halle el ngulo que cumple:

C S

6

2

5

a) 27 b) 30 c) 25d) 33 e) 22

23) .- Reducir la expresin:

R3010

C

R403

S

E

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

24).- Reducir:

R60C6S2

C3S5A

a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 1, 5

25).- Hallar el valor de:

3 8SC

SC6

SC

SCH

a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

26).- Si la diferencia de los cuadrados de las inversasde los nmeros de grados sexagesimales ycentesimales de un ngulo es igual a K veces elcuadrado de la diferencia de dichas inversasCalcular el valor de K

a) 10 b) 20 c) 19 d) 18 e) 9

27).- Calcular:

''1

1

1

1

1

1E

s

'

m

0

g

a) 1, 674 b) 1, 564 c) 1, 754d) 1, 764 e) 1; 456

28).- Simplificar:

R160CS2

R20SCQ

a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 3

29).- Si se cumple que:

R

181

S

C

C

S

Hallar R

a) 3/2 rad b) /2 rad c) rad

d) 90rad e) 90rad.

30).- Del grfico, calcular: y/x

a)6

b) 6c)1/6d) 1/6e)3

CLAVES1) 2) 3) 4)c 5)b6)c 7)b 8)c 9)d 10)c11)d 12)d 13)b 4)c 15)a16)e 17)e 18)c 19)b 20)c21)c 22)a 23)d 24) 25)d26)c 27)d 28)b 29)e 30)b

xg

x y

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

2 MILLAS

COL2004/4pre/TRIG 01

06/03/04 J.P.B


5/55

SISTEMA DE MEDIDA DE NGULOS

1).- SEXAGESIMAL INGLES

360

vuelta11 1vuelta =360

60

1'1 1 = 60

60

'1''1 1 = 60

1 = 601 = 3600

2).- CENTESIMAL FRANCS

400

vuelta11g 1 vuelta = 400g

adems:

1g= 100

m

1m

= 100s

1g= 10000

s

3).- SISTEMA RADIAL CIRCULAR

Unidad: radin (rad)

1 Radin:Esa aquel ngulo central que determinasobre la circunferencia un arco (L) cuya longitudes igual al radio (r).

L = rAdems:

r

1 vuelta = 2raddonde: O 1 rad

= 3, 1416 r= 22/7

OBS.:

1 vuelta = 360 = 400g=2rad

vuelta = 180 = 200g=rad

Luego:

rad = 180

rad = 200g

9 = 10g

FORMAS PRCTICAS DE CONVERSIN

En general:

dadoSist.

pedido.Sist

dado.Sist

elen.Ang

pedidoSist.

elenAngulo

RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS

En general:

KR

200

C

180

S

Donde:S: N de grados sexagesimales

C: N de grados centesimales

R: N de radianes

Tambin:

R200C;

R180S

RELACIN PARTICULAR:

10

C

9

S

4


Profesor a) :



TEMA : SISTEMA DE MEDIDAS

COLEGIO PRIVADO


L


6/55

Colegio Privado


PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Determina la medida circular del ngulo quecumple:

S = 2x

x

y C = x

x

+ 11

Solucin :

10

C

9

S

10

11x

9

x2 xx

20xx= 9x

x + 99

xx= 9

Luego :

S = 2xx= 2(9) = 18

R = 18 x180

R = /10

2).- Un ngulo se puede expresar de la siguiente

manera: g0a2ab0a . Calcula la medida

radial de su suplemento:

Solucin :

g0a2aba x

g10

g

Descomposicin polinmica :

100a + b = (100a + 20a)10

g

a = 1b = 8a

b = 8

Entonces :

0aob = 108 x

53

180

Suplemento = -5

2

5

3

3).- Calcula el valor de K si:

S10

C9

R90 SK

Solucin :Se sabe :S = 180k; C=200k

R = k

Entonces :

k180x10

k200x9

k90

k180

k

2= k

k =

4).- Calcula la suma del menor y mayor valor quepuede tomar un ngulo, de modo que laexpresin:

2SC2W tome valores reales

Solucin :

Se sabe :

C-S 2 0

C-S 2

20 R/ 2 Rmin =10

Luego :

2 - 2SC 0

2 2SC

4 C S - 2

620 R/

R 10

3Rmax =

10

3

Rmin + Rmax =5

2

5).- Si : S representa la medida sexagesimal de unngulo calcula su medida radial (R) queverifique :

360

R= S +

2

S2+

4

S3+

8

S4+ . . . .

Solucin :


7/55

Colegio Privado


360

R= S +

2

S(S +

2

S2+

4

S3+ . . . . )

360

R= S +

2

S+360

R

180

R=180

Rx 180

R

R =180

6).- Calcula un ngulo en radianes, si :

6S + 5C = 1040

Solucin : Se sabe :

S = 180

R ; C = 200

R

Reemplazando :

6 x180

R+ 5x200

R= 1040

2080

R=1040

R =2

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- Calcula el mayor ngulo de un tringulo ABC, si:

A =10

x rad ; B = 9x y C = 10x

g

a) 36 b) 46 c) 56d) 66 e) 90

2).- Calcula el valor de:

Q =

6rad10

40rad3

g

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3).- Simplifica:

Q =R160CS2

R20SC

a) 2 b) 1 c) 1/2

d) 1/3 e) 3

4).-Halla la medida de un ngulo en radianes, si:

2CR

101

5

SR

61R

2

2

a) b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5).- Si se cumple:

36364 = aaa

Halla:

2a

2a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6).- Reduce la expresin:

E =

22

22

SCSC

SCSC

a) 180/181 b) 181/180 c) 10/9d) 9/10 e) 181/90

7).- Calcula :

E =

380

RCS

200

RC

180

RS

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/3 e) -1

8).- Si:

10

1032/15

R18010

C9

Halla : S + C

a) 10/19 b) 17/10 c) 19/9d) 10/17 e) 19/10


8/55

Colegio Privado


9).- La diferencia entre la tercera parte del nmerode grados sexagesimales y la quinta parte delnmero de grados centesimales de un nguloes 5. Calcula su medida radial.

a) /3 b) /4 c) /5

d) /6 e) /9

10).- La suma del doble del nmero de gradossexagesimales con el nmero de gradoscentesimales de un ngulo es igual a 140determina la medida circular de dicho ngulo:

a) /6 b) /5 c) /4

d) /3 e) /2

11).- Calcula un ngulo en radianes

6S + 5C = 1040

a) /4 b) /5 c) /3

d) /2 e)

12).- Calcula: A x B x B x C , si:

'BCAB68g

a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22

13).- Determina la medida circular de un ngulo, talque si a la dcima parte de su nmero desegundos sexagesimales le sumamos la mitadde su nmero de minutos centesimales resulta18700.

a) /4 b) /5 c) /6

d) /8 e) /10

14).- Halla un ngulo en radianes, si:

666777

RCS6R18

100

C9

10

S

a)

/2 b)

/4 c)

/3d) /5 e) /9

15).- Si:

g22

22

b2a2baC

2b2a2baS

Halla :

a2b

b3a2b5a103

a)2 b)1 c) 0 d) 1 e) 2

16).- Sabiendo que: 1081SC 5 C3 S

C>0 y S>0.

Calcula :

9 SR

a) /10 b) /20 c) /15

d) /4 e) /9

CLAVES

1)e 2)d 3)b 4)b 5)d6)a 7)b 8)c 9)b 10)c11)d 12)b 13)a 14)c 15)e16)b


2 MILLAS

COL2004/4/TRIG 02

13/03/04 J.P.B


9/55

1. DEFINICIN :Entindase por reas circulares al rea deun crculo, de un sector circular y de untrapecio circular.

1.1. REA DEL CRCULO.(Ac)Se denomina crculo a la reginsombreada en la figura. La distanciaconstante desde el centro a cualquierpunto de la circunferencia se le denominaradio.

Luego :

AC= R2

L= 2R

Donde : Ac : rea del crculo. L : Longitud de la circunferencia.

R : Radio O : Centro del crculo

1.1.1. rea de la Corona Circular (Acc)Es aquella regin obtenida por ladiferencia de las reas de doscrculos, tal como se muestra en lafigura.

Donde :

R : Radio del crculomayor.

r : Radio del crculomenor.

Entonces :

Acc = (R2r2)

1.1.2. rea del Sector circularEs aquella porcin del crculo talcomo se muestra en la reginsombreada.

En general :

L = R S =2

R2

S =2

R.L S =

2

L2

Donde :L : Longitud de arco.

R : Radio

: ngulo central en radianes.

S : rea del sector circular.

1.1.3. rea del Trapecio circularSe denomina trapecio circular a la

regin sombreada en la figura.

4


Profesor a) :



TEMA : REAS CIRCULARES

COLEGIO PRIVADO


O

A

B

rad

R

RS

L

R

Crculo

Circunferencia

O

rO

R

rea de lacoronacircular

rea delcirculomayor

rea delcrculomenor

-=

Acc = R2 r2

D

Ll AT.C

rad

r

R-r

O

A

BC

R


10/55

Colegio Privado


En general :

AT.C=2

)rR( 22

AT.C=2

)rR)(L(

Donde :AT.C : rea del trapecio circularL : Longitud del arco mayor.l : Longitud del arco menor : ngulo central en radianes.

PROBLEMAS RESUELTOS1) Calcula el rea sombreada :

Solucin:

En la figura :

Sx = S - S

Sx =2

2x

42

2x2 2

Sx = 2 - /2

2) En la figura, calcula : L1+ L2+ L3,si AO = OB = 18

Solucin :

L1= 15 x /180 x 12 =

L2= 60 x /180 x 18 = 6

L3= 30 x /180 x 6 =

L1+ L2+ L3= 8

3) Calcula L en :

Solucin :

Se sabe :

L = R

= 15 x /180 = /12

Luego :

L = /12 x 72

L = 6

4) Calcula en :

Solucin :Por propiedad :

=3

45

= 1/3

5) Calcula el rea del sector.

