2012 capítulo 04. correlaciónprocesamiento digital de señales correlación a modo de...

Procesamiento Digital de Señales Correlación

Mario Alfredo Ibarra Carrillo Año 2012

2012

Capítulo 04.Correlación

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo

Facultad de Ingeniería; Telecomunicaciones

16/03/2011

Ver_09_01_01

1



2



3



4


4.1 Correlación en tiempo continuo

4.1.1 Definición de la correlación

Definición 4.1. Correlación en el tiempo. Es una operación binaria entre dos funciones y que indica la fuerza y dirección de la relación entre ambas funciones. La correlación sólo se parece a la correlación estadística cuando se habla de procesos estacionarios y ergódicos.

Definición 4.2 Nomenclatura de la correlación. Sean f (t ) y g(t ) dos funciones reales de variable real, la correlación de ambas funciones denotada por f (t )∗∗g(t ) ∀ t∈ℝ es otra función definida comof∗∗g(t ) ∀ t∈ℝ . En forma de ecuación se puede plantear que:

f∗∗g(t )= f (t )∗∗g(t) ∀ t∈ℝ (4.1)

4.1.2 Correlación para señales energía

Definición 4.3 Correlación para señales energía, valuada en t=τ . Sean f (t ) y g(t ) dos señales energía, su correlación evaluada para t=τ se plantea como:

• f (t ) se mantiene fija

f (t )

• g(t ) se retrasa en τ , es decir, t cambia por t−τ y la función cambia como

g(t )⇒ g( t−τ)

• Las funciones se multiplican (punto a punto como en todo producto de funciones).

f (t ) g( t−τ)

• Se calcula el área del producto

f∗∗g(τ)= limT→∞

∫−T

T

f (t)g (t−τ)[v2]dt [s] (4.2)

Siguiendo la definición 4.3 si se desea conocer la correlación para todo instante de tiempo se tendría que crear un registro para τ tomando valores de un extremo a otro del infinito, es decir τ∈(−∞ ,∞) . Una forma de generalizar y simplificar este proceso es mediante un cambio de variable tal como se define a continuación.

Definición 4.4. Correlación para señales energía para toda t . Si se desea evaluar la correlación para toda t se hace un intercambio de variables t← → τ en la ecuación 4.2 de tal forma que resulta:

f∗∗g(t )= limT →∞

∫−T

T

f (τ)g (τ−t)[v2]d τ [s] (4.3)


5


4.1.3 Estimador discreto de la correlación para señales energía

Teorema 4.1 El estimador discreto de la correlación de tiempo continuo queda expresado en una suma de correlación dada a continuación:

f∗∗g(n)= limN →∞

∑m=−(N−1)

N−1

f (m)g(m−n) τs[v2 s] ; ∀n∈ℤ (4.4)

A modo de demostración, se parte de la correlación dada en ecuación 4.3 para señales energía. Se muestrea la señal considerando las equivalencias siguientes.

t=n τsτ=m τ

s

dt=τsd τ=τ

s

T=(N−1)τs

(4.5)

En donde

• t es la variable de tiempo continuo

• T es la ventana de tiempo en el cual se muestrea la señal

• τs es el periodo de muestreo y también es la diferencial de tiempo dt y d τ

• n es la n-ésima muestra

• N es el número de muestras. Las muestras se numeran de 0 a N−1 .

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (4.5) en la ecuación (4.3) de correlación para señales energía de tiempo continuo se logra:

f∗∗g(n)= limN→∞

∑m=−(N−1)

N−1

f (m)g(m−n) τs[v2 s] ; ∀ n∈ℤ

Nótese que la ecuación resultante es igual a la ecuación (4.4).

4.1.4 Correlación para señales energía de tiempo discreto

Teorema 4.2. La correlación para señales energía en tiempo discreto queda descrita por la siguiente ecuación.

f∗∗g (n)= limN →∞

∑m=−(N−1)

N−1

f (m)g(m−n)[v2] ; ∀n∈ℤ (4.6)


6


A modo de demostración considérense que las señales discretas no están definidas entre muestras, a consecuencia, el periodo de muestreo se normaliza a la unidad y por tanto la ecuación (4.4) puede reescribirse como en la forma de la ecuación (4.6)

Nótese también que la suma de correlación está definida en función de un índice de instantes y no en función de una variable temporal, no obstante, se le seguirá llamando correlación para tiempo discreto.

4.1.5 Correlación promediada

La correlación promediada se logra dividiendo la suma de correlación por el número de muestras involucradas

limN→∞

1(2N−1)

f∗∗g(n)= limN→∞

∑m=−(N−1)

N−1 f (m)g(m−n)2N−1

; ∀ n∈ℤ (4.7)

En [proakis; cap.2] es posible encontrar mayor información, sólo se debe tener cuidado con el cambio de nomenclatura.

4.1.6 Correlación en tiempo discreto para secuencias causales de duración finita: señales energía

Definición 4.5 Señal causal. La señales causales son aquellas que no están definidas en tiempo negativo y por tanto toman el valor de cero para tales tiempos. Si bien presentan un comportamiento en tiempo positivo.

Teorema 4.3. Correlación causal finita. Sean dos secuencias causales finitas f=[ f (0) , f (1) ,…, f (N−1)] yg=[g (0 ), g(1),… , g (N−1)] , ambas de cardinalidad N . La correlación causal de ambas funciones,

denotada por f (n)∗∗g(n) , es otra función también denotada como (f∗ g)(n)=f (n)∗∗g(n) y cuya definición es:

f∗∗g(n)= ∑m=0

N−1

f (m)g(m−n)[v2] ; ∀n∈[−(N−1) ,(N−1)] (4.8)

Teorema 4.4. Longitud de la secuencia de correlación causal finita. Dada la secuenciaf=[ f (0) , f (1) ,…, f (N−1)] , de longitud N a correlacionar con la secuencia g=[g (0 ), g(1),… , g (N−1)] de

la misma longitud, la longitud de la secuencia de correlación se representa como N f∗∗g y su cálculo es:

N f∗∗g=2N−1 (4.9)

Teorema 4.5. Dominio de la secuencia de correlación causal finita. El dominio de la secuencia de correlación causal finita es un subconjunto de los números enteros definido a continuación.

n∈[−(N−1) ,(N−1)] (4.10)

Teorema 4.6 El significado de la n . El índice n indica cuanto se desplaza la segunda secuencia para la operación de correlación.


