1

ANOVA PARA UN FACTOR PRINCIPAL Y UNO O MAS FACTORES DE BLOQUEO

P. Reyes / Marzo 2003

2

ANOVA - CONTENIDO ANOVA DE UN FACTOR O DIRECCIÓN

ANOVA DE UN FACTOR Y UN FACTOR DE BLOQUEO

ANOVA DE UN FACTOR Y DOS FACTORES DE BLOQUEO – CUADRADO LATINO

ANOVA DE UN FACTOR Y TRES FACTORES DE BLOQUEO – CUADRADO GRECOLATINO

3

ANOVA PARA UN FACTORO DIRECCIÓN

4

ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factor

diferentessonsunasAHa

Ho a

..'.lg:

.........: 321

Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.)

5

ANOVA - Condiciones Todas las poblaciones son normales

Todas las poblaciones tiene la misma varianza

Los errores son independientes con distribución normal de media cero

La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor

6

ANOVA – Ejemplo de datos

Niveles del Factor Peso % de algodón y Resistencia de tela

Peso porc. Respuestade algodón Resistencia de la tela

15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11

7

ANOVA – Suma de cuadrados total

Xij

Xij

Gran media

2

11

)(

b

j

a

i

XXijSCT

8

ANOVA – Suma de cuadrados de renglones (a)-

tratamientos

Gran media

Media Trat. 1 Media Trat. a

Media trat. 2

a renglones

a

i

i XXbSCTr1

2)(

9

ANOVA – Suma de cuadrados

del error

Media X1.

X1jX3jX2j

Media X2.Media X3.

Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3

2

11

)( i

b

jij

a

i

XXSCE

10

ANOVA – Suma de cuadrados

del error

Media X1.

X1jX3jX2j

Media X2.Media X3.

Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3

SCTrSCTSCE

11

ANOVA – Grados de libertad: Totales, Tratamientos, Error

ananSCEgl

aSCTrgl

nSCTgl

)1()1(.

1.

1.

12

ANOVA – Cuadrados medios: Total, Tratamiento y Error

)/(

)1/(

)1/(

anSCEMCE

aSCTrMCTr

nSCTMCT

13

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr

Fc

.,.,

14

Tabla final de ANOVATABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME

Dentro de muestras (error) SCE n-a CME

Variación total SCT n-1 CMT

Regla: Rechazar Ho si la Fc de la muestra es mayor que la F de Excel para una cierta alfao si el valor p correspondiente a la Fc es menor al valor de alfa especificado

15

ANOVA – Toma de decisión

Fexcel

Fc

Alfa

Zona de rechazoDe Ho o aceptar Ha

Zona de no rechazo de HoO de no aceptar Ha

Distribución F

16

ANOVA – Toma de decisión

Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza HoAceptando Ha donde las medias son diferentes

O si el valor de p correspondiente a Fc es menor de Alfa se rechaza Ho

17

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T

Para diseños balanceado (mismo número de columnas en los tratamientos) el valor de q se determina por medio de la tabla en el libro de texto

bCME

qT ana ,,

18

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T

Se calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi’s:

D1 = X1 – X2 D2 = X1 – X3 D3 = X2 – X3 etc.

Cada una de las diferencias Di se comparan con elvalor de T, si lo exceden entonces la diferencia es Significativa de otra forma se considera que las mediasSon iguales

19

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de

Diferencia Mínima Significativa DMS

Para diseños balanceados (los tratamientos tienen igual no. De columnas), se calcula un factor DMS contra el que se comparan las diferencias Xi – Xi’. Significativas si lo exceden

b

FCMEDMS an ,1,)(2

20

Prueba DMS para Diseños no balanceados

anakj

kj FCMEbb

DMS

,1,, )(11

Para diseños no balanceados (los tratamientos tienen diferente no. De columnas), se calcula un factor DMSPara cada una de las diferencias Xi – Xi’

21

ANOVA PARA UN FACTORPRINCIPAL Y UN FACTOR DE

BLOQUEO

22

ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores

Se trata de probar si el efecto de un factor o

Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es

Significativo, al realizar experimentos variando

Los niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.)

POR RENGLON

Y

Considerando los niveles de otro factor que se piensa

Que tiene influencia en la prueba – FACTOR DE BLOQUEO

POR COLUMNA

23

ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores

diferentessonsunasAHa

Ho a

..'.lg:

.........: 321

diferentessonsunasAHa

Ho a

..'.lg:

'.........''': 321

Para el tratamiento – en renglones

Para el factor de bloqueo – en columnas

24

ANOVA 2 Factores - Ejemplo

Experiencia en años de los operadoresMaquinas 1 2 3 4 5

Maq 1 27 31 42 38 45Maq 2 21 33 39 41 46Maq 3 25 35 39 37 45

25

ANOVA – Dos factores o direcciones La SCT y SCTr (renlgones) se determina

de la misma forma que para la ANOVA de una dirección o factor

En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de forma similar a la de los renglones

La SCE = SCT – SCTr - SCBl

26

ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor de bloqueo (en cols)

)1/(

1.