Solucin :

S =2

RxL

S =2

6x12

S = 36

6) Calcula el rea sombreada.

l

2

15

30

L3

6

12

O

L1

AL2

B

3

54

3

6

12

6

O

A

B

72

L

72

15

3

9

42

34

2


11/55

Colegio Privado


Solucin :x 9 = 9 = 1

Entonces :

STC=2

)37(1 22

ST.C= 20

CUESTIONARIO

1).- Halla la longitud de un arco en un sectorcircular cuyo ngulo central mide 60 y elradio 12m.a) 2m b) 4m c) 6m

d) 8

m e) 12

m2).- En la figura, halla la longitud del arco BC,

si AC=18m.

a) m b) 3m c) 5md) 6m e) 8m

3).- Halla la longitud de una circunferencia siel ngulo central de 1rad subtiende un arcode longitud 6m.a) 12m b) 13m c) 14md) 16m e) 19m

4).- En la figura, si 2OA = ADCalcula :

12

12

LL

LL

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5).- En el grfico, halla la longitud del arco AB,si AC=6m.

a) m b) 2m c) 3md) 4m e) 5m

6).- Halla la longitud del arco de un sectorcircular de ngulo central 45, sabiendo quela longitud de la circunferencia es 600m.

a) 75m b) 60m c) 120md) 65m e) 80m

7).- En el grfico mostrado. Halla la longituddel arco BC.

a) 3m b) 4m c) 5md) 6m e) 8m

8).- En la figura, halla la longitud del arco BCsi AE = 20m.

a) m b) 2m c) 4md) 6m e) 8m

9).- Halla : si L2= 5L1

a) /3 b) /4 c) /5

d) /6 e) /8

10).- Calcula :32

21

LL

LL

a) 3b) 3/5c) 8d) 5e) 5/3

A

B

80

O C

L2L1

A

D

O

BC

A O C

3m B

C

O

2m

2m

A

D

2m

3m

A

B

O E

432

CD

Orad

L2

L1

O L1 L2 L3


12/55

Colegio Privado


11).- De la figura , calcula x :

a) 2/5b) 5/2c) 1

d) 3e) 6

12).- Calcula la longitud de la circunferenciainscrita si la longitud de los arcos AB y CDmiden 2 y 5.a) b) 2c) 3d) 4

e) 5

13).- Calcula si 2L1= 3L2

a) /2 b) /3 c) /4d) /5 e) /6

14).- En los sectores circulares mostrados,halla : .

a) 1/3b) 2/3c) 1d) 4/3e) 5/3

15).- Calcula :yx

yx

a) 1b) 2c) 3d) 5

e) 7

16).- Halla x en los sectores mostrados:

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 4 e) 4,5

17).- Calcula el rea del sector AOB.

a) 20

b) 24c) 12d) 6e) 18

18).- En la figura, calcula el rea sombreada.

a) ba b) ab2 c)2

ab2

d)b

a e)

2a

b

19).- Calcula el rea sombreada.

a) R2b) R2

c)2

R2

d) 2R2

e)2

R2

20).- Calcula el rea sombreada

a) 48b) 24c) 12d) 36e) N.A.

CLAVES

1) b 2) c 3) a 4) b 5) b6) a 7) c 8) b 9) d 10)b11)d 12)c 13)c 14)b 15)e16)e 17)b 18)c 19)e 20)b


2 MILLAS

COL2004/4/TRIG 03

17/04/04 J.P.B

O 2 51 Rad

x

x

O 2 51Rad

A

B

C

D

O

L2

Rad

L1

O 2 4Rad

3

3

O 34

x

y

O 2 5

x

x

3

3

O 6

8

8

B

A

aB

b

H

A

A

R

R

R

OB

5

3

3

4


13/55

1.OBJETIVOS

1.1. Resolver problemas donde intervenganlos ngulos notables.

1.2. Utilizar los casos generales en unproblema grfico.

1.3. Calcula los valores de las razonestrigonomtricas de dichos ngulos.

2.RESUMEN TERICORAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS

NGULOS NOTABLES

R.T. 16 30 37 45 53 60 74

Sen

Cos

Tg

Ctg

Sec

Csc

CASOS GENERALES

OTROS

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Sabiendo que es agudo y adems :

tan=sen30.

Calcula : L = 4Sec2+ Cot

Solucin :

Tan

= Sen30

Tan

=

con la ayuda del tr ingulo :

4Preuniversitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS NOTABLES

COLEGIO PRIVADO


2 160

30

3

1

2

45

45

1

37

53

4

35

16

25 74

24

7

2aa

60

30

a 3

a 2 a

45

45

a

37

53

4a

3a5a

16

25a 74

24a

7a

a

a/2 2

45

45

a/2 2

37/2

a 10

3a

a

8

5a 2 82

7a

a

53/2

2a

aa 5

2

15


14/55

Colegio Privado


L =1

2

2

54

2

L =4. 24

5

L = 7

2) Sabiendo que : Sen=Cos60. Cos45; esagudo, calcula :

L = 2Cot2

Solucin :

Sen=2

2.

2

1Sen=

4

2.

con la ayuda del tr ingulo :

L = 2

2

142

L = 27 2

L = 927

L = 3

3) Calcula x en la igualdad:

x . Sen30 + Sec

2

60 = 4x . Tan37 + Tan

4

45

Solucin :

Con la ayuda de la tabla de los valor es delas R.T. de los ngu los not ables; t enemos :

x . Sen30+ Sec260= 4x . Tan 37+ Tan445x( )+ (2)2= 4x( ) + (1)4

2

x+ 4 = 3x + 1 4 1 = 3x -

2

x

3 =2

xx6 3 =

2

x5 x =

5

6

4) Del grfico mostrado, calcula Tan

Solucin :

I. Como : AM = MB

AM = MB = n

II. ABC : issceles

BC = AB = 2n

III. MBC : Tan =n2

n

Tan

=

5) Del grfico, calcula Tan

Solucin :

I. ABC: not able BC=3 ; AB=4

II. Como : AM = MB AM=MB = 2

III. MBC : Tan= 3/2

Nota que en este problema optamos porasig nar valores numric os . Pero l o que nodebe olvidar es que se parte de un valornumri co y d e aqu el se cal cu lan lo s demssegmentos que guarden relacin con elproblema.

4

2

14

45

B

C

A M

45

B

C

A M nn

37B

C

A

M

37B

C

AM

4

2 2

3


15/55

Colegio Privado


6) En la figura AD=4DC; calcula Tan

Solucin:

I. DBC : not able DB=1; BC = 3 ;DC=2

II. Como : AD = 4DC AD=8

III. ABC : Tan

=

9

3

C U E S T I O N A R I O

1).- Calcula : 1-Cos60-2Sen230

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2).- Simplificar :

60Cos

1

45Ctg1

60Tan1

2

2

a) 4 b) 2 c) 6 d) e) 4

3).- Simplifica :

30xTan60Tan1

30Tan60Tan

a) 3 b) 3 /3 c) 1 d) 2 e) 3

4).- Calcula :

(Tan37 + Ctg53)Csc30

a) 9/4 b) 9/16 c) 3/2 d) 4/9 e) 3/4

5).- Simplifica :

2

30Ctg

60Ctg30Ctg

60Ctg.30Ctg1

a) 3 b) c) 2 d)

2

3 e)3

6).- Calcula la medida de en la figura

a) 30b) 45c) 60d) 37e) 53

7).- Calcula x en :

a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25

8).- En la figura. Calcula 3Cot

a) 3b) 5c) 7d) 9e) 10

9).- En la figura.

Halla : E = Tan+ Tan2+Tan3

a) 22b) 22/3c) 23/3d) 10e) 15

10).- Calcula Tan en la figura:

a) 1/2b) 1/3c) 2d) 3/2e) 3/4

14

37

10

60

30

37

5

x

3 + 73

135

6

24

8 25 55

a2a

45

53

B

C

AD

30

B

C

AD

30

8 1

60

23


16/55

Colegio Privado


11).- Si: Sensec= 1

Halla el valor de:

Tan

Tan.Tan

3Cot

2

a) 32 b) 3 2 c) 3

d) 1/2 e) 1

12).- En la figura, calcula:Q = TanA + TanC

a) 15/23b) 20/17c) 13/19d) 17/20e) 19/13

13).- Calcula x

a) 4b) 5c) 6d) 7

e) 8

14).- Simplifica

4Ctg.

4Sec.

3Tg

6Ctg.

4Tag.

3Sec

a) 0 b) 2 c) 4 3

d) 7 6 e) 6

15).- Siendo ABC tringulo equiltero.

Halla: Tg

a)3

3

b)4

3

c) 5

3

d)6

3

e)7

3

16).- Calcula Tg del grfico.(AM = MD)

a) 1/7b) 2/7c) 3/7

d) 4/7e) 6/7

17).- Calcula: Tg del grfico.

a) 1b) 2c) 2/7d) 3/7e) 4/7

18).- Del grfico halla : Tg, si DC = 2AD

a) 1/8b) 1/4c) 3/8d) 1/2e) 5/8

19).- Calcula Tgde acuerdo al grfico.

a) 1/3b) 3/4c) 4/3d) 2/3e) 3/2

20).- Calcula Tan en la figura.

a) 3

b)2

3

c)2

2

d)2

1

e) 2

CLAVES1) a 2) a 3) b 4) a 5) d6) b 7) b 8) c 9) b 10)d11)c 12)d 13)b 14)b 15)d16)e 17)e 18)c 19)c 20)b


2 MILLAS

COL2004/4/TRIG 04CR

17/06/04 J.P.B

135 62 2

CA

B

7 82

x

5

2

D

C

B

A

37 45A M D

C

45

37

53C

DA

B

A B

CD 37

45

30

3 1


17/55

I.- DEFINICIN:

Consiste en determinar los ladosdesconocidos de un tringulo rectngulo entrminos de un lado y ngulo conocido.

II.- PROCEDIMIENTOS:

1.- Se forma una fraccin donde en el

numerador se coloca el lado por conocer yen el denominador se coloca el ladoconocido.

2.- A continuacin se identifica que razntrigonomtrca del ngulo conocido lecorresponde a la fraccin formada.

3.- Finalmente se despeja el lado por conocer.

Ejemplo:En la figura calcula X e Y en trminos

de m y .

Solucin:

* mx Sen

x = mSen

* Cosm

y

y = mCos

III.- REA DEL TRINGULO

En todo tringulo se cumple que el rea esigual al producto de dos lados multiplicadopor el seno del ngulo comprendido pordichos lados y todo dividido entre dos.

En general:

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Calcula el rea del tringulo ABC.

