2. matrices y determinantes con matrices elementales sept. 2012 calibri

67

ALGEBRA LINEAL

2) Matrices y Determinantes

2.1 Definición de matriz, notación, orden.

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos (particularmente números) que pueden contener variables numéricas o no numéricas. En muchas situaciones de la vida diaria o del trabajo cotidiano es necesario agrupar una gran cantidad de información que involucra números con diferentes unidades. Por ejemplo si tenemos que pagar la tenencia existen listados en forma de matriz en los cuáles podemos ver marca de auto vs. el año y saber cuánto se va a pagar. En el caso del fútbol cada semana nos dan a conocer por medio de una matriz nombre de los equipos vs. cómo van los equipos (juegos jugados, juegos ganados, juegos empatados, juegos perdidos, goles a favor, goles en contra y puntos) donde se ven los números de cada equipo. En el caso de una empresa se elabora una matriz, de lo que solicita cada cliente vs. tipo de producto para planear la producción de un tiempo dado semana, quincena o mes. En el caso de una cadena comercial nacional se elabora una matriz donde se ven la ubicación de las sucursales vs artículos vendidos de los productos en un lapso de tiempo para el pronóstico de ventas. La matriz puede ser mensual. El análisis de esta información (de varios meses) ayuda a tomar decisiones sobre ampliaciones de sucursales, disminución y hasta de cierre. En el caso de la elaboración de la nómina de una empresa se hace una matriz donde se anota el nombre del trabajador vs. el número de horas o días trabajados, el salario por día, sueldo total, ISR, IMSS, y otros conceptos, para saber cuánto va a recibir en efectivo. Los ejemplos anteriores son algunos de los miles que ocurren todos los días donde se usan las matrices. Otro dato importante es que en una matriz se concentra toda la información, la cual podría ser vista y analizada en su conjunto o en forma específica del mismo modo en que se usa un mapa para llegar a un lugar. La notación de matrices es con letras mayúsculas como A, B, C, D, E , F,… y con el uso de paréntesis () ó corchetes [ ], dentro de los cuales van los elementos conocidos como entradas. Las entradas colocadas en forma horizontal se les llaman filas o renglones. Las entradas en forma vertical se les denominan columnas. Se usa las letras a ,b , c , d ,e , f , … para indicar escalares. Columnas

Am x n=(a11

a21

a12

a22

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮amn

)⏞} Filas ó renglones

El orden se refiere al tamaño de la matriz, es decir, es el número de renglones o filas contadas de arriba hacia abajo y el número de columnas que se cuentan de izquierda a derecha. En la matriz anterior m indica el número de renglones, n el número de las columnas y se dice matriz A de m por n. En la siguiente lista de elementos complete lo que haga falta:

68

a11 está en el renglón 1 y en la columna 1. a21 está en el renglón 2 y en la columna 1.am1 está en el renglón ¿¿ y en la columna 1.a12 está en el renglón 1 y en la columna ¿¿. a22 está en el renglón ¿¿ y en la columna 2.am2 está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.

a1n está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿. a2n está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.amn está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.

Observe que el primer subíndice de una entrada ó elemento se refiere al renglón y el segundo a la columna, esto significa que el elemento a ij se encuentra en el renglón i y en la columna j . Los subíndices i y j sólo pueden ser enteros positivos. En el caso de matrices tenemos la misma situación ya que el primer número indica cuantos renglones tiene la matriz y el segundo nos señala el número de columnas. Veamos dos ejemplos:

A3 x2=( 52

−8

−146 ) Es una matriz de 3 x2, esto es, 3 renglones y 2 columnas.

B2 x 4=(−40

73

−18

−9−2) Es una matriz de 2 x 4, esto es, 2 renglones y 4 columnas.

Escriba el tamaño de las siguientes matrices; los elementos de los renglones, los elementos de las columnas y señale la posición de cada elemento:

C=(3 −10 1 ) es una matriz cuadrada de 2 x2 (son 2 renglones y 2 columnas). Los renglones deC son las

líneas horizontales de números: 1er. renglón (3 −1 ) y 2º. renglón (0 1 ) . Las columnas de C son las

líneas verticales de números: 1ª. columna (30) y 2ª. columna (−11 ), las posiciones son:

c11=3 , c12=−1 , c21=0 y c22=1.

D=(−8π4 ) es una matriz columna de 3 x1 (son 3 renglones y 1 columna). Los renglones de D son las

líneas horizontales de números: 1er. renglón (−8 ), 2º. renglón ( π ) y 3er. renglón (4 ) . Las columnas

de D son las líneas verticales de números: 1ª. columna (−8π4 ), las posiciones son:

d11=−8 , d21=π y d31=4.

69

E=(√711−1

956) es una matriz de 3 x2 (son 3 renglones y 2 columnas). Los renglones de E son las líneas

horizontales de números: 1er. renglón (√7 9 ), 2º. renglón (11 5 ) y 3er.

renglón (−1 6 ) . Las columnas de E son las líneas verticales de números: 1ª. columna (√711−1) y 2ª.

columna (956); las posiciones son: e11=√7 , e12=9 , e21=11 , e22=5 ,¿e31=−1 y e32=6.

A cualquier expresión como (√7 9 ) , se le conoce como vector renglón ó matriz renglón, mientras que

una expresión de la forma (√711−1) se le llama vector columna ó matriz columna.

F=(458

−16) es una matriz renglón de 1 x3 (es 1 renglón y 3 columnas). El renglón de F es la

línea horizontal de números: 1er. renglón (458

−16). Las columnas de F son las líneas verticales de

números: 1ª. Columna (4 ), 2ª. Columna ( 58 ) y 3ª. columna (−16 ); las posiciones son: f 11=4 ,

f 12=58

y f 13=−16.

G=(−7 1 ba 2 −4) es una matriz de 2 x3 (son 2 renglones y 3 columnas). Los renglones de G son las

líneas horizontales de elementos: 1er. renglón (−7 1 b ) y 2º. renglón (a 2 −4 ) . Las columnas

de G son las líneas verticales de elementos: 1ª. columna

(−7a ) , 2ª. columna (12) y 3ª. columna ( b

−4); las posiciones son: g11=−7 , g12=1 ,

g13=b ,g21=a ,g22=2 y g23=−4 .

EJERCICIOS PROPUESTOS

70

1. Si A=(−1 −234

12 −7 24

−6−9

−318

√1565

)En la siguiente lista de elementos complete lo que haga falta:

√15 está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.18

está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.

−2 está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.34

está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.

65 está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.−2 está en el renglón ¿¿ y en la columna ¿¿.

2. Escriba el tamaño de las siguientes matrices; los elementos de los renglones, los elementos de las columnas y señale la posición de cada elemento:

(a) B=(5 −62 9 ) , (b) C=(−4

a9 ) , (c) D=( 6

35−9

0π1) , (d) E=( 3

118 4)

(e) F=(−1 0 a6 b −c ) , (f) G=(1 0 −3 c

0 2 7 8 ), (g) H=( 9 76 60 1 −5

−3 48 −38)(h) I=(

1 0 0 00 1 0 000

00

10

01), (i) J=( e 36 −1 −7 √3

−4 50 −a −41 k19 28 p 3 8 ) ,

(j) K=(18 9 −3 a −5816 7 −6 b −442145

40

−8−1

cd

−17−11

)

2.2 Operaciones con matrices.

Es posible realizar operaciones aritméticas con las matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.

71

Para sumar ó restar matrices es necesario que sean del mismo tamaño. La razón de lo anterior es que al resolver A+B , al elemento a ij se le suma el elemento b ij , donde i es el número de renglón y j el número de columna. Por ejemplo a a11 se le suma b11 y el resultado se coloca en la posición 11 de la nueva matriz, así se continua con los demás elementos. El producto de un escalar por una matriz consiste en multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar, teniendo como resultado otra matriz del mismo tamaño. Las propiedades algebraicas de la adición y de la multiplicación por escalares para las matrices son las mismas que para los vectores.

Propiedades algebraicas de la adición de matrices y de la multiplicación de matrices por escalares. Sean A , B y C tres matrices del mismo tamaño y sean a y b dos escalares, entonces:

1.- A+B=B+ A Conmutatividad2.- ( A+B )+C=A+ (B+C ) Asociatividad3.- A+0=A Matriz Neutra 0mx n

4.- A+(−A )=0 Inverso Aditivo −A 5.- a ( A+B )=aA+aB Distributividad6.- (a+b ) A=aA+bA Distributividad7.- a (bA )= (ab ) A8.- 1 A=A

1. Realice los cálculos indicados con: A=(−372 )B=( 8

−96 )C=( 4

1−2)a=−2b=5

1.- A+B=B+ A

A+B=(−372 )+( 8

−96 )=(−3+8

7−92+6 )=( 5

−28 ) La matriz con negritas se puede omitir.

B+ A=( 8−96 )+(−3

72 )=( 8−3

−9+76+2 )=( 5

−28 ) La matriz con negritas se puede omitir.

∴ A+B=B+ A=( 5−28 )

2.- ( A+B )+C=A+ (B+C )

( A+B )+C=[(−372 )+( 8

−96 )]+( 4

1−2)=( 5

−28 )+( 4

1−2)=( 9

−16 )

72

A+( B+C )=(−372 )+[( 8

−96 )+( 4

1−2)]=(−3

72 )+( 12

−84 )=( 9

−16 )

∴ ( A+B )+C=A+(B+C )=( 9−16 )

3.- A+0=A

A+0=(−372 )+(000)=(−3

72 )=A

4.- A+(−A )=0

A+(−A )=(−372 )+[−(−3

72 )]=(−3

72 )+( 3

−7−2)=(0

00)=0

5.- a ( A+B )=aA+aB

a ( A+B )=−2[(−372 )+( 8

−96 )]=−2( 5

−28 )=(−10

4−16)

aA+aB=−2(−372 )−2( 8

−96 )=( 6

−14−4 )+(−16

18−12)=(−10

4−16)

∴a ( A+B )=aA+aB=(−104

−16)6.- (a+b ) A=aA+bA

(a+b ) A=(−2+5 )(−372 )=3(−3

72 )=(−9

216 )

aA+bA=−2(−372 )+5(−3

72 )=( 6

−14−4 )+(−15

3510 )=(−9

216 )

73

∴ ( a+b ) A=aA+bA=(−9216 )

7.- a (bA )= (ab ) A

a (bA )=−2[5 (−372 )]=−2(−15

3510 )=( 30

−70−20)

(ab ) A=[ (−2 ) 5 ](−372 )=−10 (−3

72 )=( 30

−70−20)

∴a (bA )=(ab ) A=( 30−70−20)

8.- 1 A=A

1 A=1(−372 )=(−3

72 )=A

2. Realice los cálculos indicados con: A=(−372 )B=( 8

−96 )C=( 4

1−2)

D=(−15−7−1

956)E=( 7

0−2

3−4−18) F=(11

125

−8

12 −1 0 )G=(−3−75

10

−6 −2 −9)

H=(−18 −2 19

127

−8

12 −734

)K=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)

C+ D=( 41

−2)+(−15−7−1

956) No está definida por ser de diferente tamaño.

74

D+E=(−15−7−1

956)+( 7

0−2

3−4−18)=(−8

−7−3

121

−12)E+F=( 7

0−2

3−4−18)+(11

125

−8

12 −1 0 ) No está definida por ser de diferente tamaño.

F+G=(11125

−8

12 −1 0 )+(−3−75

10

−6 −2 −9)=(8 1 26 −3 −9)

G+H=(−3−75

10

−6 −2 −9)+(−18 −2 19

127

−8

12 −734

) No está definida por ser de diferente tamaño.

H +K=(−18 −2 19

127

−8

12 −734

)+(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)=(

−16 −5 15139

1114

−8

18 −12−14

) En la suma anterior se dejó el resultado en fracciones, ya que si se usan decimales se estará redondeando y con las fracciones el resultado es exacto. La resta de matrices, se puede transformar en suma cambiando el signo de la 2a. matriz.

3. Determine lo que se pide.

A−B=A+(−B )=(−372 )−( 8

−96 )=(−3

72 )+(−8

9−6)=(−11

16−4 )

C−B−A=C+ (−B )+ (−A )=( 41

−2)−( 8−96 )−(−3

72 )=( 4

1−2)+(−8

9−6)+( 3

−7−2)

C−B−A=( −13

−10)C−D=( 4

1−2)−(−15

−7−1

956) No está definida por ser de diferente tamaño.

75

D−E=(−15−7−1

956)−( 7

0−2

3−4−18)=(−15

−7−1

956)+(−7

02

−34

18 )=(−22−71

69

24)E−F=( 7

0−2

3−4−18)−(11

125

−8

12 −1 0 ) No está definida por ser de diferente tamaño.

−F−G= (−F )+(−G)=−(11125

−8

12 −1 0 )−(−3−75

10

−6 −2 −9)−F−G= (−F )+(−G)=(−11

−125

8

−12 1 0)+(3 75

−10

6 2 9 )=(−8 −1 −2−6 3 9 )

Al comparar F+G con −F−G podemos ver que solo cambia el signo del resultado. El negativo de la

matriz A=(aij) es −A=(−a ij) . Por lo que podemos decir que:

(−8 −1 −2−6 3 9 ) Es el negativo de (8 1 2

6 −3 −9) ya que

(8 1 26 −3 −9)=−(−8 −1 −2

−6 3 9 ) Es decir F+G=−(−F−G )

−H−K=−(−18 −2 19

127

−8

12 −734

)−(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)

−H−K=(18 2 −19

−1−27

8

−12 7−34

)+(−2 3 4−49

−12

0

−6 5 1)=(

16 5 −15−13

9−1114

8

−18 1214

) En la resta anterior se dejó el resultado en fracciones, ya que si se usan decimales se estará redondeando y con las fracciones el resultado es exacto. Al comparar H +K con −H−K podemos ver que solo cambia el signo, del resultado. Por lo que podemos decir que:

76

(16 5 −15

−139

−1114

8

−18 1214

) Es el negativo de (−16 −5 15139

1114

−8

18 −12−14

) ya que

(−16 −5 15139

1114

−8

18 −12−14

)=−(16 5 −15

−139

−1114

8

−18 1214

) Es decir H +K=−(−H−K )

4. Calcule para las matrices señaladas en las sumas y restas las siguientes operaciones:

−5 A=−5(−372 )=(−5 ∙−3

−5 ∙7−5 ∙2 )=( 15

−35−10) La matriz en negritas no se ocupa anotar.

34

E= 34 ( 7

0−2

3−4−18)=(

34

∙7

34

∙0

34

∙(−2)

34

∙3

34

∙(−4 )

34

∙(−18))=(2140

−32

94

−3−27

2) La matriz en negritas no se ocupa anotar.

−2 A−3 B+ 12

C=−2(−372 )−3( 8

−96 )+ 1

2 ( 41

−2)=( 6−14−4 )+( 24

27−18)+(

212

−1)

−2 A−3 B+ 12

C=(32272

−23)

−3 D−5 E=−3(−15−7−1

956)−5( 7

0−2

3−4−18)=(45

213

−27−15−18)+(−35

0−2

−152090 )=(10

211

−425

72 )2 F−1

3G=2(11

125

−8

12 −1 0 )−13 (−3

−75

10

−6 −2 −9)

77

2 F−13

G=(22245

−16

24 −2 0 )+(17

15−10

3

223

3 )=(237915

−583

26−43

3 )−2 H+1

2K=−2(

−18 −2 19

127

−8

12 −734

)+ 12 (

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)

−2 H+12

K=(36 4 −38

−2−47

16

−24 14−32

)+( 1−32

−2

29

14

0

3−52

−12

)=( 3752

−40

−169

−928

16

−21−23

2−2 )

En las dos operaciones anteriores se dejó el resultado en fracciones, ya que si se usan decimales se estará redondeando y con las fracciones el resultado es exacto.

Ecuaciones Matriciales:

5. Sean A=(4 −26 5 )B=(3 9

0 1) Si 8 X+3 B=4 A encuentre X .

8 X+3 B−3 B=4 A−3 B ( 18 )8 X=1

8(4 A−3 B ) X=1

2A−3

8B=1

2A+(−3

8B)

12

A=12 (4 −2

6 5 )=(2 −1

352 )−3

8B=−3

8 (3 90 1)=(

−98

−278

0−38

)X=(2 −1

352 )+(

−98

−278

0−38

)X=(

78

−358

3178

) Comprobamos el resultado con:

78

8 X+3 B=4 A 8(78

−358

3178

)+3(3 90 1)=4(4 −2

6 5 )

( 7 −3524 17 )+(9 27

0 3 )=(16 −824 20 ) El resultado es correcto, ya que se cumple la igualdad.

Multiplicación de un vector renglón (matriz renglón) por un vector columna (matriz columna).

Recordemos brevemente que la idea de vector está tomada de la Física, en la cual se representan magnitudes vectoriales de diferente tipo, como son las velocidades, aceleraciones o fuerzas, que tienen magnitud, dirección y sentido. Los vectores de dos componentes están en R2, “se lee R dos”, es decir en el plano, las componentes son horizontal x y vertical y , por ejemplo el vector (3 6 ) tiene 3 unidades en dirección x y 6 unidades en dirección y . Podemos decir que el vector (3 6 ) es al mismo tiempo una matriz de 1 x2 , un renglón y dos columnas. Los vectores de tres componentes están en R3, “se lee R tres”, es decir en el espacio tridimensional, las componentes son x , y , z, por ejemplo el vector (2 4 7 ) tiene 2 unidades en dirección x , 4 unidades en dirección y y 7 unidades en dirección z. Podemos decir que el vector (2 4 7 ) es al mismo tiempo una matriz de 1 x3 , un renglón y tres columnas. NOTA: La R de R2 ó R3 se refiere a que el vector está en el campo de los números reales. Los vectores al igual que las matrices se pueden sumar entre ellos pero sólo cuando sean del mismo número de elementos. También se pueden multiplicar por un escalar, del mismo modo que las matrices.

Antes de iniciar con la multiplicación de matrices, vamos a tratar el caso de la multiplicación de un vector renglón (matriz renglón) por un vector columna (matriz columna). En el subtema de aplicaciones veremos unos ejemplos donde se requiere este tipo de operación. Consiste en multiplicar elemento por elemento los vectores (matrices) y al final sumar todos los productos, el resultado es un solo número.

(2 −1 6 )matriz renglón ó vector renglón;(−374 )matriz columnaó vector columna.

(2 −1 6 )(−374 )=(2 ) (−3 )+(−1 ) (7 )+(6 ) ( 4 )=−6−7+24=(11) . Es una matriz de1 x1.

Lo anterior es similar al producto escalar ó producto punto ó producto interno entre vectores a y b.

Sean a=(a1

a2

⋮an

) y b=(b1

b2

⋮bn

) dos vectores, entonces el producto escalar a ∙b está dado

por: a ∙b=a1 b1+a2b2+⋯+an bn ; el resultado es sólo un número.

79

6. Sea a=( 2−47 ), b=(−1

−35 ) y c=( 6

0−8) Calcule:

(3a ) ∙ (−4 c )=3( 2−4

7 ) ∙ (−4 )( 60

−8)=( 6−1221 ) ∙(−24

032 )=−144+672=528

(2b ) ∙ (4 a−3 c )=[2(−1−35 )] ∙[4 ( 2

−47 )+ (−3 )( 6

0−8)]=(−2

−610 )∙[( 8

−1628 )+(−18

024 )]

(2b ) ∙ (4 a−3 c )=(−2−610 ) ∙(−10

−1652 )=20+96+520=636

( 12

a−2b)∙(3a+ 13

c )=[ 12 ( 2

−47 )+ (−2 )(−1

−35 )] ∙[3( 2

−47 )+ 1

3 ( 60

−8)]( 1

2a−2b)∙(3a+ 1

3c )=[( 1

−272

)+( 26

−10)] ∙[( 6−1221 )+(

20

−83

)]( 1

2a−2b)∙(3a+ 1

3c )=(

34

−132

)∙(8

−12553

)=24−48−7156

=−8596

La multiplicación de matrices es una operación especial que requiere para poderse realizar que se cumpla el requisito de que los INTERNOS sean iguales, es decir, que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz. Sean las matrices:

A3 x2=( 52

−8

−146 ) y B2 x 4=(−4

073

−18

−9−2)

La multiplicación de la matriz A3 x2 por la matriz B2 x 4 da la matriz C3x 4.

A3 x2 B2 x 4=C3x 4.

80

En las matrices anteriores los INTERNOS son el 2 de la matriz A y el 2 de la matriz B. Observe que los internos son iguales 2=2, por lo que se cumple el requisito para poder hacer la multiplicación. Los externos son el 3 de la matriz A y el 4 de la matriz B, e indican el tamaño de la nueva matriz C, que es de 3 x 4. Se puede ver que el 3 nos indica el número de renglones tanto de la matriz A como de la matriz C; mientras que el 4 nos señala el número de columnas tanto de la matriz B como de la matriz C. Dicho en otras palabras la primera matriz A proporciona el número de renglones (3) de la matriz C y la segunda matriz B da el número de columnas (4) de la matriz C. El elemento c ij de la matriz C3x 4 resulta del producto punto del renglón i de la primera matriz A3 x2 con la columna j de la segunda matriz B2 x 4. Para llevar a cabo la multiplicación de las matrices se toma el renglón 1 de la matriz A y se multiplica en producto punto con la columna 1 de la matriz B, el resultado es c11 luego se continua con el producto punto entre el renglón 1 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B, el resultado es c12; se continua con el procedimiento hasta terminar con el producto punto entre el renglón 3 de la matriz A y la columna 4 de la matriz B, el resultado es c34 . Resolveremos con todo detalle la multiplicación ya escrita. Con la práctica pueden omitirse algunos pasos. La nueva matriz C3x 4 es:

C3x 4=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34) tiene 3 renglones y 4 columnas, pero A3 x2 B2 x 4=C3x 4 ∴

7. A3 x 2 B2 x 4=( 52

−8

−146 )[−4

073

−18

−9−2]=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34)

El desarrollo de los productos punto es el siguiente:

c11=(5 −1 )(−40 )=(5 ) (−4 )+(−1 ) (0 )=−20−0=−20

c12=(5 −1 )(73)=(5 ) (7 )+ (−1 ) (3 )=35−3=32

c13=(5 −1 )(−18 )=(5 ) (−1 )+(−1 ) (8 )=−5−8=−13

c14=(5 −1 )(−9−2)=(5 ) (−9 )+(−1 ) (−2 )=−45+2=−43

c21=(2 4 )(−40 )=(2 ) (−4 )+(4 ) (0 )=−8+0=−8

c22=(2 4 )(73)=(2 ) (7 )+( 4 ) (3 )=14+12=26

c23=(2 4 )(−18 )=(2 ) (−1 )+(4 ) (8 )=−2+32=30

81

c24= (2 4 )(−9−2)=(2 ) (−9 )+(4 ) (−2 )=−18−8=−26

c31=(−8 6 )(−40 )=(−8 ) (−4 )+(6 ) (0 )=32+0=32

c32=(−8 6 )(73)=(−8 ) (7 )+ (6 ) (3 )=−56+18=−38

c33=(−8 6 )(−18 )=(−8 ) (−1 )+(6 ) (8 )=8+48=56

c34=(−8 6 )(−9−2)= (−8 ) (−9 )+(6 ) (−2 )=72−12=60

Se tiene que:

A3 x2 B2 x 4=( 52

−8

−146 )(−4

073

−18

−9−2)=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34) Al sustituir

A3 x2 B2 x 4=( 52

−8

−146 )(−4

073

−18

−9−2)=(−20 32 −13 −43

−8 26 30 −2632 −38 56 60 )

7. A3 x 2 B2 x 4=C3 x 4=(−20 32 −13 −43−8 26 30 −2632 −38 56 60 )

Otra forma de hacer la misma operación es:

A3 x2 B2 x 4=( 52

−8

−146 )(−4

073

−18

−9−2)=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34)

A3 x2 B2 x 4=( 52

−8

−146 )(−4

073

−18

−9−2)=(−20−0 35−3 −5−8 −45+2

−8+0 14+12 −2+32 −18−832+0 −56+18 8+48 72−12 )

7. A3 x 2 B2 x 4=C3 x 4=(−20 32 −13 −43−8 26 30 −2632 −38 56 60 )

Al calcular la expresión anterior A3 x2 B2 x 4=C3x 4 con el software MATHCAD se obtiene:

82

Que confirma nuestro resultado.

8. Multiplique B2 x 4 A3 x2. Como los internos no son iguales 4 ≠3 entonces no se pueden multiplicar, esto muestra que en general la multiplicación no es conmutativa. Hay una excepción que se verá al final de este subtema. Ya sabemos que no es posible multiplicar B2 x 4 A3 x2, sin embargo intentemos hacerlo.

B2 x 4 A3 x2=(−40

73

−18

−9−2)( 5

2−8

−146 )=(c11

c21

c12

c22)

El desarrollo del primer producto punto es el siguiente:

c11=(−4 7 −1 −9 )( 52

−8)=(−4 ) (5 )+ (7 ) (2 )+ (−1 ) (−8 )+(−9 ) (? )=?

Observe con atención el último producto, falta un valor, tenemos que 4 y 3, son los internos de las matrices. Es por esto que se exige que los internos sean iguales, así aseguramos que se tengan los mismos elementos al efectuar el producto punto.

9. Anote para las siguientes matrices si las multiplicaciones indicadas se pueden hacer y el tamaño de la nueva matriz:

C=( 41

−2) D=(−15−7−1

956)E=( 7

0−2

3−4−18) F=(11

125

−8

12 −1 0 )

G=(−3−75

10

−6 −2 −9)H=(−18 −2 19

127

−8

12 −734

)K=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)

CD DE EF FE FG GH HH KK

CDC es 3 x1 y D es 3 x2 como los internos NO son iguales 1 ≠3, no se pueden multiplicar.

DE D es 3 x2 y E es 3 x2 como los internos NO son iguales 2 ≠3, no se pueden multiplicar, aun cuando las matrices son del mismo tamaño.

EF E es 3 x2 y F es 2 x3 como los internos son iguales 2=2, si se pueden multiplicar, aun cuando son de diferente tamaño, la nueva matriz es de 3 x3.

83

FE F es 2 x3 y E es 3 x2 como los internos son iguales 3=3, si se pueden multiplicar, la nueva matriz es de 2 x2 . Observe que el tamaño de la nueva matriz es diferente con respecto al producto EF. Esto significa que la multiplicación NO es conmutativa, excepto con la matriz identidad, que después se verá.

FG F es 2 x3 y G es 2 x3 como los internos NO son iguales 3 ≠ 2, no se pueden multiplicar. Observe que F y G, son del mismo tamaño y no se pueden multiplicar.

GH G es 2 x3 y H es 3 x3 como los internos son iguales 3=3, si se pueden multiplicar, la nueva matriz es de 2 x3.

HH H es 3 x3 y H es 3 x3 los internos son iguales 3=3, si se pueden multiplicar, la nueva matriz es de 3 x3 . La multiplicación de HH=H 2, y HHH=H 3.

KK K es 3 x3 y K es 3 x3 los internos SI son iguales 3=3, si se pueden multiplicar, la nueva matriz es de 3 x3 . La multiplicación de KK=K2, y KKK=K3.

Multiplique EF

Sea EF=L

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 ) E es 3 x2 y F es 2 x3 los externos son 3 y 3∴

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 )=(l11 l12 l13

l21 l22 l23

l31 l32 l33) la matriz L es de 3 x3.


l11= (7 3 )(1112)=(7 ) (11)+(3 ) (12 )=77+36=113

l12=(7 3 )( 125

−1)=(7 )(125 )+ (3 ) (−1 )=84

5−3=69

5

l13=(7 3 )(−80 )=(7 ) (−8 )+(3 ) (0 )=−56+0=−56

l21=(0 −4 )(1112)=(0 ) (11 )+ (−4 ) (12 )=0−48=−48

l22=(0 −4 )( 125

−1)=(0 )(125 )+ (−4 ) (−1 )=0+4=4

84

l23=(0 −4 )(−80 )=(0 ) (−8 )+(−4 ) (0 )=−0−0=0

l31=(−2 −18 )(1112)=(−2 ) (11)+(−18 ) (12 )=−22−216=−238

l32=(−2 −18 )( 125

−1)=(−2 )( 125 )+(−18 ) (−1 )=−24

5+18=66

5

l33=(−2 −18 )(−80 )= (−2 ) (−8 )+(−18 ) (0 )=16−0=16

Se tiene que:

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 )=(l11 l12 l13

l21 l22 l23

l31 l32 l33) al sustituir

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 )=( 113695

−56

−48 4 0

−238665

16 )EF=L=( 113

695

−56

−48 4 0

−238665

16 )Otra forma de hacer la misma operación es:

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 )=(l11 l12 l13

l21 l22 l23

l31 l32 l33)

EF=( 70

−2

3−4−18)(11

125

−8

12 −1 0 )=( 77+36845

−3 −56+0

0−48 0+4 −0−0

−22−216−24

5+18 16−0 )

85

EF=L=( 113695

−56

−48 4 0

−238665

16 )Al calcular la expresión anterior EF=L con el software MATHCAD se obtiene:

Que confirma nuestro resultado

Multiplique KK

KK=K2 La expresión K2 es la potencia 2 de la matriz K .