7


Teorema 4.7 No causalidad de la correlación. La correlación de dos secuencias causales finitas es otra secuencia no causal finita. Esto se puede observar en el dominio de la variable independiente.

4.1.7 Ejemplo

Realice la correlación de las dos secuencias siguientes:

f=[ f (0)↑, f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

(4.11)

Ahora se desarrollan los cálculos previos a la correlación, es decir:

• La longitud de las secuencias implicadas es N=4 .

• El dominio de la correlación se calcula a partir de la ecuación 4.10, es decir: n∈[−3, 3]

Luego se desarrolla la suma de correlación para las secuencias dadas en las ecuaciones (4.11).

Obsérvese de la tabla 4.1 que los productos en rojo corresponden con índices para los cuales al menos una de las secuencias no está definida. Ahora bien, realizando los productos y sumas indicados se tiene que la correlación es:

f∗∗g=[ f∗∗g(−3) , f∗∗g(−2), f∗∗g(−1), f∗∗(0)↑

f∗∗g(1) , f∗∗g(2), f∗∗g(3) ] (4.12)

donde:

f∗∗g(−3)= f (0)g (3)

f∗∗g(−2)= f (0)g (2)+ f (1)g(3)f∗∗g(−1)=f (0)g (1)+ f (1)g(2)+ f (2)g(3)

f∗∗g( 0 )=f (0)g (0)+ f (1)g(1)+ f (2)g(2)+ f (3)g(3)

f∗∗g( 1)=f (1)g(0)+ f (2)g(1)+ f (3) g(2)f∗∗g( 2)=f (2)g(0)+ f (3)g(1)

f∗∗g( 3)=f (3)g(0)

(4.13)


f**g(-3) = f(0)g(3) + f(1)g(4) + f(2)g(5) + f(3)g(6)f**g(-2) = f(0)g(2) + f(1)g(3) + f(2)g(4) + f(3)g(5)f**g(-1) = f(0)g(1) + f(1)g(2) + f(2)g(3) + f(3)g(4)f**g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(1) + f(2)g(2) + f(3)g(3)f**g(1) = f(0)g(-1) + f(1)g(0) + f(2)g(1) + f(3)g(2)f**g(2) = f(0)g(-2) + f(1)g(-1) + f(2)g(0) + f(3)g(1)f**g(3) = f(0)g(-3) + f(1)g(-2) + f(2)g(-1) + f(3)g(0)

Tabla 4.1 Correlación para las secuencias causales finitas f=[f(0), f(1), f(2), f(3) ] y g=[g(0), g(1), g(2), g(3)]

8


4.1.8 Correlación de secuencias de duración finita por el método de la cinta deslizante

El método de la cinta deslizante ilustra de manera gráfica el proceso de correlación entre dos secuencias, es decir, para correlacionar una secuencia finita f=[ f (0) , f (1) ,…, f (N−1)] con otra secuencia finita g=[g (0 ), g(1),… , g (N−1)] :

• La secuencia f se mantiene sin alteraciones

• La secuencia g se desplaza de adelante hacia atrás.

• En cada desplazamiento, se realiza el producto punto. En el caso de secuencias finitas sólo se consideran aquellos productos punto que no son nulos.

Ahora bien, siguiendo los pasos dados, se consideran las dos secuencias siguientes (son las mismas ecuaciones (4.11) )

f=[ f (0)↑, f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

Ahora se desarrolla la suma de correlación, es decir:

• La longitud de las secuencias implicadas es N=4 .

• El dominio de la correlación se calcula a partir de la ecuación 4.10, es decir: n∈[−3, 3]

Entonces por el método de la cinta deslizante se plantea la tabla 4.2 donde se obtienen las mismas ecuaciones (4.13), es decir

f∗∗g (−3)= f (0)g(3)

f∗∗g (−2)= f (0)g(2)+ f (1)g(3)f∗∗g (−1)=f (0)g(1)+ f (1)g(2)+ f (2)g(3)

f∗∗g ( 0 )=f (0)g(0)+ f (1)g(1)+ f (2)g(2)+ f (3)g(3)

f∗∗g ( 1)=f (1)g(0)+ f (2) g(1)+ f (3 )g(2)f∗∗g ( 2)=f (2)g(0)+ f (3)g(1)

f∗∗g ( 3)=f (3)g(0)


9


4.1.9 Ejemplo

Correlacione las siguientes secuencias:

f=[2↑,5 ,0 ,4 ]

g=[4↑,1 ,3,0]

(4.14)

La longitud de la secuencia de correlación queda definida como

N f∗∗g=2N−1=2×4−1=7 (4.15)

La tabla 4.3 ilustra el proceso de correlación por cinta despllizante.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n+3) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(0)g(3) f(0)g(3)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n+2) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(0)g(2) f(1)g(3) f(0)g(2) + f(1)g(3)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n+1) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(0)g(1) f(1)g(2) f(2)g(3)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(0) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(0)g(0) f(1)g(1) f(2)g(2) f(3)g(3)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n-1) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(1)g(0) f(2)g(1) f(3)g(2)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n-2) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(2)g(0) f(3)g(1) f(2)g(0)+f(3)g(1)

f(n) f(0) f(1) f(2) f(3)g(n-3) g(0) g(1) g(2) g(3)

f(3)g(0) f(3)g(0)

Tabla 4.2 .Método de la cinta deslizante. Note que la función “f” se mantiene sin cambios, en tanto que la fun-ción “g” se desplaza. Debe realizarse el producto punto entre “f” y cada desplazameinto de “g”.