Solucin:

S =2

371010 Sen

S =5

350

S = 30

2.- Calcula , x en:

Solucin:Por resolucin de s

m

BC= SenBC = mSen

BC

x= Senx = BCSen

x=mSenSen

3.- Calcula: tan

4Pre-Universitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :

Alfredo Bustes Calle Fecha: 28 06 04


TEMA : RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE TRINGULOS RECTNGULOS

COLEGIO PRIVADO


y

mx

A

B

C

c a

b

S =2

Senab

Donde:S : rea del

tringulo

A C

B

1010

37

169

A

B

CD

x

m


18/55

Colegio Privado


Solucin:

En la figura:

tan=16

H... (I)

tan=H

9... (II)

(I) x (II)

Tan2=16

H xH9

Tan=4

3

4.- En la figura:

Halla:

tan

tan

Solucin:

Luego:Tan=

Cos

Sen

10

6

Tan=5

3Tan

5

3

Tan

Tan

5.- Del grfico, halla BC en funcin de m, y .

Solucin:

Trabajando por partes:

i. ) ADB: m

BDtan BD = mtan

ii. ) DBC: BDx cot

m

xcot

tan

x = mtan.cot

6.- En un tringulo ABC (B = 90), se sabe

que: BC = n mCAB = , Cul es surea?Solucin:Graficando el problema:

i.) n

ABcot AB = ncot

ii.)22

nnBCABS

.cot.

n

S cot2

2

169

H

2

2 6

26

6Cos 6Sen

2Cos

2Cos

A

B

D

C

m

A

B

D

C

m

mtan

x

A

C

B

n

ncot

S


19/55

Colegio Privado


CUESTIONARIO

1).- Halla , x en:

a) msencsc b) mcossecc) mtgtg d) m(tg+tg)e) N.A.

2).- Halla, x en:

a) msentg b) msensenc) m d) 1/m e) N.A.

3).- Halla x:

a) mseccsc b) msencosc) mtg d) mcote) N.A.

4).- Halla: x + y

a) m(sen+cos) b) mseccscc) mtg d) mcot

e) N.A.

5).- Calcula x en la figura

a) atgsec b) asensenc) atg d) asec e) N.A.

6).- En la figura, halla x

a) atgtg b) a(cot-cot)c) a(cot+cot) d) asensene) N.A.

7).- Calcula x si: Cot-Cot=4

a) 10 b) 20 c) 15d) 25 e) N.A.

8).- Del grfico, halla , si: a = 2b

a) 45 b) 30 c) 60d) 75 e) N.A.

9).- Calcula, Tan

a) 2/3 b) 3/2 c) 4/9d) 9/4 e) N.A.

10).- Del grfico. Calcula: cot- tan

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 e) N.A.

m x

x

m

x

x y

m

a

x

a

x

5

x

a b

m

94

B

A

C

DE

F


20/55

Colegio Privado


11).- Si:18

5cos , calcula R

a) 5 b) 10 c) 18 d) 36 e) N.A.

12).- En el grfico siguiente.Halla x si Tan = 0,75

a) 0,75 b) 1 c) 1,25d) 1,5 e) 1,75

13).- Halla: 2cos2

a) a+b/a b) a+b/b c) a+b/2ad) a+b/2b e) a/b

14).- Calcula AB en trminos R y

a) Rcsc(1+ctg) b) Rsec(1+tg)c) R(1+sec)ctg d) R(1+csc)tge) R(1+tg)sec

15).- Calcula DN en trminos de k y

a) k tg b) k tg3c) k tg2 d) k2tg2 e) k2tg

16).- Calcula AC si la regin sombreada es uncuadrado de lado

a) (1+sec+cos) b) (1+sec+csc)c) (1+tg+Ctg) d) (1+tg+sec)e) (1+ tg+csc)

17).- De la figura calcula:E = 3(ctgx+ctgy)

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

18).- Calcula x en:

Si: Cot-Cot=5

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

19).- Calcula x en:

a) msensen b) mcoscosc) mtantan d) msecsec

e) N.A.

CLAVES

1) a 2) a 3) a 4) a5) a 6) b 7) b 8) a9) a 10) a 11) c 12) b13) a 14) c 15) b 16) c17) d 18) b 19) a

COL2004/4Pre/TRIG 05 22/06/04 V.A.A

x

7

42

a

b

BA

C

O R

B

A C

D

N

A C

B

3 2

x

x

20

x

m

A B

C

10

O

R


21/55

I.- DEFINICIN:Son aquellos ngulos representados en elplano vertical.

II.- CLASIFICACIN:1.- NGULO DE ELVACIN:

ES aquel ngulo formado por la lneahorizontal y la visual.La visual es una lnea imaginaria que partedel observador hacia el objeto y que estapor encima de la lnea horizontal.

2.- NGULO DE DEPRESIN:

Es aquel ngulo formado por la lneahorizontal y la visual.La visual es una lnea imaginaria que parte

del observador hacia el objeto y que estapor debajo de la lnea horizontal.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- De un edificio de 24m de altura se divisauna torre con un ngulo de elevacin de 30 yla base de la torre con un ngulo de depresinde 60 . Halla la altura de la torre.

Solucin:

En la figura:

H = 32

2.- Una persona de 1.20m de estatura observalos puntos A y B con ngulos de depresin yelevacin que miden 45 y 37respectivamente. Calcula la altura del edificio.

Solucin:Graficando:

AB = 2,1

4PRE-UNIVERSITARIO

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : NGULOS VERTICALES

COLEGIO PRIVADO


OBJETO

OBSERVADORL. Horizontal

ng. de elevacin

OBSERVADOR

OBJETO

L. Horizontal

ng. de depresin

1,2

1,2 1,2

1,24537

53

0,9

B

A

8 3

24 24

6030

60

8

30

60

8 3

Torre

edificio H


22/55

Colegio Privado


3.- Desde un punto en tierra ubicado a 4m deun poste, se divisa su parte ms alta con unngulo de elevacin de 37. Cul es la alturadel poste?

Solucin:

4.- Un nio de 1,5m de estatura divisa unapiedra en el suelo con un ngulo de depresinde 37. A qu distancia del nio se encuentrala piedra?

Solucin:

Como se forma un tringulo rectngulonotable, decimos:1,5 = 3a a = 0,5 (proporcin ya conocida)x = 4a = 4(0,5) x = 2m

5.- Desde lo alto de un poste se divisa unobjeto en el suelo con un ngulo de depresin (cot= 4). Si el objeto se halla a 20m delposte, qu altura tiene el poste?

Solucin:

En el tringulo rectngulo formado:

xx

204

20cot

x = mx 54

20

6.- Desde un punto en tierra se divisa lo altode un edificio con un ngulo de elevacin .Nos acercamos una distancia igual al doble dela altura del edificio y el ngulo de elevacines ahora . Calcula: L = cotcot.

Solucin:

Del grfico:

h

mh

2

cot

h

mcot

piden : L = cotcot

L =h

m

h

mh 2

L = 22

Lh

h

CUESTIONARIO

1).- Desde lo alto de un faro de 58m de altura

se observa un buque con un ngulo dedepresin de 30. A qu distancia seencuentra el buque del faro?

a) 58 b) 58 3

c) 60 d) 29 3

e) 60 3

2).- Desde un helicptero que vuela a 600msobre el nivel del mar se miden los ngulosde depresin de dos buques que forman conel helicptero un plano vertical, estandoadems a un mismo lado de l,obtenindose 37 y 53. Calcula la distanciaentre los buques.

a) 400 b) 300 c) 350d) 450 e) 500

P

A

B

x

37 4

Como el tringulo rectngulo formadoes notable (37 y 53),adems: PB = 4mPiden : AB = x

x = 3m

3737

371,5m

x

x

20

h

m2h

1ra 2 a


23/55

Colegio Privado


3).- Calcula la estatura de la persona entrminos de m, H y .

a) H + mtan b) H - mtan

c) H - mcot d) H + mcot

e) N.A.

4).- Determina la altura de un rbol si se tieneque el ngulo de elevacin con el que seobserva su parte superior, disminuye de 53a 37, cuando el observador recorre 14m.

a) 12 b) 24 c) 30

d) 36 e) 40

5).- Una persona colocada a orillas de un rove el extremo superior de un rbol, plantadosobre la rivera opuesta, bajo un ngulo deelevacin de 60, si se aleja 40m el ngulode elevacin es 30. Cul es el ancho delro?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

6).- Una persona de 1,75m de altura observaun rbol con un ngulo de depresin de 30su base y con un ngulo de elevacin de 60su parte superior. Halla la altura del rbol.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

7).- Un mono que se encuentra sobre un rboles observado desde un punto del suelo conun ngulo de elevacin y la copa del

rbol es observada desde el mismo punto a12m, de distancia y con un ngulo deelevacin 2, halla tg si la distancia quetendr que subir el mono para llegar a lacopa del rbol es de 5m.

a) 5/13 b) 5/12 c) 12/5d) 13/12 e) N.A.

8).- Desde un punto, ubicado a 36m de labase de un poste, se observa la partesuperior de este con un ngulo de elevacinde 37. Cunto se tendr que avanzar paraque el nuevo ngulo de elevacin tenga unatangente igual a 0,9?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

9).- Desde cierto punto del cuelo se observa laparte superior de un edificio con un ngulode elevacin y desde el punto medio dela distancia que separa el pie de la torre ydicho punto, la elevacin angular es 90 - .Calcula tg.

a) 2 b) 22/ c) 3

d) 33/ e) N.A.