KK=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)(

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1) K es 3 x3 y los externos son 3 y 3∴

K2=KK=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)(

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)=(k11 k 12 k13

k21 k 22 k23

k31 k 32 k33)


k 11=(2 −3 −4 )(2496)=(2 ) (2 )+ (−3 )( 4

9 )+(−4 ) (6 )=4−129

−24=−1929

k 12= (2 −3 −4 )(−312

−5)=(2 ) (−3 )+(−3 )( 1

2 )+(−4 ) (−5 )=−6−32+20=25

2

k 13= (2 −3 −4 )(−40

−1)=(2 ) (−4 )+(−3 ) (0 )+ (−4 ) (−1 )=−8+0+4=−4

86

k 21=( 49

12

0)(2496)=( 4

9 ) (2 )+( 12 )( 4

9 )+ (0 ) (6 )=89+ 4

18+0=10

9

k 22=( 49

12

0)(−312

−5)=( 4

9 ) (−3 )+( 12 )( 1

2 )+(0 ) (−5 )=−129

+ 14−0=−13

12

k 23=( 49

12

0)(−40

−1 )=( 49 ) (−4 )+(1

2 )(0 )+ (0 ) (−1 )=−169

+0−0=−169

k 31= (6 −5 −1 )(2496)= (6 ) (2 )+ (−5 )( 4

9 )+(−1 ) (6 )=12−209

−6=349

k 32= (6 −5 −1 )(−312

−5)=(6 ) (−3 )+(−5 )( 1

2 )+ (−1 ) (−5 )=−18−52+5=−31

2

k 33= (6 −5 −1 )(−40

−1)=(6 ) (−4 )+(−5 ) (0 )+(−1 ) (−1 )=−24−0+1=−23

Se tiene que:

K2=KK=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)(

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)=(k11 k 12 k13

k21 k 22 k23

k31 k 32 k33) al sustituir

KK=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)(

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)=(

−1929

252

−4

109

−1312

−169

349

−312

−23 )

87

KK=K2=(−192

9252

−4

109

−1312

−169

349

−312

−23 ) Otra forma de hacer la misma operación es:

KK=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)(

2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)=(k11 k12 k13

k21 k22 k23

k31 k32 k33)

KK=(4−129

−24 −6−32+20 −8+0+4

89+

418

+0−12

9+

14−0

−169

+0−0

12−209

−6 −18−52+5 −24−0+1 )

KK=K2=(−192

9252

−4

109

−1312

−169

349

−312

−23 ) Calcule K3=K 2 K

Al calcular la expresión anterior KK=K2 con el software MATHCAD se obtiene:


Observe que los valores son equivalentes, por ejemplo: −192

9=−21.333 solo que

−1929

es exacto,

de hecho es −192

9=−21.33333333…, mientras que el valor −21.333 está redondeado a 5 cifras

significativas. Por lo anterior se recomienda siempre que sea posible usar fracciones en lugar de decimales, para evitar redondear. Cuando no se pueda emplear fracciones, deberá usarse todas las cifras significativas en cálculos intermedios y solo redondear hasta el final. Se ve que lo mismo ocurre con

88

109

=1.111, ya que 109

=1.111111111…, mientras que el valor 1.111 está redondeado a 4 cifras

significativas.

Compruebe que K3=K 2 K=KKK es igual a: (Solo multiplique K2 K ¿ con fracciones. Al calcular la expresión anterior K3=K 2 K=KKK con el software MATHCAD se obtiene:

Use fracciones no decimales

10. Para la matriz A=( 1 2−2 3). Calcule: A2 , A3 , f ( A ) , donde f ( x )=x3+2 x2−3 x−5

A2=AA=( 1 2

−2 3)( 1 2−2 3)=( 1−4 2+6

−2−6 −4+9)=¿ (−3 8−8 5)

A3=A2 A=(−3 8−8 5)( 1 2

−2 3)=(−3−16 −6+24−8−10 −16+15)=(−19 18

−18 −1) Nota: Si multiplicamos A A2 , también se obtiene el mismo resultado. Compruébelo.

f ( A ) , donde f ( x )=x3+2 x2−3 x−5, se resuelve como:

f ( A )=A3+2 A2−3 A−5 I =(−19 18−18 −1)+2(−3 8

−8 5)−3( 1 2−2 3)−5 (1 0

0 1)f ( A )=A3+2 A2−3 A−5 I =(−19 18

−18 −1)+( −6 16−16 10)+(−3 −6

6 −9)+(−5 00 −5)

f ( A )=A3+2 A2−3 A−5 I =(−33 28−28 −5)

11. Para la matriz B=(1 24 −3). Calcule: B2 , B3 , muestre que B es un cero del polinomio

g ( x )=x3+2 x2−3 x−5

B2=BB=(1 2

4 −3)(1 24 −3)=( 1+8 2−6

4−12 8+9 )=( 9 −4−8 17 )

89

B3=B2 B=( 9 −4−8 17 )(1 2

4 −3)=( 9−16 −4+3436+24 −16+51)=(−7 30

60 −67) Nota: Si multiplicamos B B2 , también se obtiene el mismo resultado. Compruébelo.

Muestre que B es un cero del polinomio g ( x )=x2+2 x−11

g (B )=B2+2 B−11=( 9 −4−8 17 )+2(1 2

4 −3)−11(1 00 1)

g (B )=B2+2 B−11=( 9 −4−8 17 )+(2 4

8 −6)+(−11 00 −11)

g (B )=B2+2 B−11=(0 00 0)

Teorema 1.Ley asociativa para la multiplicación de matrices.

Sea A=(aij ) una matriz de m xn , B=( bij ) una matriz de n x o , y C=(c ij ) una matriz de o x p . Entonces la ley asociativa

( AB )C=A ( BC )

Se cumple y el tamaño del producto es m x p .

12. Sea A=(−1 24 −3)B=( 0 −2

−5 6 )C=( 7 8−4 9) Calcule ( AB )C=A ( BC ) .

Al calcular la expresión anterior ( AB )C con el software MATHCAD se obtiene:

Verifique.Al calcular la expresión anterior A ( BC ) con el software MATHCAD se obtiene:

Si se verifica.

90

Otras dos propiedades de la multiplicación de matrices son:

1.- A ( B+C )=AB+ AC Distributiva izquierda.2.- ( A+B ) C=AC +BC Distributiva derecha.

13. Compruebe ambos lados de las dos ecuaciones anteriores con las matrices A , B y C del ejercicio 12.

Multiplicación por bloques.

Cuando se tiene multiplicación de matrices relativamente grandes, es posible hacer submatrices para facilitar su cálculo. 14. Multiplique por bloques MN :

M=(1 −43 −2

0 5−2 3

2 03 −1

−4 0−3 2

)N=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)MN=?

Dividimos en 4 submatrices de 2 X 2 cada matriz y se multiplican como ya se vió.

M=(13⋯23

−4−2⋯0

−1

⋮⋮

+¿ ⋮⋮

0−2⋯

−4−3

53⋯02)=(A B

C D)N=(0

−1⋯

−3−4

12⋯30

⋮⋮

+¿ ⋮⋮

23⋯04

−1−3⋯

−13

)=(E FG H)

MN=(13⋯23

−4−2⋯0

−1

⋮⋮

+¿ ⋮⋮

0−2⋯

−4−3

53⋯02)(

0−1⋯−3−4

12⋯30

⋮⋮

+¿⋮⋮

23⋯04

−1−3⋯

−13

)=(A BC D)(E F

G H )

MN=(A BC D)(E F

G H)=( AE+BG AF+BHCE+DG CF+ DH )

AE=(1 −43 −2)( 0 1

−1 2)ae11= (1 ) (0 )+ (−4 ) (−1 )=4 ae12=(1 ) (1 )+(−4 ) (2 )=1−8=−7 ae21=(3 ) (0 )+(−2 ) (−1 )=2 ae22=(3 ) (1 )+(−2 ) (2 )=3−4=−1

AE=(1 −43 −2)( 0 1

−1 2)=(4 −72 −1) Otra forma de hacer la misma operación es:

91

AE=(1 −43 −2)( 0 1

−1 2)=(0+4 1−80+2 3−4 )=(4 −7

2 −1)

BG=( 0 5−2 3)(−3 3

−4 0)bg11=(0 ) (−3 )+ (5 ) (−4 )=−20 bg12=(0 ) (3 )+ (5 ) (0 )=0 bg21= (−2 ) (−3 )+ (3 ) (−4 )=6−12=−6 b g22=(−2 ) (3 )+(3 ) (0 )=−6

BG=( 0 5−2 3)(−3 3

−4 0)=(−20 0−6 −6) Otra forma de hacer la misma operación es:

BG=( 0 5−2 3)(−3 3

−4 0)=(−0−20 0+06−12 −6+0)=(−20 0

−6 −6)AE+BG=(4 −7

2 −1)+(−20 0−6 −6)=(−16 −7

−4 −7)AF=(1 −4

3 −2 )(2 −13 −3)

af 11=(1 ) (2 )+(−4 ) (3 )=−10 af 12=(1 ) (−1 )+(−4 ) (−3 )=11 af 21= (3 ) (2 )+(−2 ) (3 )=0 af 22= (3 ) (−1 )+(−2 ) (−3 )=3

AF=(1 −43 −2 )(2 −1

3 −3)=(−10 110 3 ) Otra forma de hacer la misma operación es:

AF=(1 −43 −2 )(2 −1

3 −3)=(2−12 −1+126−6 −3+6 )=(−10 11

0 3 )BH=( 0 5

−2 3)(0 −14 3 )

bh11=(0 ) (0 )+(5 ) ( 4 )=20 bh12=(0 ) (−1 )+(5 ) (3 )=15 bh21=(−2 ) (0 )+ (3 ) ( 4 )=12 bh22=(−2 ) (−1 )+(3 ) (3 )=11

BH=( 0 5−2 3)(0 −1

4 3 )=(20 1512 11) Otra forma de hacer la misma operación es:

BH=( 0 5−2 3)(0 −1

4 3 )=( 0+20 −0+15−0+12 2+9 )=(20 15

12 11)AF+BH=(−10 11

0 3 )+(20 1512 11)=(10 26

12 14)

92

CE=(2 03 −1)( 0 1

−1 2)ce11= (2 ) (0 )+ (0 ) (−1 )=0 ce12=(2 ) (1 )+ (0 ) (2 )=2 ce21=(3 ) (0 )+(−1 ) (−1 )=1 ce22=(3 ) (1 )+(−1 ) (2 )=1

CE=(2 03 −1)( 0 1

−1 2)=(0 21 1) Otra forma de hacer la misma operación es:

CE=(2 03 −1)( 0 1

−1 2)=(0−0 2+00+1 3−2)=(0 2

1 1)DG=(−4 0

−3 2)(−3 3−4 0)

dg11=(−4 ) (−3 )+(0 ) (−4 )=12 dg12=(−4 ) (3 )+(0 ) (0 )=−12 dg21=(−3 ) (−3 )+(2 ) (−4 )=1 dg22=(−3 ) (3 )+(2 ) (0 )=−9

DG=(−4 0−3 2)(−3 3

−4 0)=(12 −121 −9 ) Otra forma de hacer la misma operación es:

DG=(−4 0−3 2)(−3 3

−4 0)=(12−0 −12+09−8 −9+0 )=(12 −12

1 −9 )CE+DG=(0 2

1 1)+(12 −121 −9 )=(12 −10

2 −8 )CF=(2 0

3 −1)(2 −13 −3)

cf 11=(2 ) (2 )+(0 ) (3 )=4cf 12= (2 ) (−1 )+(0 ) (−3 )=−2 cf 21= (3 ) (2 )+ (−1 ) (3 )=3 cf 22= (3 ) (−1 )+ (−1 ) (−3 )=0

C F=(2 03 −1)(2 −1

3 −3)=(4 −23 0 ) Otra forma de hacer la misma operación es:

CF=(2 03 −1)(2 −1

3 −3)=( 4+0 −2−06−3 −3+3 )=(4 −2

3 0 )DH=(−4 0

−3 2)(0 −14 3 )

93

dh11=(−4 ) (0 )+(0 ) ( 4 )=0 dh12=(−4 ) (−1 )+(0 ) (3 )=4 dh21= (−3 ) (0 )+(2 ) (4 )=8 dh22= (−3 ) (−1 )+ (2 ) (3 )=9

DH=(−4 0−3 2)(0 −1

4 3 )=(0 48 9) Otra forma de hacer la misma operación es:

DH=(−4 0−3 2)(0 −1

4 3 )=(−0+0 4+0−0+8 3+6)=(0 4

8 9)CF+DH=(4 −2

3 0 )+(0 48 9)=( 4 2

11 9)

MN=(13⋯23

−4−2⋯0

−1

⋮⋮

+¿ ⋮⋮

0−2⋯

−4−3

53⋯02)(

0−1⋯−3−4

12⋯30

⋮⋮

+¿⋮⋮

23⋯04

−1−3⋯

−13

)=(A BC D)(E F

G H )

MN=(A BC D)(E F

G H)=( AE+BG AF+BHCE+DG CF+ DH )

MN=(−16 −7−4 −7

10 2612 14

12 −102 −8

4 211 9

)Al calcular la expresión anterior MN con el software MATHCAD se obtiene:


Otra forma de multiplicar por bloques es que la primera matriz se deje como está y en la segunda matriz se hagan submatrices con las columnas (matriz columna ó vector columna) y multipliquemos cada una por la primera matriz, teniendo el cuidado de respetar el orden de la multiplicación.

15. Sean las mismas matricesM y N , solo que ahora multiplicaremos NM :

N=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)M=(1 −43 −2

0 5−2 3

2 03 −1

−4 0−3 2

)NM=?

94

NM=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(1 −43 −2

0 5−2 3

2 03 −1

−4 0−3 2

) sin submatrices

NM=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(13

⋮⋮

−4−2

⋮⋮

0−2

⋮⋮

53

23

⋮⋮

0−1

⋮⋮

−4−3

⋮⋮

02)

con 4 matrices columna en M .

NM=N [ M1 ⋮ M2 ⋮ M3 ⋮ M 4 ]=[ N M 1 ⋮ N M 2 ⋮ N M 3 ⋮ N M 4 ] La última matriz se le conoce como representación matricial por columna del producto. Verifique: internos, externos y cálculos de las siguientes multiplicaciones:

N M 1=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(1323)=(

0+3+4−3−1+6+6−9−3+9+0−3−4+0+8+6

)=(42310

)

N M 2=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(−4−20

−1)=(

0−2+0+14−4+0+3

12−6+0+116−0+0−2

)=(−137

14)

N M 3=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(0

−2−4−3

)=(0−2−8+3

−0−4−12+9−0−6+0+3

−0−0−16−6)=(

−7−7−3−22

)

N M 4=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(5302)=(

0+3+0−2−5+6+0−6−15+9+0−2−20+0+0+4

)=(1

−5−8−16

) ∴NM=[ N M 1 ⋮ N M 2 ⋮ N M 3 ⋮ N M 4 ]=(

42

⋮⋮

−13

⋮⋮

−7−7

⋮⋮

1−5

310

⋮⋮

714

⋮⋮

−3−22

⋮⋮

−8−16

)

95

NM=(0 1

−1 22 −13 −3

−3 3−4 0

0 −14 2

)(13

⋮⋮

−4−2

⋮⋮

0−2

⋮⋮

53

23

⋮⋮

0−1

⋮⋮

−4−3

⋮⋮

02)

NM=(42

⋮⋮

−13

⋮⋮

−7−7

⋮⋮

1−5

310

⋮⋮

714

⋮⋮

−3−22

⋮⋮

−8−16

)=(4 −12 3

−7 1−7 −5

3 710 14

−3 −8−22 −16

)Al calcular la expresión anterior NM con el software MATHCAD se obtiene:


Se vió que MN=(−16 −7−4 −7

10 2612 14

12 −102 −8

4 211 9

) Entonces MN ≠ NM , no es conmutativa.

También podemos multiplicar por bloques dejando la segunda matriz como está y en la primera matriz se hacen submatrices con los renglones (matriz renglón ó vector renglón) y multiplicamos cada renglón por la segunda matriz, teniendo el cuidado de respetar el orden de la multiplicación.

16. Sean las matrices:

O=(2 −51 −7

3 4−6 −1

0 87 −2

−1 10 5

)P=(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

) Calcule OP=?

OP=(2 −51 −7

3 4−6 −1

0 87 −2

−1 10 5

)(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

) sin submatrices.

96

OP=(2⋯1

−5⋯

−7⋯ ⋯

3⋯

−6

4⋯

−1⋯ ⋯

0 8⋯7

⋯−2

−1 1⋯0

⋯5

)(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

) con 4 matrices renglón en O

OP=(O1

⋯O2

⋯O3

⋯O4

)P=(O1 P⋯

O2 P⋯

O3 P⋯

O4 P)

La última matriz se le conoce como representación matricial por renglón del producto. Verifique: internos, externos y cálculos de las siguientes multiplicaciones:

O1 P=(2 −5 3 4 )(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(31 −10 −5 −27 )

O2 P=(1 −7 −6 −1 )(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(−16 −41 −13 48 )

O3 P=(0 8 −1 1 )(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)= (−30 31 13 1 )

O4 P= (7 −2 0 5 )(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(−1 −3 21 −35 )

97

∴OP=(O1

⋯O2

⋯O3

⋯O4

)P=(O1 P⋯

O2 P⋯

O3 P⋯

O4 P)=(

31⋯

−16

−10⋯

−41⋯ ⋯

−5⋯

−13

−27⋯48

⋯ ⋯−30 31⋯−1

⋯−3

13 1⋯21

⋯−35

)OP=(

2⋯1

−5⋯

−7⋯ ⋯

3⋯

−6

4⋯

−1⋯ ⋯

0 8⋯7

⋯−2

−1 1⋯0

⋯5

)(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(31⋯

−16

−10⋯

−41⋯ ⋯

−5⋯

−13

−27⋯48

⋯ ⋯−30 31⋯

−1⋯

−3

13 1⋯21

⋯−35

)OP=(

2 −51 −7

3 4−6 −1

0 87 −2

−1 10 5

)(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(31 −10

−16 −41−5 −27−13 48

−30 31−1 −3

13 121 −35

)Al calcular la expresión anterior NM con el software MATHCAD se obtiene:

Que confirma el resultado.

Ya se comentó que el producto de matrices donde participa la matriz identidad es conmutativo. La matriz identidad es una matriz cuadrada en la que se tiene el mismo número de renglones que de columnas; tiene 1 en la diagonal principal y 0 en el resto de la matriz. Veamos un ejemplo:

Matriz Identidad de 4 x 4: I 4=(1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

) Puede llevar o no un subíndice.

Sólo lleva un subíndice porque siempre es cuadrada. Al multiplicar la matriz P con la matriz identidad, da la misma matriz P, sin importar el orden de la multiplicación. Compruebe las siguientes igualdades, usando la representación matricial por columna del producto. Verifique: internos, externos y cálculos de las siguientes multiplicaciones:

98

17. Si P=(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)I 4=(1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

) Demuestre que P I 4=P e I 4 P=P

P I 4=(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)(1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

)=(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=P

Al calcular la expresión anterior P I 4 con el software MATHCAD se obtiene


I 4 P=(1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

)(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=(−1 0−3 4

5 −62 −1

6 20 1

1 −8−2 1

)=P

Al calcular la expresión anterior I 4 P con el software MATHCAD se obtiene:


Lo anterior nos muestra que la matriz identidad es equivalente al 1 en la multiplicación, ya que P I 4=I 4 P=P y (a )(1)=(1) (a )=a.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Sumas y restas de matrices. Producto por un escalar.

1. Sea A=(−91

−3) , B=(−5−42 ), C=( 0

−7−8) ,0=(0

00), a=−3 b=4. Calcule:

(a) A+B=B+ A (b) ( A+B )+C=A+ (B+C ) (c) A+0=A (d) A+(−A )=0

(e) a ( A+B )=aA+aB (f) (a+b ) A=aA+bA (g) a (bA )= (ab ) A (h) 1 A=A

99

2. Sea A=(−8−312 ) , B=( 4

−17 ) , C=( 9

0−5) , D=(−23

−9−2

635), E=( 9

8−7

2−1−11)

F=(2557

−6

14 −2 4 ) , G=(−1−12

21

−4 −5 −3) , H=(−16 −1 19

534

−6

23 −523

) , K=(6 −5 −123

46

5

4 −2 −3)

Calcule:

(a) A+B=B+ A (b) −A−B=¿ (c) 2 D+3 E=¿ (d) −34

D−4 E=¿ (e) C+ D=¿

(f) B+E=¿ (g) 12

F+ 13

G=¿ (h) −2 F−3G=¿ (i) G+H=¿ (j) 12

H +3 K=¿

(k) 4 H+25

K=¿ (l) 2 A+3 B+4C=¿ (m) −4 A−5 B−23

C=¿

(n) −12

A+2 B−14

C=¿ (ñ) −12

A+ 13

B−14

C=¿

3. Ecuaciones Matriciales.

Sean A=(5 −71 3 ) ,B=( 2 8

−4 6) , 0=(0 00 0)

(a) Si 4 X+2B=5 A encuentre X (b) Si −2 X−4 B−7 A=0 encuentre X .

4. Producto escalar.

Sea a=( 0−85 ), b=(−4

−710 ) y c=( 1

3−6) Calcule:

(a) (2a ) ∙ (−6 c )=¿ (b) (5b ) ∙ (3 a−8 c )=¿ (c) ( 23

a−4 b) ∙(5 a+ 54

c )=¿

5. Multiplicación de matrices. Anote para las siguientes matrices si las multiplicaciones indicadas se pueden hacer y el tamaño de la nueva matriz:

100

Sea A=( 52

−8

−146 ) , B=(−4

073

−18

−9−2) ,C=( 4

1−2), D=(−15

−7−1

956) ,E=( 7

0−2

3−4−18)

F=(11125

−8

12 −1 0 ), G=(−3−75

10

−6 −2 −9) , H=(−18 −2 19

127

−8

12 −734

) , K=(2 −3 −449

12

0

6 −5 −1)

(a) AB (b )CD (c ) EF (d ) FE (e ) FG ( f ) GH ( g ) HH (h ) KK=k2(i) KKK=k3

6. Calcule las multiplicaciones que se pueden realizar del ejercicio 5, incisos (a) a (i ) .

7. Para la matriz A=(−3 4−1 2). Calcule: A2 , A3 , f ( A ) , donde f ( x )=2 x3+3 x2−4 x−7

Nota: Si multiplicamos A A2 , también se obtiene el mismo resultado. Compruébelo

8. Para la matriz B=(5 40 −7). Calcule: B2 , B3 , g ( B ) , donde g ( x )=−3 x2+5 x−9

Nota: Si multiplicamos B B2 , también se obtiene el mismo resultado. Compruébelo.

9. Sea A=(−5 83 0) ,B=( 2 −9

−6 1 ) ,C=( 11 −1−2 −7) Calcule:

(a) ( AB )C=A ( BC ) (b) A ( B+C )=AB+ AC (c) ( A+B ) C=AC +BC

10. Multiplicación por bloques.

Sea M=(0 −11 −3

2 3−1 4

3 1−2 −3

−2 2−4 0

)N=(1 0

−2 14 −20 −4

−5 4−2 5

2 −25 0

)(a) Calcule MN dividiendo en 4 submatrices de 2 x2 cada matriz.

(b) Determine MN dejando la primera matriz como está y en la segunda matriz use como submatrices las columnas.

(c) Obtenga MN dejando la segunda matriz como está y en la primera matriz use como submatrices los renglones.

101

11. Si P=(−3 1−2 3

3 −41 −8

0 04 0

4 −2−5 −7

) I 4=(1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

) Demuestre que P I 4=P e I 4 P=P

2.3 Clasificación de las matrices.

Triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, involutiva, transpuesta, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermítiana, ortogonal.

Matriz triangular superior. Una matriz triangular superior es aquella matriz cuadrada de n x n (n renglones y n columnas) que tiene ceros abajo de la diagonal principal. En una matriz de n x n la diagonal principal inicia en a11 , sigue en a22 , …, ann.

(a11

0¿

a22

⋮0

⋮0

⋯⋯

¿¿

⋱⋯

⋮ann

)

Otra definición es que A=(aij ) donde a ij=0 si i> j.

1. Veamos cuatro ejemplos:

(4 90 2)(−2 5 7

0 1 80 0 6)(

6 110 −2

0 5−2 3

0 00 0

−4 90 2

)(5 4 9 8 40 2 1 0 −7000

000

500

670

946

) En las matrices anteriores se puso en un cuadrito las entradas de la diagonal principal. La diagonal secundaria tiene los números 7 ,1 y 0 en la segunda matriz.

Matriz triangular inferior. Una matriz triangular inferior es aquella matriz cuadrada de n x n (n renglones y n columnas) que tiene ceros arriba de la diagonal principal.

(a11

¿0

a22

⋮¿

⋮¿

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

)

Otra definición es que A=(aij ) donde a ij=0 si i< j


102

(5 08 3)(8 0 0

6 −4 00 2 −3)(

7 02 −4

0 00 0

5 39 −5

−3 00 8

)(7 0 0 0 04 3 0 0 0053

169

8−2−4

01

−5

003)

Están en cuadrito las entradas de la diagonal principal.

Matriz diagonal. Una matriz diagonal es aquella matriz cuadrada de n x n (n renglones y n columnas) que tiene ceros arriba y abajo de la diagonal principal.

(a11

00

a22

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

)

Otra definición es que A=(aij ) donde a ij=0 si i≠ j.


(4 00 −2)(7 0 0

0 −1 00 0 −9)(

2 00 8

0 00 0

0 00 0

−4 00 −6

)(9 0 0 0 00 −3 0 0 0000

000

500

020

008)

Matriz escalar. Una matriz escalar es aquella matriz cuadrada de n x n (n renglones y n columnas) que tiene ceros arriba y abajo de la diagonal principal y en la diagonal principal tiene el mismo escalar.

(a0

0a

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮a)

Otra definición es que A=(aij ) donde {aij=0 si i≠ jaij=asi i= j


(−3 00 −3)(7 0 0

0 7 00 0 7)(

−2 00 −2

0 00 0

0 00 0

−2 00 −2

)(8 0 0 0 00 8 0 0 0000

000

800

080

008)

Matriz identidad. Una matriz identidad es aquella matriz cuadrada I n de n x n (n renglones y n columnas) que tiene ceros arriba y abajo de la diagonal principal y en la diagonal principal tiene el número 1.

103

(10

01

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮1)

Otra definición es que A=[aij ] donde {a ij=0 si i≠ jaij=1 si i= j


I 2=(1 00 1) I 3=(1 0 0

0 1 00 0 1)I 4=(

1 00 1

0 00 0

0 00 0

1 00 1

)I 5=(1 0 0 0 00 1 0 0 0000

000

100

010

001)

Esta matriz es muy importante ya que es el equivalente del número 1 en la multiplicación de números ya que 1 ∙ a=a ∙1=a, en matrices AI=IA=A , que ya se vió en la multiplicación (P I 4=I 4 P=P ).