)( 2

1

bSCBlCMBl

bSCBlgl

XXaSCBl j

b

j

27

ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error

))(/(

))((.

bnanSCBlCME

bnanSCEgl

SCBlSCTrSCTSCE

28

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr

Fc

.,.,

29

ANOVA de 2 factores – Cálculo del estadístico Fcbl y Fexcel bloques (columnas)

SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCBl

Fc

.,.,

30

Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME

Entre Bloques (Factor Bl) SCBl b-1 CMBL CMBL/CME

Dentro de muestras (error) SCE (a-1)(b-1) CME

Variación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

31

ANOVA – 2 F. Toma de decisión

Fexcel

FcTr o Bl

Alfa

Zona de rechazoDe Ho o aceptar Ha

Zona de no rechazo de HoO de no aceptar Ha

Distribución F

32

ANOVA – 2 F. Toma de decisión

Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes

O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl) es menor de Alfa se rechaza Ho

33

Cálculo de los residuales

.

.

*

ˆ

ˆ

.,,05.0

....

i

i

yMSEglkk

y

ijijij

jiij

srRbMSE

s

yye

yyyy

Y estimada

Error o residuo

Error estándar

Factor de comparación

Si la diferencia de medias excede a Rk es significativa

34

Adecuación del modelo Los residuales deben seguir una recta en la

gráfica normal

Deben mostrar patrones aleatorios en las gráficas de los residuos contra el orden de las Yij, contra los valores estimados y contra los valores reales Yij

35

ANOVA PARA UN FACTOR PRINCIPAL Y DOS O TRES FACTORES DE BLOQUEO

CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO

36

ANOVA – 3 y 4 factores El diseño de Cuadrado latino utiliza dos

factores de bloqueo adicionales al de Tratamiento

EL diseño de Cuadrado Grecolatino utiliza tres factores adicionales al del Tratamiento

El cálculo de suma de cuadrados para renglones y para columnas es similar al de ANOVA de un factor principal y otro de bloqueo

37

Cuadrado Latino

Años exp. TurnoEmpleado Mañana Tarde Noche

1 B=15 A=18 C=11

2 C=12 B=20 A=9

3 A=17 C=19 B=10A, B, C = Máquinas 1, 2 y 3

38

ANOVA – Cuadrado Latino: Factor principal (A,B,C,D)

)1/(

11.

)( 2

1

bSCTrCMTr

baSCTrgl

XXaSCTr Tr

b

j

39

ANOVA – Cuadrado Latino: Cálculo del error

)1)(2/(

)1)(2(.

Re

aaSCECME

aaSCEgl

SCTrngSCSCTcolSCTSCE

40

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr

Fc

.,.,

41

ANOVA – Cuadrado Latino Reng / Col

SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCCols

Fcols

MCEngMC

Fcreng

.,.,

Re

42

Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME

Columnas SCCol b-1 CMCol CMCol/CME

Tratamiento SCTr a-1 CMTr CMTr/CME

Dentro de muestras (error) SCE (a-2)(a-1) CME

Variación total SCT n-1 CMT

43

Cuadrado latino en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1

Se introducen los subíndices de los renglones en una columna C2

Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3

Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C4

44

Cuadrado latino en Minitab Opción: ANOVA – General linear model

En Response indicar la col. De Respuesta,

En Model indicar las columnas de los factores y

En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). Se pueden pedir interacciones entre factores x – y con Cx*Cy

Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden

45

Cuadrado Greco Latino

Experiencia de los operadores

Lotes MP 1 2 3 4 5

1 Aa=-1 Bc=-5 Ce=-6 Db=-1 Ed=-1

2 Bb=-8 Cd=-1 Da=5 Ec=2 Ae=11

3 Cc=-7 De=13 Eb=1 Ad=2 Ba=-4

4 Dd=1 Ea=6 Ac=1 Be=-2 Cb=-3

5 Ee=-3 Ab=5 Bd=-5 Ca=4 Dc=6

a, b, c y d son 5 diferentes tipos de montaje A, B, C, D y E son las 5 formulaciones a probar

46

Cuadrado Greco latino en Minitab

Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subíndices de los renglones en

una columna C2

Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3

Introducir los subíndices del factor adicional de letras griegas con letras latinas minúsculas (a,b,c,d,e) en C4

Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C5

47

Cuadrado Greco latino en Minitab

Opción: ANOVA – General linear model

En Response indicar la col. De Respuesta,

En Model indicar las columnas de los factores y

En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). También se pueden indicar interacciones entre factores x-y con Cx * Cy

Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden

48

ANOVA – Cuadrado Grecolatino

)1/(

1.

)( 2

1

bSCGCMG

bSCGgl

XXaSCG m

b

m

49

ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error

)1)(3/(

)1)(3(.

Re

aaSCECME

aaSCEgl

SCColnSCSCGSCTrSCTSCE

50

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCG

Fc

.,.,

51

ANOVA – Cuadrado Grecolatino

SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCTr

Fc

.,.,

52

Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME

Columnas SCCol b-1 CMCol CMCol/CMELetras griegas SCG a-1 CMG CMG/CMETratamiento SCTr a-1 CMTr CMTr/CME

Dentro de muestras (error) SCE (a-3)(a-1) CME

Variación total SCT n-1 CMT