3 - anova un factor

Análisis de varianza de un Factor

Marcelo Rodríguez G.Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística

Universidad Católica del Maule

Facultad de Ciencias Básicas

Ingeniería en Agronomía

Diseño Experimental

21 de marzo de 2011

[email protected] (UCM) ANOVA un Factor 21/03/2011 1 / 37

Introducción

De�nición (ANOVA de un Factor)

El método de ANOVA de un Factor, es un método de �comparación demedias� que consiste en la comparación de varios grupos (tratamientos) deuna variable cuantitativa (variable dependiente).

(La hipótesis de investigación)

Existe un efecto atribuible a los tratamientos. Estadísticamente sería,

H1 : µi 6= µj .

(La hipótesis nula)

El efecto de los tratamientos es el mismo. Estadísticamente sería,

H0 : µ1 = µ2 = . . . µt .


Modelo Estadístico

(Modelo completo de medias)

El modelo está dado por

yij = µ+ τj + εij ,

i = 1, · · · , r j = 1, · · · , t

donde:

r es el número de replicas y t el número de tratamientos.

yij : i-ésima observación del j-ésimo tratamiento,

µj : media del j-ésimo tratamiento,

τj = µj − µ : Efecto sobre la respuesta del j-ésimo tratamiento,

εij : i-ésimo error experimental del j-ésimo tratamiento.


Modelo Estadístico

(Arreglo común de los datos)

Tratamientos

1 2 · · · t

y11 y12 · · · y1t

y21 y22 · · · y2t

.

.

....

. . ....

yr1 yr2 · · · yrt

Considere: y j =1

r

r∑i=1

yij n = r · t y =1

n

t∑j=1

r∑i=1

yij


Ejemplo: Nociones del análisis de varianza

Recuerde el problema de crecimiento bacterial. A cada conjunto decondiciones de empaque, se le asignaron, al azar, 5 cortes de carne. Seasume que los cortes forman un grupo homogéneo. Se mide el número debacterias por centímetro cuadrado.

Condiciones de empaque

Al vacio (T1) Mezcla de gases (T2) 100% CO2 (T3)

620 730 550

640 720 500

680 690 440

630 680 510

670 670 550



Bacterias (yij) Empaques y y j (yij − y)2 (y j − y)2 (yj − y j)2

620 Al vacío (1) 618,67 648 1,78 860,44 784,00640 Al vacío (1) 618,67 648 455,11 860,44 64,00680 Al vacío (1) 618,67 648 3761,78 860,44 1024,00630 Al vacío (1) 618,67 648 128,44 860,44 324,00670 Al vacío (1) 618,67 648 2635,11 860,44 484,00730 Mezcla de gases (2) 618,67 698 12395,11 6293,78 1024,00720 Mezcla de gases (2) 618,67 698 10268,44 6293,78 484,00690 Mezcla de gases (2) 618,67 698 5088,44 6293,78 64,00680 Mezcla de gases (2) 618,67 698 3761,78 6293,78 324,00670 Mezcla de gases (2) 618,67 698 2635,11 6293,78 784,00550 100% CO2 (3) 618,67 510 4715,11 11808,44 1600,00500 100% CO2 (3) 618,67 510 14081,78 11808,44 100,00440 100% CO2 (3) 618,67 510 31921,78 11808,44 4900,00510 100% CO2 (3) 618,67 510 11808,44 11808,44 0,00550 100% CO2 (3) 618,67 510 4715,11 11808,44 1600,00

Suma 108373,333 94813,333 13560,000

El modelo completo es yij = µj + εij donde i = 1, 2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3.La variación total sería 108373,333, este valor será llamado SCT. Elobjetivo es descomponer esta variación total es dos variaciones, unaatribuible a los tratamientos y otra al error.La variación atribuible a los tratamientos (entre grupos) sería94813,333, este valor será llamado SCTR. Si los y j , son muy similaresal y , entonces SCTR sería un valor pequeño, lo cual indicaría que nohay diferencias entre los tratamientos.