Matriz potencia. Una matriz potencia es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) que está multiplicada por sí misma, 1 , ó 2 , ó 3 , …,ó n veces. Así se tiene que A2=AA, A3 ¿ A2 A=AAA , A4 ¿ A3 A ¿ A2 A2=AAAA . Lo anterior se puede generalizar para k entero positivo como: Ak=AA … A donde A son k factores. Esto permite definir A0=In , donde I n es la matriz identidad y A1=A .

6. Veamos ejemplos de n x n:

Anxn0=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)0

=(10

01

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮1)=I n Esta es la matriz Identidad de n x n

Anxn1=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)1

=(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)=Anxn

Anxn2=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)2

¿ Anxn Anxn=(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)

104

Anxn3=Anxn

2 Anxn=(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)2

(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)Anxn

3 ¿ Anxn Anxn Anxn=(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

) Las propiedades que siguen proceden de las definiciones señaladas. Si A es una matriz cuadrada y q y r son enteros positivos, entonces:

Aq A r=Aq+r y ( Aq )r=Aqr

7. Veamos ejemplos de potencias de una matriz de 2 x2:

Si A=(1 11 1) A2=AA=(1 1

1 1)(1 11 1)=(2 2

2 2)A3 ¿ A2 A=(2 22 2)(1 1

1 1)=(4 44 4)

A4¿ A3 A=(4 44 4 )(1 1

1 1)=(8 88 8)A5¿ A4 A=(8 8

8 8)(1 11 1)=(16 16

16 16)A6 ¿ A5 A=(16 16

16 16)(1 11 1)=(32 32

32 32) Verifique todas las multiplicaciones.

Y en general An=(2n−1 2n−1

2n−1 2n−1) para todo n ≥ 1

Calcule A2 A3=A2+3=A5 para A=(1 11 1)

A2 A3=(2 22 2)(4 4

4 4 )=(16 1616 16) pero A

5=(16 1616 16)∴A2 A3=A2+3=A5=(16 16

16 16)Calcule ( A2)3

=A2 ⋅3=A6 para A=(1 11 1)

Se tiene que ( A2)3=A2 A2 A2=A4 A2=(8 8

8 8)(2 22 2)=(32 32

32 32) pero A6=(32 32

32 32)∴ ( A2 )3=A6=(32 32

32 32) Verifique todas las multiplicaciones.

105

Matriz periódica. Una matriz periódica es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) que cumple con la siguiente ecuación: Ak+1=A, donde k es el menor número entero y positivo. Entonces se dice que la matriz A tiene de período a k .

Anxnk+1=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)k+1

=(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)=Anxn

Para una matriz de 3 x3, se tiene:

Ak+1=A(a b cd e fg h i )

k+1

=(a b cd e fg h i ) Se dice que la matriz A tiene de período a k .

8. Veamos un ejemplo de matriz periódica:

Sea A=( 2 −2 −4−1 3 41 −2 −3) Calcule Ak+1=A, para ver si la matriz es periódica, se inicia con:

A2=AA, si no da A se continua con A3=A2 A , si no da A se continua con A4=A3 A .

A2=( 2 −2 −4−1 3 41 −2 −3)

2

=( 2 −2 −4−1 3 41 −2 −3 )( 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3 )=( 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3 ) Verifique.

∴ A2=AA=A A2=Ak+1=A1+1=AA=A la matriz es periódica con período k=1.

Al calcular la expresión anterior A2=AA con el software MATHCAD se obtiene:


Matriz nilpotente.

Una matriz nilpotente es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) diferente de cero que cumple con la siguiente ecuación: AP=0, donde P es un número entero y positivo. El 0 es la matriz nula, porque todas sus entradas son cero. La matriz A es nilpotente de índice P ó de orden P.

106

An x nP=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)P

=(00

00

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮0)

9. Determine el índice de nilpotencia de A .

A=( 1 1 35 2 6

−2 −1 −3)A2=AA=( 1 1 3

5 2 6−2 −1 −3)( 1 1 3

5 2 6−2 −1 −3)=( 0 0 0

3 3 9−1 −1 −3) Verifique cálculos.

A3=A2 A=( 0 0 03 3 9

−1 −1 −3)( 1 1 35 2 6

−2 −1 −3)=(0 0 00 0 00 0 0) A es una matriz nilpotente de índice 3.

Al calcular A2=AA y A3=A2 A con el software MATHCAD se obtiene:

Que confirma nuestros resultados.

Matriz idempotente. Una matriz idempotente es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) que cumple con la siguiente ecuación: Ak+1=A, donde k=1 y A2=A, es decir, da la misma matriz A, al multiplicar AA .

Anxn2=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)2

=(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)Anxn

2=(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an 2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)=(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an 2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)=Anxn

107

10. Determine si la matriz A es idempotente.

A=(23

13

23

13)

A2=(23

13

23

13)

2

=(23

13

23

13)(

23

13

23

13)=(

23

13

23

13)=A La matriz A es idempotente.

Al calcular A2=AA con el software MATHCAD se obtiene:


Matriz involutiva.Una matriz involutiva (involutoria) es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) que al ser multiplicada por ella misma se obtiene la matriz identidad. A2=AA=I n.

Anxn2=(

a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an2

⋯⋯

a1n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)2

=(a11

a21

a12

a22

⋮an1

⋮an2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)(a11

a21

a12

a22

⋮an 1

⋮an 2

⋯⋯

a1 n

a2n

⋱⋯

⋮ann

)Anxn

2=(10

01

⋮0

⋮0

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮1)=I n

11. Determine si la matriz A es involutiva.

A=(0 1 −14 −3 43 −3 4 )

108

A2=(0 1 −14 −3 43 −3 4 )

2

=(0 1 −14 −3 43 −3 4 )(0 1 −1

4 −3 43 −3 4 )=(1 0 0

0 1 00 0 1)=I3

Verifique cálculos. La matriz A si es involutiva.

Al calcular A2=AA con el software MATHCAD se obtiene:


Matriz transpuesta. Una matriz transpuesta AT de n x m se obtiene cuando a la matriz A de m xn se le intercambian renglones por columnas.

A=(a11

a21

a12

a22

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮amn

)AT=(a11

a21

a12

a22

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮amn

)T

=(a11

a12

a21

a22

⋮a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

am1

am2

⋱⋯

⋮anm

)

Como ecuación se tiene ( AT )ij=( A ) ji . Donde el elemento en el renglón i y la columna j de AT es el elemento en el renglón j y la columna i de A.

12. Obtenga las matrices transpuestas de:

A=(3 70 5)AT=(3 7

0 5)T

=(3 07 5) Se tiene: a11=3 , a22=5 en las dos matrices

Observe que los renglones de A son las columnas de AT y las columnas de A son los renglones de AT . Es conveniente ver que las entradas de la diagonal principal en las matrices cuadradas son las mismas.

B=(3 2 −1 56 8 −3 4)BT=(3 2 −1 5

6 8 −3 4)T

=(32

68

−1 −35 4

) b11=3 , b22=8 , en las 2 matrices

C=(8 −3 71 2 −50 4 6 ) C

T=(8 −3 71 2 −50 4 6 )

T

=( 8 1 0−3 2 47 −5 6)

109

D=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34) DT=(c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34)

T

=(c11 c21 c31

c12 c22 c32

c13

c14

c23

c24

c33

c34

)

E=(−1 0−3 4

5 −613 −1

11 72 9

1 −8−2 3

) ET=(

−1 0−3 4

5 −613 −1

11 72 9

1 −8−2 3

)T

=(−1 −30 4

11 27 9

5 13−6 −1

1 −2−8 3

)Propiedades de la operación transpuesta.

1.- ( AT )T=A2.- ( B+C )T=BT+CT

3.- (kC )T=k CT donde k es un escalar4.- ( BC )T=CT BT

13. Vamos a comprobar las 4 Propiedades:

Sea A=(3 70 5)AT=(3 7

0 5)T

=(3 07 5)B=( 2 −3

−1 4 )BT=( 2 −3−1 4 )

T

=( 2 −1−3 4 )

C=(−4 8−6 9)CT=(−4 8

−6 9)T

=(−4 −68 9 ) k=−4

1.- ( AT )T=A ( AT )T=(3 07 5)

T

=(3 70 5)=A

2.- ( B+C )T=BT+CT

( B+C )T=[( 2 −3−1 4 )+(−4 8

−6 9)]T

=(−2 5−7 13)

T

=(−2 −75 13 )

BT+CT=( 2 −3−1 4 )

T

+(−4 8−6 9)

T

=( 2 −1−3 4 )+(−4 −6

8 9 )=(−2 −75 13 )

∴ ( B+C )T=BT +CT=(−2 −75 13 )

3.- (kC )T=k CT

110

(kC )T=[−4(−4 8−6 9)]

T

=(16 −3224 −36)

T

=( 16 24−32 −36)

k CT=−4 (−4 8−6 9)

T

=−4(−4 −68 9 )=( 16 24

−32 −36)∴ ( kC )T=k CT=( 16 24

−32 −36)4.- ( BC )T=CT BT

( BC )T=[( 2 −3−1 4 )(−4 8

−6 9)]T

=( 10 −11−20 28 )

T

=( 10 −20−11 28 )

CT BT=(−4 8−6 9)

T

( 2 −3−1 4 )

T

=(−4 −68 9 )( 2 −1

−3 4 )=( 10 −20−11 28 )

∴ ( BC )T=CT BT=( 10 −20−11 28 )

Matriz simétrica. Una matriz simétrica es aquella matriz cuadrada A de n x n (n renglones y n columnas) en la que se cumple la ecuación AT=A , esto es, que A sea igual a su propia transpuesta. En estas matrices se cumple a ij=a ji para toda i y j. Una propiedad de la matriz simétrica es que es su propia imagen en un espejo con respecto a la diagonal principal. Otra forma de definir la matriz simétrica es que sus renglones son iguales a sus columnas.

A=[ a11

a12

a12

a22

⋮a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

] AT=(a11

a12

a12

a22

⋮a1 n

⋮a2n

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

) Como A=AT se tiene:

(a11

a12

a12

a22

⋮a1 n

⋮a2n

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮ann

)=(a11

a12

a12

a22

⋮a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

a1n

a2n

⋱⋯

⋮ann

) Vea los subíndices y la imagen.

14. Verifique si las siguientes matrices son simétricas:

A=(1 66 4)AT=(1 6

6 4 ) Como AT=A=(1 6

6 4) Si es simétrica

111

Observe que a12=a21=6 y las entradas de la diagonal principal (en cuadrito) son iguales en A y AT . Imagine un espejo en la diagonal principal y verifique la imagen.

B=( 4 −2 8−2 3 98 9 7)BT=( 4 −2 8

−2 3 98 9 7) Como B

T=B=( 4 −2 8−2 3 98 9 7)

Si es simétrica, observe que: a12=a21=−2 , a13=a31=8 y a23=a32=9 . Imagine un espejo en la diagonal principal y verifique la imagen. Repita para C.

C=(−1 77 3

11 −9−4 15

11 −4−9 15

2 −8−8 5

) CT=(−1 77 3

11 −9−4 15

11 −4−9 15

2 −8−8 5

)Como C

T=C=(−1 77 3

11 −9−4 15

11 −4−9 15

2 −8−8 5

)Si es simétrica, verifique a ij=a ji

Para obtener una matriz simétrica se escribe una matriz arbitraria D del tamaño que se desee, enseguida determine la matriz transpuesta DT , la suma D+DT es la matriz simétrica.

Sea D=(−1 −2 65 8 40 −9 7)DT=(−1 5 0

−2 8 −96 4 7 )

D+DT=(−1 −2 65 8 40 −9 7 )+(−1 5 0

−2 8 −96 4 7 )=(−2 3 6

3 16 −56 −5 14 ) Si es matriz simétrica.

Matriz antisimétrica Una matriz antisimétrica es aquella matriz cuadrada A de n x n en la que se cumple la ecuación AT=−A , esto es, que −A sea igual a su propia transpuesta. Una característica de la matriz antisimétrica es que la diagonal principal solo puede tener0.

A=(0

−a12

a12

0⋮

a1n

⋮−a2 n

⋯⋯

−a1 n

a2n

⋱⋯

⋮0

) AT=(0

a12

−a12

0⋮

−a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

a1 n

−a2n

⋱⋯

⋮0

)

112

−A=−(0

−a12

a12

0⋮

a1n

⋮−a2 n

⋯⋯

−a1 n

a2 n

⋱⋯

⋮0

)=(0

a12

−a12

0⋮

−a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

a1 n

−a2 n

⋱⋯

⋮0

)AT=−A=(

0a12

−a12

0⋮

−a1 n

⋮a2 n

⋯⋯

a1n

−a2 n

⋱⋯

⋮0

) Vea los subíndices, los signos y la imagen.

En estas matrices se cumple a ij=−a ji para toda i y j.

15. Verifique si las siguientes matrices son antisimétricas:

A=(0 −44 0 )−A=−(0 −4

4 0 )=( 0 4−4 0)AT=( 0 4

−4 0)

Como AT=−A=( 0 4

−4 0) Si es antisimétrica. Observe que a12=−4 y a21=4 en la matriz A y todas las

entradas de la diagonal principal son 0.

B=( 0 7 3−7 0 −1−3 1 0 ) En cuadrito la imagen en el espejo, con signo contrario.

−B=−( 0 7 3−7 0 −1−3 1 0 )=(0 −7 −3

7 0 13 −1 0 )BT=(0 −7 −3

7 0 13 −1 0 )

Como BT=−B=(0 −7 −3

7 0 13 −1 0 ) Si es antisimétrica, vea que b12=7 yb21=−7.

C=(0 4

−4 08 −5

−2 −1−8 25 1

0 3−3 0

)−C=−(0 4

−4 08 −5

−2 −1−8 25 1

0 3−3 0

)=(0 −44 0

−8 52 1

8 −2−5 −1

0 −33 0

) CT=(

0 −44 0

−8 52 1

8 −2−5 −1

0 −33 0

) Como CT=C=(

0 −44 0

−8 52 1

8 −2−5 −1

0 −33 0

) Si es antisimétrica

113

Verifique a ij=−a ji en B y C. Para construir una matriz antisimétrica sólo se necesita crear una matriz arbitraria A , del tamaño que se desee y efectuar la resta A−AT .

Sea A=( 7 −5 −89 −1 4

11 6 2 ) Comprobemos que A−AT es una matriz antisimétrica.

A−AT=( 7 −5 −89 −1 4

11 6 2 )−( 7 9 11−5 −1 6−8 4 2 )=( 0 −14 −19

14 0 −219 2 0 ) Si es antisimétrica.

Matriz compleja. Una matriz compleja A de m xn es aquella que tiene como entradas números complejos, de la forma z=a+bi. Puede ser de cualquier tamaño. Veamos algunos ejemplos:

A=(3+i −2 i8 4−5 i)B=(1−2 i 3−i

5−6 i 4 i )C=( 4+i 3 i1−5 i 2

−6+2 i 1−i) Las matrices con entradas complejas cumplen con las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices con números reales.

16. Efectúe las siguientes operaciones: A+B ,B−A ,2 B , (2−i ) A ,CA .

A+B=(3+i −2i8 4−5 i)+(1−2 i 3−i

5−6 i 4 i )=( (3+i )+ (1−2 i) (−2i )+(3−i )(8 )+ (5−6 i ) (4−5 i )+(4 i ))

A+B=( 4−i 3−3i13−6 i 4−i )

B−A=(1−2 i 3−i5−6 i 4 i )−(3+ i −2 i

8 4−5 i)=[ (1−2 i )−(3+i ) (3−i )−(−2 i )(5−6 i )−(8 ) (4 i )− (4−5 i )]

B−A=(−2−3 i 3+i−3−6 i −4+9 i)

2 B=2(1−2 i 3−i5−6 i 4 i )=( 2−4 i 6−2 i

10−12i 8 i )(2−i ) A= (2−i )(3+i −2i

8 4−5 i)=[ (2−i ) (3+ i ) (2−i ) (−2 i )(2−i ) (8 ) (2−i ) (4−5 i )]

Sólo se resolverá un producto: (2−i ) (3+i )=6+2i−3 i−i2=6−i+1=7−i

114

(2−i ) A=( 7−i −2−4 i16−8 i 3−14 i ) Verifique los demás productos.

CA=( 4+i 3 i1−5i 2

−6+2i 1−i)(3+i −2 i8 4−5 i)=(ca11 ca12

ca21 ca22

ca31 ca32)

CA=[ ( 4+i ) (3+i )+(3 i) (8 ) (4+i ) (−2 i )+(3 i ) (4−5 i )(1−5 i ) (3+i )+ (2 ) (8 ) (1−5 i ) (−2i )+(2 ) (4−5 i )

(−6+2i ) (3+i )+ (1−i ) (8 ) (−6+2i ) (−2i )+(1−i) (4−5 i )]Sólo se resolverá un producto: (4+i ) (3+ i )=12+4 i+3 i+i2=12+7 i−1

(4+i ) (3+ i )=11+7 i ca11=11+7 i+24 i=11+31i

Al calcular CA con el software MATHCAD se obtiene:

Verifique

ca12 , ca21 ,…,ca32

Matriz conjugada A .

Toda matriz compleja A de m xn puede ser una matriz conjugada A si sus entradas son los conjugados de la matriz A. En la primera unidad se vió que el conjugado de un número complejo es aquel al que se le cambia el signo de la parte imaginaria.

17. Para las siguientes matrices obtenga la matriz conjugada:

A=(3+i −2 i8 4−5 i) A=(3+i −2 i

8 4−5 i)=(3+i −2 i8 4−5 i)=(3−i 2 i

8 4+5 i) En las matrices A y A el primer número complejo Z=3+i tiene como conjugado Z=3+i=3−i, donde 3+i indica que se va a obtener el conjugado y 3−i es el conjugado.

B=(6+i −2 1−8 i−5 −7 i 3 i4−i 11 i 14 )

B=( 6+i −2 1−8 i−5 −7 i 3i4−i 11 i 14 )=( 6+i −2 1−8 i

−5 −7 i 3 i4−i 11 i 14 )=(6−i −2 1+8 i

−5 7 i −3 i4+i −11 i 14 )

115

C=(−9 i 8713 i 7−i

2−i 4+3 i8+5 i −2−6 i

−6 i 11−1 32 i

−2+4 i −15 i−22i −i

) C=(−9 i 8713 i 7−i

2−i 4+3 i8+5 i −2−6 i

−6 i 11−1 32 i

−2+4 i −15i−22i −i

)C=(

−9 i 8713 i 7−i

2−i 4+3 i8+5 i −2−6 i

−6 i 11−1 32 i

−2+4 i −15i−22i −i

)=(9i 87

−13 i 7+i2+i 4−3i

8−5i −2+6 i6 i 11−1 −32 i

−2−4 i 15i22i i

)D=(5−2i −10i −4 −9+i

4+4 i 27 16 i −1−i)D=(5−2i −10 i −4 −9+ i4+4 i 27 16 i −1−i)

D=(5−2i −10i −4 −9+i4+4 i 27 16 i −1−i)=( 5+2 i 10 i −4 −9−i

4−4 i 27 −16 i −1+i)Matriz hermitiana. Una matriz compleja A de n x n es hermitiana si AT=A , es decir la matriz transpuesta conjugada es igual a la matriz A , donde a ij=a ji . Pero A¿=AT=A . Las entradas de la diagonal principal sólo pueden ser números reales.

18. Verifique si las siguientes matrices son hermitianas:

A=( −8 −5+3 i−5−3 i 4 ) AT=( −8 −5−3i

−5+3 i 4 )a12=a21=−5−3 i

A¿=AT=( −8 −5−3i−5+3 i 4 )=( −8 −5−3 i

−5+3 i 4 )=( −8 −5+3 i−5−3i 4 )

∴ A¿=A=( −8 −5+3i−5−3 i 4 ) Si es hermitiana, a12=−5+3 i , a21=−5−3 i

B=( −11 i −4+7 i−4−7 i 2+i )BT=( −11i −4−7 i

−4+7 i 2+i )B¿=BT=( −11i −4−7 i

−4+7 i 2+i )=( −11 i −4−7 i−4+7 i 2+i )=( 11 i −4+7 i

−4−7 i 2−i )∴B¿≠ B NO es hermitiana ver b11

¿≠ b11. Observe la diagonal principal de B .

Las matrices A¿=A y B¿≠ B nos confirman que toda matriz hermitiana tiene números reales en la diagonal principal.

116

C=( 2 −5 i 1−8 i5 i 29 −7+3 i

1+8 i −7−3i 34 )CT=( 2 5 i 1+8 i−5i 29 −7−3i

1−8 i −7+3 i 34 )Los números complejos en cuadrito son conjugados en la imagen en el espejo.

C ¿=CT=( 2 5i 1+8 i−5 i 29 −7−3 i

1−8 i −7+3 i 34 )=( 2 5 i 1+8 i−5 i 29 −7−3 i1−8 i −7+3 i 34 )

∴ C¿=C=( 2 −5 i 1−8 i

5i 29 −7+3 i1+8 i −7−3 i 34 ) Si es hermitiana

D=(5 −13 i

13 i −66 i 4+i

8−5 i −2+6 i−6 i 8+5 i4−i −2−6 i

12 −15 i15 i 37

)DT=(5 13 i

−13 i −6−6 i 4−i8+5 i −2−6 i

6 i 8−5i4+i −2+6 i

12 15 i−15 i 37

)

DT=(5 13 i

−13 i −6−6 i 4−i8+5 i −2−6 i

6 i 8−5 i4+ i −2+6 i

12 15i−15 i 37

)DT=(

5 13 i−13 i −6

−6 i 4−i8+5 i −2−6 i

6 i 8−5 i4+ i −2+6 i

12 15 i−15 i 37

)=(5 −13 i

13i −66 i 4+i

8−5i −2+6 i−6 i 8+5i4−i −2−6 i

12 −15 i15 i 37

)D¿=DT=D=(

5 −13 i13 i −6

6 i 4+i8−5 i −2+6 i

−6 i 8+5 i4−i −2−6 i

12 −15 i15 i 37

) Si es hermitiana

Matriz antihermitiana. Una matriz compleja A de n x n es antihermitiana si AT=−A , es decir la matriz transpuesta conjugada es igual a la matriz −A , donde −a ij=a ji . Recordar que A¿=AT=−A . Las entradas de la diagonal principal sólo pueden ser números imaginarios puros.

19. Verifique si las siguientes matrices son antihermitianas:

A=( −5 i 7+2 i−7+2i 9 i )AT=( −5 i 7+2 i

−7+2i 9 i )T

=( −5 i −7+2 i7+2i 9 i )

117

A¿=AT=(−5 i −7+2 i7+2 i 9 i )=( 5 i −7−2 i

7−2 i −9 i )−A=−( −5 i 7+2 i−7+2 i 9 i )

∴ A¿=−A=( 5i −7−2 i7−2i −9 i ) . Si es antihermitiana . En A ,a12=7+2 i , a21=−7+2 i signo

opuesto en 7 (parte real) y signo igual en 2 i (parte imaginaria).

B=(2−9i −6+3 i6+3 i 7 )BT=( 2−9i 6+3 i

−6+3i 7 )B¿=BT=( 2−9 i 6+3 i−6+3 i 7 )

B¿=BT=( 2+9i 6−3i−6−3 i 7 )−B=−(2−9 i −6+3 i

6+3i 7 )=(−2+9 i 6−3 i−6−3 i −7 )

∴B¿≠−B NO es antihermitiana ver diagonal principal; −b11≠ b11¿ y −b22≠ b22

¿.

C=( 33 i −8 i 6+4 i−8 i 20 i −5−3 i

−6+4 i 5−3i 4 i )CT=( 33 i −8 i −6+4 i−8 i 20 i 5−3 i6+4 i −5−3 i 4 i )

C ¿=CT=( 33i −8i −6+4 i−8i 20i 5−3 i6+4 i −5−3 i 4 i )=(−33 i 8 i −6−4 i

8 i −20 i 5+3 i6−4 i −5+3 i −4 i )

−C=−( 33 i −8 i 6+4 i−8 i 20 i −5−3 i

−6+4 i 5−3i 4 i )=(−33 i 8 i −6−4 i8 i −20 i 5+3 i

6−4 i −5+3 i −4 i )∴C ¿=−C=(−33 i 8 i −6−4 i

8 i −20 i 5+3 i6−4 i −5+3 i −4 i ). Si es antihermitiana.

D=(−11 i 2+43 i

−2+43 i 3i4−5i 9+i7+9 i 1+6 i

−4−5 i −7+9 i−9+ i −1+6 i

24 i 78 i78 i −7 i

) DT=(

−11 i −2+43i2+43 i 3 i

−4−5 i −9+ i−7−9 i 1−6 i

4−5i 7+9 i9+i 1+6 i

24 i 78 i78i −7 i

)

118

D¿=DT=(−11 i −2+34 i2+43 i 3i

−4−5 i −9+i−7−9i 1−6 i

4−5 i 7+9 i9+i 1+6 i

24 i 78 i78i 7 i

)D¿=DT=(

11 i −2−43 i2−43 i −3 i

−4+5 i −9−i−7+9 i 1+6 i

4+5 i 7−9 i9−i 1−6 i

−24 i −78i−78 i 7 i

)−D=−(

−11 i 2+43 i−2+43 i 3i

4−5 i 9+i7−9i −1−6 i

−4−5 i −7+9 i−9+ i −1+6 i

24 i 78i78 i −7 i

)−D=(

11 i −2−43 i2−43 i −3 i

−4+5 i −9−i−7+9 i 1+6 i

4+5 i 7−9 i9−i 1−6 i

−24 i −78 i−78 i 7 i

)D¿=DT=−D=(

11 i −2−43 i2−43 i −3 i

−4+5 i −9−i−7+9 i 1+6 i

4+5 i 7−9 i9−i 1−6i

−24 i −78 i−78 i 7 i

) . Si es antihermitiana.

Matriz ortogonal. Una matriz A de n x n se llama ortogonal si A es invertible y A−1=AT , es decir, la matriz Inversa A−1 es igual a la matriz transpuesta AT . Veamos que es la matriz inversa A−1 .

TEOREMA 1. Sea A una matriz de n x n. Se tiene que:

A I n=I n A=A

La matriz Identidad I n deja sin cambio la matriz A, al multiplicarla por la izquierda o la derecha. Ya habíamos comentado que es equivalente al 1 en la multiplicación de números (a ∙1=1 ∙ a=a para todo número real a .¿

Demostración: Sea c ij el elemento ij de A I n. El producto punto de este elemento es:c ij=a i1 i1 j+ai 2i2 j+…+aij i jj+…+a¿ inj. Todos los i, son cero excepto i jj=1.Por lo cual c ij=a ij . En forma similar se demuestra que I n A=A , quedando así demostrado el teorema. No es necesario que I n lleve subíndice ya que el tamaño de A determina el tamaño de I , para que se puedan multiplicar. Por lo que ya no será necesario usarlo.

DEFINICION 1. LA INVERSA DE UNA MATRIZ. Sean A y B dos matrices de n x n . Si

119

AB=BA=I

Entonces B se llama la INVERSA de A y se escribe A−1 , quedando la ecuación como:

A A−1=A−1 A=I

Si la inversa de A existe, entonces se dice que A es invertible, o también No Singular. Una matriz cuadrada que no es invertible se llama Singular.

Si la matriz A tiene inversa se tiene que ( A−1 )−1=A.

Observe que si A−1=AT la matriz A es ortogonal y con A A−1=A−1 A=I que es para cualquier matriz se obtiene: A AT=AT A=I . La matriz A que cumpla la última ecuación es ortogonal. Aun no se ve cómo obtener la matriz inversa A−1, pero es mucho más sencillo tener la matriz transpuesta AT , multiplicar por A, y si da I , es ortogonal.

20. Verifique si las siguientes matrices son ortogonales:

A=( 2 2 −12 −1 2

−1 2 2 )AT=( 2 2 −12 −1 2

−1 2 2 )

AT A=( 2 2 −12 −1 2

−1 2 2 )( 2 2 −12 −1 2

−1 2 2 )=(9 0 00 9 00 0 9)≠ (1 0 0

0 1 00 0 1) No es ortogonal.

