3º trigonometria - 200 millas

DEFINICIN

En geometra plana, el ngulo se define como la figura formada por dos rayos que parten de un mismo punto. En trigonometra se considera que un ngulo se genera por la rotacin de un rayo alrededor de su origen (llamado : vrtice )desde una posicin inicial (llamado : lado inicial) hasta una posicin terminal (llamado : lado final) Entonces la medida de un ngulo trigonomtrico es la expresin de la cantidad de rotacin ( o amplitud de rotacin) que efecta el rayo al girar en torno a su origen desde su posicin inicial hasta su posicin final. Esta medida ser un nmero positivo si la rotacin se efecta en sentido antihorario y negativo en caso contrario.

OA : lado inicial

OB : lado final.

0 : vrtice

: nmero que indica la medida del ngulo AOB.

En la las figuras adjuntas :

es positivo, es negativo,

es negativo.

Debemos tener presente que la medida de un ngulo trigonomtrico no tiene limite.

Observacin Al ngulo generado al rotar un rayo en sentido antihorario hasta que coincida por primera vez con su posicin inicial lo denominamos ngulo de una vuelta o ngulo de una revolucin.

Relacin de conversin de los tres sistemas.

Sean S, C y R los nmeros que representan la medida de un ngulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente.

Sabemos que : 1 vuelta = 360 = 400g = 2rad.

Entonces se cumple :

2

R

400

C

360

S

Simplificando :

R

200

C

180

S

Frmula o relacin de conversin

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha : 12/03/04

Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad

TEMA : NGULO TRIGONOMTRICO

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

O

O

0 A

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULAR

Sistema Sexagesimal

(Sistema ingls)

m < 1 vuelta = 360

Sistema Centesimal

(Sistema francs)

m < 1 vuelta = 400g

Sistema Radial

(Sistema circular)

m < 1 vuelta = 2rad

O

A

B

Colegio Privado

D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S

2

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Convierte /5 rad a grados sexagesimales : Solucin :

5

180

SR

360

S S = 36

/5 rad = 36

2) Convierte 60g a radianes : Solucin :

10

3S

R

200

60R

200

C

60g = 3/10 rad

3) Convierte /6rad a grados sexagesimales. Solucin :

/6 rad x

rad

180= 30

4) Convierte 25g a grados sexagesimales.

Solucin :

25g =

g

200

180 = 22,5

5) Convierte 80g a radianes.

Solucin :

80g . rad5

2

200

radg

CUESTIONARIO

I. Relaciona mediante una flecha las sgtes. equivalencias angulares :

1. /3 rad /8 rad

2. 100g /2 rad

3. 25g 60

4. 18 20g

5. 45 50g

6. 10g 9

II. Convierte a grados sexagesimales :

1. /9 rad ..............................................

2. /4 rad ..............................................

3. 2/3 rad ..............................................

4. 8g ..............................................

5. 40g ..............................................

III. Convierte a grados centesimales :

1.

0

5

18

..............................................

2. 4/3 rad ..............................................

3. 2/5 rad ..............................................

4. (1/5) ..............................................

5. 3/5 rad ..............................................

Unidad deseada : Grados sexagesimales

Unidad a eliminar : Radianes

Sabemos que :

180 = rad

Colegio Privado


3

PRCTICA DIRIGIDA

1).-Calcula la medida de un ngulo en radianes, si: S + C = 95

a)/2rad b) /4rad c) /3rad

d) rad e) N.A 1.1 Halla R en: 2S + 3C = 120

a) /8rad b)/4rad c) /12rad

d) /9rad e) N.A 1.2 Halla R en: 2S C = 40

a)/3 b) /2 c) /4

d) /8 e) N.A

2).- Simplifica :

Q =R20

R80SC2

a) 1 b) 2/3 c) 25 d) 5/4 e) N.A

2.1 Reduce :

P =

R20

SCSC

a)10 b)20 c)30 d)38 e)100 2.2 Reduce:

E = SC2R100C2S3

a) 21/19 b)19/21 c) 26/19 d)0 e) N.A

3).- Calcular:

T=

8rad10

1550g

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A 3.1 Calcula :

T = 2040rad32 g

a)100 b)130 c) 128 d)136 e) N.A

3.2 Calcula :

T =

40rad3

6rad10

a) 1 b)1/2 c)1/3 d)1/4 e) 6/25

4).-Halla el ngulo en radianes tal que cumpla con:

SC

SC

R32

R32

a) 2/3rad b) 3/2rad c) 2/2rad

d) 3/5rad e) N.A 4.1 Halla el ngulo en radianes si:

S = 2X + 2 ; C = 3X 4

a) /7rad b) /4rad c) /5rad

d) 3/10rad e) /10 rad

4.2 Reduce:

Q =

22

22

SCSC

SCSC

a)181/180 b) 180/181 c) 90/91 d) 91/90 e) N.A

5).- Un ngulo mide (a-1) y en grados

centesimales (a+1)g, halla a

a)17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 5.1 Determina la medida del ngulo circular que

cumple:

S = 2xx y C = xx + 11

a) /6rad

b) /18rad

c) /15rad

d) /10rad

e) /5rad

Colegio Privado


4

5.2 Dada la relacin: (2a - b) (a + b)g

Calcular el valor de:

E = ba

ba

a)1/4 b) 3/4 c) 7/4 d) 13/4 e)15/4

6).- Calcular R a partir de:

2R100

RR45

4CR

4SR2

3

a) 1/3 b) 0,5 c) 1 d) 2 e) 2.5 6.1 Calcule el ngulo en radianes si:

2C = m + 18; S = 4 + 3m

a)/20rad b) /10rad

c) /12rad d) /5rad

e)5/102

6.2 Si se cumple:

19

10

SC1

SC1

Calcular C:

a) 40 b) 20 c) 19

d) 30 e)N.A

7).- El ngulo de un tringulo mide 35 y el otro

5/9 rad. cunto mide el otro ngulo con el sistema centesimal?

a) 10g b) 20g c) 30g d) 40g e) 50g

8).- Los lados de un cuadriltero ABCD se miden en 3 sistemas diferentes. El ngulo A mide 30,

el ngulo B mide 5/6 rad y el ngulo C mide 90g cuanto mide el ngulo D en sexagesimales. a) 99 b) 100 c) 101 d) 102 e) 103

9).- De los grficos siguientes halla la medida de

x .

9.1) a) 59 b) 68 c) 69 d) 70 e) 80

9.2)

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

9.3)

a) 70g b) 80g c) 100g d) 20g e) (100/9)g

9.4)

a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

1)b 1.1)a 1.2)c 2)c 2.1)d 2.2)c 3)c 3.1)d 3.2)e 4)d 4.1)c 4.2)b 5)b 5.1)d 5.2)e 6)d 6.1)e 6.2)b 7)e 8)a

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS COL2004/3/TRIG-01

11/03/04 J.P.B

90g

/6 rad x

150 120g

/3rad

x

25

10g

/18 rad

x

xg

40

ARCO

Es una porcin cualquiera de una circunferencia.

AB : Arco AB A : Origen del arco AB B : Extremo del arco AB O : Centro de la circunferencia R : Radio de la circunferencia

LONGITUD DE ARCO :

L = - R

L : Longitud de arco AB R : Radio de la circunferencia

: Nmero de radianes del ngulo central.

(0 2)

SECTOR CIRCULAR

Se llama sector circular ala regin circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. AOB : Sector circular AOB

REA DEL SECTOR CIRCULAR

El rea de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ngulo central, en radianes, es decir : Donde : S : rea del sector circular AOB

Otras frmulas : a) b) OBSERVACIN : El incremento de un mismo radio R en un sector circular inicial de rea S (fig 1) produce un incremento de rea proporcional a los nmeros impares de S (fig. 2).