Σ=

Σ=

Σ= f(0)g(1)+ f(1)g(2) + f(2)g(3)

Σ= f(0)g(0)+ f(1)g(1) + (f2)g(2) + f(3)g(3)

Σ= f(1)g(0) f(2)g(1) + f(3)g(2)

Σ=

Σ=

10


El dominio de la secuencia de correlación es:

n∈[−(N−1) ,(N−1)]

∈[−3,3 ](4.16)

La secuencia de correlación es:

f∗∗g=[0,6,17,13↑,32,4,16] (4.17)


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(n) 2 5 0 4g(m+3)) 4 1 3 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

f(n) 2 5 0 4g(m+2) 4 1 3 0

0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 6

f(n) 2 5 0 4g(m+1) 4 1 3 0

0 0 0 2 15 0 0 0 0 0 17

f(n) 2 5 0 4g(m) 4 1 3 0

0 0 0 8 5 0 0 0 0 0 13

f(n) 2 5 0 4g(m-1) 4 1 3 0

0 0 0 0 20 0 12 0 0 0 32

f(n) 2 5 0 4g(m-2) 4 1 3 0

0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4

f(n) 2 5 0 4g(m-3) 4 1 3 0

0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 16

Tabla 4.3 Convolución de las secuencias f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3,0]

'Σ=

'Σ=

'Σ=

'Σ=

'Σ=

'Σ=

'Σ=

11


4.1.10 correlación de secuencias de duración finita por el método matricial

Considérense las dos secuencias siguientes: son la mismas ecuaciones (4.11)

f=[ f (0)↑, f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

El planteamiento de la correlación por fórmula quedó definido en la tabla 4.2. ahora bien, considerando los factores no nulos y factorizando los términos de la secuencia f se logra el siguiente planteamiento:

[f∗∗g(−3)

f∗∗g(−2)

f∗∗g(−1)

f∗∗g( 0)

f∗∗g( 1)

f∗∗g( 2)

f∗∗g( 3)

]=[g(3) 0 0 0g(2) g(3) 0 0g(1) g(2) g(3) 0g(0) g(1) g(2) g(3)

0 g(0) g(1) g(2)

0 0 g(0) g(1)

0 0 0 g(0)

][ f (0)

f (1)

f (2)

f (3)] (4.18)

La ecuación anterior se puede expresar en forma compacta de la forma siguiente

f∗∗g=GF (4.19)

En donde

G=[g(3) 0 0 0g(2) g(3) 0 0g(1) g(2) g(3) 0g(0) g(1) g(2) g(3)

0 g(0) g(1) g(2)

0 0 g(0) g(1)

0 0 0 g(0)

] (4.20)

F=[f (0)f (1)f (2)f (3)

] (4.21)

f∗∗g=[f∗∗g(−3)

f∗∗g(−2)

f∗∗g(−1)

f∗∗g(0)

f∗∗g(1)

f∗∗g(2)

f∗∗g(3)

] (4.22)


12


4.1.11 Ejemplo

Correlacione las siguientes secuencias (son las mismas ecuaciones (4.14)

f=[2↑,5 ,0 ,4 ]

g=[4↑,1 ,3,0]

Planteando las matrices se logra.

f∗∗g=[0 0 0 03 0 0 01 3 0 04 1 3 00 4 1 30 0 4 10 0 0 4

][2504 ]=[06171332416

]La longitud de la secuencia de correlación queda definida como

N f∗∗g=2N−1=2×4−1=7


n∈[−(N−1) ,(N−1)]

∈[−3,3 ]

La secuencia de conrrelación es:

f∗∗g=[0,6,17,13↑,32,4,16]

4.1.12 correlación de secuencias de duración finita por el método de malla


f=[ f (0)↑, f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

Primero se crea una maya tal como se ilustra en la tabla 4.4: en el renglón superior se coloca la secuencia fen tanto que en la columna más a la derecha se coloca la secuencia g reflejada.


13


Luego la maya se llena con el producto cartesiano de las secuencias, tal como se indica en la tabla 4.5

Finalmente, se realizan sumas en diagonal hacia abajo-izquierda. Los totales son los elementos de la secuencia de correlación tal como ilustra la tabla 4.6.


f(0) f(1) f(2) f(3)

g(3)

g(2)

g(1)

g(0)

Tabla 4.4. Correlación por el método de malla. Planteamiento de la malla.

f(0) f(1) f(2) f(3)

f(0)g((3) f(1)g(3) f(2)g(3) f(3)g(3) g(3)

f(0)g(2) f(1)f(2) f(2)g(2) f(3)g(3) g(2)

f(0)g(1) f(1)g(1) f(2)g(1) f(3)g(1) g(1)

f(0)g(0) f(1)g(0) f(2)g(0) f(3)g(0)g(0)

Tabla 4.5. Correlación por el método de malla. Llenado de la malla.

f(0) f(1) f(2) f(3)

f(0)g(3) f(1)g(3) f(2)g(3) f(3)g(3) g(3)

f**g(-3) f(0)g(2) f(1)g(2) f(2)g(2) f(3)g(2) g(2)

f**g(-2) f(0)g(1) f(1)g(1) f(2)g(1) f(3)g(1) g(1)

f**g(-1) f(0)g(0) f(1)g(0) f(2)g(0) f(3)g(3) g(0)

f**g(0) f**g(1) f**g(2) f**g(3)

