13/08/2015

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ANÁLISIS DE LA VARIANZA

COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES

ANOVA

Marta Alperin

Profesora Adjunta de Estadística

Guillermo Natale

JTP de Matemática y Estadística

alperin@fcnym.unlp.edu.ar

guillermo.natale@gmail.com

http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/estadistica

2015

• Es común en el estudio de las ciencias naturales tomar datos de dos o más muestras, de dos o más poblaciones, situación comúnmente denominada análisis de muestras múltiples.

• Para poder contrastar las hipótesis múltiples generadas a partir de este tipo de estudios se recurre al Análisis de la Varianza (ANOVA)

PLANIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

1. INTRODUCCION

• Para todo profesional de las Ciencias Naturales es importantecomparar medias muestrales.

Dos procedimientos para comparar dos promedios:Límites de confianzaPrueba de hipótesis “t”

Cuando se necesita comparar mas de dos promedios ¿Por qué nose realizan test de hipótesis “t” para comparar todos los paresposibles de medias?

Dos problemas1º a medida que el número de comparaciones aumenta, aumenta laprobabilidad de cometer errores de tipo I, rechazar la hipótesisnula.

2º por lo general contamos con muy pocas observaciones en cadamuestra estadística como para tener una buena estimación de lavarianza poblacional 2.

ANALISIS DE LA VARIANZA

• “Es un método fundamental para todas aplicaciones de la

estadística a la biología y especialmente en la

planificación de experimentos”

• “Es una forma de comparar si más de dos medias

muestrales pueden haberse obtenido de poblaciones con

la misma media paramétrica respecto de una variable

dada”

• “Sin embargo el ANOVA es algo más que una técnica

para análisis estadístico, una vez comprendido, permite

discernir la naturaleza de la variación de los

acontecimientos naturales.

• “Si se pudiese hablar de belleza en un método

estadístico, el análisis de la varianza la poseería en mayor

grado que ningún otro”

Según Sokal y Rohlf (1979)

Cajas Negras

• Dispositivos descriptos por Bunge (1999) se intenta mediante la experimentación simple “acusar o culpar” al factor estudiado (variable independiente) como el responsable de generar la causa o el efecto, medido habitualmente como diferencias significativas en la magnitud de la variable de respuesta (variable dependiente) en el grupo tratado respecto del grupo control.

Este tipo de dispositivos, nos permiten realizar explicaciones simples,

generales y predictivas

El primer resumen completo de sus ideas fue publicado

en 1926, en un artículo “Arrangement of Field

Experiments” en el Journal of the Ministry of Agriculture of

Great Britain 33, 503-513.

En este artículo describió los componentes de los experimentos

de prácticas agrícolas: control local (condiciones para reducir el

error experimental), replicación (medio para estimar la varianza

del error experimental), aleatorización (medio para obtener una

estimación válida de la varianza).

Ronald Aylmer Fisher, (Londres, 17 de

febrero de 1890 – Adelaida, 29 de julio de

1962) científico, matemático, estadístico,

biólogo evolutivo y genetista inglés.

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2

El diseño de experimentos (1935) El diseño de experimentos: ANOVA• La hipótesis de investigación y la relación con los tratamientos.

• La forma de reducir el error experimental, incrementar la exactitud, establecer la base de inferencia del estudio.

• Replicar para obtener experimentos válidos

• Reproducibilidad

• Detección de errores

• Estimación del error experimental

• Aumentar la precisión

• La magnitud de las diferencias que consideramos relevante o significativa para el caso a evaluar.

• La aleatorización como un mecanismo para tener inferencias válidas.

Razonamiento: las variables de respuesta se modifican por la

variación de algún conjunto de variables independientes

desconocidas.

Se asume que el conjunto de factores no medidos y desconocidos

conformarán un efecto “no explicable” sobre la variable de respuesta

(error aleatorio)

ANALISIS DE LA VARIANZA ANALISIS DE LA VARIANZA

Objetivo: identificar variables independientes importantes en un

estudio y determinar como interactúan y afectan a la respuesta

Fuentes de Variación: El análisis de la varianza divide la varianza

total, llamada suma de cuadrados total, en partes, cada una de las

cuales se atribuye a una de las variables independientes en el

experimento, mas un residuo que se asocia con un error aleatorio.