10).- Desde la base y la parte superior de unatorre se observa la parte superior de unedificio con ngulos de elevacin de 60 y30 respectivamente, si la torre mide 24m.Entonces la altura del edificio es:

a) 30 b) 32 c) 34d) 36 e) 38

11).- Una persona de 2m de estatura observala base de un poste de luz con ngulo dedepresin de 30 y la parte superior con unngulo de elevacin de 60. Calcula la alturadel poste.

a) 4m b) 6m c) 4 3

d) 8m e) 6 3

12).- Desde un punto del suelo se observa laparte superior de un edificio con un ngulode elevacin de 15, acercndose 36m haciael edificio el nuevo ngulo de elevacin es eldoble del anterior. Calcula la altura deledificio.

a) 6 3 m b) 12m c) 18m

d) 12 3 m e) 24m

13).- Una antena de radio est sobre la azoteade un edificio. Desde un punto a 12m dedistancia de la base del edificio los ngulosde elevacin de la punta de la antena y de laparte superior son 53 y 37

xx

m


24/55

Colegio Privado


respectivamente. Calcula la altura de laantena.

a) 6m b) 7m c) 8md) 9m e) 10m

14).- Una persona ubicada a 36m del pie deuna torre, observa su parte mas alta con unngulo de elevacin cuya tangente es 7/12que distancia en la misma direccin debealejarse con respecto del punto anterior paraque la tangente del nuevo ngulo deelevacin sea 1/4a) 12m b) 21m c) 36md) 48m e) 84m

15).- Un avin vuela en lnea horizontal

paralela al suelo, en un cierto instante elpiloto observa en tierra una ciudad, con unngulo de depresin de 37 y luego derecorrer 42Km en direccin a la ciudad loobserva nuevamente pero ahora con unngulo de depresin de 53. Calcula la alturaque vuela el avin.

a) 42Km b) 50Km c) 60Kmd) 72Km e) 96Km

16).- Desde la parte inferior del quinto piso deun edificio se observa la parte superior deuna torre con un ngulo de elevacin de 37y desde la parte superior del primer piso seobserva con un ngulo de elevacin de 45determina la altura de la torre, si losobservadores estn separados 3m.

a) 11m b) 13m c) 16m

d) 18m e) 19m

17).- Desde la parte superior e inferior de unmuro se observa la parte superior de otromuro con ngulo de elevacin de 37 y 45respectivamente. Si el muro ms alto mide48m, entonces la altura del otro muro es:

a) 8m b) 12m c) 16md) 24m e) 32m

18).- Desde lo alto de una cima de observa unobstculo con un ngulo de depresin de

60, si dicho obstculo dista 20 3 m de piede la cima. Calcula la altura de la cima.

a) 20m b) 20 3 m c) 60m

d) 60 3 e) 40m

19).- desde un punto en el suelo se observa laparte ms alta de una torre con un ngulo deelevacin , desde la mitad de la distanciaque separa el punto de la torre se observanuevamente la parte ms alta de la torre conngulo de elevacin que es el complemento

del anterior. Calcula cot.

a) 2 b) 2 2 c) 2 /2

d) 2 /4 e) N.A.

20).- Un nadador se dirige hacia un faro y loobserva con un ngulo de elevacin de 30,al avanzar 10m. El ngulo de elevacin seduplica. Halla la altura del faro

a) 5m b) 3m c) 9,66m

d) 5 3 m e) N.A.

CLAVES

1) b 2) c 3) b 4) b5) c 6) b 7) b 8) c9) b 10) d 11) d 12) c13) b 14) d 15) d 16) b17) b 18) c 19) a 20) d


2 MILLAS

COL2004/4Pre/TRIG 06

25/06/04 V.A.A


25/55

1.DEFINICIN

Es aquel sistema conformado por dos rectasperpendiculares entre s.El punto de corte recibe el nombre de origende coordenadas. Adems el plano quedadividido en cuatro regiones; cada uno de los

cuales se denomina cuadrante.

x: Eje de abscisasy: Eje de ordenadas

2.UBICACIN DE UN PUNTO

Un punto queda localizado en el plano;cuando se conocen los valores que lecorresponden a la proyeccin del punto sobrecada uno de los ejes. En el grfico :

Donde :

x1, y1: componentes de P.El punto es : P(x1;y1)

x1 : abscisa

y1 : ordenada

OP : radio vector

Se cumple : r2= x1

2+ y1

2

3.DISTANCIA ENTRE DOS

PUNTOS

En general :

4.PUNTO MEDIO DE UN

SEGMENTO

En general :

4Preuniversitario

Alumno a) :....................................................................... Semana : 12

Profesor a) :

Alfredo Bustes Calle Fecha : 27 08 04

Planificacin Estratgica para unaEducacin de Calidad

TEMA : PLANO COORDENADO

COLEGIO PRIVADO


x

y

ICIIC

IIIC IVC

+ + + + +- - - -

----

++++

1

y1

P(x1; y1)

Y

Xx1

y1

y1

O

d(A, B) =2

122

12 )yy()xx(

X = 2

xx 21

y =2

yy 21

B(x2; y2)

y

x

A(x1; y1)

d

B(x2; y2)

A(x1; y1)

M(x; y)


26/55

Colegio Privado


5.PROPIEDAD DEL

BARICENTRO

Donde :

G Baricentro

En general :

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- La distancia entre los puntos (2, 1) y (5, 4)

es K 6 . Calcula k.

Solucin :

Dato : (2; 1) y (5; 4)Se sabe que la distancia entre los

puntos :

d = 22 )14()25(

d = 18

Por dato :

k 6 = 18

k =6

18

k = 3

2).- Dados los puntos :

A(2; 5) , B(7; 9) y C(-3; 4)

Halla :

3

5

DC841AB26ACP

Solucin :

Por distancia entre 2 pun tos :

AC = 26)45()32 22

AB = 41)95()72 22

BC = 55125)49()37 22

P = 35

55x841x41x26x26

P = 3 27 P = 3

3).- Si dos vrtices de un tringulo son A(-4; 6)y B(-3; 8). Halla la suma de las coordenadasdel tercer vrtice sabiendo que las medianasde dicho tringulo se intersectan en el puntoP(2; 6).

Solucin :

Dato : A (-4; 6) , B(-3; 8) , C(x; y )

P(2; 6) Baricen tro

Se sabe :

3

x)3()4( = 2 x = 13

63

y86

y = 4

x + y = 17

4).- De la figura, halla a si AB//MN.

Solucin :Por e l punto medio de un segmento :

32

4a

a + 4 = 6 a = 2

X =3

xxx 321

y =3

yyy 321

A(x1; y1) C(x3 ; y3)

B(x2; y2)

G(x; y)

B(1; 8)

M(4; 6)

C(7; 4)N(5/2; 3)(-2; a)

A


27/55

Colegio Privado


5).- Qu punto est ms alejado delorigen?a) A(1; 2) b) B(3; -1) c) C(2; 3)d) D(4; 0) e) E(-3; 4)

Solucin :

Hallando el radio-vector d e cada punto :

rA= 521 22

rB= 10)1(3 22

rC= 1332 22

rD= 1604 22

rE= 254)3( 22

El punto ms alejado es E

6).- Cul es el mayor lado de un tringulocuyos vrtices son : A(-1; 3), B(2; 5) yC(4; -1)?

Solucin:

d(A; B)=

22

)53()21( d(A; B)= 1349

d(B; C)=22 )51()24(

d(B; C)= 40)364(

d(A; C)=22 ))1(3()41(

d(A; C)= 41

El lado mayor m ide 41

C U E S T I O N A R I O

I . Escrib e (V) o (F) segn cor respo nd a :

Sean los puntos A(x1; y1) ; B(x2; y2) y C(x3; y3) entonces :

1. La distancia entre A y B es d(A; B) = (x2x1)2

+ (y2y1)2 ( )

2. Las coordenadas del punto medio del segmento BC son M

3yy;

2xx 3232 ( )

3. Las coordenadas del baricentro del tringulo ABC son:3

xxxx 321

;

3

yyyy 321

( )

4. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son M

2

yy;

2

xx 2121 ( )

5. La distancia entre los puntos B y C es : d(B, C) = 2232

23 )yy()xx( ( )

A(-1; 3)

B(2; 5)

C(4; -1)-1

2

4

5

3

-1

y

x

E

C

B

D

-1

2

3 4

4

3

2

-3

y

x1

A


28/55

Colegio Privado


II. Completa en los espacio s v acos :

1. El sistema .............................. est dividido en .............. cuadrantes.

2. En el par (x; y ) la ........................... componente es la abscisa del punto.

3. En el par (x; y) la segunda ............................. es

la..................................................................

4. La distancia del origen de coordenada al punto P(x; y) se denomina :

....................................

I II . Subr aya la alternativa c orrecta :

1).- Halla la distancia entre los puntos (-1; 2) y(3; -1)

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

2).- Halla la distancia entre los puntos :

(-4; -8) y (2; 4)

a) 3 5 b) 5 5 c) 6 5

d) 8 5 e) N.A.

3).- Calcula las coordenadas del baricentro deltringulo.

A(-2; -1) ; B(5; 4) ; C(0; -2)

a) (1; 1) b) (1; 1/3) c) (3; 1)d) (1; 4) e) N.A.

4).- Calcula las coordenadas del baricentro deltringulo :

M(1; 4); N(11; 5); P(3; -6)

a) (5; 1) b) (1; 5)c) (3; 21) d) (1; 4)e) N.A.

5).- Calcula las coordenadas del punto mediode los segmentos :

a) A(2; 6) y B(4; 8)b) M(-1; -5) y N(-7; 9)

6).- Calcula las coordenadas del punto P en el

segmento :A(-1; 4) ; B(3; 8) / PBAP

a) (2; 2) b) (1; 6)c) (1; 4) d) (6; 1)

7).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento.

M(0; 7) y N(6; 1) / PN2MP

a) (4; 3) b) (3; 4)c) (5; 3) d) (3; 5) e) N.A.

8).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento :

A(-3; 2) ; B(4; 9) / PB4AP3

a) (6; 1) b) (1; 6)c) (1; 7) d) (7; 1) e) N.A.

9).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento.

A(-1; -4) ; B(7; 4) / PB3AP5


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Colegio Privado


a) (2; -1) b) (1; -2)c) (2; 1) d) (1; 1) e) N.A.

10).- La distancia entre los puntos (2; 1) y

(5; 4) es k 6 . Calcula k :

a) 2 b) 1 c) 3

d) 1/2 e) 5

11).- La distancia entre los puntos (2; -1) y(5;-5) es la misma que entre los puntos (-3;

0) y (x; 3). Halla los valores de x.

a)7 b) 1 c) 5d) 4 e) {-7; 1}

12).- Calcula la coordenada del vrtice C enel paralelogramo ABCD.

a) (6 ; 4)b) (5 ; 5)c) (6 ; 5)d) (5 ; 4)e) (3 ; 5)

13).- Dados los puntos M(2 ; 2) y N(5; -2).Halla en el eje de abscisas un punto P demodo que el ngulo MPN sea recto.

a) (0; 3) b) (0; 6) c) (0 ; 1)d) (0; 5) e) (0; 9)

14).- Dados los puntos :

A(2; 5); B(7; 9); C(-3; 4)Halla :

P = 35

BC841AB26AC

a) 1 b) 2 c) 3d) e) 1/3

15).- Si dos vrtices de un tringulo sonA(-4; 6) y B(-3; 8). Halla la suma de lascoordenadas del tercer vrtice sabiendo quelas medianas de dicho tringulo seintersectan en el punto P(2; 6)

a) 16 b) 15 c) 18d) 14 e) 17

16).- Si O es el centro de la circunferencia.Halla dicho centro.

a) (3; 5)b) (0; 8)

c) (1; 1)d) (3; 2)e) (2; 3)

17).- De la figura calcula a; si MN//AB

a) 0b) 1c) 2d) -2e) -4

CLAVES

1) c 2) c 3) b 4) a 5) --

6) b 7) a 8) b 9) a 10)c

11)e 12)d 13)b 14)c 15)e

16)d 17)c


200 MILLAS

COL2004/TRIG 07

24/08/04 J.P.B

C

D(3; 1)

B(2; 3)

A

B(1; 8)

M(4; 6)

A(-2; a) N(5/2 ; 3) C(7 ; 4)

N

2a

3a

P(4; 11)

0(-1; 6)

M

R(5; -4)


30/55

1.- NGULO EN POSICIN NORMAL

Es un ngulo trigonomtrico cuyo vrtice es elorigen de coordenadas, cuyo lado inicial (L.I.)coincide con el semieje de las abcisas y cuyolado final (L.F.) nos indica el cuadrante al cual

pertenece. Tambin se le denomina ngulo enposicin estndar o en posicin cannica.Ejemplos:

y : ngulos en posicin normalIIIC y IIC (estndar)

2.- NGULOS COTERMINALES

Son ngulos en posicin normal que tienen elmismo lado final.