Tabla 4.6 Correlación de las secuencias f=[f(0,f(1),f(2),f(3)] y g=[g(0),g(1),g(2),g(3)]]

14


Donde:

f∗∗g (−3)= f (0)g(3)

f∗∗g (−2)= f (0)g(2)+ f (1)g(3)f∗∗g (−1)=f (0)g(1)+ f (1)g(2)+ f (2)g(3)

f∗∗g ( 0 )=f (0)g(0)+ f (1)g(1)+ f (2)g(2)+ f (3)g(3)

f∗∗g ( 1)=f (1)g(0)+ f (2) g(−1)+ f (3)g(−2)f∗∗g ( 2)=f (2)g(0)+ f (3)g(1)

f∗∗g ( 3)=f (3)g(0)

Nótese que son las mismas ecuaciones (4.13)

4.1.13 Ejemplo


f=[2↑,5 ,0 ,4 ]

g=[4↑,1 ,3 ,0]

El proceso por el método del producto queda definido como indica la tabla 4.7.


N f∗∗g=2N−1=2×4−1=7


n∈[−(N−1) ,(N−1)]

∈[−3,3 ]


2 5 0 4

0 0 0 0 0

0 6 15 0 12 3

6 2 5 0 4 1

17 8 20 0 16 4

13 32 4 16

Tabla 4.7 Correlación de las secuencias f(n)=[2,5,0,4] y g(n)=[4,1,3,0]

15


Finalmente, la secuencia de correlación es:

f∗∗g=[0,6,17,13↑,32,4,16]

4.1.14 Correlación de secuencias de duración finita por el método del producto


f=[ f (0)↑, f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

El planteamiento de la correlación por producto queda definido en la tabla 4.8. Note de la tabla que la secuenciag está reflejada.

Donde:

f∗∗g (−3)= f (0)g(3)

f∗∗g (−2)= f (0)g(2)+ f (1)g(3)f∗∗g (−1)=f (0)g(1)+ f (1)g(2)+ f (2)g(3)

f∗∗g ( 0 )=f (0)g(0)+ f (1)g(1)+ f (2)g(2)+ f (3)g(3)

f∗∗g ( 1)=f (1)g(0)+ f (2) g(−1)+ f (3)g(−2)f∗∗g ( 2)=f (2)g(0)+ f (3)g(1)

f∗∗g ( 3)=f (3)g(0)

Nótese que son las mismas ecuaciones (4.13)


f(0) f(1) f(2) f(3)g(3) g(2) g(1) g(0)

f(0)g(3) f(1)g(3) f(2)g(3) f(3)g(3)+ f(0)g(2) + f(1)g(2) f(2)g(2) f(3)g(2)

f(0)g(1) + f(1)g(1) + f(2)g(1) f(3)g(1)f(0)g(0) f(1)g(0) + f(2)g(0) f(3)g(0)

f**g(-3) f**g(-2) f**g(-1) f**g(0) f**g(1) f**g(2) f**g(3)

Tabla 4.8. Correlación por el método del producto para las secuencias [f(0),f(1),f(2),f(3)] y [g(0),g(1),g(2),g(3)]

16


4.1.15 Ejemplo


f=[2↑,5 ,0 ,4 ]

g=[4↑,1 ,3 ,0]

El proceso por el método del producto queda definido como:


N f∗∗g=2N−1=2×4−1=7


n∈[−(N−1) ,(N−1)]

∈[−3,3 ]

La secuencia de conrrelación es:

f∗∗g=[0,6,17,13↑,32,4,16]


2 5 0 4** 0 3 1 4

0 0 0 06 15 0 12

2 5 0 4+ 8 20 0 16

0 6 17 13 32 4 16

Tabla 4.9 Método del producto para las secuencias f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3,0].

17


4.2 Correlación discreta por software

4.2.1 Correlación discreta en MATLAB

formato

xcorr(a,b)

donde

a ,b son secuencias discretas no necesariamente de la misma longitud.

Ejemplo

> f=[2,5,0,4 ]> g=[4,1,3,0 ]> xcorr( f , g)

> [0,6,17,13,32,4,16]

4.3 Propiedades de la correlación lineal

A continuación se han anotado algunas propiedades importantes de la correlación. Al respecto, siempre debe recordar que aunque la correlación es una operación lineal no es conmutativa.

Teorema 4.8 Asociatividad.

f (n)∗∗g(n)∗∗h(n)=f (n)∗∗(g(n)∗∗h(n))

=( f (n)∗∗g(n))∗∗h(n)(4.23)

Teorema 4.9 Distributividad.

f (n)∗∗[g(n)+h(n)]= f (n)∗∗g(n)+ f (n)∗∗h(n) (4.24)


18


Teorema 4.10 Homogeneidad.

Af (n)∗∗g(n)= A ( f (n)∗∗g(n)) (4.25)

f (n)∗∗B g(n)=B ( f (n)∗∗g(n)) (4.26)

Af (n)∗∗B g(n)=A B (f (n)∗∗g(n)) (4.27)

Teorema 4.11 Impulso.

δ(n)∗∗f (n)=f (−n) (4.28)

f (n)∗∗δ(n)=f (n) (4.29)

Teorema 4.12 Invarianza temporal.

Dada la correlación f (n)∗∗g(n)=h(n) se tiene que:

f (n−α)∗∗h(n)=y (n−α) (4.30)

f (n)∗∗h(n−β)=y (n−β) (4.31)

f (n−α)∗∗h(n−β)= y(n−α−β) (4.32)

Teorema 4.13 incoumutatividad. La correlación no es conmutativa, esto es; dada

f (n )∗∗g (n)=h (n ) (4.33)

se tiene que la permutación de los operandos genera la secuencia invertida

g(n)∗∗f (n)=h(−n) (4.34)


19


4.4 Correlación circular

Dada la secuencia f=[ f (0) , f (1) ,…, f (N−1)] de cardinalidad N a correlacionar con otra secuenciag=[g (0 ), g(1),… , g (N−1)] también de cardinalidad N , el proceso de correlación exige N×N productos

e igual cantidad de sumas. Empleando una operación conocida como FFT (Trasnformada Rápida de Fourier) para calcular la correlación, se logra reducir este número a un mútiplo de N log2N .

