nociones elementales de matrices
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Nociones Elementales de Matrices. Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales haremos un repaso de las fundamentos de las matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Nociones Elementales de Matrices Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
haremos un repaso de las fundamentos de las matrices.
2
Nociones Elementales de Matrices
3
Nociones Elementales de Matrices
4
Nociones Elementales de Matrices
5
Nociones Elementales de Matrices
6
Nociones Elementales de Matrices
7
Nociones Elementales de Matrices
8
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Análisis de Circuitos (ecuaciones de malla y nodos) Solución Numérica de ecuaciones diferenciales (Método
de las diferencias Finitas) Solución Numérica de ecuaciones de integrales (Metodo
de los Elementos Finitos, Método de los Momentos)
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
9
Consistencia (Solubilidad) El sistema lineal de ecuaciones Ax=b tiene una solución, o
es consistente si y solo si Rango{A}=Rango{A|b} Un sistema es inconsistente cuando
Rango{A}<Rango{A|b}
Rank{A} es el máximo numero de columnas linealmente independientes o filas de A. El rango puede ser encontrado usando ERO (Elementary Row Oparations) ó ECO (Elementary column operations).
10
Operaciones Elementales de filas (ERO) Las siguientes operaciones aplicadas a la matriz
aumentada[A|b], producen un sistema lineal equivalente
Intercambios: El orden de dos filas pueden ser cambiada
Escalado: Multiplicando un fila por una constante no cero
Reemplazo: Las filas pueden ser reemplazadas por la suma de esa fila y un múltiplo distinto a cero de cualquier otra fila
11
Un ejemplo inconsistente
5
4
42
21
2
1
x
x
00
21Rank{A}=1
Rank{A|b}=2
ERO:Multiplicar la primera fila por -2 y sumar la segunda fila
34
0
2
0
1
Entonces este
sistema de ecuaciones
no es soluble
12
Unicidad de las soluciones
El sistema tiene una única solucion si y solo si
Rango{A}=Rango{A|b}=n
n es el orden del sistema
Tales sistemas son llamados sistemas full-rank (rango
completo)
13
Sistemas rango completo (Full-rank)
Si Rango{A}=n Det{A} 0 A es nonsingular por lo tanto invertible
Solución Única
2
4
11
21
2
1
x
x
14
Matrices de rango deficiente Si Rango{A}=m<n
Det{A} = 0 A is singular por lo tanto no es invertible número infinito de soluciones (n-m variables libres) sistema sub-determinado
8
4
42
21
2
1
x
x
Consistente soluble
Rank{A}=Rank{A|b}=1
15
Sistema de ecuaciones mal-condicionadas
Una pequeña desviación en las entradas de la matriz A, causa una gran desviación en la solución.
47.1
3
99.048.0
21
2
1
x
x
47.1
3
99.049.0
21
2
1
x
x
1
1
2
1
x
x
0
3
2
1
x
x
16
Mal condicionada (continua.....)
Un sistema lineal
de ecuaciones se
dice a ser “mal
condicionada” si la
matriz de
coeficientes tiende
a ser singular
17
18
Tipos de ecuaciones de sistemas lineales a ser estudiados
Los coeficientes reales de la matriz cuadrada A
EL vector b es diferente de cero y real
Sistema consistente, soluble
Sistemas rango completo, solución única
Sistemas bien-condicionados
19
Técnicas de Solución Métodos directos de solución
Encuentra una solución en un número finito de operaciones transformando el sistema en un sistema equivalente que sea ' más fácil ' de solucionar.
Triangulares diagonales, .
Métodos de solución Iterativos
Calcula las aproximaciones sucesivas del vector solución para una mat. A y un b dados, comenzando de un punto inicial x0
Total del · de operaciones es incierto, puede que no converja.
20
Métodos de solución directa Eliminación Gaussiana
Usando ERO, la matriz A es transformada en una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero).
Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior
n
i
n
i
nnnin
iniii
ni
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
11
1
1
1111
ERO
n
i
n
i
nn
inii
ni
b
b
b
x
x
x
a
aa
aaa
~
~
~00
~~0
111111
Back
sub
stit
uti
on
21
Primer paso de la eliminación
)2(
)2(3
)2(2
)1(1
3
2
1
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)1(11
)1(11,
)1(11
)1(311,3
)1(11
)1(211,2
0
0
0
/
/
/
nnnnnn
n
n
n
nn b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
aam
aam
aam
)1(
)1(3
)1(2
)1(1
3
2
1
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(23
)1(22
)1(21
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Elemento pivotal
22
Segundo paso de la eliminación
)3(
)3(3
)2(2
)1(1
3
2
1
)3()3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)2(22
)2(22,
)2(22
)2(322,3
00
00
0
/
/
nnnnn
n
n
n
nn b
b
b
b
x
x
x
x
aa
aa
aaa
aaaa
aam
aam
)2(
)2(3
)2(2
)1(1
3
2
1
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
0
0
0
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
Elemento Pivotal
23
Algoritmo de la Eliminación Gaussiana
Define un número de pasos como p (fila pivotal) For p=1,n-1
For r=p+1 to n
For c=p+1 to n
0
/)(
)()(,
prp
ppp
prppr
a
aam
)(,
)()1( ppcpr
prc
prc amaa
)(,
)()1( pppr
pr
pr bmbb
24
Algoritmo de la sustitución hacia atrás
)(
)1(1
)3(3
)2(2
)1(1
1
3
2
1
)(
)(1
)(11
)3(3
)3(33
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
0000
000
00
0
nn
nn
n
n
nnn
nnn
nnn
n
n
n
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
a
aa
aa
aaa
aaaa
1,,2,11
1
1
)()()(
11
)1(1)1(
111)(
)(
nnixaba
x
xaba
xa
bx
n
ikk
iik
iii
iii
nnnn
nnn
nnnn
nn
nn
n
25
Contador de Operaciones Número de operaciones aritméticas requeridas
por el algoritmo para completar esta tarea. Generalmente solo multiplicaciones y divisiones
son contadas. Proceso de Eliminación
Sustitución hacia atrás
Total
6
5
23
23 nnn
2
2 nn
332
3 nn
n
DominatesNo eficiente para
diferentes vectores RHS
26
Decomposición LU
A=LU
Ax=b LUx=b
Define Ux=y
Ly=b Resolver y por sustitución hacia adelante
Ux=y Resolver x por sustitución hacia atrás
Las operaciones elementales entre filas debe ser desarrolladas en b así como en A.
La información de estas operaciones es almacenada en L
En verdad y es obtenida aplicando operaciones elementales al vector b.
27
Decomposición LU por Eliminación Gausiana
)(
)(1
)(11
)3(3
)3(33
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
4,3,2,1,
3,12,11,1
2,31,3
1,2
0000
000
00
0
1
1
0
001
0001
00001
nnn
nnn
nnn
n
n
n
nnnn
nnn
a
aa
aa
aaa
aaaa
mmmm
mmm
mm
m
A
Almacenamiento Compacto: Las entradas diagonales de la matriz L son todos unos, estos no necesitan almacenarse. LU es almacenado en una matriz.
Existen infinitas formas diferentes para descomponer A.Una de las más populares es: U=Matriz de la Eliminación Gaussiana L=Multiplicadores usados para la eliminación
28
Contador de Operaciones
A=LU Descomposición
Ly=b Sustitución hacia adelante
Ux=y Sustitución hacia atrás
Total Para diferentes vectores RHS, el sistema puede
ser eficientemente resuelto.
33
3 nn
2
2 nn 2
2 nn
332
3 nn
n
29
Pivoteo Computadoras usan precisión aritmética finita Pequeños errores son introducidos en cada
operación aritmética, propagación de errores Cuando los elementos pivotales son muy
pequeños, los multiplicadores podrían ser muy grandes.
La adición de números de magnitud diferente puede conducir a la pérdida de significación .
Para reducir el error, se realiza intercambio de filas para maximizar la magnitud del elemento pivotal.