3

Secundaria



TEMA : ARCO Y SECTOR CICULAR

COLEGIO PRIVADO


L

A

rad

R

O

R

B

O

A

B

B

A

S rad

R

R

S = 2

R.L S =

2

L2

O

R

R

S L O

R

R

S L

R

R

R

R

S 3S

5S 7S

R R R R

Fig.2

R S

R

Fig.1

B

A

R

Colegio Privado


2

REA DE UN TRAPECIO CIRCULAR :

Se llama trapecio circular a aquella diferencia circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concntricos.

El rea de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su esparcimiento , es decir :

Donde : AT = rea del trapecio circular tambien :

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula el valor del trapecio circular y encontrar la medida del ngulo central en la figura mostrada.

Solucin :

Se sabe : AT = 22

34

AT = 7m2

Adems : = 2

34

= = 0,5

2) Halla x si el rea del trapecio circular es 21m

2.

Solucin : Por dato : AT = 21

Por formula : AT =

2

9x - 2= x + 9

Igualamos : x + 9 = 21 x = 12m

3) Si la longitud del arco es igual a 4 halla el radio si

el ngulo central mide /3.

Solucin : Se sabe :

x R = L /3 x R = 4

R =12m.

4) Si la longitud del arco es igual a 3 halla el radio si

el ngulo central es igual a /4.

Solucin : Se sabe :

L = . r 3 = /4 R 12m = R

5) Hallar el valor el ngulo central si la longitud del

arco es igual a 8m, adems R = 10/.

Solucin : Se sabe :

L = . R 8 = . 10/

10

8 =

5

4

6) Halla el valor del ngulo central si la longitud del

arco es igual a 10m; adems R = 30/ Solucin :

Se sabe : L = . R 10 = x 30/

= /3

h

R

b B A1 rad

h

AT= h.2

bB

=h

bB

3m 4m AT rad

2m

2m

9m x

2m

2m

Colegio Privado


3

CUESTIONARIO I. Relaciona mediante flecha : (1 Pts : c/u)

a) /2 36

b) /5 270

c) 2

3 90

d) 5

4 27

e) 20g 18

f) 30g 144

II. Escribe V o F segn corresponda :

(1 Pts: c/u)

a) /5 = 36 = 20g ( )

b) 9

2= 40 =

g

9

400

( )

c) 18 = 20g = /10 ( )

d) 27 = 30g =

7

2 ( )

e) 45 = (55)g = /4 ( )

f) 56 = 60g =

3

2 ( )

III. Subraya la alternativa correcta: (30Pts : 1 c/u)

1).- Calcula L en :

a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

e) 10

2).- Calcula : L en :

a) 12

b) 6

c) 18

d) 30 e) N.A.

3).- Calcula el rea del sector AOB.

a) 12

b) 6

c) 16

d) 8 e) N.A.


a) 12

b) 24

c) 12

d) 6 e) N.A.


a) 4

b) 5

c) 4,5

d)

e) 2

6).- Calcula L1 + L2 en la figura

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10 7).- Calcula : L1 + L2 + L3

a) 10

b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

/4

20

20

L

2/5

30

30

L

/6

12

12

A

B

D

8

6

6

A

B

O

45

6

6

A

B

D

L1

L2

L3

10 10 /3 6

8

/5

/4

6

/9 18 18

16 16 /4

L2

L1

Colegio Privado


4

8).- Calcula x en la figura :

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9).- Calcula el rea del sector AOB

a) 3,5 b) 4,5 c) 5,5 d) 6,5 e) 9

10).- Calcula el rea sombreada.

a) 3 b) 6 c) 12 d) 24 e) 48

11).- Calcula x en: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) N.A.

12).- Calcula el permetro de la regin sombreada. a) 11a b) 10a c) 9a d) 8a e) 22a

13).- Calcula el rea sombreada.

a) /4m2

b) 2m4

25

c) 2m4

25

d) 2m7

20

e) N.A.

14).- Calcula , x en:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A.

15).- De la figura, halla: L1 + L2

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8 e) N.A.

16).- Calcula, en: a) 1/3 b) 1/2 c) 2 d) 3 e) 1/5

17).- Calcula el rea de un sector circular cuyo

ngulo central mide /3 rad y su arco

correspondiente mide 6m.

a) 18 b) 36 c) 54

d) 46 e) N.A.

18 x x

5

2 D

C

O

3

3

2

A

B

4 8 x

a

3a

3a

a

5

5

5

5

5

x+3 x

3 2

2

2

10

5

2 3

5 2

3

20

30

L1

L2 36

Colegio Privado


5

18).- Calcula el rea sombreada. a) 12 b) 13 c) 14 d) 10 e) 15

19).- Halla R en: a) 1 b) 3 c) 9 d) 27 e) N.A.

20).- Halla la longitud de una circunferencia sabiendo que a un arco de 1m le corresponde un ngulo central de 30.

a) 20m b) 12m c) 24m d) 40m e) 36m

21).- Del grafico mostrado calcula x : a) 8m b) 9m c) 10m d) 12m e) 18m

22).- Del grfico mostrado calcula 1

2

S

S.

Si AB = 20A a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

23).- De la figura , calcula x. a) (a + b)c

-1

b) c(a b)c-1

c) (b a)c

-1

d) (a b)c-1

e) c(a + b)

-1

24).- Del sector circular mostrado; calcula : (L1 + L2).

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

25).- Dado un sector circular de arco 12m de

radio (x + 3) y ngulo central 2 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

26).- Halla el rea de un sector circular cuyo ngulo central mide 30 y su radio igual a 6cm.

a) cm2

b) 2cm2

c) 3cm2

d) 4cm2

e) 5cm2

27).- Halla el rea de un sector circular cuya longitud de arco es 12cm y radi0o 6cm. Calcula el rea de dicho sector circular.

a) 12cm

2 b) 36cm

2 c) 72cm

2

d) 46cm2

e) 16cm2

28).- Halla el rea de un sector circular de radio

6 , que es igual al rea de un tringulo

equiltero, cuyos lados es igual a la longitud de arco del sector.

a) 2 3 m2

b) 4 3 m2

c) 4m2

d) 3 m2

e) 9m2

6 0,5rad

2

2

2

3

3

R

R

4

x 6m 3S S

D

C

B

A

S2 S1 O

b a xrad

c

c

8m2 L2 L1

4m

4m

Colegio Privado


6

29).- El permetro de un sector circular de 2cm

de radio es numricamente igual a 3 veces el nmer4o de radianes de su ngulo central. Halla el rea de dicho sector. a) 4cm

2 b) 6cm

2 c) 8cm

2

d) 10cm2

e) 16cm2

30).- Determina el rea de la regin sombreada, sabiendo que las reas de los sectores AOC y

BOD son iguales ( y radianes).

a) )(2

R2 b) )(

2

R2

c) )(4

R2 d) )(

4

R2

e) )(2

R2

CLAVES

1)b 2)a 3)a 4)b 5)c

6)c 7)c 8)d 9)b 10)c

11)b 12)a 13)c 14)a 15)d

16)b 17)c 18)b 19)b 20)b

21)d 22)d 23)d 24)b 25)b

26)c 27)b 28)a 29)c 30)a

R

B

O

D

A C


200 MILLAS

COL2004/3/TRIG-02

24/03/04 J.P.B

1) DEFINICIN Son aquellos nmeros que resultan de dividir dos

lados de un tringulo rectngulo.

2) TEOREMA DE PITGORAS

Fig(1)

La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

3) RAZONES TRIGONOMTRICAS

Dado el tringulo ABC, recto en C segn la figura (1), se establecen las siguientes definiciones.