Dado que la FFT es una operación que se aplica a señales periódicas, es lógico pensar que a la FFT se le conozca como correlación circular o cíclica.

4.4.1 Secuencia periódica

Sea la secuencia periódica x con cardinalidad N=3 tal como se ilustra a continuación (Note que en la ecuación hay un origen definido).

x=[... x(0) , x (1) , x(2 ), x(0)↑, x (1) , x(2 ), x(0) , x (1) , x(2 ), ...] (4.35)

Esta secuencia también puede escribirse con índices no periódicos de la forma siguiente

x=[... x(−3), x(−2) , x(−1) , x (0)↑, x (1), x(2) , x (3) , x(4) , x (5) , ...] (4.36)

Ambas formas, la periódica y la no periódica son equivalentes y serán usadas en la correlación circular.

4.4.2 Sobre el origen de la secuencia periódica

Definición 4.6 El origen de una secuencia finita y periódica será el primer elemento de la secuencia.

4.4.3 Desplazamiento hacia adelante de una secuencia periódica

Definición 4.7. Desplazamiento circular hacia adelante. Cuando una secuencia periódica se adelanta un paso, el elemento más a la izquierda sale e ingresa por la derecha, es decir.

x (n)=[ x(0), x(1) , x (2)]

x(n+1)=[ x(1) , x (2) , x(0)](4.37)

4.4.4 Desplazamiento hacia atrás de una secuencia periódica

Definición 4.8. Desplazamiento circular hacia atrás. Cuando una secuencia periódica se atrasa un paso, el elemento más a la derecha sale e ingresa por la izquierda, es decir.

x (n)=[ x(0), x(1) , x (2)]

x(n−1)=[ x(2) , x (0) , x (1)](4.38)


20


4.4.5 Correlación de secuencias periódicas

Para ejemplificar considérese que las secuencias siguientes corresponden a un periodo.

f (n)=[ f (0)↑, f (1), f (2), f (3)]

g(n)=[g(0)↑, g(1) , g(2) , g(3)]

(4.39)

Sustituyendo las secuencias (4.39) en la ecuación (4.8) se logra la tabla 4.1. Ahora bien, considérense las siguientes equivalencias:

g (−3 )=g (1)

g (−2)=g (2)

g (−1)=g (3)

g ( 0)=g (0)

g ( 1)=g (1)

g ( 2)=g (2)

g ( 3)=g (3)

g ( 4 )=g (0 )

g ( 5)=g (1)

(4.40)

Entonces la tabla 4.1 puede transcribir en la tabla 4.10

Nótese de la tabla 4.10 que la secuencia de correlación es periódica para N=4 , es decir:

f☼☼ g(−3)=f☼☼g(1)

f☼☼ g(−2)=f☼☼g(2)

f☼☼ g(−1)=f☼☼g(3)

(4.41)

Teorema 4.14 Ecuación de correlación circular. Sean dos secuencias periódicas f=[ f (0) , f (1) ,…, f (N−1)]

y g=[g (0), g(1) ,…, g(N−1)] , ambas de cardinalidad N para un periodo. La correlación circular de ambas funciones, denotada por f (n)☼☼g(n) ; n∈[0, N−1] , es otra función también denotada comof☼☼ g(n); n∈[0,N−1 ] y cuya definición es:

f☼☼ g(n)= ∑m=0

N−1

f (m )g(m−n)[v2] ; ∀n∈[0,(N−1)] (4.42)


f**g(-3) = f(0)g(3) + f(1)g(0) + f(2)g(1) + f(3)g(2)f**g(-2) = f(0)g(2) + f(1)g(3) + f(2)g(0) + f(3)g(1)f**g(-1) = f(0)g(1) + f(1)g(2) + f(2)g(3) + f(3)g(0)f**g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(1) + f(2)g(2) + f(3)g(3)f**g(1) = f(0)g(3) + f(1)g(0) + f(2)g(1) + f(3)g(2)f**g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(3) + f(2)g(0) + f(3)g(1)f**g(3) = f(0)g(1) + f(1)g(2) + f(2)g(3) + f(3)g(0)

Tabla 4.10 Correlación para las secuencias periódicas f=[f(0), f(1), f(2), f(3) ] y g=[g(0), g(1), g(2), g(3)]

21


Si la fórmula (4.42) se desarrolla se tendrá la siguiente secuencia de operaciones

f☼☼ g(0)= f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2) + f (3)g(3 )

f☼☼ g(1)=f (0)g(3) + f (1)g(0) + f (2)g(1) + f (3)g(2)f☼☼ g(2)=f (0)g(2) + f (1)g(3) + f (2)g(0) + f (3)g(1)

f☼☼ g(3)=f (0)g(1) + f (1)g(2) + f (2)g(3) + f (3)g(0)

(4.43)

Teorema 4.15 Longitud de la correlación circular. La correlación de dos secuencias periódicas de longitudN es otra secuencia periódica de longitud N .

4.4.6 Método de los círculos concéntricos

Para construir el método de los círculos concéntricos, síganse los pasos anotados a continuación:

• Sea la secuencia f=[ f (0) , f (1) , f (2) , f (3)] el primer operando de una correlación circular. Éste operando puede representarse con puntos equidistantes sobre un círculo. Los puntos se numeran en orden de las manecillas del reloj sin perder de vista el origen de la secuencia tal como ilustra la figura 4.1.a.