La variación atribuible al error (dentro del grupo) sería 13560,000,este valor será llamado SCE. Esta es la variación que existe entre cadadato y el promedio del tratamiento que fue aplicado (εij = yij − µj).

Note que se obtiene la siguiente descomposición de la varianza

108373, 333︸︷︷︸SCT

= 94813, 333︸︷︷︸SCTR

+ 13560, 000︸︷︷︸SCE

.

Para que exista un efecto atribuible a los tratamientos (promedio portratamiento diferentes), la SCTR debería ser un valor grande encomparación a SCT (la SCE debería ser pequeña). El porcentaje que

representa la SCTR de la SCT es SCTRSCT

∗ 100% = 87, 5%.

Como la SCTR representa el 87,5% de la variación total (la SCErepresenta sólo el 12,5% de la variación total), entonces, al parecer,los promedios de los tratamientos son diferentes (efecto atribuible alos tratamientos).


Descomposición de la suma de cuadrados

(Suma de cuadrados total)

SCT =t∑

j=1

r∑i=1

(yij − y )2

(Suma de cuadrados de los tratamientos)

SCTR =t∑

j=1

r∑i=1

(y j − y )2

(Suma de cuadrados de los errores)

SCE =t∑

j=1

r∑i=1

(yij − y j)2


Grados de libertad

(Relación de la suma de cuadrados)

Las sumas de cuadrados se pueden descomponer mediante

SCT = SCTR+ SCE

Ejemplo (Grados de libertad para las sumas de cuadrados)

Los grados de libertad para la SCE serían n − t

Los grados de libertad para la SCT serían n − 1

Los grados de libertad para la SCTR serían t − 1


Media cuadrática

De�nición (Media de cuadrática)

Se de�ne como la suma de cuadrados promedio, con respecto al no degrados de libertad.

(Media cuadrática de los tratamientos)

Es la variación entre (inter-grupos) cada tratamiento.

MCTR =SCTR

t − 1

(Media de cuadrática del error)

Es la variación dentro (intra-grupos) de cada tratamiento. Tambiénllamada estimación de la varianza del error experimental.

MCE =SCE

n − t


Prueba de hipótesis

(Tabla de ANOVA)

Modelo Suma de Grados de Media Fc

cuadrados libertad cuadrática

Tratamiento (Inter-grupos) SCTR t − 1 MCTR

Error (Intra-grupos) SCE n − t MCEMCTR

MCETotal SCT n − 1

(Hipótesis)

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µt v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j

(Reglas para el rechazo de H0)

Fijar α y Rechace H0 si Fc > F1−α(t − 1, n − t)

Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Fc).


Sumas de cuadrado, para diseños no balanceados

En los diseños no balanceados cada tratamiento puede tener un no

diferente de UE's asignadas (rj). Tanto la prueba de hipótesis como latabla ANOVA se mantiene, considerando los siguientes cambios:

(Sumas de cuadrado, para diseños no balanceados)

SCTR =t∑

j=1

rj∑i=1

(y j − y )2

SCT =t∑

j=1

rj∑i=1

(yij − y )2

donde; y j =1

rj

rj∑i=1

yij n =t∑

j=1

rj y =1

n

t∑j=1

rj∑i=1

yij


Ejemplo de una ANOVA de un Factor en SPSS

Con α = 0, 05, pruebe la hipótesis de que existe efecto atribuible a lascondiciones de empaque. Las hipótesis seríanH0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j



Puede descargar los datos desde http://bit.ly/carne_anova_1factor


http://bit.ly/carne_anova_1factor


Con α = 0, 05, pruebe la hipótesis de que existe efecto atribuible a lascondiciones de empaque. Las hipótesis seríanH0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j

Resultados creados

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Datos

Conjunto de datos activo

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Segmentar archivo

Núm. de filas del archivo de trabajo

Definición de los valores perdidos

Casos utilizados

Sintaxis

Tiempo de procesador

Tiempo transcurrido

Entrada

Tratamiento de los valores perdidos

Recursos

00:00:00,008

00:00:00,000

ONEWAY bacterias BY empaques /STATISTICS DESCRIPTIVES /MISSING ANALYSIS.