Al calcular AT A con el software MATHCAD se obtiene:


B=(1

√2−1

√61

√31√2

1√6

−1√3

02

√61

√3)BT=(

1

√21

√20

−1√6

1√6

2√6

1

√3−1

√31

√3)

120

BT B=(1

√21

√20

−1√6

1√6

2√6

1

√3−1

√31

√3)(

1

√2−1

√61

√31√2

1√6

−1√3

02

√61

√3)=(bT b11 bT b12 bT b13

bT b21 bT b22 bT b23

bT b31 bT b32 bT b33)

Vamos a desarrollar dos elementos del primer renglón, calcule los otros 7 elementos:

bT b11=( 1

√21

√20)(

1

√21√20

)=( 1

√2 )( 1

√2 )+( 1

√2 )( 1

√2 )+ (0 ) (0 )

bT b11=( 1

√21

√20)(

1

√21√20

)= 1∙ 1

√2∙√2+ 1∙1

√2∙√2= 1

√2 ∙2+ 1

√2 ∙2= 1

√4+ 1

√4=1

2+ 1

2

bT b11=( 1

√21

√20)(

1

√21√20

)=1

bT b12=( 1

√21

√20)(

−1

√61√62

√6)=( 1

√2 )(−1

√6 )+( 1

√2 )( 1

√6 )+(0 )( 2

√6 )

bT b12=( 1

√21

√20)(

−1

√61√62

√6)= 1∙−1

√2 ∙√6+

1 ∙1

√2∙√6=

−1

√12+

1

√12=0

121

Al calcular BT B con el software MATHCAD se obtiene:

Si es matriz ortogonal.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Escriba cinco ejemplos de cada una de las siguientes matrices, desde 2 x2, hasta 6 x 6.

(a) Matriz triangular superior (b) Matriz triangular inferior (c) Matriz diagonal

(d) Matriz escalar (e) Matriz identidad

2. Matriz potencia. Si A=( 1 −2−1 2 ) Demuestre que: A

6=( 243 −486−243 486 ) y calcule:

(a) A0 (b) A1 (c) A2=AA (d) A3=A2 A=A A2 (e) A4=A2 A2=A3 A=A A3

(f) A5=A4 A=A3 A2=A2 A3=A A4 (g) A6=A5 A=A4 A2=A3 A3=A2 A4=A A5

3. Matriz periódica. Si A=(1 01 0) y B=( 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3 )

Determine si A ó B es periódica calculando:

(a) A2 (b) A3=A2 A=A A2 (c) A4=A2 A2=A3 A=A A3

(d) B2=BB (e) B3=B2 B=B B2 4. Matriz nilpotente. Determine el índice de nilpotencia de las siguientes matrices.

A=(0 20 0) , B=(0 1 3

0 0 40 0 0 ) ,C=(0 1 1

0 0 10 0 0) , D=(1 5 −2

1 2 −13 6 −3)

5. Matriz idempotente. Determine si las siguientes matrices son idempotentes:

122

A=(1 10 0) , B=( 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3) , C=(

23

13

−13

13

16

−16

−13

−16

16

), I=(1 00 1

,)0=(0 00 0)

6. Matriz involutiva. Determine si las siguientes matrices son involutivas.

A=( 4 3 3−1 0 −1−4 −4 −3) ,B=(−1 0 0

0 −1 00 0 −1) , C=(

−1 00 −1

0 00 0

0 00 0

−1 00 −1

) 7. Matriz transpuesta. (a) Determine la matriz transpuesta de las siguientes matrices.

A=(1 48 9) ,B=(0 −2 3

4 1 −87 9 5 ) , C=(2 −4 0

6 −7 18 −5 3) ,D=(

−3 2−4 6

9 −111 −2

17 32 5

0 −4−4 8

) E=(2 9 −8 0

3 5 −6 1). (b) Determine para B y C: 1. ( BT )T=B. 2. ( B+C )T=BT+CT .

3. (kB )T=k BT donde k=−3 es un escalar. 4. ( BC )T=CT BT .

8. Matriz simétrica. (a) Verifique si las siguientes matrices son simétricas:

A=( 8 −6−6 4 ) , B=( 0 −5 9

−5 2 −19 −1 8 ) ,C=(−4 −1 −7

−1 5 −37 3 0 ) , D=(

−3 22 0

15 −6−7 34

15 −7−6 34

9 −1−1 7

)

(b) Construya una matriz simétrica de 2 x2, a partir de una matriz arbitraria A inicie con 2 x2 , luego una de 3 x3 y termine con 4 x 4. Construya una segunda matriz simétrica de 2 x2, a partir de una matriz arbitraria B inicie con 2 x2 luego una de 3 x3 y termine con 4 x 4. ( NOTA :Ocupa A+ AT paraobtener lamatriz simétrica ) .

(c) Sume cada par de matrices del mismo tamaño del inciso (b) y compruebe que son simétricas.

(d) Compruebe que al multiplicar cada par de matrices simétricas del mismo tamaño del inciso (b) se cumple ( AB )T=BA

123

(e) Construya una matriz arbitraria A inicie con 2 x2 , luego una de 3 x3 y termine con 4 x 4. Compruebe que al multiplicar A AT se obtiene una matriz simétrica.

9. Matriz antisimétrica. Verifique si las siguientes matrices son antisimétricas:

A=(0 −66 0 ) ,B=( 0 2 8

−2 0 −4−8 4 0 ) ,C=( 0 −52 −71

−52 0 −871 8 0 ) , D=(

0 7−7 0

4 −9−8 −6

−4 89 6

0 1−1 0

)(b) Construya una matriz antisimétrica de 2 x2, a partir de una matriz arbitraria A inicie con 2 x2 , luego una de 3 x3 y termine con 4 x 4. Construya una segunda matriz antisimétrica de 2 x2, a partir de una matriz arbitraria B inicie con 2 x2 luego una de 3 x3 y termine con 4 x 4. ( NOTA :Ocupa A−AT para obtener la matriz antisimétrica ) .

(c) Sume cada par de matrices del mismo tamaño del inciso (b) y compruebe que son antisimétricas.

(d) Compruebe que al multiplicar cada par de matrices antisimétricas del mismo tamaño del inciso (b) se cumple ( AB )T=BA 10. Matriz compleja. (a) Calcule A+B ,B−A ,2 B , (2−i ) A ,CA

A=(2+i −3 i5 1+4 i), B=( 2+ i 1+i

3−4 i 2 i ) ,C=( 2−2i 2 i3+i 3

−2+4 i 1+i)(b) Construya 5 matrices complejas, inicie con 2 x2 y termine con 6 x 6.

11. Matriz conjugada A . Para las siguientes matrices obtenga la matriz conjugada.

A=(2−6 i −7−i 3+9 i)B=(7−4 i −23 i −8 −6+3i

5+8 i 14 45 i −3−2 i)C=( 2+5 i −7 2−4 i−9 −5 i 17 i

3−8 i 26 i 22 )D=(

−6 i 3329 i 9−2 i

3−i 2+5 i8+4 i −6−8 i

−7 i −57−8 21 i

−9+7 i −45 i−11 i 5 i

) 12. Matriz hermitiana. (a) Verifique si las siguientes matrices son hermitianas.

A=( −1 −8−9 i−8+9 i 6 ) , B=( −74 i −1−3 i

−1+3i 5+6 i ) , C=( 1 8 i 2+4 i−8i 3 −5−i2−4 i −5+i 12 )

124

D=(1 −24 i

24 i −87 i 9+2 i

1−3i −4+5i−7 i 1+3 i

9−2 i −4−5 i34 −21 i21 i 51

)(b) Construya una matriz hermitiana de 2 x2 , otra de 3 x3 y una de 4 x 4. Recuerde que en la diagonal principal solo hay números reales y que en el espejo de la diagonal principal se ven los números conjugados.

13. Matriz antihermitiana. (a) Verifique si las siguientes matrices son antihermitianas:

A=( −8 i −3+5 i3+5i 2 i ) , B=( 3−2 i 4+7 i

−4+7 i 3 ) ,C=( 10 i −3i −5+8 i−3 i 13 i 7−6 i5+8 i −7−6 i −15 i )

D=(−34 i 3+12 i

−3+12i 6 i6−9i 8+i4−18 i −15−3 i

−6−9 i −4+18 i−8+i −15+3 i

37 i 54 i54 i −2i

) (b) Construya una matriz antihermitiana de 2 x2 , otra de 3 x3 y una de 4 x 4. Recuerde que en la diagonal principal solo hay números imaginarios puros y que en el espejo de la diagonal principal se ven los números complejos cambiados de signo en la parte real.

14. Matriz ortogonal. Verifique si las siguientes matrices son ortogonales:

C=(23

23

−13

23

−13

23

−13

23

23

)=13 ( 2 2 −1

2 −1 2−1 2 2 ), D=(

19

89

−49

49

−49

−79

−89

19

49

)Sugerencia, como C está en tercios, factorice a toda la matriz

13

, resultando entonces 13

C , pero con la

matriz C con números enteros, multiplique 13

C13

CT=19

C CT, multiplicando al final

19

por el producto

C CT. Haga lo mismo con D .

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

DEFINICIÓN 1

Matriz elemental Una matriz (cuadrada) E de n × n se llama matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, I n de n × n mediante una sola operación elemental con renglones.

125

Notación. Una matriz elemental se denota por, E o por cRi, R j+c Ri o por Pij según la forma en la que se obtuvo de I , en este caso Pij es la matriz obtenida al intercambiar los renglonesi y jdeI .

Veamos ejemplos de tres matrices elementales. Obtenga tres matrices elementales de 3 ×3.

i. [1 0 00 1 00 0 1 ] R2 →7 R2

→ [1 0 0

0 7 00 0 1 ]=7 R2

Matriz obtenida multiplicando el segundo renglón de I por 7.

ii. [1 0 00 1 00 0 1 ] R3 → R3−6 R1

→ [ 1 0 0

0 1 0−6 0 1]=R3−6 R1

Matriz obtenida multiplicando el primer renglón de I por −6 y sumándolo al tercer renglón.

iii. [1 0 00 1 00 0 1 ] R1⇄R3

→ [0 0 1

0 1 01 0 0 ]=P13

Matriz obtenida permutando el primero y tercer renglones de I .

TEOREMA 1 Para realizar una transformación elemental por renglón en una matriz A, se multiplica A por la izquierda por la matriz elemental adecuada.

Veamos tres ejemplos de operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales.

Sea A=[4 5 32 7 60 3 −8

49

−2] . Realice las siguientes transformaciones elementales con los renglones de A

multiplicando a la matriz A por la izquierda por la matriz elemental adecuada.

i. Multiplique el segundo renglón por 7.ii. Multiplique el primer renglón por −6 y súmelo al tercer renglón.

iii. Permute el primero y tercer renglones.

Como A es una matriz de 3 × 4, cada matriz elemental E debe ser de 3 ×3, ya que E debe ser cuadrada y multiplicar a A por la izquierda. Se usan aquí los resultados de los ejemplos de matrices elementales.

(7 R2 ) A=[1 0 00 7 00 0 1][4 5 3

2 7 60 3 −8

49

−2]=[ 4 5 314 49 420 3 −8

463−2]

126

( R3 –6 R1) A=[ 1 0 00 1 0

−6 0 1] [4 5 32 7 60 3 −8

49

−2]=[ 4 5 32 7 6

−24 −27 −26

49

−26]( P13 ) A=[0 0 1

0 1 01 0 0 ][4 5 3

2 7 60 3 −8

49

−2]=[0 3 −82 7 64 5 3

−294 ]

Observe con cuidado lo sucedido en las tres multiplicaciones anteriores.

La primera multiplicación de matrices dió como resultado que el segundo renglón de A quedara multiplicado por 7 , es decir, la matriz elemental le pasó su modificación con respecto a la matriz identidad a la matriz A .

La segunda multiplicación de matrices dió como resultado que el tercer renglón de A quedara como el renglón 3 menos 6 veces el renglón 1 , es decir, nuevamente la matriz elemental le pasó su modificación con respecto a la matriz identidad a la matriz A .

La tercera multiplicación de matrices dió como resultado que los renglones uno y tres de A quedaran intercambiados, es decir, otra vez la matriz elemental le pasó su modificación con respecto a la matriz identidad a la matriz A .

Considere los siguientes productos, con c ≠ 0.

[1 0 00 c 00 0 1 ][1 0 0

01c

0

0 0 1]=[1 0 0

0 1 00 0 1][1 0 0

01c

0

0 0 1][1 0 0

0 c 00 0 1]=[1 0 0

0 1 00 0 1 ](1)

[1 0 00 1 0c 0 1 ][ 1 0 0

0 1 0−c 0 1]=[1 0 0

0 1 00 0 1][ 1 0 0

0 1 0−c 0 1][1 0 0

0 1 0c 0 1]=[1 0 0

0 1 00 0 1 ](2 )

[0 0 10 1 01 0 0 ][0 0 1

0 1 01 0 0 ]=[1 0 0

0 1 00 0 1] [0 0 1

0 1 01 0 0] [0 0 1

0 1 01 0 0]=[1 0 0

0 1 00 0 1](3)

Compruebe que se cumplen cada una de las seis multiplicaciones anteriores.

Las ecuaciones(1 ) , (2 ) y (3 ) sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su inversa es del mismo tipo, ya que cumplen con E E−1=E−1 E=I , que equivale a A A−1=A−1 A=I .

Es evidente que si se realizan operaciones R j→ R j+c Ri ;seguida de R j → R j−c Risobre la

matriz A , é sta no cambia . Tambié n , R i→ c Ri seguida de R i→1c

R i ,deja lamatriz A sin cambio y la

127

permutade losmismos dos renglones dos veces deja la matriz A igual que al inicio. Se tiene entonces que

(cR i )−1=1

cRi (4 )

( R j+cRi )−1=R j−cR i(5)

( Pij )−1=Pij (6)

La ecuación (6) indica que: Toda matriz de permutación elemental es su propia inversa.

La siguiente tabla nos muestra las tres operaciones que existen en matrices elementales E .

Matriz elemental tipo E

Efecto de multiplicar A por la izquierda porE

Representación simbólica de las operaciones elementales

Al multiplicar por la izquierda, E−1 hace lo siguiente

Representación simbólica de la operación inversa

MultiplicaciónMultiplica el renglón i de A porc ≠ 0

c Ri

Multiplica el renglón i

de A por1c

1c

Ri

SumaMultiplica elrenglón i de A por c y lo suma al renglón j

Rj+cRiMultiplica el renglón i de A por −c y lo suma al renglón j

Rj−cRi

PermutaciónIntercambia los renglones i y j de A

PijIntercambia los renglones i y j de A

Pij

TEOREMA 2 Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz del mismo tipo. Nota. El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspección. No es necesario hacer cálculos.

Escalonamiento de una matriz.

Vamos a realizar el escalonamiento de una matriz iniciando con ( A ) reduciendo por renglones→

(I ).Lo anterior significa que la matriz A se va a reducir por los renglones hasta llegar a la matriz identidad. Para reducir la matriz ( A ) se usan los mismos 3 pasos que ya vimos en las matrices elementales. 1.- Multiplicar (o dividir) todo un renglón, (para que no se altere) por un número c diferente de cero, sirve para hacer 1 pivote. Se escribe Ri → c Ri, significa reemplaza el renglón Ri por c Ri.2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, sirve para hacer cero (0). Se escribe R j→ R j+c Ri significa remplaza el renglón R j por R j+c Ri.

128

3.- Intercambiar dos renglones, (se usa para tener un 1 pivote ó un cero). Se escribe Ri⇄R j, significa reemplaza el renglón Ri por R j.

Sea A=(3 24 3) Calcule I usando ( A ) reduciendo por renglones

→(I ) .

(3 24 3)R1 →

13

R1

→(1

23

4 3 )R2→ R2−4 R1→ (1

23

013)R2→ 3 R2

→ (1 23

0 1 )R1→ R1−23

R2

→

(1 00 1)

4 3123

−4−8

30−2

3

0 13

1 0

La última matriz es la matriz escalonada de la matriz A . Sea A=(1 −2 2

2 −3 61 1 7) Calcule I usando ( A ) reduciendo por renglones

→(I ) .

(1 −2 22 −3 61 1 7)R2 → R2−2 R1

→ (1 −2 20 1 21 1 7)R3→ R3−R1

→ (1 −2 20 1 20 3 5)R3→ R3−3 R2

→ (1 −2 20 1 20 0 −1)

2−36 1 17 0 35 −2 4−4 −1 2−2 0−3−6 0 12 0 35 0 0−1

R3 →−R3→ (1 −2 2

0 1 20 0 1)R2→ R2−2 R3

→ (1 −2 20 1 00 0 1)R1 → R1−2R3

→ (1 −2 00 1 00 0 1)R1→ R1+2R2

→ (1 0 00 1 00 0 1)

0 12 1−22 1−20 0 0−2 0 0−2 0 20 0 10 1−20 1 00

La última matriz es la matriz escalonada de la matriz A . Rango de una matriz. Para obtener el rango de una matriz se ocupa hacer el escalonamiento de la matriz y cuando se concluya el proceso, se cuentan los unos pivotes que tiene la

129

matriz escalonada. Los unos pivotes de una matriz escalonada lo forman el primer uno de cada renglón. Así tenemos que en los dos ejemplos anteriores la primera matriz tuvo dos unos pivotes, por lo que su rango es dos. La segunda matriz A tuvo tres unos pivotes por lo que su rango es tres. Determine el rango de las siguientes matrices. Recuerde que primero debe hacer el escalonamiento, y que el primer paso es hacer uno pivote en la posición a11 , con el uno pivote nos ayudamos para hacer ceros hacia abajo. A=( 6 −8

−12 16 )B=(4 −3 57 −9 68 −6 10)C=( 4 −2 3

−8 4 −612 −6 9 )


1. Use el procedimiento ( A ) reduciendo por renglones→

(I ) para escalonar las siguientes matrices.

A=(8 56 3) , B=(2 −3

4 −5) ,C=(−2 −5 4−3 −3 6−4 1 8) , D=(2 −1 0

3 −2 84 0 6) , E=(1 0 −1

0 3 −106 9 −2 ) ,

F=(−3 1 015 −5 −8−9 3 −4)

2. Determine el rango de las matrices del punto 1.2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. Antes de ver el cálculo de la inversa es necesario ver algunos conceptos y establecer la importancia y aplicación de la inversa de una matriz. Toda matriz invertible (que tenga inversa) es cuadrada y NO Singular. Una matriz que no sea invertible es singular.

TEOREMA 1. Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única. Demostración. Supongamos que A tiene dos inversas B y A−1 . Entonces.

A A−1=I =A−1 A y AB=I=BA

Pero con la ley asociativa: A−1=A−1 I=A−1 ( AB )=( A−1 A ) B=IB=B∴ A−1=BY la inversa es única.

Advertencia: No se puede escribir A−1= 1

A ya que NO existe la división entre una matriz.

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas puede ser:

130

8 x1−2 x2+10 x3=86 x1+ x2+3 x3=202 x1+2 x2−2 x3=14

El sistema anterior se puede expresar con matrices como:

(8 −2 106 1 32 2 −2|

82014 ) ó [8 −2 10

6 1 32 2 −2|

82014 ] En esta forma se le llama matriz aumentada.

(8 −2 106 1 32 2 −2) ó [8 −2 10

6 1 32 2 −2] Es la matriz de coeficientes A.

Pero además podemos expresar como matriz las variables y los términos independientes, que junto con la matriz de coeficientes se lee:

x=[x1

x2

x3]b=[ 8

2014 ]A=[8 −2 10

6 1 32 2 −2]

El sistema de ecuaciones se puede expresar como una multiplicación de las matrices ya indicadas:

[8 −2 106 1 32 2 −2] [x1

x2

x3]=[ 8

2014] ó A x=b (Descripción matricial del sistema de ecuaciones).

Verifique que al multiplicar las dos matrices se obtiene:

[8 x1−2x2+10 x3

6 x1+x2+3 x3

2 x1+2 x2−2 x3]=[ 8

2014 ] Vea que las dos matrices son iguales al sistema de ecuaciones.

Multipliquemos por la inversa de una matriz A−1 la ecuación matricial A x=b .

A x=b A−1 ( A x )=A−1b ( A−1 A ) x=A−1 b I x=A−1b x=A−1 b

La última ecuación expresa que la multiplicación de la matriz inversa A−1 por la matriz b nos da la matriz x de las incógnitas, es decir, la solución. Es por esto que nos interesa el estudio de la matriz inversa. Más adelante en otro subtema se resolverá con A−1b=x unos sistemas de ecuaciones.

131

Es conveniente aclarar que n o todas las matrices tienen inversa , por lo que veremos tres ejemplos, uno que si tiene inversa y dos que no. Aprovechamos el primer ejemplo para ver como calcular la inversa.

1. Cálculo de la inversa de una matriz de 2 x2. Sea A=(3 24 3) Calcule A−1

Suponer que A−1=(a b

c d) pero A A−1=(3 24 3)(a b

c d )=(3a+2c 3b+2 d4 a+3c 4 b+3 d )=(1 0

0 1) Las matrices anteriores nos llevan al siguiente sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas:

3 a+2 c=1 3 b+2 d=0

4a+3 c=0 4b+3 d=1

Vea que 2 ecuaciones contienen a a y c, mientras que b y d están en las otras dos. Vamos a escribir los dos sistemas en la forma aumentada:

(3 24 3|10) y (3 2

4 3|01)Recordemos que al reducir en renglones, del lado izquierdo se obtiene la matriz identidad y del lado derecho la solución, que para la primera matriz es a, c y b, d para la segunda.

(1 00 1|ac ) y (1 0

0 1|bd)En la primera matriz (a , c ) es la única solución para 3 a+2 c=1 y 4a+3 c=0.En la primera matriz (b , d ) es la única solución para 3 b+2 d=0 y 4b+3 d=0.

Como las matrices de coeficientes (3 24 3) son iguales para las dos matrices aumentadas, es posible

hacer la reducción por renglones sobre ambas al mismo tiempo, con una nueva matriz aumentada.

(3 24 3|1 0

0 1)( A|I )

Si A es invertible, entonces el sistema tiene una solución única y la reducción por renglones da:

(1 00 1|a b

c d) ( I|A−1 )

Vamos a realizar el cálculo de la inversa iniciando con ( A|I ) reduciendo por renglones→

( I|A−1 )

132

Para reducir la matriz ( A|I ) se usan los mismos 3 pasos que ya vimos en el escalonamiento de una matriz.

1.- Multiplicar (o dividir) todo un renglón, (para que no se altere) por un número c diferente de cero, sirve para hacer 1 pivote. Se escribe Ri → c Ri, significa reemplaza el renglón Ri por c Ri.2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, sirve para hacer cero (0). Se escribe R j→ R j+c Ri significa reemplaza el renglón R j por R j+c Ri. 3.- Intercambiar dos renglones, (se usa para tener un 1 pivote ó un cero). Se escribe Ri⇆R j, significa reemplaza el renglón Ri por R j.

2. Sea A=(3 24 3) Calcule A−1 usando ( A|I ) reduciendo por renglones

→( I|A−1 )

(3 24 3|1 0

0 1)R1→13

R1

→(1 2

34 3|

13

0

0 1)R2 → R2−4 R1→ (1

23

013| 1

30

−43

1)R2 →3 R2→

4 3 01

−4−83−4

30

013−4

31

(1 23

0 1|13

0

−4 3)R1→ R1−23

R2

→

(1 00 1| 3 −2

−4 3 ) ∴a=3 , b=−2 , c=−4 , d=3

123

13

0

0−23

83−2

1 03−2

Es decir: (a bc d )=( 3 −2

−4 3 ) pero A A−1=(3 24 3)( 3 −2

−4 3 )=(1 00 1) verifique.

A−1 A=( 3 −2−4 3 )(3 2

4 3)=(1 00 1) verifique.

Como se cumple A A−1=I y A−1 A=I , entonces A es invertible y A−1=( 3 −2

−4 3 )3. Dos matrices que no son invertibles de 2 x2. Demuestre que las siguientes matrices NO son invertibles.

133

0=(0 00 0) y B=(1 3

3 9) La primera matriz no puede tener inversa, ya que no importan los valores de alguna matriz no se puede lograr 0 0−1=I , ya que al multiplicar la matriz 0 con cualquier matriz sólo se obtiene la matriz 0. Esto aplica para cualquier tamaño n x n .

Vamos a suponer que B tiene inversa B−1=(a b

c d ). Al multiplicar B B−1=I se tiene

B B−1=(1 33 9)(a b

c d)=( a+3c b+3 d3 a+9c 3 b+9d )=(1 0

0 1). Al desarrollar la multiplicación obtenemos las ecuaciones:

a+3 c=1 b+3 d=03a+9 c=0

3b+9 d=1

Multiplicando por −3 la ecuación 1 y sumando a la 3 da: 0=−3 , lo que es imposible. Por lo cual NO hay solución, es decir, B−1 no existe y en consecuencia B no es invertible (no tiene inversa). Aun cuando

no es necesario revisar con ( A|I ) reduciendo por renglones→

( I|A−1 ), lo vamos a hacer para confirmar

que B−1 no existe.

(1 33 9|1 0

0 1)R2→ R2−3 R1→

(1 30 0| 1 0

−3 1) Ya no se puede lograr I del lado izquierdo. ¿Por qué?

3 90 1 −3−9−30 0 0−31

Se tiene que: 0=−3 para el sistema de ecuaciones con a y c ó 0=1, para el sistema de ecuaciones con b y d por lo que el sistema es inconsistente y B no es invertible.

Con los ejemplos ya vistos podemos indicar un procedimiento para encontrar la inversa de una matriz.

Procedimiento para encontrar la inversa ( A−1 ) de una matriz cuadrada A

1.- Se anota la matriz aumentada ( A|I ) .2.- Por reducción en los renglones, aplicados tanto a A como a I se modifica la matriz A hasta obtener

la matriz I , logrando así A−1 a la derecha de I . ( A|I ) reduciendo→

( I|A−1 )

3.- Si no llegamos a I del lado izquierdo porque se tenga un renglón de ceros, entonces la matriz A no es invertible (no tiene inversa).

4. Resolvamos otros dos ejercicios de 3 x3.

134

Encuentre la inversa de A=(1 −2 22 −3 61 1 7)( A|I )=(1 −2 2

2 −3 61 1 7|

1 0 00 1 00 0 1)

(1 −2 22 −3 61 1 7|

1 0 00 1 00 0 1)R2 → R2−2R1

→ (1 −2 20 1 21 1 7|

1 0 0−2 1 00 0 1)R3 → R3−R1

→ (1 −2 20 1 20 3 5|

1 0 0−2 1 0−1 0 1)

2−36 01 0 1 170 01 −2 4−4−20 0 −1 2−2−10 0 0 12−210 0 35−10 1

R3 → R3−3R2→ (1 −2 2

0 1 20 0 −1|

1 0 0−2 1 05 −3 1)R3 →−R3

→ (1 −2 20 1 20 0 1|

1 0 0−2 1 0−5 3 −1)R2 → R2−2 R3

→

0 35−10 1 0 12−210 0−3−66−3 0 0 0−210−62 0 0−15−31 0 10 8−5 2

(1 −2 20 1 00 0 1|

1 0 08 −5 2

−5 3 −1)R1→ R1−2 R3→ (1 −2 0

0 1 00 0 1|

11 −6 28 −5 2

−5 3 −1)R1→ R1+2 R2→

1−22 10 0 1−20 11−6 2 0 0−210−62 0 20 16−10 4 1−20 11−6 2 1 00 27−16 6

(1 0 00 1 00 0 1|

27 −16 68 −5 2

−5 3 −1)∴ ( I|A−1 )=(1 0 00 1 00 0 1|

27 −16 68 −5 2

−5 3 −1)A−1=( 27 −16 68 −5 2

−5 3 −1)En el ejemplo A es de 3 x3, al reducirse llegó a I . ¿Cuál es su rango?

Al calcular A A−1=I y A−1 A=I con el software MATHCAD se obtiene:

Compruebe esta multiplicación

Obtener I

confirma el valor de A−1 .