• Sea la secuencia g=[g (0), g(1) , g(2) , g (3)] el segundo operando de una correlación circular. Este operando se representa con puntos equidistantes sobre un círculo inscrito en el círculo del operandof . Los puntos se numeran en orden a las manecillas del reloj y haciendo coincidir el primer elemento

de la secuencia g con el origen de la secuencia f . La figura 4.1.b ilustra tal acomodo.


22

Illustration 4.1: (a)Representación del operando f(n). (b) Acomodo de los dos operandos f(n) y g(n) para la correlación circular.


Ya dispuestos los círculos, se realiza el siguiente algoritmo:

• Se realiza el producto punto de los vectores tal como indican los círculos concéntricos.

• El círculo interior se gira un paso en sentido de las manecillas del reloj.

• Se repiten los pasos hasta la secuencia g ha descrito una revolución completa.

La figura 4.2 ilustra el proceso


23

Illustration 4.2: Proceso de correlación circular para las secuencias f(n)=[f(0),f(1),f(2),f(3)] y g(n)=[g(0),g(1),g(2),g(3).]


4.4.7 Ejemplo:

Sean las secuencias periódicas anotadas a continuación, realice la correlación circular de la secuencias

f=[2,5,0,4 ]

g=[4,1,3,0 ](4.44)

La figura 4.3 ilustra cómo se realiza la correlación circular de las secuencias. Finalmente, la secuencia de correlación es:

f☼☼ g=[13,32,10,33] (4.45)


24

Illustration 4.3: Aplicación del método de los círculos conćentricos.


4.4.8 Correlación circular, método matricial

Sean las secuencias periódicas siguientes de cardinalidad N=4 . Se trata de las mismas secuencia (4.39)

f=[ f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]

g=[g(0), g(1) , g(2) , g(3)]

En una sección pasada se desarrolló la fórmula de la correlación circular para N=4 resultando en la ecuación 4.43, misma que se repite a continuación:

f☼☼ g(0)= f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2) + f (3)g(3 )

f☼☼ g(1)=f (0)g(3) + f (1)g(0) + f (2)g(1) + f (3)g(2)f☼☼ g(2)=f (0)g(2) + f (1)g(3) + f (2)g(0) + f (3)g(1)

f☼☼ g(3)=f (0)g(1) + f (1)g(2) + f (2)g(3) + f (3)g(0)

Si ahora las fórmulas se expresan en forma matricial resulta que:

[f☼☼g(0)

f☼☼g(1)

f☼☼g(2)

f☼☼g(3)]=[g(0) g(1) g(2) g(3)

g(3) g(0) g(1) g(2)

g(2) g(3) g(0) g(1)

g(1) g(2) g(3) g(0)][f (0)

f (1)

f (2)

f (3)] (4.46)

Simplificando la fórmula se tiene que

f∗∗g=GF (4.47)

En donde

G=[g(3) g(0) g(1) g(2)

g(2) g(3) g(0) g(1)

g(1) g(2) g(3) g(0)

g(0) g(1) g(2) g(3)] (4.48)

F=[f (0)

f (1)

f (2)

f (3)] (4.49)


25


4.4.9 Ejemplo

Realice la correlación circular de la secuencias periódicas siguientes. Son las mimas ecuaciones (4.44)

f=[2,5,0,4 ]

g=[4,1,3,0 ]

Planteando la matriz de correlación se tiene que:

[f☼☼g(0)

f☼☼g(1)

f☼☼g(2)

f☼☼g(3)]=[

4 1 3 00 4 1 33 0 4 11 3 0 4

][2504]=[

13321033

] (4.50)

Finalmente, la secuencia de correlación es:

f☼☼ g=[13,32,10,33]

4.4.10 Teorema de cálculo de la correlación circular usando la convolución circular

Definición 4.9: Reflexión de una señal. Dada una secuencia finita f=[ f (0) , f (1) ,… , f (N−1)] , existe una versión reflejada denotada como f R tal que satisface:

f (n)=f (−n) ∀ n∈[0,N−1] (4.51)

A modo de demostración considere la secuencia f=[ a↑, b ,c , d ] . La versión reflejada es como sigue:

f R=[ a,d , c ,b ] . La figura 4.4 ilustra como surge un periodo de tal secuencia reflejada.


26

Illustration 4.4: Secuencia reflejada respecto de la frontera izquierda. (a) La secuencia original es f=[a,b,c,d]. (b) Así entonces, la secuencia reflejada es: fR=[a,d,c,b]


Teorema 4.16. La correlación circular puede calcularse con la convolución circular si el segundo operando de la convolución se refleja y se toma un periodo completo. Matemáticamente se expresa que, dadas las secuencias f=[ f (0) , f (1) ,… , f (N−1)] y g=[g (0), g(1) ,…, g(N−1)] , su correlación circular puede expresarse como:

f☼☼ g=f (n)☼ gR (4.52)

4.4.11 Ejemplo: correlación circular por convolución circular

Correlacione circularmente las siguientes secuencias usando la convolución circular. Son las mimas ecuaciones (4.44)

f=[2,5,0,4 ]

g=[4,1,3,0 ]

Así entonces, la segunda secuencia se refleja de tal forma que resulta en:

gR=[4, 0,3,1 ]

Realizando la convolución resulta en:

f☼gR=[13,32,10,33]

Tal resultado es la correlación de las secuencias originales.

4.4.12 Teorema de ćalculo de la correlación lineal con la correlación circular

Teorema 4.17 . Aproximación de la correlación lineal con la correlación circular. Dada la secuencia no periódica f=[ f (0) , f (1) , f (2) , f (3)] de longitud N a correlacionar con la secuencia no periódicag=[g(0), g(1) ,…, g(N−1)] de la misma longitud y siendo la longitud de la secuencia de correlación de2N−1 . Para calcular la correlación lineal a partir de la correlación circular se agregan ceros de la siguiente

forma:

• Se concatenan ceros al inicio de la secuencia f hasta que su cardinalidad sea 2N−1 .