- = 360K = 2K

RT () = R.T. ()

k.n Entero

3.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE

UN NGULO ESTNDAR CUALQUIERA

Se define razn trigonomtrica de un nguloestndar a la relacin o cociente que seestablece entre la abscisa (x), ordenada (y) yradio vector (r) de un punto que pertenece allado final del ngulo.

Y

P(x,y)r

y

o x X

: ngulo estndar cualquierax: abscisay: ordenada

r: radio vector

)0r,y,xr( 22

4.- NGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ngulos en posicin normal,cuyo lado final coincide con cualquier de los 4semi-ejes coordenados.

Los ngulos cuadrantales no pertenecen aningn cuadrante.

4Preuniversitario

Alumno a) :................................................................... Semana 13

Profesor a) :



TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO DE CUALQUIER MAGNITUD

COLEGIO PRIVADO


L.I.

L.F.

L.I.

L.F.

90

0 (360)

180

270


31/55

Colegio Privado


ngulo Cuadrantal = 90K = k/2

Donde :K = nmero entero

5.- RELACIONES DE LOS NGULOS

CUADRANTALES

0 90 180 270 360

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tan 0 N 0 N 0

Cot N 0 N 0 NSec 1 N -1 N 1

Csc N 1 N -1 N

6.- SIGNOS DE LAS RAZONES

TRIGONOMTRICAS

I II III IV

Sen+ + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Cot + - + -

Sec + - - +

Csc + + - -

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si el punto P(-1, 3) pertenece al lado finaldel ngulo en posicin normal ; calcula :K = sen.cos.Solucin:

x = -1y = 3

r = 10 piden:

K = sen.cos=

rx

ry

K =

10

1

10

3

K =10

3

K = -0,3

2.- Si el punto Q(-3; -4) pertenece al lado finaldel ngulo cannico .

Calcula: E = sec+tanSolucin:

Graficando tenemos:

x = -3y = -4r = 5

nos piden:

E = sec+tan=x

y

x

r

E =3

4

3

5

3

4

3

5

E = 3

45

E =3

1

3.- Sabiendo que: sen =5

3 ; IVC,

calcula:S = sec- tan

P(-1;3) 3

-1 x

y

r = 22 yx

r =22

yx

y

x

-4

-3

Q(-3; -4)


32/55

Colegio Privado


Solucin:

En este tipo de problemas se puedeproceder as:Como:

sen=r

y

5

3

Luego:r2= x2+ y2x2= r2y2x2= 259 = 16 x = 4x = -4 (no lo toma: IVC)

Graficando; reconocemos el punto del ladofinal de , luego podemos ubicar el punto(4; -3) as:

4.- Sabiendo que:tan= 0,5; IIIC,Calcula:

C = sen.cos

Solucin:

Otra forma de resolver estos problemas,es decir conocida una R.T. calculamoscualquier otra; es con la ayuda de untringulo rectngulo, pero teniendo muy encuenta el cuadrante al cual pertenece elngulo considerado. As en el ejercicio:

tan= 0,5 =..

..tan

AC

OC

2

1

10

5

luego, no olvide que: IIIC: sen=5

1

cos =5

2

entonces: C =5

2

5

2

5

1

C = 0,4

5.- Sabiendo que:cos= -0,8; IIC

Calcula:E = csc+ cot

Solucin:

Aplicando el caso anterior:

6.- Seala el signo de:

E =

140

200100

tan

cos.sen

Solucin:

Identificando los cuadrantes:

100 II C sen100: (+)

200 IIIC cos200: (-)

140 II C tan140: (-)

luego:

)(

)(

)(

))((

E E = (+)

y = -3r = 5

y

-3

4

5

(4; -3)

x

Entonces:

S = sec-tan=

x

y

x

r

S =4

35

4

3

4

5

S = 2

1

2

5

4

5 3

cos= -0,8 =10

8

cos=H

AC ..

5

4

como: IIC:

csc= +3

5

cot=3

4

entonces:

E =3

45

3

4

3

5

E =3

1

y

x

SenCsc Positivastodas

TanCot

CosSec

(+)

(+)(+)


33/55

Colegio Privado


CUESTIONARIO

1).- Calcula el cosen la figura :

a)10

10

b)5

10

c)9

10

d) 10

e) N.A.

2).- Calcula : sec- tan

a) -1

b)1/3

c) -3

d) 1e) N.A.

3).- Calcula :

cot ; si sen= 1/3 y II C

a) -2 2 b)3

22

c)5

22 d) - 2 e) N.A.

4).- Indica el signo de :

Q = sen220 tan250 cos150

a) (+) b) (-) c) (+) (-)

d) faltan datos

5).- Calcula el valor de :

E = 3sen90 + 5cos+ 2tan2

a)1 b)2 c) -3d) 2 e) 3


E = cos(sen) + sec(tan0)

a) 1 b) 2 c) 0d)2 e) 3

7).- Calcula :

T = cos1cos2cos3. ....cos180

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

8).- Si : tan= 2,4. Halla : senadems cos< 0

a)13

5 b)

1312 c)

13

12

d)13

5 e) N.A.


P = sen140 - tan330 - cos250

a) (+) b) (-)c) (+) (-) d) faltan datos

10).- Si : cos=41

40 y IV C

Halla : E = csc+ cot

a)9 b)1/9 c) 9d) 1/9 e) N.A.

(1; -3)

y

x

(-3; 4)

y

x0


34/55

Colegio Privado


11).- En la figura, calcula :

P = sec+ tan

a) - 10

b) 5 c) - 10 +1

d)3

310

e)3

110

12).- En qu cuadrante se cumple :

3Tan.Sen < 0

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) N.A.

13).- En qu cuadrante se cumple :

3Sen.Cos < 0

Calcula :

|Cot|

Cot

|Tan|

Tan

|Cos|

Cos

|Sen|

Sen

a)1 b)2 c) -3d)4 e) -5


Q =

119sen

271sec118cot329csc

a) (+) b) (-) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.

15).- En que cuadrante se cumple :

Sen> 0 y tan< 0

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) I y IIC

16).- Calcula :

E = 2Tan+3Sen2

3 +2Sec2- Cos180

a) 0 b)2 c) 3

d)3 e) N.A.

17).- Evala :

Q =

180secbtanab0cosa

270cscbsecab290sena22

22

a) 0 b)baba

c)

baba

d)b

a e) N.A.

18).- En la figura halla : tan

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5

d) 4/4 e) 5/4

(-3; 1)

y

x0

(2a, a+6)y

x

(a, a+1)


35/55

Colegio Privado


19).- En la figura, halla : tan

a) 2/3b) 3/2c) 1

d) e) N.A.

20).- Si :

(cos)5Cos= 27/125 y tan


36/55

I. DEFINICIN

Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable; las cuales severifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razn trigonomtrica existente en laigualdad.

II.CLASIFICACIN

1. IDENTIDADES RECPROCAS

Senx.Cscx=1; n , nZCscx=Senx

1

Cosx.Secx=1;x(2n+1)2

,nZSecx=

Cosx

1

Tanx.Cotx = 1; xn2

, nZCotx=

Tanx

1

2. IDENTIDADES T. POR DIVISIN

Tanx =Cosx

Senx; x(2n+1)

2

; nZ

Cotx = Senx

Cosx

;

xn; n

Z

3. IDENTIDADES T. PITAGRICAS

Sen2x = 1-Cos

2x

Sen2x + Cos

2x = 1; x R

Cos

2

x =1-Sen

2

x

Sec2x-Tan

2x=1

Tan2x+1 = Sec

2x; x(2n+1)

2

, n R

Tan2x = Sec

2x - 1

Csc2x-Cot

2x = 1

Cot2x+1 =Csc2x; x n, nRCot

2x = Csc

2x-1

Los problemas que se presenten , son de tipodemostracin; simplificacin, condicionales yeliminacin de variables; pero lo msimportante es el manejo adecuado de lasigualdades ya conocidas, para obtener lasolucin del problema.

Observacin:

Verso de x : Ver x = 1- CosxCoverso de x : Cov x = 1- SenxExsecante de x : Ex secx = Secx-1

4Pre-Universitario

Alumno a) :.......................................................................