Ejemplo

Hipótesis de trabajo

- Las diferencias ambientales afectan los niveles de acidez-alcalinidad de las aguas de lluvia.

- El pH del agua de lluvia es una propiedad que cambia regionalmente.

Experimento

Total de las estaciones meteorológicas del país que tenían relevado datos de pH de agua de

lluvia en 2006 (m).

Estaciones meteorológicas seleccionadas para el experimento (k=4)

ANOVA SIMPLE DE UNA VÍA PARA UN MODELO II O MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS

M1 M2

M3 M4

Localidad

Replica

Marino

(1)

Volcánico

(2)

Desértico

(3)

Mesopotámico

(4)

1 5,6 5,1 6,2 6,1

2 5,9 5,3 6,0 5,6

3 5,8 5,6 5,9 6,2

4 6,2 5,7 6,1

5 6,1 6,3

6 6,3 6,0

Datos del pH del agua de lluvia de 4 localidades argentinas con distintas característicasclimáticas

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3

La denominación más corriente para ANOVA es

• X la variable dependiente o respuesta (el pH).

• la variable independiente o factor de variación tiene al menos 3

categorías o condiciones en las cuales se toman los datos a

comparar (las distintas estaciones meteorológicas elegidas

aleatoriamente para relevar datos).

• k categorías de la variable independiente (4, cada una de la

estaciones meteorológicas).

• ni repeticiones o réplicas (cantidad de datos tomados en cada

estación meteorológica).

• N número total de datos (19).

• xi,j dato, (i= tratamiento, j= posición del dato en el tratamiento i;

x1,4= 6,2).

1. EL MODELO

1

i

1 iix

CMDentro CMEntre

CMTotal

Hipótesis nula

Hipótesis alternartiva

1

i

Hipótesis nula

Hipótesis alternartiva

Se denomina modelo lineal para la observación ijx a:

ijiijx )(

donde:

ijx es la j-ésimo dato del i-ésimo factor

es la media general de los datos o el punto de equilibrio

)( i es el efecto del i-ésimo factor

ij es una variable aleatoria normal, independientemente distribuida con esperanza “0” y

varianza es igual a la varianza poblacional 2 0 ;

22

El ANOVA intenta encontrar si existe más variación Entre muestras

diferentes o Dentro de una misma muestra.

H0: las muestras son tomadas de la misma

población normalmente distribuida

(o de poblaciones idénticas).

H1: las muestras son tomadas de diferentes

poblaciones aunque todas tienen la misma varianza.

Si las muestras son tomadas en forma aleatoria de una población común

( la hipótesis nula), la variación entre las muestras es aproximadamente

la misma que la variación dentro de las muestras pues ambas reflejan la

variación de la población.

Si las muestras son tomadas de diferentes poblaciones (la hipótesis

alternativa), la variación entre las muestras es el reflejo de la variación de

la población de la cual es extraída. La diferencias entre las muestras,

indica que existe diferencia entre las poblaciones.

1

i

¿Cómo estimar la varianza poblacional común2 ?

Recordemos que la varianza se puede escribir como CMgl

SCCM 2

1

)( XxSC i

n

i

Si llamamos

n

ijx1

suma de las observaciones de cada muestra

iX promedio de la i-ésima muestra

X promedio de todos los datos o Gran media

Cada desviación de una observación a la gran media,se puede descomponer en dos términos: la desviaciónde cada dato a la media grupal, más la desviación dela media de cada grupo a la gran media.

)()()( iijiij XxXXXx

𝜎2 =1

𝑛

1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑋2

¿Cómo estimar la varianza poblacional común2

• Calculando una varianza ponderada a partir de las varianzas muestrales de

las distintas poblaciones. Esto es calculando el Cuadrado Medio (CM),

CM Dentro también llamado CM Error.