• Se concatenan ceros al final de la secuencia g hasta que su cardinalidad sea 2N−1 .

• Realícese la correlación circular.


27


4.4.13 Ejemplo: calculo de la correlación lineal mediante correlación circular

Calcule la correlación lineal de las siguientes dos secuencias empleando la correlación circular. Son las ecuaciones (4.14)

f=[2,5,0,4 ]

g=[4,1,3,0 ]

• Primero, las secuencias son de longitud N=4 , por lo cual la longitud de la secuencia de correlación es 2N−1=7

• Segundo, se concatenan tres ceros al inicio de la secuencia f y se concatenan tres ceros al final de la secuencia g .

f '=[[0,0,0 ] , f ]=[0,0,0,2,5,0,4 ]

g '=[ g,[0,0,0 ]]=[4,1,3,0,0,0,0 ](4.53)

• Finalmente la correlación circular se calcula como:

f '☼☼ g'=[4 1 3 0 0 0 00 4 1 3 0 0 00 0 4 1 3 0 00 0 0 4 1 3 00 0 0 0 4 1 33 0 0 0 0 4 10 3 0 0 0 0 4

]×[0002504]=[

06171332416

]Para conocer el el origen de la secuencia, se recurre a las estrategias empleadas para la correlación lineal.

4.5 Propiedades de la correlación circular

Teorema 4.18 Asociatividad.

f (n)☼☼g(n)☼☼h(n)=f (n)☼☼ (g(n)☼☼h(n))

=( f (n)☼☼g(n))☼☼h(n)(3.54)

Teorema 4.19 Distributividad.

f (n)☼☼ [g(n)+h(n)]=f (n)☼☼g(n)+ f (n)☼☼h(n) (3.55)


28


Teorema 4.20 Homogeneidad.

Af (n)☼☼g (n)=A ( f (n)☼☼g(n)) (3.56)

f (n)☼☼Bg(n)=B (f (n)☼☼g(n)) (3.57)

Af (n)☼☼Bg(n)=A B ( f (n)☼☼ g(n)) (3.58)

Teorema 4.21 Impulso.

δ(n)☼☼ f (n)= f (−n ) (3.59)

f (n)☼☼δ(n)= f (n) (3.60)

Teorema 4.22 Invarianza temporal.

Dada la convolución f (n)☼☼g(n)=h(n) se tiene que:

f (n−α)☼☼h(n)= y(n−α) (3.61)

f (n)☼☼h(n−β)= y (n−β) (3.62)

f (n−α)☼☼h(n−β)= y (n−α−β) (3.63)

Teorema 4.23 incoumutatividad. La correlación circular no es conmutativa, esto es; dada

f (n )∗∗g (n )=h (n) (4.64)

se tiene que la permutación de los operandos genera la secuencia invertida

g(n)∗∗f (n)=h(−n) (4.65)


29


4.6 Correlación lineal 2D en tiempo discreto

La correlación 2D se suele aplicar en imágenes:

• Obtenidas con sensores ópticos en el rango visible.

• Obtenidas con sensores ópticos en rangos no visibles como el infrarrojo, el ultravioleta, rayos gama.

• Obtenidas por radar.

Los fines con los cuales se aplica la correlación 2D en imágenes implica la detección de patrones, detección de movimiento.

El proceso de correlación 2D en el dominio del tiempo discreto es ya demasiado complejo como para ilustrar en un texto el desarrollo de las fórmulas. A consecuencia, suelen usarse algoritmos especiales como el método deslizante y el método de la correlación circular.

4.6.1 Correlación 2D para matrices infinitas

Dadas las matrices f (m ,n ) y g(m,n) no periódicas e infinitas, mismas que se ilustran a continuación

f (m ,n)=[... ... ... ... ... ...... f (0,−1) f (0,0) f (0,1) f (0,2) ...... f (1,−1) f (1,0) f (1,1) f (1,2) ...... f (2,−1) f (2,0) f (2,1) f (2,2) ...... ... ... ... ... ...

] (4.66)

g(m,n)=[... ... ... ... ... ...... g(0,−1) g(0,0) g(0,1) g(0,2) ...... g(1,−1) g(1,0) g(1,1) g(1,2) ...... g(2,−1) g(2,0) g(2,1) g(2,2) ...... ... ... ... ... ...

] (4.67)

La correlación entre ambas secuencias es:

f∗∗g(m,n)= ∑r=−∞

∞

∑c=−∞

∞

f (r , c)g(r−m,c−n) (4.68)

4.6.2 Correlación 2D para matrices finitas

Se considera en este caso que las matrices de datos a convolucionar tienen su origen en el elemento superior izquierdo, es decir, el elemento (0,0) .