135

Encuentre la inversa de B=(4 20 −42 6 −83 13 −6 ) (B|I )=(4 20 −4

2 6 −83 13 −6|

1 0 00 1 00 0 1)

(4 20 −42 6 −83 13 −6|

1 0 00 1 00 0 1)R1→

14

R1

→(1 5 −12 6 −83 13 −6|1

40 0

0 1 00 0 1

)R2→ R2−2 R1→

2 6−801 0

−2−10 2−12

0 0

0−4−6−12

1 0

(1 5 −10 −4 −63 13 −6| 1

40 0

−12

1 0

0 0 1)R3 → R3−3 R1

→ (1 5 −10 −4 −60 −2 −3|

14

0 0

−12

1 0

−34

0 1)R2 →−14

R2

→

3 13−6 0 01

−3−153−34

0 0

0−2−3−34

0 1

(1 5 −1

0 132

0 −2 −3|14

0 0

18

−14

0

−34

0 1)R3 → R3+2 R2→ (1 5 −1

0 132

0 0 0 |14

0 0

18

−14

0

−12

−12

1) 0−2−3−3

40 1

0 2314−1

20

0 0 0−12−1

21

El tercer renglón tiene tres ceros del lado izquierdo y no hay forma de hacer 1 pivote ¿Porqué?, por lo que no se puede lograr la matriz identidad y en consecuencia la matriz B no es invertible, es singular.

136

¿Cuál es su rango de la matriz? (1 5 −1

0 132

0 0 0)

5. Utilice los métodos de esta sección para encontrar las inversas de las siguientes matrices con elementos complejos.

C=( i 21 −i)C−1=? D=(1−i 0

0 1+i)D−1=?

( i 21 −i|1 0

0 1)R1→−i R1→

(1 −2 i1 −i |−i 0

0 1)R2→R2−R1→

(1 −2 i0 i |−i 0

i 1)R2→−i R2→

i (−i )=−i2=−(−1 )=1 1−i 01 −1 2i i0 0 i i 1

(1 −2 i0 1 |−i 0

1 −i)R1 → R1+2 i R2→

(1 00 1|i 2

1 −i)∴C−1=( i 21 −i)

1−2 i−i 0 0 2 i2 i2 1 0 i2

Comprobemos con: C C−1=( i 21 −i)( i 2

1 −i)=[ (i ) ( i )+(2 ) (1 ) (i ) (2 )+(2 ) (−i )(1 ) (i )+(−i ) (1 ) (1 ) (2 )+ (−i ) (−i )]

C C−1=[ i2+2 2i−2 ii−i 2+i2 ]=[(−1)+2 0

0 2+(−1)]=(1 00 1) No se ocupa verificar C−1C .

Al calcular C C−1=I con el software MATHCAD se obtiene:

Se confirma que nuestro resultado es correcto.

D=(1−i 00 1+ i)D−1=?

(1−i 00 1+i|1 0

0 1)R1 →(1+ i)R1→

(2 00 1+ i|1+i 0

0 1)R1 →12

R1

→(1 00 1+i|1

2+(1

2 )i 0

0 1) (1−i ) (1+i )=1−i2=1−(−1 )=2

137

R2 →(1−i)R2→ (1 0

0 2|12+( 1

2 ) i 0

0 1−i)R2→

12

R2

→ (1 00 1|1

2+(1

2 )i 0

012−(1

2 )i) Comprobemos con:

D D−1=(1−i 00 1+i)(

12+( 1

2 )i 0

012−(1

2 )i) NOTA: ( 12 ) i= i

2

D D−1=[ (1−i )(12+

i2 )+(0 ) (0 ) (1−i ) (0 )+(0 )( 1

2−

i2 )

(0 )( 12+

i2 )+(1+i ) (0 ) (0 ) (0 )+(1+i )( 1

2−

i2 ) ]

(1−i )( 12+ i

2 )=12+ i

2− i

2− i2

2=1

2−(−1

2 )=1

(1+i )( 12− i

2 )=12− i

2+ i

2− i2

2=1

2−(−1

2 )=1

D D−1=(1 00 1) Compruebe D−1 D

Al calcular D D−1=I con el software MATHCAD se obtiene:


Al calcular D−1 D=I con el software MATHCAD se obtiene:


TEOREMA 2 Propiedades de las matrices inversas.

138

1.- El producto de dos matrices AB que tienen inversas, es invertible y su inversa es el producto de las inversas en orden inverso. Entonces, si A y B son matrices n x n invertibles también AB lo será, teniendo así la siguiente ecuación:

( AB )−1=B−1 A−1

2.- Toda matriz inversa también es invertible, su inversa es la matriz original.

( A−1 )−1=A

3.- Si una matriz A es invertible, lo seguirá siendo aún cuando se multiplique A por un escalar c distinto de cero. La inversa de c A es igual al producto del recíproco del escalar por la inversa de la matriz A .

(cA )−1=1c

A−1

1.- Ocupamos demostrar que ( AB )−1=B−1 A−1, se sabe que AA−1=I=A−1 A , sea AB=C

Entonces ( AB )−1=(C )−1 , pero CC−1=I=C−1C , ó también ( AB ) ( AB )−1=I= ( AB )−1 ( AB )

Pero como ( AB )−1=B−1 A−1, al sustituir en ( AB ) ( AB )−1=I= ( AB )−1 ( AB ) se tiene:

( AB ) ( B−1 A−1)=I=( B−1 A−1 ) ( AB ) pero con la ley asociativa se puede escribir:

( AB ) B−1A−1=A ( B B−1 ) A−1=AI A−1=A A−1=I

( B−1 A−1 ) ( AB )=B−1 ( A−1 A ) B=B−1 IB=B−1 B=I

2.- Como A es invertible, AA−1=I=A−1 A . Esto demuestra que A−1 también lo es y ( A−1 )−1=A .

3.- Como A es invertible, AA−1=I ; si se multiplica por un escalar c, sólo el lado izquierdo entonces se debe multiplicar también por el recíproco de c para que la ecuación no cambie.

(c1c )AA

−1

=I los escalares se pueden reacomodar (cA )( 1c

A−1)=I y AA−1= (cA )(1c

A−1)pero ( A )−1=A−1∴ (cA )−1=1

cA−1

6. Sean las matrices A=(5 37 4)B=(1 −1

3 −2) y c=−3 compruebe que:

( AB )−1=B−1 A−1 ( A−1 )−1=A (cA )−1=1

cA−1

Resuelva los dos términos de las ecuaciones: ( AB )−1=B−1 A−1 y de (cA )−1=1c

A−1

139

Al calcular A−1, B−1 , ( AB )−1 , y (cA )−1 con el software MATHCAD se obtiene:

Anote los resultados de (cA )−1 con fracciones en lugar de decimales. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Use el procedimiento ( A|I ) para encontrar la inversa de las siguientes matrices.

A=(8 56 3) , B=(2 −3

4 −5) ,C=(−2 −5 4−3 −3 6−4 1 8) , D=(2 −1 0

3 −2 84 0 6) , E=(1 0 −1

0 3 −106 9 −2 ) ,

F=(−3 1 015 −5 −8−9 3 −4) ,G=(−2i 2 i

2 −1) , H=( 0 2+i2−i 0 )

2. Con las matrices A=(8 56 3) , B=(2 −3

4 −5) y c=−4 , compruebe:

(a) ( AB )−1=B−1 A−1, (b) ( A−1 )−1=A, (c) (cA )−1=1

cA−1

.

3. Con las matrices D=(2 −1 03 −2 84 0 6) , E=(1 0 −1

0 3 −106 9 −2 ) y c=3 , compruebe:

(a) ( DE )−1=E−1 D−1, (b) ( D−1)−1=D, (c) (cD )−1=1

cD−1

.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

El determinante de A2 x2 , es un número real que se determina como se indica:

A=(a11 a12

a21 a22)2x 2

Determinantede A=det A=|A|=|a11 a12

a21 a22|=a11 a22−a12 a21

Observe que se usa el signo ¿ antes del producto a12a21, esto significa cambiarle el signo al producto y sumar. Las barras de |A| en matrices indican determinante y no son las barras de valor absoluto, las cuáles se usan para un número real ó complejo como |x|.

140

|a11 a12

a21 a22|=a11 a22−a12a21

↙ ↘

−+¿

1. Sea A=(4 25 8) Calcule det A=|A|

|A|=|4 25 8|=(4 ) (8 )−(2 ) (5 )=32−10=22∴|4 2

5 8|=22

2. Sea B=(−5 10−2 4 ) Calcule det B=|B|

|B|=|−5 10−2 4 |=(−5 ) ( 4 )−(10 ) (−2 )=−20+20=0∴|−5 10

−2 4 |=0

3. Sea C=(9 67 −2) Calcule det C=|C|

det C=|C|=|9 67 −2|=(9 ) (−2 )−(6 ) (7 )=−18−42=−60∴|9 6

7 −2|=−60

4. Sea D=(−425

6 −3) Calcule det D=|D|

det D=|D|=|−425

6 −3|=(−4 ) (−3 )−( 25 )(6 )=12−12

5=48

5∴|−4

25

6 −3|=485

5. Sea E=( b a−ba+b b ) Calcule det E=|E|

|E|=| b a−ba+b b |=(b ) (b )−(a−b ) (a+b )=b2−( a2−b2)∴|E|=2b2−a2

6. Sea F=(6 −2cc c ) Calcule det F=|F| tal que |F|=0

|F|=|6 −2cc c |=(6 ) (c )−(−2 c ) (c )=6c+2 c2=0ó 2c (3+c )=0∴ c=0 ó c=−3

141

7. Sea G=(r−1 −4−3 r−2) Calcule det G=|G| tal que |G|=0

|G|=|r−1 −4−3 r−2|=(r−1 ) (r−2 )− (−4 ) (−3 )=r2−3 r+2−12=r2−3 r−10=0

ó (r−5 ) (r+2 )=0∴r=5 ór=−2

El determinante de A sirve para calcular A−1 . En otro subtema posterior veremos cómo.

Vamos a pasar a determinantes de 3 x3. Iniciamos con una definición, la cual vendrá acompañada de algunos comentarios en relación a la misma.

Definición 1. Determinante de 3 x3. Sea A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33) Entonces se tiene que:

det A=|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a21 a22

a31 a32|

Observe que: hay un signo ¿ antes del 2º. término, es porque la suma de los subíndices de a12 es impar. Los otros dos son pares a11 y a13 por eso son ¿ Los elementos que multiplican a los determinantes son los del 1er. renglón y los elementos de los determinantes son aquellos que no están ni en el renglón, ni en la columna del elemento que les multiplica. Por último su posición relativa en la matriz de 3 x3 se respeta en el determinante de 2 x2.

En base a lo anterior podemos señalar que todo determinante de 3 x3, puede calcularse de la siguiente forma:

1.- Se selecciona un sólo renglón ó una sola columna.2.- Se toma el 1er. elemento a ij del renglón ó columna seleccionado(a) el signo que le corresponde por ser impar ¿ ó par ¿. 3.- Se eliminan en el determinante de 3 x3 todos los elementos que están en el mismo renglón y la misma columna del elemento a ij del punto 2. Con los elementos restantes (que son 4) se forma un determinante de 2 x2, respetando al colocarlos la posición relativa que tienen entre sí en el determinante de 3 x3. Este determinante de 2 x2 que se multiplica por a ij, recibe el nombre de Menor y tiene el mismo subíndice del elemento a ij del punto 2, M ij. Se define para M ij : el Cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij|. 4.- Se repiten los pasos 2 y 3, para el 2º. elemento a ij del renglón ó columna seleccionado(a). Haga lo mismo con el 3er. elemento a ij .5.- Se resuelven los determinantes de 2 x2, se multiplican por el elemento a ij que les corresponde y se suman ó restan según el signo, obteniendo así el resultado.

142

Sea A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33) interesa calcular det A=|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

En el caso del 1er. renglón para el det A de 3 x3, el Cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij| será:

Para a11 M 11=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)=(a22 a23

a32 a33) Vea el acomodo del Menor

|M 11|=|a22 a23

a32 a33| se tiene A11=(−1 )1+1|M 11|=(−1 )2|M 11|=|M 11|.

(En cuadrito están anotados los elementos que se anulan en el Menor, vea que son los elementos del mismo renglón y columna que el elemento a11 que multiplica al Menor).

Para a12 M 12=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)=(a21 a23

a31 a33)

|M 12|=|a21 a23

a31 a33| se tiene A12=(−1 )1+2|M 12|=(−1 )3|M 12|=−|M 12|.

Nota: El signo ¿ de −|M 12| lo da el Cofactor, por ser impar.

Para a13 M 13=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)=(a21 a22

a31 a32)

|M 13|=|a21 a22

a31 a32| se tiene A13=(−1 )1+3|M 13|=(−1 )4|M 13|=|M 13|.

Ya se vió que:

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a21 a22

a31 a32|

Al sustituir en la ecuación del det A de 3 x3 el Cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij|, se tiene que:

143

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|M 11|−a12|M 12|+a13|M 13|=a11 A11+a12 A12+a13 A13

La expresión a11 A11+a12 A12+a13 A13 es la Expansión por Cofactores en 1er. renglón.

Vea que el signo ¿ en −a12|M 12| lo proporciona el Cofactor.

Vamos a anotar para A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33) el |A| con el 2º. renglón. Cuidemos los signos.

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a21 A21+a22 A22+a23 A23=−a21|M 21|+a22|M22|−a23|M 23|

La expresión a21 A21+a22 A22+a23 A23 es la Expansión por Cofactores en 2º. renglón.Desarrollemos los Menores:

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=−a21|a12 a13

a32 a33|+a22|a11 a13

a31 a33|−a23|a11 a12

a31 a32|

Vamos a anotar para A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33) el |A| con el 3er. renglón. Cuidemos los signos.

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a31 A31+a32 A32+a33 A33=a31|M31|−a32|M 32|+a33|M 33|

La expresión a31 A31+a32 A32+a33 A33 es la Expansión por Cofactores en 3er. renglón.Desarrollemos los Menores:

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a31|a12 a13

a22 a23|−a32|a11 a13

a21 a23|+a33|a11 a12

a21 a22|

Si anotamos los signos de los coeficientes proporcionados por el cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij| para el cálculo del |A| con los renglones 1, 2 y 3, en una matriz de 3 x3 , se tiene que:

144

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)¿

Vea que los signos están alternados, lo mismo ocurre en la matriz de 4 x 4 , yn x n.

(a11

a21

a12

a22

a31

a41

a32

a42

a13

a23

a14

a24

a33

a43

a34

a44

)¿Vamos a anotar para A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33) el |A| con la 1ª. columna. Cuidemos los signos.

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11 A11+a21 A21+a31 A31=a11|M 11|−a21|M 21|+a31|M31|

La expresión a11 A11+a21 A21+a31 A31 es la Expansión por Cofactores en 1ª. columna.Desarrollemos los Menores:

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a21|a12 a13

a32 a33|+a31|a12 a13

a22 a23|

Con todo lo antes escrito, intente anotar el cálculo del determinante como se hizo para la 1ª. columna seleccionando los elementos de la 2ª. columna y 3ª. Columna. Nota: Recuerde que debe tener cuidado con el signo del Cofactor.

Sea A=(5 2 03 −6 14 −1 7) Calcule el |A| con Expansión por Cofactores en 1er. renglón.

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11 A11+a12 A12+a13 A13=a11|M11|−a12|M 12|+a13|M 13|

det A=|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a21 a22

a31 a32|

145

No es necesario anotar las dos ecuaciones anteriores, se hace porque vamos iniciando, con la práctica se puede omitir.

8.det A=|A|=|5 2 03 −6 14 −1 7|=5|−6 1

−1 7|−2|3 14 7|+0|3 −6

4 −1|=5 (−42+1 )−2 (21−4 )

det A=|A|=−205−34=−239

Al calcular |A| con el software MATHCAD se obtiene:

9. Sea A=(5 2 03 −6 14 −1 7) Calcule |A| con Expansión por Cofactores en 2º. renglón.

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a21 A21+a22 A22+a23 A23=−a21|M 21|+a22|M22|−a23|M 23|

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=−a21|a12 a13

a32 a33|+a22|a11 a13

a31 a33|−a23|a11 a12

a31 a32|

No es necesario anotar las dos ecuaciones anteriores, se hace porque vamos iniciando, con la práctica se pueden omitir.

|A|=|5 2 03 −6 14 −1 7|=−3| 2 0

−1 7|+(−6 )|5 04 7|−1|5 2

4 −1|=−3 (14 )−6 (35 )−1 (−5−8 )

|A|=−42−210+13=−239 Nuevamente el mismo resultado.

10. Sea A=(5 2 03 −6 14 −1 7) Calcule |A| con Expansión por Cofactores en 1ª. columna.

146

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11 A11+a21 A21+a31 A31=a11|M 11|−a21|M 21|+a31|M31|

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a21|a12 a13

a32 a33|+a31|a12 a13

a22 a23|

No es necesario anotar las dos ecuaciones anteriores, se hace porque vamos iniciando, con la práctica se pueden omitir.

|A|=|5 2 03 −6 14 −1 7|=5|−6 1

−1 7|−3| 2 0−1 7|+4| 2 0

−6 1|=5 (−42+1 )−3 (14 )+4 (2 )

|A|=−205−42+8=−239 Nuevamente el mismo resultado.

11. Resuelva el determinante de A con los elementos de: 3er. renglón, 2ª. columna y la 3ª. columna. Debe dar el mismo resultado en todos los casos, así podemos concluir que el determinante A da el mismo resultado expandiendo por cofactores en cualquier renglón de A , ó expandiendo por cofactores en cualquier columna de A .

12. Sea B=(−7 612

−2 −423

−5 −8 1) Calcule det B con Expansión por Cofactores en 2º. renglón.

det B=|B|=|−7 612

−2 −423

−5 −8 1|=−(−2 )| 6

12

−8 1|+ (−4 )|−712

−5 1|−23|−7 6

−5 −8|

det B=|B|=2 (6+4 )−4 (−7+52 )−2

3(56+30 )=20+18−172

3=−58

3

Revise cada paso de la operación anterior en especial los signos.

Al calcular |B| con el software MATHCAD se obtiene:

147

−583

=−1913

estamos bien, vea que

−583

es exacto.

13. Resuelva el determinante de B con Expansión por Cofactores en 3ª. columna, y el 3er. renglón. Debe dar el mismo resultado.

Existe otro método para calcular el det A que se deriva del que ya vimos. Este método conocido como Sarrus es EXCLUSIVO de los determinantes de 3 x3, es decir que NO SIRVE para 4 x 4 ó mayores. Se vió que el |A| con el 1er. renglón se calcula como sigue.

det A=|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a21 a22

a31 a32|

Al desarrollar los menores se tiene que:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11 (a22 a33−a23a32)−a12 ( a21 a33−a23a31 )+a13 (a21a32−a22a31)

|A|=a11 a22 a33+a12 a23a31+a13a21a32−a13 a22 a31−a12 a21 a33−a11 a23a32

La última ecuación es equivalente a escribir el |A| anotando sus dos primeras columnas a la derecha.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|a11 a12

a21 a22

a31 a32

↙ ↙ ↙ ↘ ↘ ↘

¿

Las flechas indican el sentido de la multiplicación. Vea que los 6 productos del determinante están indicados con las flechas con todo y signo. Una vez con los 6 productos, éstos se suman ó restan para obtener el resultado del det A .

14. Calcule por el método de Sarrus det A=|A|=|5 2 03 −6 14 −1 7|

148

det A=|A|=|5 2 03 −6 14 −1 7|

5 23 −64 −1

↙ ↙ ↙ ↘ ↘ ↘

¿ ¿

|A|=(5 ) (−6 ) (7 )+ (2 ) (1 ) (4 )+(0 ) (3 ) (−1 )−(0 ) (−6 ) ( 4 )−(5 ) (1 ) (−1 )− (2 ) (3 ) (7 )

|A|=−210+8−0+0+5−42=−239 Nuevamente el mismo resultado.

15. Calcule por el método de Sarrus det B=|B|=|−7 612

−2 −423

−5 −8 1|

det B=|B|=|−7 612

−2 −423

−5 −8 1|−7 6−2 −4−5 −8

↙ ↙ ↙ ↘ ↘ ↘

¿ ¿

|A|=(−7 ) (−4 ) (1 )+6( 23 )(−5 )+( 1

2 ) (−2 ) (−8 )−( 12 ) (−4 ) (−5 )−(−7 )( 2

3 )(−8 )−(6 ) (−2 ) (1 )

|A|=28−20+8−10−1123

+12=−583

Nuevamente el mismo resultado.

Como ya se anotó antes, el método de solución del último determinante es exclusivo de 3 x3, por lo que NO se puede aplicar a determinantes de 4 x 4 en adelante.

Antes de ver ejemplos de determinantes de 4 x 4, vamos a señalar que todo determinante de n x n, puede calcularse de la siguiente forma:

1.- Se selecciona un sólo renglón ó una sola columna.2.- Se toma el 1er. elemento a ij del renglón ó columna seleccionado(a) el signo que le corresponde por ser impar ¿ ó par ¿. 3.- Se eliminan en el determinante de n x n todos los elementos que están en el mismo renglón y la misma columna del elemento a ij del punto 2. Con los elementos restantes se forma un determinante de n−1 x n−1, respetando al colocarlos la posición relativa que tienen entre sí en el determinante de n x n . Este determinante de n−1 x n−1 que se multiplica por a ij, recibe el nombre de Menor y tiene el mismo subíndice del elemento a ij del punto 2, M ij. Se define para M ij : el Cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij|.

149

4.- Se repiten los pasos 2 y 3, para el 2º. elemento a ij del renglón ó columna seleccionado(a). Haga lo mismo con el resto de los elementos a ij. 5.- Se resuelven los determinantes de n−1 x n−1, se multiplican por el elemento a ij que les corresponde y se suman ó restan según el signo, obteniendo así el resultado.

La Expansión por Cofactores para una matriz A de n x n del 1er. renglón es:

detA=a11 A11+a21 A21+a31 A31+…+a1n A1n

16. Sea A=(0023

1112

0413

1250) Calcule detA con el renglón ó columna que sea más conveniente.

Ya se vió que el detA de 4 x 4 sólo puede calcularse por Expansión por Cofactores. En este ejercicio el renglón ó columna más conveniente es el que tenga menos cálculos. Al revisar la matriz vemos que al seleccionar el 1er. renglón se ocupan resolver 2 determinantes de 3 x3. También al seleccionar la 1ª. columna sólo hay que resolver 2 determinantes de 3 x3. De hecho siempre se busca aquél renglón ó columna que tenga el mayor número de ceros. Esta idea de tener el mayor número de ceros será de utilidad en el siguiente subtema. Calculemos entonces detA con la 1ª. columna teniendo cuidado con los signos.

|A|=|0023

1112

0413

1250|=0|112

413

250|−0|112

013

150|+2|112

043

120|−3|111

041

125|

No es necesario anotar los dos primeros determinantes, se hace para ver el procedimiento.

17. Identifique en el siguiente cálculo del |A| que renglón ó columna se seleccionó, verifique los signos y los determinantes de 2 x2.

|A|=|0023

1112

0413

1250|=2[−0|12 2

0|+4|12 10|−3|111

2|]−3[−0|11 25|+4|11 1

5|−1|1112|]

|A|=2 [−0 (0−4 )+4 (0−2 )−3 (2−1 ) ]−3 [−0 (5−2 )+4 (5−1 )−1 (2−1 ) ]

|A|=2 (0−8−3 )−3 (−0+16−1 )=2 (−11)−3 (15 )=−22−45=−67

Al calcular |A| con el software MATHCAD se obtiene:

150


18. Calcule el det A con el 1er. renglón y con la 3ª. columna.

Sea la matriz triangular superior A=(a11

0a12

a22

00

00

a13

a23

a14

a24

a33

0a34

a44

) Calcule det A

El mejor renglón para expandir por cofactores es el 4 y la mejor columna es la 1. Calculemos el detA con Expansión por Cofactores en 1ª. columna.

detA=a11 A11+0 A21+0 A31+0 A41=a11 A11=a11|a22 a23 a24

0 a33 a34

0 0 a44|=a11 a22|a33 a34

0 a44|

detA=a11 a22a33a44

El ejercicio anterior se puede generalizar para probar el siguiente teorema.

TEOREMA 1 Sea A=(aij ) una matriz de n x n triangular superior o triangular inferior. Entonces.detA=a11 a22a33 . .. ann

La expresión anterior significa que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en la diagonal principal.

Demostración: Con el ejemplo anterior se deduce la parte triangular superior del teorema. Se demostrará por inducción matemática la parte triangular inferior, iniciamos con n=2. Si A es una matriz

triangular inferior de 2 x2, se tiene que A=(a11 0a21 a22

) y |A|=a11 a22, con

este resultado comprobamos que el teorema se cumple para n=2. Si continuamos con n=3 , n=4 , . .. veremos que también se cumple. Faltaría solo demostrar el determinante de una matriz triangular inferior de n x n .

|a11 0 0 ⋯ 0a21 a22 0 ⋯ 0a31

⋮an 1

a32

⋮an2

a33

⋮an 3

⋯⋱⋯

0⋮

ann

|=a11|a22

a32

0a33

⋮an 2

⋮an3

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

|−a21| 0a32

0a33

⋮an2

⋮an3

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

|

151

+a31| 0a22

00

⋮an 2

⋮an3

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

|+…+(−1 )1+nan 1| 0

a22

00

⋮an−1,2

⋮an−1.3

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮0|

Si escogemos el 1er. renglón para resolver los determinantes, tenemos que todos valdrán cero, excepto el 1er. determinante que corresponde a una matriz de (n−1 ) x (n−1 ) y que de acuerdo a la hipótesis de la inducción, es igual al producto de las componentes de la diagonal.

detA=a11|a22

a32

0a33

⋮an 2

⋮an 3

⋯⋯

00

⋱⋯

⋮ann

|=a11 (a22 a33 .. . ann )

La expresión anterior confirma que se cumple el teorema en matrices de n x n .

19. Para las siguientes matrices triangulares calcule su determinante con el teorema 1.

A=(−3000

−2200

3−710

5−574

) |A|=|−3000

−2200

3−710

5−574

|=(−3 ) (2 ) (1 ) ( 4 )=−24

B=(−6000

−2000

3−780

5−57

−1) |B|=|−6

000

−2000

3−780

5−57

−1|=(−6 ) (0 ) (8 ) (−1 )=0

C=(2 0 03 −1 04 7 −9) |C|=|2 0 0

3 −1 04 7 −9|=(2 ) (−1 ) (−9 )=18

D=(3 3 50 −4 10 0 −2) |D|=|3 3 5

0 −4 10 0 −2|=(3 ) (−4 ) (−2 )=24

E=(4 05 −2) |D|=|4 0

5 −2|=( 4 ) (−2 )=−8


1. Calcule el determinante de las siguientes matrices.

152

A=(8 56 3) , B=( 1

23

−6 −4) , C=(−49

23

−8 −2) ,D=(a+b aa a−b) , E=(4 c c

2 c)

F=(r+2 0−2 r+3) , G=(−2 i 2i

2 −1), H=( 0 2+i2−i 0 )

2. Calcule para las matrices E=(4 c c2 c) y F=(r+2 0

−2 r+3) , |E|=0 y |F|=0


(a) Con expansión por cofactores en 1ª. columna.

(b) Con expansión por cofactores en 1er. renglón. (c) Por Sarrus.

A=(−2 −5 4−3 −3 6−4 1 8) , B=(

2 −1 0

3 −212

4 0 6) , C=(

1 0 −1

023

−10

6 9 −2) , D=(−3 1 0

15 −5 −8−9 3 −4) ,


(a) Con expansión por cofactores en 1ª. columna.

(b) Con expansión por cofactores en 1er. renglón.

A=(2313

0112

0031

0004) , B=(

0012

2321

0524

2131) , C=(

1221

0112

1231

0242),

5. Calcule el determinante de las siguientes matrices, con el teorema 1.

A=(2313

0112

0031

0004) , B=(

−3000

−2200

3−710

5−574

), C=(−2000

−4500

6−390

9−16

−3), D=(1 0 0

2 −3 03 5 −8)

E=(2 3 80 0 40 0 −3) ,F=(5 4

0 −3)

153

2.7 Propiedades de los determinantes.

Antes de estudiar las propiedades de los determinantes pensemos en algunos problemas cotidianos en el trabajo cuya solución aparentemente sencilla requieren de un trabajo muy arduo. Iniciemos con un determinante de 4 x 4, ocupamos resolver 4 determinantes de 3 x3, lo que a su vez implica calcular

(4 ) (3 )=12 determinantes de 2 x2; lo que equivale a: 4 !2

=242

=12. En el caso de un determinante de

5 x5, ocupamos resolver 5 determinantes de 4 x 4 , que requiere dar solución a (5 ) (4 )=20 determinantes de 3 x3 , y por último a (5 ) (4 ) (3 )=60 determinantes de 2 x2 lo que equivale a: 5!2

=1202

=60.