?

glDentro

SCDentroCMDentro ;

k

i

n

j

iij XxSCDentro1

2

1

;

k

i

i kNnglDentro1

)1(

• Calculando una varianza ponderada a partir de las varianzas entre las medias

muestrales de las distintas poblaciones y la gran media esto es el CM Entre.

glEntre

SCEntreCMEntre ; 2

1

)( XXnSCEntre i

k

i

i

; 1 kglEntre

• También se puede calcular el CM Total:

glTotal

SCTotalCMTotal ; 2

11

)( XxSCTotal ij

n

j

k

i

; 1 NglTotal

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4

En ANOVA se cumplen las siguientes relaciones:

SCTotal = SCEntre + SCDentro

GLTotal = GLEntre + GLDentro

CMTotal ≠ CMEntre +CMDentro

El CMDentro es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2. Las

medias poblacionales tienen todas la misma varianza, entonces las “i”

varianzas muestrales estiman al mismo parámetro poblacional, y el

promedio ponderado de estas varianzas es un buen estimador de esta

varianza poblacional 2.

El CMEntre,

• Hipótesis Nula del ANOVA es cierta, estima a la varianza poblacional 2

Solo cuando las i son iguales, ya que la componente de la varianza total

producida por los tratamientos se anula y entonces CMEntre es 2.

• Si la Hipótesis nula no es verdadera el CMEntre estima a la 2 más una

cantidad que representa una medida de la magnitud de los efectos de los

factores.

La relación entre las varianzas calculadas, CMEntre y CMDentro,

permite comparar medias poblacionales.

Con esto resolvemos la paradoja de cómo a partir de un análisis de

varianzas es posible comparar medias.

1

i

La partición en dos de las suma de cuadrados total: en donde unarepresenta la variación entre las medias de los Grupos/Tratamientos(respecto a la media total), y la otra la variación de cada valor (respectode la media total) = error experimental .

Esta PARTICION FUNDAMENTAL aclara y explica las variaciones en losresultados del experimento.

Al comparar la Suma de cuadrados Total respecto a la Suma deCuadrados de los tratamientos (SCEntre) y la Suma de Cuadrados delError (SCDentro), vemos claramente cuanto (p,%) de la variabilidad totalestán explicando cada una.

Esto se refleja en la tabla RESUMEN DE ANALISIS DE LA VARIANZA.

SC Total = SC tratamientos + SC error

Sintetizando3. PROCEDIMIENTO PARA EL CALCULO

SC =

n

i

i Xx1

2)( = 2x - 2x /n Recordemos

SCTotal =

K

i

n

j1 1

(xij- X )2 =

K

i

n

j

ijx1 1

2 – C

Factor de corrección de la media: C = (

K

i

n

j

ijx1 1

)2

N

SCEntre =

K

i 1

ni ( Xi - X )2 =

K

i 1

(n

1

xij)2 / ni - C

SCDentro =

K

i

n

j1 1

( (xij- Xi )2) = SCTotal – SCEntre

•GLTotal = N-1

•GLEntre = k-1

•GLDentro = GLtotal – GLEntre

•CMTotal = SCTotal / GLTotal;

•CMEntre = SCEntre/GLEntre;

•CMDentro = SCDentro/GLDentro

Hiptesis de ANOVAH0 : 1 = 2 = … = k ;

Ha: i ≠ j para al menos un par de (i, j)

Prueba estadísticaComparar el CMEntre con el CMDentro. Las dos varianzas miden en forma

independiente la varianza de la distribución de medias muestrales.

¿Que probabilidad hay que estos 2 valores estimen la

misma varianza poblacional?

Respuesta

“F” es el cociente entre varianzas.

La hipótesis nula se rechazará cuando

F con 1 = (k -1) y 2 = (N -k) grados de libertad(Los valores críticos de F se encuentran en tablas)

Se realiza una prueba a una cola ya que se trata de detectar la variabilidadque tienda a aumentar la varianza Entre medias.

CMDentro

CMEntre> F(k-1;N-k; )

H0: 2ENTRE=2DENTRO

H1: 2ENTRE>2DENTRO

A mayor diferencia entre las medias observadas de los

tratamientos, mayor es la evidencia que indica una diferencia

entre las medias poblacionales correspondientes.

