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Independencia de Sucesos
Clase Nº 2
Mg. Stella Figueroa
2do C.2018
Independencia de Sucesos
Dos sucesos A y B son
independientes
cuando la ocurrencia de A
no tiene influencia en la
ocurrencia de B.
Dos sucesos A y B son
dependientes cuando
la ocurrencia o presencia de
A es requisito para la
presencia u ocurrencia de B
Teorema del producto de
probabilidadesP(A ∩ B) = P(A).P(B/A)
donde / se lee:
“sabiendo que A ocurrió”
Ejemplo de sucesos dependientes e independientes
De un grupo de 50 empleados, 30 tiene una antigüedad de más
de 10 años. Se eligen dos empleados al azar. Calcular la
probabilidad de que los dos tengan una antigüedad menor de 10
años.
b) Con reposición a) Sin reposición
Si A y B son independientes entonces
P(B/A) = P(B) y además
P(A B) = P(A).P(B)
Probabilidad Condicional
Sean dos sucesos A y B asociados a un experimento.
Del teorema del producto de probabilidades,
Se define probabilidad condicional del suceso A si
ocurrió B, a la expresión:
Con P(B) distinta de cero. )(
)()/(
BP
BAPBAP
( )( / )
( )
P A BP B A
P A
Análogamente, con P(A)
distinta de cero,
Probabilidad Condicional
La tabla muestra la distribución de los empleados de una
empresa
A = { El empleado es gerencial}
B = { El empleado es universitario}
Calcular P(A/B) y P(B/A)
Universitarios No
Universitarios
Total
Gerenciales 25 5 30
No
Gerenciales
75 195 270
Total 100 200 300
Generalización del teorema del producto de probabilidades
1 2 1 3 1 2 1 2 1( ). ( / ). ( / , ).... ( / , ,... )n nP A P A A P A A A P A A A A 1 2( ......... )nP A A A
Ejemplo1 : A B
Un mecanismo está formado por dos componentes en serie que trabajan
independientemente. Cada componente tiene una probabilidad p de no
funcionar. ¿ Cuál es la probabilidad de que el mecanismo funcione?
¿Y si el sistema estuviera
conectado en paralelo?A
B
Ejemplo 2 :
Ejercicio Integrador
La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A
ó tipo B es ¾.
La probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos
tipo B es 2/3 y la probabilidad de que no tenga defectos
tipo A ó no tenga defectos tipo B, es 5/6.
Hallar la probabilidad de que el artículo no tenga defectos
tipo B sabiendo que tiene defectos tipo A.
Teorema de la Probabilidad Total o
de la Probabilidad Completa
B1 B2
B3B4
AB4
AB3
AB1
AB2
B1,B2,....,Bn
representan
una partición
de S, es
decir:
A
SBn
i
i
1
ji BB para i j
( ) 0iP B Para todo i
Teorema de la Probabilidad Total o de la Probabilidad Completa
1 2 3Si A S A= A B A B A B ...... A Bn
1 2 3P(A) = P A B P A B P A B ...... P A Bn
n
i ii BPBAPAP1
./
A, B y C licitan por un contrato para la construcción de un
puente. La probabilidad de que A obtenga el contrato es
el triple de que lo obtenga B, y las probabilidades para B
y C son iguales. Si lo obtiene A, elegirá a E como
subcontratista con probabilidad 0,8. Si lo obtiene B o C
será elegido E con probabilidad 0,4 y 0,1
respectivamente. Antes de ser concedido contrato, ¿Cuál
es la probabilidad de que E obtenga finalmente el
subcontrato?
Problema
Teorema de Bayes o de las Probabilidades de las Hipótesis
A partir de las probabilidades de las hipótesis, (que
suman 1, por ser los Bi una partición del espacio
muestral S,) se vuelve a calcular una probabilidad “a
priori” pero ahora con una información adicional: ocurrió
el suceso A. Es decir, determinaremos las
probabilidades condicionales
1
( ) ( / )( / )
( ) ( / )
j j
j n
i i
i
P B P A BP B A
P B P A B
jP(B /A) 1,2,......,j n
AP
ABPABP
j
j
/
Problema 1
El 70 % de los pacientes de un hospital son
mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por
otro lado el 40 % de los pacientes hombres son
fumadores. Se elige al azar un paciente del
hospital. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
fumador?
Problema 2
Los chips de un circuito integrado son probados con
cierto instrumento y la probabilidad de que se detecten
los defectuosos si realmente lo son, es 0,99. Por otro
lado hay una probabilidad de 0,95 de que un chip sea
declarado como bueno si efectivamente lo es. Si el 1%
de todos los chips son defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad de que un chip que es declarado como
defectuoso sea en realidad bueno?
Preguntas sobre los temas tratados
1. ¿Cómo reconocer analíticamente a dos sucesos
independientes?
2. ¿En qué consiste la probabilidad condicional?
3. ¿Cómo diferenciar la probabiidad conjunta de la condicional?
4. ¿Cuáles son las hipótesis del Teorema de la probabilidad
total? ¿Para qué sirve este teorema?
5. ¿Qué dice el Teorema de Bayes? ¿Cuáles son sus hipótesis?
¿Cuándo se aplica?
6. ¿Cómo diferenciar sucesos independientes de los
mutuamente excluyentes ?