30
Ejemplo: Sin Pivoteo
93.22
414.6
210.114.24
281.5133.1
2
1
x
x
8.113
414.6
7.113000.0
281.5133.1
2
1
x
x
001.1
9956.0
2
1
x
x
31.21133.1
14.2421 m
aritmética 4-digit
Pérdida de precisión
31
Ejemplo: Con Pivoteo
414.6
93.22
281.5133.1
210.114.24
2
1
x
x
338.5
93.22
338.5000.0
210.114.24
2
1
x
x
000.1
000.1
2
1
x
x
04693.014.24
133.121 m
32
Procedimiento de Pivoteo
)()()(
)()()(
)()()(
)3(3
)3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(2
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
000
000
000
00
0
inn
inj
ini
ijn
ijj
iji
iin
iij
iii
nji
nji
nji
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
Parte Eliminada
Columna Pivotal
Fila Pivotal
33
Pivoteo por fila
Más comúnmente llamado procedimiento de
pivoteo parcial
Busque la columna pivotal
Encuentre el mas grande elemento en
magnitud
Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
34
Pivoteo por filas
)()()(
)()()(
)()()(
)3(3
)3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(2
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
000
000
000
00
0
inn
inj
ini
ijn
ijj
iji
iin
iij
iii
nji
nji
nji
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
Intercambio de filas
El más grande en magnitud
35
Pivoteo por columna
)()()(
)()()(
)()()(
)3(3
)3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(2
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
000
000
000
00
0
inn
inj
ini
ijn
ijj
iji
iin
iij
iii
nji
nji
nji
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
Intercambio deEstas columnas
El mas grande en magnitud
36
Pivoteo Completo
)()()(
)()()(
)()()(
)3(3
)3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(2
)2(2
)2(23
)2(22
)1(1
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
000
000
000
00
0
inn
inj
ini
ijn
ijj
iji
iin
iij
iii
nji
nji
nji
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
Más grandeen magnitud
Intercambie estas columnas
Intercambie estas filas
37
Pivoteo por filas en Descomposición LU Cuando dos filas de A se
intercambian, las filas de b deben también ser intercambiadas.
Use un vector pivote. Vector pivote inicial son enteros desde 1 hasta n.
Cuando dos filas (i y j) de A son intercambiadas, aplicar esto al vector pivote.
n
i
jp
3
2
1
n
j
ip
3
2
1
38
Modificando el vector b
Cuando se realiza la descomposición LU de A, el vector pivote nos da el orden de las filas después del intercambio.
Antes de aplicar la sustitución hacia adelante para resolver Ly=b, modificar el orden del vector b de acuerdo a las entradas del vector pivote.
9
5
7
6
8
4
2
3
1
p
9.6
5.3
7.2
2.5
6.9
8.4
2.1
6.8
3.7
b
9.6
6.9
7.2
2.5
5.3
8.4
6.8
2.1
3.7
b
39
Descomposición LU algoritmo con pivoteo parcial
For k=1,n-1 columna a ser eliminadap=k For r=k+1 to n if if p>k then For c=1 to n For r=k+1 to n
For c=k+1 to nkr
krk
kkk
krkkr
ma
aam
,)1(
)()(, /
)(,
)()1( kkckr
krc
krc amaa
rp then pkrk aa
taaaat pcpckckc ,,
Columna para una entrada máxima
Intercambiode filas
Actualizando la matriz L
Actualizando la matriz U
40
Ejemplo
3
2
1
3
5
12
241
124
230
pbA
3
1
2
241
230
124
pA
Intercambio de columnas: Máxima magnitud segunda filaIntercanbio de la 1era y 2da fila
41
Ejemplo (continuación)...
3
1
2
241
230
124
pA
Elimación de a21 y a31 usando a11 como elemento
pivotalA=LU en forma compacta (en una sola matriz)
3
1
2
75.15.30
230
124
pA
Multiplicadores (matriz L) l21=0; l31=-0.25
42
Ejemplo (continuación)...
1
3
2
230
75.15.30
124
pA
3
1
2
75.15.30
230
124
pA
Columna encontrada: Maxima magnitud en la tercera filaIntercambio de la 2da y 3era fila
43
Ejemplo (continuación)...
1
3
2
230
75.15.30
124
pA
Eliminar a32 usando a22 como elemento pivotal
1
3
2
5.300
75.15.30
124
pA
Multiplicadores (matriz L) l32=3/3.5
44
Ejemplo (continuación)...
1
3
2
5.300
75.15.30
124
15.3/30
0125.0
001
pA
12
3
5
3
5
12
1
3
2
bbp
A’x=b’ LUx=b’ Ux=y
Ly=b’
45
Ejemplo (continuación)...