Sen = Hipotenusa

OpuestoCateto

Cos = Hipotenusa

Ady acenteCateto

Tg = Ady acenteCateto

OpuestoCateto

Ctg = OpuestoCateto

Ady acenteCateto

Sec = Ady acenteCateto

Hipotenusa

Csc = OpuestoCateto

Hipotenusa

4) RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS NOTABLES

24

16 30 37 45 53 60 74

Sen 7/25 1/2 3/5 2 /2 4/5 3 /2 24/25

Cos 24/25 3 /2 4/5 2 /2 3/5 7/25

Tg 7/24 3 /3 1 4/3 3 24/7

Ctg 24/7 3 4/3 1 3 /3 7/24

Sec 25/24 2 3 /3 5/4 2 5/3 2 25/7

Csc 25/7 2 5/3 2 5/4 2 3 /3 25/24

5) PROPIEDADES 5.1. RAZONES TRIGONOMTRICAS

RECPROCAS

Son recprocos entre si : a) Seno y Cosecante

b) Coseno y Secante

c) Tangente y Cotangente

Luego :

a) Senx . Cscx = 1

b) Cosx . Secx = 1

c) Tgx . Ctgx = 1

3

Secundaria



TEMA : RAZONES TRIGONMETRICAS DE UN NGULO AGUDO

COLEGIO PRIVADO


16

25 74 2 1 60

30 7

3

1

2

45

45

1

37

53

4

3 5

B

A C

(Cateto opuesto) c

a

b (Cateto adyacente)

Colegio Privado


2

5.2. RAZONES TRIGONOMTRICAS COMPLEMENTARIAS

Razones Razones Trigonomtricas Complementarias

Seno Coseno Secante Cosecante Tangente Cotangente

En general : + = 90

a) Sen = Cos

b) Sec = Csc

c) Tg = Ctg

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Halla E :

E = Sen Csc + Tgx . Ctgx Solucin:

E = Sen Csc + Tgx . Ctgx

1 + 1 E = 2

2) Si : + = 90; halla E :

E =Sen + Cos + 2 (Sen + Cos) Solucin :

E = Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)

E = Sen + Sen + 2(Sen + Sen)

E = 2Sen + 4Sen

E = 6Sen

3) Si : x + y = 90 ; halla E : E = Senx Cosy + Senx Csc Solucin : E = Senx Cosy + Senx Cscx

E = Senx Senx + 1

E = 1

4) Halla E:

E =

50Csc

40Sec

63Ctg

27Tg

60Cos

30Sen

Solucin :

E =

50Csc

40Sec

63Ctg

27Tg

60Cos

30Sen

E =

40Sec

40Sec

63Ctg

63Ctg

60Cos

60Cos

E = 1 + 1 + 1 E = 3

5) En la figura , calcula x :

Solucin :

Por Pitgoras , se cumple :

(x + 1)2 = x

2 + (x 1)

2

x2 + 2x + 1 = x

2 + x

2 2x + 1

2x + 1 + 2x 1 = 2x2 x

2

4x = x2

x = 4

6) Halla E :

E =

86Ctg

4Tg

12Sen

78Cos3

75Cos

25Sen

Solucin :

E =

86Ctg

4Tg

12Sen

78Cos3

75Cos

25Sen

E =

86Ctg

86Ctg

12Sen

12Sen3

25Sen

25Sen

E = 1 + 3 + 1 E = 5

x

x+1 x-1

Colegio Privado


3

C U E S T I O N A R I O

1).- Calcula x en la figura

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

2).- Calcula x en la figura: a) 7 b) 9

c) 13

d) 11

e) 20

3).- En la figura, calcula Sen

a) 1 b) 2 c) 3/4 d) 4/5 e) 7

4).- Calcula en la figura, Tan

a) 3 b) 2 c) 1

d) 5

e) 4/3

5).- Si; Sen= 7/25. Calcula: Cot

a) 7/24 b) 24/7 c) 7/25 d) 1 e) 5

6).- Si: Sen = 40/41, calcula: E = Csc + cot

a) 4/5 b) 5/4 c) 1 d) 2 e) 3

7).- Si: Sen = 60/61. Calcula el valor de:

P = Sec + Tan

a) 11 b) 60 c) 61 d) 7 e) 12

8).- Si: Tan = 0,333.........

Calcula: E = SenCos

a) 2/10 b) 3/10 c) 10/3 d) 5 e) N.A

9).- Siendo un ngulo agudo para el cual se

tiene que Cos = 40/41; Determina el valor de k tal que se verifique.

kCtg + 1 = kcsc

a) 40 b) 41 c) 9 d) 10 e) 21

10).- Siendo Sen = 15/17 y es un ngulo. Calcula el valor de x en la igualdad:

xCos + 7 = Sen.

a) 9 b) 8 c) 13 d) 15 e) 17

11).- Si se tiene que es agudo y

Cos = 3/4. Calcula el valor de:

E = Csc2 +

7

4 Ctg

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12).- Siendo un ngulo agudo y adems

Tg = 3/5. Calcula:

E = 3Sen + 5Cos

a) 3 b) 34 c) 5

d) 29 e) 4

13).- Calcula Tag en la figura:

a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3/2 e) 3/4

x

61

60

3 2

x

4

5

x-1

x+1

x

45

53

2a a

Colegio Privado


4

14).- Del grfico mostrado, calcula Tg

a) 1/3 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3

e) 2

15).- Calcula el valor de x en la figura.

a) 102 b) 112 c) 122 d) 92 e) 84

16).- Calcula el valor de x

a) 11

b) 13

c) 15

d) 17

e) 19

17).- Calcula x en: Sen10 = Cosx a) 10 b) 80 c) 40 d) 50 e) 60

18).- Calcula: x

Tan (3x + 10) = Cot50

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

19).- Si: Sec(2a + b) Csc(a + 2b) = 0 Calcula: a + b

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 22 20).- Si: x + y = 20; calcula : Q = Sen(x + y + 30) Cos(3(x+y)-20)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

CLAVES

1) c 2) d 3) d 4) e 5) b

6) b 7) a 8) b 9) c 10) e

11) d 12) b 13) d 14) b 15) b

16) b 17) b 18) b 19) c 20) a


200 MILLAS

COL2004/3/TRIG-03

15/04/04 J.P.B

37

B C

D A

x

45 37

48 2

3

60

4

x

C A

B

1. DEFINICIN

Son aquellos ngulos representados en el plano vertical.

2. CLASIFICACIN

2.1. NGULO DE ELEVACIN Es aquel formado por la lnea horizontal y la visual. La visual es una lnea imaginaria, que parte del observador hacia el objeto y que est por encima de la lnea horizontal.

2.2. NGULO DE DEPRESIN Es aquel ngulo formado por la lnea horizontal y la visual. La visual lnea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que est por debajo de la lnea horizontal.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) A 24 m de la base de un edificio se observa la parte ms alta de ste con un ngulo de elevacin de 16. Calcula la altura del edificio. Solucin :

En la figura :

Tan16 = 24

7=

24

x

x = 7m 2).- Desde lo alto de un edificio de 40m de altura

se observa un punto en la tierra con un ngulo de depresin de 53. A que distancia de la base del edificio se encuentra el punto? Solucin :

En la figura :

Tan37 = 40

x

4

3=

40

x x =30m

3) Un nadador se dirige hacia un faro y lo

observa con un ngulo de elevacin de 30 al avanzar 10m ; el ngulo de elevacin se duplica. Halla la altura del faro.

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : John Flores Gamarra Fecha : 18/06/04


TEMA : NGULOS VERTICALES

COLEGIO PRIVADO


OBSERVADOR

ng. de elevacin

L. Horizontal

OBJETO

OBSERVADOR

ng. de depresin

L. Horizontal

OBJETO

Punto 53

40

53

37

x

Poste

Observador

x

24

Colegio Privado


2

Solucin :

En la figura :

10

H= Sen60

10

H=

2

3

H =5 3 m

4).- Desde las azoteas de dos edificios de 80 y

12m de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ngulos de depresin de 53 y 37 respectivamente. Calcula la distancia entre ambos edificios.