Los estadísticos de cada análisis se basan en los casos sin datos perdidos para cualquier variable en el análisis.

Los valores perdidos definidos por el usuario serán tratados como perdidos.

15

<ninguno>

<ninguno>

<ninguno>

Conjunto_de_datos1

C:\Users\13865271\Desktop\carne.sav

11-may-2010 22:54:34

Notas

[Conjunto_de_datos1] C:\Users\13865271\Desktop\carne.sav

Desviación típicaMediaN

Límite superiorLímite inferior

Intervalo de confianza para la media al 95%

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2

Total 667,39569,9487,983618,6715

566,22453,7845,277510,005

730,14665,8625,884698,005

680,14615,8625,884648,005

Descriptivos

Número de bacterias

Sig.FMedia

cuadráticaglSuma de

cuadrados

Inter-grupos

Intra-grupos

Total 14108373,333

1130,0001213560,000

,00041,95347406,667294813,333

ANOVA


Página 13

Condiciones de empaques

100% CO2Mezcla de gasesAl vacio

95%

IC N

úm

ero

de

bac

teri

as

750

700

650

600

550

500

450

Página 1

Como Fc = 41, 953 > F0,95(2, 12) = 3, 89 (o equivalentemente elvalor−p = 0, 000 < 0, 05) entonces, rechace H0, en favor de H1.Conclusión: Existe un efecto atribuible a las condiciones de empaque.


Veri�cación de SupuestosNormalidad

De�nición (Kolmogorov-Smirnov)

Pruebas de signi�cación permiten contrastar la hipótesis de que lasmuestras obtenidas proceden de poblaciones normales (simétricas conformade campana). Se debe veri�car que para cada tratamiento, los datosprovienen de una población con distribución normal.

(Regla)

Se rechaza la hipótesis de normalidad si el valor p (sig.) es menor que 0,05.

En SPSS: Analizar -> Estadísticos Descriptivos -> Explorar -> Grá�cos ->Grá�cos con prueba de normalidad.


Ejemplo de veri�cación de normalidad en SPSS

Veri�que si los datos de la supresión del crecimiento bacterial en carnesalmacenadas, provienen de una distribución normal (en cada condición).



Sig.glEstadístico Sig.glEstadístico

Shapiro-WilkKolmogorov-Smirnova

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2


,3325,885,200*

5,213

,5015,915,200*

5,221

,5015,915,200*

5,221

Condiciones de empaquesCondiciones de empaques

Pruebas de normalidad

a. Corrección de la significación de Lilliefors

*. Este es un límite inferior de la significación verdadera.


Gráficos Q-Q normales

Página 6

SPSS también entrega la prueba de Shapiro-Wilk, la cual se utilizacuando n ≤ 50, en caso contrario se utiliza la prueba deKolmogorov-Smirnov. Ambos métodos son para veri�car el supuestode normalidad.

Utilizando la prueba de Kolmogorov-Smirnov, como en cada condiciónde empaque el valor−p (sig.) es 0,20 > 0,05. Entonces, no se puederechazar la hipótesis de normalidad.

Si utilizamos la prueba de Shapiro-Wilk, la conclusión sería la misma,con la única diferencia de que los valores−p no son los mismos.


Veri�cación de SupuestosHomogeneidad de varianzas

De�nición (Prueba de Levene)

La prueba de Levene (1960) contrasta la hipótesis de que los gruposde�nidos por la variable factor proceden de poblaciones con la mismavarianza (supuesto de homogeneidad de varianzas). Consiste en llevar acabo una ANOVA de un factor utilizando como variable dependiente ladiferencia en valor absoluto entre cada puntuación individual y la media (ola mediana, o la media recortada) de su grupo.