3
2
1
3
2
1
x
x
x
SustituciónDirecta
5.10
75.1
5
3
2
1
y
y
y
SustituciónInversa
5.10
75.1
5
5.300
75.15.30
124
3
2
1
x
x
x
Ux=y
12
3
5
15.3/30
0125.0
001
3
2
1
y
y
y
Ly=b’
46
Eliminación de Gauss-Jordan Los elementos sobre la diagonal se convierten y
por debajo de la diagonal son ceros.
)1()1()1(2
)1(1
)1(2
)1(2
)1(22
)1(21
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
)2()2()2(2
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
0
0
nnnn
n
n
baa
baa
baaa
)()(
)1(2
)2(22
)1(1
)1(11
00
00
00
nn
nnn
n
n
ba
ba
ba
)3()3(
)2(2
)2()2(22
)2(1
)2()1(11
00
0
0
nnn
nn
nn
ba
baa
baa
47
Eliminación de Gauss-Jordan Casi 50% mas de operaciones aritméticas que la
Eliminación Gaussiana. Gauss-Jordan (GJ) Eliminación es preferible
cuando la inversa de una matriz es requirido.
Aplicar eliminación GJ para convertir A en una matriz identidad.
IA
1AI
48
Diferentes formas de factorización LU
Forma de DoolittleObtenida por Eliminación Gaussiana
Forma de Crout
Forma de Choleski
33
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
00
0
1
01
001
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
100
10
1
0
00
23
1312
333231
2221
11
333231
232221
131211
u
uu
lll
ll
l
aaa
aaa
aaa
33
2322
131211
333231
2221
11
00
00
00
l
ll
lll
lll
ll
l
49
Forma de Crout Cálculo de la primera columna de L
Cálculo de la primera fila de U
Cálculo alternado de las colum. de L y filas de U
11 ii al
11
11 l
au jj
njjil
ulau
niijulal
ii
i
k kjikijij
j
kkjikijij
,,3,2,
,,2,1,
1
1
1
1
50
Secuencia de la reducción de Crout
1000
100
10
1
0
00
000
34
2423
141312
44434241
333231
2221
11
44434241
34333231
24232221
14131211
u
uu
uuu
llll
lll
ll
l
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Una entrada de la matriz A es useda solamente una vez para calcular la Correspondiente entrada de las matrices L o U .Así las columnas de L y las filas de U pueden seralmacenadas en la matriz A
1
2
3
4
5
6
7
51
Factorización de Choleski Si A es simétrica y definida positiva, entonces la
factorización LU Puede ser arreglada para que U = LT , la cual se obtiene
de la factorización de Choleski A = LLT
Donde L es una matriz triangular inferior con diagonal con entradas positivas
Algoritmo para el cálculo puede ser derivado por la ecuación correspondiente a las entradas de A y LLt
En el caso de 2 × 2, por ejemplo,
Implica que:
52
Factorización de Choleski (continua)
Una forma de escribir el algoritmo general,es
53
Solución de Sistemas Lineales de ecuaciones Complejas
Cz=w
C=A+jB Z=x+jy w=u+jv
(A+jB)(x+jy)=(u+jv)
(Ax-By)+j(Bx+Ay)=u+jv
v
u
y
x
AB
BA
Sistema lineal de ecuaciones reales
54
Sistemas grandes y Esparcidos Cuando el sistema lineal es grande y esparcido
(muchas entradas ceros), los métodos directos llegan a ser ineficientes por la presencia de términos de relleno.
Los términos de relleno son aquellos que resultan ser diferentes de cero durante la eliminación
5553
444241
353331
2422
141311
000
00
00
000
00
aa
aaa
aaa
aa
aaa
55
4544
353433
2422
141311
0000
000
00
000
00
a
aa
aaa
aa
aaa
Eliminación
Términos de relleno
55
Matrices Esparcidas La matriz de ecuación de nodos es una matriz
esparcida. Matrices Esparcidas son almacenadas
eficientemente almacenando solamente las entradas no cero.
Cuando del sistema es muy grande (n=10,000) los términos de relleno aumentan los requerimientos de almacenamiento considerablemente.
En tales casos los métodos de solución iterativa debe ser preferidos en lugar de métodos de solución directa.