Solucin :

X = 76m

5).- Una persona de 2m de estatura observa la base de un poste de luz con un ngulo de depresin de 30 y la parte superior con un ngulo de elevacin de 60. Calcula la altura del poste.

Solucin :

Se observa : x = 8m

6).- Desde un punto A situado a 30m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ngulo de elevacin de 30. Calcula la distancia del punto A hacia la parte superior. Solucin :

Se observa : 30

x = Sec30

30

x =

3

2

x = 20 3

CUESTIONARIO

I. Escribe verdadero (V) o falso(F)

(2Pts : 1/3 c/u)

a) En el ngulo de elevacin la visual se encuentra por debajo de la lnea horizontal. ( )

b) En el ngulo de depresin la visual se encuentra por debajo de la lnea horizontal. ( )

c) El ngulo de depresin es mayor de una vuelta. ( )

d) Los ngulos verticales estn formado por una lnea horizontal y visual. ( )

e) Los ngulos verticales se ubican en el plano horizontal. ( )

II. Completa los espacios vacos. (2Pts)

a) Los ngulos verticales estn formados por

una lnea .............................. y una lnea

visual.

b) En el ngulo de elevacin la lnea visual

esta por ............................. de la lnea

horizontal.

30 60

30

10 H

faro

10

80

53 37

37

12

16 60

53

x

60

30

30 2 4

38

x

poste

A 30

60

30m

Colegio Privado


3

c) En el ngulo de ......................... la visual

est por debajo de la

...................................

d) Los ngulos de elevacin y depresin son

...........................................................

e) En el ngulo de elevacin, la visual es una

lnea ................................. que contiene a

un ................................. por encima de la

......................................................

III. Subraya la alternativa correcta 1) En el ngulo de elevacin la visual est: a) Por debajo de la lnea horizontal b) Por encima de la lnea horizontal c) Paralela a la lnea horizontal d) Perpendicular a la lnea horizontal 2) En el ngulo de depresin la visual est : a) Por encima de la lnea horizontal b) Por debajo de la lnea horizontal c) Paralela a la lnea horizontal d) Perpendicular a la lnea horizontal 3) Los ngulos verticales estn a) En el plano horizontal b) En el plano vertical c) En el espacio d) En tres dimensiones 4) Los ngulos verticales estn formados por una

lnea visual y una lnea. a) Vertical b) Paralela a la visual c) Horizontal d) Paralela a la vertical 5).- Un observador se encuentra a 24m de la

base de un poste de 7m de altura. Cul es el ngulo de elevacin respectivo?

a) 16 b) 12 c) 14 d) 22 e) N.A.

6).- Una escalera de 6m de longitud es apoyada

sobre una pared, formando con ste un ngulo de 30, calcula la distancia entre los pies de la escalera y la pared.

a) 6 b) 4 c) 3 d) 8 e) N.A.

7).- Desde lo alto de un edificio de 100m de

altura se observa un auto estacionado bajo un

ngulo de depresin de 60. Calcula la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que esta bajo el observador.

a) 3

3100 b)

3

3 c) 3 3

d) 5

3100 e) N.A

8).- La parte superior de un edifico de 48m de

altura es observada bajo un ngulo de elevacin de 53. Cul es la distancia entre el observador y el pie del edificio?

a) 36m b) 32m c) 24m d) 38m e) N.A.

9).- Desde la parte superior de un morro de 77m de altura se observa un objeto que est ubicado a 264m del pie del morro. Cul es el ngulo de depresin? a) 14 b) 16 c) 12 d) 10 e) N.A.

10).- A 20 m del pie de un poste la elevacin

angular para lo alto del mismo es de 37. Cul es la altura del poste?

a) 12 b) 10 c) 15 d) 14 e) N.A.

11).- Desde un punto A situado a 30m del pie de

un edificio, se observa su parte superior con un ngulo de elevacin de 30. Calcula la distancia del punto A hacia la parte superior.

a) 3 b) 20 3 c) 3 /2

d) -2 3 e) N.A.

12).- A 20 m de una torre se observa su parte

ms alta con un ngulo de elevacin y si nos alejamos 10m el ngulo de elevacin es el

complemento de . Calcula Tg.

a) 2

3 b)

2

3 c) 2

2

3

d) 3

5 e) N.A.

13).- Desde un punto en el suelo se ubica la

parte superior de un ngulo con una elevacin angular de 37. Nos acercamos 5m y la nueva elevacin angular es de 45. Halla la altura del rbol.

a) 12 b) 14 c) 15 d) 10 e) 8

Colegio Privado


4

14).- Desde un punto en el suelo se observa la

parte ms alta de una torre con un ngulo de elevacin de 60. Si se retrocede 40m y se vuelve a observar la parte ms alta, el ngulo de elevacin es de 30. Halla la altura de la torre.

a) 3 3 b) -3 3 c) 20 3

d) 3 e) N.A.

15).- Una persona colocada a orillas de un ro, ve

el extremo superior de un rbol plantado sobre la ribera opuesta, bajo un ngulo de elevacin de 60. Si se aleja 40m; el ngulo de elevacin es 30. Halla el ancho del ri.

a) 23 b) 22 c) 20 d) 18 e) 14

16).- Una persona ubicada en la parte ms alta de un poste de alumbrado pblico ubica dos puntos opuestos a ambos lados del poste con ngulo de depresin de 37 y 53. Si los puntos distan entre si 20m. Halla la suma de las visuales.

a) 22 b) 25 c) 20 d) 18 e) 32

17).- Calcula la altura de un rbol, si desde dos puntos ubicados a un mismo extremo del rbol, se observa lo alto con ngulos de elevacin de 30 y 60, adems se sabe que la distancia

entre ellos es de 20 3 m.

a) 30 b) 28 c) 24 d) 20 e) N.A.

18).- Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ngulo de depresin de 37 y 53. Si la altura de la torre es de 12m y las piedras estn en lnea recta y a un mismo lado de la torre, calcula la distancia entre las piedras.

a) 12 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

19).- Una antena de radio esta colocada en la azotea de un edificio, a 12m de distancia del edifico, sobre el suelo; los ngulos de elevacin de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53 y 37 respectivamente. Halla la longitud de la antena.

a) 14 b) 7 3 c) 7

d) 10 e) N.A.

20).- Desde el extremo superior de una torre de 24m de altura se observan los puntos A y B con ngulos de depresin de 37 y 53 respectivamente. Si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre. Calcula la distancia entre dichos puntos.

a) 7 3 b) 14 c) 16

d) 10 e) N.A.

CLAVES

1) b 2) b 3) b 4) c 5) a

6) c 7) a 8) a 9) b 10)c

11)b 12)b 13)c 14)c 15)c

16)b 17)a 18)c 19)c 20)b

21)b


200 MILLAS

COL2004/3/TRIG-04

17/06/04 J.P.B

I. NGULO EN POSICIN NORMAL

Un ngulo trigonomtrico esta en posicin normal si su vrtice esta en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. Si el lado final esta en el segundo cuadrante, el ngulo se denomina ngulo del segundo cuadrante y anlogamente para los otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ngulo no pertenece a ningn cuadrante. Ejm :

II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE

NGULOS EN POSICIN NORMAL

Si es un ngulo cualquiera en posicin normal, sus razones trigonomtricas se definen como sigue :

Donde :

Sen = v ectorradio

ordenada

r

y

Cos = v ectorradio

abscisa

r

x

tag = abscisa

ordenada

x

y

Csc = ordenada

v ectorradio

y

r

Sec = abscisa

v ectorradio

x

r

Cot = ordenada

abscisa

y

x

SIGNOS DE LAS R.T. EN CADA

CUADRANTE

Como regla prctica se usa el siguiente esquema para el reconocimiento de los signos de las R.T solamente para valores positivos.