Profesor a) :



TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

COLEGIO PRIVADO


1 Tema N IX 2 Contenido N 9.1 ; 9.2 3 Semana N : 16 y 17


37/55

Colegio Privado


PROBLEMAS RESUELTOS

1) Demuestra que :Tan

2x . Cosx . Cscx = Tanx

Solucin :En este problema, la idea es reduc ir elm iembro dela igualdad mscompl icado y obtener un resul tadoigual al otro miembro. Uno de loscr iterio s ms u til izado s, es el decolocar la expresin a reducir , entrm ino s de senos y/o cos enos; y parael lo es bueno recordar:

Cscx =Senx1 ; Secx =

Cosx1

Tanx=Cosx

Senx; Cotx=

Senx

Cosx

En el prob lema :

Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; no ta que :

Tan2x =

xcos

xsen2

2

xcos

xsen2

2

. Cosx .senx

1= tanx

Reduc iendo :

xtan

xcos

senx

= tanx tanx = tanx

2) Simplifica :

L = tanx . cos2x - cotx . sen

2x

Solucin :

Vamos a colocar la expresin entrm inos d e senos y cos enos ; as :

L = tanx . cos2x cotx . sen

2x

L = xsen.senx

xcosxcos.xcos

senx 22

Reduciendo :

L = senx . cos x cosx . senx

L = 0

3) Reduce:

L = (secx - cosx) (cscxsenx)

Solucin :Pasando a senos y cosenos :

L =

senx

senx

1xcos

xcos

1

operando :

L =

senx

xsen1

xcos

xcos122

;

pero : 1- co s2x = sen

2x

1- sen2x = cos

2x

reemplazando :

L =senx

xcos.xcosxsen 22 L = senx.cosx

4) Simplifica :

L = xcot

xcosxcsc

senxxsec

Solucin :

Vamos a co locar toda la expresin entrm inos d e senos y cos enos ; as :

L =senx

xcos.xcos

senx1

senxxcos

1

xcotxcosxcsc

senxxsec

Operando y o rdenando :

L =senx

xcos.

senx

senx.xcos1xcos

xcos.senx1


38/55

Colegio Privado


Reduciendo :

L =xsen

xcos.

senx

1xcos

1

L =senx

xcos.

xcos

senx

L = 1

5) Reduce :

L = (secx + tanx1) (secxtanx+1)

Solucin :

Si bien , el pasar a senos y c osenos ,es un cr i ter io m uy g eneral izador; nosiempre es necesar io tales cambios;si no tambin al m anejar las ot rasrazon es tr igo nomtric as s iemp re quetengan relacin. En el prob lema, po rejemp lo :

L = (secx + tanx -1) (secx -tanx+1)

operando :

L = sec2x secx . tanx + secx + tanx . secx

tan2x + tanx secx + tanx 1

2tanxreduciendo :

L = sec2x - tan

2x + 2tanx 1 = 1 + 2tanx 1

1 L = 2tanx

6) Reduce :

L = CosxCosxSenx

x4Cosx4Sen

Solucin :En muchos problemas; el uso de los

productos notables es necesar io parasimpl i f icar expresiones; siendo estoscaso s, impo rtante, la adaptacin de laspropiedades algebraicas a la expresintri go nomtri ca a anal izar. En el p rob lema,tenemos :

L =xcossenxxcosxsen 44

- cos x ; no ta que :

a2b

2= (a + b) (a b )

En la expresin :

L =

xcosxcossenx

xcosxsen 2222

L = xcosxcossenxxcosxsenxcosxsen 2222

Pero : sen2x + cos

2x = 1

Luego :

L =xcossenxxcosxsen 22

- cos x

Nota que :sen

2x-cos

2x = (senx + co sx)(senx -cosx )

L = xcosxcossenx

)xcossenx)(xcossenx(

Reduciendo .L = senx + cosx cosx

L = senx

CUESTIONARIO

1).- Demuestra las siguientes identidadestrigonomtricas:a) sen

4x + cos

4x = 1 - 2.sen

2x.cos

2x

b) sen6x + xcos

6x = 1 - 3.sen

2x.cos

2x

c) tanx + cotx = secx.cscx

d) sec2x + csc

2x = sec

2x.csc

2x

e) (1 + senx + cosx)2= 2.(1+senx).(1+cosx)

2).- Halla n para que se cumpla la siguienteidentidad trigonomtrica:

(senx + cosx)2

- (senx - cosx)2

= n.senx.cosx

a) 1 b) 2 c) 4 d)1 e) -4

3).- Calcula el valor de n que hace que severifique la siguiente identidadtrigonomtrica:

cscx + n.cotxsenx

xcos1

a)1 b) 1 c) 0 d) 2 e) -2


39/55

Colegio Privado


4).- Calcula n de tal manera que secumpla:

(senx + cosx).(tanx + cotx) = n + cscx

a) senx b) secx c) cosxd) cscx e) tanx

5).- Reduce:A = (1- cos

2x).(1+cot

2x)+(1-sen

2x).(1+tan

2x)

a) 0 b)2 c) 2 d)1 e) 1

6).- Simplifica:

xcos

senxsenxB

1

112

a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 1/3

7).- Reduce la expresin:Q = secx - tanx.senx

a) senx b) cscx c) cosxd) secx e) N.A.

8).- Simplifica:

H=16(sen6

x+cos

6

x)-24(sen

4

x+cos

4

x)+10(sen

2

x+cos

2

x)

a) 0 b) 1 c)1 d) 2 e) -2

9).- Simplifica :E = tan

2x + cot

2x + 2 - sec

2x.csc

2x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

10).- Reduce la siguiente expresin

trigonomtrica: R =

12222 xsec.xtanxsec.xtanxsec

0 < x < 90

a) secx b) tanx c) 1d) 0 e) N.A.

11).- Si los catetos de un tringulo

rectngulo son : ( 3senx + 4cosx ) y(4senx - 3cosx) respectivamente, luego lahipotenusa ser igual a:a) 5 b) 5senx.cosx c) 5senxd) 5cosx e) N.A.

12).- Simplifica: K = 3xcosxsec

senxxcsc

a) senx b) cosx c) cscxd) secx e) ctgx

13).- Reduce:P=(tanx+cotx).(senx+cosx+1).(senx+cosx-1)

a) 0 b)1 c) 1 d)2 e) 2

14).- Reduce la expresin:

xsecxcos

xtanxsenD

22

22

a) 0 b) 1 c) 2 d)1 e) -2

15).- Simplifica:

F = 12121212 1111 xsecxcscxcosxsen

a) 0 b) 1 c)1 d) 2 e) -2

16).- Reduce:

P = xcscxsecxcosxsen 2266 1

a)3 b) 3 c)2 d) 2 e) 1

17).- Calcula:Z = (tan50+csc40).(cot40-sec50)

a) 1 b)1 c) 0 d) 2 e) -2

18).- Si: cosx + secx = 4 :Calcula: E = cos

2x + sec

2x

a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10

19).- Si: sec2x + csc

2x = 100:

Halla: J = tanx + cotx

a) 0.01 b) 0,1 c) 1d) 10 e) 100

20).- Si: (1 + cosx).(1 - cosx) = nHalla: K = (senx - 1).(senx + 1)

a) n b)n c) 1+nd) 1-n e) n-1

CLAVES

1) - 2) c 3) a 4) b5) c 6) b 7) c 8) d

9) a 10) c 11) a 12) e

13) e 14) d 15) d 16) a

17) b 18) c 19) d 20) e

COL2004/4Pre/TRIG 09 10/09/04 V.A.A


40/55

I. DEFINICIN

Es aquel ngulo conformado ya sea por lasuma la diferencia de dos ms ngulos.

Ejemplos :

x = + + y = 45 - 20

Observacin :

Sen(x+y) Senx + Seny

Tan- TanTan(-)

II.FRMULAS BSICAS

Para la suma la diferencia de dos ngulos

(x y)

1) Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx

2) Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny

3) Tan(x y) =TanxTany1

TanyTanx

III. PROPIEDADES

1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)

2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen

2y

3)CosyCosx

)yx(Cos =Tgx Tgy

4)SenySenx

)yx(Cos =Cotx Coty-1

Adems :

Si : + + = n 180n (nZ)

Tg+Tg+Tg=TgTgTg

CotCot+CotCot+CotCot=1

Si : ++=(2n+1)/2 (2n+1)90

TgTg+TgTg+TgTg=1

Cot+Cot+Cot=CotCotCot

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica :

L =Cosx

)x60(Sen)x60(Sen

Solucin :En la expresin; desarrol lando cadatrm ino del numerador :

L =Cosx

)x60(Sen)x60(Sen

L =Cosx

60Cos.SenxCosx.60Sen60Cos.SenxCosx.60Sen

Simpl i f icando:

L =Cosx

Cosx.60Sen2

L = 2Sen60=2

2

3

L = 3

2) Determina el valor de :

L =x4Cos.SenxCosx.x4Senx3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen

Solucin :

Recuerda que :

Sen .Cos+Sen .Cos=Sen(+)

Luego ; si : =3x

=2x

Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)= Sen5x

En la expresin :

L =x4Cos.SenxCosx.x4Senx3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen

4Preuniversitario

Alumno a) :.......................................................................

Profesor a) :



TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPUESTOS

COLEGIO PRIVADO


Semana N18 y 19 Tema N X Contenido N 10.1-10.2


41/55

Colegio Privado


L =x5Sen

x5Sen L=1

3) Calcula el valor de Sen75

Solucin :En este caso, descomponemos 75como la suma de dos nguloscon ocido s, por ejemp lo :

Sen75= Sen(45+30)

desarrol lando :

Sen75= Sen45.Cos30+Sen30.Cos45Reemp lazando valores no tables:

Sen75=22

.21

23

.22

Sen75 =4

26

Sugerencia, no olvides el siguientetr ingu lo :

4) Reduce :

L =Senx.Sen)x(Cos

Cosx.Sen)x(Sen

Solucin :

Vamo s a desarro llar lo s trm in osco noc idos ; as :

L =Senx.Sen)x(Cos

Cosx.Sen)x(Sen

L =Senx.SenSenx.SenCosx.CosCosx.SenCos.SenxCosx.Sen

Reduciendo :

L =CosxSenx

Cosx.Cos

Cos.Senx

L = Tanx

5) Calcula el valor de Cos8

Solucin :Descomponemos 8 usando dos

ngu los conoc idos :

8= 45- 37Esto es : Cos8= Cos(45-37)

Cos8= Cos45.Cos37+Sen45.Sen37

Reemp lazando valores conoc idos :

Cos8=

5

3.

2

2

5

4.

2

2

Cos8 =10

27

como sugerencia; no olvides estetr ingu lo :

6) Simplifica : L =

Cos.Cos

)(Sen- Tan

Solucin :

En estos casos; lo ideal es d esarrol larla frmula :

L =

Cos.Cos

Cos.SenCos.Sen- Tan

Luego , la fraccin la desdoblamos enhomogneas as :

L =

Cos.CosCos.Sen

Cos.CosCos.Sen -Tan

Reduciendo :

L =

Cos

Sen

CosSen - Tan

L = Tan + Tan - Tan

15

4

26

26

75 8

5 2

7

82

1


42/55

Colegio Privado


L = Tan

CUESTIONARIO


a) sen15b) cos15


a) tan16b) cot8

3).- Reduce : P =

)yx(Cosx)yx(Cos

)yx(Sen)yx(Sen

a) Tanx b) Tanyc) Cotx d) Cotye) 1

4).- Calcula :

Q = Secx Secy [ (cos(x + y) + cos(xy) ]

a) 1 b) 2 c) 3d)2 e) -1

5).- Calcula : E = sen6/12 + cos

6/12

a) 11/16 b) 13/16c) 12/13 d) 15/17e) 1/4

6).- Calcula :

Q =)yxtan(

ytanxtan

)yxtan(

ytanxtan

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7).- Si : + = 150 reduce :

(sen+cos)2+ (cos+ sen)

2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 e) 2 3

8).- Si : cos(+45) =6

2.