56
Problema 1 Resolver por Eliminación Gaussiana con pivoteo
parcial de filas:
E2-(3/4)E1 =>E2
E3-(1/2)E1 =>E3
E4-(-1/4)E1=>E4
4
9
14
9
1111
1142
3223
3204
4
3
2
1
x
x
x
x
25.6
5.13
25.7
9
75.15.110
5.2240
75.05.020
3204
4
3
2
1
x
x
x
x
57
Problema 1 Intercambiamos las Ecuaciones 2 y 3 (E2E3)
E3-(-1/2)E2 =>E3
E4-( 1/4)E2 =>E4
25.6
25.7
5.13
9
75.15.110
75.05.020
5.2240
3204
4
3
2
1
x
x
x
x
5.0
625.9
5.13
9
5.05.000
375.2200
5.2240
3204
4
3
2
1
x
x
x
x
58
Problema 1 E4-(-1/4)E3 =>E4
Resolviendo por sustitución hacia atrás:
90625.2
625.9
5.13
9
09375.0000
375.2200
5.2240
3204
4
3
2
1
x
x
x
x
5
0
32
31
1
2
3
4
x
x
x
x
59
Problema 2 Obtener la factorización de Doolite:
Solución 1A partir de la Eliminacion Gaussiana:m21= a21/a11 =2/6=1/3
E2-(1/3)E1=>E2
42
16A
3/130
16U
3/130
16*
13/1
01*
13/1
01
1
01
12
ULAm
L
60
Problema 2 Solución 2
Planteando el producto matricial:
22
1211
21 0*
1
01*
42
16
u
uu
lULA
3/130
16*
13/1
01*
42
16
3/134
3/12
1
6
22221221
211121
12
11
ULA
uuul
lul
u
u
61
Problema 3 Resolver por la factorización de Doolite:
Solución Del ejercicio anterior ya tenemos la factorización
LU:
6
5
42
16
2
1
x
x
6
5
3/130
16*
13/1
01**
2
1
x
xbxUL
62
Problema 3
3/13
5
6
5*
13/1
01*
2
1
2
1
z
z
z
zbzL
1
1
3/13
5
3/130
16*
2
1
2
1
2
1
x
x
z
z
x
xzxU
Se obtienen dos sistemas triangulares fáciles de resolver. Resolviendo el sistema triangular inferior por sustitución directa:
Resolviendo el sistema triangular superior por sustitución directa:
63
Problema 4 Obtener la factorización de Crout:
SolucionDebemos plantear la multiplicacion matricial:
121520
152030
203060
A
100
10
1
0
00
* 23
1312
333231
2221
11
333231
232221
131211
u
uu
lll
ll
l
UL
aaa
aaa
aaa
A
64
Problema 4
2121
131113
121112
1111
la
ula
ula
la
100
110
3/12/11
3/1520
0530
0060
*
121520
152030
203060
ULA
65
Problema 5
1000
100
010
001
00
00
00
000
00
0
0
00
34
23
12
4443
3332
2221
11
4443
343332
232221
1211
u
u
u
ll
ll
ll
l
aa
aaa
aaa
aa
100
4/3100
03/210
002/11
4/5100
03/410
002/31
0002
2100
1210
0121
0012
Método de Crout para sistemas tridiagonales
66
Problema 6
Factorizar por el método de Choleski la siguiente matriz:
5.375.21
75.225.41
114
SoluciónSe requiere que la matriz sea simétrica y definida positiva para aplicar Choleski.
67
Problema 6
Es evidente que la matriz es simétrica; para verificar que es definida positiva verificamos si se satisface el criterio de Silvester:
0
5.375.21
75.225.41
114
det
025.41
14det
04det
68
Problema 6
Dado que los determinantes de todos los menores principales son positivos podemos afirma que la matriz es definida positiva y podemos aplicar la factorización de Choleski con seguridad.
UULLULA TT ***
33
3222
312111
333231
2221
11
333231
232221
131211
00
00
00
*
l
ll
lll
lll
ll
l
LL
aaa
aaa
aaa
A T
69
Problema 6
Resolviendo la multiplicación matricial:
100
2/320
2/12/12
12/32/1
022/1
002
5.3
75.2
1
25.4
1
4
00
00
00
222
22
2
fed
ecdb
ad
cb
ba
a
f
ec
fba
fed
cb
a