NGULO CUADRANTAL

Un ngulo en posicin normal se llamar cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningn cuadrante.

3

Secundaria

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha :27/08/04


TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

COLEGIO PRIVADO


x

y

(1)

x

y

90

(2)

0

I

II III

90 a ningn cuadrante no esta en posicin normal

P(x, y)

r

0 x

Ojo :

r =22

yx

x : abscisa y : ordenada r : radio vector

todas Sen Csc

Cos Sec Tg Ctg

Colegio Privado


2

Los principales ngulos cuadrantales son : 0, 90, 180, 270 y 360, que por comodidad grfica se escribirn extremos de los ejes. PROPIEDAD

Si es un ngulo en posicin normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple :

Si I 0 < < 90

Si II 90 < < 180

Si III 180 < < 270

Si IV 270 < < 360 R.T. DE NGULOS CUADRANTALES

El siguiente cuadro muestra las R.T de los ngulos cuadrantales

0 90 180 270 360

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Cot ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND -1 ND 1

Csc ND 1 ND -1 ND

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Halla x

Solucin :

Aplicamos la formula : r = 22 yx

que es lo mismo : r2 = x

2 + y

2

Reemplazamos y por 12 y r por 13 en

la igualdad anterior.

x2 + 12

2 = 13

2

x2 + 144 = 69

x2 = 25

x2 = 5

Como x esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo.

x = -5

2) Halla y

Solucin : Anlogamente aplicamos : x

2 + y

2 = r

2

Reemplazamos x por 8 r por 17 en

la igualdad anterior.

(-8)2 + y

2 = 17

2

64 + y2 = 289

y = 225

y = 15

Como y esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo.

90

II

360 180

270

0

I

III IV

0

y

x

(x; 12)

13

0

y

x

17

(-8; y)

Colegio Privado


3

3) Qu signo tiene?

E =

300Tan

200Cos.100Sen

Solucin :

100 II Sen100 es (+) 200 III Cos200 es (-) 300 IV Tan300 es (-)

Reemplazamos E = )(

))((

E = )(

)(

E = (+)

4) Si II Cos2 = 2/3 ; halla Cos.

Solucin :

Despejamos Cos de la igualdad.

Cos2 = 2/9

Cos = 3

2

Como R entonces Cos es negativo, por tanto.

Rpta : Cos = -3

2

5) Si IV Tan2 =

25

4. Halla Tan

Solucin :

Despejamos Tan de la igualdad

Tan2 =

25

4

Tan = 5

2

Como IV entonces Tan es negativa por tanto :

Rpta : Tg = 5

2

6) Calcula : E =

2Sec2

3Cot

Cos2

Sen2

Solucin :

Los ngulos estn en radianes,

haciendo la conversin obtenemos.

2

= 90

= 180

32

= 270

2 = 360

Reemplazamos :

E =

360Sec270Cot

180Cos90Sen2

E = 10

)1()1(2

Rpta : E = 3

CUESTIONARIO

1).- Halla Cos : a) 3/5 b) 4/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/9

0

(x; 4)

5

Colegio Privado


4

2).- Halla Tg

a) -2

53 b)

4

59 c)

7

53

d) 3/9 e) 5/4

3).- Halla Sen

a) 25

24 b)

20

10 c)

60

40

d) 30

15 e)

20

18

4).- Si IV Tan2 = 4/25. Halla Tg

a) 2/5 b) 5

2 c)

5

3

d) -5

3 e)

8

2

5).- Si II. A que cuadrante pertenece?

2

+ 70

a) I b) II c) III d) IV e) II y III

6).- Calcula el valor de E para x = 45

E = x8Cosx4Tan

x6Cosx2Sen

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7).- Del grfico mostrado, calcula :

E = Sec . Csc

a) 1 b) 42

13 c)

13

42

d) 42

13 e)

13

42

8).- Del grfico mostrado, calcula :

E =Sec + Tg

a) - 5 b) 5 c) 5

5

d) 5

5 e) 1

7

(2; y)

x

y

0

25

x

y

(-7; y)

0

( 7;6 )

y

x

x

y

(- 5 ; -2)

Colegio Privado


5

9).- Del grfico, calcula :

E = Cot + Csc

a) 3/4 b) 3/4 c) 1 d) 4/3 e) 4/3

10).- Si (5; 12) es un punto del lado final de un

ngulo en posicin normal . Halla el valor de :

E =

Cos

Sen1

a) 5 b) -5 c) 1/5 d) 1/5 e) 10

11).- Si el lado final de un ngulo en posicin normal pasa por el punto (-3; 2) halla el valor de :

E =

Csc

Sec

a) 13 b) 3/2 c) 3/2

d) 2/3 e) 2/3

12).- Si el punto (-8;-15) pertenece al lado final

de un ngulo en posicin normal . Halla el valor de :

E = Sec + Tg a) b) c) 4 d) 4 e) -1

13).- Dado el punto (1; -2) correspondiente al lado final de un ngulo en posicin normal

. Halla EL valor de :

E = Cot - Csc2

a) 9/4 b) 9/4 c) 7/4 d) e) 3/4

14).- Si Tan > 0 Sec < 0, en que

cuadrante se encuentra .

a) I b) II c) III d) IV e) I y II

15).- Halla el signo de : E = Tan125.Cos

2200.Sen

3310.Cos180

a) + b) - c) + v -

d) + - e) No tiene signo

16).- Si : Csc < 0 Sec > 0. en que

cuadrante esta ?

a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal

17).- Halla el signo de : E = Cot432 . Tan

2134.Csc

3214 . Sec

4360

a) + b) - c) + v -

d) + - e) No tiene signo

18).- Si : Cos= 2/5 IV. Halla Cot.

a) 21

2 b)

21

2 c)

21

5

d) 21

5 e)

2

5

19).- Si Sen=1/3 II. Halla Tan.

a) 4

2 b) -2 2 c)

2

2

d) 2 2 e) 4

2

(7; -24)

x

y

0

Colegio Privado


6

20).- Si (3; 4) es el punto del lado final de un

ngulo en posicin normal . Halla el valor de :

E =

Cos1

Sen

a) 1 b) 2 c) d) 3 e) 1/3

21).- Si el lado final de un ngulo en posicin

normal pasa por el punto (-1; 2), halla el valor de:

E = Sec. Csc a) 5/2 b) 5/2 c) - 2/5 d) 2/5 e) 1

CLAVES

1) c 2) a 3) a 4) b 5) b

6) a 7) b 8) c 9) e 10)c

11)d 12)a 13)c 14)c 15)b

16)d 17)b 18)b 19)e 20)b

21)a


200 MILLAS COL2004/TRIG-05

23/08/04 J.P.B

1.- NGULOS POSITIVOS MENORES DE

UNA VUELTA:

a).- EN GENERAL:

R.T. 180 360

= RT()

R.T.

2

= RT()

R.T. 90 270

= Rcomp.()

R.T. 2

2

3

= Rcomp.()

b).- CASO PARTICULAR:

II C 180 -

III C 180 +

IV C 360 -

2.- NGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA.

2.1.-PROCEDIMIENTO:

a).- Se divide el ngulo dado entre el ngulo de una vuelta.

b).- Se iguala la R.T. del ngulo dado con la R.T. del residuo.

c).- Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante.