Calcula : sen. cos

a) 1/9 b) 2/9 c) 4/9d) 3/9 e) 5/9

9).- Reduce :

cosycos

)y(sen

ycoscos

)y(sen

coscos

)(sen

a) tgtgtgy b) ctgctgctgy

c) 1 d)1 e) 0

10).- Si tgtg= 3/2 y coscos= 1/3

Halla : cos (+)

a) 1 b)1 c) 1/6d)1/6 e) 5/6

11).- Calcula :

10tg

40tg50tg

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12).- Si : + = 45,

calcula : 1 + (1 + tg) (1 + tg)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13).- Calcula :

10cos10sen

35cos

a) 1 b) 2 c) 2 /2

d) 2 2 e) 2 /4

14).- Si y son ngulos del tercer y cuarto

cuadrante respectivamente y sen = 3/5 y

cos=3/5.Calcula : cos (- )

a) 0 b)1 c)24/25d) 24/25 e) 1

15).- Si : tg2=

2

2

tg41

tg4 y tg(+) = 6

calcula : tg(-)


43/55

Colegio Privado


a) 24 b) 1/24 c) 2/3d) 3/2 e) 1

16).- Reduce :

E =)(tg

tgtg)(tg

tgtg

a) 0 b) 1 c) 2d)1 e) -2

17).- Si : 3sen= 2sen(+2).

Calcula : tg(+ ) ctg

a) 5 b)5 c) 1/5d)1/5 e) 1

18).- Reduce :

M =

)60a(sen)60a(sen

)a60cos()30a(sen

a) 2 b) 1 c) 3

d) 6 e) -1

19).- Si : tg(2A + 3B) = 3 y

tg(3A + 2B) = -2

Halla : tg(AB)

a) 1 b)1 c) 7d) 1/7 e)1/7

20).- Calcula :

3 tg 20 + 3 tg40 + 3tg20 - tg40

a) 3 b) 3 3 c) 3

d) 1 e) 6

21).- Del grfico calcula : Tg

a) 4/13 b) 6/13 c) 2/3d) e) 3/4

CLAVES

1) -- 2) -- 3) a

4) b 5) b 6) b

7) c 8) c 9) e

10)d 11)b 12)c

13)c 14)c 15)c

16)c 17)a 18)c

19)a 20)c 21)a


200 MILLAS

COL2004/TRIG 10

24/09/04 J.P.B

3a2aa

6a


44/55

I.- EN GENERAL:

1.- Sen2x = 2Senx.Cosx2.- Cos2x = Cos2xSen2x

2.1.- Cos2x = 1- 2Sen2x2.2.- Cos2x = 2Cos2x1

FRMULAS DE DEGRADACINa.- 2Sen2x = 1-Cos2xb.- 2Cos2x = 1+Cos2x

3.- Tan2x =xTan

Tanx2

1

2

II.- OTRA FORMA DE EXPRESAR EL

SEN2X Y COS2X

a.- Sen2x =xTan

Tanx2

1

2

b.- Cos2x =xTan

xTan2

2

1

1

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- CalculaE = Sen15.Sen75

Solucin:

2E = 2Sen15.Cos15

2E = Sen30

2E =2

1

E =4

1

2.- Reduce:P = 1 - 8Cos2x + 8Cos4x

Solucin:

Agru pando en form a con veniente.

P = 1 - 8Cos2x(1 - Cos

2x)

P = 1 - 8Cos2x.Sen

2x

P = 1 - 2(2Senx.Cos x)2

P = 1-2Sen22x

P = cos4x

3.- Reduce:P = 2Sen3x.Cosx + 2Senx.Cos3x

Solucin:

Factorizando 2Senx.Cosx

P = 2Senx .Cosx (Sen2x + Cos

2x)

P = Sen2x (1)

4.- Reduce:

Q =xSenxCos

xSenxCos

221

221

Solucin:

Por degradacin:

Q =Cosx.SenxxCos

Cosx.SenxxSen

22

22

2

2

Q = )SenxCosx(Cosx

)CosxSenx(Senx

2

2

Q = Tanx

5.- Calcula: Tan21

Solucin:

Tan21= Tan(37- 16)

Tan21=

24

7

4

31

24

7

4

3

16371

1637

.Tan.Tan

TanTan

Tan21=117

44

4Preuniversitario

Alumno(a) :.......................................................................

Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 22/10/04


TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO DOBLE

COLEGIO PRIVADO


Semana N23 Tema N XI Contenido N 11.2


45/55

Colegio Privado


6.- Calcula:E = Cos415 - Sen415

Solucin:

Por di ferencia de cuadrados

E=(Cos215+Sen

215)(Cos

215-Sen

215)

(1) Cos2(15)

E = Cos30

E =2

3

CUESTIONARIO

1).- Simplifica :

K=(Cos4- Sen4)2 + (2SenCos)2

a) Cos2b) Sen2c) Tg2

d) Sec2e) 1

2).- Calcula :

xCosxSen81

x4CosP22

a) 1b) Senx

c) Cos2xd) 2e) Cosx

3).- Simplifica :2

2

2

2

2

Tg1

Tg2

Tg1

Tg1B

a) Cero b) 1 c) 2

d) 3 e) 1/2

4).- Calcula :

2Tg

Tg)12Sec(R

a) 1 b) 0 c) 4

d) 2 e) 3

5).- Si : x =2

, calcula :

Cosxx2Sen

x2TgB

a) 2 b) 1/2 c) -2

d)1/2 e) 0

6).- Reduce :

2Tg1

2Tg2

2Cos1

2Cos1P2

a) 2Tg

b) Tg2

c) 0

d) 2Tg

e) 2Tg2

7).- Calcula :

Q = Cos20 Cos40 Cos80

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8

d) 1/16 e) 1

8).- Reduce :

16Cos22222E

a) Sen

b) 2Sen

c) 2Cos

d) Cos

e) 2


46/55

Colegio Privado


9).- Si : x=1845

Halla: P=Cos3Sen - Sen3Cos

a)16

62

b)16

26

c)10

62

d) 1/2

e)3

2

10).- Halla :

2

2Cos1.2Sen

)2Cos1(T

a) Sen

b) Cos

c) Tg

d) Ctg

e) Sec

11).- Reduce :

CosSen

)2Cos1(2)2Cos1(2E

a) 1 b) 2 c) 4

d) 3 e) 1/2

12).- Simplifica :ACosASen

ACosASenE

441

441

a) Ctg2A b) CtgA c) TgA

d) Tg2A e) 1

13).- Reduce :

SenxTgxCosx

SenxSenxCosx

x2Senx2SenP2

a) Senx

b) Cosx

c) 1

d) Tgx

e) 0

14).- Si : TgxTg2x = a

Halla : M=Tg2xSec22x

a) a2 b) 2a2 c) a2/2d) 4a2 e) 3a2

15).- Si x = 90

Calcula :Cosxx2Sen

x2TgB

a) 2 b) 1/2 c) -2

d)1/2 e) 0

16).- Reduce :16SenCosCos2Cos4Cos8

a) Sen8

b) Cos8

c) Sen16

d) Cos16

e) Sen32

17).- Simplifica : 2SenCos3+ 2Sen3Cos

a) Cos2

b) Sen2

c) Sen4

d) Cos4

e) Sen

18).- Si : Tg+ Ctg= n. Halla : sen2

a) n b) 2n c) n/2

d) 1/n e) 2/n


47/55

Colegio Privado


19).- Halla : x

a) 9b) 10c) 11d) 12

e) 15

20).- Halla : Sen4si : Tg=3

a) 25/24

b)24/25

c)12/25d) 7/25

e)7/25

CLAVES

1) e 2) a 3) b 4) a

5) c 6) c 7) c 8) b

9) a 10) b 11) b 12) d

13) e 14) a 15) c 16) c17) b 18) e 19) d 20) b


2 MILLAS

COL2004/4Pre/GEOM 11

20/10/04 VAA

5

4x


48/55

I. PRINCIPALES ECUACIONES

En general las principales ecuaciones que nospermiten Calcula las R.T del ngulo mitad son:

1) Sen2

Cosx1

2

x

2) Cos2

Cosx1

2

x

3) Tan 2

Cosx1

2

x

NOTA : El signo () depende del cuadrante

en el cual se encuentra el ngulo mitad y dela R.T que la est afectando.

II.EQUIVALENCIAS

IMPORTANTES

1) Tan

2

x= Cscx - Cotx

2) Cot

2

x= Cscx + Cotx

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula :

E = (Cot22,5-1) (Cot15 - 2)

Solucin :

Por las equivalencias:

E = (Csc45+Cot45-1) (Csc30+ Cot30-2)

E = ( 2 + 11) (2 + 3 - 2)

E = 6

2) Reduce :

Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

Solucin : Por propiedad :

Q = Csc x + Csc2x + Csc4x + Cot4x

Cot2x

Q = Cscx + Csc2x + Cot2x

Cotx

Q = Cscx + Cotx

Q = Cot x /2

3) Si : Cscx + Cotx = Cos

Halla :2Sec

2xTan

Sen2

xCsc 22

Solucin: En el dato :

Cot x /2 = Cos Tan x/2 = Sec

Reemplazando :

2

SenCos1

2SecSec

Sen2/xCot1 2222

2Sec2/xTan

Sen2/xCsc 22

= 1

4Preuniversitario

Alumno a) :.......................................................................