Veamos en forma de tabla como aumenta el número de determinantes de 2 x2 a resolver.

Tamaño del determinante n x n No. de |A| de 2 x2=n !2

n x n 4 x 4 5 x5 6 x 6 7 x7 8 x 8 9 x 9 10 x10 11 x11|A| 12 60 360 2,520 20,16

0181,440 1,814,40

019,958,400

n x n 12 x12 13 x13 14 x 14 15 x15 16 x16|A| 239,500,800 3,113,510,400 4.359x1010 6.538x1011 1.046x1013

n x n 17 x17 18 x18 19 x19 20 x20 25 x25|A| 1.778x1014 3.201x1015 6.082x1016 1.216x1018 7.756x1024

n x n 30 x30 35 x35 40 x 40 45 x 45 50 x50|A| 1.326x1032 5.167x1039 4.080x1047 5.981x1055 1.5207x1064

Supongamos que usted es el Director Comercial de una cadena de 30 sucursales en el País, y maneja 30 productos, al poner la información en una matriz de 30 x 30 si desea calcular su determinante por expansión por cofactores nunca terminaría. Suena increíble pero así es. Usted tiene un amigo en un Centro de investigación con una Supercomputadora que realiza un millón de cálculos de determinantes de 2 x2 , por segundo; le habla y le pide que resuelva su determinante por expansión por cofactores. Después de unos minutos le regresa la llamada y le dice que es imposible lo que le pide y que le enviará por internet el motivo. Usted recibe lo siguiente.

Tiempode soluciónen años=x|A|30 x 30=30 !

2|A|2 x2=1.326 x 1032|A|2 x 2

Usando el análisis dimensional se tiene que:

x=(|A|30 x 30 )( 1.326 x1032|A|2 x2

|A|30 x30)( 1 seg .

1 x106|A|2x 2)( 1hr .

3,600 seg . )( 1 día24 hr . )( 1año

365días )x=4.205 x 1018 años NOTA :1 x106=1millón de años .

154

Para resolver el determinante anterior hay otros caminos que permiten reducir la cantidad de trabajo y lograr la solución en un lapso relativamente pequeño. A lo largo de este subtema estudiaremos las propiedades de los determinantes que nos ayudarán a resolver el problema del determinante de 3 0 x30. Veamos entonces uno de los teoremas más importantes de los determinantes.

TEOREMA 1. Sean las matrices A y B de n x n. Entonces

det AB=det A det B

Expresado en palabras es: El determinante del producto de 2 matrices es igual al producto de los determinantes de las 2 matrices. Del lado izquierdo tenemos una multiplicación de matrices seguida del cálculo del determinante; del lado derecho solo es una multiplicación de escalares.

Demostración. Para la demostración haremos dos cálculos uno de 2 x2 y otro de 3 x3.

1. Sea A=(6 15 8) B=( 2 4

−3 −5) Calcule det AB=det A det B

AB=(6 15 8)( 2 4

−3 −5)=( 9 19−14 −20) det AB=| 9 19

−14 −20|=86

|A|=|6 15 8|=43|B|=| 2 4

−3 −5|=2det A det B=43 ∙2=86

det AB=det A det B=86 Si se verifica el teorema.

2. Sea A=(2 4 −13 −1 04 7 −2) B=( 1 0 −4

−5 −3 −12 −6 −2) Calcule det AB=det A det B

Al calcular AB con el software MATHCAD se obtiene:

Compruebe la multiplicación.

AB=(−20 −6 −108 3 −11

−35 −9 −19) det AB=|−20 −6 −108 3 −11

−35 −9 −19|=−432

|A|=|2 4 −13 −1 04 7 −2|=3|B|=| 1 0 −4

−5 −3 −12 −6 −2|=−144 det A det B=(3 ) (−144 )=−432

det AB=det A det B=−432 Si se verifica el teorema. Cheque los cálculos.

155

NOTA: El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes.

det ( A+B )≠ det A+det B

3. Sea A=(6 15 8) B=( 2 4

−3 −5) Calcule det ( A+B )≠ det A+det B

A+B=(6 15 8)+( 2 4

−3 −5)=(8 52 3) det ( A+B )=|8 5

2 3|=14

|A|=|6 15 8|=43|B|=| 2 4

−3 −5|=2det A+det B=43+2=45

det ( A+B )=14 det A+det B=45∴det ( A+B )≠ det A+det B Si se verifica

TEOREMA 2. det A=det AT

Demostración. Recordemos que AT es el resultado de cambiar los renglones por las columnas en A. Por otro lado al resolver un determinante usando expansión por cofactores se puede seleccionar un renglón ó una columna. Si seleccionamos por ejemplo el renglón 1 en el determinante de A y seleccionamos la columna 1 en el determinante de AT , estamos resolviendo la misma expansión por cofactores, con lo queda demostrado el teorema.

4. Sea A=( 2 0 32 −6 5

−4 1 7)AT=(2 2 −40 −6 13 5 7 )

Calcule |A| con expansión del 1er. renglón y |AT| con expansión de la 1ª. columna.

|A|=| 2 0 32 −6 5

−4 1 7|=2|−6 51 7|−0| 2 5

−4 7|+3| 2 −6−4 1 |=2 (−42−5 )+3 (2−24 )

|A|=| 2 0 32 −6 5

−4 1 7|=−94−66=−160

|AT|=|2 2 −40 −6 13 5 7 |=2|−6 5

1 7|−0| 2 5−4 7|+3| 2 −6

−4 1 |=2 (−42−5 )+3 (2−24 )

156

|AT|=|2 2 −40 −6 13 5 7 |=−94−66=−160∴|A|=|AT|=−160

5. Calcule |A| con expansión de la 1ª. columna y |AT| con expansión del 1er. renglón.

PROPIEDAD 1 El det A=0 , si A tiene un renglón ó columna de ceros.

Demostración. Al resolver un determinante sólo se selecciona un renglón ó una columna y se hace expansión por cofactores, que consiste en ir multiplicando cada elemento del renglón ó columna seleccionado por su cofactor. Si seleccionamos el renglón ó columna de los ceros, al multiplicar cada elemento por su cofactor sólo obtendremos cero.

6. Veamos dos ejemplos para ver que si A tiene un renglón ó columna de ceros, el det A=0.

|A|=| 2 8 50 0 0

−3 −1 6|=−0|M 21|+0|M 22|−0|M 23|=0

|B|=|0000

4681

7−280

5−93

−1|=0|M 11|−0|M 21|+0|M 31|−0|M 41|=0

7. Calcule |A| y |B| con expansión por cofactores del 3er. renglón.

PROPIEDAD 2 El det A queda multiplicado por el escalar c si se multiplica un solo renglón ó una sola columna por el escalar c. Se tiene que |B|=c|A|

NOTA 1: La ecuación anterior no es equivalente a B=cA . ¿Por qué?NOTA 2: Recordemos que para reducir renglones en matrices existen 3 pasos. Uno de ellos es que para hacer 1 pivote se multiplica el renglón por un escalar c diferente de cero. Se escribe Ri → c Ri; significa reemplaza el renglón Ri por c Ri . La propiedad 2 tiene una estrecha relación con este paso.

Demostración.

157

Sea |B|=|a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮c ai 1

⋮an 1

⋮c ai 2

⋮an2

⋱⋯⋱⋯

⋮c a¿

⋮ann

|=c|a11 a12 ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮ai 1

⋮an 1

⋮ai 2

⋮an 2

⋱⋯⋱⋯

⋮a¿

⋮ann

|=c|A|

Si resolvemos con expansión por cofactores en el renglón i del |B| se llega a:

|B|=c ai 1 Ai 1+c ai 2 A i 2+…+c a¿ A¿=c (ai 1 A i 1+ai 2 A i 2+…+a¿ A¿)=c|A|

El resultado es similar con expansión por cofactores en la columna i del |B|

8. Resolvamos un ejemplo para verificar que |B|=c|A|

Sea A=( 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2)|A|=| 1 0 −4

−5 −3 −12 −6 −2|=−144 Multipliquemos por −2 el 1er.

renglón, obtenemos: B=(−2 0 8−5 −3 −12 −6 −2) y |B|=|−2 0 8

−5 −3 −12 −6 −2|=288 Verifique cálculos.

∴|B|=c|A|=(−2 ) (−144 )=288 Multipliquemos por 13

la 2ª. Columna de A , obtenemos:

B=( 1 0 −4−5 −1 −12 −2 −2) y |B|=| 1 0 −4

−5 −1 −12 −2 −2|=−48 Verifique cálculos.

∴|B|=c|A|=( 13 ) (−144 )=−48

9. Repita el ejercicio multiplicando por −12

el 3er. renglón de A y por 4 la 1ª. Columna de A

¿Qué pasa si multiplicamos el escalar c por una matriz A de n x n?

Si al multiplicar un renglón ó una columna de una matriz A de n x n por el escalar c el determinante de A queda multiplicado por el escalar c , entonces al multiplicar el escalar c por toda la matriz, es decir, por los n (renglones ó columnas), entonces el determinante de A queda multiplicado n veces por el escalar c, o sea cn ;|B|=cn|A|

10. Veamos un ejemplo:

158

Sea A=( 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2)|A|=| 1 0 −4

−5 −3 −12 −6 −2|=−144 Multipliquemos por −2 toda la

matriz, obtenemos: B=(−2 0 810 6 2−4 12 4) y |B|=|−2 0 8

10 6 2−4 12 4|=1,152 Verifique cálculos.

∴|B|=cn|A|=(−2 )3 (−144 )=1,152

11. Repita el ejercicio multiplicando por 12

toda la matriz.

PROPIEDAD 3 Se tiene que det C=det A+det B

Cuando se tienen las siguientes matrices:

A=(a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 j ⋯ a2 n

⋮an 1

⋮an 2

⋱⋯

⋮anj

⋱⋯

⋮ann

)B=(a11 a12 ⋯ d1 j ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ d2 j ⋯ a2 n

⋮an1

⋮an 2

⋱⋯

⋮dnj

⋱⋯

⋮ann

)C=(

a11 a12 ⋯ a1 j+d1 j ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 j+d2 j ⋯ a2 n

⋮an 1

⋮an 2

⋱⋯

⋮anj+dnj

⋱⋯

⋮ann

) Las 3 matrices A , B y C son con excepción de la columna j exactamente iguales. Vea que la columna j de C es la suma de la columna j de A más la columna j de B .

Demostración. Se resuelve el det C con expansión por columna j.

det C=(a1 j+d1 j ) A1 j+(a2 j+d2 j ) A2 j+…+(anj+dnj) Anj

det C=(a1 j A1 j+a2 j A2 j+…+anj Anj )+(d1 j A1 j+d2 j A2 j+…+dnj Anj )=det A+det B

12. Veamos un ejemplo de la propiedad 3.

Sea A=( 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2)B=( 1 2 −4

−5 −1 −12 4 −2)y C=( 1 0+2 −4

−5 −3−1 −12 −6+4 −2)=( 1 2 −4

−5 −4 −12 −2 −2)

159

|A|=| 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2|=−144|B|=| 1 2 −4

−5 −1 −12 4 −2|=54|C|=| 1 2 −4

−5 −4 −12 −2 −2|=−90

det A+det B=−144+54=−90 det C=−90∴det C=det A+det B=−90

13. Verifique los determinantes anteriores.

PROPIEDAD 4 Si en una matriz A se hace un intercambio de 2 renglones (ó de 2 columnas) sin importar cuáles sean el det A cambia de signo, es decir se multiplica det A por −1.

NOTA 1: Recordemos que para reducir renglones en matrices existen 3 pasos. Uno de ellos es el intercambio de renglones, se usa para tener un 1 pivote ó cero. Se escribe Ri⇆R j, significa reemplaza el renglón Ri por R j. La propiedad 4 tiene una estrecha relación con dicho paso.

Demostración. Resolvamos un ejemplo primero con un solo intercambio de renglones, luego 2 intercambios de renglones, enseguida hagamos un solo intercambio de columnas, terminando con 2 intercambios de columnas. En el 2º. Intercambio se regresa al signo inicial.

14. Sea

A=( 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2) Intercambiemos renglones 1 y 2 B=(−5 −3 −1

1 0 −42 −6 −2) . Intercambiemos

renglones 2 y 3 en B para obtener C=(−5 −3 −12 −6 −21 0 −4). Al calcular |A|=−144|B|=144

|C|=−144. Es lo que esperamos con un intercambio y con 2 intercambios de renglones.

A=( 1 0 −4−5 −3 −12 −6 −2) Intercambiemos columnas 1 y 2 B=( 0 1 −4

−3 −5 −1−6 2 −2) . Intercambiemos

columnas 2 y 3 en B para obtener C=( 0 −4 1−3 −1 −5−6 −2 2 ). Al calcular |A|=−144|B|=144

|C|=−144. Es lo que esperamos con un intercambio y con 2 intercambios de columnas.

15. Para la matriz A=( 1 3 −4−2 4 −11 0 −5) intercambie renglones 2 y 3 obtenga B, intercambie en B

renglones 1 y 2 obtenga C, calcule |A|,|B| y |C|. Para la matriz A intercambie columnas 2 y 3 obtenga B, intercambie en B columnas 1 y 2 obtenga C, calcule |A|,|B| y |C|.

160

PROPIEDAD 5 Si dos renglones ó columnas son iguales en A entonces det A=0.

Demostración. Si la matriz A tiene 2 renglones iguales i y j. Cuando se intercambian esos renglones se obtiene la matriz B, que es igual a A . A=B∴de tA=det B . Con la propiedad 4 al intercambiar 2 renglones, se tiene que: de tB=−de tA, entonces det A=−det A, al despejar queda 2 det A=0 , lo que da lugar a det A=0.

16. Veamos 2 ejemplos:

A=( 2 −7 −1−3 −5 −92 −7 −1) A tiene 2 renglones iguales. |A|=0 Verifíquelo.

B=( 3 4 4−7 −2 −2−8 6 6 ) B tiene 2 columnas iguales. |B|=0 Verifíquelo.

17. Sea A=(7 −2 −93 4 13 4 1 ) B=( 1 1 5

−4 −4 −9−2 −2 0 ) Calcule |A| y |B|

PROPIEDAD 6 Si un renglón (columna) es un múltiplo escalar de otro renglón (columna) en A entonces det A=0.

Demostración. Sea una matriz A con un renglón múltiplo de otro. Con la propiedad 2 podemos factorizar el escalar c en el renglón que es múltiplo, de modo que los dos renglones sean iguales. Con la propiedad 5 se tiene que con 2 renglones iguales: det A=0.

18. Veamos 3 ejemplos:

A=( 1 3 25 15 10

−4 3 9 ) El 2º. renglón es 5 veces el 1er. renglón ∴|A|=0 Verifíquelo.

B=( 1 −9 3−3 −3 16 −6 2) La 2ª. columna es −3 veces la 3ª. columna ∴|B|=0 Verifíquelo.

C=(1352

2149

7−280

−2−6−10−4

) La 4ª. columna es −2 veces la 1ª. columna ∴|C|=0 Verifíquelo.

161

19. Multiplique por −2 el 1er. renglón de A y calcule |A|. Multiplique por 2 la 3ª. columna de B y calcule |B|. Multiplique por 3 la 1ª. columna de C y calcule |C|. Vea que los nuevos múltiplos son fraccionarios.

PROPIEDAD 7 El determinante de A NO CAMBIA cuando se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna) de A.

NOTA 1: Recordemos que para reducir renglones en matrices existen 3 pasos. Uno de ellos es s umar un múltiplo de un renglón a otro renglón, sirve para hacer cero, se escribe R j→ R j+c Ri significa reemplaza el renglón R j por R j+c Ri. La propiedad 7 tiene una estrecha relación con este paso.

Demostración. Usaremos un ejemplo para demostrar esta propiedad.

20. Sea A=( 1 2 −4−5 −1 −12 4 −2) |A|=| 1 2 −4

−5 −1 −12 4 −2|=54 Por reducción en renglones hagamos

0 el −5 y el 2 de la 1ª. columna, calculando luego el determinante de las nuevas matrices.

( 1 2 −4−5 −1 −12 4 −2)R2→ R2+5 R1

→ (1 2 −40 9 −212 4 −2 )R3→ R3−2 R1

→ (1 2 −40 9 −210 0 6 )

−5−1−1 2 4−2 5 10−20 −2−4 8 0 9−21 0 06

Ya se vió que cuando se reduce una matriz, las nuevas matrices son equivalentes a la matriz inicial. Por lo cual:

21. A=(1 2 −40 9 −212 4 −2 ) |A|=|1 2 −4

0 9 −212 4 −2 |=54 Verifíquelo.

22. A=(1 2 −40 9 −210 0 6 ) |A|=|1 2 −4

0 9 −210 0 6 |=(1 ) (9 ) (6 )=54 Es triangular superior.

Las 7 propiedades son importantes ya que si las comprendemos y las dominamos nos facilitan mucho el resolver determinantes. De las 7 propiedades vimos que hay 3 que se relacionan directamente con los 3 pasos de reducción por renglones de una matriz, es así como podemos dar solución al problema del determinante de 30 x 30.Veamos que propiedades son las que se relacionan con los 3 pasos de reducción de renglones.PROPIEDAD 2 El det A queda multiplicado por el escalar c si se multiplica un solo renglón ó una sola columna por el escalar c. Se tiene que |B|=c|A|

162

Al reducir renglones, para hacer 1 pivote se multiplica el renglón por un escalar c diferente de cero. Se escribe Ri → c Ri; significa reemplaza el renglón Ri por c Ri . La propiedad 2 tiene una estrecha relación con este paso.

Es importante aclarar que los escalares c de los 2 párrafos anteriores son diferentes ya que uno es recíproco del otro. Vamos a suponer que tengo un 3 en la posición a11 y que lo quiero hacer 1 pivote.

Requiero multiplicar por 13

todo el renglón, esto equivale a factorizar un 3 a la matriz, es decir, el 3

factorizado es el escalar c de la ecuación |B|=c|A|; mientras que 13

es el escalar c de la expresión

Ri → c Ri . Vea que 13

y 3 son recíprocos.

PROPIEDAD 4 Si en una matriz A se hace un intercambio de 2 renglones (ó de 2 columnas) sin importar cuáles sean el det A cambia de signo, es decir se multiplica det A por −1.

Al reducir renglones, el intercambio de renglones, se usa para tener un 1 pivote ó cero. Se escribe Ri⇆R j, significa reemplaza el renglón Ri por R j. La propiedad 4 tiene una estrecha relación con este paso.

El paso de intercambio de renglones se ocupa cuando hay un valor en otro renglón y lo quiero cambiar al renglón que estoy reduciendo, por ejemplo tengo un 5 en la posición a11 y tengo un 1 en la posición a31, puedo intercambiar los renglones 1 y 3 para tener 1 pivote en la posición a11 . Cada vez que usemos este paso debemos acumular un signo negativo.

PROPIEDAD 7 El determinante de A NO CAMBIA cuando se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna) de A.

Al reducir renglones, s umar un múltiplo de un renglón a otro renglón, sirve para hacer cero , se escribe R j→ R j+c Ri significa reemplaza el renglón R j por R j+c Ri. La propiedad 7 tiene una estrecha relación con este paso.Si tenemos un determinante relativamente grande, se puede por reducción de matrices usando sólo R j→ R j+c Ri obtener una matriz triangular superior sin hacer 1 pivote y de acuerdo a la propiedad 7 el determinante NO CAMBIA por lo que calculamos su determinante por multiplicación de los elementos de la diagonal principal; ó podemos reducir con los 3 pasos de la reducción por renglones y usar la propiedad 2, (acumular el recíproco del escalar c para hacer 1 pivote con Ri → c Ri), la propiedad 4 (acumular 1 signo ¿ cada vez que hacemos un cambio de renglones) y la propiedad 7 que no cambia el determinante al usar R j→ R j+c Ri para calcular el mismo.

Veamos 3 ejemplos resueltos en las 2 formas ya señaladas:

23. Sea A=( 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 ) . Calcule |A| por reducción de renglones con los 3 pasos.

163

¿

( 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 )R1⇆R3

→ ( 1 2 3−8 −10 −126 2 −4 )R2 → R2+8R1

→ (1 2 30 6 126 2 −4)R3 → R3−6R1

→

(6)

(1 2 30 6 120 −10 −22)R2 →

16

R2

→(1 2 30 1 20 −10 −22)R3→ R3+10 R2

→ (1 2 30 1 20 0 −2) No se ocupa I

|A|=| 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 |=¿

24. Sea A=( 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 ). Calcule |A| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri

para matriz triangular superior.

( 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 )R2 → R2+

86

R1

→ (6 2 −4

0−22

3−52

31 2 3

)R3→ R3−16

R1

→

6 x=8 ; x=86

6 x=−1 ;x=−16

−8−10−12 1 23 86

(6 2−4 )=883−16

3−1

6(6 2−4 )=−1−1

323

0−223

−523

053

113

(6 2 −4

0−22

3−52

3

053

113

)R3 → R3+5

22R2

→ (6 2 −4

0−22

3−52

3

0 0−311

)−22

3x=−5

3; x= 5

22

053

113

164

522 (0−22

3−52

3 )=0−53−130

33

0 0− 311

|A|=| 6 2 −4−8 −10 −121 2 3 |=|6 2 −4

0−22

3−52

3

0 0−311

|=(6 )(−223 )(−3

11 )=12

Nuevamente el mismo resultado. Observe que con los 3 pasos de reducción de renglones se ocuparon 5 reducciones y que usando un sólo paso 3 reducciones.

25. Sea A=(−2 −22 122 4 −26 −6 4 ) Calcule |A| por reducción de renglones con los 3 pasos.

(−2 −22 122 4 −26 −6 4 )R1→−1

2R1

→(1 11 −62 4 −26 −6 4 )R2→ R2−2R1

→ (1 11 −60 −18 106 −6 4 )R3 → R3−6 R1

→

(1 11 −60 −18 100 −72 40 )R2→− 1

18R2

→ (1 11 −6

0 1−59

0 −72 40)R3→ R3+72 R2

→ (1 11 −6

0 1−59

0 0 0)

|A|=|−2 −22 122 4 −26 −6 4 |=(−2 ) (−18 )|1 11 −6

0 1−59

0 0 0|= (36 ) (0 )=0 (Propiedad 1)

26. Sea A=(−2 −22 122 4 −26 −6 4 ) Calcule |A| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri

para matriz triangular superior.

(−2 −22 122 4 −26 −6 4 )R2→ R2+R1

→ (−2 −22 120 −18 106 −6 4 )R3 → R3+3 R1

→

165

6−6 4 3 (−2−22 12 )=−6−66 36 0−72 40

(−2 −22 120 −18 100 −72 40) R3 → R3−

7218

R2

→(−2 −22 12

0 −18 100 0 0 )

0−72 40−7218

(0−1810 )=0 72−40

0 00

|A|=|−2 −22 120 −18 100 0 0 |=0 (Propiedad 1)

ó también: |A|=|−2 −22 120 −18 100 0 0 |=(−2 ) (−18 ) (0 )=0

Nuevamente el mismo resultado. Observe que con los 3 pasos de reducción de renglones se ocuparon 5 reducciones y que usando un sólo paso 3 reducciones.

27. Sea A=(2103

4681

7−280

5−93

−1) Calcule |A| por reducción de renglones con los 3 pasos.

(2103

4681

7−280

5−93

−1)R1⇆R2

→ (1203

6481

−2780

−953

−1)R2→ R2−2R1

→ (1003

6−881

−21180

−9233

−1)R4 → R4−3 R1

→

(1000

6−88

−17

−21186

−9233

26)R2→−1

8R2

→ (1000 618

−17

−2−11

886

−9−23

83

26)R3 → R3−8 R2

→

(1000 610

−17

−2−11

8196

−9−23

82626

)R4 → R4+17 R2→ (10006

100

−2−11

819

−1398

−9−23

826

−1838

)R3 →1

19R3

→

166

(10006100

−2−11

81

−1398

−9−23

82619

−1838

)R4→ R4+139

8R3

→ (1000 6100

−2−11

810

−9−23

82619

137152

)

|A|=|2103

4681

7−280

5−93

−1|=¿

28. Sea A=(2103

4681

7−280

5−93

−1) Calcule |A| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri para

matriz triangular superior.

(2103

4681

7−280

5−93

−1)R2→ R2−

12

R1

→ (2003 4481

7−11

280

5−23

23

−1)R4 → R4−

32

R1

→

1 6−2−9 3 10−1 −12

(2 4 7 5 )=−1−2−72−5

2−3

2(2 4 7 5 )=−3−6−21

2−15

2

0 4−112

−232

0−5−212

−172

(2000 448

−5

7−11

28

−212

5−23

23

−172

)R3 → R3−2 R2→ (2

000

440

−5

7−11

219

−212

5−23

226

−172

)R4 → R4+54

R2

→

0 88 3 0−5−212

−172

−2(0 4−112

−232 )=0−8 1123

54 (0 4−11

2−23

2 )=05−558

−1158

167

0 0 19 26 0 0−1398

−1838

(2000 4400

7−11

219

−1398

5−23

226

−1838

)R4 → R4+54

R3

→ (2000

4400

7−11

2190

5−23

226

137152

) 0 0−139

8−183

8

139152

(0 019 26 )=0 01398

1,80776

0 0 0137152

|A|=|2103

4681

7−280

5−93

−1|=|2000 4

400

7−11

2190

5−23

226

137152

|=(2 ) (4 ) (19 )( 137152 )=137

Nuevamente el mismo resultado. Observe que con los 3 pasos de reducción de renglones se ocuparon 8 reducciones y que usando un sólo paso fueron 5 reducciones.

29. Veamos un ejercicio más, sea

A=(48

13

11

−5

53

−4

−22

−10 126 0

7−46

3 −5−2 6

12 −18) . Calcule |A| por reducción de renglones usando sólo

R j→ R j+c Ri para obtener matriz triangular superior.

Antes de iniciar el procedimiento al revisar la matriz podemos ver que si sumamos el renglón 1 al renglón 5 y después el renglón 4 al 5 se obtiene:

168

(48

13

11

−5

53

−4

−22

−10 126 0

7−46

3 −5−2 6

12 −18)R5 → R5+R1

→ (48

13

11

−1

53

−3

−22

−10 126 0

7−4

4

3 −5−2 62 −6

)R5→ R5+R4→

(48

13

110

530

−22

−10 126 0

7−40

3 −5−2 60 0

)|A|=|48 1

3110

530

−22

−10 126 0

7−40

3 −5−2 60 0

|=0 (Propiedad 1)

Con este último ejemplo podemos ver lo útil que son las propiedades de los determinantes, y además el saber observar nos permitió disminuir el trabajo para el cálculo del determinante, ya que en vez de 10 reducciones sólo ocupamos 2.


1. Sea A=(8 74 5) B=( 6 2

−5 −4) (a) Calcule det AB=det A det B

(b) Calcule det ( A+B )≠ det A+det B (c) Calcule det A=det AT

2. Sea A=(2 4 −13 −1 04 7 −2) B=( 1 0 −4

−5 −3 −12 −6 −2) (a) Calcule det AB=det A det B

(b) Calcule det ( A+B )≠ det A+det B (c) Calcule det A=det AT

3. Resuelva los siguientes determinantes, con el uso de una de las siete propiedades. Enuncie la propiedad con que se resuelve cada determinante.

|A|=|4 6 98 7 10 0 0|,|B|=| 7 −6 7

−1 −8 −16 −9 6 |,|C|=|7 −2 −9

3 4 83 4 8 |,|D|=| 1 1 5

−4 −4 −9−2 −2 0 |

169

|E|=|5708

9213

0000

2−71

−4|,

4. Sea A=( 2 3 −1−1 −1 01 −2 −5) (a) Resuelva c|A|=|B| donde c=2

(b) Multiplique el 1er. renglón de A por 2 , obtenga el determinante, ¿Es el mismo valor que |B| del inciso (a)?

(c) Multiplique la 2ª. columna de A por 2 , obtenga el determinante, ¿Es el mismo valor que |B| del inciso (a)?