3.- NGULOS NEGATIVOS:

a).- Sen(-x) = -Senx

b).- Cos(-x) = Cosx

c).- Tg(-x) = -Tgx

d).- Ctg(-x) = -Cotx

e).- Sec(-x) = Secx

f).- Csc(-x) = -Cscx

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Simplifica:

E = Senx

)x(Sen

)x(Cos

Cosx

360

180

Solucin:

E = Senx

Senx

Cosx

Cosx

E = -1 1

E = -2

2.- Simplifica:

E =

x

Tg.)x(Sec

)x(Cot.x

Csc

2

2

1ra forma 2da forma

II 180 -

-

90 +

/2 +

III 180 +

+

270 -

3/2 -

IV 360 -

2 -

270 +

3/2 +

3

Secundaria

Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 10/09/04


TEMA : REDUCCIN AL I CUADRANTE

COLEGIO PRIVADO


1 Unidad Temtica N VII 2 Objetivo N VII.1 3 Tema N VII 4 Contenido N 7.1; 7.2

Colegio Privado


2

Solucin: Por reduccin al I cuadrante

)Cotx)(Secx(

)Cotx)(Secx(E

E = (-1)(1)

E = -1

3.- Reduce al primer cuadrante Tan 870.

Solucin:

Tan(870) = Tg[2(360)+150]

Tan 870 = Tg150

Reduciendo 150 al primer cuadrante

Tg150 = Tg(180-30)

Tg150 = -Tg30

Tg870 = -Tg30

Tg870 = -3

3

4.- Reduce al primer cuadrante Sen 1215

Solucin:

Sen1215 = Sen[3(360)+135]

Sen1215 = Sen135

Sen1215 = Sen(180-45)

Sen1215 = Sen45

Sen1215 = 2

2

5.- Calcula E = 60210 CosSen

Solucin:

Por reduccin al I cuadrante

60120 CosSenE

6030180 Cos)(SenE

6030 CosSenE

2

1

2

1E

E = 0 E = 0

6.- Simplifica:

E =

60

3027090

Cos.Cotx.Cosx

Sen).x(Tg.)x(Sen

Solucin: Por reduccin al I cuadrante

60

30

Cos.Cotx.Cosx

sen.xcot.xcosE

E = 1

CUESTIONARIO

1).- Calcula E = 120240 SenSen

a) 1 b) 0 c) 2

d) 4 3 e) 2

2).- Calcula E =

315

300

Tan

Sen

a) 2

1 b)

2

1 c)

2

3

d) 2

3 e)

3

2

3).- Calcula E = Sec135.Csc150

a) 22 b) 22 c) 2

d) 2 e) 2

4).- Simplifica:

E = )x(Cot

)x(Tan

180

270

a) 0 b) 1 c) 1 d) Tan

2x e) Ctg

2x

5).- Calcula E = Cos210-Tg120

a) 0 b) -2

3 c) 32

d) 32 e) 2

3

Colegio Privado


3

6).- Calcula:

E =

240

120

Cot

Sen

a) 2/3 b) 2/3 c) 3/2

d) 3/2 e) 33

7).- Calcula

E = Sen225.Cos210

a) 2

1 b)

4

3 c)

4

33

d) 4

6 e)

4

3

8).- Simplifica

E = )x(Cos

)x(Sen

360

270

a) 0 b) 1 c) -1 d) Tgx e) Cotx

9).- Si Cos10 = a A qu es igual?

E = Sen100 . Cos190

a) a2

b) a2

c) 1 d) a

4 e) a

4

10).- Si: Sen40 = k A que es igual? E = Sen140.Cos130

a) k b) k

2 c) k

-2

d) k4 e) k

-4

11).- Reduce al primer cuadrante. Tan10000

a) Tan80 b) Tan80 c) Tan70 d) Tan70 e) Tan10

12).- Reduce al primer cuadrante Sen8230 a) Sen10 b) Sen22 c) Sen50 d) Sen50 e) Sen10

13).- Simplifica:

E = )x(Cot

)x(Tan

)x(Sen

)x(Sen

180

270

360

180

a) 0 b) 3 c) -3 d) 1 e) 1

14).- Simplifica:

E = Senx

)x(Sen

)x(Cos

Cosx

360

180

a) 0 b) 2 c) -2 d) 1 e) 1

15).- Calcula:

E =

15101430

1500750

CosSen

CosSen

a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) -3

16).- Simplifica:

E =

1860765

11201490

TanTan

CosSen

a) 1 b) 3 c) 0

d) - 3 e) 3

3

17).- Calcula:

E = (b - 1)Sen450 - (b + 1)Cos900

a) 0 b) 2 c) -2 d) 26 e) -26

18).- Simplifica:

E = (a + 1)Cos540 - (a - 1)Sen630 a) 2 b) 2 c) 2a d) 2a e) 0

Colegio Privado


4

19).- Calcula:

E = )(Cot

)(Csc

315

240

a) 2 b) 3

2 c)

3

2

d) 2 e) 1

20).- Calcula

E = )(Tan

)(Sen

135

120

a) 2

1 b)

2

1 c)

2

3

d) 2

3 e)

3

2

CLAVES

1) b 2) c 3) a 4) b

5) e 6) c 7) d 8) c

9) b 10) b 11) b 12) c

13) a 14) d 15) a 16) c

17) d 18) b 19) b 20) d


200 MILLAS

COL2004/3S/TRIG-06

08/09/04 V.A.A.

I.- DEFINICIN: Una identidad trigonomtrica es una igualdad que contiene expresiones trigonomtricas que se cumplen para todo valor admisible del ngulo. Ejm:

* Identidad Trigonomtrica: Sen2+cos

2=1

II.- IDENTIDADES FUNDAMENTALES: Las identidades trigonomtricas fundamentales sirven de base para la demostracin de otras identidades ms complejas.

Pitagricas Se clasifican Por Cociente

Recprocas

2.1.- IDENTIDADES PITAGRICAS:

a).- Sen2 + Cos

2 = 1

b).- Sec2 - Tg

2 = 1

c).- Ctg2 - Cotg

2 = 1

2.2.- IDENTIDADES POR COCIENTE:

a).- Tan = Cos

Sen

b).- Ctg = Sen

Cos

2.3.- IDENTIDADES RECPROCAS:

a).- Sen.Csc = 1

b).- Cos.Sec = 1

c).- Tg.Cot = 1

III.- IDENTIDADES AUXILIARES:

a).- Sen4 + Cos

4 = 1 2Sen

2.Cos

2

b).- Sen6 + Cos

6 = 1 - 3Sen

2.Cos

2

c).- Tan + Cot = Sec.Csc

d).- Sec6 + Csc

6 = Sec

2.Csc

2

e).- (1+Sen+Cos)2=2(1+Sen)(1-Cos)

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Reduce: K = Sen

4x - Cos

4x + 2Cos

2x

Solucin:

Por diferencia de cuadrados:

K = (Sen2x+Cos

2x)(Sen

2x-Cos

2x)+2Cos

2x

K = Sen2x-Cos

2x+2cos

2x

K = Sen2x+Cos

2x

K = 1

2.- Simplifica:

E = xcos

senx

senx

xcos

1

1

Solucin: Operando:

)xcos(Senx

)senx)(senx()xcos)(xcos(E

1

11

E = )xcos(senx

xsenxcos

1

1 22

E = )xcos(senx

)xcosxsen(

1

1 22

E = )xcos(senx

1

11

E = )xcos(senx 1

0 = 0

3.- Si: Senx + Cosx = 2

1.