30


Dadas las matrices f (m ,n) y g(m,n) no periódicas, finitas y de iguales dimensiones:

f (m ,n)=[f (0,0) f (0,1) f (0,2) ... f (0,N )

f (1,0) f (1,1) f (1,2) ... f (1,N )

f (2,0) f (2,1) f (2,2) ... f (2,N )

... ... ... ... ...f (M ,0) f (M ,1) f (M ,2) ... f (M ,N )

] (4.69)

g(m ,n)=[g(0,0) g(0,1) g(0,2) ... g(0,N )

g(1,0) g(1,1) g(1,2) ... g(1,N )

g(2,0) g(2,1) g(2,2) ... g(2,N )

... ... ... ... ...g (M ,0) g(M ,1) g(M,2) ... g(M ,N )

] (4.70)

y cuyas dimensiones son (Nótese que las matrices tienen las mismas dimensiones)

size(f)=(M ,N )

size(g)=(M ,N )(4.71)

La correlación 2D se puede describir como sigue:

f∗∗g(m,n)= ∑r=0

M−1

∑c=0

N−1

f (r , c)g(r−m,c−n); m∈[−(M−1), (M−1)] ∧ n∈[−(N−1), (N−1)] (4.72)

4.6.3 Las dimensiones de la matriz de correlación

Dadas las matrices f (m ,n ) y g(m,n) no periódicas y finitas cuyas dimensiones son:

size(f)=(M ,N )

size(g)=(M ,N )

Las dimensiones de la matriz de correlación son:

size ( f**g )=(2M−1 , 2N−1) (4.73)


31


4.6.4 Algoritmo visual para la correlación lineal 2D de secuencias finitas

El algoritmo es simple,

• La matriz f (m ,n ) se mantiene sin cambios

• La matriz g(m,n) se desplaza en pasos de adelante hacia atrás tanto en renglones como en columnas.

• Las matrices se multiplican punto a punto (se omiten aquellos productos donde las matrices no están definidas).

• Este algoritmo se repite para cada paso que se desplaza la matriz g(m,n) .

Este algoritmo queda ilustrado en la tabla 4.11


...

...

. . .

...

Tabla 4.11. proceso de correlación entre dos matrices. f(m,n) se mantine en tanque g(m,n) se desplaza en pasos. A cada paso, se multiplican punto a punto las matrices.'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2) 'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2) 'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2)

'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2) 'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2) 'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2)

'g(2,0) 'g(2,1) 'f(0,0)g(2,2) 'f(0,1) 'f(0,2) 'g(2,0) 'f(0,0)g(2,1) 'f(0,1)g(2,2) 'f(0,2) 'f(0,0) 'f(0,1) 'f(0,2)g(2,0) 'g(2,1) 'g(2,2)

'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2) 'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2) 'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2)

'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2) 'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2) 'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2)

'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2) 'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2) 'g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2)

'g(1,0) 'g(1,1) 'f(0,0)g(1,2) 'f(0,1) 'f(0,2) 'g(1,0) 'f(0,0)G(1,1) 'f(0,1)g(1,2) 'f(0,2) 'f(0,0) 'f(0,1) 'f(0,2)g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2)

'g(2,0) 'g(2,1) 'f(1,0)G(2,2) 'f(1,1) 'f(1,2) 'g(2,0) 'f(1,0)g(2,1) 'f(1,1)g(2,2) 'f(1,2) 'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2)g(2,0) 'g(2,1) 'g(2,2)

'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2) 'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2) 'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2)

'f(0,0) 'f(0,1) 'f(0,2) 'f(0,0) 'f(0,1) 'f(0,2) 'f(0,0) 'f(0,1) 'f(0,2)

'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2) 'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2) 'f(1,0) 'f(1,1) 'f(1,2)

'g(0,0) 'g(0,1) 'f(2,0)g(0,2) 'f(2,1) 'f(2,2) 'g(0,0) 'f(2,0)g(0,1) 'f(2,1)g(0,2) 'f(2,2) 'f(2,0) 'f(2,1) 'f(2,2)g(0,0) 'g(0,1) 'g(0,2)

'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2) 'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2) 'g(1,0) 'g(1,1) 'g(1,2)

'g(2,0) 'g(2,1) 'g(2,2) 'g(2,0) 'g(2,1) 'g(2,2) 'g(2,0) 'g(2,1) 'g(2,2)

32


4.7 Correlación circular 2D en tiempo discreto

4.7.1 Método matricial para la correlación circular 2D.

Se considera que las siguientes matrices deben convolucionarse circularmente

f (m ,n)=[f (0,0) f (0,1) f (0,2)

f (1,0) f (1,1) f (1,2)

f (2,0) f (2,1) f (2,2)] y g(m,n)=[g (0,0) g(0,1) g(0,2)

g (1,0) g(1,1) g(1,2)

g (2,0) g(2,1) g(2,2)]El proceso de correlación 2D circular f (m ,n)∗∗g(m,n) , por el método matricial se ilustra en la tabla 4.12


h(0,0) f(0,0) f(0,1) f(0,2) f(1,0) f(1,1) f(1,2) f(2,0) f(2,1) f(2,2) g(0,0)

h(0,1) f(0,1) f(0,2) f(0,0) f(1,1) f(1,2) f(1,0) f(2,1) f(2,2) f(2,0) g(0,1)

h(0,2) f(0,2) f(0,0) f(0,1) f(1,2) f(1,0) f(1,1) f(2,2) f(2,0) f(2,1) g(0,2)

h(1,0) f(1,0) f(1,1) f(1,2) f(2,0) f(2,1) f(2,2) f(0,0) f(0,1) f(0,2) g(1,0)

h(1,1) = f(1,1) f(1,2) f(1,0) f(2,1) f(2,2) f(2,0) f(0,1) f(0,2) f(0,0) g(1,1)

h(1,2) f(1,2) f(1,0) f(1,1) f(2,2) f(2,0) f(2,1) f(0,2) f(0,0) f(0,1) g(1,2)

h(2,0) f(2,0) f(2,1) f(2,2) f(0,0) f(0,1) f(0,2) f(1,0) f(1,1) f(1,2) g(2,0)

h(2,1) f(2,1) f(2,2) f(2,0) f(0,1) f(0,2) f(0,0) f(1,1) f(1,2) f(1,0) g(2,1)

h(2,2) f(2,2) f(2,0) f(2,1) f(0,2) f(0,0) f(0,1) f(1,2) f(1,0) f(1,1) g(2,2)

Tabla 4.12 Proceso de convolución circular 2D.

33

2012 capítulo 04. correlaciónprocesamiento digital de señales correlación a modo de...

Documents