(Regla)

Se Rechaza la hipótesis de homogeneidad, si el valor p (Sig.) es menor que0, 05.

En SPSS: Analizar -> Estadísticos Descriptivos -> Explorar -> Grá�cos ->Dispersión por nivel con prueba de Levene -> No transformados.


Ejemplo de veri�cación de homogeneidad en SPSS

Veri�que si los datos de la supresión del crecimiento bacterial en carnesalmacenadas, tiene varianzas iguales (entre cada condición de empaque).



Sig.gl2gl1Estadístico de

Levene

Basándose en la media

Basándose en la mediana.

Basándose en la mediana y con gl corregido

Basándose en la media recortada


,550122,628

,5868,9872,567

,582122,567

,578122,573

Prueba de homogeneidad de la varianza

Página 1

Condiciones de empaques

100% CO2Mezcla de gasesAl vacio

Nú

mer

o d

e b

acte

rias

800

700

600

500

400

Página 1

Considere las hipótesis H0 : σ21 = σ22 = σ23. (varianzas iguales para las

distintas condiciones de empaque)

Si consideramos la prueba de homogeneidad basado en la media, nopodríamos rechazar H0, pues el valor−p = 0, 578 > 0, 05.

En el diagrama de caja, se nota esta a�rmación, por lo menos en elempaque al vacío y mezcla de gases.


Comparaciones Múltiples post hoc

De�nición (Comparaciones Múltiples)

Método que permite comparar si existen diferencias signi�cativas entre unpar me tratamientos

Si se asume que cada tratamiento proviene de una distribución con lamisma varianza, comúnmente se utiliza el

método de Tukey (todas las comparaciones son referidas a la mismadiferencia mínima) o el

método de Dunnett (sirve para comparar todos los grupos con eltestigo.


Método de Tukey

Tukey (1949a) desarrolló un procedimiento, para las comparaciones enpares de todas la medias de tratamiento, que se usa para obtener intervalosde con�anza simultáneos de 100(1− α)%. La prueba se conoce tambiéncomo �diferencia honestamente signi�cativa�. Todas las comparaciones sonreferidas a una misma diferencia mínima.

(Método de Tukey para todas las comparaciones por pares)

Para un grupo de t medias de tratamiento, se calcula la diferenciahonestamente signi�cativa como:

DHS(t, α) = q(α, t, n − t)

√MCE

r

Las estimaciones de los intervalos simultáneos de dos lados para el valorabsoluto de todas las diferencias por pares, µi − µj . para toda i < j son:

y i − y j ± DHS(t, α).


Método de Tukey

(Método de Tukey, para un número diferente de replicas)

Para un grupo de t medias de tratamiento, se calcula la diferenciahonestamente signi�cativa como:

DHS(t, α) = q(α, t, n − t)

√MCE

2

(1

ri+

1

rj

)Las estimaciones de los intervalos simultáneos de dos lados para el valorabsoluto de todas las diferencias por pares, µi − µj . para toda i < j son:

y i − y j ± DHS(t, α).


Método de Dunnett

(Método de Dunnett para comparar todos los tratamientos con uncontrol)

Para un grupo de t medias de tratamiento con un testigo (control), setiene:

D(t − 1, α) = d(α, t − 1, n − t)

√2 ·MCE

r

Las estimaciones de los intervalos de con�anza simultáneos bilaterales (doscolas) para las diferencias entre las medias de los tratamientos individualesy la media del tratamiento testigo µi − µc , son:

y i − y c ± D(t − 1, α).


Método de Dunnett

(Método de Dunnett, para un número diferente de replicas)

Para un grupo de t medias de tratamiento con un control, se tiene:

D(t − 1, α) = d(α, t − 1, n − t)

√MCE

(1

ri+

1

rc

)Las estimaciones de los intervalos de con�anza simultáneos bilaterales (doscolas) para las diferencias entre las medias de los tratamientos individualesy la media del control µi − µc , son:

y i − y c ± D(t − 1, α).