Halla: Senx.Cosx

3

Secundaria



TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

COLEGIO PRIVADO


Unidad Temtica N 8 Objetivo N 7,8 Tema N IX Contenido N 9.1;9.2;9.3;9.4

Colegio Privado


2

Solucin:

Del dato: (senx + cosx)2 =

2

2

1

Sen2x + cos

2x + 2senx.cosx =

4

1

1 + 2senx.cosx = 4

1

2senx.cosx = 4

1 - 1

2senx.cosx = 4

3

senx.cosx = 8

3

4.- Elimina x, a partir de:

Senx = a Cosx = b

Solucin: De: Senx = a Sen2x = a2

Cosx = b Cos2x = b2

Sen2x + Cos

2x = a

2 + b

2

1 = a2 + b

2

5.- Halla tan + cot

Si: Sen

Cos

Cos

Sen = 5

Solucin:

E = sen.cos

cos.cossen.sen

E = sen.cos

cossen 22

E = sen.cos

1

E = sen

.cos

11

E = Sec.Csc

Pero: E = tg + ctg = sec.csc

tg + ctg= 5

6.- Halla Sec6 + Csc

6 ; si:

SenCos 2211

= 8

Solucin:

E = sencos 22

11

E = sen.cos

CosSen22

22

E = Sen.Cos 22

1

E = Sec2.Csc

2

Pero : E = Sec6 + Csc

6 = sec

2.csc

2

Sec6 + csc

6 = 8

CUESTIONARIO

1).- Reduce:

)xcos).(xcos(

)xtanx).(secxtanx(secK

11

a) sen

2x

b) cos2x

c) sec2x

d) csc2x e) 1

2).- Reduce:

K = (senx + cscx)2 + cos

2x - cot

2x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3).- Reduce:

A = xsen.sec.xcot 222 111

a) senx b) cosx c) cscx d) secx e) 1

4).- Reduce:

E =

xsen

xsec

xcos

xtan

xcot

senx

xcsc 2

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) -2

Colegio Privado


3

5).- Reduce:

E = xtansenx

xcos

1

a) secx b) cscx c) senx d) cosx e) cotx

6).- Simplifica: M=5.sen

4x.csc

4x+6.tan

3x.cot

3x-7cos

2x.sec

2x

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 18

7).- Reduce:

J = )senx).(senx(

)xcotx).(cscxcotx(csc

11

a) sen

2x

b) cos2x

c) sec2x

d) csc2x

e) 1

8).- Reduce: E = sen

2x - tan

2x + (cosx - secx)

2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9).- Reduce:

B = 111 222 xcsc.xtan.xcos

a) 1 b) senx c) cosx d) cscx e) secx

10).- Reduce:

E =

xcos

xcsc

senx

xcot

xtan

xcos

xsec 2

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

11).- Simplifica:

K = xcotxcos

senx

1

a) senx b) cosx c) tanx d) cscx e) secx

12).- Simplifica: N = 5

-1.sen

2x.cos

3x.tan

4x.sec

3x.csc

2x.cot

4x

a) 5 b) 2 c) 0,5 d) 0,2 e) 1

13).- Simplifica:

E = xsec.xcsc.

xcot.xtan.

3

22

a) 3

6

b) 2

6

c) 3

2

d) 2

3

e) 6

14).- Calcula: cosx, si:

tgx.senx secx = -0,75

a) 3/4 b) 4/3 c) d) 4/3 e) 1

15).- Halla: senx, si: cscx - cotx.cosx = 0,8

a) 5/4 b) 3/5 c) 4/5 d) 5/3 e)

Colegio Privado


4

16).- Si: sec2x + cos

2x = 7; halla:

I = secx cosx

a) 5

b) 1 c) 2 d) 3

e) 7

17).- Si: Csc

2x + sen

2x = 4; halla:

E = cscx + senx

a) 1 b) 2

c) 2

d) 6

e) 6

18).- Si: Sec

2x + csc

2x = 9; halla

I = sen4x+cos

4x

a) 2/3 b) 4/3 c) 1/3 d) 11/9 e) 7/9

19).- Si: tanx + cotx = 4; halla E = sen

6x + cos

6x

a) 7/8 b) 9/8 c) 9/16 d) 13/16 e)

20).- Si: cosx senx = a; halla: E = 2.cosx.senx

a) a

2 - 1

b) a2

+ 1 c) a

2

d) 1 - a2

e) a2

21).- Si: senx + cosx = 2

6; halla:

R = senx.cosx

a) 1/8 b) c) d) 1/2 e) 1/4

CLAVES

1) d 2) e 3) e 4) b

5) a 6) c 7) c 8) a

9) a 10) d 11) d 12) d

13) a 14) c 15) c

16) a 17) e 18) e 19) d

20) d 21) c


200 MILLAS COL2004/3S/TRIG-07

18/09/04 VAA

I.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA SUMA DE DOS NGULOS

a).- Sen(+) = Sen.Cos + Cos.Sen

b).- Cos(+) = Cos. Cos Sen.Sen

c).- Tan(+) = Tan.Tan

TanTan

1

OBSERVACIN:

Cot(+) = )(Tan

1

Sec(+) = )cos(

1

Cosec(+) = )(sen

1

II.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS.

a).- Sen(-) = Sen.Cos - Cos.Sen

b).- Cos(-) = Cos. Cos + Sen.Sen

c).- Tan(-) = Tan.Tan

TanTan

1

OBSERVACIN:

Cot(-) = )(Tan

1

Sec(-) = )cos(

1

Cosec(-) = )sec(

1

PROPIEDADES

1.- Sen(+).Sen(+) = Sen2-Sen

2

2.- Tan(+) =

Tan+Tan+Tan(+).Tan. Tan

3.- Si: ++=180

Tan+Tan+Tan = Tan.Tan.Tan

4.- Si: Si: ++=90

Tan.Tan+Tan.Tan + Tan.Tan =1

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla el Sen75

Solucin: Sen75 = Sen(30+45) =Sen45.Cos30+Sen30.Cos45

=2

2

2

1

2

3

2

2..

= 4

2

4

6

Sen75 = 4

26

2.- Halla el cos 16.

Solucin: Cos16 = Cos(53-37) = Cos53.Cos37+Sen53.Sen37

= 5

3

5

4

5

4

5

3..

= 25

12

25

12

Cos16 = 25

24

3

Secundaria

Alumno(a) :.......................................................................

Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 22/10/04


TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO COMPUESTO

COLEGIO PRIVADO


Unidad Temtica N IX Objetivo N IX Tema N X Contenido N 10.1 ; 10.2

Colegio Privado


2

3.- Calcula la Tan8.

Solucin: Tan8 = Tan(45-37)

Tan8 =

37451

3745

Tan.Tan

TanTan

Tan8 = 47

41

4

311

431

/

/

.

/

Tan8 = 1/7

4.- En un ABC, as tanA = 3 y Tan B = 2. Halla: Tan C.

Solucin:

En todo ABC : A + B + C = 180 entonces: Se cumplir: TanA + TanB+ TanC = TanA.TanB.TanC Reemplazando datos: 3 + 2 + TanC = 3.2.TanC 5 + TanC = 6TanC 5 = 5TanC

TanC = 1

5.- Calcula : W=Tan20.Tan30+Tan30.Tan40+Tan20.Tan40

Solucin: Notamos que: 20 + 30 + 40 = 90. Entonces se cumple que.

Tan20.Tan30+Tan30.Tan40+Tan20.Tan40=1

W = 1

6.- Calcula el Sen15

Solucin: Sen15 = Sen(45-30) = Sen 45.Cos30 - Cos45.Sen30

= 2

1

2

2

2

3

2

2..

= 4

2

4

6

Sen15 = 4

26

CUESTIONARIO

1).- Si Tanx = 4

3, Secy =

5

13.