(d) Multiplique toda la matriz A por 2 , obtenga el determinante, ¿Es el mismo valor que |B| del inciso (a)?

(e) Repita el inciso (a) con c=−12

.

(f) Multiplique el 3er. renglón de A por −12

, obtenga el determinante, ¿Es el mismo valor que |B| del

inciso (e)?

(g) Multiplique la 1ª. columna de A por −12


inciso (e)?

(h) Multiplique toda la matriz A por −12


inciso (e)?

(i) De los incisos anteriores que puede decir respecto a la relación que tiene la multiplicación de un solo renglón ó una sola columna por un escalar de una matriz y sus determinantes, antes de multiplicar y después de multiplicar.

(j) De los incisos anteriores que puede decir respecto a la relación que tiene la multiplicación de toda la matriz por un escalar y sus determinantes, antes de multiplicar y después de multiplicar.

5. Sea A=( 7 2 −8−3 −1 −45 −4 0 ) ,B=( 1 6 −4

−5 −7 −12 3 −2) y C=( 7 8 −8

−3 −8 −45 −1 0 )

(a) Compruebe det C=det A+det B

170

(b) ¿Qué renglón ó que columna se sumaron en A y B para obtener el renglón ó columna correspondiente a C ?

6. Sea A=( 1 −2 −3−4 0 −23 −5 −1)B=( 1 −2 −3

−4 0 −2−2 4 −3)

(a) Identifique que renglón ó columna es diferente entre A y B . Calcule C en la misma forma que el ejercicio anterior.

(b) Compruebe det C=det A+det B

7. Sea A=( 4 1 −2−6 −9 −73 −5 −8)

(a) Calcule |A|

(b) Intercambiemos renglones 1 y 2 en A , quedando como B , calcule |B|. De su conclusión.

(c) Intercambiemos renglones 2 y 3 en B , quedando como C , calcule |C|. De su conclusión.

(d) Intercambiemos columnas 1 y 2 en A , quedando como D , calcule |D|. De su conclusión.

(e) Intercambiemos columnas 1 y 2 en D , quedando como E , calcule |E|. De su conclusión.

8. Sea A=( 1 −6 1−4 −8 −43 −9 3 ). Calcule det A=0. ¿Bajo qué propiedad de determinantes podemos saber

que det A=0?

9. Sea B=( 1 1 5−4 −4 −9−2 −2 0 ). Calcule det B=0. ¿Bajo qué propiedad de determinantes podemos saber

que det B=0?

10. Construya una matriz de 3 x3 que tenga dos renglones iguales, compruebe que det C=0.

11. Escriba una matriz de 3 x3 que tenga dos columnas iguales, compruebe que det D=0.

12. Sea E=( 2 1 46 3 12

−7 1 −3) Calcule det E=0. ¿Bajo qué propiedad de determinantes podemos saber

que det E=0?

171

13. Sea F=( 0 −18 −6−5 15 51 −9 −3) Calcule det F=0. ¿Bajo qué propiedad de determinantes podemos saber

que det F=0?

14. Construya una matriz de 3 x3 que la 2ª. columna sea −3 veces la 3ª. columna, compruebe que det G=0. ¿Cuál es el número de la propiedad de determinantes que da det G=0?

15. Escriba una matriz de 3 x3 que el 1er. renglón sea 4 veces el 2º. renglón, compruebe que det H=0. ¿Cuál es el número de la propiedad de determinantes que da det H=0?

16. Sea J=( 1 4 −6−2 −5 23 0 −4) . (a) Por reducción en renglones haga cero el −2 y el 3.

(b) Sea K la matriz que resultó al hacer 0 el −2 y L la matriz que resultó al hacer 0 el 3 , Compruebe que |J|=|K|=|L|. ¿Cuál es el número de la propiedad que da |J|=|K|=|L|?

17. Sea M=( 3 4 −6−4 −1 −20 5 1 ) .Calcule |M| por reducción de renglones con los 3 pasos.

18. Sea M=( 3 4 −6−4 −1 −20 5 1 ) Calcule |M| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri para


19. Sea N=(−1 −2 13 3 −64 −5 3 ) .Calcule |N| por reducción de renglones con los 3 pasos.

20. Sea N=(−1 −2 13 3 −64 −5 3 ) Calcule |N| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri para


21. Sea O=(2103

4681

7−280

5−9

3−1

) .Calcule |O| por reducción de renglones con los 3 pasos.

172

22. Sea P=(−1 −2 13 3 −64 −5 3 ) Calcule |P| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri para matriz

triangular superior.

23. Sea Q=(3104

2130

4−321

1−10

−2) . Calcule |Q| por reducción de renglones con los 3 pasos.

24. Sea R=(3104

2130

4−321

1−10

−2). Calcule |R| por reducción de renglones sólo con R j→ R j+c Ri para


2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Ya vimos como calcular la inversa de una matriz por reducción en renglones [ A|I ]=[ I|A−1 ]. En este subtema veremos otra forma de calcular la inversa con ayuda del determinante.

TEOREMA 1 Sea A=(a11 a12

a21 a22) una matriz de 2 x2. Entonces se tiene que:

1.- A es invertible si y sólo si det A ≠0.

2.- Si det A ≠0, entonces

A−1= 1det A ( a22 −a12

−a21 a11)

NOTA: Compare la matriz ( a22 −a12

−a21 a11) con la matriz (a11 a12

a21 a22) identifique las diferencias.

Demostración: Primero suponemos que det A ≠0 y sea B=( 1det A )( a22 −a12

−a21 a11). Así

BA=( 1det A )( a22 −a12

−a21 a11)(a11 a12

a21 a22)

BA= 1a11 a22−a12 a21 (a22 a11−a12 a21 0

0 −a21a12+a11 a22)=(1 0

0 1)=I

173

Ocurre lo mismo con, AB=I , lo que indica que A es invertible y que B=A−1 . Falta demostrar que si A tiene inversa entonces det A ≠0. Para hacerlo consideremos el sistema:

a11 x1+a12 x2=b1

a21 x1+a22 x2=b2 (Sistema 1)

En el sistema anterior si a12=0 , entonces x1=b1

a11

y en la 2ª. ecuación se despeja x2 .

Si a22=0 , entonces x1=b2

a21

y en la 1ª. ecuación se despeja x2 .

Si a12¿a22=0, entonces el sistema de ecuaciones tiene sólo una incógnita x1 .

Supongamos que a12≠ 0 , a22≠ 0 y multipliquemos la 1ª. ecuación por a22 y la 2ª. por a12.

a11 a22 x1+a12 a22 x2=a22b1

a12a21 x1+a12a22 x2=a12b2 (Sistema 2)

Ya sabemos que los Sistemas 1 y 2 son equivalentes, es decir, que ambos tienen la misma solución. Al restar la segunda ecuación de la primera en el SISTEMA 2 se tiene:

(a11 a22−a12a21 ) x1=a22 b1−a12b2

Si a11 a22−a12 a22≠ 0 podemos dividir la ecuación entre este término y resolver x1

x1=a22b1−a12 b2

a11 a22−a12 a21

Al sustituir este valor de x1 en el Sistema 1, se puede calcular x2 despejando y así tendremos la solución única del sistema. Con lo anterior hemos demostrado lo siguiente:

Sia11 a22−a12 a22≠ 0 , entonces el Sistema1 tieneuna soluciónúnica

Ya vimos que el sistema se puede escribir en la forma A x=b donde x=(x1

x2) y b=(b1

b2).

Entonces, como A es invertible ya se vió que x=A−1b donde x es la solución única y esto implica que a11 a22−a12 a22≠ 0 y así se completa la demostración.Ya vimos que A es invertible si y sólo si det A ≠0 . Este teorema que se demostró para determinantes de 2 x2, es válido para n x n .

TEOREMA 2 Si A es invertible, entonces det A ≠0 y

174

det A−1= 1det A

Demostración. Suponga que A es invertible. Ya se vió que: det I=1 A−1 A=A A−1=I

det AB=det A det B entonces:

1=det I =det A A−1=det A det A−1det A−1= 1det A

El cálculo de la Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta, requiere además del determinante del uso de la adjunta de una matriz A=(aij ) , la cual vamos a definir. Sea B=( A ij) la matriz de cofactores de A. ¿Recuerda que es un cofactor? ¿Cómo se calcula?Entonces la matriz de cofactores B de n x n es:

B=(A11

A21

A12

A22

⋮An 1

⋮An2

⋯⋯

A1n

A2n

⋱⋯

⋮Ann

)NOTA: En una matriz cuadrada A de 3 x3, la matriz de cofactores B, se compone de 9 cofactores.

1 . Sea A=( 5 −2−3 4 ). Demuestre que det A−1= 1

det A|A|=| 5 −2

−3 4 |=14

A−1= 1det A ( a22 −a12

−a21 a11)= 1

14 (4 23 5)=(

27

17

314

514

)|A−1|=| 2

717

314

514

|=( 27 )( 5

14 )−( 17 )( 3

14 )=1098

− 398

= 798

= 114

|A−1|=det A−1= 114

,|A|=det A=14. Como1

14= 1

14∴det A−1= 1

det A

2.Sea A=(11 −2 −56 0 −2

17 4 −1). D emuestre quedet A−1= 1det A

Al calcular det A con el paquete Mathcad se obtiene:

175

Al calcular A−1 con el paquete Mathcad se obtiene:

Compruebe este resultado con fracciones.

Al calcular det A−1 con el paquete Mathcad se obtiene:

Seconfirma quedet A−1= 1det A

yaque 0.042= 124

DEFINICION 1 LA ADJUNTA. Sea A una matriz cuadrada de n x n y sea B la matriz de los cofactores de A antes escrita. Se tiene que la ADJUNTA de A, escrito adj A , es la transpuesta de la matriz B de n x n; es decir:

adj A=BT=(A11

A12

A21

A22

⋮A1 n

⋮A2n

⋯⋯

An1

An2

⋱⋯

⋮Ann

)NOTA: Es importante No confundir la adjunta de A , con el cálculo del determinante con expansión por cofactores.

En el cálculo del determinante sólo se selecciona un renglón ó una columna y se multiplica cada elemento del renglón ó columna seleccionado por su cofactor Aij=(−1 )i+ j|M ij|; así para el renglón 1 en

un determinante de 3 x3 se tiene que: |A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13 .

En el cálculo de la adjunta de A en una matriz cuadrada de 3 x3 se tienen que calcular los 9 cofactores A11 , A12 , A13 , .. ., A33 , teniendo cuidado con los signos. Se colocan en la matriz sin multiplicar por los elementos a ij , y se termina haciendo la transpuesta. Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 x3. (Cuidamos los signos de Aij)

3. Sea A=(1 3 52 4 −60 7 −3) Calcule la adj A , recordemos que: Aij=(−1 )i+ j|M ij|

176

A11=+|4 −67 −3|=(4 ) (−3 )−(−6 ) (7 )=−12− (−42 )=30

A12=−|2 −60 −3|=− [ (2 ) (−3 )−(−6 ) (0 ) ]=−[−6−(−0 ) ]=6

A13=+|2 40 7|=(2 ) (7 )− (4 ) (0 )=14−0=14

A21=−|3 57 −3|=−[ (3 ) (−3 )−(5 ) (7 ) ]=− [−9−35 ]=44

A22=+|1 50 −3|=(1 ) (−3 )− (5 ) ( 0 )=−3−0=−3

A23=−|1 30 7|=− [ (1 ) (7 )−(3 ) (0 ) ]=− [7−0 ]=−7

A31=+|3 54 −6|=(3 ) (−6 )−(5 ) (4 )=−18−20=−38

A32=−|1 52 −6|=−[ (1 ) (−6 )−(5 ) (2 ) ]=−[−6−10 ]=16

A33=+|1 32 4|=(1 ) ( 4 )−(3 ) (2 )=4−6=−2

A=(1 3 52 4 −60 7 −3)B=(A11 A12 A1 3

A21 A22 A2 3

A31 A32 A33)=( 30 6 14

44 −3 −7−38 16 −2)

adj A=BT=(A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33)=(30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 )

Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 x 4.

4. Sea A=(2103

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1) Calcule la adj A , se tiene que:

Sólo vamos a desarrollar 4 de los 16 cofactores. El primer cálculo lo haremos de dos formas distintas. Vea que renglón ó columna se expande en los siguientes 4 determinantes.

177

A11=+| 6 −2 −7−3 −4 31 0 −1|

6 −2−3 −41 0

=+[ 6 (−4 ) (−1 )+ (−2 ) (3 ) (1 )+(−7 ) (−3 ) (0 )−(−7 ) (−4 ) (1 )

−(6 ) (3 ) (0 )−(−2 ) (−3 )−1 ]=+ [24−6+0−28−0+6 ]=−4

A11=+| 6 −2 −7−3 −4 31 0 −1|=+(6|−4 3

0 −1|−2|−3 31 −1|−7|−3 −4

1 0 |)

A11=+| 6 −2 −7−3 −4 31 0 −1|=+ [6 (4−0 )−2 (3−3 )−7 (−0+4 ) ]=24+0−28=−4

A12=−|1 −2 −70 −4 33 0 −1|=−(1|−4 3

0 −1|−[−2 ]|0 33 −1|−7|0 −4

3 0 |)A12=−|1 −2 −7

0 −4 33 0 −1|=−[1 (4−0 )+2 (0−9 )−7 (0+12 ) ]=−( 4−18−84 )=98

A13=+|1 6 −70 −3 33 1 −1|=1|−3 3

1 −1|−( 0 )|6 −71 −1|+(3 )| 6 −7

−3 3 |

A13=+|1 6 −70 −3 33 1 −1|=1 (3−3 )−(0 ) (−6+7 )+(3 ) (18−21 )=0+0−9=−9

A14=−|1 6 −20 −3 −43 1 0 |=−(1|−3 −4

1 0 |−(0 )|6 −21 0 |+ (3 )| 6 −2

−3 −4|)

A14=−|1 6 −20 −3 −43 1 0 |=−[1 (−0+4 )−(0 ) (0+2 )+(3 ) (−24−6 ) ]=−(4−0−90 )=86

A21=−| 4 7 5−3 −4 31 0 −1|=−(36 )=−36 A22=+|2 7 5

0 −4 33 0 −1|=131

178

A23=−|2 4 50 −3 33 1 −1|=−(81 )=−81 A24=+|2 4 7

0 −3 −43 1 0 |=23

A31=+|4 7 56 −2 −71 0 −1|=11 A32=−|2 7 5

1 −2 −73 0 −1|=− (−106 )=106

A33=+|2 4 51 6 −73 1 −1|=−163 A34=−|2 4 7

1 6 −23 1 0 |=− (−139 )=139

A41=−| 4 7 56 −2 −7

−3 −4 3 |=−(−265 )=265 A42=+|2 7 51 −2 −70 −4 3 |=−109

A43=−|2 4 51 6 −70 −3 3 |=− (−33 )=33 A44=+|2 4 7

1 6 −20 −3 −4|=−65

A=(2103

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1)B=(

A11

A21

A31

A41

A12

A22

A32

A42

A1 3

A2 3

A33

A43

A14

A24

A34

A4 4

)=(−4−3611

265

98131106

−109

−9−81−163

33

8623139−65

)adj A=BT=(

A11

A12

A13

A14

A21

A22

A23

A24

A31

A32

A33

A34

A41

A42

A43

A4 4

)=(−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)5. Cálculo de la adjunta de una matriz de 2 x2.

Sea A=(a11 a12

a21 a22)B=(A11 A12

A21 A22)=( a22 −a21

−a12 a11)

adj A=BT=(A11 A21

A12 A22)=( a22 −a12

−a21 a11)

La matriz anterior ya se vió en el Teorema 1 de este subtema. Es importante no olvidar los signos de los cofactores, ni dejar de hacer la transpuesta.

TEOREMA 3 Sea A una matriz de n x n . Entonces:

179

( A ) (adj A )=(det A 0 0 ⋯ 0

0 det A 0 ⋯ 00⋮0

0⋮0

det A⋮0

⋯⋱⋯

0⋮

det A)=( det A ) I

Demostración. Sea C=(c ij )=( A ) ( adj A ) . Entonces

C=(a11

a21

⋮an 1

a12

a22

⋮an2

⋯⋯⋱⋯

a1 n

a2 n

⋮ann

)(A11

A12

⋮A1 n

A21

A22

⋮A2 n

⋯⋯⋱⋯

An1

An2

⋮Ann

)Se tiene que c ij=(renglón i de A ) ∙ (columna j deadj A )

c ij=(a i 1a i2⋯ a¿) ∙(A j 1

A j 2

⋮A jn

)=a i1 A j1+a i 2 A j 2+⋯+a¿ A jn

En la última expresión tenemos a i y j en un mismo término, se tiene que si i= j , la última expresión es igual a la expansión por cofactores en el renglón i de A , es decir el det A . En el caso de que i≠ j , entonces la suma de los productos se anula dando como resultado cero. Veamos 2 ejemplos para ver lo anterior.

6. Para una matriz de 3 x3 calcule ( A ) (adj A )= (det A ) I

Sea A=(1 3 52 4 −60 7 −3)se vió que B=(A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33)=( 30 6 14

44 −3 −7−38 16 −2)


A12 A22 A32

A13 A23 A33)=(30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 ) y |A|=|1 3 5

2 4 −60 7 −3|=118

Compruebe que C=( A ) (adj A )= (det A ) I

C=(c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33)=(1 3 5

2 4 −60 7 −3)(

30 44 −386 −3 16

14 −7 −2 )Ya vimos como multiplicar, por lo que haremos con detalle solo 4 cálculos.

180

c11=(1 3 5 )(306

14)=30+18+70=118

c12=(1 3 5 )( 44−3−7)=44−9−35=0

c13=(1 3 5 )(−3816−2 )=−38+48−10=0

c21=(2 4 −6 )(306

14)=60+24−84=0

c22=118 , c23=0 , c31=0 , c32=0 , c33=118 Verifique los últimos cálculos.

C=(c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33)=(1 3 5

2 4 −60 7 −3)(

30 44 −386 −3 16

14 −7 −2 )=(118 0 00 118 00 0 118 )

C=(118 0 00 118 00 0 118)=118 (1 0 0

0 1 00 0 1) Se comprueba que C=( A ) (adj A )= (det A ) I

Observe que si i≠ j, entonces c ij=0, y si i= j , c ij=det A

7. Para una matriz de 4 x 4 calcule ( A ) (adj A )= (det A ) I

Sea A=(2103

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1) |A|=|210

3

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1|=751

Se vió que: B=(A11

A21

A31

A41

A12

A22

A32

A42

A13

A23

A33

A43

A14

A24

A34

A44

)=(−4−36

11265

98131106

−109

−9−81−163

33

8623139−65

)

181

adj A=BT=(A11

A12

A13

A14

A21

A22

A23

A24

A31

A32

A33

A34

A41

A42

A43

A44

)=(−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)

Compruebe que C=( A ) (adj A )= (det A ) I

C=(c11

c21

c31

c41

c12

c22

c32

c42

c13

c23

c33

c43

c14

c24

c34

c44

)=(2103

46

−31

7−2−40

5−73

−1)(−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)Ya vimos como multiplicar, por lo que haremos con detalle solo 4 cálculos.

c11=(2 4 7 5 )(−498−986

)=−8+392−63+430=751

c12=(2 4 7 5 )(−36131−8123

)=−72+524−567+115=0

c13=(2 4 7 5 )(11

106−163139

)=22+424−1,141+695=0

c14=(2 4 7 5 )(265

−10933

−65)=530−436+231−325=0

Verifique los últimos cálculos.

C=(c11

c21

c31

c41

c12

c22

c32

c42

c13

c23

c33

c43

c14

c24

c34

c44

)=(2103

46

−31

7−2−40

5−73

−1)(−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)

182

C=(751

000

075100

00

7510

000

751)=751(

1000

0100

0010

0001) Se comprueba que C=( A ) (adj A )= (det A ) I

Observe que si i≠ j, entonces c ij=0, y si i= j , c ij=det A

TEOREMA 4 Sea A una matriz de n x n , se tiene que A es invertible si y sólo si det A ≠0

En este caso se ve que

A−1= 1det A

adj A

La ecuación A−1= 1det A ( a22 −a12

−a21 a11)esuncaso especial paramatrices de2 x2

Demostración. En el teorema anterior se vió que ( A ) (adj A )= (det A ) I , si det A ≠0 , podemos dividir ambos lados de ( A ) (adj A )= (det A ) I entre det A (es un número).

1det A

[ ( A ) (adj A ) ]= 1det A

(det A ) I ( A )[( 1det A ) (adj A )]=I

Recordemos que si AB=I , se tiene que: B=A−1 A A−1=I . Así entonces llegamos a:

( A ) [( 1det A )(adj A )]=I ( 1

det A ) (adj A )=A−1

8. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada de 2 x2 a través de la adjunta.

Sea A=( 3 7−2 −6) |A|=| 3 7

−2 −6|=−4

Como |A|≠ 0 , entonces A si es invertible.

A−1= 1det A ( a22 −a12

−a21 a11)= 1

−4 (−6 −72 3 )=(

32

74

−12

−34

)Para comprobar el resultado anterior se resuelve:

183

A−1 A=(32

74

−12

−34

)( 3 7−2 −6)=(1 0

0 1) ó también se puede:

A−1 A= 1−4 (−6 −7

2 3 )( 3 7−2 −6)= 1

−4 (−4 00 −4)=−4

−4 (1 00 1)=(1 0

0 1)Verifique los cálculos. El obtener la matriz Identidad confirma que nuestro resultado de la A−1 es correcto. Vea que es más sencillo resolver la última multiplicación de enteros que la de fracciones, aunque al final se factorice.

9. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada de 3 x3 a través de la adjunta.

Sea A=(1 3 52 4 −60 7 −3) |A|=|1 3 5

2 4 −60 7 −3|=118

Como |A|≠ 0 , entonces A si es invertible. Ya se calculó la adjunta de A, se obtuvo en su momento B, que es la matriz de cofactores y la adjunta de A .

B=(A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33)=( 30 6 14

44 −3 −7−38 16 −2)


A12 A22 A32

A13 A23 A33)=(30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 )

A−1= 1det A

adj A= 1118 (30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 )=(

1559

2259

−1959

359

−3118

859

759

−7118

−159

)Para comprobar el resultado anterior se resuelve:

184

A−1 A=(1559

2259

−1959

359

−3118

859

759

−7118

−159

)(1 3 52 4 −60 7 −3)=(1 0 0

0 1 00 0 1) ó también se puede:

A−1 A= 1118 (30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 )(1 3 5

2 4 −60 7 −3)= 1

118 (118 0 00 118 00 0 118)=118

118 (1 0 00 1 00 0 1)

Verifique los cálculos. El obtener la matriz Identidad confirma que nuestro resultado de la A−1 es correcto. Vea que es más sencillo resolver la última multiplicación de enteros que la de fracciones, aunque al final se factorice.

Al resolver A−1 A con el software Mathcad se obtiene:

El mismo resultado que obtuvimos.

NOTA: La matriz A−1 en el ejercicio que se acaba de resolver se puede expresar de 2 formas diferentes:

A−1= 1118 (30 44 −38

6 −3 1614 −7 −2 )=(

1559

2259

−1959

359

−3118

859

759

−7118

−159

)La matriz anterior es inversa de A=(1 3 5

2 4 −60 7 −3)

Veamos que pasa con el software Mathcad, el cuál no hace uso de fracciones y aunque usa decimales, con el redondeo los resultados NO son exactos. La matriz A−1 resulta ser:

185

Compare cada término de la última matriz con la de fracciones que inicia con 1559

. Los valores en

fracciones son exactos, los de decimales están redondeados. Veamos la multiplicación de A−1 A como queda cuando se usan decimales:

Vea que la última matriz No se parece a la matriz Identidad, es por el redondeo. Al revisarla podemos apreciar que en la diagonal hay 2 unos y un 1.005 que casi es 1. Los demás valores son muy pequeños del orden de milésimas, sin embargo a simple vista diríamos que no es la matriz Identidad. Es por ello que se insiste en usar fracciones para lograr resultados más exactos.

10. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada de 4 x 4 a través de la adjunta.

Sea A=(2103

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1)|A|=|210

3

46

−31

7−2−40

5−73

−1|=751

Como |A|≠ 0 , entonces A si es invertible. Ya se calculó la adjunta de A, se obtuvo en su momento B, que es la matriz de cofactores y la adjunta de A .

B=(A11

A21

A31

A41

A12

A22

A32

A42

A13

A23

A33

A43

A14

A24

A34

A44

)=(−4−36

11265

98131106

−109

−9−81−163

33

8623139−65

)adj A=BT=(

A11

A12

A13

A14

A21

A22

A23

A24

A31

A32

A33

A34

A41

A42

A43

A44

)=(−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)

A−1= 1det A

adj A= 1751 (

−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)

186

A−1= 1det A

adj A=(−475198

751−975186

751

−36751131751−8175123

751

11751106751

−163751139751

265751

−10975133

751−65751

)Para verificar el resultado anterior se resuelve A−1 A=I :

A−1 A=(−475198

751−975186

751

−36751131751−8175123

751

11751106751

−163751139751

265751

−10975133

751−65751

)(2103 46

−31

7−2−40

5−73

−1)=(

1000

0100

0010

0001)

También es posible resolver con:

A−1 A= 1751 (

−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)(2103

46

−31

7−2−40

5−73

−1)= 1

751 (751

000

0751

00

00

7510

000

751)

A−1 A=751751 (

1000

0100

0010

0001)=(

1000

0100

0010

0001)

El obtener la matriz Identidad confirma que nuestro resultado de la A−1 es correcto. Vea que es más sencillo resolver la última multiplicación de enteros que la de fracciones, aunque al final se divida entre 751.

Al resolver A−1 A= 1

det A( adj A ) A=I con el software Mathcad se obtiene:

Se confirma nuestro resultado.

187

NOTA: La matriz A−1 en el ejercicio que se acaba de resolver se puede expresar de 2 formas diferentes:

A−1=(−475198751−975186751

−36751131751−8175123

751

11751106751

−163751139751

265751

−10975133751−65751

)A−1= 1

det Aadj A= 1

751 (−498−986

−36131−8123

11106

−163139

265−109

33−65

)Ambas ecuaciones son la inversa de A=(

2103

46

−31

7−2−4

0

5−73

−1)

Veamos que pasa con el software Mathcad, el cuál no hace uso de fracciones y aunque usa decimales, con el redondeo los resultados NO son exactos. La matriz A−1 resulta ser:

Compare cada término de la última matriz con la de fracciones que inicia con −4751

.Los valores en

fracciones son exactos, los de decimales están redondeados. Veamos la multiplicación de A−1 A como queda cuando se usan decimales:

Vea que la última matriz no se parece a la matriz Identidad, es por el redondeo. Al revisarla podemos apreciar que en la diagonal hay 3 unos y un 0.996 que casi es 1. Los demás valores son muy pequeños del orden de milésimas, sin embargo a simple vista diríamos que no es la matriz Identidad. Es por ello que se insiste en usar fracciones para lograr resultados más exactos.

188

NOTA 1. Con lo que se ha visto podemos concluir que es más sencillo en el caso de 4 x 4 resolver la inversa de A con reducción por renglones que por el método de adjunta; ya que es necesario resolver 17 determinantes, 16 para la adjunta de A más 1 para el determinante. Sin embargo la importancia del Teorema es que el cálculo del determinante nos dice si existe o no la inversa. Es conveniente señalar que en muchas aplicaciones de Ingeniería como la Teoría del Control se encuentran matrices con variables en

vez de números, del tipo (w xy z ) mismas que se resuelven con determinantes.


1.Sea A=( 3 −5−6 8 ) . Demuestre quedet A−1= 1

det A

2.Sea B=(2 −3 −10 5 −44 3 −6) .D emuestre quedet B−1= 1

det B

3. Sea C=(2 1 64 5 −26 3 −1). Calcule la adjunta de C .

4. Sea D=(1320

23

−42

5−1−35

6−10

−4). Calcule la adjunta de D.