Ejemplo de la prueba comparaciones múltiples en SPSS



Sig.Error típicoDiferencia de medias (I-J)


Intervalo de confianza al 95%

Mezcla de gases

100% CO2

Al vacio

100% CO2

Al vacio

Mezcla de gases

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2

Al vacio

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2

HSD de Tukey

t de Dunnett (bilateral)a

-84,80-191,20,00021,260-138,000*

103,20-3,20,06521,26050,000

-131,28-244,72,00021,260-188,000*

-81,28-194,72,00021,260-138,000*

244,72131,28,00021,260188,000*

106,72-6,72,08621,26050,000

194,7281,28,00021,260138,000*

6,72-106,72,08621,260-50,000

(I) Condiciones de empaques

(J) Condiciones de empaques



Comparaciones múltiples

Variable dependiente:Número de bacterias

*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.

a. Las pruebas t de Dunnett tratan un grupo como control y lo comparan con todos los demás grupos.

Subconjuntos homogéneos

N 21

Subconjunto para alfa = 0.05

100% CO2

Al vacio

Mezcla de gases

Sig.

HSD de Tukeya

,0861,000

698,005

648,005

510,005



Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos homogéneos.

a. Usa el tamaño muestral de la media armónica = 5,000.

Página 3

SPSS entrega los intervalos de con�anza y valores−p. Cuando lossignos de los intervalos son diferentes, no se podría a�rmar que existendiferencias signi�cativas entre esos tratamientos.

Por ejemplo, si consideramos el método de Tukey y queremoscomparar el empaque al vacío con el de mezcla de gases,IC0,95(µ1 − µ2) = (−106, 72; 6, 72). Lo que indicaría que no existendiferencias en la cantidad de bacterias, entre estos dos empaques.



Sig.Error típicoDiferencia de medias (I-J)


Intervalo de confianza al 95%

Mezcla de gases

100% CO2

Al vacio

100% CO2

Al vacio

Mezcla de gases

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2

Al vacio

Al vacio

Mezcla de gases

100% CO2

HSD de Tukey

t de Dunnett (bilateral)a

-84,80-191,20,00021,260-138,000*

103,20-3,20,06521,26050,000

-131,28-244,72,00021,260-188,000*

-81,28-194,72,00021,260-138,000*

244,72131,28,00021,260188,000*

106,72-6,72,08621,26050,000

194,7281,28,00021,260138,000*

6,72-106,72,08621,260-50,000





Comparaciones múltiples

Variable dependiente:Número de bacterias

*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.

a. Las pruebas t de Dunnett tratan un grupo como control y lo comparan con todos los demás grupos.

Subconjuntos homogéneos

N 21

Subconjunto para alfa = 0.05

100% CO2

Al vacio

Mezcla de gases

Sig.

HSD de Tukeya

,0861,000

698,005

648,005

510,005



Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos homogéneos.

a. Usa el tamaño muestral de la media armónica = 5,000.

Página 3

La misma conclusión se obtiene si consideramos el criterio delvalor−p. Por ejemplo, si planteamos los hipótesis H0 : µ1 = µ2 v/sH1 : µ1 6= µ2. No podríamos rechazar la hipótesis nula (H0), pues elvalor−p = 0, 068 > 0, 05.Por otro lado, IC0,95(µ1 − µ3) = (81, 28; 194, 72), indicaría que existendiferencias signi�cativas entre el empaque al vacío y de 100% de CO2.(µ1 > µ3, pues el signo del intervalo es positivo). Equivalentemente,Deberíamos rechazar la hipótesis nula (H0 : µ1 = µ3), pues elvalor−p = 0, 000 < 0, 05.También se presenta una tabla resumen, de sub-grupos homogéneos(estadísticamente iguales).


3 - anova un factor

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