Halla: sen(x + y)

a) 65

61 b)

65

62 c)

65

63

d) 65

64 e) 1

2).- Halla el valor de:

E = Cosx)x(Cos 452

a) 1 b) Senx c) Senx d) 2Senx e) 1

3).- Simplifica:

Seny.Cosx)yx(Sen

Seny.Cosx)yx(SenE

a) 1 b) Tanx c) Coty d) Tany e) Cotx

4).- Calcula el valor de: E = Sen(25+x).Cos(5-x)+Cos(25+x).Sen(5-x)

a) Sen15 b) Cos5 c) 2

1

d) 4 e) 3

5).- Halla el valor de: K = Sen10 + 2Cos20.Cos80

a) 2

1 b) 1 c)

3

1

d) 4 e) 3

6).- Calcula:

E =

73201

7320

Cot.Tan

CotTan

a) 3

4 b)

4

3 c) 1

d) 4

3 e)

3

4

Colegio Privado


3

7).- Calcula: E = Tan8 + Cot16

a) 7

25 b)

25

7 c)

5

3

d) 4

3 e)

3

4

8).- Si: Tan(A - B) = 2 y TanB = 3

1.

Halla TanA

a) 7

1 b) 7 c)

7

1

d) 7 e) 5

1

9).- Del grfico halla el valor de m.

a) 13

17 b)

17

13 c)

13

51

d) 51

13 e) 3

10).- De la figura halla Tan

a) 9

1 b)

3

4 c) 1

d) 4

3 e) 9

11).- Si: Cscx = 5

13, Coty =

15

8.

Halla Sen(x + y)

a) 220

221 b)

221

220 c)

221

22

d) 220

21 e)

21

220

12).- Halla el valor de : E = )x(Sen. 452

a) Cosx.Senx b) Cosx + Senx

c) Senx Cosx d) Cosx - Senx

e) 2(Senx + Cosx)

13).- El valor de:

K = Cosy.Senx

)yx(Cos , ser igual a:

a) Tanx b) Coty

c) Cotx+Coty d) 1-TanxTany

e) Cotx+Tany

14).- Calcula el valor de:

E =

15601560

30753075

Sen.SenCos.Cos

Sen.CosCos.Sen

a) 1 b) 1 c) 2

d) 2

2 e) 3

15).- Halla el valor de: R = Cos80+2Sen70.Sen10

a) 1 b) 2

1 c) -1

d) -2

1 e) -2

16).- Calcula:

E =

70801

7080

Cot.an

CotTan

A

B C

D

1

4

37

m

A

B C

D

M 1 4

4

Colegio Privado


4

a) 2 b) 3 c) 3

3

d) 2

2 e) -

2

2

17).- Halla:

E =

8

16

Cot

Tan

a) 24

1 b) 24 c)

24

7

d) 7

24 e)

2

1

18).- Si: Tan(a + b) = 5 y Tan a = 7 Halla: Tanb

a) 18

1 b)

17

1 c) -

18

1

d) -17

1 e) -

19

1

19).- de la figura; si tan = 25

8. Halla m

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

20).- Halla Tan

a) 4

b) 4

1

c) 8

d) 8

1

e) 6

CLAVES

1) c 2) b 3) a 4) c

5) a 6) b 7) b 8) b

9) c 10) e 11) b 12) b

13) e 14) a 15) b 16) b

17) a 18) c 19) b 20) c


200 MILLAS

COL2004/3S/TRIG-08

20/10/04 V.A.A

A

B C

D

3

m

4

2

3

1

I. FRMULAS DE R.T DEL

NGULO DOBLE

1) Seno del ngulo doble :

Sen2x = 2SenxCosx

2) Coseno del ngulo doble :

Cos2x = Cos2x Sen2x

Cos2x = 1 2Sen2x

Cos2x = 2Cos2x 1

3) Tangente del ngulo doble :

Tan2x = xTan1

Tanx22

4) Cotangente, Secante y Cosecante

ngulo doble :

Tomaremos las identidades recprocas aplicadas al ngulo doble es decir :

Como : Tan2x.Cot2x =1Cot2x = x2Tan

1

Como : Cos2x.Sec2=1 Sec2x = x2Cos

1

Como : Sen2x.Csc2x=1Csc2x= x2Sen

1

5) Casos especiales del ngulo doble :

Sen2x=xTan1

Tanx22

y Cos2x=xTan1

xTan12

2

II. PROPIEDADES

1) Cotx Tanx = 2Csc2x

2) Cotx tanx = 2Cot2x

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Siendo : x2Csc

x2Sec = 1,2 ; halla Cot2x

Solucin :

Sabemos que:x2Csc

x2Sec =1,2

10

12

x2Sen

1x2Sec

1

5

6

x2Cos

x2Sec Tan2x =

5

6

Luego : Cot2x =x2Tan

1Cot2x=

5

6

1=

6

5

2) Si : Tanx=3, halla el valor de :

P = Sen2x Cos2x Solucin :

*Sen2x=10

6

31

)3(2

xTan1

Tanx222

Sen2x=

5

3

*Cosecx=10

8

31

31

xTan1

xTan12

2

2

2

Cos2x

5

4

Finalmente : P = Sen2x Cos2x

P = 5

4

5

3

5

4

5

3

P =

5

7

3

Secundaria



TEMA: RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO DOBLE

COLEGIO PRIVADO


Unidad Temtica N X Objetivo N 10.1 Tema N XI Contenido N 11.1; 11.2 Semana : 33

Colegio Privado


2

3) Si : Cos2x=n; halla : W = Cot2x-Tan2x Solucin :

W = Cot2x-Tan2x=(Cotx+Tanx). (Cotx-Tanx)

W = (2Csc2x) . (2Cot2x)

W =

x2Sen

x2Cos.2.

x2Sen

1.2

W = x2Cos1

x2Cos4

xSen

x2Cos422

Pero : Cos2x = n

W = 2n1

n4

4) Aplicando ngulo doble. Halla Sen2x.

Solucin : Si se sabe que :

Sen(x+y)=SenxCosy+CosxSeny

Sen(x+y)=senCosx+CosxSenx

Sen(2x) = 2SenxCosx

5) Si : Sen x = 0,8 o < x < 90

Calcula : E = 2

x2Sen

Solucin :

E = 2

CosxSenx2

2

x2Sen

E = 10

3.4.2

2

10

6.

10

8.2

E = 10

24 = 2,4

6) Si Cosx= 2/3 0 < x < 90

Calcula : E =3

x2Cos

Solucin :

E = 3

xSenxCos

3

xsecCo 22

E = 3

3

2

3

522

E = 3

9

4

9

5

E = 27

1

CUESTIONARIO

1).- Si : Senx = 0,333 . . . 0

Colegio Privado


3

4).- Reduce : A =Cos2Cos1

Sen2Sen

a) Cot b) 2Cot c) Tan

d) 2Tan e) 1

5).- Simplifica :

H = x2Tan

1

Cosx,Senx2

1xCos2 2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 2Cot2x e) Cot4x

6).- Calcula :

N =

10Sen.10Cos4

)35Sen35Cos)(35Sen35Cos(

a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 1/3

7).- Si : x = /8. Calcula :

W = 4Senx. Cos3x 4Sen

3x .Cosx

a) 1 b) 1 c)

d) 2 e) 2

2

8).- Calcula : K = (2+2Cos35).(1-Cos35)+2Sen10Cos10

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

9).- Simplifica :

E = 24Cos222

a) 4Sen6 b) 8Cos6 c) 4Cos6 d) 8Sen6 e) 6Sen4

10).- Halla x de la figura :

a) 5 5 b) 4 5 c) 3 5

d) 2 5 e) 5

11).- Si : Senx = 0,666 . .. 0 < x

Colegio Privado


4

16).- Halla :

)15Sen15Cos)(15Sen15Cos(

'3022Cos'.3022Sen6

a) 1 b) 6

6 c) 6

d) 3 2 e) 2 3

17).- Simplifica :

J = Senx. Cos5x Sen

5x . Cosx

a) Senx b) Sen4x c) 4

x4Sen

d) Sen2x.Cos2x e)

18).- Calcula :

Q = Cos5.Sen5-(1+Sen40)(1-Sen40) a) 1 b) 1 c) d) e) 0

19).- Reduce :

k = 4Cos222 ; 0

3º trigonometria - 200 millas

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