5. Sea E=(4 85 7) Calcule la adjunta de E .

6. Compruebe que ( A ) (adj A )= (det A ) I para las matrices de los ejercicios 3, 4 y 5.

7. Calcule la inversa por el método de adjunta de las siguientes matrices:

F=( 9 6−7 −5) ,G=(2 1

23 −4) , H=(0 4 2

1 1 −12 3 −5) , J=(

2 −1 5

317

2

25

4 7)K=(

1032

−1201

−4−3−5−1

5−23

−1) , L=(

0142

10

−35

2−1−46

1−23

−5)

189

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

Las matrices tienen muchas aplicaciones, pues nos representan cantidades de la vida diaria o en el estudio de: Física, Química, Biología, Economía, Sociología, Finanzas, Matemáticas, Psicología, y en muchas otras áreas del conocimiento.

Ejemplo de suma de matrices que incluye un breve análisis de los datos.

1. Un Gerente dirige 5 fábricas en distintas ciudades del país en las que se procesan 4 distintos productos para la industria de la construcción. El Gerente anota en una bitácora la producción diaria de los 4 productos de cada fábrica pero tiene la necesidad de saber cuánto produce cada fábrica en los 5 días hábiles de cada semana. Le solicita a su Ingeniero de procesos que le busque una manera sencilla de tener la información disponible. La producción anda en promedio entre 1,000 y 3,000 kilogramos diarios de cada producto, en múltiplos de 1,000 kilogramos, dependiendo de la demanda.

Solución: El Ingeniero decide anotar en forma de matriz la producción diaria de las 5 fábricas, para ello usa una matriz de 5 x 4 un renglón por fábrica y una columna por producto. La fábrica A en el 1er. renglón, B en el 2º. renglón, C en el 3er. renglón, y así continua. En la 1ª. columna el producto 1, en la 2ª. el 2 y así continua. La información en forma de matriz queda para cada día de la semana y para la semana misma como:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

(3 1 1 20 2 1 3121

311

211

233)+(

2 1 1 13 2 1 2111

331

323

332)+(

3 1 2 20 0 0 0211

302

122

231)+(

3 3 2 32 2 3 3131

101

132

132)+(

2 2 1 33 1 3 2221

302

211

232)=¿

¿(3+2+3+3+2 1+1+1+3+2 1+1+2+2+1 2+1+2+3+30+3+0+2+3 2+2+0+2+1 1+1+0+3+3 3+2+0+3+21+1+2+1+22+1+1+3+21+1+1+1+1

3+3+3+1+31+0+0+0+31+1+2+1+2

2+3+1+1+21+2+2+3+11+3+2+2+1

2+3+2+1+23+3+3+3+33+2+1+2+2

)¿(

13 8 7 118 7 8 10795

1347

999

101510

)Al ver la información anterior el Gerente nota diferentes valores que le llaman la atención. Por ejemplo en la matriz del lunes ve un cero, al preguntar le informan que ese día en la fábrica B se descompuso un equipo de la línea de producción del producto 1 y se necesitó todo el día en su reparación. Al ver el miércoles nota que la fábrica B no tuvo producción ese día, se entera de que hubo un transformador que se descompuso y estuvo todo el día sin luz la fábrica. Al ver la matriz donde están indicadas las sumas ve

190

que en la posición a42 hay 3 ceros juntos averigua que hubo un mantenimiento mayor de 3 días en la fábrica D en la línea 2. En la última matriz ve que el número más pequeño es el 5 de la posición a51 lo que indica una baja demanda del mercado para el producto 1 en la fábrica E, por lo que decide hablar con ventas y les pide que busquen más clientes para ese producto. En la última matriz ve que el número más grande es el 15 de la posición a44 lo cual es señal de una demanda alta en el mercado de la fábrica D para la línea de producción 4, lo cual de continuar puede significar el tomar la decisión de aumentar la capacidad de producción de la línea. Concluimos que el uso de matrices y la suma de las mismas nos permite visualizar los datos en forma conjunta y en base a ellos tomar decisiones para el futuro de una empresa. En una bitácora con los datos dispersos, el Gerente no puede analizar los datos de igual manera que al verlos todos juntos en una sola hoja.

Ejemplo de multiplicación de una matriz (vector) renglón y una matriz (vector) columna.

2. Un fabricante de artesanías sobre diseño tiene órdenes por 5 mesitas, 6 sillas, 2 mesas y 8 bancos. El tiempo de mano de obra está estimado en: 2 horas para cada mesita, 3 y media horas para cada silla, 7 horas para cada mesa y 2 horas con 15 minutos para cada banco. a) Exprese las órdenes del fabricante como vector renglón. b) Exprese el tiempo en horas como vector columna. c) Use el producto punto para calcular el tiempo total en horas que requerirá para terminar el trabajo.

Solución: a) La matriz renglón es: (5 6 2 8 ) b) La matriz columna es: (2

3.57

2.25)

Nota: En la última matriz usamos decimales, pero son exactos.

c) Tiempo total en horas ¿ (5 6 2 8 ) ∙(2

3.57

2.25)=10+21+14+18=63 horas.

Aunque no se hizo análisis dimensional, éste se cumple, vamos a checarlo:

5 mesitas( 2 hrs .1 mesita )+6 sillas( 3.5 hrs .

1 silla )+2mesas ( 7 hrs .1 mesa )+8 bancos ( 2.25 hrs .

1 banco )=63 hrs .

Ejemplo de multiplicación de una matriz de 2 x3 y de una matriz columna.

3. Una compañía cervecera paga un salario a sus Ejecutivos de más alto nivel y les da un cierto número de acciones como un bono anual. Al Director Comercial le pagó en un año 2,000,000 de pesos y 150 acciones. Cada uno de los Subdirectores de las 5 regiones del país recibieron 1,200,000 pesos y 70 acciones y el Contador General recibió 900,000 pesos y 40 acciones. a) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones como una matriz de 2 x3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel como una matriz columna. c) Use la multiplicación de matrices para saber la cantidad total de dinero y acciones que pagó la compañía el último año.

191

Solución: a) La matriz es: (2,000,000 1,200,000 900,000150 70 40 )

(2,000,000 1,200,000 900,000150 70 40 )=(2∙106 1.2 ∙ 106 9 ∙ 105

150 70 40 )

b) La matriz columna es: (151)c)(2 ∙ 106 1.2 ∙106 9 ∙105

150 70 40 ) (151)=[ (2∙ 106 ) 1+(1.2 ∙106 )5+ (9 ∙105 )1(150 )1+(70 )5+( 40 )1 ]

(2 ∙ 106 1.2 ∙106 9 ∙105

150 70 40 ) (151)=(8.9 ∙ 106

540 ) Es decir, 8,900,000 pesos y 540 acciones.

Ejemplo de multiplicación de matrices.

4. Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa. Con la multiplicación de matrices podemos ver la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Supongamos que un grupo de 4 personas infectadas, hacen contacto directo con 6 personas de un segundo grupo. Representados por la siguiente matriz de 4 x6.

Matriz de contacto directo entre 1º. y 2º. grupos A=(1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 010

00

01

00

01

10)

En la matriz anterior el 1 , representa un contacto, mientras el 0 no representa contacto así el 1 de la posición a31 indica que la 3ª. persona enferma del grupo 1, tuvo contacto con la 1ª. persona del grupo 2. Supongamos que un 3er. grupo de 5 personas tienen contacto directo con algunas de las personas del 2º. Grupo. Al representar la matriz se tiene que:

Matriz de contacto directo entre 2º. y 3er. grupos B=(1 0 0 1 10 0 1 0 01000

1010

0101

0100

0001)

Nuevamente en la matriz anterior el 1 , representa un contacto, mientras el 0 no representa contacto así el 1 de la posición b14 indica que la 1ª. persona del grupo 2, tuvo contacto con la 4ª. persona del grupo 3.Los contactos indirectos o de segundo orden, entre las personas del 1er. grupo y del 3er. grupo se obtienen al multiplicar ambas matrices, obteniendo una matriz C de4 x 5. Cada vez que se obtenga un

192

1 , indicará que la persona del 3er. grupo estuvo en contacto indirecto con una persona del 1er. grupo. Por ejemplo: a31 y b14 son ambos 1 ; esto nos indica que la 4ª. persona del grupo 3 tuvo contacto indirecto con la 3ª. persona del grupo 1 , a través de la 1ª. persona del grupo 2 (vea los subíndices). Para obtener el número total de contactos indirectos entre la 3ª. persona en el grupo 1 y la 4ª. persona del grupo 3 se multiplica:

c34=a31b14+a32b24+a33 b34+a34b44+a35 b54+a36b64

c34=1 ∙ 1+0∙ 0+0∙ 0+0∙ 1+0 ∙0+1∙ 0=1

Igual que ya se calculó c34 , se procede con los demás elementos, obteniendo así la matriz de contacto indirecto entre el 1º. Y 3er. grupos, que resulta con el paquete Mathcad:

La suma de las columnas de la última matriz nos indica el número de contactos indirectos del 3er. grupo con la enfermedad. La 4ª. persona tuvo un total de 2+1+1=4 contactos indirectos.

Vamos a hacer un paréntesis para hablar de formas cuadráticas y su relación con la multiplicación de matrices.

Las siguientes expresiones se conocen como formas cuadráticas, la primera en x y en y . La segunda en x , y y z .

a x2+b y2+cxy ; a x2+b y2+c z2+dxy+exz+fyz

Observe que cada término que se suma tiene grado dos en todas las variables.

Ejemplo de formas cuadráticas.

5. Indique si las siguientes expresiones son formas cuadráticas 7 x2−9 y2+2 xy, x2+5 y2+4 x . 7 x2−9 y2+2 xy , si es forma cuadrática; x2+5 y2+4 x no es forma cuadrática.

Es posible representar con una multiplicación de matrices formas cuadráticas.

xT A x=( x y )( a c /2c /2 b )( x

y)=a x2+b y2+cxy , donde xT= ( x y ) , A=( a c /2

c /2 b ) y x=(xy) .

Observe que A es una matriz simétrica. Vea que a y b están en la diagonal principal de A y son los coeficientes de x2 y y2.

193

Comprobemos la expresión: xT A x=( x y )( a c /2

c /2 b )( xy)=a x2+b y2+cxy

xT A x=( x y )( a c /2c /2 b )( x

y)=(ax+ cy2

cx2

+by )(xy)=a x2+ cxy

2+ cxy

2+b y2

xT A x=( x y )( a c /2c /2 b )( x

y)=a x2+b y2+cxy

En forma similar se tiene que

xT A x=( x y z )( a d /2 e /2d /2 b f /2e /2 f /2 c )( x

yz )=a x2+b y2+c z2+dxy+exz+ fyz.

Observe que A es una matriz simétrica. Vea que a ,b y c están en la diagonal principal de A y son los coeficientes de x2 , y2 y z2.

Comprobemos la expresión:


yz )=a x2+b y2+c z2+dxy+exz+ fyz

( x y z )( a d /2 e /2d /2 b f /2e/2 f /2 c )( x

yz )=(ax+ dy

2+ ez

2dx2

+by+ fz2

ex2

+ fy2

+cz ) ( xyz )

( x y z )( a d /2 e /2d /2 b f /2e/2 f /2 c )( x

yz )=a x2+ dxy

2+ exz

2+ dxy

2+b y2+ fyz

2+ exz

2+ fyz

2+c z2


yz )=a x2+b y2+c z2+dxy+exz+ fyz

Nos vamos a referir a A como la matriz asociada con f .

6. Ejemplo: Determine la forma cuadrática con matriz asociada A=( 4 −3−3 2 ) .

Si x=(xy) , se tiene que

194

f ( x )=xT A x=( x y )( 4 −3−3 2 )(x

y)=4 x2+2 y2−6 xy

Observe que sin considerar la diagonal principal en la matriz simétrica A : a12=a21=−3 son sumadas para proporcionar el coeficiente −6 de xy. Esto último se cumple en general. Por lo que se puede expandir una forma cuadrática con n variables xT A x como se indica enseguida:

xT A x=a11 x12+a22 x2

2+⋯+ann xn2+∑

i< j

2aij x i x j

Así si i≠ j, el coeficiente de x i x j es 2 aij.

7. Ejemplo. Encuentre la matriz asociada A con la forma cuadrática

f ( x1 , x2 , x3 )=8 x12+x2

2−9 x32+10 x1 x2−7 x2 x3

Recordemos que los coeficientes de los términos cuadrados x i2 van sobre la diagonal principal como a ii ,

en cambio los coeficientes de los términos con productos cruzados x i x j van repartidos entre a ij y a ji, obteniendo entonces la matriz simétrica

A=(8 5 05 1 −7 /20 −7 /2 −9 ). Así entonces f ( x1 , x2 , x3 )=( x1 x2 x3 )(8 5 0

5 1 −7/20 −7 /2 −9 )(x1

x2

x3)

Verifique las multiplicaciones de las matrices anteriores.

8. Ejemplo. Encuentre la matriz asociada A con la forma cuadrática

f ( x1 , x2 , x3 )=−x12+3 x2

2+5 x32

Recordemos que los coeficientes de los términos cuadrados x i2 van sobre la diagonal principal como a ii ,

en cambio al no tener productos cruzados x i x j sus coeficientes son cero, obteniendo entonces la matriz

A=(−1 0 00 3 00 0 5). Así entonces f ( x1 , x2 , x3 )=( x1 x2 x3 )(−1 0 0

0 3 00 0 5)( x1

x2

x3)

Observe que A es una matriz diagonal. Verifique las multiplicaciones de las matrices.

9. Ejemplo de la aplicación del determinante en la Geometría Analítica.

Determinemos la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos: A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

195

| x y 1x1 y1 1x2 y2 1|=0 Ejemplo: A ( x1 , y1 )=A (−1, 3 ) , B ( x2 , y2)=B (8 ,2 ) .

| x y 1−1 3 18 2 1|=0 Lossignos de los cofactores son¿

x (3−2 )− y (−1−8 )+1 (−2−24 )=0 x+9 y−26=0


Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos: A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 )

| x2+ y2 xx1

2+ y12 x1

y 1y1 1

x22+ y2

2 x2

x32+ y3

2 x3

y2 1y3 1

|=0 Ejemplo: A ( x1 , y1 )=A (1 , 4 ) , B ( x2 , y2 )=B (3 , 2 ) ,C (−1 ,2 )

| x2+ y2 x12+42 1

y 14 1

32+22 3(−1 )2+22 −1

2 12 1

|=0|x2+ y2 x17 1

y 14 1

13 35 −1

2 12 1

|=0

Resolviendo con expansión por cofactores en el 1er. renglón.

( x2+ y2 )| 1 4 13 2 1

−1 2 1|−x|17 4 113 2 15 2 1|+ y|17 1 1

13 3 15 −1 1|−¿1|17 1 4

13 3 25 −1 2|=0

Resolviendo por separado cada término se tiene que:

( x2+ y2 )| 1 4 13 2 1

−1 2 1|=( x2+ y2 ) [1 (0 )−3 (4−2 )−1 ( 4−2 ) ]=( x2+ y2 ) (−8 )

( x2+ y2 )| 1 4 13 2 1

−1 2 1|=−8 x2−8 y2

196

−x|17 4 113 2 15 2 1|=−x [17 (3+1 )−13 ( 4−2 )+5 (4−2 ) ]=−x (−26+10 )=16 x

y|17 1 113 3 15 −1 1|= y [17 (3+1 )−13 (1+1 )+5 (1−3 ) ]= y (68−26−10 )=32 y

−¿1|17 1 413 3 25 −1 2|=−1 [17 (6+2 )−13 (2+4 )+5 (2−12 ) ]=−1 (136−78−50 )=−1 (8 )

−¿1|17 1 413 3 25 −1 2|=−8

| x2+ y2 xx1

2+ y12 x1

y 1y1 1

x22+ y2

2 x2

x32+ y3

2 x3

y2 1y3 1

|=−8 x2−8 y2+16 x+32 y−8=0. Al dividir entre −8 queda:

x2+ y2−2 x−4 y+1=0


Determina la ecuación de una parábola que pasa por 3 puntos: A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 )

| y x2

y1 x12

x 1x1 1

y2 x22

y3 x32

x2 1x3 1

|=0 Ejemplo: A ( x1 , y1 )=A (1 , 0 ) ,B ( x2 , y2)=B (2, 1 ) ,C (0 ,3 )

|y x2

0 1x 11 1

1 22

3 022 10 1

|=0|y x2

0 1x 11 1

1 43 0

2 10 1

|=0

Resolviendo con expansión por cofactores en el 1er. renglón.

y|1 1 14 2 10 0 1|−x2|0 1 1

1 2 13 0 1|+x|0 1 1

1 4 13 0 1|−¿1|0 1 1

1 4 23 0 0|=0

197

Resolviendo por separado cada término se tiene que:

y|1 1 14 2 10 0 1|= y [1 (2 )−4 (1−0 )+0 (1−2 ) ]= y (2−4 )=−2 y

−x2|0 1 11 2 13 0 1|=−x2 [0 (2−0 )−1 (1−0 )+3 (1−2 ) ]=−x2 (−1−3 )=4 x2

x|0 1 11 4 13 0 1|=x [0 (4−0 )−1 (1−0 )+3 (1−4 ) ]=x (−1−9 )=−10 x

−¿1|0 1 11 4 23 0 0|=−1 [0 (0 )−1 (0 )+3 (2−4 ) ]=−1 (−6 )=6

| y x2

y1 x12

x 1x1 1

y2 x22

y3 x32

x2 1x3 1

|=−2 y+4 x2−10 x+6=0. Al dividir entre 2 con reacomodo queda:

∴2 x2−5 x− y+3=0

12. Ejemplo de la aplicación del determinante y de la inversa con reducción de renglones.

Encuentre el valor de k de modo que la matriz A tenga inversa y calcular la misma.

A=(1 3 10 4 −2k −5 1 )|A|=|1 3 1

0 4 −2k −5 1 |≠ 0, para que exista la inversa.

|A|=1 (4−10 )−0 (3+5 )+k (−6−4 ) , 1 ( 4−10 )−0 (3+5 )+k (−6−4 )≠ 0

−6−10 k ≠ 0 , k≠− 610

, k ≠−35

Seak=0.

( A|I )=(1 3 10 4 −20 −5 1 |1 0 0

0 1 00 0 1) Vamos a calcular ( A|I )=( I|A−1 )

198

(1 3 10 4 −20 −5 1 |1 0 0

0 1 00 0 1)R2 →

14

R2

→ (1 3 1

0 1−12

0 −5 1|1 0 0

014

0

0 0 1)R3 → R3+5 R2

→

0−5 100 1

0 5−52

054

0

0 0−32

054

1

(1 3 1

0 1−12

0 0−3

2|1 0 0

014

0

054

1)R3→−23

R3

→ (1 3 1

0 1−12

0 0 1 |1 0 0

014

0

0−56

−23

)R2→ R2+12

R3

→

0 1−12

014

0

0 012

0− 512

−13

0 10 0−16−1

3

(1 3 10 1 00 0 1|1 0 0

0−16

−13

0−56

−23

)R1→ R1−R3→ (1 3 0

0 1 00 0 1|1

56

23

0−16

−13

0−56

−23

)R1→ R1−3 R2→

1 311 00 1 30156

23

0 0−1056

23

0−3 0 012

1

1 30156

23

1 00 143

53

(1 0 00 1 00 0 1|1

43

53

0−16

−13

0−56

−23

)Al calcular la inversa con el paquete Mathcad obtenemos:

199

Se confirma nuestro resultado.

13. Ejemplo de la aplicación de la inversa.

Criptografía Un proceso para encriptar un mensaje secreto es una cierta matriz cuadrada cuyos elementos son enteros con elementos enteros en la inversa. Se recibe un mensaje, se asigna un número a cada letra (por ejemplo, A = 1, B = 2, etcétera y espacio = 27), se arreglan los números en una matriz izquierda a derecha en cada renglón, donde el número de elementos en el renglón es igual al tamaño de la matriz de código, se multiplica esta matriz por la matriz de código por la derecha, se transcribe el mensaje a una cadena de números (que se lee de izquierda a derecha a lo largo de cada renglón), y se manda el mensaje.La persona que debe recibir el mensaje conoce la matriz de código. El o ella arreglan el mensaje encriptado en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón, en donde el número de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de código, multiplica por la derecha por el inverso de la matriz de código y puede leer el mensaje decodificado (de izquierda a derecha de cada renglón).a. (lápiz y papel) Si se arregla el mensaje en una matriz leyendo de izquierda derecha de manera que el número de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de código, ¿por qué debe multiplicarse por la derecha?¿Porqué al multiplicar por la inversa se decodifica el mensaje (es decir se deshace el encriptado)?

Para explicar las dos preguntas anteriores, haremos un ejemplo de multiplicación de 2 matrices, BA=C y luego multiplicaremos C A−1=B y demostraremos que llegamos a la matriz original B, que es el mensaje original.

Suponga que la matriz código es A=(3 12 1). El mensaje es: B=(4 6

5 7)|A|=|3 1

2 1|=1. Así la inversa tendrá solo números enteros. Sea C el mensaje codificado.

C=BA C=(4 65 7)(3 1

2 1)=(24 1029 12) . La última matriz es el mensaje codificado.

Al calcular con el paquete Mathcad la multiplicación de B A=C se confirma el resultado.

A−1=(3 12 1)

−1

=( 1 −1−2 3 )

Al calcular con el paquete Mathcad A−1 se confirma el resultado.

200

Solo queda multiplicar el mensaje codificado por la inversa, C A−1=B

C A−1=BC A−1=(24 1029 12)( 1 −1

−2 3 )=(4 65 7) . La última matriz es el mensaje.

Al calcular con el paquete Mathcad la multiplicación de C A−1=B se confirma el resultado.

C=BA C A−1=BA A−1C A−1=BI C A−1=B

b. Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz A dada. Decodifíquelo. (Suponga que A = 1, B = 2, etcétera, y espacio = 28.)

A=(1 2 −3 4 5

−2 −5 8 −8 −9112

214

−20

−6

768

91211

) Es la matriz código.

Mensaje: 61 , 113 ,−133 , 336 , 459 ,63 ,96 ,−89 ,351 , 556 , 33 ,26 ,−2 , 171, 325 , 102 ,183 ,−227 ,503 ,739.

Nota: El primer renglón de la matriz que necesita construir es 61 , 113 ,−133 , 336 , 459 Ahora continúe con el siguiente renglón.

Solución:

C=(61 113 −133 336 45963 96 −89 351 55633102

26183

−2−227

171503

325739

) . Es la matriz con el mensaje codificado.

Al calcular A−1 con el paquete Mathcad se obtiene:

201

A−1=(14 1 −2 1 −522 −7 −4 6 −1913−2−2

−310

−210

3−10

−1021

). Es la inversa de la matriz código.

El

|A|=1 ,

explica porque la inversa no tiene fracciones.Para descifrar el mensaje se ocupa calcular C A−1=B

C A−1=(61 113 −133 336 45963 96 −89 351 55633

10226183

−2−227

171503

325739

)(14 1 −2 1 −522 −7 −4 6 −1913−2−2

−310

−210

3−10

−1021

)Al calcular C A−1=B con el paquete Mathcad se tiene que.

La última matriz B contiene el mensaje. Los números de cada letra son:

A=1 ,B=2 , C=3 , D=4 , E=5 , F=6 , G=7 , H=8 , I=9 , J=10 , K=11 , L=12 , M=13 , N=14 , Ñ=15 , 0=16 , P=17 ,Q=18 , R=19 , S=20 , T=21 ,U=22 , V=23 , W =24 , X=25 ,Y =26 , Z=27 , espacio=28.

ESCRIBA EL MENSAJE: ¿______________________________________________?

c. Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz A dada anteriormente. Decodifíquelo. (Suponga que A = 1, B = 2, etcétera, y espacio = 28.)Nota: El primer renglón de la matriz C que necesita construir es 53 , 97 ,−109 ,304 , 415. Ahora continúe con el siguiente renglón. Mensaje: 53 , 97 ,−109 ,304 , 415 ,64 , 95 ,−82 , 360 , 590 ,100 , 175 ,−213 , 495 ,733 , 19 , 12,35 ,184 , 306 ,−3 ,−33 ,76 ,23 , 73. Recuerde que debe multiplicar en el orden C A−1 .

202

d. Escriba un mensaje que tenga entre letras y espacios algún múltiplo de 5, si por ejemplo tiene 23 letras y espacios, pase a números el mensaje, agregue al final 2 veces el número 28 que indica espacio y así complete 25 números. Ponga los números en una matriz de izquierda a derecha con 5 números por renglón. La matriz B que debe tener puede ser de, 1 x5 , 2x 5 ,3 x 5 , 4 x5 , 5 x5 , etc . . Multiplique BA=C , la matriz C , es el mensaje codificado, al multiplicar C A−1=B, obtiene B que es el mensaje descodificado (el inicial). Compruebe las multiplicaciones y el mensaje de B al final.


1. Un Gerente dirige 5 fábricas en distintas ciudades del país en las que se procesan 4 distintos productos para la industria de la construcción. El Gerente anota en una bitácora la producción diaria de los 4 productos de cada fábrica. ¿Cuánto produce cada fábrica en los 5 días hábiles de cada semana? La producción diaria de las 5 fábricas, en forma de matriz de 5 x 4 donde hay un renglón por fábrica y una columna por producto. Con la fábrica A en el 1er. renglón, B en el 2º. renglón, C en el 3er. renglón, y así continua. En la 1ª. columna el producto 1, en la 2ª. el 2 y así continua. La información en forma de matriz queda para cada día de la semana y para la semana misma como: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

(1 2 3 12 1 3 2312

322

121

312)(

3 3 1 31 1 3 1023

221

212

202)(

2 3 3 11 2 2 3023

121

223

220)(

2 2 3 01 2 3 2123

312

221

122)(

2 3 1 02 2 2 3023

132

230

221)

2. Un fabricante de artesanías sobre diseño tiene órdenes por 4 mesitas, 8 sillas, 3 mesas y 7 bancos. El tiempo de mano de obra está estimado en: 2 horas para cada mesita, 3 y media horas para cada silla, 6 horas para cada mesa y 2 horas con 15 minutos para cada banco. a) Exprese las órdenes del fabricante como vector renglón. b) Exprese el tiempo en horas como vector columna. c) Use el producto punto para calcular el tiempo total en horas que requerirá para terminar el trabajo.

3. Una compañía cervecera paga un salario a sus Ejecutivos de más alto nivel y les da un cierto número de acciones como un bono anual. Al Director Comercial le pagó en un año 1,800,000 de pesos y 130 acciones. Cada una de los Subdirectores de las 5 regiones del país recibieron 1,100,000 pesos y 60 acciones y el Contador General recibió 800,000 pesos y 30 acciones. a) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones como una matriz de 2 x3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel como una matriz columna. c) Use la multiplicación de matrices para saber la cantidad total de dinero y acciones que pagó la compañía el último año.

4. Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa. Supongamos que un grupo de 4 personas infectadas, hacen contacto directo con 6 personas de un segundo grupo. Representados por la siguiente matriz de 4 x6.

Matriz de contacto directo entre 1º. y 2º. grupos A=(0 0 1 0 1 01 0 0 1 0 110

10

01

01

00

10)

203

Supongamos que un 3er. grupo de 5 personas tienen contacto directo con algunas de las personas del 2º. Grupo. Al representar la matriz se tiene que:

Matriz de contacto directo entre 2º. y 3er. grupos B=(0 1 0 1 00 0 0 0 10101

0010

0011

1000

0010)

Determine los contactos indirectos o de segundo orden, entre las personas del 1er. grupo y del 3er. grupo.

5. Determine la forma cuadrática con matriz asociada A=( 2 −1−1 4 ). Si x=(x

y) .

6. Encuentre la matriz asociada A con la forma cuadrática

f ( x1 , x2 , x3 )=3 x12+22−5 x3

2−11 x1 x2+8 x2 x3

7. Encuentre la matriz asociada A con la forma cuadrática f ( x1 , x2 , x3 )=4 x1

2+2 x22−x3

2

8. Determine la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos: A (4 ,5 ) , B (−2 ,7 ) .

9. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos: A (2 ,5 ) , B (4 ,3 ) , C (0 , 3 )

10. Determine la ecuación de una parábola que pasa por 3 puntos: A (2 ,1 ) , B (3 , 2 ) , C (1 ,4 )

11. Encuentre el valor de k de modo que la matriz A tenga inversa y calcular la misma.

A=(5 0 61 2 −34 −1 k )

2. matrices y determinantes con matrices elementales sept. 2012 calibri

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