Profesor a) :



TEMA : RELACIONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO MITAD

COLEGIO PRIVADO


Semana N 24 Tema N XIII Contenido N 13.1 ; 13.2


49/55

Colegio Privado


4) Si : Senx + Cosx = 2 ; x I C

Calcula : Cot x/2

Solucin :

En el dato al cuadrado

Sen2x + Cos2x + 2Senx + Cosx = 2

(1) + Sen2x = 2

Sen2x = 1

2x = 90

x = 45

En tonces : Cot 45/2 = Csc 45+ Cot45

Cot x /2 = 2 +1

5) Calcula :

E =Cotx

)CotxCscx(otx2/xCot

Solucin : Desarrol lando

E =Cotx

)CotxCscx(CotxCscx

E =Cotx

Cotx2 E = 2

6) Reduce :

E = Tan2

x + 2Sen22

x Cotx

Solucin :

E = Cscx Cotx + (1 Cosx) Cotx

E = Cscx Cotx + Cotx CosxCotx

E = Senx

xCos

Senx

1 2

E =Senx

xSen

Senx

xCos1 22

E = Senx

CUESTIONARIO

I ) Escrib e (V) si es verd adero o (F) si es

falso:

a) Csc+ Cot

= Tan

/2 ( )

b) Csc- Cot = Tan /2 ( )

c) Si : 180 < x < 270 x/2 IIC ( )

d) Si : 270< x < 360 x/2 IIIC ( )

e) Sen2x/2 =

2

Cosx1 ( )

f) Cos2x =

2

Cosx1 ( )

g) Cot2+ Csc2= Cot ( )

h) Tan15 = 2 = 3 ( )

I I) Subraya la alternativa c orrecta

1).- Reduce : A = Ctg2

b(CsbCtgb)

a) 1 b) Tg b/2 c) Tg bd) Cos b/2 e) Sec b/2

2).- Calcula el valor : Tg /8

a) 2 - 1 b) 2 + 1

c) 2 - 2 d) 2 + 2

e) 2 /4

3).- Si : 3/2 < x < 2x y Cosx = 1/9 . Calcula:

Csc x/2

a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4d) 1,5 e) 1,6

4).- Siendo Cos= 0,28 y Sen< 0. Calcula el

valor de : Cos /2

a) 3/5 b)3/5 c) 4/5d)4/5 e) N.A.

FV

V

F

V

V

V

V


50/55

Colegio Privado


5).- Siendo : Cos= donde Calcula el valor de :

W = 3 Sen/2 + 5 Cos/2

a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 1

6).- Al simplificar la expresin :

A =Ctgx22/xCtg

2/Tgx2

, se obtiene :

a) 1 b) 2 c) 4/2d)1 e)

7).- Siendo : Tg 32

x3

4

Calcula el valor de Sen3x

a) 3/5 b) 4/5 c)3/5d)4/5 e) 1

8).- Dada la relacin : Sen+ Cos=3

2

Calcula : Ctg2

28

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) 1/4

9).- De la relacin :

2Ctg=

8Ctg.

8Tg

8Tg

8Ctg

obtener el valor de

a)12

b)

9

c)

6

d)4

e)

3

10).- Reduce la siguiente expresin :

4

Tg1

4Tg1

E2

2

a) Sen2 b) Cos2 c) Tg2

d) Ctg2 e) 2Tg

11).- Determina k de modo que /4 sea razde la ecuacin :

k2

xTg

2

xTg

3

a) 3 2 - 4 b) 3 2 -6 c) 6 2 -2

d) 4 2 -6 e) 4 2 +6

12).- Halla el valor de :

H = (Csc2+ Csc4+ Csc8+ Ctg8) Tg

a) 1 b) Tg2 c) Ctg

d) 2 e)

13).- Simplifica la expresin siguiente :

E =Tg+ 2Tg2+ 4Ctg4

a) Ctg b) 2Ctg2 c) Ctg2

d) 4Csc4 e) 4Ctg4

14).- En un tringulo ABC se cumple que :

SenB SenC = Cos2A/2

que tipo de tringulo es:

a) Issceles b) Rectnguloc) Equiltero d) a y b e) a y c


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Colegio Privado


15).- Siendo :

Cos A =yx

zCCos;

zx

yCosB;

zy

x

Determina el valor de :

B= Tg22

A+ Tg

2

2

B+ Tg

2

2

C

a) 1 b) c) 2d) 3 e) 4

16).- Calcula : Tg

2

xsabiendo que :

Senx =22

ba

ab2

a) b

a b)

a

b c)

b

a

d) a

b e) 1

17).- Indica el valor de :

8

7Cos

8

5Cos

8

3Cos

8CosW

4444

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

CLAVES

01) a 02) a 03) d

04) d 05) c 06) b

07) d 08) 09) d

10) a 11) d 12) a

13) a 14) a 15) e

16) 17)


200 MILLAS

COL2004/TRIG 12

12/11/04 J.P.B


52/55

1) Principales Ecuaciones :

a) Sen3x = 3Senx4Sen3x

b) Cos3x = 4Cos3x3Cosx

c) Tan3x =x3Tan-1

xTan-3Tanx2

3

2) Otra forma de expresar :

a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1)

b) Cos3x = Cosx(2Cos2x1)

c) Tan3x =Tanx

1x2Cos21x2Cos2

3) Equivalencias Importantes :

a) 4Senx Sen(60x) Sen(60+x) = Sen3x

b) 4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x

c) TanxTan(60 - x) Tan(60+x)=Tan3x

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Simplifica :

E =x3CoxCos

xSenx3Sen3

3

Solucin :

E =)Cosx3xCos4(xCosxSenxSen4Senx3

33

33

E =)xCos1(Cos3

)xSen1(Senx32

2

E =Senx

Cosx

xSenCosx

xCosSenx2

2

E = Cotx

2).- Calcula :K = Sen10Sen50Sen70

Solucin :

Mult ip l icando po r 4

4k = 4Sen10Sen50Sen704k = Sen30=

k=1/8

3).- Halla n para que la expresin sea unaidentidad.

nCosx

x3Cos

Senx

x3Sen

Solucin :

nCosx

x3Cos

Senx

x3Sen

nCosx

)3xCos4(xcos

Senx

)xSen43(Senx 22

6 4 (Sen2x + Cos

2x) = n

(1)n = 2

4).- Simplifica :E = (Cos3x+ 2Cosx) (Sen3x2Senx)

Solucin :

E=(4Cos3x-3Cosx+2Cosx)(3Senx4Sen

3x

2Senx)

E = (4Cos3x Cosx ) (Senx 4Sen

3x)

E =Cos xSenx(3-4Sen2x)(4Cos

2x 3)

E =2

2Sen3xCos3x

E = 0,5Sen6x

4Preuniversitario

Alumno a) :.......................................................................

Profesor a) :



TEMA : RELACIONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO TRIPLE

COLEGIO PRIVADO


Semana N 24 Tema N XIII Contenido N 13.1 ; 13.2


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Colegio Privado


5).- Si: Tanx =11

1; Calcula : Tan3x

Solucin:

Tan3x =

121

131

121

13

11

1

31

3

2

3

.xTan

xTanTanx

Tan3x =

121

118

121

362

11

1 )(.

Tan3x =649

181

6).- Halla el valor de:E = Cos20.Cos40.Cos80

Solucin:

4E = 4Cos20.Cos40.Cos804E = Cos60

4E =2

1

E =8

1

CUESTIONARIO

1).- Calcula : Sen18

a)4

15 b)

4

15 c)

4

25

d)4

26 e) 3/4

2).- Evala : 4Sen18Cos36

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 3 e) 1/3

3).- Calcula :

E =

40Cos840Cos6

40Sen1240Sen9

3

3

a) 32

3 b) 3

4

3 c) 2

3

3

d) 25

3 e) 3 3

4).- Simplifica :

E =

6Sen372Cos

84Sen318Cos

a)Cot34 b)Cot25 c)Cot36d) Cot

35 e) Cot

36

5).- Calcula : a2+ b

2a partir de :

aCsc=3-4Sen2

bSec= 4Cos2-3

a)1 b) 0 c) 1d) e)1/2

6).- Si : Sen3=3Tan, Sen0. Halla.

E = (4Cos3) (3+Cos)

-1

a) 1 b)1 c) 0d)2 e) 2

7).- Halla n para que la expresin sea unaidentidad :

nCosx

x3Cos

Senx

x3Sen

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

8).- Halla :

M = Tg3x-xTg31

xTgTgx3

2

3

a) 0 b) 1 c) Tgxd) Ctgx e) -1

9).- Si Tg = 2. Halla : 11Tg3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


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Colegio Privado


10).- Simplifica :

K=A3Cos

A2SenACosA3Sen

a) SenA b) CosA c) TgAd) 2SenA e) 2CosA

11).- Si : 4CtgA =ATg31

ATg3

2

2

Halla :Ctg3A

a) 4 b) c) 1

d) e) -4

12).- Calcula : J = Cos20 Cos40Cos80

a) b) c) 1/6d) 1/8 e) 1/10

13).- Calcula : K = Sen10Sen50Sen70

a) b) c) 1/6d) 1/8 e) 1/10

14).- Calcula : L=4Sen5Sen55Sen65

a)4

26 b) 26 c) 2+ 3

d) 2- 3 e)4

26

15).- Simplifica:

M = 4Sen

3

xSen

3

xSen

3

x

Se obtiene :

a) Senx b) 2Senx c)3

Senx

d) 3Senx e)4

Senx

16).- Reduce : 3Cosx3x3Cos

Senx3x3Sen

a) Tgx b) Ctgx c) -Tgxd)Ctgx e) Secx

17).- Reduce : M =4Cos3x - 6Cos

23

2

x

a) 0 b) Sen2x c) Cosxd) Cos3x e)2Cos 3x/2

18).- Simplifica :x3CosxCos

xSenx3Sen

3

3

a) Cotx b) Secx c) Cscxd) Tanx e) Senx

19).- Simplifica :

Sen

3SenSen

Cos

3CosCos 33

a) Cos b) Sen c) 1d) 3 e) 0

20).- Si : Tan(+15) = 2/3, calcula Tan3

a) -9

46 b)

9

46 c)

37

55

d) -37

55 e) N.A.

21).- Si : Sen3

2x

3

Calcula : Sen3x

a)27

28 b) -

27

28 c) -

27

219

d)27

219 e) N.A


55/55

Colegio Privado


22).- Simplifica :

P = Cos3xCos3x - Sen3xSen

3x

a)4

x4Cos31 b)

4

x4Cos31

c) Cos4x d) 3Cos4x

e) N.A.

23).- En la figura :3

2

OC

AO .

Calcula :ODOB

a) 3 b) 6 c) 9d) 11 e) 13

CLAVES

1) a 2) a 3) a 4) c

5) c 6) a 7) c 8) a

9) b 10) a 11) b 12) d

13) d 14) e 15) a 16) a

17) d 18) a 19) d 20) c

21) d 22) a 23) d

3

A

B

2

OD

C

4º trigonometria - 200 millas

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