Cuando se analiza la relación expresada en la SCEntre, se

puede ver que a medida que las medias se alejan una de otras,

las desviaciones aumentarán en valor absoluto y la SCEntre

aumentará en magnitud.

Por consiguiente a mayor valor de SCEntre mayor peso de la

evidencia en rechazar la hipótesis nula.

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Fuente de variación

Suma de Cuadrados gl Cuadrado Medio

f calculado

Entre los tratamientos Dentro de los tratamientos Total

K

i 1

(

n

j

ijx1

)2 /ni - C

SCTotal – SCEntre

K

i

n

j

ijx1 1

2 - C

k-1

N-k N-1

SCEntre GLEntre

SCDentro GLDentro

CME CMD

TABLA RESUMEN DE ANOVA para el caso de un experimentoaleatorizado que contiene k medias de tratamientos

Para C = (

K

j

n

i

Xij1 1

)2

N

Localidad Replica

Marino (1)

Volcánico (2)

Desértico (3)

Mesopotamico (4)

Totales

1 5,6 5,1 6,2 6,1 2 5,9 5,3 6,0 5,6 3 5,8 5,6 5,9 6,2

4 6,2 5,7 6,1 5 6,1 6,3 6 6,3 6,0

ni 4 3 6 6 19

x 23,5 16,0 36,2 36,3 112,0

n

ijx1

5,9 5,3 6,0 6,1 23,3

(n

ijx1

)2 552,3 256,0 1310,4 1317,7 3436,4

i

n

ij

n

x1

2)(

138,1 85,3 218,4 219,6 661,4

n

ijx1

2 138,3 85,5 218,6 219,9 662,3

Factor de corrección: C = (

K

j

n

i

Xij1 1

)2 N

C = (23,5+16,0+36,2+36,3)2 / 19 = (112,0)2 / 19 =12544,0 / 19 = 660,2

SCTotal =

K

j

n

i

ijx1 1

2 – C SCT = 662,3 – 660,3 = 2,05

SCEntre=

K

i 1

(

n

j

ijx1

)2 / ni - C SCE = 661,4 – 660,3 = 1,21

SCDentro = SCT – SCE SCD = 2,0 – 1,2 = 0,84 gl T = N – 1 ; glE = K–1 ; glD = glT – glE = (N-K) gl T = 19–1= 18 ; gl E = 4 – 1 = 3 ; gl D = 19 – 4 = 15 CME = SCE / gl E CME = 1,21 / 3 = 0,402 CMD = SCD / gl D CMD = 0,84 / 15 = 0,056 f = CME / CMD f = 0,402 / 0,056 = 7,163 Valor Crítico de tabla: F (K-1; N-K; α) F (3; 15; 0,05) = 3,287

Ho: las 4 medias poblacional i del pH del agua de lluvia de las diferentes estaciones meteorológicas son iguales H1: la media del pH del agua de lluvia de al menos una de las diferentes estaciones meteorológicas es diferente Hipótesis Nula: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 ; ó σ 2

ENTRE = σ2DENTRO

Hipótesis Alternativa: al menos una media diferente; ó σ 2ENTRE > σ2

DENTRO Riesgo de error de tipo I: α = 0,05

Fuente de variación

Suma de cuadrados

gl Cuadrado

Medio f

Entre las localidades Dentro de las localidades

Total

1,21

0,84

2,0

3

15

18

0,402

0,056

7,163

f = 0,402 / 0,056 = 7,163 F (3; 15; 0,05) = 3,287 Región crítica: f >F (3; 15; 0,10)

Como f> F critico de tabla, rechazo la

Hipótesis nula. Por lo tanto puedo

afirmar, con un error del 5%, que el pH

del agua de lluvia es una propiedad que

toma valores diferentes según se trate

del lugar.

Tabla resumen de ANOVA

4. SUPUESTOS del ANOVA

1º Se han tomado una muestra aleatoria simple de cada una de los

“i” distribuciones.

2º Las “i” distribuciones son normales.

3º Las “i” distribuciones tienen todas idéntica varianza.

Discrepancias moderadas con el cumplimiento de los “supuestos del

ANOVA” (aleatoriedad del muestreo, normalidad en las distribuciones y

homogeneidad de varianzas) prácticamente no afectan las propiedades

de la prueba. Sin embargo, si las diferencias son importantes se debe

recurrir a otra estrategia de análisis.

5. COMPARACIONES MÚLTIPLES. PRUEBA DE TUKEY

Para todos los pares posibles de comparaciones entre medias.A es la media más grande a comparar y B la más pequeña.

Ho: µA= µB

Ha: µA≠ µB

SE

XXq BA

c

Estadístico de prueba

Tamaños de muestra iguales

ni

CMDentroSE

Tamaños de muestra diferentes

nbna

CMDentroSE

11

2

na=tamaño de la muestra A ,

nb=tamaño de la muestra B

La hipótesis nula se rechaza cuando qc > q(k; N-k; )

Diferencias significativas qc > q(k; N-k; :0,05)Diferencias altamente significativas qc > q(k; N-k; :0,01)

qc se aproxima a una distribución de q(k; N-k; ),k: número e categorías del factorglD: grados de libertad del CMDentroTabla Rango Total Studentizado

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Se rechazó la hipótesis nula de ANOVA en el ejemplo del pH del agua de lluvia en las cuatro

estaciones meteorológicas

¿entre que ambientes el pH del agua de lluvia es diferente?.

Localidad

Marino (1)

Volcánico (2)

Desértico (3)

Mesopotamico (4)

ni 4 3 6 6

x 23,5 16,0 36,2 36,3

Cuadrado Medio

Dentro = 0,056

1. Para cada par posible de comparaciones contrastar las siguientes hipótesis:

Ho: µA= µB ; Ha: µA≠ µB

2. Calcular las diferencias de medias comenzando por las medias mayores BA XX

3. Calcularnbna

CMDentroSE

11

2

0966,06

1

6

1

2

056,0SE 1080,0

4

1

6

1

2

056,0SE

1138,03

1

6

1

2

056,0SE 1278,0

3

1

4

1

2

056,0SE

4. Buscar valores críticos Tabla Rango Total Studentizado q.

q(4; 15; 0,05)=4,08 y q(4; 15; 0,01)=5,245

Datos

5. Armar la tabla, tomar la decisión estadística e interpretar los resultados

Se puede afirmar, con un error de 5%, que el pH del agua de lluvia de lasestaciones meteorológicas 3 y 4, correspondientes a ambientes de clima desérticoy mesopotámico, son iguales entre si y diferentes al de las estacionesmeteorológicas 1 y 2 (ambiente marítimo y volcánico respectivamente). Además elpH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 1 y 2, marítimo y volcánico,son diferentes entre sí.

Comparación (A vs. B)

Diferencias

BA XX SE qc q(4; 15; 0,05) Conclusión

4 vs. 3 36,3-36,2=0,1 0,0966 1,035 4,08 Aceptar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 4 y 3 es igual.

4 vs. 1 36,3-23,5=12,8 0,1080 118,5 4,08 Rechazar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 4 y 1 es igual.

4 vs. 2 36,3-16,0=20,3 0,1138 171,5 4,08 Rechazar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 4 y 2 es igual.

3 vs.1 36,2-23,5=12,7 0,1080 117,58 4,08 Rechazar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 3 y 1 es igual.

3 vs. 2 36,2-16,0=20,2 0,1138 170,72 4,08 Rechazar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 3 y 2 es igual.

1 vs. 2 23,5-16,0=7,5 0,1278 58,68 4,08 Rechazar Ho: el pH del agua de lluvia de las estaciones meteorológicas 1 y 2 es igual.

EN SINTESIS

• Contrastación de hipótesis,

• Asignación de aportes de efectos (“culpas”) a los factores y tratamientos,

• Comparación entre grupos (promedios),

• Evaluación de significancias (test a posteriori),

• Contextualización Biológica/Geológica,

• Formular Conclusiones y Tomar decisiones,

• Volver a la planificación de la Investigación…

El ANOVA permite la:

GRACIAS